Funciones Abiertas

Migue Angel Gonzalez Gutıerrez

Universidad del Tolima

Facultad de Ciencias Basicas

Departamento de Matematicas y Estadıstica

Programa de Maestrıa en Matematicas

Ibague

Noviembre 1 de 2015

1. Funciones Abiertas

Definicion 1.

Sea X y Y son espacios metricos. Entonces T : D(T ) −→ Y con dominio D(T ) es

llamado un mapa abierto si para cada conjunto abierto en D(T ) la imagen de el es un

conjunto abierto en Y

Proposicion 1.

Sea T : X −→ Y un operador lineal donde X y Y son espacios normados y A ⊂ X

entonces

T

( ∞⋃k=1

kA

)=∞⋃k=1

kT (A) donde kA = {x ∈ x | x = ka ∃ a ∈ A} y k > 0

Proposicion 2.

Sea X un espacio normado y A ⊂ X entonces el conjunto kA es cerrado en X y ademas

Si A ⊂ B entonces kA ⊂ kB con k > 0 y A+ k ⊂ B + k.

Lema 1. (Bola abierta unitaria)

Un operador lineal acotado de un espacio de Banach X sobre un espacio de Banach Y

tiene la propiedad de que la imagen T (B0) de una bola abierta unitaria B0 = B(0, 1) ⊂

X contiene una bola abierta cerca del 0 ∈ Y

Demostracion

Procedimiento para realizar la prueba.

a) La clausura de la imagen de una bola abierta B1 = B(0, 12

) contiene una bola abierta

B∗

b) T (Bn) contiene una bola Vn cerca 0 ∈ Y , donde Bn = B(0, 2−n) ⊂ X.

c) T (B0) contiene una bola abierta cerca 0 ∈ Y .

a)

Consideremos la bola abierta B1 = B(0, 1

2) ⊂ X. Entonces para cualquier x ∈ X fijo

2

(k > 2||x||). Por tanto tenemos

X =

∞⋃k=1

kB1.

Por ser T sobreyectiva, linear y por las proposiciones 1,2 tenemos

Y = T (X) = T

( ∞⋃k=1

kB1

)=∞⋃k=1

kT (B1) =∞⋃k=1

kT (B1)

Notemos que no necesitamos anadir mas punto ala union porque la union es todo el

espacio Y , y tambien notemos que Y es un conjunto de segunda categorıa o no magro

porque es uniones de algunos conjuntos no raro y como Y es completo por ser Y un

espacio de Banach tenemos por el teorema 4,7 − 2 (categorıa de Baire), que kT (B1)

contiene una bola abierta V lo cual implica que T (B1) contiene una bola abierta1

kV y

a esa bola abierta la llamamos B∗ = B(y0, ε) ⊂ T (B1) de donde tenemos

(1) B∗ − y0 = B(0, ε) ⊂ T (B1)− y0

b)

Ahora se probara B∗ − y0 ⊂ T (B0) donde B0 = B(0, 1) en efecto.

Sea y ∈ T (B1) − y0. Entonces y + y0 ∈ T (B1 y por lo anterior tenemos y0 ∈ T (B1),

tambien por el teorema 1.4-6 [clausura] parte (a) entonces existe sucesiones (un) y (vn)

tal que

un = Twn ∈ T (B1) donde un −→ y + y0,

vn = Tzn ∈ T (B1) donde vn −→ y0,y ademas tenemos wn, zn ∈ B1 y B1 tiene

radio1

2, luego tenemos

||wn − zn|| ≤ ||wn||+ ||zn|| <1

2+

1

2= 1

Lo que implica wn − zn ∈ B0. Lo cual cuando n −→∞ se tiene

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T (wn − zn) = Twn − Tzn = un − vn −→ y + y0 − y0 = y

lo cual vemos y ∈ T (B0). y ası vemos que T (B1)− y0 ⊂ T (B0)

luego por (1)y propiedad transitiva tenemos lo que querıamos probar es decir

(2) B∗ − y0 = B(0, ε) ⊂ T (B0)

Ahora sea Bn = B(0, 2−n) ⊂ X. Como T es linear, tenemos T (Bn) = 2−nT (B0) por

(2) obtenemos

(3) Vn = B(0, ε

2n) ⊂ T (Bn)

c)

Ahora para terminar debemos probar que

V1 = B(0, ε2) ⊂ T (B0)

En efecto Sea y ∈ V1 cualquiera entonces por (3) en n = 1 tenemos V1 ⊂ T (B1) lo

cual implica que y ∈ T (B1) luego por definicion de la clausura tenemos que existe un

v ∈ TB1) tal que para cualquier ε > 0 se tiene ||y − v|| < ε en particular tenemos

||y − v||| < ε

4y como v ∈ TB1) implica que v = Tx1 para algun x1 ∈ B1, de donde

obtenemos

||y − Tx1|| <ε

4

Luego por (3) con n = 2 tenemos y − Tx1 ∈ v2 ⊂ T (B2) lo cual por nuevamente por

definicion de clausura tenemos que existe un x2 ∈ B2 talque

||(y − Tx1)− Tx2|| <1

8

4

de donde obtenemos y−Tx1−Tx2 ∈ V3 ⊂ T (B3) y repitiendo el razonamiento n veces

utilizando (3) llegamos a que existe un xn ∈ Bn talque

(4) || y −n∑

k=1

Txk || < ε

2n+1

Sea zn =n∑

k=1

xk donde cada Bk ∈ Bk luego por hipotesis tenemos ||xk|| <1

2k. Entonces

si n > m tenemos

||zn − zm|| ≤n∑

k=m+1

||xk|| ≤∞∑

k=m+1

||xk|| <∞∑

k=m+1

1

2k−→ 0

cuando m −→ 0 ya que la serie geometrica converge en1

2y ademas tenemos

∞∑k=1

1

2k= 1

de donde∞∑

k=m+1

1

2k= 1−

m∑k=1

1

2k

Por tanto (zn) es de Cauchy y como X es completo tenemos que (zn) es convergente y

ası zn −→ x donde x ∈ X y por otro lado tenemos que

||zn|| ≤n∑

k=1

||xk|| <n∑

k=1

1

2k

y de aquı se ve por la serie geometrica y zn −→ x que

||x|| < 1 luego x ∈ B0 y como T es acotado entonces es continua luego Tzn −→ Tx y

por (4) se ve claro que tx = y, de donde concluimos que y ∈ T (B0)

Teorema 1. Un operador lineal acotado T que va de un espacio de Banach X sobre

un espacio de Banach Y entonces T es abierto, y ademas si T es biyectiva entonce T−1

es continua y es acotada.

Demostracion Sea T un operador acotado lineal que va de un espacio de Banach X

sobre un espacio de Banach Y , debemos ver que T es un mapa abierto, en efecto

Sea A un conjunto abierto y supongamos que y ∈ T (A) entonces existe x ∈ A tal que

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Tx = y, como A es un conjunto abierto tenemos que existe un bola abierta B centrada

en x que esta totalmente contenido en A, y su pongamos sin perdida de generalidad

que el radio de esa bola abierta sea r es decir B = B(x, r) entonces el conjunto1

rA−x

contiene la bola abierta B0 = B(0, 1) =1

rB(x, r)− x, luego por el lema 1 tenemos que

T (B0) contiene una bola abierta B∗ cerca del cero y como T (B0) ⊂ T (1

rA − x), por

lo que T (1

rA − x) =

1

kT (A) − T (x) contiene una bola abierta B∗ y por tanto T (A)

contiene un bola abierta cerca de y que es kB∗ + y lo que implica que T (A) es un

conjunto abierto y por tanto T es un mapa abierto.

Si T es una funcion biyectiva tenemos que G = T−1 existe y sea B un abierto de X

como T es un mapa abierto tenemos que T (A) es un abierto y por otro lado tenemos

G−1(A) = T (A), lo cual tenemos que la imagen reciproca de G es abierta y por teorema

de continuidad tenemos que G es continua y como T es un operador lineal entonces G

tambien lo es y por ser G continua tenemos por teorema 2.7-9 tenemos que acotada.

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