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θ

O

MOVIMIENTO PARABÓLICO DE CAÍDA LIBRE (MPCL) Y MOVIMIENTO

CIRCULAR UNIFORME (MCU) MOVIMIENTO DE PROYECTILES Si consideramos el movimiento de una pelota de fútbol cuando es lanzada con un cierto ángulo de inclinación respecto a tierra, notaremos que describe una trayectoria curvilínea y que en ausencia del aire esta curva es una parábola, En la figura se muestra la trayectoria parabólica de un

proyectil lanzado con velocidad →

oV . La componente yV de la velocidad es cero en el punto

más alto de la trayectoria. La componente xV de la velocidad permanece constante en el tiempo, debido a que no hay aceleración a lo largo de la dirección horizontal. ECUACIONES VECTORIALES Analizamos el movimiento parabólico como la composición de dos movimientos independientes, uno horizontal (MRU) y el otro vertical (Caída libre). Con respecto al origen de coordenadas en “O”: PARA EL MOVIMIENTO HORIZONTAL:

→ →

= xX V .t

Considerando el origen de coordenadas en “O”, el desplazamiento coincide con la posición, ya que xo= 0. →

= ∆ =

d X X = desplazamiento horizontal PARA EL MOVIMIENTO VERTICAL:

→ → →

= +y 0yv v g t

→ →

= + ⋅∆2 2y 0yv v 2 g y

→ → → →

= + + ⋅ 20 0y

1y y v t g t2

→ →→

+

∆ =

y0yv vy t

2

Ecuación de la trayectoria:

→→ → →

− = θ +θ

20 0 2 2

0 0

gy y (tan ) x x2v cos

ECUACIONES ESCALARES ALTURA MÁXIMA:

=

2o Y

max

Vh

2g

= θ

maxmax1h X . tg4

ALCANCE MÁXIMO:

= θ

2o

max

Vx .Sen(2 )

g

NOTA:

1. Si el ángulo de lanzamiento es de 45º, se logra un máximo alcance.

2. Para un móvil que es lanzado con la misma rapidez

inicial, pero con ángulos de lanzamiento complementarios, en ambos casos se logra el mismo alcance.

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U.)

Si en el movimiento curvilíneo de un cuerpo el radio de curvatura permanece constante entonces la trayectoria curvilínea es una circunferencia. En la figura se muestra un cuerpo que realiza un MCU, su rapidez es 10 m/s y es constante, sin embargo su velocidad cambia en dirección.

FÍSICA

4 CIENCIAS

Física Teoría y ejercicios – Semana 4

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30º

BH

A

θ

37º

DESPLAZAMIENTO LINEAL (S) Es la longitud de la trayectoria circular que recorre un móvil. DESPLAZAMIENTO ANGULAR (θ) Es el ángulo barrido por el radio y se mide en radianes.

= θ ⋅S R

VELOCIDAD LINEAL O TANGENCIAL →

(V) En el MCU, la magnitud de la velocidad lineal se

calcula: =SVt ; m/s

VELOCIDAD ANGULAR (→ω )

En el MCU, la velocidad angular es constante.

θω =

t

Relacionando “V” con “ω ” tenemos: V = ω ⋅R

PERIODO (T) Es el tiempo que tarda un móvil o partícula en dar una vuelta a la circunferencia que recorre.

[ ] π=

ω2T ; s

FRECUENCIA (F): Indica el número de revoluciones o vueltas que realiza un móvil por unidad de tiempo.

= =Nº de revolucionesNf

t tiempo transcurrido

ω

= =π

1fT 2 ; [Hertz: Hz = s–1]

EJERCICIOS DE CLASE

1. Se lanza una partícula con velocidad

→= +0 ˆ ˆV (9i 9 3 j) m/s. Calcule la altura “H” en que

la partícula golpea la rampa AB.

A) 5 j m

B) 10j m

C) 20 j m

D) 30 j m

E) 40 j m 2. Desde lo alto de una rampa, se lanza un proyectil

como se muestra en la figura. Exprese el tiempo que demora el proyectil en llegar a la parte inferior de la rampa en términos de V0, g y θ.

A) θ

02Vg.Cos

B)θ

02Vg.Sen

C) θ0VTg

g

D) θ0V2 Cos

g

E) θ0V

Cosg

3. ¿Cuál será el valor de R del proyectil de la figura

si es lanzado con una rapidez de 20 m/s.

A) 50 m

B) 75 m

C) 82 m

D) 125 m

E) 97 m

V = 10 m/s

V = 10 m/s

V = 10 m/s

θ B A

R

S

R

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y(m)

x(m) 37º

B

A 45º

0

Y

X

H/2

H

P

R

α

4. Un proyectil es lanzado desde el punto A con una velocidad inicial de magnitud 30 m/s haciendo un ángulo de 37º con la horizontal y llega perpendicularmente al plano inclinado mostrado en la figura, en el punto B. Calcule el tiempo de vuelo del proyectil. (g = 9,81 m/s2)

A) 1,22 B) 2,64 C) 3,46 D) 4,28 E) 5,20

5. Desde un globo aerostático que asciende con una velocidad constante de =

0ˆV 6j m/s , se lanza una

pelota con una velocidad de =

ˆV 5i m/s , con respecto al globo. Si la pelota experimenta un alcance horizontal de ˆ15i m hasta llegar al suelo. Calcule la altura H (en m) del punto de donde se lanzó la pelota. = −

2ˆ(g 9,81 j m/s ) A) 20,82 j B) 22,12 j C) 25,12 j

D) 26,14 j E) 27,92 j

6. Se dispara un proyectil desde el origen de coordenadas, demorando un tiempo de 10 s para impactar sobre la horizontal. ¿Qué tiempo demora en recorrer su trayectoria entre el punto P y el punto de impacto R? (g = 10 m/s2)

A) 1,5 s B) 3 s C) 4,5 s D) 6 s E) 8,5 s

7. La altura de un acantilado es de 60 m y desde él se lanza horizontalmente una piedra con una rapidez de 60 m/s. ¿Con qué ángulo la piedra choca con el agua? A) 30º B) 37º C) 53º D) 45º E) 74º

8. La ecuación de la trayectoria que describe un proyectil es: = − 24y 4 3x 5x en unidades del SI. Halle la rapidez en el punto más alto de la trayectoria. (g = 10 m/s2)

A) 1 m/s B) 2 m/s C) 4 m/s D) 5 m/s E) 8 m/s

9. Desde un avión cuya rapidez es de 270 km/h, se suelta un cuerpo de 10 kg. Si el avión vuela horizontalmente a una altura de 1000m calcule la rapidez del cuerpo cuando se encuentra a 500 m de altura. (g = 10 m/s2)

A) 50 m/s B) 125 m/s C) 135 m/s D) 100 m/s E) 150 m/s

10. Dos partículas se mueven con MCU en sentido antihorario; en cierto instante t = 0 las partículas se encuentran como muestra la figura adjunta. SI las magnitudes de sus velocidades angulares son ωA = 30 rad/s y ωB = 10 rad/s respectivamente, hallar el tiempo que tarda la partícula A en alcanzar a B por primera vez.

A) s20π B) 2 s

50π C) s

80π D) 3 s

40π E) s

60π

11. En el gráfico mostrado, los móviles A y B se

mueven con MCU; cuando se cruzan por primera vez el desplazamiento angular de A

Será.

A) π rad B) π2

rad C) π3

rad

D) π23

rad E) rad

π/4

A

B

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53º

210 m

B

A

V0

12. Una partícula describe un arco de 20 m con MCU en 10 s. Halle la rapidez. A) 1 m/s B) 2 m/s C) 3 m/s D) 4 m/s E) 5 m/s

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN

1. Un cuerpo se lanza horizontalmente desde el

techo de un edificio a razón de 0,5 m/s y cae al piso 1,5 m delante del punto de lanzamiento. Determine (en m) la altura del edificio.

A) 20 B) 30 C) 35 D) 40 E) 45

2. Se tiene dos puntos A y B en la trayectoria de un

proyectil, donde la rapidez de un móvil es 8 m/s y 10 m/s respectivamente. Si uno de los puntos es el de máxima altura halle la distancia (en m) entre los puntos A y B. (g = 10 m/s2)

A) 5,1 B) 6,1 C) 7,1 D) 8,1 E) 9,1

3. Un cañón dispara un proyectil con una velocidad de

( )= +

0 ˆ ˆV 600 i 800 j m/s . ¿A qué altura (en m) se encuentra un objetivo si horizontalmente se encuentra a ˆ1000 i m del cañón?

A) ˆ1119 j m B) ˆ1219 j m C) ˆ1319 j m

D) ˆ1419 j m E) ˆ1519 j m 4. Una esfera es lanzada con una rapidez de 50 m/s

en el punto “A”. Si impacta en “B”, ¿qué ángulo forma la velocidad de impacto con la horizontal?

A) 30º

B) 37º

C) 45º

D) 53º

E) 60º

5. Al lanzar un cuerpo con un ángulo sobre la horizontal “α”, se tiene que su altura máxima es la sexta parte de su alcance horizontal. Hallar “α”. A) 37º B) 45º C) 53º D) arc tg(1/3) E) arc tg(2/3)

6. Calcule la rapidez del móvil en el punto “P”. El

cuerpo es lanzado horizontalmente desde el punto A y llega al punto B como indica la figura. (g = 10 m/s2 )

A) 15 m/s

B) 20 m/s

C) 40 m/s

D) 45 m/s

E) 25 m/s 7. ¿Un dardo es lanzado desde el punto A con una

rapidez V0 = 15 m/s formando un ángulo de 53° con la horizontal y se incrusta en el punto B perpendicularmente al plano inclinado. Calcular el tiempo en movimiento g = 10 m/s2. A) 3 s. B) 4 s. C) 2,5s. D) 5,5 s. E) 3,5 s.

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10 m/s Y

37º X

8. En el tiempo t = 0 s se lanza desde la azotea de un edificio un proyectil con una rapidez de 10 m/s y un ángulo de elevación de 37º. Determine el desplazamiento (en m) de dicho proyectil desde t = 0 s hasta t = 4 s, cuando llega al piso.

A) + −ˆ ˆ( 16i 28j) M

B) + +ˆ ˆ( 16i 28j)M

C) + +ˆ ˆ( 32i 56j) M

D) + −ˆ ˆ( 32i 56j) M

E) − +ˆ ˆ( 32i 56j) m 9. Un alumno es arrojado horizontalmente de un

edificio de 20 m de altura. ¿Con qué rapidez debe ser arrojado para que caiga sobre una cama que se encuentra a 12 m de la base del edificio? (g = 10 m/s2) A) 3 m/s B) 6 m/s C) 8 m/s D) 2 m/s E) 5 m/s

10. Un objeto pequeño es lanzado desde el suelo con

( ) + 72i 21 j m/s determine luego de cuántos

segundos su velocidad formará 53° con la velocidad inicial.

(g = 10 m/s2) A) 2,5 s B) 5,5 s C) 7,5 s D) 4,7 s E) 10 s

11. Una polea de radio 0,5 m está girando a la velocidad angular de 180 rpm, entonces la velocidad lineal de un punto periférico de la polea es igual a (en m/s): A) π B) 2π C) 18π D) 3π E) 60π

12. El disco de la figura tiene MCU, si las rapideces lineal o tangencial de los puntos A y B son 40 cm/s y 30 cm/s respectivamente. ¿Qué radio tiene el disco?

A) 4 cm B) 8 cm C) 12 cm D) 16 cm E) 20 cm

13. En la figura, dos discos de madera están fijados sobre un mismo eje y separados por 0,5m; el eje gira a 1600 RPM. Una bala se desplaza paralelamente al eje y atraviesa ambos discos, originando dos agujeros que están desviados en 12°. ¿Qué rapidez tenía la bala?

A) 100m/s B) 200m/s C) 300m/s D) 400m/s E) 500m/s

14. Un disco tiene un agujero a 20 cm de su centro de

giro, tal como muestra la figura. Desde una altura de 45 cm se suelta una bolita de vidrio en el instante en que la bolita y el agujero están en línea recta. ¿A qué velocidad angular constante debe girar el disco tal que la bolita atraviese el agujero en la primera vuelta?

A) π203

rad/s B) π20 rad/s

C) π253

rad/s D) π153

rad/s

E) π103

rad/s

0,5 m 12º

ω