Flujo irrotacional ideal

Capıtulo 5

Flujo irrotacional ideal

A pesar de que las ecuaciones de conservacion para un fluido newtonianoexisten y que el sistema es cerrado (mismo numero de ecuaciones que deincognitas), su uso es limitado. Solo en casos especiales este conjunto deecuaciones se puede resolver.

Un caso simplificado, el cual se puede resolver analıticamente, es el delfluido inviscido. Si suponemos que los efectos viscosos no son importantes,la complejidad de las ecuaciones se reduce considerablemente y se puedenencontrar soluciones a flujos complicados. Sin embargo, las soluciones quese obtienen se deben utilizar con reservas en el contexto de aplicaciones deingenierıa: suponer que las viscosidad es zero tiene implicaciones fısicas con-siderables.

En este capıtulo se vera la teorıa general del flujo no viscoso.MMFM:dynamics:Potential flow

5.1. Ecuaciones de Euler

La ecuacion que gobierna el movimiento del flujo no viscoso se obtienedirectamente de las ecuaciones de Navier-Stokes. Simplemente se supone quela viscosidad es cero (µ = 0); ası, el termino que tiene el laplaciano de lavelocidad desaparece:

ρ

(∂~v

+~v∇~v

)

= −∇P + ρ~g (5.1)

En este caso, el cambio de momentum en el fluido es resultado unicamentede dos tipos de fuerzas: fuerzas de presion y fuerzas gravitacionales. Este

115

116 CAPITULO 5. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL

sistema de ecuaciones se conocen las ecuaciones de Euler.Cabe notar que el orden de este sistema de ecuaciones en menor que

el de las ecuaciones de Navier Stokes. Matematicamente, esto implica quese necesitara un numero menor de condiciones de frontera para encontrarsoluciones. De hecho, la condicion que no se requiere satisfacer es la condicionde no deslizamiento. Esta consecuencia matematica es la que, precisamente,causa que las soluciones de estas ecuaciones no sean reales.

La ecuacion de conservacion de masa se mantiene igual, a pesar de haberconsiderado que los efectos viscosos no son importantes:

∇ · ~v = 0 (5.2)

5.2. Ecuacion de Bernoulli

Es posible obtener una version simplificada de la ecuacion de conservacionde momentum para el caso de un flujo ideal.

Consideremos, inicialmente, las ecuaciones de Euler. Si consideramos que~g es un campo conservativo entonces se puede representar como

~g = ∇Φ

. Podemos usar la siguiente identidad vectorial para simplificar el termino~v∇~v que aparece dentro de la derivada material de ~v:

(~v∇)~v = ∇(1

2~v · ~v

)

− ~v ×∇× ~v

(esta identidad es la definicion del triple producto cruz).Sustituyendo estas dos expresiones en la ecuacion de N-S para en la

ecuacion de Euler, tenemos:

∂~v

∂t+∇

(1

2~v · ~v

)

− ~v ×∇× ~v = −1

ρ∇P +∇Φ

Rearreglando terminos podemos escribir

∂~v

∂t+∇

(P

ρ+

1

2~v · ~v − Φ

)

= ~v ×∇× ~v

5.3. FLUJO POTENCIAL 117

Si tomamos el caso de un flujo estacionario, ∂/∂t = 0, y un flujo irrota-cional ∇× ~v = 0, entonces la expresion anterior se reduce a:

∇(P

ρ+

1

2~v · ~v − Φ

)

= 0

Una linea de corriente es aquella lınea que es tangente al vector velocidaden cada punto. De la definicion de una linea de corriente sabemos que:

dx

u=dy

v=dz

w

Para que para cualquier campo de presiones y velocidades, el gradiente dePρ+ 1

2~v ·~v−Φ sea cero, la unica posibilidad es que este termino sea constante:

P

ρ+

1

2~v · ~v − Φ = constante

Para un campo gravitacional ordinario podemos escribir Φ = −gz. En-tonces:

P

ρ+

1

2~v · ~v + gz = constante (5.3)

que so conoce como la ecuacion de Bernoulli.

5.2.1. Ejemplos de aplicacion

Seccion sin completar.

5.3. Flujo potencial

El metodo mas comun para la solucion de las ecuaciones de Euler consisteen resolver la ecuacion de conservacion de masa para un flujo dado. Una vezconocido el campo de velocidades, la ecuacion de conservacion de momentumse usa solo para obtener el campo de presiones del flujo.

En esta seccion analizaremos este metodo detalladamente.


5.3.1. Vorticidad e irrotacionalidad

Ademas de suponer que el fluido es inviscido, podemos suponer que noexisten ni gradientes de entropıa ni gradientes de densidad. Considerandoestas tres suposiciones podemos decir, sin perder generalidad, que el flujo esirrotacional.

La vorticidad esta definida como el rotacional de la velocidad:

~ω = ∇× ~vFısicamente, la vorticidad representa la rotacion de las partıculas de laspartıculas de fluido.

En un flujo irrotacional, la vorticidad es cero el todas partes:

~ω = ∇× ~v = 0

Entonces, si el fluido es no viscoso las partıculas de fluido resbalan una sobreotras. No es existen gradientes de velocidad.

FLUJO VISCOSO

FLUJO NO VISCOSO

Particula de fluido

Diferencia de velocidades

= Rotacion

La viscosidad produce gradientes de velocidad. Si no hay efectos viscosos, entonces

no hay gradientes de velocidad. Por lo tanto no hay rotacion.

El hecho de que el rotacional del campo de velocidades sea cero tieneconsecuencias importantes. Recordamos la identidad vectorial:

∇×∇φ = 0

(el rotacional del gradiente de cualquier funcion escalar es siempre cero).Entonces, en base a la identidad anterior, para un flujo irrotacional pode-

mos expresar al campo de velocidades como el gradiente de una funcionescalar:

~v = ∇φ


La funcion escalar φ se conoce como funcion potencial de velocidades.En coordenadas rectangulares podemos expresar cada componente del

campo de velocidades como:

u =∂φ

∂x

v =∂φ

∂y

w =∂φ

∂z

Ahora, si sustituimos la expresion ~v = ∇φ en la ecuacion de conservacionde masa, tenemos:

∇ · ~v = 0

∇ · ∇φ = 0

entonces

∇2φ = 0 (5.4)

Entonces, si resolvemos la ecuacion anterior y encontramos φ(x, y, z)podemos inferir el campo de velocidades ~v(x, y, z). Una vez conocido el cam-po de velocidades, podemos calcular el campo de presiones sustituyendo ~v enlas ecuaciones de Euler. Mas aun, podemos utilizar la forma simplificada delas ecuaciones de Euler (Ecuacion de Bernoulli) para encontrar la presion.

La ecuacion ∇2φ = 0 se conoce como la ecuacion de Laplace. Es unaecuacion diferencial parcial lineal de segundo orden. En forma explıcita, paracoordenadas rectangulares,

∂2φ

∂x2+∂2φ

∂y2+∂2φ

∂z2= 0

Obviamente, para encontrar soluciones de esta ecuacion debemos tenercondiciones de frontera. Los dos tipos de condiciones de frontera que, gen-eralmente se consideran son:


velocidad aguas arriba: u, v o w conocidas.

velocidad normal a la pared es cero: ∂φ/∂n = 0.

Esta ultima condicion se conoce como condicion de no-penetracion: el flujono puede penetrar una superficie solida. Es importante tener en cuenta quepara este tipo de flujos la condicion de no deslizamiento no se satisface.

5.3.2. Tecnicas de solucion

Para flujos no viscosos la tecnica de solucion de problemas es muy difer-ente a la que se utiliza para encontrar soluciones a las ecuaciones de Navier-Stokes. En este caso se busca, primero, resolver la ecuacion de Laplace paraencontrar la funcion potencial de velocidades φ(x, y, z). Una vez que se conoceφ, se pueden calcular las componentes de velocidad; despues, utilizando laecuacion de Bernoulli, se puede calcular el campo de presiones.

las tecnicas mas comunes para resolver problemas en flujo potencial son:

superposicion de funciones elementales

mapeo (o transformacion) conforme

analogıa mecanica o electrica

analisis numerico

5.3.3. Funcion de corriente

Ademas de la funcion potencial de velocidades, φ, podemos definir unafuncion adicional que tambien puede servir para obtener soluciones en flujopotencial. Para un flujo plano (2-D), podemos definir una funcion de corrienteψ tal que,

u =∂ψ

∂y

v = −∂ψ∂x

Recordando la condicion de irrotacionalidad, ∇ × ~v = 0, sabemos quepara un flujo plano tenemos,

ωz = 0 =∂v

∂x− ∂u

∂y


Sustituyendo la definicion de la funcion de corriente en la expresion an-terior tenemos:

∂

∂x

(

−∂ψ∂x

)

− ∂

∂y

(∂ψ

∂y

)

= 0

∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2= 0

entonces

∇2ψ = 0 (5.5)

La funcion de corriente tambien satisface la ecuacion de Laplace.La ventaja que se tiene al utilizar la funcion de corriente, en vez de la

funcion potencial de velocidades, es que las lıneas ψ =constante representanlıneas de corriente en el flujo.

| = | 1

| = | 2

Si ψ = ψ(x, y), entonces

∂ψ =∂ψ

∂xdx+

∂ψ

∂ydy

Si ψ =constante, entonces ∂ψ = 0 y por lo tanto,

0 = −vdx+ udy


entonces∂y

∂x=v

uque es la definicion matematica de una linea de corriente. Una linea de cor-riente es aquella linea cuya tangente es paralela a ~v para un t dado.

De igual manera, para encontrar soluciones a la ecuacion ∇2ψ = 0 debe-mos tener condiciones de frontera. Podemos considerar, en general, dos tiposde condiciones de frontera:

corriente aguas arriba, u, v conocidas

superficie solida, psi conocida (la forma de la superficie solida, de hecho,es una linea de corriente, ψ =constante).

Para resolver un problema de flujo potencial podemos encontrar ψ o φ oambas.

Notemos ademas que ψ y φ son perpendiculares:

u =∂ψ

∂y=∂φ

∂x

y

v = −∂ψ∂x

=∂φ

∂y

Si encontramos tanto ψ como φ podemos construir la red del flujo.

5.4. Soluciones elementales en 2-D

Un metodo sencillo para construir soluciones en flujo potencial es el pro-poner expresiones matematicas que satisfagan a la ecuacion de Laplace. Pos-teriormente se busca la interpretacion fısica de estas funciones.

Corriente uniforme

Sea φ = ax+by. Considerando un flujo bidimensional, ~v = (u, v) tenemosque:

u =∂φ

∂x= a

v =∂φ

∂y= b

5.4. SOLUCIONES ELEMENTALES EN 2-D 123

| = | 1

| = | 2

| = | 3

| = | 1

| = | 1

| = | 1

entonces, ~v = ai + bj. En este caso la velocidad del flujo es constante encualquier punto del fluido.

Calculemos la lıneas de corriente.

u =∂ψ

∂y→ ψ = ay + C1

v = −∂ψ∂x→ ψ = −bx+ C2

Ası,

−bx+ C2 = ay + C1

entonces

y =−bax+ C

que es una linea recta: lıneas de corriente rectas.Sea, por ejemplo, b = 0 y a = U . Entonces,

φ = Ux

ψ = Uy + C1

Para este caso: u = U y v = 0, flujo unidireccional uniforme.


y

x

U

| = | 1 | 2 | n

| = | 1

| 2

| n

Fuente y/o sumidero

Supongamos que un punto emite un caudal uniforme: flujo radial.Si el flujo es estacionario, la cantidad de fluido que atraviesa una superficie

circular de radio r es constante:

Q = vr(2πr)L = 2πLm = constante

por lo tanto

vr =m

r

donde m es una constante. Si m 0 entonces tenemos una fuente (lineas decorriente apuntan hacia afuera). Si m0 entonces tenemos un sumidero. Paraeste caso la velocidad tangencial es cero, vθ = 0.

Podemos obtener φ y ψ en coordenados polares:

vr =m

r=

1

r

∂ψ

∂θ=∂φ

∂r

vθ = 0 = −∂ψ∂r

=1

r

∂φ

∂θ

entoncesψ = mθ

yφ = m ln r


y

| = | 1

| 2

| n

| = | 1

| 2

| n

x

Las funciones φ y ψ pueden expresarse en terminos de coordenadas rect-angulares:

ψ = m arctany

x

φ = m ln√

x2 + y2

Puede comprobarse que estas expresiones satisfacen a la ecuacion deLaplace.

Torbellino o vortice bidimensional

Supongamos ahora que vθ 6= 0 y vr = 0. Si ψ = −κ ln r y φ = kθ, entoncesvr = 0 y vθ = κ/r.

este es un flujo circulatorio puro con una velocidad tangencial que dis-minuye como 1/r, κ es la intensidad del torbellino.

Circulacion

El flujo descrito por un torbellino o vortice bidimensional es irrotacionalen todas partes excepto en el origen donde la vorticidad es finita.

Definamos

Γ =

∫

C

~v · d~s =∫

C

(udx+ vdy + wdz)


y

| = | 1

| 2

| n | = | 1

| 2

| n

x

donde C es una curva cerrada. Γ es la circulacion del flujo dentro de C.

De la definicion de φ:

~v · d~s = ∇φ · ~s = dφ

entonces

Γ =

∫

C

dφ = φf − φi

Puesto que C es una curva cerrada φf = φi, entonces Γ = 0

Para el caso de un vortice

φ = κθ

Esto implica que hay un cambio de φ en una cantidad 2πκ en cada vuelta.Por lo tanto

Γtorbellino =

∫ 2π

0

κ

rrdθ = 2πκ

En general Γ es igual a la suma de algebraica de todos los remolinos quehaya en el interior de una curva cerrada.


C

V

ds

5.4.1. Superposicion de soluciones

La consecuencia mas importante que surge de suponer que el flujo espotencial es que la ecuacion a resolver (ecuacion de Laplace) es lineal. Unade las propiedades de las ecuaciones lineales es que soluciones simples sepueden sumar para obtener una solucion compleja:

La solucion de una suma es igual a la suma de la soluciones indi-viduales.

Ası, podemos encontrar la solucion a flujos mas interesantes sumandosoluciones simples de φs y ψs. La solucion total estara dada por

φtotal =n∑

i=1

φi

ψtotal =n∑

i=1

ψi

Fuente y sumidero separados una distancia 2a

Consideremos la suma de una fuente y un sumidero de igual intensidad,separados una distancia 2a. Sea φ1 una fuente de intensidad m situada en(a, 0) y sea φ2 un sumidero de intensidad −m en (−a, 0):

φ1 = m ln r

φ2 = −m ln r


y sus correspondientes funciones de corriente:

ψ1 = mθ

ψ2 = −mθ

Para ψ1 el valor de la funcion aumenta en la direccion de las manecillas delreloj.

La solucion total estara entonces dada, en coordenadas rectangulares, por:

ψ = m arctany

x+ a−m arctan

y

x− aUtilizando la identidad trigonometrica

arctanα− arctan β = arctanα− β1 + αβ

tenemos entonces

ψ = −m arctan2ay

x2 + y2 − a2

La funcion potencial de velocidades queda dada por

φ = m ln r −m ln r

En coordenadas rectangulares, tenemos:

φ = ln

(√

(x+ a)2 + y2

(x− a)2 + y2

)

=1

2ln

((x+ a)2 + y2

(x− a)2 + y2

)

Dipolo

Si para el caso anterior consideramos el caso en que la distancia entrela fuente y en sumidero tiende a cero (a → 0). Debemos considerar que laintensidad m de cada elemento debe crecer para hacer que las velocidades semantengan finitas.

Ası, debemos hacer que el producto 2am = λ se mantenga constante.Para la funcion de corriente consideremos:

ψ = lıma→0

2am=const

(

−m arctan2ay

x2 + y2 − a2

)


Entonces

ψ = −m arctan2ay

x2 + y2

pero sabemos que para α¿ 1, arctanα = α. Por lo tanto

ψ = −m 2ay

x2 + y2=−λyx2 + y2

De manera analoga,

φ =λx

x2 + y2


En coordenadas polares psi y psi se escriben como:

ψ =−λ sin θ

r

φ =λ cos θ

r

Sumidero mas torbellino

Para este caso debemos considerar, en coordenadas polares:

ψtotal = ψsumidero + ψremolino

= −mθ + κ ln r

Y para la funcion potencial,

φtotal = φsumidero + φremolino

= −m ln r + κθ

Cuerpo semi-infinito de Rankine

El flujo alrededor de la parte frontal de un cuerpo largo se puede simularsuperponiendo las soluciones de una corriente uniforme y una fuente.

ψtotal = ψcorr.unif. + ψfuente

= Uoy +m arctan(y/x)

= Uor sin θ +mθ


Tambien,φ = Uor cos θ +m ln r

De la figura podemos observar que en un punto la velocidad del flujose hace cero, es decir aparece un punto de estancamiento. En este punto elflujo de la corriente uniforme se cancela con el flujo generado por la fuente.Podemos calcular la posicion de este punto de estancamiento.

Los componentes de velocidad en cada direccion, en coordenadas polares,son:

vr =1

r

∂ψ

∂θ= Uo cos θ +

m

r

vθ = −∂ψ∂r

= −Uo sin θ

La magnitud al cuadrado de la velocidad es entonces

V 2 = v2r + vtheta

2 = (Uo cos θ +m

r)2 + (−Uo sin θ)

2

por lo tanto

V 2 = U 2o + 2Uo

m

rcos θ +

m2

r2

En punto de estancamiento, que se encuentra en r = re y θ = ±π, sabemosque V = 0. Entonces,

0 = U 2o + 2Uo

m

re(−1) + m2

r2e


Reescribiendo esta expresion tenemos

r2eUo − 2mUore +m2 = 0

Resolviendo la ecuacion cuadratica, podemos calcular el valor de re:

re =m

Uo

En el punto de estancamiento, la presion es maxima. Esto se puede inferirutilizando la ecuacion de Bernoulli:

1

2ρU2

o + Po =1

2ρ(0)2 + Pe

por lo que

Pe = Po +1

2ρU2

o

Podemos tambien determinar la forma del perfil del cuerpo de Rankine.Sabemos que la forma de cuerpo estara dada por una linea de ψ =constante.Sabemos tambien que en el punto de estancamiento, coincide con la partefrontal del cuerpo. Entonces en (r = m/Uo, θ = ±π):

ψcuerpo = Uom

Uo

sin(±π)±mπ

Por lo tantoψcuerpo = ±mπ

Podemos tambien calcular el grosor del cuerpo de Rankine, aguas abajodel punto donde se localiza la fuente. Sobre el cuerpo sabemos que ψ = ±mπ,entonces podemos escribir, en coordenadas rectangulares por simplicidad:

±mπ = Uoy +m arctan(y/x)

Puesto que nos interesa conocer la altura y∗, lejos del origen, consideremos

lımx→∞

= Uoy∗ +m arctan(y∗/x)

Despejando y∗ tenemos el grosor del cuerpo:

y∗ = ±πm

Uo

Tambien se puede modelar el flujo en la parte posterior del cuerpo deRankine si consideramos la suma de una corriente uniforme y un sumidero.


Corriente uniforme mas torbellino

Consideremos la suma lineal de un remolino, ψ = −κ ln r, y una corrienteuniforme, ψ = Uor sin θ:

ψ = Uor sin θ − κ ln r

El flujo generado por esta superposicion se muestra en la figura.

Para este caso, observamos que tambien aparece un punto de estancamien-to en un punto del flujo. Para encontrar la posicion de este punto, debemosprimero calcular las componentes de velocidad del flujo:

vr = Uo cos θ

vθ = −Uo sin θ +κ

r

De la misma manera que en el ejemplo anterior, podemos calcular lamagnitud cuadrada de la velocidad:

V 2 = U 2o − 2

κ

rUo sin θ +

κ2

r2

En el punto de estancamiento sabemos que V = 0 y que θ = π/2, en-tonces:

0 = U 2o − 2Uo

κ

re+κ2

r2e

por lo tanto

re =κ

Uo


Fila infinita de vortices

Consideremos la superposicion de una fila infinita de remolinos de la mis-ma intensidad κ y separados entre si una distancia a. La funcion de corrientetotal estara dada por

ψ = −κ∞∑

i=1

ln ri

Puede demostrarse que la suma infinita de logaritmos converge a la sigu-iente expresion:

ψ = −1

2κ ln

{1

2

(

cosh2πy

a− cos

2πx

a

)}

La comprobacion de esta transformacion requiere conocimientos de variablecompleja.

Las lıneas de corriente de este flujo forma ojos de gato alrededor de cadavortice. Cabe notar que en la figura se uso un numero finito de vortices.

Se se considera un numero muy grande de torbellinos entonces el flujo espracticamente horizontal por encima y debajo de la linea de vortices. Dehecho se puede comprobar que para |y| À

v = 0

u = ±πκa


Si consideramos el caso en que a→ 0, podemos definir una capa continuade torbellinos.

Flujo alrededor de cuerpos cerrados

Existe diferentes maneras de modelar el flujo alrededor de cuerpos cerra-dos en flujo potencial.

El mas sencillo, es el caso de un cuerpo ovalado generado por la superposi-cion de un par fuente-sumidero (separados una distancia 2a) y una corrienteuniforme:

ψ = Uoy −m arctan2ay

x2 + y2 − a2

La figura muestra las lıneas de corriente, lineas de ψ = cosntante, paraesta combinacion. Se obtiene un cuerpo de forma oval. Las semi-longitudeshorizontal y vertical, L y h, respectivamente, dependen de la intensidad rela-tiva del par fuente-sumidero con respecto a la corriente uniforme; es decir, larelacion m/Uoa determina la forma del objeto. En general, solo se muestranlas lıneas por fuera del ovalo. Se puede demostrar que la linea de corrienteque corresponde al cuerpo es ψ = 0.

Podemos tambien notar que existen dos puntos de estancamiento sobreel cuerpo, uno el parte frontal y otro en la parte posterior, en los puntosx = ±L, y = 0. Notese tambien que el los puntos x = 0, y = ±h existen


puntos de presion mınima, que a su vez corresponden a puntos de velocidadmaxima. La siguientes relacione pueden obtenerse:

h

a= cot

{h/a

2m/Uoa

}

L

a=

{

1 +2m

Uoa

}1/2

Umax

Uo

= 1 +2m/Uoa

1 + h2/a2

Ovalo de Kelvin

Otra manera de simular el flujo alrededor de objetos altos se obtienesuperponiendo una corriente uniforme con un par de vortices, con direccionesde rotacion opuestas, separados verticalmente una distancia 2a.

Para este caso la funcion de corriente es

ψ = Uoy −1

2κ ln

x2 + (y + a)2

x2 + (y − a)2

5.4.2. Flujo alrededor de un cilindro

El estudio del flujo alrededor de un cilindro ha sido muy importante parael desarrollo de la mecanica de fluidos moderna. Dada su relativa simplicidad,


es posible analizar este flujo con cierto detalle. A continuacion, analizaremoseste flujo considerando un flujo ideal.

La funcion de corriente para modelar este flujo se puede obtener super-poniendo una corriente uniforme con un doblete:

ψ = Uor sin θ −λ sin θ

r

La figura muestra las lıneas de corriente para esta caso.

Los componentes de velocidad para el flujo alrededor del cilindro son:

vr =1

r

∂ψ

∂θ= (Uo −

λ

r2) cos θ

vθ = −∂ψ∂r

= (Uo +λ

r2) sin θ

Podemos observar que existen dos puntos de estancamiento (vr = vθ = 0)en θ = π, 0 y en r = R. Para este caso tenemos:

0 = (Uo −λ

R2)(±1)

entonces,

R =

√

λ

Uo


es el radio del cilindro (los puntos de estancamiento coinciden con la superficiedel cuerpo).

Podemos entonces reescribir la funcion de corriente como funcion de R:

ψ = Uo sen θ

(

r − R2

r

)

Calculemos la velocidad en la superficie del cilindro:

vr(r = R) = Uo(1−R2

R2) cos θ = 0

vθ(r = R) = −Uo(1 +R2

R2) sin θ = −2Uo sin θ

Notese que, en efecto, en la superficie solida no hay flujo a traves de la pared(vr = 0) pero si hay deslizamiento (vθ 6= 0). Tambien vemos que la velocidadtangencial sobre la pared varıa como funcion de θ, desde cero en los puntosde estancamiento θ = 0, π hasta un valor maximo en θ = ±π/2.

La magnitud cuadrada de la velocidad sobre la superficie del cilindro es

V 2 = 4U 2o sin

2 θ

La distribucion de presiones en la superficie del cilindro se puede calcularutilizando la ecuacion de Bernoulli:

Po +1

2ρU2

o = Ps +1

2ρ(4U 2

o sin2 θ)

entonces

Ps − Po =1

2ρU2

o (1− 4 sin2 θ)

La distribucion de presiones sobre la superficie se muestra en la figura, comofuncion del angulo θ.

Arrastre sobre un cilindro en flujo potencial: Paradoja de Dalam-bert

La fuerza de arrastre sobre el cilindro se puede calcular si se integra enesfuerzo sobre el area. Para el caso de un flujo potencial, no hay esfuerzosviscosos. Por lo tanto el unico esfuerzo que actua sobre la superficie delcilindro es la presion.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

angulo, θ [rad]

2 (P

s−Po)/(

ρ U

o2)

La fuerza, en cada una de las direcciones coordenadas sera la integral dela componente del vector de presion respectiva sobre el area del cilindro. Verfigura. En la direccion x el componente de la presion es entonces

Px = P cos θ

La fuerza de arrastre FD es

FD =

∫

S

(P cos θ)dS =

∫

S

(Ps − Po) cos θdS

Para calcular la integral, debemos expresar dS en terminos de θ. Consid-eremos la figura siguiente. Para un angulo pequeno, dθ, podemos considerarque

tan dθ ≈ dθ =dS

REntonces, el elemento diferencial de area dS, por unidad de profundidad Lse puede escribir como:

dS = LRdθ

Ası, la fuerza de arrastre se expresa como

FD =

∫ 2π

0

(1

2ρU2

o (1− 4 sen2 θ)

)

cos θLRdθ

entonces

FD =1

2ρU2

oLR

∫ 2π

0

(1− 4 sen2 θ) cos θdθ = frac12ρU 2oLR

{sin θ − 2 sin3 θ

}2π

0


P Psin0

Pcos0

0

d 0

R

dS

Por lo tanto

FD = 0

Este resultado se conoce como la paradoja de Dalambert. A pesar de quesomos capaces de calcular el campo de velocidades para cualquier punto en elespacio, el hecho de haber eliminado los esfuerzos viscosos causa que el flujono produzca arrastre. Este resultado no es solo caso especial de un cilindro.El arrastre para cualquier objeto, cualquiera que sea su forma, sumergido enun flujo potencial es cero.

Podemos tambien calcular la fuerza de sustentacion, FL (fuerza en ladireccion perpendicular al flujo). Entonces, de manera analoga, tenemos

FL =

∫ 2π

0

(1

2ρU2

o (1− 4 sen2 θ)

)

sin θLRdθ


entonces

FL =1

2ρU2

oLR

∫ 2π

0

{5

3cos θ +

4

3sin2 θ cos θ

}2π

0

No es sorprendente encontrar que

FL = 0

Cilindro con circulacion

Si anadimos un vortice en el centro del cilindro, es decir anadimos circu-lacion al flujo, entonces tenemos la siguiente funcion de corriente

ψ = Uo sin θ(r −R2

r)− κ ln r

a

Podemos, de la misma manera que para el cilindro sin circulacion, calcularel campo de velocidades, la velocidad y la presion en la superficie.

El campo de velocidades esta dado por:

vr = (Uo −λ

r2) cos θ

vθ = (Uo −λ

r2) sin θ +

κ

r


La velocidad en la superficie es:

vr(r = R) = 0

vθ(r = R) = −2Uo sin θ +κ

R

La presion en la superficie es:

Ps − Po =1

2ρU2

o (1− 4 sin2 θ + 4β sin θ − β2)

donde β = κ/(UoR).Si calculamos tanto el arrastre como la sustentacion tenemos:

FD =

∫ 2π

0

(Ps − Po) cos θLRdθ

= 0

y

FL =

∫ 2π

0

(Ps − Po) sin θLRdθ

= −ρUo(2πκ)L

Entonces, la sustentacion por unidad de profundidad es

FL

L= −ρU0Γ

donde Γ = 2πκ.

5.4.3. Metodo de imagenes

En muchos ejemplos practicos se debe considerar la presencia de paredesrıgidas. Existe una manera para simular el efecto de una pared solida fija.

Consideremos, por ejemplo, el flujo generado por una fuente situada a unadistancia a de una pared horizontal solida. Sabemos que la pared debe satis-facer la condicion de no-flujo a traves de ella. Es decir, debemos asegurarnosque la pared corresponda e una linea de corriente del flujo.

Para simular la pared, y hacer que esta sea una linea de corriente delflujo, se debe colocar una fuente virtual de la misma intensidad a la misma


distancia por debajo de la pared. Por simetrıa, las dos fuentes dan lugar a unalinea de corriente horizontal entre ellas que representa, entonces, la pared.La funcion de corriente para este caso sera:

ψ = m arctany − ax

+m arctany + a

x

La misma tecnica se puede utilizar para simular el efecto de que tiene unapared en el flujo generado por cualquier otra de las soluciones elementales osus combinaciones.

De la misma manera que para todos los otros ejemplos anteriores, unavez conocida la funcion de corriente, o la funcion potencial de velocidades,se puede deducir el campo de velocidades y tambien el campo de presiones.

Flujo irrotacional ideal

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