Formulario Cálculo Aplicado-Aplicaciones de la integral
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AYUDANTE: FRANCISCO VALENZUELA RIQUELME [ ] Cálculo Aplicado RESUMEN APLICACIONES DE LA INTEGRAL 1.- CÁLCULO DE ÁREAS PLANAS DEFINICIÓN DEL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA f continua en [a,b], con 0 ) ( x f ; R es la región limitada por la curva y=f(x), el eje x y las rectas x=a y x=b. n i i x x c f A Lim 1 ) ( Con: n a b x ) ( ; i-ésimo subintervalo = [xi-1,xi] ; f(ci) valor de función mínimo absoluto en el i-ésimo subintervalo. SUMATORIAS IMPORTANTES b a i c b c a i c i f i f ) ( ) ( y b a i c b c a i c i f i f ) ( ) ( n i f n f i f i f 1 ) 0 ( ) ( )] 1 ( ) ( [ n i n n i 1 2 ) 1 ( n i n n n i 1 2 6 ) 1 2 )( 1 ( n i n n i 1 2 2 3 4 ) 1 ( 1.1.- ÁREA DE UNA REGIÓN ENTRE 2 CURVAS Si f y g son funciones continuas en [a,b] y se verifica que ) ( ) ( x f x g ] , [ b a xe , entonces el área de la región limitada por las gráficas de f y g, las rectas verticales x=a y x=b es: b a dx x g x f A )] ( ) ( [ Observaciones: -Cómo suele ocurrir, unas veces se cumple que ) ( ) ( x f x g y otras veces que ) ( ) ( x f x g , entonces el área de la región comprendida entre f y g sobre el intervalo [a,b], viene dado por la fórmula: b a dx x g x f A ) ( ) ( *No se suele trabajar con el valor absoluto, puesto que es más fácil dibujar las gráficas de f y g, calculando los puntos de intersección de ambas, y sumar una o más integrales para obtener el área deseada. Observación: Algunas veces es más conveniente calcular el área integrando respecto a la variable y en vez de la variable x. 1.2.- ÁREA DE REGIONES EN COORDENADAS POLARES d A ) ( 2 1 2 1.3.- ÁREA DE REGIONES EN FORMA PARAMÉTRICA 2 1 ) ( ' ) ( t t dt t x t y A 2.- CÁLCULO DE VOLÚMENES 2.1.- VOLÚMENES DE REVOLUCIÓN: EL MÉTODO DE LOS DISCOS Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El más simple de ellos es el cilindro circular recto o disco. 2.1.1 DEFINICIÓN DEL VOLUMEN DE UN SÓLIDO Sea S un sólido tal que la medida del área de la sección plana está dada por A(x), donde A es continua en [a,b], entonces: b a dx x A V ) ( *Un cilindro circular recto de radio r y altura h tiene un área de su sección plana de: 2 ) ( r x A Entonces: h r dx x A V h 2 0 ) ( Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolución general, consideremos una función continua f(x) definida en el intervalo [a,b], cuya gráfica, junto con las rectas x=a, x=b, y=0, conforman el recinto R. Si giramos R alrededor del eje OX, obtenemos un sólido de revolución. Eligiendo una partición regular de [a,b]: a=x0<x1<…..< xn-1< xn=b Se obtienen n discos cuya suma se aproxima al volumen de sólido por: ) )( ( 1 1 2 i n i i i x x x c f Lim Por lo tanto, recordando la definición de la integral definida de Riemann se obtiene que:
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AYUDANTE: FRANCISCO VALENZUELA RIQUELME[ ] Cálculo Aplicado
RESUMEN APLICACIONES DE LA
INTEGRAL
1.- CÁLCULO DE ÁREAS PLANAS
DEFINICIÓN DEL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA
f continua en [a,b], con 0)( xf ; R es la región
limitada por la curva y=f(x), el eje x y las rectas x=a y x=b.
n
i
i
x
xcfA Lim1
)(
Con: n
abx
)( ; i-ésimo subintervalo = [xi-1,xi] ;
f(ci) valor de función mínimo absoluto en el i-ésimo subintervalo.
SUMATORIAS IMPORTANTES
b
ai
cb
cai
cifif )()( y
b
ai
cb
cai
cifif )()(
n
i
fnfifif1
)0()()]1()([
n
i
nni
1 2
)1(
n
i
nnni
1
2
6
)12)(1(
n
i
nni
1
223
4
)1(
1.1.- ÁREA DE UNA REGIÓN ENTRE 2 CURVAS
Si f y g son funciones continuas en [a,b] y se verifica que )()( xfxg ],[ baxe , entonces el área de la región
limitada por las gráficas de f y g, las rectas verticales x=a y x=b es:
b
a
dxxgxfA )]()([
Observaciones:
-Cómo suele ocurrir, unas veces se cumple que
)()( xfxg y otras veces que )()( xfxg , entonces el
área de la región comprendida entre f y g sobre el intervalo [a,b], viene dado por la fórmula:
b
a
dxxgxfA )()(
*No se suele trabajar con el valor absoluto, puesto que es más fácil dibujar las gráficas de f y g, calculando los puntos de intersección de ambas, y sumar una o más integrales para obtener el área deseada.
Observación: Algunas veces es más conveniente calcular el área integrando respecto a la variable y en vez de la variable x.
1.2.- ÁREA DE REGIONES EN COORDENADAS POLARES
dA )(2
1 2
1.3.- ÁREA DE REGIONES EN FORMA PARAMÉTRICA
2
1
)(')(
t
t
dttxtyA
2.- CÁLCULO DE VOLÚMENES
2.1.- VOLÚMENES DE REVOLUCIÓN: EL MÉTODO DE LOS DISCOS
Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El más simple de ellos es el cilindro circular recto o disco.
2.1.1 DEFINICIÓN DEL VOLUMEN DE UN SÓLIDO
Sea S un sólido tal que la medida del área de la sección plana está dada por A(x), donde A es continua en [a,b], entonces:
b
a
dxxAV )(
*Un cilindro circular recto de radio r y altura h tiene un área de su sección plana de:
2)( rxA Entonces:
hrdxxAV
h
2
0
)(
Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolución general, consideremos una función continua f(x) definida en el intervalo [a,b], cuya gráfica, junto con las rectas x=a, x=b, y=0, conforman el recinto R. Si giramos R alrededor del eje OX, obtenemos un sólido de revolución.
Eligiendo una partición regular de [a,b]:
a=x0<x1<…..< xn-1< xn=b
Se obtienen n discos cuya suma se aproxima al volumen de sólido por:
))(( 1
1
2
i
n
i
ii
x
xxcfLim
Por lo tanto, recordando la definición de la integral definida de Riemann se obtiene que:
AYUDANTE: FRANCISCO VALENZUELA RIQUELME[ ] Cálculo Aplicado
dxxfV
b
a
)(2
Además, si se toma el eje de revolución vertical, es decir giramos alrededor del eje OY, tenemos:
dyyfV
d
c
)(2
2.2.- VOLÚMENES DE REVOLUCIÓN: EL MÉTODO DE LAS ARANDELAS
Si tenemos 2 funciones continuas f(x) y g(x) definidas en [a,b], con
)()(0 xfxg y las rectas x=a y x=b,
el volumen engendrado se calcula por:
dxxgxfV
d
c
)]()([ 22
2.3.- VOLÚMENES DE REVOLUCIÓN: EL MÉTODO DE CAPAS CILÍNDRICAS
EJE HORIZONTAL DE REVOLUCIÓN
b
ydyxxV0
12 )(2
EJE VERTICAL DE REVOLUCIÓN
a
xdxyyV0
12 )(2
2.4.- VOLÚMENES DE REVOLUCIÓN: COORDENADAS PARAMÉTRICAS Y POLARES
EJE HORIZONTAL DE REVOLUCIÓN (OX)
b
dttxtyV0
2 )(')(
EJE VERTICAL DE REVOLUCIÓN (OY)
b
dttytxV0
2 )(')(
3.-LONGITUD DE ARCO
3.1.- COORDENADAS CARTESIANAS
Si la función y=f(x) representa una curva suave en el intervalo [a,b], la longitud del arco de f entre a y b viene dada por:
b
a
dxxfl 2)]('[1
3.2.- COORDENADAS PARAMÉTRICAS
1
0
22 )]('[)]('[
t
t
dttytxl
3.2.- COORDENADAS POLARES
dl 22 )]([)]('[
4.- ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN
GIRO EJE HORIZONTAL
b
a
dxxyxysA 2)]('[1)(2)(
GIRO EJE HORIZONTAL
b
a
dxxyxysA 2)]('[1)(2)(
5.- INTEGRALES IMPROPIAS
Definición 1(de integrales impropias): Si f es continua en ),( , y c es cualquier número real
entonces:
b
cb
c
aa
dxxfdxxfdxxf LimLim )()()(
Si el límite existe, se dice que la integral impropia converge; de lo contrario, la integral impropia diverge.
Definición 2(de integrales impropias con discontinuidad) : Si f es continua en ],[ ba excepto en c
entonces:
b
tct
t
act
b
a
dxxfdxxfdxxf LimLim )()()(
5.1.- CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA INTEGRALES IMPROPIAS
