fisica_Iparte (1)

ANÁLISIS DIMENSIONAL

Es el estudio de las relaciones que guardan entre si todas las magnitudes físicas, ya que toda magnitud derivada depende de las fundamentales.

MAGNITUDPara la Física, una magnitud es aquella susceptible de ser medido.

MEDIRMedir es comparar dos magnitudes de la misma especie donde una de ellas se toma como unidad de medida,

CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES FÍSICASI. De acuerdo a su origen

A) Magnitudes fundamentales: Son aquellas magnitudes que se toman como patrones y se escogen convencionalmente para definir las magnitudes restantes.

B) Magnitudes Derivadas: Son aquellas magnitudes que se obtienen por combinación de las que se han tomado como fundamentales.

II. De acuerdo a su naturalezaA) Magnitudes Escalares: Son aquellas

magnitudes que para estar bien definidas basta conocer únicamente su valor numérico.

B) Magnitudes Vectoriales: Son aquellas que para su definición se requiere a parte de su valor, una dirección

SISTEMA DE UNIDADESEs la agrupación ordenada de unidades de medida de las magnitudes físicas; hasta hace algunos años eran de uso frecuente los siguientes sistemas:

A. Sistemas absolutos: Estos sistemas se caracterizan por tomar como magnitudes fundamentales a la longitud, a la masa y al tiempo.

Sistema L M T

M.K.S. Metro Kilogramo Segundo

C.G.S. Centímetro Gramo Segundo

F.P.S. Pie Libra Segundo

B. Sistemas técnicos o gravitatorios: Estos sistemas elegían como magnitudes fundamentales a la longitud, a la fuerza y al tiempo.

Sistema L F TTécnico métrico

Metro kg - f Segundo

Técnico cegesimal

Centímetro gr - f Segundo

Técnico inglés

Pie lb - f Segundo

En la actualidad se emplea un sistema más coherente, donde las magnitudes fundamentales son siete, en el cual cada magnitud física posee una adecuada unidad de medida.

C. Sistema internacional de unidades (SI): En este sistema las magnitudes fundamentales son:

Magnitud Unidad Símbolo

Longitud metro m

Masa kilogramo kg

Tiempo segundo sTemperatura termodinámica

kelvin K

Intensidad de corriente eléctrica

ampere A

Intensidad luminosa candela cdCantidad de sustancia

mol mol

Además existen dos magnitudes suplementarias:

Magnitud Unidad Símbolo

Ángulo plano radián rad

Ángulo sólido estereorradian sr

ECUACIÓN DIMENSIONAL

Es una igualdad que nos indica la dependencia de una magnitud cualquiera respecto de las que son fundamentales.

Para determinar la ecuación dimensional de una magnitud derivada siempre se parte de una fórmula que previamente ha sido hallada por otros medios.

El símbolo empleado para representar una ecuación dimensional son corchetes que encierran a una magnitud, así [trabajo], se lee ecuación dimensional del trabajo.

En general si las magnitudes fundamentales son A, B, C, D, … la ecuación dimensional de una magnitud derivada “x” se expresará por:

[x] = A B C D …

Donde:, , , , …. Son números racionales

Ejemplo:Para determinar la ecuación dimensional de la velocidad se empleará la siguiente ecuación:

Velocidad =

y emplearemos que la ecuación dimensional de la distancia y el tiempo son “L” y “T” respectivamente, así:

PROPIEDADES1. Al operar con ecuaciones dimensionales, se

pueden emplear todas las reglas algebraicas excepto las de suma y resta, en su lugar diremos que la suma y diferencia de magnitudes de la misma especie da como

resultado otra magnitud de la misma especie.

a) [AB] = [A] [B] b)

c) [An] = [A]n d) L + L + L = L

e) T – T – T = T

2. La ecuación dimensional de todo ángulo, función trigonométrica, logaritmo y en general toda cantidad adimensional es la unidad.[30 rad] = 1 [Sen 30°] = 1

[45] = 1 [Log 2] = 1

3. Las expresiones que son exponentes no tienen unidades.

4. Toda ecuación dimensional se escribe en forma de monomio entero; si es fraccionario, se hace entero con exponente negativo.

= LTM-1; = LT-3

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONALEn toda ecuación dimensionalmente correcta, los términos que se están sumando o restando deben tener igual ecuación dimensional. Además la ecuación dimensional del primer miembro del a ecuación debe ser igual a la del segundo miembro.

Ejemplo:De la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta:

(AX – B)² = 27Z Sen 15°

se cumple:a) [AX] = [B]

b) [AX - B] = [ 27Z Sen 15°]

ALGUNAS ECUACIONES DIMENSIOANLES EN EL SISTEMA INTERNACIONAL

Longitud.............................................. L

Masa.................................................... M

Tiempo................................................ T

Corriente............................................. I

Superficie............................................ L2

Volumen.............................................. L3

Velocidad............................................ LT-1

Aceleración......................................... LT-2

Fuerza.................................................. MLT-2

Trabajo – energía................................ ML2T-2

Potencia............................................... ML2T-3

Presión................................................ ML-1T2

Densidad............................................. ML-3

UTILIDAD DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES

a) Comprobar si una fórmula es dimensionalmente correcta.

b) Establecer nuevas fórmulas.c) Determinar las unidades que le

corresponden a cierta magnitud derivada.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Del principio de homogeneidad dimensional, responde si:a) L + L + … = Lb) (…) – (LT-1) = LT-1

c) (LMT2) + (…) = (…) (LMT2)d) L1T-2 = LxTy entonces x = …; y = …e) T-1 = LxTy entonces x = …; y = …f) LT-2 = L2xMx+yTz entonces x = …; y = …

2. Indicar las dimensiones de P en la siguiente expresión:

P = (Densidad)(Velocidad)²a) LMT-1 b) LM-1T-2 c) LMT2

d) L-1MT-2 e) MT-2

3. Cuáles son las dimensiones de K, si:K = (Presión)(volumen)

a) L2MT-2 b) LMT-2 c) L-2MT2

d) LMT-1 e) L2MT-1

4. Determinar las dimensiones de “G” en la siguiente relación:

G =

a) L-1MT-3 b) LMT-3 c) L3M-1T-2

d) L-2MT-1 e) L

5. Determinar las dimensiones de para que la ecuación sea dimensionalmente homogénea

(P)2 + (F)3 = P = Presión F = Fuerza = 3,14159a) LM-1T2 b) L-1M-1T2 c) LMT2

d) L-1MT-2 e) L0

6. Hallar las dimensiones de + si la expresión es dimensionalmente correcta (homogénea)

a + b = ab - a = Distancia; b = Masaa) [] = M; [] = LT-1 b) [] = L; [] = Mc) [] = L-1; [] = M d) [] = M; [] = Le) [] = M-1; [] = L

7. Encontrar la expresión dimensional de A para que la ecuación sea dimensionalmente homogénea.

G =

G = Aceleración de la gravedadb = distanciaT = Periodoa) L b) L2 c) L3

d) ML-3 e) L4

8. Hallar la ecuación dimensional de “R”

R = a) ML5T b) M2L-5T-1 c) M-1L+T-2

d) M2L3 e) L3

9. Hallar la ecuación dimensional de A:

A =

a) ML-3T-2 b) MLT-2 c) M2LT-2

d) ML3 e) L2

10. Hallar la ecuación dimensional de “N”

N =

a) L-1T-2 b) L4T2 c) L6T-3

d) L4 e) L3

11. Hallar la E.D. de “x” si la expresión es homogénea

x =

donde: A = masaa) L b) M c) MT-1

d) ML2 e) M2

12. Hallar las dimensiones de “P” si la ecuación es homogénea.

P = Donde:A1, A2, A3 … = VelocidadB1, B2, B3 … = Tiempoa) L2T-1 b) LT-1 c) L2

d) LT2 e) L3

13. La fórmula de la energía está dada por:

E =

Donde: E = ML2T-2

w = Ángulo de incidenciaHallar [z]a) M-1L-2T2 b) ML2 c) M-1L2Td) MLT-1 e) LT-1

14. La siguiente ecuación nos define la velocidad en función del tiempo (t) de un cuerpo que se desplaza sobre una superficie horizontal

V = AW Cos(WT)Hallar: [W]a) LMT-1 b) LT-1 c) T-1

d) T-2 e) T-3

15. La fórmula del periodo del péndulo está dada por: T = 2Lxgy. Hallar los valores de “x” e “y” donde:T = TiempoL = Longitud del péndulog = Aceleración de gravedad = 3,1416a) 1/4, -1/4 b) 1/2, -1/2 c) 1/5, -1/5d) -1/6, 1/6 e) 1, 2

16. La siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea, hallar los valores de “x” e “y”

F = Px + mVy/rDonde:r = Radio; F = Fuerzam = masa; P = Cantidad de movimientoV = Velocidad; = Velocidad angulara) 1; -2 b) 1; 2 c) 2; -1d) 4; 3 e) 0; 1

17. Hallar las dimensiones de “x” e “y” si la ecuación es homogénea:

donde:V = Velocidad A = ÁreaD = Densidad L = Longituda) ML, L2T b) ML3T, LTc) ML2, LT-1 d) ML-4T, ML-7

e) L2, T-1

18. El volumen del fluido que pasa en unidad de tiempo por un tubo capilar, está colocado por:

V =

R = Radio del tubo capilarI = Longitud del tubo capilarP = PresiónEncontrar las dimensiones de la viscosidad n:a) L-1MT-1 b) L2MT-2 c) LMT-2

d) L-1MT-2 e) LT-3

19. Sabiendo que la velocidad con que se desplazan los líquidos a alta temperatura viene dada por la fórmula:

V(m/s) =

Q = Gasto de líquido en kg/sA = Área de la sección rectan = Número adimensionalm = Cantidad de m3 de líquido por cada kg desplazadoHallar las dimensiones de a) LM-1T-1 b) L-1M-1 c) LM-2T-1

d) L-1MT-2 e) 1

20. Indique la fórmula que no satisface el principio de homogeneidad dimensional, siendo: d = Desplazamiento; V0 = Velocidad inicial; V = velocidad final, a = Aceleración, g = Aceleración de gravedad, t = tiempo, h = altura.

a) (V)2 = (V0)2 + 2ad b) d =

c) d = (V0).t+ at2 d) h =

e) t =

TAREA

1. La ecuación es dimensionalmente homogénea

a =

a = Aceleración S = Árear y t = Distancia Q = CalorHallar las dimensiones de “b”a) L5M3T-1 b) L6MT-4 c) L7MT-4

d) L4MT-2 e) ML3T-2

2. En la siguiente expresión dimensionalmente

correcta, calcular:

Q =

Si se sabe que:Q = Caudalg = Aceleración de gravedadh = altura

a) 1/5 b) 5 c) 25d) 125 e) 1/25

3. La ecuación que se muestra nos da la distancia recorrida por un cuerpo en caída libre:

h = p * gytz

h = Altura t = Tiempop = Peso g = 9,8 m/s²determinar el valor de: E = a) 0 b) 1 c) 2d) e) 2

4. La velocidad de una partícula en el interior de un fluido está dada por la fórmula:

V =

V0; V = Velocidadt = TiempoR = RadioI, m, n = NúmerosHallar las dimensiones de: E = (bc)/a²a) LT-2 b) L1/2T-1 c) L2T3

d) T-3 e) L5. Determinar las dimensiones de “alfa” para

que la siguiente ecuación sea dimensionalmente correcta:

C = Velocidad de la luza) LT b) L1/2T1/2 c) L-1T1/2

d) L-1/2T1/2 e) L1/4T-1/4

6. Cuál será la dimensión de x para que la expresión sea dimensionalmente correcta:

x =

W : Trabajo (fuerza . distancia)m : Masah : Alturaa) L2 b) ML2 c) MT2

d) T-2 e) T-3

7. Dadas las siguientes expresiones encontrar [A]:

V: Velocidad F: Fuerzaa) MLT-1 b) MT c) MT-3

d) MT-1 e) L2

8. En la siguiente ecuación dimensionalmente homogénea se tiene que:

x = dSen(abx)donde [x] = L, [a] = T¿cuáles son las dimensiones de “b”?a) T-1 b) L-1 c) TLd) T-1L-1 e) L2

9. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta: P = dxVytz

Donde:P : Potencia (unidad = m²kgs-3)d : Densidad (masa/volumen)V : VelocidadT: TiempoHallar el valor de 3(y-3x)/(y-z)a) -2 b) -1 c) 1d) 2 e) 3

10. Dada la siguiente ecuación dimensionalmente homogénea

HF = px + m0

Hallar x . yDonde:F : Fuerzap:Cantidad de movimiento (masa.velocidad)

: Velocidad angular (ángulo/tiempo)m0 = MasaV : Velocidad

r : Radio de giroa) 1 b) -1 c) 0d) 2 e) -2

ANÁLISIS VECTORIAL

VECTOREs un ente matemático que gráficamente se representa por un segmento de recta orientado.

La física utiliza los vectores para representar las magnitudes vectoriales

En general un vector se representa de la siguiente forma:

A = Módulo del vector = Dirección del vector

OPERACIONES VECTORIALES

I. SUMA DE VECTORES O COMPOSICIÓN VECTORIAL

Es una operación que tiene por finalidad hallar un único vector denominado vector resultante (

), el cual es igual a la suma de todos los vectores.

Ejemplos:

Sean y vectores = +

Sean ; y vectores = + + II. RESTA DE VECTORESEs una operación que tiene por finalidad hallar un único vector denominado vector diferencia (

), el cual es igual a la resta de vectores.

Ejemplo:

Sean y vectores = -

MÉTODOSPARA CALCULAR LA RESULTANTE

A. MÉTODO DEL PARALELOGRAMOSe utiliza para calcular la resultante de dos vectores concurrentes y coplanares que tiene un mismo punto de origen.

Gráficamente se construye un paralelogramo trazando paralelas a los vectores. El vector resultante se traza uniendo el origen de los vectores con la intercepción de las paralelas.

Vector resultante:

= +

Módulo de R:

R =

Casos particularesA. Si = 0° (B)

Se obtiene el máximo valor del módulo de la resultante

A = A <

A

B

Línea de Acción

Sentido

Dirección

x

y

AR

B

R = A + B = Rmáx

B. Si = 180° (B) Se obtiene el menor valor posible de la resultante

R = A – B = Rmin

CONCLUSIÓN

Rmin R Rmax

Si forma un cierto ángulo con

Rmin < R < Rmax

C. Si = 90° (A B) Se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras

R =

PROPIEDAD

Cuando los dos vectores A y B son iguales en módulo

R = x

D. Si = 60°

R = x

E. Si = 120°

R = x

COMENTARIOS:

A. Si = 120°

R = 0

B. Si = 120°

R = 7x

NOTA IMPORTANTE:

D =

B. MÉTODO DEL POLÍGONOSe utiliza para calcular la resultante de un conjunto de vectores concurrentes y coplanares.

B A

B

A

x

x

x

x

x

x

8x

R

3x

B

A=-

Es un método gráfico que utiliza escalas apropiadas y consiste en trazar los vectores uno a continuación del otro manteniendo sus características. El vector resultante ( ) se traza uniendo el origen del primer vector con el extremo del último vector.

Ejemplo:Sean ; y vectores

Construimos el polígono vectorial:

NOTA:Se llama polígono vectorial cerrado cuando los vectores son consecutivos, produciendo un vector resultante nulo.

C. MÉTODO DE LAS COMPONENTES RECTANGULARES

COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTORSon aquellos vectores que resultan de proyectar un vector sobre dos (o tres) ejes perpendiculares entre sí:

Componentes rectan-gulares del vector A

Se cumple que:

Ax = ACos

Ay = Sen

El método de los componentes rectangulares permite calcular el módulo y la dirección de la resultante de un conjunto de vectores. Pasos a seguir:

1° Se halla las componente rectangulares.

2° Se calcula la resultante en cada uno de los ejes coordenados (Rx; Ry)

3° Se calcular el módulo de la resultante aplicando Pitágoras y su dirección aplicando la función tangente.

R =

Tg =

Si la dirección de es 0° y =

Si la dirección de es 90° x =

Si la = x = y =

B

A

C

B

A

C

O

Polo

y

xA

A

x

yA


1. Hallar el módulo del vector resultante:

a) 1 u b) 3 u c) 2 ud) 5 u e) 6 u

2. Hallar el módulo del vector resultante. La figura es un paralelogramo.

a) 5 b) 10 c) 0d) 15 e) 20

3. Dado el siguiente conjunto de vectores, se pide encontrar la resultante en función de

y

a) + b) 2( + ) c) 3( + )

d) 4( + ) e) 2 + 3

4. Dado los vectores, hallar el módulo de la resultante siendo el lado del triángulo equilátero de 5 cm. G: Baricentro

a) 5 cm b) 10 cm c) 15 cmd) 20 cm e) 0

5. Hallar el vector en función de los vectores

y

a) = ( y )/3 b) = ( y )/2

c) = d) = ( y )/6

e) = -

6. La máxima resultante de dos vectores es 21 y su mínima es 3 ¿Cuál será la resultante cuando los vectores forman 90°?

a) 10 b) 12 c) 14d) 15 e) 18

7. Hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados:

| | = 5 y | | = 3

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

8. Dados los vectores, hallar el módulo del vector resultante.

a) 7 b) c) 8d) e) 15

9. Determinar el módulo del vector resultante:

1 u 1 u 1 u

5 5

G

72°12°

60°

3

5

| | = 48 u y | | = 14 u

a) 28 u b) 96 u c) 100 ud) 50 u e) 62 u

10. La resultante de dos vectores A y B forma con ellos ángulos de 37° y 30° respectivamente. Hallar el módulo del vector B, si | | = 10.a) 8 b) 12 c) 16d) 6 e) 10

11. Se tiene dos vectores| | = 5N y | | = 3N

calcular: | - 2 |

a) 4 N b) 5 N c) 6 Nd) 7 N e) 8 N

12. Hallar: | - |

a) 1 b) 2 c) 3d) e)

13. Determinar el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrados.

a) 25 b) 12 c) 12d) 25 e) 16

14. Hallar en función de y

a) + /3 b) - /6 c) 2 + /3d) 2 - /3 e) + 3 /7

15. Hallar: |3 + 2 |; si: | | = 2; | | = 2 y Cos = 0,25

a) 4 b) 8 c) 12d) 10 e) 64

16. Si la componente en el eje de las “x” y la componente en el eje de las “y” son de igual valor, entonces se cumple que:

a) Tg = 1/3 b) Tg = ½c) Tg = 1/4 d) Tg = 1e) Tg = 1/5

17. Hallar el valor de “A” para que la resultante sea horizontal

a) 10 b) 15 c) 20d) 25 e) 30

7°

25

40

30

87°

33°A=1

B=2

63°10°

a 2a

°

x°

2FF

°

y

B=2530°

A

C=15

45°

18. ¿Qué valor debe tener el ángulo “”, para que la resultante sea vertical?

a) 30° b) 37° c) 45°d) 53° e) 60°

19. La resultante de los vectores mostrados en el siguiente sistema es cero. Luego se cumple:

a) = 37° b) = 30° c) = 53°d) = 60° e) = 45°

20. Determinar la relación entre M y N (M/N). Para que la resultante sea vertical

a) 1/3 b) 3 c) d) /3 e) ½

TAREA

1. En el sistema mostrado, hallar el módulo de la resultante.

a) 0 b) 2 c) 3d) 4 e) 8

2. Hallar el módulo de la resultante del siguiente sistema de vectores.

a) 0 b) 1 c) 3d) 5 e) 8

3. Determinar el módulo de la resultante en el siguiente sistema

a) 0 b) 6 c) 7d) e)

4. En el sistema de vectores mostrado, el módulo de la resultante es:

a) 10 b) 8 c) 5d) 6 e) 8

5. ¿Qué ángulo forma la resultante con el eje de las “x”?

53°

B=50

A=50

C=15

37°

BA=50

C = 70

60° 30°

NM

C=N

45°

y

x

53° C=3

A=5

30°

B=4

A=5

B=10

C=5

1

7

37° 53°

10

45°

5

4

45°

53°

50

2

50

a) 30° b) 37° c) 45°d) 53° e) 60°

6. En el sistema mostrado, determinar el módulo y la dirección del vector resultante.

a) 50 y 30° b) 10 y 37°c) 50 y 45° d) 40 y 53e) 5 y 60°

7. Si el lado del cuadrado mide 1 cm, hallar el módulo de la resultante

a) 2 b) 2 c) 4d) 4 e) 8

8. ¿Qué ángulo forma la resultante con el eje de las abscisas?

a) 30° b) 37° c) 45°d) 53° e) 60°

9. Determinar la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo mostrado

a) 30° b) 37° c) 45°d) 53° e) 60°

10. Si | | = | |, determinar el módulo de la resultante

a) 30° b) 37° c) 45°d) 53° e) 60°

37° 60

50

37°

50

37°

50 100

37°

50

45°

A=10

37°

C=15

B=12

A=2

B=2

135°

F3=10

F2=10

F1=10

(=1,41)

a

b

c

d

MRU - MRUV

CINEMÁTICAParte DE la mecánica de sólidos que se encargan de estudiar el movimiento mecánico de los cuerpos teniendo como punto de partida ciertas condiciones iniciales y leyes de movimiento que se consideran ya conocidas.

MOVIMIENTO MECÁNICOEl movimiento mecánico es el cambio de posición que experimenta un cuerpo respecto de otro denominado “cuerpo de referencia”.

Si al cuerpo de referencia ligamos un sistema de coordenadas espaciales y un reloj, tenemos el llamado “Sistema de Referencia (S.R.)”.

ELEMENTOS

Móvil:Es el cuerpo que describe el movimiento mecánico.

Trayectoria:Es el lugar geométrico que describe el móvil respecto del sistema de referencia, cuando realiza el movimiento mecánico.

Distancia recorrida (d):Medida de la longitud de la trayectoria entre 2 puntos de la misma.

Desplazamiento ( ):Es un vector que nos indica el cambio de posición efectivo que experimenta el móvil.

Velocidad ( ):Magnitud física vectorial que mide la rapidez del cambio de posición que experimenta un móvil.

Velocidad media ( ): Se define como:

= posición final = posición inicial

t = tf – t0

*

Aceleración ( ):Nos expresa el cambio de velocidad por cada intervalo de tiempo:

: Cambio de velocidadt : Intervalo de tiempo

: Velocidad final: Velocidad inicial

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU)

El M.R.U. consiste en que el móvil describe una trayectoria rectilínea, avanzando distancias recorridas iguales en intervalos de tiempos iguales”

CARACTERÍSTICAS:

La velocidad instantánea es constante

media : Vinst.

V = t : tiempo transcurrido

Unidades : [d] : m; [t] : s : [V] : m/s Ecuación del movimiento

t t

V V V

x

y

d d

: Posición final : Posición inicial : Velocidad

t : Instante del tiempo

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)

“Es aquel movimiento donde el móvil describe una recta y además en intervalos de tiempo iguales los cambios de velocidad son iguales y las distancias recorridas son diferentes”.

CARACTERÍSTICAS

En módulo : a =

Unidad : [a] : m/s²

LEYES DE MOVIMIENTO

Vf = V0 at Si falta “d”

V = V at Si falta “t”

D = V0t at² Si falta “Vf”

d = t Si falta “a”

OBSERVACIONES

MRUV (acelerado)

MRUV (desacelerado)

t

Vx

y

d

V

fx0x

x

1 s

V=2m/s

1 s 1 s

1m/s 3m/s 5m/s 7m/s

V=2m/sV=2m/s

V

(+)

V

(-)


1. Dos corredores parten del mismo punto con velocidades constantes de 17 m/s y 13 m/s respectivamente. Si marchan en sentidos contrarios, ¿después de qué tiempo ambos estarán separados 180 m?a) 2 s b) 4 s c) 5 sd) 6 s e) 8 s

2. ¿En cuánto tiempo un tren que marcha a 36 km/h atravesaría un túnel de 100 m, si el largo del tren es 80 m?a) 6 s b) 12 s c) 18 sd) 24 s e) 30 s

3. Una persona sale del punto A en auto a la velocidad de 12 km/h, llega a B y desea regresar caminando a 4 km/h por el mismo camino. Si todo el recorrido duró 6 horas, ¿durante cuánto tiempo estuvo caminando?a) 1,5 h b) 4,5 h c) 6 hd) 8 h e) 3 h

4. Un móvil que va a 15 km/h de demora 2 horas más. ¿A qué velocidad tiene que ir para llegar a la hora “T+1”?a) 10 km/h b) 11 km/h c) 12 km/hd) 13 km/h e) 14 km/h

5. Dos autos A y B parten desde Lima hacia Huaraz (distancia 100 km), en ese mismo instante otro auto C sale de Huaraz hacia Lima. Calcular el instante en el que B equidista de A y C. VA = 6 km/h; VB = 8 km/h y VC = 10 km/ha) 5 h b) 3 h c) 4 hd) 8 h e) 10 h

6. Dos ciclistas cuyas velocidades son iguales (V = 30 km/h) van al encuentro en la misma pista rectilínea. De uno de ellos sale volando un insecto a 60 km/h hacia el otro. Si la distancia entre ellos en el instante que sale el insecto es 12 km, ¿Cuál será la distancia que los separe cuando el insecto llegue al otro ciclista?a) 5 km b) 4 km c) 3 km

d) 2 km e) 1 km7. Dos trenes que viajan en sentido contrario y

hacia el encuentro, lo hacen con velocidades de 11km/h y 33km/h. Cuando están separados 88km/h del más lento sale volando un pájaro hacia el otro tren a una velocidad de 88km/h respecto a tierra, cuando llega al otro tren el pájaro emprende el retorno, y así hasta que éstos se encuentran. ¿Qué espacio recorrió dicho pájaro durante este tiempo?a) 174 km b) 175 km c) 176 kmd) 184 km e) 185 km

8. Un bote que navega a favor de la corriente lo hace a 4km/h y al retornar en contra de la corriente lo hace a 3 km/h. determine la velocidad de la corriente del río.a) 2,5 km/h b) 2 km/h c) 1,5 km/hd) 1 km/h e) 0,5 km/h

9. A partir del instante mostrado, determine después de qué tiempo se encuentran los móviles.

a) 1 s b) 1,5 s c) 2 sd) 2,5 s e) 3 s

10. A partir del instante mostrado diga al cabo de qué tiempo el móvil 1 adelantará al móvil 2, en 50 m.

a) 4 s b) 6 s c) 8 sd) 10 s e) 12 s

54 km/h 18 km/h

40 m

40 m/s 15 m/s

200 m

(1) (2)

11. Un automóvil posee una velocidad de 72 km/h y avanza contra una pared tal como se indica en la figura. ¿Después de cuántos segundos se encontrará a 40 m de dicha pared?

a) 8 s b) 10 s c) 12 sd) 14 s e) 16 s

12. Indique el número de afirmaciones falsas con respecto al MRUV:( ) La aceleración es variable( ) El móvil aumenta su velocidad en

proporción directa al espacio recorrido( ) La velocidad es constante sólo en

módulo( ) La velocidad puede cambiar de sentido( ) En ningún instante la velocidad puede

ser nula.a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

13. Un móvil varía su velocidad de 2 m/s a 20 m/s en 5 s. Hallar su aceleración en m/s².a) 3,5 b) 1,8 c) 7,2d) 0,9 e) 2,4

14. ¿En qué tiempo un carro que viaja con una velocidad inicial de 15 m/s y una aceleración igual a 0,5 m/s alcanza una velocidad de 20 m/s?a) 25 s b) 20 s c) 15 sd) 10 s e) 5 s

15. Un carro que viaja a una velocidad de 10 m/s es sometido a una aceleración de 1,5 m/s. ¿Cuál será su velocidad 10 s después de haber sido acelerado?a) 5 m/s b) 7 m/s c) 15 m/sd) 10 m/s e) 25 m/s

16. Un auto arranca del reposo y adquiere una velocidad de 108 km/h en tres segundos ¿Qué distancia recorre durante ese tiempo?a) 10 m b) 11 m c) 12 md) 13 m e) 14 m

17. Un móvil tiene una velocidad inicial de 18 km/h y acelera a 2 m/s². ¿Cuánto recorre durante el cuarto segundo?a) 10 m b) 11 m c) 12 md) 13 m e) 14 m

18. Un móvil partió con velocidad inicial de 10 m/s. Si en el tercer segundo recorre 20 m, determine el valor de su aceleración.a) 1 m/s² b) 2 m/s² c) 3 m/s²d) 4 m/s² e) 5 m/s²

19. Dos móviles parten simultáneamente desde un mismo lugar, en la misma dirección y sentido; uno la hace con velocidad constante de 20 m/s y el otro parte del reposo acelerando ¿qué aceleración debe tener éste para alcanzar al primero en 10 s?.a) 1 m/s² b) 2 m/s² c) 3 m/s²d) 4 m/s² e) 5 m/s²

20. Un móvil que se desplaza con MURV consigue triplicar su velocidad en un tramo de 200 metros, empleando para ello 10 s. ¿Cuál es su aceleracióna) 1 m/s² b) 1,5 m/s² c) 2 m/s²d) 2,5 m/s² e) 3 m/s²

V

200 m

TAREA

1. Diga al cabo de qué tiempo se producirá el encuentro entre los dos coches, si se sabe que parten simultáneamente al encuentro desde el reposo.

a) 1s b) 2s c) 3sd) 4s e) 5s

2. Un avión parte del reposo con MRUV y cambia su velocidad a razón de 8 m/s2

logrando despejar logrando de despegar luego de recorrer 1600 m en 4 s.¿Con qué velocidad en m/s despega?a) 80m/s b) 160m/s c) 240m/sd) 120m/s e) 60m/s

3. Un auto parte del reposo y alcanza s máxima velocidad después de recorrer 600 m en 4 s. ¿Qué distancia recorrió durante el último segundo?a) 262, 5m b) 267, 5m c) 300md) 225m e) 220m

4. Calcular la rapidez inicial de un móvil que recorre 40 m durante el tercer segundo de su movimiento y 60 m durante el quinto segundo.a) 10m/s b) 12m/s c) 18m/sd) 15m/s e) 20m/s

5. Por un punto “A”una partícula pasa con una velocidad de 40 m/s; 50 m más adelante la velocidad de la partícula es de 60 m/s. ¿A qué distancia de “A” partió la partícula del reposo? La partícula realiza un MRUV.a) 15m b) 20m c) 25md) 35m e) 40m

6. Un cuerpo inicia su movimiento con una aceleración de módulo 3 m/s2 y en un determinado instante empieza desacelerar a razón de 6 m/s2 hasta detenerse. Si estuvo en movimiento durante 12 s, determinar el recorrido de dicho móvil.a) 36m b) 72m c) 144md) 240m e) 360m

7. Un auto se mueve con velocidad constante, siendo su rapidez “V”. Si luego de 10 s de aplicarse los frenos se detiene y avanza 2 m en el último segundo, determine el valor de la aceleración y el valor de “V”.

a) 2m/s2; 20m/s b) 4m/s2; 40m/s c) 8m/s2; 20m/s d) 2m/s2; 40m/se) 4m/s2; 20m/s

8. Dos automóviles “A” y “B” permanecen en reposo separados 100 m, tal como se indica. Calcular la relación de sus aceleraciones

tal que después de partir

simultáneamente logren pasar juntos por el poste.

a) 1 b) 2 c) 3d) 1/2 e) 1/3

9. Dos cuerpos A y B inicialmente en reposo se encuentran separados “d”. Si parten simultáneamente y en misma dirección con aceleraciones constantes de módulo 5 m/s2 y 2 m/s2 respectivamente, determine “d” si cuando se da el alcance, la diferencia de la rapidez que es 30 m/s.

a) 50m b) 100m c) 150md) 200m e) 250m

10. Dos autos se encuentran frente y separados por 240 m. Si parten simultáneamente al encuentro con velocidades iniciales de 4 m/s y 6 m/s y con aceleraciones de 2 m/s2 y 3 m/s2 respectivamente, hallar las velocidades de cada auto en el momento del coche en m/s. También es posible demostrar que el

2 m/s² 1 m/s²(1) (2)

24 m

V = 0V

VB = 0VA = 0

100 m 100 m

d

A B

área (A) debajo de cualquier gráfica V – t es la distancia que recorre el móvil

a) 10 y 20 b) 15 y 30 c) 20 y 30d) 16 y 24 e) 20 y 40

GRÁFICAS

GRÁFICA POSICIÓN (x) – TIEMPO (t) En la gráfica x-t, la posición (x) puede aumentan, disminuir; permanecer constante al transcurrir el tiempo; en éstas gráficas siempre se emplean las pendientes de los segmentos rectos.

Dada la gráfica x-t tendremos que:

La pendiente (m) del segmento L será:

m =tg

m = ………

( 1 )Recuerde de es una velocidad (V)Luego:

Resumen:

GRÁFICA VELOCIDAD (v) – TIEMPO (t) En la gráfica v-t, la velocidad puede aumentar, disminuir o permanecer constante mientras que

el móvil se traslada siguiendo una trayectoria recta.

PENDIENTE (m) EN UNA GRÁFICA V- t

La pendiente (m) del segmento L será:m = Tg

m =

OBSERVACIÓN:

Recuerde que V/t es una aceleración (a)Luego:

Resumen:

En cualquier gráfica x- t la pendiente de los segmentos rectos representan la velocidad del móvil:

Velocidad (V) = Tg

Velocidad (V) = tg

Aceleración (a) = tg

VA

240 m

VB

t

x

Lx

x0

t

t

V

LV

0 t

En un triángulo rectángulo la función trigonométrica tangente es:

En un triángulo rectángulo la función trigonométrica tangente es:

b

ac

ÁREA (A) EN UNA GRÁFICA V-t

Demostremos que si la velocidad del móvil es constante, el área “A” del rectángulo que se forma debajo de la gráfica equivale a la distancia (d) que recorre el móvil.

El área del rectángulo es:A = V. t

Recuerde que V. t es una distancia (d)

También es posible de mostrar que el área (A) debajo de cualquier gráfica V – t es la distancia que recorre el móvil

Demostremos que si la velocidad del móvil varía, el área “A” del trapecio que se forma debajo de la gráfica equivalente a la distancia (d) que recorre el móvil.

Calculamos el área del trapecio.

A = . t

Del MRUV sabemos que:

t = d

Luego:

A = distancia (d)

Resumen:

CÁLCULO DE LA DISTANCIA RECORRIDA (d) Y EL DESPLAZAMIENTO ( ) EN UNA GRÁFICA (V - t)

Cuando en la gráfica V - t el móvil presenta velocidades negativas, se formarán áreas debajo del eje del tiempo (t) como podemos ver en el siguiente ejemplo:

OBSERVACIONES

De 0 a 8 s la velocidad es positiva

En cualquier gráfica V- t la pendiente de los segmentos rectos representan la aceleración del móvil:

Aceleración (a) = Tg

A = distancia (d)

t

V

0 t

A

V

V0

0 t

A

V

Vf

En cualquier gráfica V – t el área debajo de la gráfica representa la distancia (d) que recorre el móvil

Distancia (d) = Área

-4

6

A1

A2

0 8 14t(s)

De 8s a 14 la velocidad es negativa

El área A1 está sobre el eje del tiempo

El área A2 está debajo del eje del tiempo

Para calcular la distancia total recorrida (d) de 0 hasta 14 s sumaremos las áreas.

d = |A1| + |A2|

Para calcular el desplazamiento total

= |A1| - |A2|

GRÁFICA ACELERACIÓN (A) – TIEMPO (t)

Una aceleración constante en una gráfica a - t se representa mediante una recta horizontal, el área (A) debajo de ésta expresa la variación de la velocidad que experimental el móvil.

DEMOSTRACIÓN

A = área del rectánguloA = at ........................ (1)Recordemos que la primera fórmula del MRUC es:VF = V0 + atDe donde at = VF – V0 ........................ (2)Reemplazando (2) en (1)

A = VF - V0

Cuando la aceleración es variable es fácil demostrar que el área (A) debajo de la gráfica también resulta ser un cambio de velocidad.

Área (A) = Cambio de velocidad

A = VF - V0

Resumen:

En cualquier gráfica a - t el área (A) debajo de la gráfica representa un cambio o variación de velocidad.

Área(A) = VF - V0

MRUV

0 t

A

a

t

a0

0 t

A

a


1. La gráfica (x - t) describe al movimiento de una partícula. Indicar su posición y velocidad para el instante t = 10 s.

a) 10 m; 8 m/s b) 8 m; 8 m/sc) 10 m; 10m/s d) 8 m; 0 m/se) 6 m; 0 m/s

2. Hallar la velocidad sobre la trayectoria en el gráfico x - t.

a) 1 m/s b) 2 m/s c) 4 m/sd) 5 m/s e) 8 m/s

3. De acuerdo al gráfico hallar la velocidad media durante los 10 primeros segundos.

a) 1 m/s b) -1 m/s c) 3 m/sd) -3 m/s e) 2 m/s

4. Se muestra la gráfica posición - tiempo de una particular. Hallar la velocidad media desde t = 2 s hasta t = 9 s.

a) 2 m/s b) -2 m/s c) 1 m/sd) -1 m/s e) 0 m/s

5. Dados los gráficos x - t de dos móviles A y B, determinar a que distancia del origen se encuentran.

a) 12 m b) 15 m c) 30 md) 20 m e) 10 m

6. Si en el instante en que el móvil B pasa por el origen de coordenadas el móvil A le ha sacado una ventaja de 21 m. Hallar en que posición se encontrarán.

a) 30 m b) 48 m c) 60 md) 64 m e) 56 m

7. Hallar la distancia recorrida y el desplazamiento del móvil.

a) 76 m; 20 m b) 76 m; 44 mc) 20 m; 44 m d) 20 m; 20 me) 60 m; 16 m

O 6 15 t(s)

x(m)

t(s)

x(m)

4

2

-4

2

6 10

t(s)

x(m)

20

-10

2 8

10

t(s)

x(m)

14

4

-15

2 5

9

-60

A

8

t(s)

x(m)

4

40

A

53°t(s)

x(m)

28

B

t(s)

V(m/s)

10

-46

10

8. En la gráfica velocidad versus el tiempo ¿Cuál es la distancia recorrida?

a) 80 km b) 60 km c) 50 kmd) 40 km e) 70 km

9. Halle la distancia recorrida por el móvil entre t = 0 y t = 8 s.

a) 30 m b) 40 m c) 50 md) 60 m e) 80 m

10. Calcular la posición t = 12, si para t = 0 está en el origen.

a) 25 m b) 35 m c) 45 md) 55 m e) 65 m

11. Calcular el desplazamiento entre t=2 y t=6.

a) 5/2 m b) -2,5 m c) 6 md) 17,5 m e) 10 m

12. Calcular velocidad media para todo el recorrido de un automóvil, según la gráfica.

a) 4,5 m/s b) 8 m/s c) 3,5 m/sd) 2 m/s e) 4 m/s

13. La gráfica (V - t) describe el movimiento de una partícula. Calcular la distancia recorrida de la partícula para el intervalo t=0s y t=8s.

a) 4 m b) 8 m c) 16 md) 12 m e) Cero

14. Un móvil posee en t = 0 una velocidad de 6 m/s. se pide encontrar la velocidad en t = 12 s, si su gráfica a vs t es:

a) 60 m/s b) 61 m/s c) 62 m/sd) 63 ms e) 64 m/s

15. Si el móvil parte con una velocidad de 6 m/s, determinar la velocidad al final del octavo Segundo.


t(min)

60

40

V(km/h)

30 60 90 120

5

10

t(s)

V(m/s)

70

-8

1518

t(s)

V(m/s)

7

10

-5

6

t(s)

V(m/s)

2

5

-10

3 4

t(s)

V (m/s)

5

0 108

8

t(s)

V(m/s)

0

4

4

4 12t(s)

a(m/s²)

0

-6

10

8

t(s)

a(m/s²)

37°

16. Se tiene el gráfico a-t de un móvil que se desplaza sobre una recta. Si para t = 0, la velocidad es V y para t = 4 s la velocidad es 3V, determinar su velocidad en t = 6s.


17. La figura es una parábola. Hallar la velocidad media del móvil durante el octavo segundo de su movimiento.


18. Se muestra la gráfica x - t de un automóvil. Hallar la velocidad instantánea para t = 3.


19. En el gráfico x - t se muestra la curva. Hallar la velocidad del móvil para t = 4 s si la recta mostrada es normal a la curva.

a) m/s b) 1/3 m/s c) /3 m/sd) - /3 m/s e) -1/3 m/s

20. La gráfica representa la posición de un móvil que se desplaza con velocidad V = -2 m/s y se detiene para t = 6 s. Hallar el instante en que el móvil cruza por el origen.

a) 1 s b) 2 s c) 3 sd) 4 s e) 5 s

8

t(s)

a(m/s²)

12

4 6

t(s)

x(m)

12

2

t(s)

x(m)40

1

Parábola

4

4

t(s)

x(m)

Recta

4

150°

t(s)

x(m)

-4

TAREA

1. En el gráfico mostrado, hallar el valor de la aceleración en los tramos y (en m/s²).

a) 3; 1 b) 2; 3 c) 3; 2d) 3; 4 e) 3; 3

2. Hallar la distancia que recorre el móvil en el cuarto segundo

a) 13 m b) 23 m c) 20 md) 33 m e) 47 m

3. Si la velocidad inicial del móvil es 20 m/s, calcular su velocidad al cabo de 10 segundos.


4. Según la gráfica, calcular la velocidad media para t = [ 0: 10]

a) 2 m/s b) 2,5 m/s c) 3 m/sd) 1-5 m/s e) -2,5 m/s

5. Determinar el instante en que los móviles se encuentran.

a) 18 s b) 22,5 s c) 20 sd) 25 s e) 30 s

6. Según la gráfica a qué distancia del punto de partida se encuentra el móvil.

a) 80 m b) 160 m c) 200 m/sd) 120 m/s e) 280 m/s

7. Un móvil que se mueve en línea recta tiene la siguiente gráfica de (V vs t). Determinar el desplazamiento realizado por el móvil.

a) 8 m b) 10 m c) 6 md) 4 m e) 12 m

8. Calcular la distancia recorrida en el último segundo de movimiento.

a) 12 m b) 10 m c) 8 m/sd) 2 m/s e) 1 m/s

t(s)

40

8

V(m/s)

B

C

4 10 18D

t(s)

40

20

V(m/s)

10

t(s)

a(m/s²)

3

t(s)

40

10

x(m)

0

C

1 2 10

-15

68

36

t(s)

x(m)50

40

45

t(s)

x(m)

8

03010

-10

t(s)

V(m/s)

84 210

0124

t(s)

V(m/s)

5 8 14 190

4

10

9. El movimiento rectilíneo de un móvil está representado por la siguiente gráfica.

Se puede afirmar que:I. El móvil se detiene dos veces en el

trayecto mostrado.II. El móvil siempre tiene velocidad

positiva o nula.III. La velocidad en t = 4,5 s es 1 m/s

a) Sólo I es verdaderab) Sólo II es verdaderac) I y II son verdaderasd) I y III son verdaderase) Todas son verdaderas

10. A partir de la gráfica V - t construir la gráfica x-t, si se sabe que el coche remueve sobre el eje “x” y desde el origen.

a) b)

c) d)

e)

t(s)

2

1

x(m)

0

1 2 4

-1

3 6

5

A

B C

D E2

-2

63t

V

-6

63t

x6

63t

x6

63t

x6

63

t

x2

-2

63t

x6

MOVIMIENTO VERTICAL DE CAÍDA LIBRE (MVCL)

DEFINICIÓNEs aquel tipo de movimiento uniformemente acelerado (MRUA) cuya trayectoria es una línea recta vertical y que se debe a la presencia de la gravedad mas no del peso del cuerpo ya que no considera la resistencia del aire. Este tipo de movimiento se refiere cuando un cuerpo es lanzado hacia arriba, o simplemente es soltado. Este tipo de MVCL es INDEPENDIENTE DEL PESO DEL CUERPO.

CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE

1. No se considera la resistencia del aire, o sea el medio es vacío.

2. El movimiento de caída libre plantea la misma aceleración para todos los cuerpos cualquiera que sea su masa, a esta aceleración se le llama aceleración de la gravedad normal, cuyo valor es 45° de latitud es:

3. Si un cuerpo es disparado verticalmente hacia arriba desde una determinada altura, se cumple que la intensidad de la velocidad subida (VS) es igual a la intensidad de la velocidad de bajada (VB), y que el tiempo empleado para subir (tS) y bajar (tB) un mismo tramo o altura, son iguales.

NOTA:

4. Todos los cuerpos que se dejan caer simultáneamente con la misma velocidad inicial desde una altura, utilizan el mismo tiempo para llegar al suelo.

5. Un cuerpo que es lanzado verticalmente hacia arriba alcanza su altura máxima cuando su velocidad final en el punto más alto es igual a cero.

NOTA:

6. Signo de “g” toma el signo positivo cuando cae y toma el signo negativo.

g = 9,8 m/s² = 980 cm/s² = 32,2 pies/s²

tS =

tS = tB

VS = VB

Si: Hmáx Vf = 0

Hmáx =

Hmáx

g

Vi

Vf = 0

H

g

VB

Vf = 0

VS

tStS

H

g

Vi

OBSERVACIONES1. La gravedad no es el mismo para todos los

lugares de la tierra, depende de la altura sobre el nivel del mas y de la latitud.En los polos : g = 9,83 m/s² (Máxima)En el Ecuador : g = 9,78 m/s² (Mínima)

2. No sólo la tierra atrae a los cuerpos, también el Sol, la Luna y todo astro. Se entiende por “gravedad” a la región de espacio que rodea a un astro gracias al cual atrae a los cuerpos (CAMPO GRAVITATORIO) y aceleración de la gravedad es la rapidez con que es atraído un cuerpo

3. La aceleración de la gravedad “g” depende de la masa y el radio terrestre, asimismo de la corteza terrestre de la tierra (SIAL y SIMA) osea:Donde:

G = Constante de gravitación universal (6,67.10-11)

MT = masa de la tierra = 5,9.1024 kgRT = radio de la tierra

4. Como las características en sus movimientos tanto en el MVCL y MRUV son equivalentes, las ecuaciones o fórmulas y los gráficos también lo son.

OSEA:

MRUV MVCL

Vf = Vi at Vf = Vi at

V = V 2ad V = V 2gH

d = Vit at² H = Vit gt²

d = t H = t

gLuna =

gSol = 28 gTierra

g = G

g

H t

Vf

Vi

V0

Vf = 0MVCL

Vi

d

Vf

a

t

MRUV


1. La altura máxima que alcanza un proyectil lanzado verticalmente vertical hacia arriba es de 320 m. ¿Durante cuánto tiempo permanece dicho proyectil en el aire? (g =10 m/s2)a) 8 s b) 10 s c) 12 sd) 16 s e) 20 s

2. Un objeto lanzado desde el suelo verticalmente hacia arriba, tarda 6 segundos en regresar al suelo. Determinar la altura máxima.(g = 10 m/s²)a) 40 m b) 55 m c) 50 md) 36 m e) 45 m

3. Se lanza un objeto hacia arriba con una velocidad de 10 m/s. después de qué tiempo la velocidad será 30 m/s. (g = 10 m/s²)a) 2 s b) 3 s c) 4 sd) 6 s e) 8 s

4. Un observador situado a 35 m de altura ve pasar un objeto hacia arriba y 6 s después lo ve regresar. ¿Con qué velocidad fue lanzado el objeto desde el piso?(g = 10 m/s²)a) 10 m/s b) 20 m/s c) 30 m/sd) 40 m/s e) 50 m/s

5. Desde la azotea de un edificio de 70 m de altura se lanza hacia arriba un objeto con 20 m/s ¿A qué altura se encontrará el objeto luego de 6 segundos?. (g = 10 m/s²)a) 10 m b) 15 m c) 20 md) 60 m e) 80 m

6. Desde lo alto de una torre de 180 m de altura se lanza un objeto hacia arriba con velocidad de 45 m/s ¿Después de cuánto tiempo dicho objeto llega al piso?. (g = 10 m/s²)a) 3 s b) 4,5 s c) 7 sd) 12 s e) 15 s

7. Marcar verdadero o falso:( ) Si la aceleración de un móvil es vertical

hacia abajo entonces el móvil necesariamente está descendiendo

( ) Es el punto más alto de un movimiento vertical y hacia arriba la aceleración del cuerpo es cero.

( ) Tres móviles sobre una recta vertical caen simultáneamente con igual aceleración. Luego su separación no varía al transcurrir el tiempo

a) VVV b) VVF c) FVFd) FFV e) FFF

8. Se suelta una piedra desde la azotea de un edificio. Una persona en el interior la ve pasar durante 1 s por la ventana. Hallar la altura de la ventana si la distancia desde la azotea al borde superior de la ventana es 5 m. (g = 10 m/s²)a) 12 m b) 16 m c) 15 md) 10 m e) 20 m

9. En la azotea de un edificio de 81 m se halla un suicida. Un grupo de bomberos que poseen una red de salvamento se hallan detenidos a 24 m del edificio. ¿Cuál es la mínima aceleración que deben tener los bomberos para salvar al suicida?(g=10 m/s²)a) 3 m/s² b) 4 m/s² c) 5 m/s²d) 6 m/s² e) 7 m/s²

10. Desde qué altura se debe soltar un cuerpo para que el último segundo de su movimiento recorra los 5/9 de su altura total. (g = 10 m/s²)a) 30 m b) 45 m c) 60 md) 40 m e) 50 m

11. Beto se deja de un trampolín. Si al entrar al agua experimenta una desaceleración de 5 m/s² y a las justas llega al fondo, hallar la altura del trampolín. La piscina tiene una profundidad de 10 m. (g = 10 m/s²)a) 2 m b) 5 m c) 7 md) 8 m e) 9 m

12. Una pelotita es lanzada hacia arriba a razón de 49 m/s. ¿Qué tiempo estuvo, la pelotita, en movimiento?a) 5 s b) 10 s c) 15 sd) 30 s e) 40 s

13. Se deja caer un objeto desde lo alto de un edificio. Cuando pasa junto a una ventana de 2,5 m de altura, por debajo de la azotea del edificio, se observa que el objeto invierte 0,2 s en recorrer la altura de la ventana ¿Qué velocidad llevaba en lo alto de la ventana?. (g = 10 m/s²)a) 13,5 m/s b) 5 m/s c) 16,5 m/sd) 11,5 m/s e) 23 m/s

14. Desde una cierta altura, se deja caer un objeto, tal como se muestra. Hallar V1/V2

a) 1 b) 1/3 c) 2/3d) 3/2 e) 4/9

15. Un astronauta en la Luna, lanzó un objeto verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial de 8 m/s. El objeto tardó 5 s para alcanzar el punto más alto de su trayectoria. La máxima altura que logró alcanzar fue:a) 20 m b) 10 m c) 32 md) 16 m e) 8 m

16. Un suicida se deja caer de la azotea de un edificio de 80 m de altura. Dos segundos más tarde aparece “Superman” ¿Con qué velocidad debe lanzarse Superman para lograr salvar con las justas al suicida?. (g = 10 m/s²)a) 25 m/s b) 22,5 m/s c) 45 m/sd) 30 m/s e) 50 m/s

17. UN globo aerostático sube verticalmente con una velocidad de 30 m/s. El piloto del globo al encontrarse a una altura de 240 m con respecto al suelo, lanza verticalmente hacia abajo un tomate con una velocidad respecto a su mano de 20 m/s. ¿Al cabo de qué tiempo el tomate tocará el suelo?. (g = 10 m/s²)a) 6 s b) 7 s c) 8 sd) 12 s e) 10 s

18. Desde el piso se lanza un proyectil hacia arriba y retorna al punto de lanzamiento, al cabo de 8 segundos. ¿Con qué velocidad retorna al punto de lanzamiento?. (g = 10 m/s²)a) 10 m/s b) 20 m/s c) 30 m/sd) 40 m/s e) 50 m/s

19. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba. Si alcanza una altura de 100 m ¿Con qué velocidad se lanzó?. (g = 10 m/s²)a) 34,7 m/s b) 44,7 m/s c) 54,7 m/sd) 64,7 m/s e) 74,7 m/s

20. Un cuerpo se suelta de una altura de 100 m ¿Con qué velocidad llegará al piso y en qué tiempo?(g = 10 m/s²)a) 20 m/s; s b) 20 m/s; 2 sc) 10 m/s; s d) 5 m/s; 2 se) 2 m/s; 3 s

V = 0

h

4

5h

V1

V2

TAREA

1. Se dispara un proyectil a 60 m/s y dirigido hacia arriba. ¿A qué altura se encontrará al cabo de 4 s?(g = 10 m/s²)a) 45 m b) 55 m c) 65 md) 75 m e) 85 m

2. Se suelta un cuerpo desde cierta altura y cae libremente ¿Cuánto descenderá durante el sexto segundo?. (g = 10 m/s²)a) 1 s b) 2 s c) 3 sd) 4 s e) 5 s

3. La altura máxima alcanzada por un proyectil al ser lanzado verticalmente es 20 m. Si se duplica la velocidad de lanzamiento, ¿qué tiempo emplea en llegar a la altura máxima?. (g = 10 m/s²)a) 1 s b) 2 s c) 3 sd) 4 s e) 5 s

4. Un cuerpo cae libremente y en los 2 s iniciales cae 20 m. ¿En qué tiempo cae los siguientes 60 m?(g = 10 m/s²)a) 1 s b) 2 s c) 4 sd) 6 s e) 8 s

5. Una esfera se deja en libertad desde una altura de 80 m y al rebotar en el piso se eleva sólo hasta la cuarta parte de la altura anterior ¿qué tiempo ha transcurrido hasta que se produce el 3er. impacto?(g = 10 m/s²)a) 4 s b) 6 s c) 8 sd) 9 s e) 10 s

6. Al mismo tiempo que se le lanza una piedra hacia arriba según la vertical con velocidad de 20 m/s, desde un punto situado en la misma vertical y a una altura del 30 m se

deja caer otro cuerpo pesado. Calcúlese el instante en que, los dos cuerpos se encontrarán. Considere (g = 10 m/s²)a) 0,5 s b) 1,0 s c) 1,5 sd) 2,0 s e) 2,5 s

7. Un cuerpo se deja en libertad desde cierta altura y se sabe que en el último segundo de su caída recorre 20 m. ¿Qué velocidad tiene al impactar en el piso?(g = 10 m/s²)a) 15 m/s b) 20 m/s c) 25 m/sd) 30 m/s e) 35 m/s

8. Una pelota cae verticalmente al piso y rebota en él. La velocidad justo antes del choque es V y justo después del choque es 0,9 V. si la pelota se deja caer desde un metro de altura, ¿a qué altura llegará después del primer bote?(g = 10 m/s²)a) 0,90 m b) 1,00 m c) 0,95 md) 0,85 m e) 0,81 m

9. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba con V0 = 30 m/s ¿Al cabo de qué tiempo asciende la última tercera parte de su altura máxima?(g = 10 m/s²)a) 1,21 s b) 1,71 s c) 1,53 sd) 1,73 s e) 1,81 s

10. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de de 10 m/s ¿Al cabo de qué tiempo la pelota poseerá una velocidad de 40 m/s?(g = 10 m/s²)a) 3 s b) 4 s c) 5 sd) 6 s e) Absurdo

MOVIMIENTO PARABÓLICO DE CAÍDA LIBRE (MPCL)

CONCEPTO

Es el movimiento que tiene por trayectoria una parábola el cual es efectuado por los proyectiles sin la resistencia del aire y sólo bajo la acción de la gravedad. Este movimiento resulta de la composición de un MRU horizontal y una caída libre vertical,

MP = MRU(hor) + CL(vert) .

ECUACIONES

(1) d = VH . t(MRU)(2) h = Vi . t g (Caída libre)(3) Vf = Vi gt (Caída libre)(4) = 2gh (Caída libre)

(5) = (Caída libre)

Donde: VH = VCos; VV = VSen -VH : Componente horizontal de V -VV : Componente vertical de V Vi y Vf : Componentes verticales inicial y

final respectivamente(+) : Descenso acelerado( -) : Ascenso retardado

El movimiento parabólico de los proyectiles es un movimiento compuesto por un MRV (horizontal) y una caía libre (vertical).

Hmax : Altura máxima Ahor : Alcance horizontal d : Desplazamiento horizontal h : Desplazamiento vertical

Hmax =

Ahor =

tV =

VH

Hmaxg

Ahor

VH

g

d

d


1. Un proyectil es lanzado como se muestra. Determinar el valor de su velocidad en el punto más alto. (g = 10m/s2)

a) 30m/s b) 40 m/s c) 50m/sd) 60m/s e) 70m/s

2. Del problema anterior hallar el alcance horizontal y la altura máxima. (dar como respuesta la suma de ellas )

a) 240m b) 285m c) 265md) 320m e) 300m

3. Del gráfico mostrado, halle la altura máxima y el tiempo de subida (g =10m/s2 ; V = 100m/s)

a) 120 m y 12 s b) 100 m y 2 sc) 125 m y 5 s d) 125 m y 10 se) 100 m y 5 s

4. Si una pelota es lanzada en la posición con V = 15 m/s impacta en la ventana “A”. Hallar la altura de la ventana (g = m/s2)

a) 2m b) 4m c) 6md) 9m e) 300m

5. El móvil resbala por el plano inclinado y sale por la posición mostrada con V = 10m/s. ¿Al cabo de qué tiempo impactara con el piso? (g = 10m/s2)

a) 4 s b) 6 s c) 8 s d) 10 s e) 12 s

6. Para el gráfico mostrado determinar el tiempo empleado desde “M” hasta “N”, si V = 60m/s (g = 10m/s2)

a) 2 s b) 3 s c) 4 sd) 5 s e) 6 s

7. Hallar el valor de la velocidad con la cual impacta el proyectil sobre el piso, si partió horizontalmente con V=30m/s (g = 10m/s2)

a) 30m/s b) 40m/s c) 30 m/sd) 40 m/s e) 50 m/s

37°

50 m/s

30°

V

53°

18 m

V A

V

32 m

37°

30°

60°

M V

N

V

45 m

8. Hallar la longitud del plano indicado si la pelotita se lanza en forma horizontal con V=20m/s (g = 10m/s2)

a) 20m b) 20 m c) 40 md) 60 m e) 80 m

9. Un cañón dispara un proyectil con un ángulo de elevación de 53° como muestra el diagrama. ¿Luego de qué tiempo impactará?. (g =10m/s2)

a) 1 s b) 2 s c) 3 sd) 4 s e) 5 s

10. Se muestra un avión que desea bombardear un tanque que se mueve en la misma dirección. Si la velocidad del avión es 280m/s y la del tanque es 20m/s, halle la distancia “x”, si en este instante el avión suelta una bomba y logra su objetivo (g = 10m/s2)

a) 2000m b) 800m c) 3000md) 2600m e) 1300m

11. La bolita se lanza en forma horizontal con V = 20m/s. Hallar la longitud del plano inclinado (g =10m/s2)

a) 45m b) 60m c) 75md) 80m e) 100m

12. Se da el gráfico del movimiento parabólico de un proyectil. Hallar la VA y VB.

a) 20m/s; 15m/s b) 12m/s; 16m/sc) 16m/s; 10m/s d) 10m/s; 20m/se) 16m/s; 10m/s

13. Dos proyectiles se lanzan con valores de velocidades iguales V = 20m/s. Hallar (X+Y) (g =10m/s2)

a) 20m b) 25m c) 30md) 40m e) 50m

14. El alcance de una piedra lanzada desde cierto punto es X = 240m y la altura máxima a que se ha elevado es H=45m. Hallar con qué ángulo de elevación es lanzado el proyectila) 30° b) 45° c) 37°d) 53° e) 60°

90 m

50 m/s

H

500 m

x

V

37°

50°

12 m/s

VA

VB

B

Hmax

37°

V

45°

V V

75°15°

90 mx y

15. Hallar x, si V° = 20m/s (g =10m/s2)

a) 5m b) 10m c) 15md) 20m e) 25m

16. Si en el tiro al sapo se hizo con V0 = 5 m/s, tal como se indica en la figura, hallar el tiempo que dura el vuelo (de A a B). Tomar g = 10 m/s².

a) 0,3 s b) 0,4 s c) 0,5 sd) 0,6 s e) 0,7 s

17. ¿Cuánto tiempo tardará la esferita en llegar al piso? (g = 10 m/s²). hallar también “x”.

a) 4 s; 50 m b) 3 s; 120 m c) 2 s; 60 md) 1 s; 70 m e) 9 s; 80 m

18. Si el choque de ambos cuerpos lanzados simultáneamente se produce en la posición mostrada, hallar “” (g = 10 m/s²)

a) 45° b) 37° c) 53°d) 60° e) 30°

19. Hallar el alcance L, si V0 = 40 m/s (g = 10 m/s²)

a) 100 m b) 150 m c) 300 md) 350 m e) 400 m

20. Si V0 = 10 m/s y g = 10 m/s², determinar el alcance (L) a lo largo del plano inclinado(g = 10 m/s²)

a) 10 m b) 15 m c) 20 md) 30 m e) 35 m

V

45 m

50 m

x

37°

50 m/s

°

60 m80 m

B37°

L

AV0

45°

53°

V0

AB

V0

30°

30°

L

37°

V = 50 m/s135 m

50 m

37°

50 m/s

°

60 m80 m

TAREA

1. Calcular “h” y “e”; g = 10 m/s², tiempo de vuelo = 4s


2. Calcular la velocidad del proyectil después de 1 segundo de su lanzamiento (g = 10 m/s²)


3. ¿En cuál de los casos el vuelo parabólico dura más tiempo?

a) 10 m b) 15 m c) 20 md) 30 m e) 35 m

4. Calcular “h” y “e” si el tiempo total de vuelo es de 7 segundos (g = 10 m/s ²)


5. Calcular la altura que asciende y la distancia horizontal que avanza el proyectil después de 1 segundo de su lanzamiento g = 10 m/s²


6. Calcular la velocidad del proyectil cuando esté formando 37° con la horizontal (g = 10 m/s²)


7 m/s

h

e

45°

40m/s

V0

H

I II III IV

37°50 m/s

e

e

53°

x

y

45°

40m/s

7. Considerando que el proyectil hace impacto perpendicularmente con el plano inclinado, determinar el tiempo de vuelo.

a) 1,2 s b) 2,1 s c) 3,1 sd) 4,1 s e) 5,1 s

8. Calcular el ángulo “”

a) 45° b) 37° c) 53°d) 30° e) 60°

9. Calcular y , si - = 30°

a) 30°; 60° b) 37°; 53° c) 45°; 15°d) 37°; 7° e) 53°; 23°

10. Los proyectiles son disparados simultáneamente y chocan en el punto “P”. Calcular el ángulo

a) 45° b) 30° c) 15°d) 60° e) 37°

53° 45°

V0

A

V

B

VV

e

°

x

4x

37°

x°

40 m 30 m

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)

CONCEPTO

Es aquel movimiento cuya trayectoria es una circunferencia, donde el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales y también describen ángulos centrales iguales en tiempos iguales.

El valor de la velocidad en todo momento es constante, pero su

dirección varía

VELOCIDAD TANGENCIAL ( ):

Es aquella velocidad que posee un cuerpo en un tiempo determinado, su dirección es tangente a la trayectoria y en todo momento no cambia el valor.

VELOCIDAD ANGULAR ( ):

Es aquella magnitud física vectorial que expresa la rapidez con la cual un móvil barre un ángulo

central. Su sentido se determina mediante la regla de la mano derecha.

Leyes del MCU

D = Vt Ecuación Lineal

= t Ecuación Angular

OBSERVACIÓN

d = R

: RadR : m; L : m

IMPORTANTE : Vector velocidad tangencial

V : Calor de la velocidad tangencial : Vector velocidad angular

V

V

V

V

V

d

d

d

“Regla de la mano derecha”

R

d

Unidad de V : (m/s) Unidad de : (rad/s)

Periodo (T): Tiempo empleado por el móvil para efectuar una vuelta o revolución.

Frecuencia (f): Magnitud física escalar que indica el número de vueltas (revoluciones) efectuadas por el móvil con MCU en la unidad de tiempo.

Unidad de frecuencia (f)

RPM = 1 RPS = 1 = Hertz

NOTAS:

OBSERVACIÓN Cuando un disco, polea, rueda o engranaje posee un movimiento de rotación uniforme con respecto a un eje perpendicular que pasa por su centro, todos los puntos rotan con la misma velocidad angular.

TRANSMISIÓN DE MOVIMIENTOS

A) Poleas unidas con faja o ruedas en contacto

V1 = V2

aT = Aceleración tangencial

R2R1

21

R1R2

12

B) Poleas con ejes común o solidarias

V1 = V2

= Aceleración angular

V =

ACELERACIÓN CENTRIPETA ( )

Es la aceleración que posee todo cuerpo con movimiento circular, está relacionada tonel cambio de dirección de la velocidad tangencial y está dirigida hacia el centro de la trayectoria circular.

Pero:

En un movimiento curvilineo:

La aceleración normal es perpendicular a la velocidad (V)

aN =

= Radio de curvaturaPROBLEMAS PROPUESTOS

1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda respecto al MCU:( ) Sólo existe una velocidad( ) Período es el tiempo para dar una vuelta

a la circunferencia( ) En tiempos iguales se recorren arcos

igualesa) FVV b) FFF c) FVFd) FFV e) VFV

2. Un cuerpo con MCU gira un ángulo de 270° en 10 segundos. Hallar su velocidad angular a) 0, 2π rad/s b) 0, 4 π rad/s c) 0, 1rad/sd) 2 π rad/s e) 4 π rad/s

3. Una partícula gira con MCU de tal modo que da una vuelta de22 s. Si al recorrer 40cm de arco, emplea 10 s, ¿Cuál es el radio de giro del movimiento? (π = 22/7) a) 10cm b) 12cm c) 14cmd) 16cm e) 18cm

4. Un cuerpo posee una velocidad de10 π rad/s (constante). Hallar el número de vueltas que se da en medio minuto a) 5 b) 150 c) 300d) 50 e) 20

5. Si : A = 12rad/s, hallar VC (RA = 20cm; RB = 8cm; RC = 12cm)

a) 1cm/s b) 2cm/s c) 96cm/sd) 8cm/s e) 12cm/s

6. La figura muestra un péndulo cónico, que gira a razón de 10 rad/s. sabiendo que L = 20cm, = 37°, ¿Cuál es la velocidad tangencial de la masa pendular?

R2

R1

R P

V

aN

V

V

V

V

acp

acp

acp

CBA

a) 0, 6m/s b) 0, 8m/s c) 1m/sd) 1, 2m/s e) 1, 4m/s

7. Un disco de 1 s de periodo de rotación tiene un diámetro de 7cm. ¿Cuál es la velocidad tangencial que poseen los puntos ubicados en su periferia (considerar π 22/7)a) 22cm/s b) 10cm/s c) 12cm/sd) 15cm/s e) 14cm/s

8. Un automóvil ingresa a una pista circular de 10m de radio observándose que respecto del centro de curvatura posee una velocidad angular 2rad/s. ¿Cuál será la lectura del velocímetro en km/h?a) 36 b) 54 c) 72d) 108 e) 80

9. El minutero de un reloj es de 36cm. Hallar la velocidad tangencial de su extremo librea) 2π cm/s b) π/50 cm/s c) 50π cm/sd) π/25 cm/s e) 25π cm/s

10. Un disco gira con una velocidad angular constante. Si los puntos periféricos tienen el tripe de velocidad que aquellos puntos que se encuentran a 5cm más cerca al centro del disco, hallar el radio del discoa) 7, 5cm b) 15cm c) 25cmd) 10cm e) 20cm

11. La velocidad tangencial de una partícula con MCU es de 12m/s. Calcular su aceleración centrípeta si su radio es de 120cma) 240m/s2 b) 120cm/s2 c) 12m/s2

d) 24m/s2 e) 48m/s2

12. Un disco con MCU, gira con 11 RPS. Hallar el número de vueltas que genera en el cuarto segundo de su movimientoa) 11 vueltas b) 22 vueltas c) 11π vueltas d) 22π vueltas e) 32 vueltas

13. El disco mayor gira a razón de 40 RPS. Hallar con qué frecuencia girará el disco de menor radio

a) 120 RPS b) 40 RPS c) 60 RPSd) 240 RPS e) 180 RPS

14. Si el eje que une a los discos A y B giran con = 12rad/s, calcular la velocidad del disco “C”. RA = 2m RB = 3m RC = 4m

a) 12m/s b) 4m/s c) 3m/sd) 36m/s e) 24m/s

15. Si la rueda del radio “2r” gira con velocidad

angular constante de 20 , hallar la

velocidad con la cual asciende el bloque(r = 5cm)

a) 50cm/s b) 60cm/s c) 80cm/sd) 150cm/s e) 100cm/s

L

O

3R

R2

3R

A

B C

4r2r

r

16. Un cuerpo gira con una frecuencia de 20 RPM y su radio es 60cm. ¿Cuál es su velocidad tangencial?

a) m/s b) m/s c) m/s

d) m/s e) πm/s

17. Dos móviles A y B parten tal como se muestran desplazándose con velocidades

angulares de y

respectivamente ¿Después de qué tiempo lo alcanzan?

a) 2s b) 4s c) 6sd) 8s e) 3s

18. Si tiene un disco con un agujero que gira con velocidad angular constante de = 4π

. A partir de la posición mostrada

calcular la distancia de separación entre el agujero y la piedra luego de 2s. (g 0 10m/s2; R =5m)

a) 5m b) 5 m c) 25md) 25 m e) 15m

19. El tronco del cono mostrado esta girando en el eje “y”. Hallar la relación en que se encuentran las velocidades lineales de los puntos A y B, si el periodo de rotación es de 5s.

a) 0, 5 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

B

A

120

R

V1 = 0

25 m

A

B

12 cm

4 cm

20. Si los discos giran tangencialmente, hallar “B” (RA = 6cm; RB = 15cm); A = 10rad/s

a) 1rad/s b) 2rad/s c) 4rad/sd) 8rad/s e) 10rad/s

TAREA

1. Un cuerpo con MCU da 3 vueltas en 1 minuto. Hallar su velocidad angular en rad/sa) π b) 10π c) 6πd) π/10 e)π/6

2. Un cuerpo posee una velocidad constante de 90RPM. Hallar el ángulo que gira en 2sa) 60rad b) 30rad c) 6π radd) 30π rad e) 20πrad

3. Hallar la velocidad angular del minutero de un reloj en rad/s a) π/60 b) π/360 c) π/180d) π/1800 e) π/3600

4. Hallar la velocidad tangencial de la rueda “C” si la velocidad angular de la rueda “A”es 5rad/s. (RA

= 20cm; RB = 10cm; RC

= 5cm)

a) 50cm/s b) 25cm/s c) 100cm/sd) 12, 5cm/s e) 75cm/s

5. Hallar la frecuencia de la rueda “D”, si las poleas están soldadasRC = 3RB; fA = 120RPM

a) 20RPM b) 40RPM c) 60RPMd) 45RPM e) 120RPM

6. Un disco gira con 7π rad/s (constante) durante 10s. Hallar el número de vueltas que genera en ese tiempoa) 35 vueltas b) 70 vueltasc) 25 vueltas d) 15 vueltase) 10 vueltas

7. El periodo de un disco con MCU es de 4 segundos. Hallar su velocidad lineal (tangencial), si su radio es de 10cm a) 5π cm/s b) π cm/s c) 2π cm/sd) 7π cm/s e) 5 cm/s

8. Un disco de 2m de radio gira con una frecuencia de 3RPS. Calcular su aceleración centrípetaa) 72π m/s2 b) 72π2 m/s2

c) 36π2 m/s2 d) 36π m/s2

e) 24π m/s2

9. Calcular la velocidad angular de la rueda “C”, si los discos giran tal como se muestran.A = 12π rad/s RC = 3RB

a) 8πrad/s b) 4πrad/s c) 8rad/sd) 4rad/s e) 7πrad/s

A B

C BA

A

B

D

C

10. Un disco gira a razón de 45 RPM y tiene un radio igual a 15cm. Determinar la velocidad tangencial de un punto que se encuentra a 7cm de borde.

a) 3π cm/s b) 9π cm/s c) 12π cm/sd) 15π cm/s e) 20 cm/s

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (MCUV)

Este movimiento circular presenta las siguientes características

(1) La velocidad angular del móvil experimenta cambios iguales en tiempos iguales, en general los cambios de la velocidad angular (∆) son directamente proporcionales a los tiempos empleados:

∆ =f - o (D. P.) t

= = = constante

Aceleración angular (rad/s2)

La aceleración angular se representa por un vector paralelo a la velocidad angular, de igual sentido si el movimiento es acelerado y de sentido contrario si el movimiento es retardado:

Movimiento Movimiento acelerado retardado

(2) El módulo de la velocidad tangencial experimenta cambios iguales en tiempos iguales, en general, los cambios en módulo de la velocidad tangencial (∆VMOD) Son directamente proporcionales a los tiempos empleados: ∆VMOD (D. P.) t

aT = = =

Const.

Aceleración tangencial (m/s2)La aceleración tangencial es un vector tangente a la trayectoria en cada uno de sus puntos, teniendo el mismo sentido que la velocidad tangencial si el movimiento es acelerado y sentido opuesto si el movimiento es retardado.

(3) Aceleración del movimiento ( ). Determina rapidez con la cual varía la velocidad del móvil, es decir determina que tan rápido cambia el módulo y la dirección del vector velocidad. Luego la aceleración en cualquier instante de tiempo es la resultante de la aceleración centrípeta y aceleración tangencial

= //

= +

a =

(4) Ecuaciones del MCUV

Ecs. Angulares Ecs. Lineales

t = o t V1 = Vo aTt

= ot S = Vot

= = 2aTS

1

Sr

0

Vf = Rf

V0 = R0

O

Movimiento Acelerado

R

VTa

a

Ca

O

= S =

Teniendo además:

S(m) = R(m) (rad)

V(m/s) = R(m) (rad/s)

aT(m/s²) = R(m) (rad/s²)

(+) Velocidad aumenta(-) Velocidad disminuye


1. Un móvil con MCUV parte con una velocidad de 20 rad/s y luego de 8s su velocidad es de 28 rad/s. ¿cuál es su aceleración angular?a) 1 rad/s² b) 2 rad/s² c) 3 rad/sd) 4 rad/s² e) 5 rad/s²

2. Un disco parte con una velocidad de 45 rad/s con una aceleración constante de 3 rad/s² ¿qué ángulo recorrerá en 6 s?a) 116 rad b) 62 rad c) 324 radd) 500 rad e) 409 rad

3. Un disco cuando tiene una velocidad de 9 rad/s desacelera y se defiende en 10 s. Hallar el número de vueltas que realizaa) 20 rev b) 22,5 rev c) 25 revd) 27,5 rev e) 32,5 rev

4. Un disco en 3 s gira un ángulo de 180 rad, siendo 108 rad/s su velocidad angular al cabo de este tiempo. Hallar su aceleración angular constantea) 32 rad/s² b) 64 rad/s² c) 16 rad/s²d) 8 rad/s² e) 42 rad/s²

5. Un punto que gira con MCUV con aceleración angular de 5 rad/s² partió del reposo a los 8 segundos iniciales. Hallar:a) El ángulo descrito, en radianes.b) El número de vueltasa) 320 - 160 b) 160 - 80 c) 160 - 80d) 320 -160 e) 80 - 40

6. Un cuerpo cn MCUV, partió con una velocidad angular de 4 rad/s y una aceleración angular de 3 rad/s² al transcurrir los primeros 6 s. Hallar su velocidad angulara) 660 RPM b) 330 RPM c) 220 RPMd) 110 RPM e) 66 RPM

7. Si una partícula gira con MCUV tarda 8 s en triplicar su velocidad dando 16 vueltas, su velocidad angular al finalizar dicho tiempo es:a) 2 rad/s b) 3 rad/s c) 4 rad/sd) 6 rad/s e) 8 rad/s

8. Un motor que gira a 1800 RPM, se detiene en 20 s una vez desconectando ¿Cuántas vueltas ha dado hasta detenerse?a) 100 b) 200 c) 300d) 400 e) 500

10

O

V1V0

9. Calcular la aceleración angular que tiene un disco, sabiendo que es capaz de triplicar su velocidad luego de realizar 600 vueltas en 20 s.a) rad/s² b) 2 rad/s² c) 3 rad/s²d) 4 rad/s² e) 5 rad/s²

10. Un disco parte del reposo con MCUV posee la velocidad de 10 m/s. Si su aceleración tangencial es de 4 m/s², determine su velocidad al cano de 6 s.a) 2 rad/s² b) 2 rad/s² c) 4 rad/s²d) 5 rad/s² e) 6 rad/s²

11. Una partícula con MCUV posee la velocidad de 10m/s. Si su aceleración tangencial es de 4m/s2, determine su velocidad al cabo de 6s a) 14m/s b) 18m/s c) 24m/sd) 34m/s e) 44m/s

12. Una partícula efectúa un MCUV. Si aumenta su velocidad desde 20m/s hasta 80m/s durante 10s; determine el valor de su aceleración tangencial a) 2m/s² b) 4m/s² c) 6m/s²d) 8m/s² e) 9m/s²

13. En un MCUV, con 3m de radio de giro, hallar la aceleración tangencial sabiendo que en 5s la velocidad angular de rotación aumenta en 20rad/s a) 6m/s² b) 8m/s² c) 12m/s²d) 4m/s² e) 5m/s²

14. Un cuerpo con MCUV parte con una velocidad de 15m/s con una aceleración de 5m/s2 recorriendo un arco de 40m. ¿Cuál es su velocidad final ?a) 25m/s b) 20m/s c) 15m/sd) 1m/s e) 30m/s

15. Un cuerpo comienza un MCUV con una velocidad de 60m/s y luego de 5s ésta disminuye a 20m/s. Si el radio de giro es 4m, determine el valor de la aceleración angulara) 1rad/s² b) 2rad/s² c) 3rad/s²d) 4rad/s² e) 5rad/s²

16. Un cuerpo con MCUV posee cierta velocidad inicial. Si al cabo de 8s su velocidad es 37m/s, determine el valor de su velocidad angular inicial sabiendo que su aceleración es de 4m/s2 y el radio de giro es 5m a) 5rad/s b) 4 rad/s c) 3 rad/sd) 2 rad/s e) 1rad/s

17. Un disco de 300cm de radio, parte del reposo con M. C. U. V. y luego de 16s su velocidad es 20rad/s. ¿Qué arco habrá recorrido en dicho tiempo?a) 160m b) 320m c) 480md) 600m e) 80m

18. Un cuerpo con MCUV triplica el valor de su velocidad tangencial durante un lapso de 10s. Si el valor de su aceleración tangencial es 6m/s2, determine su rapidez inicial a) 10m/s b) 20m/s c) 30m/sd) 40m/s e) 50m/s

19. Un disco con MCUV posee una velocidad de 4,3m/s y luego de recorrer un arco de 12m su velocidad es 7,7m/s. Entonces el tiempo transcurrido es:a) 1s b) 3s c) 5sd) 2s e) 4s

20. Una particular con MCUV posee una velocidad tangencial de 75m/s sis u aceleración es 7m/s2 entonces luego de 10s su velocidad angular será : (R =5m)a) 12rad/s b) 29rad/s c) 17rad/sd) 20rad/s e) 19rad/s

TAREA

1. Un móvil con M. C. U. V. parte con una velocidad de 20rad/s y luego de 4s su velocidad es de 8rad/s. ¿Cuál es su aceleración angular?a) 1rad/s² b) 2rad/s² c) 3rad/s²d) 4rad/s² e) 5rad/s²

2. Una rueda parte del reposo y al cabo de 2π rad alcanza una velocidad angular de 2π rad/s. Hallar su aceleración angular en rad/s2

a) 10π b) 20π c) 30πd) 40π e) 50π

3. Calcular el ángulo central barrido por un proyectil al cabo de 3 s de haber indicado su movimiento circular con una aceleración constante de 4 rad/s².a) 10π rad b) 18π rad c) 20π radd) 22π rad e) 24π rad

4. Un ventilador está girando a 100 RPS se desconecta y se detiene en 20 s. ¿cuántas vueltas dio hasta detenerse.a) 400 b) 500 c) 600d) 800 e) 1000

5. Una rueda parte del reposo y al finalizar la quinta vuelta su velocidad es 10 rad/s. ¿Cuál es su aceleración?a) 5π rad/s² b) 4π rad/s² c) 2π rad/s²d) 0,5π rad/s² e) N.A.

6. Una partícula que se mueve con MCUV con velocidad angular de 10 rad/s va aumentando uniformemente debido a una aceleración de 4 rad/s². ¿Al cabo de qué tiempo la partícula habrá recorrido 48 rad?a) 1 s b) 2 s c) 3 sd) 4 s e) 5 s

7. Una partícula parte del reposo y adquiere un MCUV acelerando a 4 m/s. Determinar cuánto recorre y qué velocidad final adquiere al cabo de 6 s.a) 36 m; 48 m/s b) 72 m; 28 m/sc) 72 m; 48 m/s d) 72 m; 12 m/se) 36 m; 12 m/s

8. Una partícula con MCUV describe una circunferencia de 20 cm de radio y posee una aceleración angular de 0,5 rad/s². Determine el valor de su aceleracióna) 50 cm/s² b) 40 cm/² c) 30 cm/s²d) 20 cm/s² e) 10 cm/s²

9. Un disco de 300 cm de radio parte del reposo con MCUV y luego de 16 s su velocidad es 20 rad/s ¿qué arco habrá recorrido en dicho tiempo?a) 160 m b) 320 m c) 480 md) 600 m e) 80 m

10. Un ciclista corre por un velódromo con MCUV de tal modo que al cabo de 5 s su velocidad lineal es de 1/ m/s. se observa también que durante dicho tiempo el ciclista logró girar un ángulo central de 2 rad/s, siendo el radio de la pista igual a 25 m. calcular la velocidad lineal que tenía al iniciar su movimientoa) 5 m/s b) 10 m/s c) 15 m/sd) 20 ms e) 25 m/s

ESTÁTICA: PRIMERA CONDICION DE EQUILIBRIO

INTRODUCCIÓN

La mecánica clásica se basa en tres leyes fundamentales que expresó por primera vez Sir Isaac Newton en 1686, en sus Philosaphie Naturales Principia Matematica (los Fundamentos Matemáticos de la Ciencia de la Naturaleza). No debe creerse, sin embargo, que la mecánica como ciencia, comenzó con Newton. Muchos le habían precedido en estos estudios, siendo quizás el más destacado Galileo Galilei, quien en sus trabajos sobre el movimiento acelerado había establecido una gran parte de los fundamentos utilizados por Newton para la formulación de sus tres leyes.

Las leyes de Newton no pueden reducirse matemáticamente de ninguna manera, son generalizaciones de observaciones experimentales del movimiento real de los cuerpos materiales y de cómo las fuerzas aplicadas afectan a esos movimientos. En consecuencia, son leyes naturales que describen el comportamiento del mundo externo.

En este capítulo sólo utilizaremos la Primera y Tercera Ley de Newton. La Segunda Ley se estudiará en Dinámica.

CONCEPTO:

Es la parte de la mecánica que se encarga de estudiar a los cuerpos que se encuentran en equilibrio.

EQUILIBRIO

Un cuerpo se encuentra en equilibrio cuando no tiene aceleración, por lo tanto sólo hay 2 posibilidades: está en reposo o se mueve en línea recta con velocidad constante.

Equilibrio : a = 0

FUERZA ( )

Cuando suspendemos un cuerpo, golpeamos un clavo, estiramos o comprimimos un resorte, empujamos un automóvil o limpiamos una ventana de vidrio, decimos que estamos interaccionando; la interacción es pues jalar o empujar los demás cuerpos, entonces:

La fuerza es la medida de la interacción que se manifiesta entre dos cuerpos

Cabe recalcar que esta interacción puede ser por contacto o a distancia.

Su unidad en el S.I. es: ……………………..

MEDICIÓN ESTÁTICA DE LA FUERZA

Consideremos el resorte en espiral de longitud (L) que se muestra en la figura, en el extremo de este resorte apliquemos una fuerza (F) vertical hacia abajo, observaremos un aumento (x) en la longitud directamente proporcional a la fuerza aplicada.

Robert Hooke fue el primero que estableció una relación mediante el invento de un resorte compensador para un reloj.La ley de Hooke se escribe como:

F = Kx

F : Fuerza deformadora

L

x

F

K : Constante de rigidez (Depende del tipo de material)

x : ElongaciónL : Longitud natural (sin deformar)

NATURALEZA DE LAS FUERZAS

Todas las interacciones se agrupan en tres tipos de fuerzas:

1. FUERZA GRAVITACIONALEs la fuerza de atracción entre dos cuerpos debido a sus respectivas masas, esta fuerza es muy débil, y para sentir su efecto es necesario que por lo menos uno de los cuerpos tenga una masa muy grande como la del Sol o de los planetas.

EL PESO: De los cuerpos ( ) es una fuerza gravitacional y se debe a que la masa de la tierra (M) atrae la masa (m) de los cuerpos.

W = mg .

W : Peso del cuerpom : masa del cuerpog : aceleración de la gravedad

El peso es un vector que siempre apunta hacia el centro de la Tierra y puede variar de un lugar a otro ya que depende de la aceleración de la gravedad (g).

2. FUERZA ELECTORMAGNÉTICA

Se descompone en:

FUERZA ELÉCTRICA: Es la fuerza de atracción o repulsión entre dos cuerpos

debido a que ambos poseen cargas eléctricas.

FUERZA MAGNÉTICA: Es una fuerza adicional a la fuerza eléctrica cuando las cargas eléctricas están en movimiento.

3. FUERZAS NUCLEARESSon fuerzas que aparecen cuando la distancia entre los cuerpos es menos que 10-15 m y desaparecen cuando esta distancia aumenta, luego son fuerzas de corto rango.Estas fuerzas explican porque las partículas dentro del núcleo del átomo se mantienen unidas.

Todas las diferentes fuerzas que se manifiestan en la naturaleza son de origen gravitacional, electromagnético o nuclear.

FUERZAS USUALES USADAS EN ESTADÍSTICA

1. TENSIÓN (T) EN UNA CUERDA

Tomemos una cuerda fija en el punto B y jalada desde el otro extremo A mediante una fuerza F.

Debido a la fuerza F las moléculas de la cuerda se separan.

Para contrarrestar esta separación molecular aparece una fuerza de restitución, llamada TENSIÓN (T) la cual se opone a la fuerza exterior F.

Separando imaginariamente la porción MA de la cuerda observamos que la Tensión (T) se opone a la fuerza

B M A F

T M A F

Corteimaginario

exterior F, ya que en el punto M las moléculas se separan.

2. COMPRESIÓN (C) EN UNA BARRA:

Tomemos una barra apoya en el punto B y en el otro extremo A apliquemos una fuerza F que comprime la barra.

Debido a la fuerza F las moléculas de la barra se acercan

Para contrarrestar este acercamiento molecular aparece una fuerza de restitución, llamada COMPRESIÓN (C) la cual se opone a la fuerza exterior F.

Separando imaginariamente una porción MA de la barra observamos que la fuerza exterior F, por que en el punto M las moléculas se acercan.

3. FUERZA NORMAL (N)Consideremos un cuerpo sobre una superficie plana

Debido al contacto las moléculas inferiores del cuerpo se comprimen (acercan).

En el contacto aparece una fuerza NORMAL (N) para contrarrestar el acercamiento molecular.

Separando imaginariamente el cuerpo de la superficie plana representamos la fuerza normal (N) la cual siempre ingresa al cuerpo en forma perpendicular al contacto.

Las fuerzas de tensión /T), compresión (C) normal (N) son moleculares y por tanto de naturaleza electromagnética

LEYES DE NEWTON

1RA LEY (LEY DE LA INERCIA)

La primera ley de Newton o ley de la inercia fue enunciada en el año 1787 y establece que:

Todo cuerpo continúa en su estado de REPOSO o de movimiento a velocidad CONSTANTE mientras que sobre el cuerpo no actúe una fuerza resultante EXTERIOR que lo obligue a cambiar de velocidad.

La tendencia que tiene un cuerpo de mantener su estado de reposo o de movimiento a velocidad constante se llama INERCIA.

INTERPRETACIONES DE LA LEY DE LA INERCIA

Ejemplo 01:

Cuando hábilmente el mantel de la mesa observamos que los utensilios (copas, botella, tazón) tienden a permanecer en reposo.

Ejemplo 02:

B M A F

C M A F

Corteimaginario

N

Si un caballo se detiene de golpe, el jinete sale expelido por encima, porque todo cuerpo en movimiento, por inercia, tiende a seguir en movimiento.

Ejemplo 03:Algunas veces si no disminuimos la velocidad del auto, éste puede salirse de la carretera en la curva ya que por laye de la inercia el auto trata de conservar su velocidad constante (en línea recta).

: Velocidad excesiva

3RA LEY (LEY DE LA ACCIÓN Y REACCIÓN)(Tercera Ley de Newton)Descubierta por Isaac Newton y publicada en el mismo año que la ley anterior, establece que:

Siempre que un objeto ejerce una fuerza (ACCIÓN) sobre otro objeto, el segundo ejerce una fuerza igual (REACCIÓN) y opuestas sobre el primero.

La acción y la reacción actúan sobre objetos diferentes. La acción sobre uno de los cuerpos y la reacción sobre el otro cuerpo, por esto nunca se anulan.

INTERPRETACIONES DE LA LEY DE ACCIÓN Y REACCIÓN

Ejemplo 01Cuando un patinador empuja el pasamanos (acción ) éste reacciona y la fuerza de reacción ( ) hace que él se aparte.

Ejemplo 02En el lanzamiento de un cohete, éste ejerce una gran fuerza de acción sobre los gases, para expulsarlos, y los gases ejercen una fuerza igual y opuesta de reacción ( ) sobre el cohete que lo impulsa hacia arriba.

Ejemplo 03Al clavar con un martillo, éste impulsa al clavo, hacia abajo (acción) y el clavo reacciona sobre el martillo deteniéndolo e inclusive hasta hacerlo rebotar.

La acción y reacción actúan en cuerpos diferentes. La acción sobre el clavo y la reacción sobre el martillo.

1RA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO

AF

V

R

A

“Si un cuerpo se encuentra en equilibrio entonces la fuerza resultante que actúa sobre él es igual a cero”.

Si sobre un cuerpo en equilibrio (m) actúan 3 fuerzas, éstas deben ser concurrentes, coplanares o paralelas. Ejemplo:

Para plantear la solución a este problema podemos escoger cualquiera de las tres formas que indicamos a continuación.

1. Por descomposición rectangular: trazando un sistema de coordenadas rectangulares. Se debe cumplir que:

a.

b.

2. Mediante el triángulo de fuerzas, ya que si la resultante es cero, los vectores fuerza deben formar un polígono cerrado.

3. Aplicando el teorema de Lamy

DIAGRAMA DEL CUERPO LIBRE (D.C.L.)Consiste en aislar a un cuerpo y graficar sobre él, primero su peso y luego todas las fuerzas externas que actúan sobre él (tensiones, comprensiones, reacciones, etc)

Ejemplo 1:En el sistema mostrado hallar la tensión en la cuerda y la reacción normal del plano inclinado liso, si el bloque pesa 100N, existe equilibrio.

D.C.L. del bloque

Primera solución Por descomposición rectangular. Ubicando los ejes adecuadamente:

F2

m

F1

F3

30°

P

30° 60°

30°

NT

P = 100 N

F2F1

m

y

x

2F

3F

1F

T – 100 .

T = 50N

Segunda solución:Mediante el triángulo de fuerzas:

P = 100 = 2K

K = 50

Tercera solución:Aplicando el teorema de Lamy:

De(1)

De(2)

Ejemplo 2:El sistema mostrado está en equilibrio. Hallar las reacciones normales si el peso de la esfera homogénea es de 100N y no existe rozamiento.

Primera solución:

30°

yT

xN2

100Sen 30°

100Cos 30°

P = 100NP = 100N

30°

60°

30°60°

N = K 53° PN2

N1

53°

N2

y

x

N1

N1. Cos 53°

N2. Sen 53°

P = 100 NTT

N

P = 100

30°

120°150°

1

2

Reemplazando:

Segunda solución:

Tercera solución:Por el teorema de Lamy

Resolviendo:

53°

37°

100 = P

4.25

N2 = 5.25

N1 = 3.25

53°

127°

143°

N2

N1

P = 100 N


1. Una partícula en equilibrio puede estar en movimiento. ¿De qué tipo?a) No b) Sí rotacionalc) Sí rectilíneo d) Sí, MRUe) Sí MRUV

2. Hallar el DCL correcto del cuerpo mostrado

a) b) c)

d) d)

3. Indicar el diagrama de cuerpo libre (DCL) del cuerpo en equilibrio

a) b) c)

d) e)

4. Si el bloque está en equilibrio y pesa 100N, halle la tensión “T”

a) 50 b) 50N c) 100

d) 100N e) 25N

5. Si los bloques pesan 25N cada uno. Hallar la tensión en las cuerdas A y B

a) 25N y 25N b) 50N y 50Nc) 50N y 0N d) 50N y 25Ne) 500N y 250N

6. Hallar “F” para que el bloque de 600N de peso esté en equilibrio.

a) 200N b) 300N c) 450Nd) 350N e) 500N

7. Calcular el valor de “T” si M = 10Kg

a) 10N b) 49N c) 98N

A

B

37°

F

T

m

45°

T

F

lisa

d) 196N e) 24,5N8. Si el bloque está en equilibrio halle la F y la

reacción del piso W bloque=200N

a) 50;120 b) 40;230 c) 30;150d) 40;170 e) 39;230

9. Si el sistema está en equilibrio y el bloque “A”pesa 600N, hallar la tensión de la cuerda (1)

a) 360N b) 480N c) 600Nd) 800N e) 520N

10. Hallar la reacción del piso; existe equilibrio. Las poleas pesan 10Ncada una (a = 200N) ; (b = 20N)

a) 90N b) 115N c) 130Nd) 65N e) 75N

11. Si el bloque de 50N de peso, se encuentra en equilibrio, hallar el valor de “F”

a) 80N b) 40N c) 160N

d) 16N e) 60N12. Hallar la tensión de la cuerda “A”, si el

peso 15N

a) 30N b) 15 N c) 15Nd) 60N e) 60 N

13. La figura muestra un rodillo de peso 40NDeterminar la deformación del resorte de constante K=100N/m, si el sistema se halla en equilibrio.

a) 0,1m b) 0,2m c) 0,3md) 0,7m e) 0,5m

14. Si el peso de la esfero es 60N, hallar la reacción en A, no existe rozamiento

a) 30N b) 60 N c) 120Nd) 50N e) 80N

15. La barra es homogénea y pesa 8N. Calcular la reacción en la articulación “A”;además AC =4m y BC = 6m

a) 8N b) 6N c) 10N

37°

50 NF

R

37° 53°

(1)

A

A

B

A

B

C

37°80 N

F

30°

A

30°

60°

A

d) 16N e) 4N16. El sistema mostrado se encuentra en

equilibrio; el peso del bloque “Q” es 15N y la barra es de peso despreciable. Hallar la tensión en la cuerda AB; A b = 40cm, AC =60cm.

a) 10N b) 20N c) 30Nd) 50N e) 40N

17. Hallar “T1”, si existe equilibrio:

a) 50N b) 30N c) 10Nd) 40N e) 20N

18. Si los bloques están en reposo y mB=8Kg, la masa “A” es de

a) 8Kg b) 9Kg c) 10Kgd) 11Kg e) 12Kg

19. El sistema mostrado se encuentra en equilibrio. Si el bloque “2”peas 360N y las poleas son de peso despreciable, hallar la masa del bloque “1”(g =10m/s2)

a) 4,5Kg b) 9Kg c) 18Kgd) 27Kg e) 36Kg

20. Determinar la lectura del dinamómetro en ele caso mostrado, si no existe rozamiento ( peso de cada esfera = 50N)

a) 50N b) 75N c) 100Nd) 120N e) Faltan datos

AB

30 cm

45°T1

30 N20 N

AB

53°

1

2

TAREA

1. En el diagrama de cuerpo libre (DCL) indicar el número de fuerzas que actúan sobre B

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Hallar “T1 + T2”( F = 2mg)

a) 4mg b) 3mg c) 2mgd) 7mg e) 9mg

3. En la figura si el bloque pesa 100N, halle T. Las poleas no pesan

a) 20 N b) 40 N c) 60 Nd) 80 N e) 100 N

4. Si las tensiones de las cuerdas A y B son de 14 y de 48 N, determinar el peso del bloque Q para el equilibrio. Dar respuesta en newton.

a) 40 N b) 50 N c) 56 Nd) 44 N e) 60 N

5. El sistema mostrado se encuentra en equilibrio. Hallar el valor de F de tal manera que la reacción en “A” sea cero (Wesfera = 100 N)

a) 50 b) 100 c) 50 d) 200 e) 200

6. Un bloque de 200N de peso, se encuentra en equilibrio, sobre un plano y sostenido por una cuerda. Determine la reacción del plano y la tensión en la cuerda

a) 80 N; 120 N b) 160 N; 120 Nc) 160 N; 40 N d) 100 N; 100 Ne) 120 N; 120 N

7. Calcular las tensiones en los cables sabiendo que W =30 N. las respuestas están en newton

a) 20; 20 b) 10; 10 c) 30; 30d) 40; 40 e) 50; 50

B

A

60°F

A

m

n

(1)

(2)

F

W

Q

BA

37°

Superficie lisa

60°

60°

8. En el sistema en equilibrio los bloques “p” y”Q” pesan 150 N y 55 N respectivamente y cada polea pesa 10 N. Hallar la reacción entre el piso y “P”

a) 15 N b) 20 N c) 35 Nd) 30 N e) 25 N

9. Si la fuerza de reacción del cilindro (1), sobre el cilindro (2)

a) 30 N b) 60 N c) 30 Nd) 60 N e) 15 N

10. Hallar la tensión en la cuerda AB si el peso del bloque es de 49 N

a) 140 N b) 135 N c) 165 Nd) 200 N e) 80 N

37°

53°A

B

P Q

(1)

(2)

(3)

ESTÁTICA: SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO

MOMENTO DE LA FUERZA (M)

Es una magnitud vectorial, donde su módulo indica el grado de giro que produce una fuerza a un cuerpo alrededor de un punto denominado: centro de momentos o centro de giro. La dirección del vector momento es perpendicular al plano formado por el centro del giro y la línea de acción de la fuerza y su sentido se determina mediante la regla de la mano derecha

El momento producido por la fuerza “F” con respecto al punto “o” está dado por:

M = Fd

d = OP = Brazo de palanca F = Fuerza aplicada

CONVENCIÓN DE SIGNOS

* Si el cuerpo gira o intenta girar en sentido horario, debido a una fuerza “F”, se dice que el momento producido por dicha fuerza es negativa

Si el cuerpo o sistema gira o intenta girar en sentido antihorario, debido a una fuerza “F”, se dice que el momento producido por dicha fuerza es : positivo

CASO PARTICULAR:Cuando una fuerza actúa directamente en el centro de momentos o su línea de acción para pos dicho punto, el momento producido por la fuerza cero.

M = 0

EJEMPLO: Determinar el momento producido por cada una de las fuerzas que actúan sobre la lámina cuadrada y el momento resultante con respecto al punto “O”F1 = 50 N; F2 = 20 N; F3 = 70 N; F4 = 141 N;

= ............................................

= ............................................

= ............................................

= ............................................

=..........................................

TEOREMA DE VARIGNON

O d

M

P

F

+

-

A

O

F

F

F

F1

F2 F3

F4O

2 m

2 m

A

“En un siguiente de fuerzas, la suma de momentos producidos por cada una de ellas, es igual al momento producido por la fuerza resultante del sistema”

APLICACIÓNEn el siguiente sistema de fuerzas paralelas, determinar a qué distancia del extremo “A” actúa la fuerza resultante

Cálculo del módulo de la fuerza resultante: (R)R = + 100 – 80 – 20 + 100 R = + 100 N

Cálculo del momento resultante o suma de momentos (MA)

=-(80)(1)-(20)(2) + (100)(3) = +180 N.m

Aplicando el Teorema de Varignon:

donde: R; es la fuerza resultante

+ 180 N.m =(R)(x)+ 180 N.m = 100 N(x)

x = 1,8 m .

P = Punto de aplicación de la fuerza resultante (R)

SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO“Si un cuerpo se encuentra en equilibrio, se cumple que la suma de momento de las fuerzas que actúan sobre él, con respecto a un mismo punto igual a cero”.

NOTA: Para que un cuerpo se encuentre en equilibrio es necesario que cumpla con las 2 condiciones de equilibrio.

APLICACIÓNDeterminar el peso que debe tener la persona sentada en el extremo derecho, para que el sistema pueda estar en equilibrio. Además la persona sentada en el extremo izquierdo pesa 540 N(No considere el peso de la barra AB)AO = 1,2 m; OB = 1,8 m

Resolución:

Grafiquemos el diagrama de cuerpo libre de AB

Aplicando la segunda condición de equilibrio con respecto al punto “O” :

= 0 = +(540 N) (AO) – (WB)(OB) = 0

(540 N)(1,2 m) = WB(1,8 m) WB = 360N

CUPLA O PAR DE FUERZASEs un sistema de 2 fuerzas paralelas; iguales en módulos y dirigidas en sentido contrario, cuando una cupla actúa sobre un cuerpo trata de proporcionarle cierto movimiento giratorio.

OA B

O

R

540 N WB

A BR R

F

Fd

100 N100 N

80 N 20 N

1 m 1 m 1 mA B

A BA P

R = 100

Mcupla = F . d .PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Calcular el momento de la fuerza (F = 20 N) respecto al punto “Q”

a) 100 N.m b) -100 N.m c) Cerod) 50 N.m e) -50 N.m

2. Calcular el momento de la fuerza (F = 10 N) respecto al punto “Q”

a) 10 N b) 20 N c) 30 Nd) 40 N e) 50 N

3. Determine el momento fuerza, respecto al punto “A”

a) 30 N.m b) 20 N.m c) 10 N.md) 40 N.m e) 50 N.m

4. Determine el momento fuerza respecto al punto “A”

a) -16 N.m b) -24 N.m c) -32 N.md) -64 N.m e) -60 N.m

5. Hallar el momento resultante de las fuerzas mostradas con respecto a “O”

a) -2 N.m b) 2 N.m c) 6 N.md) -6 N.m e) 6 N.m

6. La barra es de peso depreciable y permanece horizontal y en equilibrio. Hallar la tensión “T”

a) 12 N b) 18 N c) 10 Nd) 6 N e) 22 N

7. Calcular la fuerza “F” para que la barra de 200 N de peso, permanezca en equilibrio.

a) 40 N b) 80 N c) 100 Nd) 20 N e) 10 N

O

5 m

F = 20 N

A

O

5 m

F = 10 N

A

53°

F = 10 N

A60°

2 m

F = 20 N

A

37°

O

3 m

6 N

3 m4 N

20 N

12 N

30°

6 m3 m

T

37°

F

8. Calcular “N” para que exista equilibrio. La barra pesa 24 N.

a) 12 N b) 6 N c) 48 Nd) 54 N e) 7 N

9. Hallar las reacciones en los apoyos A y B si la barra horizontal están en equilibrio y es de peso depreciable.

a) 20 N; 120 N b) 30 N; 60 Nc) 40 N; 60 N d) 50 N; 100 Ne) 30 n; 80 N

10. Dos personas llevan una carga en una varilla rígida y sin peso. La longitud de la varilla es de 3m. ¿En qué punto estará situada la carga, si el esfuerzo de una de las personas es el doble que el de la otra?

a) 2 m b) 1 m c) 0,5 md) 2,5 m e) 1,5 m

11. La barra no pesa. Calcular el peso del bloque B para que la barra permanezca horizontal.

a) 5 N b) 10 N c) 12 Nd) 25 N e) 15 N

12. Hallar la tensión en el cable para que la barra homogénea y uniforme de 75 N de peso se encuentre en equilibrio.

a) 100 N b) 75 N c) 50 Nd) 150 N e) 300 N

13. Hallar el peso del bloque para el equilibrio si el peso de la barra homogénea y uniforme es 50 N.

a) 25 N b) 75 N c) 50 Nd) 100 N e) 300 N

14. Hallar las tensiones en las cuerdas A y B si la barra es homogénea y uniforme de 100 N de peso y Q = 60 N.


15. Hallar “” para el equilibrio de la barra de 240 N de peso W = 90 N

a) 37° b) 53° c) 60°d) 45° e) 30°

W

BA

6 m 1 m 1 m

A

x = ?

W

B

30 N

4 m2 m

30°

6 m 2 m

1 m 4 m 1 m

A B

16. Encuentre “F” para mantener horizontalmente una barra homogénea de 20 N de peso

a) 14 N b) 15 N c) 16 Nd) 14 N e) 18 N

17. Una placa homogénea descansa sobre dos muelles elásticos, encuentre K1/K2

conociéndose que los muelles están igualmente deformados

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4d) 2/3 e) 3/4

18. Una escuadra de peso despreciable se arregla del modo siguiente, en su extremo cuelga un peso de 10 N y una cuerda sujeta la estructura a 4 m del piso, encuentre la reacción en el pivote.

a) 2 N b) 3 N c) 4 Nd) 5 N e) 6 N

19. El sistema físico mostrado en la figura se encuentra en equilibro. Si la estructura es de peso despreciable y la esfera A pesa 50 N, hallar la tensión en la cuerda horizontal

.

a) 10 N b) 15 N c) 35 Nd) 20 N e) 25 N

20. La figura muestra una barra AB uniforme y homogénea de 5 newtons de peso y 4 m de longitud. Si la esfera de 10 newtons de peso se encuentra apoyada sobre la barra, hallar la fuerza de reacción entre la barra y la esfera.

a) 2 N b) 3 N c) 4 Nd) 12 N e) 6 N

53°

F

10m 2 m

4 m

2 m

2 m

K1 K2

A

C B

2 m

O

A B

TAREA

1. Calcular F, para que exista equilibrio. La barra no pesa

a) 12 N b) 6 N c) 18 Nd) 21 N e) 24 N

2. Hallar la fuerza “F” para que exista equilibrio. La estructura metálica no pesa.

a) 24 N b) 12 N c) 18 Nd) 6 N e) 3 N

3. Calcular el peso “W” para que exista equilibrio.

a) 80 N b) 40 N c) 120 Nd) 160 N e) 20 N

4. Calcular el peso “W” para que exista equilibrio. La polea pesa 100 N.

a) 200 N b) 50 N c) 250 Nd) 100 N e) 25 N

5. Si la barra homogénea y uniforme pesa 300 N y mide 6m, se encuentra en equilibrio, hallar la tensión de la cuerda A. (WQ 100 N

a) 120 N b) 225 N c) 300 Nd) 185 N e) 275 N

6. Hallar el valor de “F” que permite equilibrio la carga R que pesa 500 N, el peso de la barra es depreciable.

a) 1000 N b) 2500 N c) 1500 Nd) 2000 N e) 3000 N

7. En la figura la barra no uniforme están en posición horizontal suspendida por cables

A

OF 6 N

2 m 4 mr

R

W

1,5m

W

A B

20cm 80cm

F R

2 m

4 m 12 N

F

r

2r

W

50N

53°

LISA

de peso despreciable. Si = 53°, = 37° y L = 50 cm; la posición del centro de gravedad de la barra desde el punto “A” es:

a) 6 cm b) 12 cm c) 15 cmd) 18 cm e) 25 cm

8. El sistema que se muestra está en equilibrio, la barra homogénera tiene 5 m de longitud y cada bloque pesa 50 N. ¿Qué peso tiene la barra? ( = 1 m)

a) 5 N b) 10 N c) 15 Nd) 20 N e) 25 N

9. Hallar la tensión en el cable, si el sistema que se muestra está en equilibrio y la placa homogénea pesa 9 N.

a) 6 N b) 9 N c) 12 Nd) 15 N e) 18 N

10. Las dos barras son idénticas y se encuentran en equilibrio. Si cada barra pesa 50 N. ¿Cuál es el valor de la reacción en la articulación?

a) 25 N b) 25 N c) 25 Nd) 25 N e) 50 N

A L B

P

53° 16°

P

AO

A

R

R

A

45°45°

DINÁMICA LINEAL Y CIRCULAR

DINÁMICAEstudia la dependencia ente el movimiento de los cuerpos materiales y las fuerzas que actúan sobre ellos. El movimiento de un cuerpo dado queda determinado por la naturaleza y disposición de los otros cuerpos que forman su medio ambiente así como por las condiciones iniciales del movimiento.

INERCIA

La comparación de los resultados de la acción de una misma fuerza sobre cuerpos diferentes, conduce a la noción de la inercia de los cuerpos. La experiencia muestra, que en general, si se aplica una misma fuerza a 2 cuerpos distintos en reposo, libres de otras influencias, estos cuerpos durante un mismo intervalo de tiempo recorrerán distancias diferentes y adquirirán distintas velocidades.

La inercia caracteriza la propiedad de los cuerpos materiales de cambiar más rápido o más lentamente la velocidad de su movimiento bajo la acción de las fuerzas aplicadas.

La medida cuantitativa de la inercia de u cuerpo dado, es una magnitud física escalar denominada masa del cuerpo. En mecánica se considera que la masa es una cantidad escalar positiva, y constante para cada cuerpo dado, es decir no depende la velocidad del cuerpo considerado.

SEGUNDA LEY DE NEWTON

Toda fuerza resultante no nula al actuar sobre un cuerpo de masa “m” constante produce una aceleración que posee la misma dirección de la fuerza resultante, siendo su valor directamente proporcional al valor de la fuerza resultante e inversamente proporcional a la masa del cuerpo.

= = m

FUERZA DE GRAVEDAD

Es la fuerza de atracción gravitatoria ejercida sobre un cuerpo por la Tierra.

La fuerza de atracción gravitatoria ejercida sobre un cuerpo por la Tierra es un aspecto de la acción mutua entre la Tierra y el cuerpo.

Esto es, la Tierra atrae los cuerpos y al mismo tiempo el cuerpo atrae la Tierra. La fuerza ejercida sobre la Tierra por el cuerpo tiene igual magnitud y dirección opuesta a la fuerza ejercida sobre el cuerpo por la Tierra.

La fuerza de gravedad (peso) no es una propiedad del cuerpo, si no que depende de su masa y de las características del planeta o del elemento material que ejerce atracción sobre el cuerpo.

APLICACIONES DE LA SEGUNDA LEY DE NEWTON

I. Al movimiento rectilíneo

En este caso se debe tener en cuenta que la aceleración es paralela a la trayectoria rectilínea, por lo que en este caso es recomendable descomponer las fuerzas en una componente paralela y perpendicular a la trayectoria rectilínea, teniéndose.

M0

m

M0

F2

M0

F3

M0

F1

M0

m

M0

=

M0

Fx = ma Fy = 0

II. Al movimiento circular

Para este caso la fuerza resultante se analiza en términos de los siguientes componentes:

A. Componente radial (F ): Llamada También fuerza centrípeta, se obtiene mediante la suma de las componentes radicales de las diferentes fuerzas actuantes y genera a la aceleración contrípeta.

F = Fradial = maC

El papel de la fuerza centrípeta es desviar continuamente el cuerpo del cambio rectilíneo que recorrería por inercia en ausencia de la fuerza actuante.

B. Componente tangencial (F ): Esta componente se obtiene sumando las componentes tangenciales de las diferentes fuerzas actuantes, produciendo la aceleración tangencial.

F = Ftangente = maT

El papel de esta componente tangencial es la de modifica la velocidad, es decir, acelera o retarda le movimiento.

M0

aC

M0

aT

M0

F

M0

F

M0

F

M0

F2

M0

F3

M0

F1

M0

M0

F4M0

x

M0

y


1. Calcular la aceleración. No hay rozamiento

a) 10 m/s² b) 2 m/s² c) 20 m/s²d) 5 m/s² e) 4 m/s²

2. Calcular la aceleración. No hay fricción

a) 1 m/s² b) 2 m/s² c) 2 m/s² d) 2 m/s² e) 0

3. Calcular la aceleración: (g = 10 m/s²)


4. Hallar la aceleración del bloque de 30 kg


5. Hallar F1; si F2 = 40, el bloque de 2 kg sube con aceleración de 1 m/s² (g = 10 m/s²)

a) 42 N b) 60 N c) 40 Nd) 62 N e) 70 N

6. Hallar la reacción entre B y C. No hay rozamiento

a) 8 N b) 12 N c) 10 Nd) 4 N e) 2 N

7. Calcular la aceleración con la cual desciende el bloque (superficie lisa)

a) g b) gCos c) gTgd) gCsc e) gSen

8. Hallar la aceleración con la que sube el bloque de masa, m = 5 kg no hay fricción, g = 10 m/s²


M0

F = 20NM0

2 kg

M0

a

M0

4 kgM0

4 N

M0

2 N

M0

12 N

M0

4 N

M0

3 kg

M0

aM0

53°

M0

F=50 N°

M0

100 N

M0

5 NM0

50 N

M0

37°

M0

37°

M0

F=50 N

M0

m

M0

a

M0

M0

AM0

BV0

Cm0

6 kg m0

3 kg m0

1 kg

M0

20 N

M0

F1

M0

F2

9. Hallar “a” (g = 10 m/s²)


10. En la figura determina la reacción de la pared posterior del coche sobre el carrito de masa “M”. No hay fricción

a) 1 N b) 2 N c) 3 Nd) 4 N e) 5 N

11. Determinar la fuerza centrípeta sobre la esfera mostrada en la figura (m = 5kg; g = 10 m/s²)

a) 50 N b) 40 N c) 30 Nd) 10 N e) 60 N

12. Si una piedra de 7 kg gira describiendo una circunferencia de radio R = 14 m con un periodo de 11s, = 22/7, determinar la fuerza centrípetaa) 30 N b) 16 N c) 32 Nd) 60 N e) 40 N

13. Si la masa de la esfera es de 2 kg, determinar la tensión en la cuerda si la velocidad en A es de 10 m/s

(R = 2m y g = 10 m/s²)

a) 100 N b) 110 N c) 120 Nd) 130 N e) 140 N

14. Si gira en una circunferencia vertical, hallar la aceleración centrípeta en la posición indicada. (m = 5 kg y g = 10 m/s²)


15. Un cuerpo de masa m = 2 kg describe una circunferencia en un plano vertical de radio R = 1m. Hallar la tensión de la cuerda cuando pasa por el punto más bajo de su trayectoria con 6 m/sa) 52 N b) 72 N c) 32 Nd) 92 N e) 60 N

16. Del gráfico, la masa de la esfera es de 5kg, la longitud de la cuerda es de 5 m, la velocidad en A es de 10 m/s. Determinar la tensión en la cuerda (g = 10 m/s

a) 70N b) 50 N c) 40Nd) 30 N e) 20 N

m0

1 kg

m0

10 N

m0

m

m0

37°

m0

A

m0

53°m0

m

m0

80 Nm0

O

m0

4 M

m0

M

M0

5 N

m0

R

m0

Am0

V

m0

10 N

m0

m

17. En una mesa horizontal gira una esfera de 10 kg por medio de una cuerda de 1m de longitud fija un en extremo y con una velocidad angular constante de 5 rad/s ¿Cuál es la tensión que soporta la cuerda?a) 50 N b) 150 N c) 250 Nd) 350 N e) 500 N

18. en la plataforma giratoria mostrada se escogen tres puntos A, B y C al girar la plataforma ¿Cuál de ellos tendrá menor aceleración centrípeta? (O = Centro)

Vista superior

a) A b) B c) Cd) Todos igual e) F.D.

19. Si la partícula “m” gira en un plano horizontal con movimiento uniforme siendo la aceleración centrípeta 3g/4, ¿Cuál es la medida del ángulo “”?

(g = aceleración de la gravedad)

a) 45° b) 60° c) 37°d) 53° e) 30°

20. Determinar la velocidad (en m/s) del bloque si en la posición indicada la reacción del rizo es 26 N. (m = 4kg; R = 2 y g = 10 m/s²)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

mC

CmC

OmC

AmC

B

m0

m0

37°m0

O

m0

Liso

TAREA

1. Calcular la aceleración. No hay rozamiento


2. Calcular la aceleración del bloque. g = 10 m/s²

a) 10 m/s² b) 10 m/s² c) 20 m/s² d) 20 m/s² e) 0

3. La superficie es lisa. Hallar “a”. g = 10 m/s²

a) 5 m/s² b) 10 m/s² c) 15 m/s²d) 2 m/s² e) 0

4. Calcular la fuerza de contacto (reacción) entre los bloque A y B y entre los bloques B y C

a) 48 N; 42 N b) 24 N; 21 Nc) 20 N; 10 N d) 15 N; 12 Ne) 0; 0

5. Calcular “a” y “T” no hay rozamiento (g = 10 m/s²)

a) 6 m/s²; 24 N b) 6m/s²; 48Nc) 2 m/s²; 24 N d) 2 m/s²; 48 Ne) 9,8 m/s²; 0

6. Hallar la aceleración en (g = 10 m/s²)


7. Determinar la fuerza centrípeta que actúa sobre la esfera de masa 5 kg (g = 10 m/s²)

a) 4 N b) 6 N c) 8 Nd) 10 N e) 12 N

M0

60°

M0

F = 8 N

M0

2 kg

M0

60 N

M0

3 kg

M0

30°

M0

a

M0

30°

M0

a

M0

4 kg

M0

6 kg

M0

a

M0

a

M0

T

M0

a

M0

A M0

B V0

C

M0

20 NM0

40 N

M0

6 kgM0

3 kg0

1 kg

M0

38 N

M0

50 N

M0

53°M0

m

8. Un cuerpo se hace girar en un plano vertical mediante una cuerda cuya longitud es “R” ¿Cuál es la mínima velocidad a la que podrá pasar por su parte más alta?a) b) c) d) e)

9. Determinar la fuerza centrípeta de la esfera mostrada, si m = 5 kg y g = 10 m/s²

a) 1 N b) 2 N c) 3 Nd) 4 N e) 5 N

10. Una bolita de 6 kg de masa se encuentra atada a una cuerda de 2 m de longitud y gira en un plano vertical. Si en el instante mostrado su velocidad tangencial es V = 5 m/s ¿Cuál es la tensión en la cuerda? ( = 53°)

a) 100 N b) 111 N c) 120 Nd) 130 N e) N.A.

M0

m

M0

RM0

M0

38 N

M0

RM0

O

M0

mM0

37°

ROZAMIENTO

CONCEPTO

La resistencia que se opone al resbalamiento, o a su tendencia a resbalar, de un cuerpo sobre oro en una fuerza tangente a la superficie de contacto, que recibe el nombre de rozamiento. Las superficies en realidad no son lisas por lo que la reacción de un cuerpo sobre otro no es normal a dicha superficie de contacto. Si se descompone la reacción (F) en dos componentes, una perpendicular (N) y la otra tangente a la superficie de contacto, la componente tangencial (f) a dicha superficie, se denomina fuerza de fricción o rozamiento. En consecuencia, los diagramas del cuerpo libre para problemas donde interviene el rozamiento son los mismos que para aquellos en que intervienen superficies lisas, salvo que ha de incluirse una fuerza de rozamiento tangente a la superficie de contacto.

F =

Se suele hablar de dos tipos de rozamiento:

A. Rozamiento Estático (fs): Cuando no hay movimiento relativo entre los cuerpos en contacto; es decir, cuando ninguno se mueve, o ambos se desplazan como si fueran uno solo, oponiéndose a cualquier intento de movimiento relativo. En este caso la fuerza de rozamiento desarrollada es exactamente suficiente para mantener el reposo relativo con las demás fuerzas que actúan sobre el cuerpo.

Esto implica que la fuerza de rozamiento estático es una fuerza regulable o variable alcanzando un valor máximo o limite, al

cual depende de la normal y de la aspereza de la superficie en contacto, por lo tanto la fuerza de rozamiento estático cumple con:

0 fs f

B. Rozamiento cinético (fk): Se genera cuando los cuerpos en contacto se encuentran en movimiento relativo. La fuerza de rozamiento es constante y prácticamente independiente del valor de la velocidad relativa.

Coeficiente de Rozamiento: Constante experimental que permite comparar las propiedades de rozamiento de pares distintos o iguales de materiales en diferentes condiciones de sus superficies en contacto, y con objeto de calcular la fuerza de rozamiento máxima. El coeficiente de rozamiento estático de 2 superficies cualquiera se define como la razón del rozamiento máximo o límite a la fuerza normal correspondiente:

Donde el rozamiento límite es el rozamiento que existe cuando las superficies están a punto de empezar a moverse la una con respecto a la otra (estado de movimiento inminente)En general, cuando las superficies en contacto se mueven una respecto a la otra, el rozamiento disminuye. En este caso, la razón de la fuerza de rozamiento a la fuerza normal se define como coeficiente de rozamiento cinético.

El valor del coeficiente de rozamiento tiene que determinarse experimentalmente, y es una constante para dos materiales cualquiera

S =

k =

M0

P

M0

W

M0

fM0

FM0

N

determinados, cuando las superficies de contacto están en una condición fijada. No obstante, varía mucho para diferentes condiciones de las superficies y con la naturaleza de los cuerpos en contacto.

Leyes de Rozamiento: Los resultados de un gran número de experiencias sobre el rozamiento en superficies secas, publicadas por C.A: de Coulomb en 1781, proporcionaron las primeras informaciones sobre las leyes del rozamiento, obteniéndose las siguientes leyes:

1. La fuerza máxima de rozamiento que puede producirse es proporcional a la fuerza normal entre las superficies en contacto.

2. Esta fuerza máxima es independiente del tamaño de la superficie de contacto.

3. La fuerza límite de rozamiento estático es mayor que la fuerza de rozamiento cinético, siempre que actúe la misma fuerza normal.

4. El coeficiente de rozamiento cinético es menor que el coeficiente de rozamiento estático.

5. La fuerza de rozamiento cinético es independiente de la velocidad relativa de los cuerpos en contacto.

Ejemplos:1. Hallar la reacción de la superficie áspera

sobre el bloque de peso 80 N, si está a punto e resbalar. s = 0,8

Resolución:

Fx = 0

F = s N

F = N …..(1)

F = N

Fy = 0

F + N = 80 …..(2)

(1) en (2)N = 50 newtonFsmax = s N = 0,8.50 = 40 newton

Luego:

F = F = F = 10 newton

2. Hallar “” máximo para que el cuerpo no resbale sobre el plano inclinado áspero (s = 0,75)

Fx = 0 sN = mgSenFy = 0 N = mgCos

Dividiendo:

s = Tg

= Tg = 37°

M0

37°

M0

37°M0

P=80

M0

y

M0

N

M0

F

M0

F

M0

F

M0

xM0

SN0 =fsmax

M0

N

M0

F

M0

fsmax

M0

M0

mg

M0

mgCos

M0

mgSen

N

yM0

fsmax=SN

También:

Tg =

Tg = s

3. Halla la aceleración del bloque sobre el plano inclinado áspero (k = 0,5, m = 5 kg, g = 10 m/s)

Resolución:

FR = ma

80 - 30 - kN = ma ….. (1)

Fy = 0

N = 40

En (1)

80 - 30 - 0.5.40 = 5a

a = 6 m/s²

N

P=F

F

37°

a

F = 80N

30

M0

F = 80N

N a

kN

37° mg = 50


1. El cuerpo se encuentra en equilibrio estático (reposo). Hallar la fuerza de rozamiento estático

a) 20 N fs b) 20 N c) 10 N fs

d) 10 N fs e) 0

2. En el gráfico el bloque se encuentra en reposo, determinar:A. La fuerza de rozamientoB. La fuerza normal


3. Encontrar el valor de “F” si se sabe que el bloque está a punto de deslizar hacia la derecha(s = 0,5 y g = 10 m/s²)

a) 100 N b) 50 N c) 25 Nd) 125 N e) 0

4. Hallar el valor de “F” sabiendo que el bloque está a punto de deslizar: Si s = 0,2; 0,6 y g = 10 m/s²

a) 40 N b) 41 N c) 42 Nd) 14 N e) 30 N

5. Sobre el bloque mostrado actúa una fuerza F = 150 N. Si dicho cuerpo pesa 200 N y = 0,8 y 0,5 ¿Cuál es el valor de la fuerza de fricción?

a) 150 N b) 15 N c) 250 Nd) 25 N e) 160 N

6. Hallar la aceleración del bloque, si s = 0,5 y g = 10 m/s²


7. Hallar la aceleración del bloque si m = 10 kg; g = 10 m/s²; s = 0,5 y F = 200 N


8. ¿Cuál es la mínima fuerza horizontal (F) necesaria para sacar del reposo a una caja de 10 kg, apoyada sobre una superficie horizontal: cuyo coeficiente estático de fricción es de 0,8? (g = 10 m/s²)

a) 20 N b) 40 N c) 60 Nd) 80 N e) 100 N

M0

F = 20N

12 N5 kg

37°

50 N

12 N5 kg

100N

100N5 kg

15 N

a

m =7 kgF

F

k m

a

F

m0

g

m0

S

9. Si el coeficiente de fricción es de 0,1. hallar la aceleración del sistema (en m/s²)

a) 0,1 b) 0,3 c) 0,5d) 0,7 e) 0,9

10. El cuerpo está a punto de descender (no se mueve, el equilibrio es estático). Hallar el coeficiente de rozamiento estático s entre el cuerpo y la pared (M = 2 kg; g = 10 m/s²)

a) 0,5 b) 0,8 c) 0,9d) 0,1 e) 1

11. Si el cuerpo está a punto de descender, hallar la fuerza de rozamiento estático (fs) (s = 0,5; 0,6; g = 10 m/s²; M = 4 kg)

a) 12 N b) 6 N c) 24 Nd) 10 N e) 0

12. Calcular “a para un bloque que desciende sobre un plano inclinado rugoso

a) g(Sen - Cos) b) gSenc) gCos d) g(Cos - Sene) g

13. Si la masa del bloque es 20 kg, hallar “F” para que el bloque esté a punto de resbalar hacia arriba (g = 10 m/s²)

a) 100 N b) 200 N c) 300 Nd) 400 N e) 500 N

14. Determinar el coeficiente de rozamiento si el bloque está a punto de resbalar

a) 0,7 b) 0,8 c) 0,75d) 0,56 e) 0,25

15. Si el bloque está a punto de resbalar, determinar el peso del bloque C, cuando s

= 0,5; PA = 40 N

a) 15 N b) 20 N c) 25 Nd) 30 N e) 35 N

16. Al intentar mover a un cuerpo mediante una fuerza F no es cierto que:

m0

5 kg

m0

3 kgm0

2 kg

m0

g

m0

Fm0

53°

m0

S = 1/4

37°

mM

m0

40 N

m0

S

m0

fS

m0

37°

m0

S

m0

B

m0

C

m0

A

m0

g

m0

°m0

O m0

0m0

f0

m0

f1

m0

F

m0

fs

m0

fS

m0

fRozamientom0

m

m0

F

m0

fs

60°

f

M

a

m0

°

a) La fuerza estática de fricción (fs) aumenta al aumentar F; en el reposo

b) Mientras no hay movimiento: fs = Fc) La fuerza estática de fricción es máxima

cuando el movimiento es inminented) Para iniciar el movimiento: Fmin = fe) La fuerza estática es proporcional a la

reacción normal en todo momento

17. Hallar la máxima aceleración de M, para que M no resbale sobre el carrito (g = 10 m/s²)


18. Indique con V (Verdadero) o F (Falso) según sea:( ) La fuerza de fricción es tangencialmente

opuesta al movimiento o posible movimiento

( ) La fuerza de fricción (cinética) es proporcional a la reacción normal

( ) El coeficiente de fricción depende de la calidad de las superficies en contacto

a) VVF b) VVV c) VFVd) VFF e) FFF

19. Hallar el máximo valor de la fuerza D de modo que el bloque de masa “m2 no resbale sobre M = 3m = 6 kg. Considere: = 1/4 y g = 10 m/s². La polea es de masa despreciable

a) 10 N b) 15 N c) 20 Nd) 25 N e) 30 N

20. ¿Qué aceleración debe poseer el carrito para que el bloque de masa, m no resbale? Considere = 0,5 y g = 10 m/s²


m0

M

mm0

Fm0

g

m0

= 0,6

m0

M

m0

m

m0

m0

gm0

F

m0

M

m0

m

37°

m0

g

TAREA

1. Si el bloque está en reposo. Hallar la fuerza de rozamiento

a) 10 N b) 20 N c) 30 Nd) 40 N e) 50 N

2. Si el cuerpo está a punto de moverse (reposo) determinar la fuerza de rozamiento estático

a) 14 N b) 38 N c) 23 Nd) 53 N e) 46 N

3. Calcular la aceleración “a”, = 0,5; g = 10 m/s², el bloque se mueve sobre la horizontal

a) 10 m/s² b) 5 m/s² c) 1 m/s²d) 2 m/s² e) 0,5 m/s²

4. Hallar “T” existe equilibrio estático = 0,5; g = 10 m/s²

a) 10 N b) 50 N c) 20 Nd) 100 N e) 30 N

5. Si al cuerpo de masa “m” mostrado se le aplica una fuerza igual a su peso calcular, la aceleración que adquiere si = 0,5

a) g b) g/2 c) g/4d) g/5 e) g/3

6. Hallar el ángulo “” si el bloque está a punto de deslizar = 0,75

a) 30° b) 37° c) 53°d) 60° e) 45°

7. Hallar el valor de “F”, si el bloque de 9 kg está a punto de resbalar hacia abajo (g = 10 m/s²)

a) 180 N b) 90 N c) 20 Nd) 50 N e) 80 N

8. El cuerpo se encuentra en reposo, hallar la fuerza de rozamiento

a) 10 N b) 20 N c) 30 Nd) 40 N e) 50 N

m0

mm0

m0

F = 20N

m0

mm0

17 N

m0

17 N

m0

35 N

m0

2 kgm0

m0

F = 30N

m0

a

m0

°

m0

Mm0

F

m0

“a”

m0

80 N

m0

30 N

m0

T

m0

S = 1/2

m0

8 kg

m0

50 N

m0

37°

9. Determinar el valor del coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano inclinado, sabiendo que ésta baja con velocidad constante

a) 1 b) c) 1d) 2 e) 2

10. Determinar la aceleración del bloque, si k = ½ y g = 10 m/s²


m0

a

m0

°

m0

30°

TRABAJO - POTENCIA

TRABAJO (W)

Magnitud escalar que caracteriza la acción que ejerce la fuerza sobre el cuerpo al comunicarle cierto desplazamiento. El trabajo caracteriza la acción del as fuerzas capaces de modificar el módulo de la velocidad del cuerpo, es decir, que pueden acelerar o retardar el movimiento del cuerpo considerado. Esto implica que sólo pueden realizar trabajo aquellas fuerzas que tengan un componente en la dirección del movimiento, es decir, una componente tangente a la trayectoria en cada uno de sus puntos.El valor del trabajo se calcular conociendo la fuerza y la trayectoria que recorre el cuerpo, teniéndose los siguientes casos básicos:

1. Fuerza constante:

WF = FMd = FdCos

Unidad: joule (J) = N . m

Casos que se pueden presentar:

0° < 90°

WF (+)

90° < 180°

WF (-)

= 90°

WF = 0

2. Fuerza de módulo constante la cual es tangente a la trayectoria en cada uno de sus puntos (espacio recorrido)

WF = FTd

3. Para una fuerza de dirección constante cuyo módulo varía con su posición o distancia (x). En este caso se efectúa la gráfica de la fuerza con respecto a la posición (x), el trabajo está representado por el área encerrada por la gráfica con el eje de la posición entre la posición inicial (x0) y la posición final (x1)

4. Trabajo neto o total: (Wtotal): en general sobre un cuerpo actúan 2 o más fuerzas (sistemas de fuerzas) en este caso se define el trabajo total o neto como la suma algebraica realizados por cada una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Este trabajo es también igual al trabajo realizado por la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo.

m0

°

m0

Fm0

FM

m0

°

m0

Fm0

FM

m0

F

m0m0

m0

°m0

°

m0

Movimiento

m0

FM = FCos

m0

d

m0

d

m0

A

m0

FT

m0

FT

m0

FT

m0

B

m0

F

m0

x0

m0

x1

m0

WF = Áream0

x

m0

F1

m0

F2

m0

F3

Wtotal = + + +

Si el movimiento es acelerado (| |) aumenta): Wtotal (+)Si el movimiento es retardado (| |) disminuye): Wtotal (-)Si el movimiento es uniforme (| |) = constante): Wtotal = 0

TEOREMA DE LA ENERGÍA CINÉTICAEl trabajo realizado por la fuerza resultante (trabajo neto o total) que actúa sobre un cuerpo durante cualquier parte de su movimiento es igual al cambio que experimenta la energía cinética (Ek) del cuerpo durante esa parte de su movimiento.

Wtotal = WF = +

La energía cinética de un cuerpo en un punto del recorrido que realiza está dada por:

TRABAJO DE LA FUERZA DE GRAVEDADLa fuerza de gravedad (peso) realiza un trabajo que posee las siguientes características:

1. El trabajo no depende de la trayectoria recorrida

2. El trabajo es igual al producto del peso con el desplazamiento vertical diferencia de alturas:

Wmg = mg(h0 - h1)

3. Se denomina energía potencial gravitatoria a:

EP = mgh

Con la cual el trabajo del peso se puede expresar como:

Wmg = mg(h0 - h1) = EP - EP

TRABAJO DE LA FUERZA ELÁSTICASe denomina fuerza elástica a la que se genera en un cuerpo deformado y la cual se opone a la deformación, es decir su sentido está que tiende a devolverle al cuerpo su forma o dimensiones originales.

Para el caso de un resorte ideal, el cual presenta las siguientes características:1. Es de masa despreciable2. Cumple la ley de Hooke tanto al ser estirado

o comprimido. Esta ley establece que la

m0

m

m0

V

m0

h0 m0

hm0

hf

m0

mgm0

A

m0

B

m0

m0

V0

m0

FR

m0

Vf

m0

L0

m0

Lf

m0

x

m0

FD

fuerza deformadora (FD) es directamente proporcional a la deformación (x = Lf - L0) del resorte:

K = = Const.

Constante del resorte (N . m-1)

La relación entre la fuerza deformadora (FD) y la fuerza recuperadora elástica (FE) es:

= - WF = WF

Luego de la ley de Hooke obtenemos que FD = Kx, por lo que la gráfica FD – x es una recta. A partir de esta gráfica obtenemos:

Tg = KWF =

Por lo que el trabajo de la fuerza recuperadora elástica es:

WF =

OBSERVACIONES

1. En general el trabajo de una fuerza depende de la trayectoria recorrida, o como el cuerpo o sistema pasa de su posición o estado inicial a su posición o estado final

2. Sólo para el caso de ciertas fuerzas el trabajo de una fuerza constante. A estas fuerzas se denominan fuerzas potenciales o conservativas.

POTENCIA (P)

Magnitud escalar la cual determina la rapidez con la cual se realiza un trabajo. En el caso particular que el trabajo se realice de manera uniforme, es decir, se realizan trabajos iguales en tiempos iguales cualesquiera, la potencia es constante e igual el trabajp realizado en la unidad de tiempo:

P =

Unidad: Watt (W) = J. s-1

m0

Área = WFD

m0

Fx1

m0

Fx0

m0

x0

m0

x1

m0

0

m0

FD

m0

x


1. Determinar el trabajo realizado por F = 500 N al desplazar la masa durante 10s a velocidad constante de 2 m/s

a) 5 kJ b) 8 kJ c) 10 kJd) 1kJ e) 4 kJ

2. Determinar el trabajo realizado por la fuerza “F” desde A hasta B

a) 160 J b) 140 J c) 200 Jd) 240 J e) 400 J

3. El bloque se desplaza de A hacia B. hallar el trabajo de la fuerza F = 8N

a) 48 J b) -48 J c) 24 Jd) 8 J e) 0

4. Hallar el trabajo de la fuerza F = 20N. El bloque se desplaza una distancia de 5 m.

a) 50 J b) -50 J c) 50 Jd) -50 J e) 0

5. Hallar el trabajo mínimo para llevar al bloque hasta una altura h = 10 m; g = 10 m/s²

a) 300 J b) -300 J c) 150 Jd) -150 J e) 30 J

6. Hallar el trabajo total de A hasta B. no existe rozamiento.

a) 400 J b) -400 J c) 200 Jd) 100 J e) -100 J

7. La persona sube su equipaje a velocidad constante hasta el último peldaño. Hallar el

trabajo realizado h = m. El equipaje pesa

200 N.

a) -400 J b) 200 J c) -200 Jd) 400 J e) 100 J

8. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones( ) El trabajo mecánico es una magnitud escalar( ) Siempre que la fuerza y el

desplazamiento forman un ángulo de 0°, el trabajo será nulo

m0

m

m0

F = 500N

m0

53°

m0

F=80N

m0

53°

m0

F=80N

m0

Bm0

A m0

d=5m

m0

60°

m0

F=20N

m0

Movimiento

m0

hm0

F

m0

F

m0

3 kg

m0

F=8Nm0

F=8N

m0

Movimiento

m0

d=6mm0

Am0

B

m0

f=3Nm0

f=3N m0

hm0

hm0

h

m0

2kg

m0

30°m0

A

m0

B

m0

h=5 m

( ) La fuerza de rozamiento no siempre realiza trabajo negativo

a) VVV b) VFV c) FVVd) VVF e) FFF

9. Un bloque es jalado por una fuerza F, paralela a un plano horizontal, pero variable en módulo según la gráfica. Hallar el trabajo realizado por dicha fuerza entre x0 = 0 y x = 10 m

a) 125 J b) 200 J c) 275 Jd) 300 J e) 400 J

10. Determinar el trabajo realizado por la fuerza constante F = 50 N al trasladar a un bloque de A hasta B

a) 120 J b) 150 J c) 175 Jd) 200 J e) 225 J

11. Determinar el trabajo que realiza la fuerza “F” al elevar al bloque de 5 kg hasta una altura de 2m. con una aceleración de 4 m/s² (g = 10 m/s²)

a) 20 J b) 40 J c) 70 Jd) 100 J e) 140 J

12. Si el sistema se mueve a 10m, hacia la derecha, con velocidad constante, entonces, el trabajo realizado por la tensión en el bloque de 2 kg es:

a) 500 J b) -500 J c) 0d) 200 J e) -50 J

13. Hallar el trabajo realizado por la fuerza F = 10 N (horizontal) al trasladarse el bloque de A a B

a) 50 J b) 65 J c) 120 Jd) 130 J e) 150 J

14. Indicar la veracidad (V) o falsedad (F) según corresponda( ) La potencia es la rapidez con que se

realiza un trabajo( ) Si un fuerza levanta a un bloque

(uniformemente) la potencia desarrollada por dicha fuerza es nula

( ) El kilowatt-hora (kW.h) es unidad de potencia

a) FFV b) VVF c) 200 VFVd) VFF e) VVV

15. ¿Qué potencia (en watts) debe desarrollar una grúa para levantar una carga de 100 kg con una rapidez de 3,8 m/s? (g = 10 m/s²)a) 1750 b) 3800 c) 380d) 3.8 e) 38

16. ¿Qué potencia desarrolla un muchacho de 60 kg cuando sube uniformemente las escaleras desde A hasta B, empleando 20s? (g = 10 m/s²)

a) 100 W b) 200 W c) 300 Wd) 400 W e) 600 W

m0

F

m0

A

m0

5mm0

A

m0

B m0

F

m0

°

m0

1 kgm0

2 kg

k = 0,5

m0

30

m0

20

m0

0m0

5m0

10

m0

x(m)

m0

F(N)

m0

10m0

0m0

x

m0

F

B(0;3)

Y,m

m0

0m0

(-4;0)

m0

F

m0

A

m0

16°

m0

(x;m)

m0

A

m0

B

m0

10 m

17. ¿Qué potencia utiliza una máquina cuya eficiencia es del 75% , si absorbe potencia de 6 kW?a) 3,0 kW b) 3,5 kW c) 4,0 kWd) 4,5 kW e) 5,0 kW

18. Un obrero arrastra el bloque durante 10s, mediante una fuerza de 80 N, desde “A” hasta “B” ¿Qué potencia mecánica desarrolla el obrero? = 0

a) 20 W b) 10 W c) 5 Wd) 4 W e) 2 W

19. ¿Qué potencia debe tener el motor de una bomba hidráulica para elevar 6m³ de agua, por cada hora, hasta una altura de 12m? (g = 10 m/s²)a) 100 W b) 150 W c) 200 Wd) 250 W e) 300 W

20. Determinar la eficiencia que debe tener un motor que acciona un ascensor de 500 kg, si en cada minuto eleva una carga de 500 kg a un altura 6m y con rapidez constante, la potencia que recibe es de 2000 W (g = 10 m/s²)a) 50% b) 60% c) 25%d) 80% e) 75%

m0

60°

m0

Am0

Bm0

0,5m

TAREA

1. ¿Cuál es la magnitud del trabajo realizado por la tensión al trasladar la esferita de masa m, desde A hasta B? R = 5; m = 1 kg, g = 10 m/s²

a) Cero b) 20 J c) 50 Jd) 20 J e) 10 J

2. Calcular el trabajo mínimo realizado por la fuerza F, al efectuar un desplazamiento de 10m, sabiendo que la fuerza de fricción fue de 10N

a) 100 J b) 150 J c) 200 Jd) 250 J e) 300 J

3. Calcular el trabajo mínimo, para llevar al bloque de A hasta B. no existe rozamiento

a) 100 J b) 20 J c) 150 Jd) 200 J e) 50 J

4. En la figura la fuerza de reacción entre los bloques vale 20N. Calcular el trabajo que realiza la fuerza “F”. Cuando el sistema se desplaza 6m.

a) 100 J b) 300 J c) 600 Jd) 800 J e) F.D.

5. Determinar el trabajo que se debe realizar para subir el bloque de 1 kg de masa a

velocidad constante hasta una altura de 2m (g = 10 m/s²)

a) 5 J b) 10 J c) 15 Jd) 20 J e) Depende de “”

6. El bloque se desplaza hacia la derecha una distancia de 20 cm. Calcular el trabajo total.

a) 1 kJ b) 10 kJ c) 5 kJd) 50 kJ e) 70 kJ

7. Señale con V (Verdadero) o F (Falso)l, según sea:( ) L eficiencia es una cantidad

adimensional( ) La potencia utilizada por una máquina

siempre es menor que la potencia absorbida por la misma

( ) Nunca la eficiencia de un motor puede ser igual al 100%

a) VFF b) FVV c) VFVd) VVF e) VVV

8. Un bloque de 4 kg encuentra en reposo, se levanta verticalmente con una fuerza de 48 N hasta una altura de 36m ¿Qué potencia desarrolló la fuerza? (g = 10 m/s²)a) 188 W b) 288 W c) 388 Wd) 488 W e) 588 W

9. Un hombre eleva una carga de 40 N, hasta una altura de 3m, empleando 10s. Encontrar la potencia desarrollada a velocidad constantea) 5 W b) 12 W c) 14 Wd) 16 W e) 20 W

10. ¿Cuál es la eficiencia de un motor, si pierde el 25% de su potencia útil?a) 90% b) 85% c) 80%d) 60% e) 75%

m0

40N

m0

30°m0

A

m0

B

m0

5 m

m0

F

m0

2 kg

m0

FA0

Am0

B

m0

10 m

m0

37°m0

Rm0

m

m0

R

m0

B

m0

A

m0

4m

m0

F m0

m

m0

37°m0

60°

m0

20N

m0

5N

m0

ENERGÍA

Se entiende por energía la capacidad o aptitud que tiene un cuerpo para realizar un trabajo. Debido a esto la energía de un cuerpo se medirá por el trabajo que es capaz de efectuar en condiciones determinadas.Si un cuerpo realiza trabaja su contenido energético disminuye en una cantidad equivalente al trabajo efectuado. Por el contrario, si sobre el cuerpo se realiza un trabajo su energía aumenta en la misma cantidad.

El origen de esta aptitud puede ser muy diferente de un cuerpo a otro, por lo que la energía se manifiesta de diferentes maneras a las que se denominan formas de la energía.

En mecánica interesa conocer la posición y rapidez de un cuerpo, por lo que se tienen las siguientes formas de energía mecánica

1. Energía Cinética (Ek):Es la aptitud que tiene un cuerpo para realizar un trabajo en virtud de su velocidad. Se mide por el trabajo que habría que hacer sobre el cuerpo para que adquiera la velocidad que posee, partiendo del reposo.

EK =

2. Energía Potencial (EP):

Es la aptitud que tiene un cuerpo para efectuar un trabajo en virtud de su posición o de su configuración. Se mide por el trabajo que hay que hacer sobre el cuerpo para hacerlo pasar de la posición o configuración tipo (EP = 0) a aquella en la que se encuentra

Casos:

a. Gravitatoria

EP = mgh

b. Elástica

Resorte no deformadoEP = 0

EP =

3. Energía Mecánica (EM)Es la suma de la energía potencial y cinética que posee un cuerpo en un punto del recorrido que realiza.

EM = EP + EK

TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA CINÉTICAEl trabajo neto o total sobre una partícula es igual a la variación de su energía cinética.

Wneto = EK = EK – EK

Wneto = m - m

FUERZAS CONSERVATIVASSon aquellas fuerzas cuyo trabajo entre dos posiciones no depende de la trayectoria seguida por el cuerpo; las principales fuerzas conservativas son el peso (fuerza de gravedad), las fuerzas elásticas, las fuerzas electromagnéticas.

m0

m

m0

m0

h

m0

mg

m0

Nivel de referencia

m0

x

m0

K

FUERZAS NO CONSERVATIVASSon aquellas cuyo trabajo si depende de la trayectoria seguida por el cuerpoEjemplo: La fuerza de rozamiento

TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA MECÁNICALa suma del trabajos de las fuerzas no conservativas que actúan sobre una partícula es igual a la variación de su energía mecánica

EFNC = EM + EM = EM

WFNC = Suma de trabajos de las fuerzas no conservativas

NOTA:

Si WFNC = 0 EM = EM


1. Un cuerpo se suelta desde 100m de altura. Hallar la relación entre sus energías potencial, respecto del piso y cinética, cuando ha recorrido la mitad de dicha alturaa) 1 b) 1/2 c) 1/4d) 2 e) F.D.

2. La energía cinética de un proyectil es de 400 J, si su velocidad se reduce a la mitad entonces su nueva energía cinética es:a) 50 J b) 100 J c) 1600 Jd) 800 J e) 400 J

3. Hallar la energía mecánica del cuerpo “A” respecto del piso (m = 2Kg)

a) 232 J b) 196 J c) 36 Jd) 268 J e) N.A.

4. El bloque de mesa 50kg se encuentra en reposo en un resorte (K = 500 N/m) tal como se muestra. Determinar la energía potencial elástica (g = 10 m/s2)

a) 240 J b) 250 J c) 260 Jd) 270 J e) 280 J

5. Qué velocidad tiene el cuerpo cuando pasa por “B” si parte del reposo en A? No hay rozamiento (g = 10 N/m2)


6. Una esfera de masa “m” se deja caer desde la posición A”. Determina su máxima velocidad si al cuerda tiene 80 cm de longitud (g = 10m/s2)


7. Se tiene un alambre curvo AMB dentro de un cubo como se muestra en la figura. Desde el punto A se deja caer un anillo que se desliza (sin fricción) por el alambre. ¿Con qué velocidad llegará el anillo al punto M?

AnilloM = es el punto mediode

a) b) c)

d) e) 2

8. Si se suelta el bloque en el punto A, calcular su velocidad cuando pasa por el punto B. no existe razonamiento. R = 10 m; g = 1m/s2


9. Un cuerpo posee movimiento rectilíneo y su velocidad es 2 m/s. Una fuerza actúa sobre el cuerpo en el sentido de su velocidad (cuando x = 0, V = 2 m/s) y varía en la forma indicada en el gráfico ¿Cuál será la velocidad cuando x = 12m? (m = 2kg)

m0

10m

m0

V=6 m/sm0

m

m0

R

m0

Rm0

R

m0

B

m0

30°

0 5 12

m0

10

x(m)

F(N)

k

m

A

30 m 10 m

A

I

A

B


10. Se impulsa el bloque de 2 kg con velocidad V = 30 m/s (y el piso es liso). Determinar la máxima deformación del resorte donde K = 200 N/m

a) 1 m b) 2 m c) 6 md) 4 m e) 5 m

11. Un bloque de 1 kg es soltado en la posición mostrada. Si el resorte ideal tiene una constante de 100N/m, determinar la máxima deformación que el bloque origina sobre el resorte (g = 10 m/s²)

a) 1,5 m b) 1 m c) 4/5 md) 3/4 m e) 2/5 m

12. En una figura se muestra un anillo de masa “M” que puede deslizar libremente a través de la varilla. ¿cuánto mide “” para que el anillo partiendo del reposo en “A” llegue a “B” con una velocidad

a) 30° b) 37° c) 45°d) 53° e) 60°

13. Hallar el trabajo de “F” de “A” hasta “B”

a) 32 J b) 64 J c) 416 Jd) 8 J e) F.D.

14. Hallar el trabajo total de A hacia B

a) 0 b) 100 J c) -100 Jd) 10 J e) Falta la masa

15. Una piedra es lanzada sobre una superficie horizontal de hielo con una velocidad de 2 m/s y recorre 20m, hasta detenerse. Hallar el coeficiente en rozamiento entre la piedra y el hielo? (g = 10 m/s²)a) 0,10 b) 0,05 c) 0,08d) 0,04 e) 0,01

16. Un bloque es lanzado sobre una superficie rugosa (=0,5) con una velocidad de 5 m/s. Calcular que distancia recorrerá hasta detenerse (g = 10 m/s²)a) 5 m b) 10 m c) 2,5 md) 1 m e) N.A.

17. Una masa de 3kg se suelta desde una altura de 30m. Si cuando asciende 5m su velocidad vale 5 m/s. Hallar el trabajo desarrollado por la fuerza de fricción del aire en joules (g = 10 m/s²)a) -562,5 b) -112,5 c) -150d) -100 e) -225

18. Un proyectil de 10g de masa que viaja con una rapidez de 300 m/s y penetra 30 cm en un muro de madera, halle la fuerza de resistencia del muro sobre el proyectila) 15.10² N b) 15.10³ N c) 15.104 Nd) 15.105 N e) 15.106 N

KV

m

4 m

m0

R

m0

R

Liso

1kg

Vi=0 8 m/s

F F

A B

A B

F

10 m/s 10 m/s

19. El bloque mostrado de 0,5 kg es desplazado desde A hasta B desarrollándose sobre éste un trabajo neto de +15 J. Considerando que

= 20i (N), hallan el trabajo que desarrolla la fuerza de rozamiento desde A hasta B (g = 10 m/s²)

a) 30 J b) -30 J c) -35 Jd) -20 J e) -50 J

20. Calcular el trabajo que realiza la fuerza “F” para llevar al bloque de 2 kg desde “A” hasta “B”, si partió del reposo en A y llegó a B con 5 m/s. (No hay rozamiento y g = 10 m/s²

a) 140 J b) 145 J c) 148 Jd) 150 J e) 160 J

F

3 m

2 m

A

BRugoso

37°A

B

F

8 m

6 m

TAREA

1. Un cuerpo tiene una masa de 300 y posee una velocidad de 4 m/s. Hallar su energía cinéticaa) 1,2 J b) 2,4 J c) 3,6 Jd) 5 J e) 2 J

2. Hallar la energía potencial respecto de A respecto de B y respecto de C. Dar como respuesta la suma de las tres (m = 1kg) (g = 10 m/s²)

a) 100 J b) 60 J c) 80 Jd) 180 J e) 160 J

3. La energía cinética es de 6 joule y la energía potencial de 4 joule, en el punto A. si la energía cinética en V es de 2 joule, calcular la energía potencial en el punto B. no existe rozamiento

a) 10 J b) -8 J c) -10 Jd) 4 J e) 8 J

4. Hallar la velocidad en “B” si parte del reposo en “A” (g = 10 m/s²)


5. Si se cuadruplica la masa de u cuerpo, ¿Qué nuevo valor deberá poseer la velocidad, para que su energía cinética no varíe?a) Cuadruplicarseb) Duplicarsec) Reducirse a la cuarta parte d) Reducirse a la mitade) No variar

6. La fuerza resultante horizontal que actúa sobre un cuerpo que se desplazada sobre el eje x varía de acuerdo al gráfico. Determine su energía cinética en x = 3m, si en x = 0 tiene 7,5 J de energía cinética

a) 30 J b) 35 J c) 25 Jd) 20 J e) 40 J

7. ¿Qué trabajo neto hay que realizar para que un cuerpo de 10kg de masa aumente su velocidad de 2 m/s a / m/s?a) 280 J b) 300 J c) 350 Jd) 290 J e) 320 J

8. Hallar el trabajo de la fuerza de rozamiento de A hasta B

a) -100 J b) 10 J c) 100 Jd) 50 J e) -50 J

m

2 m

10 m

A

B

C

A

B

1/5 m1kg

F F

A B

10 m/s Vf = 0

0 1 2 3

5

15

x(m)

F(N)

9. Hallar la máxima deformación del resorte, no existe rozamiento. K = 2.104

a) 4 cm b) 4 m c) 2 md) 1 cm e) 10 cm

10. El trabajo total de A hacia B es de 100 J, hallar la velocidad V

a) 10 m/s b) 100 m/s c) 5 m/sd) 50 m/s e) 0

2 kg

K

4 m/s

2 kg

VVi = 0

A B

CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES

INTRUDUCCIÓN

En el capítulo de dinámica hemos explicado el movimiento de los cuerpos utilizando básicamente la 2da. Ley de Newton y en el capítulo de energía usando el principio de la conservación o el teorema de las fuerzas no conservativas. Entonces podemos decir que hasta cierto conservativas. Entonces podemos decir que hasta cierto punto ha sido sencillo tal estudio, pues el número de cuerpos participantes fue muy reducido, pero se presentan interacciones entre dos o más cuerpos debido a colisiones, explosiones, etc. Los conocimientos adquiridos hasta el momento quedan muy limitados debido a la manera compleja que aparecen las fuerzas por lo cual se hace necesario estudiar “nuevas”: magnitudes y principios físicos como son la cantidad de movimiento, el impulso, etc, que veremos a continuación

CANTIDAD DE MOVIMIENTO O MOMEMTUM LINEAL ( )Es una magnitud de tipo vectorial que se calcula como el producto de la masa por la velocidad, su dirección coincide con la velocidad y mide el grado de oposición que presentan los cuerpos contra los agentes externos que pretenden alterar su velocidad y/o masa

= m .

m/skg

kg . m/s

IMPULSO, ÍMPETU O IMPULSIÓN ( , )

Es una magnitud física de tipo vectorial que se calcula como el producto de la fuerza por el

intervalo de tiempo que ella actúa, su dirección coincide con el de la fuerza y nos indica el grado de efectividad que posee una fuerza para cambiarle la velocidad al cuerpo sobre el cual actúa

= . t

sN

N.s

NOTA:Por lo general la fuerza es variable en módulo, por lo cual en la fórmula anterior: va la fuerza media “FM” (valor medio de la fuerza), que produce el mismo impulso que la fuerza variable en el mismo intervalo de tiempo

I = FM . t

I = ÁREA

TEOREMA DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

El impulso que ejerce la fuerza resultante sobre un cuerpo durante cierto intervalo de tiempo, se invierte en cambiarle su cantidad de movimiento

Si: F : Fuerza resultante externa = m

= m . = m .

= t = m - m

= -

m

P V

F

t

AREA

tfti

F

FM

OBSERVACION:Originalmente, newton enuncio su segunda ley en términos de la cantidad de movimiento y fue el quien le dio dicho nombre, el enunciado es el siguiente : “la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento de un cuerpo es proporcional a la fuerza resultante aplicada a el”.

RES = m = RES = m .

RES =

FUERZAS INTERNAS Y EXTERNAS Las fuerzas que actúan en un sistema se pueden clasificar en internas y externas. Si un cuerpo del sistema ejerce una fuerza sobre otro que también pertenezca al sistema, aquella será una fuerza interna. Por otra parte, si la fueraza que actúa sobre un cuerpo del sistema fuese ejercida por un agente que pertenece al sistema, se tratara entonces de una fuerza externa. Por ejemplo, suponga que hubiésemos elegido un sistema de partículas constituido por dos bolas, una blanca y otra roja, en una mesa de billar. Al golpear con el taco la bola externa. Si dicha bola choca con la roja, las fuerzas que una ejercen sobre la otra serán internas. Si la bola blanca hubiese chocado con otra, por ejemplo, una amarilla, la fuerza que recibiría de esta última sería una fuerza externa, pues el sistema está constituido únicamente por las bolas blanca y roja.

OBSERVACIÓN:Las fuerzas internas pueden producir variaciones en las cantidades de movimiento de las partículas de un sistema, pero no producen variación en la cantidad de movimiento total del mismo

Sistema A = - B

Fuerzas internas de acción y reacción, producen impulsos de igual magnitud, pero de sentidos contrarios

CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo o sistema de cuerpos es nula, entonces la cantidad de movimiento total de este cuerpo o sistema se conservará, o sea, se mantendrá constante

Sabemos: = R . t = =

Si: FR = 0 R . t = =

=

En general:

=

OBSERVACIÓN:Debemos indicar que las condiciones para la conservación de la cantidad de movimiento son muchas más amplias que las condiciones para la conservación de la energía mecánica, ésta no varía si sólo actúan fuerzas conservativas. La cantidad de movimiento por otra parte, se conservará aún cuando estén actuando fuerzas disipativas, como la fricción, pues estas fuerzas son internas al sistema

FUERZAS IMPULSIVASCuando estalla una bomba o cuando dos automóviles chocan, así como en algunos otros casos semejantes, aparecen entre los cuerpos fuerzas muy intensas, pero que actúan durante un intervalo de tiempo muy breve. Por ejemplo, cuando un jugador de fútbol patea un balón, la fuerza de interacción entre éste y el pie del jugador es del orden de 104 N y dura casi 0,01 s. estas fuerzas se denominan fuerzas impulsivas. Debemos observar que estas fuerzas, en general, producen enormes aceleraciones en los objetos que actúan, es

B

A

A

B

decir, al ser aplicadas en intervalos de tiempo muy breves, producen variaciones considerables en la velocidad de dichos cuerpos.

CHOQUESUn choque es aquel fenómeno que se produce cuando dos cuerpos interactúan por contacto durante un tiempo muy breve y se originan fuerzas impulsivas o impulsoras variables y muy intensas.En todo choque la cantidad de movimiento permanece constante.

COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN (e)Antes del choque

Después del choque

e =

e = Cada velocidad con signo

Se cumple

OBSERVACIÓN:Para un choque oblicuo las velocidades deben tener la dirección perpendicular a la tangente común en el punto de contacto, es decir, las velocidades se descomponen en las direcciones de las rectas tangente a los cuerpos y perpendicular a la tangente.

CHOQUE ELÁSTICO (E = 1). Se conserva la energía cinética del sistema de cuerpos que

impactan. Además los cuerpos después del choque no quedan deformados.

CHOQUE INELÁSTICO (0 < E < 1). No se conserva la energía cinética del sistema y los cuerpos después del choque quedan deformados.

CHOQUE COMPLETAMENTE INELÁSTICO O PLÁSTICO (e = 0). Tampoco se conserva la energía cinética y los cuerpos después del choque quedan pegados y se mueven juntos con la misma velocidad.

OBSERVACIÓN:En los choques inelásticos y plásticos parte de la energía cinética perdida se utiliza para producir deformaciones o bien se transforma en calor.

CENTRO DE MASACuando tratamos el caso de un cuerpo finito, o sea, un cuerpo que tiene tamaño, hemos supuesto que se puede representar en forma aproximada por una partícula puntual, o que sólo tiene movimiento de traslación. Sin embargo, los cuerpos reales “finitos” pueden experimentar movimiento rotatorio o de otros tipos también. Por ejemplo el movimiento de traslación y rotación.Las observaciones del movimiento de los cuerpos indican de cuando gira un cuerpo, o cuando hay varios cuerpos que se muevan en relación uno con otro, hay un punto que se mueve en la misma trayectoria que seguiría una partícula si se sujetara a la misma fuerza neta. A este punto se le llama centro de masa (cm). El movimiento general de un cuerpo finito, o sistema de cuerpos, se puede definir como la suma del movimiento de traslación del centro de masa y los movimientos rotatorio, vibratorio y de otros tipos con respecto al centro de masa.El movimiento de una clavadista es traslación pura en (a), pero es de traslación y rotación en (b)

VoA

A B

VoB

VfA

A B

VfB

Imaginemos a un sistema por “n” partículas de masas m1, m2, m3, …, mn

(x1, y1) coordenadas de m1

(x2, y2) coordenadas de m2

(xn, yn) coordenadas de mn

=

=

Donde ( ; ) son las coordenadas el centro de masas del sistema de partículas.

OBSERVACIÓN:Para cuerpos no muy grandes el centro de gravedad y el centro de masa coinciden

CENTRO DE MASA Y MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN

La cantidad de movimiento total de un sistema de partículas es igual al producto de la masa total (M) por la velocidad del centro de masa del sistema.

M = m1 + m2 + m3 + … + mn

M =

x1 x2 x2

y1

y2

yn

m2

mn

m1

y

x


1. Indicar verdadero (V) o falso (F):( ) La cantidad de movimiento es una magnitud escalar( ) Si la resultante de fuerzas externas que

actúan sobre un cuerpo es nula, entonces la cantidad de movimiento total se conserva

( ) La cantidad de movimiento no depende de la masa de un cuerpo

a) FFF b) FFF c) VVFd) FVV e) FVV

2. Determinar si es verdadero (V) o Falso (F):( ) Sobre una partícula que tiene un M.C.U.

la cantidad de movimiento podemos afirmar que es constante

( ) El impulso aplicado a un cuerpo puede modificar sólo la dirección de la velocidad y no su rapidez

( ) En un choque elástico (e > 1)a) VFF b) FFF c) VVFd) FVF e) FVV

3. Hallar la energía cinética de un cuerpo de masa “m” que tiene una cantidad de movimiento “P”

a) b) c)

d) e)

4. Suponiendo que los cuerpos forman un sistema, la cantidad de movimiento total del sistema será:

A B C

a) -82 kg.m/s b) 40 kg.m/s c) -30 kg.m/sd) -17 kg.m/s e) Cero

5. Una fuerza de 30N actúa sobre un cuerpo durante 0,05s. Luego el cambio (en kg.m/s) que produce en su cantidad de movimiento será:a) 600 b) 200 c) 60d) 15 e) 1,5

6. Un cuerpo de 4 kg de masa se desplaza rectilíneamente con una velocidad de 4 m/s (). Si luego su velocidad se convierte en 2 m/s (), ¿Cuál será el impulso (en N.s) que recibió?a) 8 () b) 4 () c) Cerod) 4() e) 8 ()

7. Un cuerpo de 10 kg se desplaza rectilíneamente con una velocidad de 6 m/s (hacia e Norte). Si luego su velocidad se convierte en 8 m/s (hacia el Este), ¿Cuál es el impulso (en N.s) que recibió?a) 120 b) 100 c) 80d) 60 e) 20

8. Un cuerpo recibe una fuerza variable durante su movimiento ¿Qué impulso le imprimió esta fuerza durante los 8s de su aplicación?

a) 16 N.s b) 48 N.s c) 72 N.sd) 64 N.s e) 96 N.s

9. Un cañón de 100 kg apoyado sobre una superficie lisa, dispara un proyectil con una velocidad horizontal de 80 m/s. Si la masa del proyectil es de 2 kg ¿cuánto tiempo le tomará al cañón para retroceder 32 m?a) 5 s b) 10 s c) 15 sd) 20 s e) 25 s

2 m/s

4 kg

6 m/s

3 kg

8 m/s

7 kg

12

4

0 8t(s)

F(N)

10. Un niño de 30 kg que corre a una velocidad de 8 m/s salta sobre un patín de 2 kg, el cual se hallaba en reposo sobre una superficie horizontal lisa. Calcular la velocidad que adquiere finalmente el niño sobre su patín?a) 9,0 m/s b) 8,5 m/s c) 8,0 m/sd) 7,5 m/s e) 7,0 m/s

11. Calcular el coeficiente de restitución (e) en la siguiente colisión:

Antes Despuésa) 1/4 b) 1/3 c) 1/2d) 5/8 e) 3/4

12. Calcular el coeficiente de restitución (e) en la siguiente colisión:

Antes Despuésa) 0,5 b) 1 c) 0,4d) 0,2 e) 0,8

13. En el gráfico se muestran 2 esferas antes y después del choque. Hallar la rapidez de la esfera de masa “2m” después del choque, así como el coeficiente de restitución

Antes

Despuésa) 0,5 m/s; 0,5 b) 1 m/s; 0,5 c) 1,5 m/s; 0,8d) 2 m/s; 0,5 e) 0,5 m/s; 1

14. Se muestra la colisión de 2 bolitas idénticas. Encuentre la velocidad “1”, si el choque tiene un coeficiente de restitución de 0,5

Antes Después


15. Dos partículas de 4 kg y 2 kg de una masa respectivamente se desplazan sobre una superficie si rozamiento en sentidos contrarios con velocidades de 10 m/s y 2 m/s respectivamente. Se produce una colisión totalmente inelástica ¿Cuál es la velocidad del conjunto luego del choque?

a) 7,3 m/s b) 6 m/s c) 5 m/sd) 8 m/s e) 3 m/s

16. En la figura M = 9m = 9kg y L = 2m. Si la bolita al ser abandonada en A, al impactar con el péndulo queda adherido a él, hallar la altura h hasta la cual se elevan juntos (en cm).

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

21

6 m/s 3 m/s

21

4 m/s 5 m/s

21

6 m/s 2 m/s

21

3 m/s 5 m/s

2m

V1 = 4 m/s

m

V2 = 6 m/s

2m

u2 = ??

m

u2 = 6 m/s

BA

8 m/s 4 m/s

BA

u1 u2

10 m/s 2 m/s

M

L

V = 0

Am

B

17. Un proyectil que viajaba con V0 = 75 m/s, se fragmenta en m1 = 50g y m2 = 150g. respectivamente, tal como se indica en la figura. Hallar la velocidad V2


18. Una pelota llega frontalmente hacia una pared con una velocidad V1. Encuentre la velocidad con que la pelota rebotará siendo “e” el coeficiente de restitución elástica entre la pelota y la pared

a) V1 b) eV1G c) e²V1

d) V1 e) V1(1 - e)²

19. Una explosión rompe un objeto inicialmente detenido en 3 partes, una de ellas de 2 kg de masa sale disparada con una velocidad de 20 m/s formando un ángulo recto con la pares de 3kg con una velocidad de 10 m/s ¿Cuál es la velocidad del tercer pedazo de la masa de 1kg?a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

20. Una ametralladora dispara balas con un a velocidad de 800 m/s. Las balas tienen una masa de 40 g. Si el tirador soporta una fuerza media de retroceso de 160 N, calcular el número máximo de proyectilesa) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

TAREA

1. Un carrito de 20 kg se mueve con una velocidad de 0,8 ¿qué fuerza será necesaria para detenerlo en 0,2s?a) 80 N b) 20 N c) 50 Nd) 100 N e) 25 N

2. Una pelota de tenis de 50g es lanzada, con una velocidad de 10m/s, contra una raqueta. Si luego sale despedida con la misma rapidez, pero el dirección opuesta, determine la variación de la cantidad de movimiento de la pelotaa) 10 N.s b) 5 N.s c) 1 N.sd) 15 N.s e) 20 N.s

3. Un hombre y un muchacho de 800 N y 400 N, respectivamente, están sobre un piso liso. Si después que se empujan uno al otro el hombre se aleja con una velocidad de 0,5 m/s respecto al piso ¿qué distancia los separa luego de 10 s?a) 7,5 m b) 12 m c) 18 md) 15 m e) 10 m

4. Se suelta una esfera desde una altura de 64 m sobre un plano horizontal. Si el coeficiente de restitución es 0,25; determine hasta qué altura podrá elevarse después del choquea) 1 m b) 2 m c) 3 md) 4 m e) 5 m

53°

37°V0

m1

m2

V1

V2

1V

2V

5. Dos cuerpos m1 = 200 g y m2 = 800 g chocan inelásticamente en O. ¿En qué dirección se mueve el conjunto después del choque? Considere V1 = 10 m/s y V2 = 2,5 m/s

a) 30° b) 37° c) 45°d) 53° e) 60°

6. Formuladas las siguientes proposiciones:( ) Toda fuerza define un impulso sobre un cuerpo( ) El impulso es una cantidad escalar( ) En cada rebote que da una pelota, el piso

ejerce un impulso sobre la pelotaSeñale cuál o cuáles son verdaderas (V) o falsas (F)a) VVF b) VFV c) VVVd) FVV e) FVF

7. Un cuerpo de 10 kg se desplaza (hacia el Oeste) con una velocidad de 4 m/s. Si posteriormente su velocidad cambia a 3 m/s (hacia el Sur), ¿Cuál es el impulso (en N.s) que recibió?a) 70 b) 60 c) 50d) 20 e) 10

8. Dos esferas “A” y “B” con velocidades respectivas de 4 m/s y 3 m/s corresponden a masas de 2kg y 1kg. Si estas chocan opuestamente y en forma frontal, calcule las velocidades de estas esferas instantes después de la colisión inelástica (e = 0,5)a) 1; 2 b) 0,5; 4 c) 1,5: 3d) 1,2; 4,2 e) 2; 3

9. Una esfera de 1 kg de masa se que mueve horizontalmente con una rapidez de 5 m/s, choca con un bloque en reposo de 8 kg. Si la esfera rebota en sentido contrario con uan velocidad de 3 m/s, calcular el coeficiente de restitución

a) 0,7 b) 0,8 c) 0,6d) 1 e) 0

10. Una bala de m = 400g posee una velocidad V0 = 250 m/s impacta contra un bloque de M = 4,6 kg, que se halla en reposo, quedando incrustada en él. ¿Qué distancia avanza el conjunto, si = 0,4? (g = 10 m/s²)

a) 20 m b) 30 m c) 40 md) 50 m e) 10 m

x

yV

V1

V2

0

m1

m2

V1 = 5m/s

g

MV0m

fisica_Iparte (1)

Documents

Transcript of fisica_Iparte (1)