Introducción

Así como vimos el movimiento en caída libre ahora nos toca observar y aprender acerca del movimiento circular, el cual también es llamado movimiento circunferencial, es el que se basa en un eje de giro y radio constante, por lo cual la trayectoria es una circunferencia. Si además, la velocidad de giro es constante (giro ondulatorio), se produce el movimiento circular uniforme, que es un caso particular de movimiento circular, con radio y centro fijos y velocidad angular constante. De esta manera se explican movimientos como el de la tierra alrededor del sol, así como el un cd, etc.

Es importante conocer las ecuaciones correspondientes para el diseño o construcciones de modelos para que puedan ser utilizados en el campo científico.

Desarrollo

Sigue las siguientes instrucciones:

Descarga el video Tren en movimiento circular 4 que se encuentra en el aula virtual.

Utiliza el constructor de modelos de Tracker y describe la posición del tren en términos del tiempo. Considera lo siguiente:

Marca un punto en el tren. La descripción del movimiento será la relativa a este punto.

Usa tu escala adecuadamente para obtener los valores de las posiciones en metros.

Una gráfica de los valores de las posiciones y vs. x te dará la trayectoria del cuerpo.

En una tabla, anota los valores de las posiciones en x y y.

x y x y x y x y21.45 0.564 -21.724 2.951 21.459 -0.472 -21.753 3.17721.34 1.944 -21.766 1.609 21.462 0.747 -21.827 1.983

21.239 2.99 -21.602 0.36 21.387 1.975 -21.817 0.81821.059 4.197 -21.678 -0.953 21.189 3.325 -21.706 -0.586

20.76 5.559 -21.481 -2.164 21.019 4.544 -21.594 -1.92320.378 6.926 -21.227 -3.358 20.716 5.75 -21.246 -3.17319.935 7.983 -20.806 -4.581 20.384 6.95 -20.914 -4.29319.414 9.17 -20.358 -5.783 19.895 8.293 -20.469 -5.48618.806 10.208 -19.782 -6.986 19.297 9.506 -19.92 -6.66618.116 11.245 -19.26 -8.026 18.674 10.547 -19.206 -7.89917.305 12.439 -18.426 -9.1 18.015 11.558 -18.544 -9.03816.499 13.314 -17.658 -10.249 17.243 12.587 -17.839 -10.03615.632 14.168 -16.8 -11.276 16.452 13.61 -16.981 -10.97514.688 15.031 -15.863 -12.149 15.336 14.502 -15.985 -11.97613.541 15.896 -14.948 -12.993 14.356 15.365 -14.942 -12.86512.332 16.751 -13.863 -13.719 13.359 16.208 -13.914 -13.68311.211 17.425 -12.59 -14.563 12.241 16.916 -12.828 -14.41

10.15 18.116 -11.387 -15.26 10.958 17.61 -11.647 -15.2238.897 18.629 -10.179 -15.926 9.66 18.287 -10.196 -15.87.585 19.141 -8.894 -16.44 8.443 18.8 -8.818 -16.4596.161 19.491 -7.495 -16.824 7.257 19.303 -7.517 -16.9544.923 19.834 -6.06 -17.307 5.937 19.658 -6.137 -17.293.578 19.999 -4.639 -17.641 4.532 20.002 -4.91 -17.5082.281 20.02 -3.355 -17.82 3.04 20.007 -3.415 -17.8150.886 20.019 -1.982 -17.991 16.74 13.789 -1.915 -17.978

-0.586 20.02 -0.529 -18.013 15.696 14.662 -0.596 -18.025-2.077 20.029 0.78 -17.768 8.764 19.32 0.69 -17.868-3.378 20.005 2.055 -17.799 7.289 19.832 1.745 -17.832-4.777 19.817 3.49 -17.514 -4.174 20.035 3.194 -17.669-6.086 19.481 5.014 -17.321 -5.544 19.818 4.785 -17.469-7.477 19.139 6.631 -16.971 -6.644 19.495 6.328 -17.128-8.743 18.636 8.06 -16.609 -8.005 19.144 7.587 -16.643-9.878 18.259 9.342 -16.089 -9.285 18.625 9.005 -16.129-11.06 17.752 10.517 -15.583 -10.581 18.113 10.367 -15.6

-12.264 17.07 11.624 -14.922 -11.76 17.578 11.532 -14.928-13.503 16.212 12.723 -14.225 -12.875 16.88 12.669 -14.384-14.533 15.507 13.955 -13.37 -14.025 16.047 13.702 -13.552-15.471 14.669 14.975 -12.53 -15.133 15.182 14.817 -12.687-16.329 13.965 15.867 -11.659 -16.1 14.297 15.88 -11.656-17.242 12.932 16.706 -10.938 -16.897 13.47 16.733 -10.774-18.102 11.765 17.595 -9.751 -17.762 12.586 17.667 -9.716-18.855 10.725 18.438 -8.57 -18.467 11.418 18.517 -8.565-19.512 9.694 19.237 -7.505 -19.318 10.196 19.235 -7.331-20.107 8.627 19.791 -6.471 -19.98 9.156 19.964 -6.12-20.582 7.451 20.253 -5.304 -20.475 7.992 20.384 -4.969-21.018 6.242 20.678 -4.096 -20.918 6.919 20.773 -3.788

-21.3 5.2 21.06 -2.839 -21.261 5.726 21.091 -2.687-21.557 4.031 21.288 -1.654 -21.549 4.507 21.315 -1.325

21.485 -0.006

Una gráfica de los valores de las posiciones y vs. x te dará la trayectoria del cuerpo.

Una gráfica de las posiciones en x y y contra el tiempo será sinusoidal, con amplitud igual al radio de la trayectoria. Obtén el periodo del movimiento del tren de estas gráficas.

Para esto utilizamos la gráfica anterior donde nos muestra que cada ciclo se da cada

Calcula las velocidades en x y y. Al graficar, obtendrás un comportamiento sinusoidal, con amplitudes iguales a la velocidad lineal del tren. Se puede comprobar esta velocidad lineal con la circunferencia de la trayectoria entre el periodo de una revolución.

Calcula y grafica los valores para la aceleración lineal. Las gráficas aceleración vs. tiempo deberían tener amplitudes iguales a la aceleración centrípeta del tren.

Aplica el teorema de Pitágoras a los valores de las posiciones en x y y para obtener el radio de la trayectoria.

Aplicando el teorema de Pitágoras con los valores de X y Y primero se sacó el promedio de las posición y da como resultado

r¿√(x2+ y2)=√.142+.122¿¿=.188m

Para esto necesitaremos calcular el radio del círculo, en este caso usaremos una herramienta llamada cinta métrica del programa Tracker la cual nos da un como resultado un radio de 21.49 cm

Otra forma de saber los radios es agregar al cuadro de datos la columna Radios y nos dará un resultado similar

Nos damos cuenta que los datos varían, esto debido a que la pista del tren no es completamente circular, el dato varía desde los 18.11 cm hasta los 22.5 cm dando un promedio de 20.47 el cual tomaremos por más exacto

r= 20.47 cm

Usa la función tangente inversa para obtener datos del movimiento rotacional. Grafica el ángulo contra el tiempo y de la pendiente obtén la velocidad rotacional del tren.

Velocidad angular

Datos de esa gráfica

t ω t ω0 0 10.01 34.6

0.667 34.9 10.677 36.51.335 37 11.345 38.52.002 38.8 12.012 39.22.669 38.1 12.679 38.23.337 35.9 13.347 35.14.004 33 14.014 32.54.671 31.7 14.681 335.339 33.1 15.349 356.006 36.4 16.016 38.96.673 41.1 16.683 42.97.341 44.5 17.351 43.28.008 42.3 18.018 41.68.675 38.2 18.685 37.89.343 35.7 19.353 0

Aceleración angular

Datos de la gráfica

t α t α0 0 10.01 0.5

0.667 0 10.677 2.71.335 2.7 11.345 2.12.002 0.8 12.012 -0.42.669 -2.1 12.679 -33.337 -3.9 13.347 -4.14.004 -2.9 14.014 -1.54.671 0 14.681 1.65.339 3.6 15.349 4.86.006 5.9 16.016 5.46.673 5.8 16.683 3.37.341 0.7 17.351 -0.98.008 -4.1 18.018 -4.18.675 -5.2 18.685 09.343 -2.5 19.353 0

Si el punto marcado sobre el tren fuera un satélite artificial geoestacionario y el centro del círculo fuera la Tierra, indica el radio de la trayectoria, el periodo del movimiento, la velocidad lineal, la aceleración lineal, la aceleración centrípeta y la velocidad rotacional del satélite.

El radio de la trayectoria rt:

rt=radio tierra+ distancia del satélite a la tierra

El radio de la tierra se suma con la distancia que se quiere poner en órbita el satélitert=6380 km + 300 km= 6680 km

Periodo del movimiento

El periodo es el tiempo en el que se tarda el satélite en dar una vuelta completa a la tierra y se calcula de la siguiente manera:

Determinamos la velocidad

v=√GmTr =√ (6.673 E−11 N m2K g2 )((5.97E24 Kg ))

6.68E3Km=7.72079 E6

ms

T=2πrv

=2π (6.68E3Km )

7720ms

=5346.74 s=90.61min=1horacon30.61 segundos

Velocidad lineal

Ese punto tiene siempre una velocidad lineal que es tangente a la trayectoria. Esa velocidad se llama velocidad tangencial.

Para calcular la velocidad tangencial hacemos: espacio recorrido sobre la circunferencia (o arco recorrido) dividido por el tiempo empleado, que expresamos con la fórmula:

v t=arcot

=θ( rad )r

t pero como

θ(rad )r

t=ω ENTONCES v t=ωr es decir velocidad tangencial es

igual a velocidad angular multiplicada por el radio.

Como la velocidad angular (ω) también se puede calcular en función del periodo (T) con la

fórmula ω=2πT

y la velocidad tangencial siempre está en función del radio, entonces la

fórmula v t=ωr y nos queda v t=2πrT

que nos dice que la velocidad tangencial es igual a 2

pi multiplicado por el radio (r) y dividido por el periodo (T).

Sustituyendo:

v t=2πrT

=2 π (6680km)/5346.74 s=7.8499556768Km /s

Aceleración lineal

En este punto tiene siempre una velocidad variada que es tangente a la trayectoria. Esa variación de velocidad se llama aceleración tangencial.

Es la aceleración que representa un cambio en la velocidad lineal, y se expresa con la fórmula

a t=αr

Donde

α = Aceleración angular en rad/s2

r = Radio de la circunferencia en metros (m)

Entonces, la aceleración tangencial es igual al producto de la aceleración angular por el radio.

Aceleración angular

Tal como el movimiento lineal o rectilíneo, el movimiento circular puede ser uniforme o acelerado. La rapidez de rotación puede aumentar o disminuir bajo la influencia de un momento de torsión resultante.

La aceleración angular (α) se define como la variación de la velocidad angular con respecto al tiempo y está dada por:

α=w f−wit

Donde:

α = aceleración angular final en rad/ s2

ωf = velocidad angular final en rad/s

ωi = velocidad angular inicial en rad/s

t = tiempo transcurrido en seg

Una forma más útil de la ecuación anterior es:

ωf = ωi + α t

La velocidad angular (ω) es igual al ángulo recorrido dividido por el tiempo empleado. Cuando el tiempo empleado sea justo un período (T), el ángulo recorrido será 2 pi (igual a una vuelta).

Entonces podemos calcular la velocidad angular (ω) como:

Pero como T=1f

, esta misma fórmula se puede poner como:

ω=2πF=2π /5346.74 s=1.175143229E−03 rad /s

At=at=αr=(ωt ∗r )=( vtrt )∗r=( vtr∗t )∗r=( vtt )=(7.8499556768Km /s) /5346.74 s=1.477454988E-3km /s2

Aceleración centrípeta

ac=ω2∗r=(( 2π5346.74 s )

2

∗6680km)=9.224823543km / s2

Velocidad Angular

Para que un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular. La velocidad tangencial de cualquier punto es proporcional a su distancia del eje de rotación. Las unidades de velocidad angular son los radianes/segundo. La velocidad angular es la tasa de variación del desplazamiento angular y puede ser descrito por la relación

La velocidad angular puede ser considerada como una magnitud vectorial, con dirección a lo largo del eje de rotación y sentido dirigido

por la regla de la mano derecha.

Vector de Velocidad Angular

v=ω∗r=(1.175143229 E−03 rads )∗6680km=7.84995677km /s

Conclusiones

Aprendimos acerca de sistemas de partículas o de una sola partícula donde podemos conocer todos sus datos como la velocidad que tiene, la aceleración y posición con las fórmulas que se presentaron anteriormente, esto nos puede servir para poder solucionar problemas donde aplique el movimiento circular, ya sea en la vida cotidiana, en el trabajo o problemas escolares.