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FRACTALES

Estadística para Negocios

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o

irregular, se repite a diferentes escalas.1 El término fue propuesto por el

matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del latín fractus, que significa

quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. La

propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su

dimensión métrica fractal es un número no entero.

Si bien el término "fractal" es reciente, los objetos hoy denominados fractales eran

bien conocidos en matemáticas desde principios del siglo XX. Las maneras más

comunes de determinar lo que hoy denominamos dimensión fractal fueron

establecidas a principios del siglo XX en el seno de la teoría de la medida.

Para encontrar los primeros ejemplos de fractales debemos remontarnos a finales

del siglo XIX: en 1872 apareció la función de Weierstrass, cuyo grafo hoy en día

consideraríamos fractal, como ejemplo de función continua pero no diferenciable

en ningún punto.

Existen diferentes formas de clasificar los fractales de acuerdo a las propiedades

que los describen. A continuación se presentan dos de las clasificaciones más

populares.

De acuerdo a la propiedad de auto similitud, los fractales pueden ser divididos

en tres amplias categorías, que son:

Auto similitud exacta: Este es el tipo más restrictivo de auto similitud: exige que

el fractal parezca idéntico a diferentes escalas. Estos tienen una regla de punto fijo

geométrico. A menudo la encontramos en fractales definidos por sistemas de

funciones iteradas (IFS). Ejemplos: conjunto de Cantor, triángulo de Sierpinski,

curva de Peano, copo de nieve de Koch, curva del dragón, esponja de Menger,

etc.

Cuasiautosimilitud: Exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a

diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y

distorsionadas de sí mismos. Matemáticamente D.Sullivan definió el concepto de

conjunto cuasiauto-similar a partir del concepto de cuasi-isometría. Los fractales

definidos por relaciones de recurrencia son normalmente de este tipo. Como

ejemplo tenemos: el conjunto de Mandelbrot, conjunto de Julia, y el fractal de

Lyapunov, etc.

Autosimilitud estadística: Es el tipo más débil de autosimilitud, se exige que el

fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de

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escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo. Así

tenemos, el movimiento browniano, el vuelo de Lévy, los paisajes fractales o los

árboles brownianos.

De acuerdo a la linealidad, se describen dos tipos de fractales:

Fractales lineales: Los fractales lineales

son aquellos que se construyen con un

cambio en la variación de sus escalas.

Esto implica algo muy importante, los

fractales lineales son exactamente

idénticos en todas sus escalas hasta el

infinito. Es decir si vemos una parte

específica muy pequeña de una forma

fractal la veremos igual o similar a la

forma original del fractal, solamente que más pequeña.

Fractales lineales (Creados a través de Fractint)

Fractales no lineales: Los fractales no lineales se generan creando distorsiones

no lineales o complejas. Es decir son fractales que presentan una estructura

similar, pero no son exactamente

igual a su original. Si vemos de cerca

una parte específica de un fractal se

parecerá al original pero tendrá unas

pequeñas variaciones. En la Figura

2 se muestran algunos ejemplos. (3)

Fractales no lineales (Creados a

través de Fractint)

Posteriormente aparecieron ejemplos con propiedades similares pero una

definición más geométrica. Dichos ejemplos podían construirse partiendo de una

figura inicial (semilla), a la que se aplicaban una serie de construcciones

geométricas sencillas. La serie de figuras obtenidas se aproximaba a una figura

límite que correspondía a lo que hoy llamamos conjunto fractal. Así,

en 1904, Helge von Koch definió una curva con propiedades similares a la de

Weierstrass: el copo de nieve de Koch. En 1915, Waclaw Sierpinski construyó

su triángulo y, un año después, su alfombra.

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A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:

* Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.

* Posee detalle a cualquier escala de observación.

* Es auto similar (exacta, aproximada o estadística).

* Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su

dimensión topológica.

* Se define mediante un simple algoritmo recursivo.

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