FRACTALES

FRACTALESA Rocío e Isa les gustan mucho unas figuras

geométricas llamadas fractales, y le proponen a sus compañeros que les ayuden a resolver el siguiente problema con el fractal que ellas mismas han construido.

Se considera un triángulo equilátero MNP de área 1 m2.

Primer paso: En el triángulo MNP, se forma el triángulo ABC uniendo los puntos medios de sus lados y a continuación se trazan segmentos que unen, respectivamente, los vértices A y C con el baricentro O, creando así el triángulo de color OAC.

Segundo paso: se repite el proceso con el triángulo PAC.

Y así sucesivamente. a) ¿Cuál es el área del triángulo de color

O”A”C” creado en el paso tercero?b) ¿Cuál es la suma de las áreas de los

triángulos de color del fractal construido desde el primero hasta el cuarto paso incluido?

c) Una vez superada esta prueba y sabiendo que un FRACTAL es un objeto geométrico cuya estructura básica, regular o irregular, se repite a todas las escalas, dibuja otro fractal diferente del anterior.

Razona las respuestas.

Solución Menú

MenúEnunciado

Solución:

a) ¿Cuál es el área del triángulo de color O”A”C” creado en el paso tercero?

Calculamos el área en el primer paso:

El triángulo ACB que contiene al primer triángulo de color tiene de área

Por tanto, el área del triángulo AOC será la tercera parte del área anterior:

2m 4

1

2m 12

1

4

1

3

1 =⋅

MenúEnunciado

Solución:

Razonando del mismo modo en el segundo paso, se tiene que:

El triángulo A’B’C’que contiene al segundo triángulo de color tiene de área

y el área del A’O’C’ será la tercera parte :

Por tanto, el área del tercer triángulo de color A’’O’’C’’ será:

2

2m

16

1

4

1 =

2m 48

1

16

1

3

1 =⋅

2

3m

192

1

4

1

3

1 =⋅

b) ¿Cuál es la suma de las áreas de los triángulos de color del fractal construido desde el primero hasta el cuarto paso incluido?

Primero calculamos el área en el 4º paso que no la teníamos. Siguiendo el mismo proceso que en el apartado anterior:

El área del cuarto triángulo de color será

Obsérvese que las áreas en los diferentes pasos son :

En el paso n-ésimo el área será

La suma que nos piden es:

Solución:

2

4m

768

1

4

1

3

1 =⋅

768

1 ,

192

1 ,

48

1 ,

12

1

2m 4

1

3

1n⋅

2m 768

85

768

1

768

4

768

16

768

64

768

1

192

1

48

1

12

1 =+++=+++

Enunciado Menú

Solución:

Enunciado Menú

c) Una vez superada esta prueba y sabiendo que un FRACTAL es un objeto geométrico cuya estructura básica, regular o irregular, se repite a todas las escalas, dibuja otro fractal diferente del anterior.

El triángulo A1 tiene de área

El triángulo A2 tiene de área

El triángulo An tiene de área

2m 8

1

4

1

2

1 =⋅

2m 32

1

4

1

2

12 =⋅

2m 4

1

2

1n⋅

HEMOS ENCONTRADOUNA SOLUCIÓN...

¿Habéis encontrado otra?¿Hay más?

Solución:

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c) Una vez superada esta prueba y sabiendo que un FRACTAL es un objeto geométrico cuya estructura básica, regular o irregular, se repite a todas las escalas, dibuja otro fractal diferente del anterior.

El triángulo A1 tiene de área

El triángulo A2 tiene de área

El triángulo An tiene de área

2m 8

1

4

1

2

1 =⋅

2m 32

1

4

1

2

12 =⋅

2m 4

1

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