FRACCIONES PARCIALES
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SISTEMAS DE CONTROL / FRACCIONES PARCIALES – MATERIAL DE APOYO
SISTEMAS DE CONTROL - 2015
INGENIERO VAZQUEZ EMMANUEL EDUARDO
FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y
obtener sumas de expresiones más simples.
Hay cuatro casos:
1) Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.
2) Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido.
3) Descomposición en fracciones parciales con un factor cuadrático irreducible.
4) Descomposición en fracciones parciales con factor cuadrático repetido.
Procedimiento para:
Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1:
Siempre me debo de fijar si el grado de la función del numerador es menor que la del
denominador. Si es mayor debo realizar una división larga para bajar el grado de la función del
numerador.
Paso 2:
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales, px +q, o
factores cuadráticos irreductibles, cbxax ++2
, y agrupar los factores repetidos para que la
función del denominador sea un producto de factores diferentes de la forma ( )mqpx + ,
donde 1≥m o ( )n
cbxax ++2
los números m y n no pueden ser negativos.
Paso 3:
Si son Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o
fracciones parciales con un factor lineal repetido.
...factor factor
++segundo
B
primer
A
Ejemplo 1:
Determinar la descomposición en fracciones parciales de:
xxx
xx
32
9134
23
2
−+
−+
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no
tengo que hacer una división larga.
Segundo: factorizo el denominador
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( ) ( )( )133232223
−+=−+=−+ xxxxxxxxx
Tercero: coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
9134
23
2
−+
++=
−+
−+
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador.
( )( ) ( )( ) ( )( )311391342
++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el método que más nos convenga:
Opero los paréntesis
( ) ( ) ( )xxCxxBxxAxx 33291342222
++−+−+=−+
Ahora formo mi primera ecuación con los términos al cuadrado así
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
−+−+++=−+
−+−+++=−+
++−+−+=−+
++−+−+=−+
++−+−+=−+
Mis tres ecuaciones son:
4111 =+++ CBA
13312 +=+− CBA
A39 −=−
Tomo la tercera ecuación y encuentro el valor de A
A39 −=−
A
A
=
=−
−
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
( )( )
1
34
43
413
4111
=+
−=+
=++
=++
=+++
CB
CB
CB
CB
CBA
Multiplico las letras en los paréntesis
Quito los paréntesis
Los ordeno
Factorizo así
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( )( )
73
6133
1336
13332
13312
=+−
−=+−
=+−
=+−
+=+−
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo así los valores de B y C
73
1
=+−
=+
CB
CB
2C
84
=
=C
1
21
12
1
−=
−=
=+
=+
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
9134
23
2
−+
+−=
−+
++=
−+
−+
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar únicamente cuando los términos son lineales y no
repetidos que es mucho mas fácil.
1332
9134
23
2
−+
++=
−+
−+
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador.
( )( ) ( )( ) ( )( )311391342
++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fracción parcial
0=x 3
03
−=
=+
x
x
1
01
=
=−
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
( )( ) ( )( ) ( )( )311391342
++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx
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( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )
A
A
CBA
CBA
=
−=−
++−=−+
++−+−+=−+
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
( )( ) ( )( ) ( )( )311391342
++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
B
B
CBA
CBA
=−
=−
−+−−+−=−−
+−−+−−−+−−+−=−−+−
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
( )( ) ( )( ) ( )( )311391342
++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
C
C
CBA
CBA
=
=
++=−+
++−+−+=−+
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta:
1
2
3
13
1332
9134
23
2
−+
+−=
−+
++=
−+
−+
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
EJERCICIOS
1) ( )( )32
18
+−
−
xx
x 2)
( )( )14
29
+−
−
xx
x 3)
124
34
2−−
+
xx
x
4) xx
x
4
125
2−
− 5)
( )( )( )321
11542
−+−
−−
xxx
xx 6)
( )( )52
20192
−+
++
xxx
xx
7) xxx
xx
54
1554
23
2
−−
−− 8)
( )( )651
1137
2+−+
−
xxx
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Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo:
( )2
2
3
3610
−
−+
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un término lineal repetido que es ( )2
3−x
Entonces lo colocamos así:
( )2
33 −+
−+
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el término repetido ( )3
3−x lo pondríamos:
( ) ( )32
333 −+
−+
−+
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos:
( )2
2
3
3610
−
−+
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del término lineal x, luego escribimos en el
denominador el término repetido elevado a la 1 y por último escribimos en el denominador el
término repetido elevado al cuadrado así:
( ) ( )22
2
333
3610
−+
−+=
−
−+
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos término repetido ya no podemos usar la forma fácil de resolver únicamente
por sistemas de ecuaciones.
Pasos operamos el mínimo común denominador y lo igualamos al numerador.
( ) ( )( ) ( )xCxxBxAxx +−+−=−+ 33361022
Operamos los paréntesis
( ) ( ) ( )xCxxBxxAxx +−++−=−+ 3963610222
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
++−−++=−+
++−−+=−+
+−++−=−+
+−++−=−+
Multiplico las letras en los paréntesis
Quito los paréntesis
Los ordeno
Factorizo asi
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Formando mis 3 ecuaciones
369
1036
1
−=
=+−−
=+
A
CBA
BA
Resolviendo me queda:
4
369
−=
−=
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuación:
5
14
14
1
=
+=
=+−
=+
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuación
1
910
109
101524
1036
=
−=
=+
=+−
=+−−
C
C
C
C
CBA
Respuesta:
( ) ( )22
2
3
1
3
54
3
3610
−+
−+
−=
−
−+
xxxxx
xx
EJERCICIOS
9) ( )2
1
32
−
+
x
x 10)
( )2
45
2
2
+
−
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
−
−+
12) 2510
10
2++
−
xx
x 13)
( )( )122
62
−+
−
xx
x 14)
( ) ( )22
2
11
2
+−
+
xx
xx
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Descomposición de una fracción parcial que contiene un factor cuadrático irreducible
482
29154
23
23
−+−
−+−
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que
realizar una división larga.
2
48223
−+− xxx 2915 4 23
−+− xxx
8 162423
+−+− xxx
2
x x− 21−
482
212
482
29154
23
2
23
23
−+−
−−+=
−+−
−+−
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador:
( ) ( ) ( )( )124124124822223
−+=−+−=−+− xxxxxxxx
42
+x es un término cuadrático irreducible por lo que ahora opero así:
124482
21
223
2
−+
+
+=
−+−
−−
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el mínimo común denominador
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
+−++−++=−−
+−+−+=−−
++−+−=−−
++−+=−−
Formar las ecuaciones:
214
12
12
−=+−
−=+−
=+
CB
BA
CA
Puedes resolverlo por el método que quieras, en este caso seguiremos practicando la
resolución por matrices
21410
1021
1102
−−
−+−
+++
Multiplico las letras en los paréntesis
Quito los paréntesis
Los ordeno
Factorizo así
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1102
21410
1021
+++
−−+
+−+
1140
21410
1021
−++
−−+
+−+
851700
214 10
1 0 21
−++
−−+
+−+
5
8517
−=
−=
C
C
1
2021
214
=
+−=−
−=+−
B
B
CB
3
21
21
12
=
+=
+=
=−
A
A
BA
BA
Respuesta:
12
5
4
132
1242
482
212
482
29154
2223
2
23
23
−
−+
+
++=
−+
+
++=
−+−
−−+=
−+−
−+−
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
11RR =−
3312 RRR =+−
1140
1102
2042
−++
+++
−+−
3324 RRR =+
851700
1 140
841640
−+
−++
−−