Función De Transferencia

Introducción

Trabajar en el dominio de Laplace no solamente es útil para la resolución matemática de ecuaciones sino que se presta especialmente para ser utilizado con el concepto de función de transferencia. En general un proceso recibe una entrada u(t) y genera una salida y(t). Si llevamos estas señales al dominio de Laplace tendremos una entrada U(s) que genera una salida Y(s). La función que relaciona salida con entrada se denomina función de transferencia g(s).

De modo que Y(s) = g(s)×U(s)

ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

El análisis en el dominio de la frecuencia es una herramienta clásica en la teoría de control, si bien en general los sistemas que varían con una periodicidad definida no suelen ser los más comunes en la ingeniería de procesos. En la actualidad, con el desarrollo de herramientas computacionales la simulación en el dominio del tiempo es mucho más sencilla y en consecuencia este tipo de análisis ha perdido algo de importancia práctica. No obstante sigue teniendo un valor conceptual y una sencillez en la comprensión intuitiva muy importantes. Veremos entonces algunos elementos muy primarios, como para tener una primera aproximación.

Sea G(s) la función de transferencia de un sistema lineal al que se le aplica una señal de entrada que varía sinusoidalmente con el tiempo, x(t) = A sin t . Por lo tanto la respuesta estará dada por:

Si las raíces de la ecuación característica del sistema son distintas se podrá realizar la siguiente expansión:

Y por lo tanto la respuesta en el dominio del tiempo será:

Y dado que los términos exponenciales tienden a cero con el tiempo, si no tomamos en cuenta la porción inicial de la respuesta

Esto es, la respuesta a largo plazo del sistema al que se le aplica una señal sinusoidal es también sinusoidal. El mismo resultado se obtiene si se consideran raíces repetidas y en el caso de que tenga una raíz nula aparece además un término constante.

Volviendo nuevamente a la expresión en el dominio de Laplace, multiplicando por A en ambos lados de la igualdad:

Expresión que evaluada en s = j resulta

O bien

Esta expresión se puede representar en el plano imaginario como un fasor

Y puede expresarse el módulo y el ángulo de desfasaje de la siguiente manera

O bien

En particular para procesos de primer orden

La respuesta en el dominio del tiempo a una entrada sinusoidal es:

Pero el término exponencial decae con el tiempo y queda

Donde:

y la amplitud de la salida es:

Muchas veces se habla de amplitud relativa:

E incluso de amplitud relativa normalizada:

Sistema en cascada

1 2( ) ( )y k u k1( )u k 2 ( )y k1( )h k 2 ( )h k

En el domino de Z:

( )u z 2 ( )y z1 2( ) ( ) ( ) H z H z H z

Sistema realimentado

( )u k ( )y k

1( )h k

2 ( )h k

Sistema de Retroalimentación

En la figura 1 se muestra una conexión típica de retroalimentación. La señal de entrada, Vs, se aplica a una red mezcladora en donde se combina con la señal de retroalimentación, Vf. La diferencia entre estas dos señales, V, es el voltaje de entrada del amplificador. Una parte de la salida del amplificador, Vo, se conecta a la red de retroalimentación (β), la cual proporciona una parte reducida de la salida como señal de retroalimentación a la red mezcladora de la entrada.

Dependiendo de la polaridad relativa de la señal que está siendo retroalimentada, esta puede ser negativa o positiva. La retroalimentación positiva lleva a un circuito a la oscilación. Si la señal de retroalimentación es de polaridad opuesta a la señal de entrada, como se muestra en la figura 1, la retroalimentación es negativa. La retroalimentación negativa da como resultado una disminución de la ganancia de voltaje total, se obtienen varias mejorías, como:

1. Ganancia de voltaje más estable. 2. Respuesta en la frecuencia mejorada. 3. Ruido reducido. 4. Operación más lineal.Tipos de conexión de retroalimentación.Existen cuatro formas básicas de conectar la señal de retroalimentación. Pueden ser retroalimentados tanto voltaje como corriente a la entrada, ya sea en serie o en paralelo. Específicamente pueden ser las ilustradas en la figura 2: 1. Retroalimentación de voltaje en serie (figura 2a). 2. Retroalimentación de corriente en serie (figura 2b). 3. Retroalimentación de corriente en paralelo (figura 2c). 4. Retroalimentación de voltaje en paralelo (figura 2d).

Voltaje se refiere a la conexión del voltaje de salida como entrada a la red de retroalimentación; corriente significa derivar alguna corriente de salida a través de la red de retroalimentación. Serie es conectar la señal de retroalimentación en serie con el voltaje de la señal de entrada, y paralelo quiere decir la conexión de la señal de retroalimentación en paralelo con una fuente de corriente de entrada.Retención de Orden Cero.El circuito de retención mantiene el valor del pulso de la señal muestreada durante un tiempo específico. El muestreador y el retenedor son necesarios en el convertidor a/d para producir un número que represente de manera precisa la señal de entrada en el instante de muestreo.El circuito de muestreo-retención, es un circuito analógico, que es simplemente un dispositivo de memoria de voltaje, en el que se adquiere una entrada de voltaje y se almacena en un capacitor de alta calidad con características de absorción y fugas bajas dieléctricamente.El esquema básico de un circuito de captura y mantenimiento, así como su representación simplificada, se ofrece en la figura: