FUNCION EXPONENCIALFUNCION EXPONENCIAL

1. Halla "x":a) 2x+1 = 4x b) 2x=1/16 c) 3x+1 = 9x-2

d) 5 = 25x e) 51

= 25x f) 9 = 3 2-x2g) 81 = 3 3-2x

h) 41

= 2 3-x 2 i) 31-x 3 = 3 j) 16 = 2 x1+x k) 81 = 3 x1-2x

Sol: a) x=1; b) x=-4; c) x=5; d) x=1/4; e) x=-1/2; f) x="2; g) 7/2; h) x="1; i)4/3; j) 1/3; k) -1/2

2. Halla "x":a) x = 271/3 b) 5 = x1/2 c) 2 = 32x d) 27 = x3/2

e) 32 = 4x f) 8 = x3/2 g) 27 = 32x h) 0,001 = 10x

i) 100 = 101

x

j) 9 = 3 1+xx k) 27 = 92x l) 8 = 2 22x

m) 100 = 103x n) 0,01 = 10 1-2x

Sol: a) x=3; b) x=25; c) x=1/5; d) x=9; e) x=5/2; f) x=4; g) 3/2; h) x=-3; i) -2;j) -2; k) x=3/4; l) x=3; m) x=2/3; n) x=-1/2

3. Simplifica las siguientes expresiones:

a) 3 . 9 . 3 21-x2+x b) 2 . 2 . 2 x-31-x1-x 2c)

84

1-x

2-x

d) 9 . 2

3 + 3x

x1+x

e) 4

2 . 3 + 22-x

1-x1+x

f) e

e + e4x

+3x1-x

g) 2 + 2

2 . 41-x1+x

x-3x

h) 3 . 3

9 . 31+xx

x1+x

2 i) e

e - e1-2x

2-x1+x

Sol: a)3 2+3x ; b)2 1+x 2; c)2 1--x ; d) 3 . 2 -x ; e) 2 . 7 x-3 ; f) e e +

e1

3x-3

; g)

324

;

h)3 x-2x 2; g) ( ) e 1 - e 1--x3

4. Resuelve:

a) 4 = 9 + 3 1+x-x b) 2187 = 3 +32x c) 91

= 3 2-x1+x

d) 3 = 3 +33x-x2e) 10 = 10 1+x

1-x 2

f) 0 = 3 - 3 1+x1-2x

g) 500 = 5 . 3 + 5 3-6x1+2x h) 12- = 2 - 4 1+x2-x i) 0 = 77 - 3 . 4 - 3 x2)+(x 2

Sol: a) x=-1; b) x=2; c) x=1; d) x=1, x=2; e) x=2; f) x=2; g) 1; h) x=3; i)x=0

5. Resuelve los siguientes sistemas:

a)9 = 3

81 = 3

x-y

y+x

b)3 = 3

36 = 3 + 3

x-y

yx

c)64 = 2

20 = 2 + 2x+y

yx

d)23 = 3 - 2

7 = 3 + 22y1+2x

yx

e)3 = 3

32 = 22y-x

y-2x

f)2 = 2 . 2

3 = 9 . 3

61+y1-x

8yx

g)108 = 3 - 3 . 5

15 = 3 - 3 . 2

1+y2+x

1-y1+x

h)4 = 3 . 4 - 2 . 5

42- = 3 . 2 - 2 . 3

1-y1+x

yx

i)28 = 3 + 5

32 = 3 . 2 - 5 . 2

1+yx

2+yx

j)79 = 2 - 3

235 = 2 - 3

1-y1-x

1+yx

Sol: a) x=1, y=3; b) x=2, y=3; c) x=4, y=2; x=2, y=4; d) x=2, y=1; e) x=3,y=1; f) x=4, y=2; g) x=1, y=2; h) x=2, y=3; i) x=2, y=0; j) x=5, y=2

6. Resuelve:a) e = e 1)-(x 22-x b) 2 = 4 3-2x1+x c) 8 = 2 3-x1-x

d) 702- = 9 - 3 2+x1+2x e) 625 = 5 2-3x f) 1 = 5 6-x-x2

g) 54- = 3 - 3 2x1-2x h) 32 = 2 - 4 2+xx i) 25 = 5 3-x2-x

Sol: a) x=0; b) x=ò; c) x=4; d) x=1; e) x=2; f) x=-2, x=3; g) x=2; h) x=3; i)x=4

7. Resuelve:

a) 27 = 3 2+x+52x b) 120 = 3 + 3 + 3 + 3 1-xx2-x1+x c) 21

= 2 + 4 1-xx

d) 8 = 2 +3x+5-x e) 511 = 2 + ... + 8 + 4 + 2 + 1 x

f) 3280 = 3 + ... + 27 + 9 + 3 + 1 x g) 1365 = 4 + ... + 64 + 16 + 4 + 1 x

h) 19531 = 5 + ... + 125 + 25 + 5 + 1 x i)55987 = 6 + ... + 216 + 36 + 6 + 1 x

j) 19608 = 7 + ... + 343 + 49 + 7 + 1 x k) 29 = 2 + 2 + 2 + 2 3-x1+x1-xx

Sol: a) x=-1; b) x=3; c) x=-1; d) x=-1; e) x=8; f) x=7; g) x=5; h) x=6; i) x=6;j) x=5; k) x=3

8. Resuelve las siguientes ecuaciones:a) 3.3x=27 b) 5.3x=405 c) 2x/4=4 d) 42x+1=1/4Sol: a) x=2; b) x=4; c) x=4; d) x=-1

9. Las siguientes ecuaciones exponenciales tienen soluciones enteras. Hállalas:

a) 16 = 2x2b) 81 = 3 3-x c)

91

= 3x d) 3 = 31

x

Sol: a) x=2; b) x=7; c) x=-4; d) x=-1/2

10. Resuelve mediante un cambio de variable:a) 22x-3.2x-4=0 b) 3x+3x-1-3x-2=11 c) 2x+2-x=65/8Sol: a) x=2; b) x=2; c) x=3, x=-3

11. Resuelve las siguientes ecuaciones:a) 3x+2 = 729 b) 23x-2 = 16 c) 5x+5x+1 = 750 d) 10002+x = 1

EJERCICIOS DE LOGARITMOS

Ejercicio 1.- Halla el valor de x en las siguientes expresiones:

(a) 225log =x

(b) 3216log =x

(c) 2

14log =x

(d) 2

14log −=x

(e) 2

13log =x

(f) 3343log =x

(g) 664

1log −=x

(h) 2

15log −=x

(i) 2100

1log −=x

(j) 2

532log =x

(k) 481log −=x

(l) 249log =x

Ejercicio 2.- Calcula el valor de las siguientes expresiones:

(a) 35

26

2512·2

4·64log (b)

3327·81

729·27log (c)

125

625·25log

4

5 (d)2401

343·49log

3

7

Ejercicio 3.- Sabiendo que log 2 ≈ 0,3 y que log 3 ≈ 0,48 , calcula estos logaritmos decimales.

(a) log 4

(b) log 5

(c) log 6

(d) log 8

(e) log 12

(f) log 15

(g) log 18

(h) log 24

(i) log 25

(j) log 30

(k) log 36

(l) log 40

(m) log 45

(n) log 60

(o) log 72

(p) log 75

Ejercicio 4.- Conociendo los valores de log 2 y log 3, halla los valores de las siguientes expresiones:

(a) log 14,4

(b) log 0,048

(c) log 2,88

(d) log 0,015

(e) log 3600

(f) log 76,5

(g) log 3 240

(h) log 8,12

4,5

(i) log 4,14

8,10

(j) log 6,4· 4,2

(k) log 32,0

25,1

(l) log 6,1·2,3

(m) log 8

025,0

(n) log 4 3

53

80·0125,0

64,0·2,3

(o) log 6561

1

(p) 5

5

12log

(q) log 3

5

9

(r) log 4 25,781

Ejercicio 5.-

Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

(a) ( ) 3log115log2

143log +=+++ xx

(b) ( ) 3125log2log952 =++− xx

(c) ( ) 416log5log742 =++− xx

(d) 2

log32loglog3x

x =−

(e) 12

loglog2 −= xx

(f) 9

32loglog3

3log2

5log5 −=+ x

xx

(g) 10

log3log2x

x +=

(h) ( ) 216loglog2 =−− xx

(i) ( ) ( ) 232log35log 32 =++− xx

(j) 5log132log13log −=−−+ xx

(k) ( )

( ) 25log

11log3log 3

=−

−+x

x

(l) ( ) ( ) 04log328log 3 =−−− xx

Ejercicio 6.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas:

(a)

=+=+

3loglog

70

yx

yx

(b)

=−=−

1loglog

1122

yx

yx

(c)

=+=−

7loglog

8

22 yx

yx

(d)

=+=+

6loglog

5log35loglog33 yx

x

(e)

=+=−1loglog

7log3log2

yx

yx

(f)

=

=+

3log

5log3log2

y

xyx

(g)

−=−=+

2log2log2

3loglog

yx

yx

(h)

=−=+

1loglog

22

yx

yx

(i) ( )( )

=+

=−

2

13log

218log

x

y

y

x

(j)( ) ( )

==−++

+ 1122

33logloglogyx

yxyx

COMPLEJOS EJERCICIO 1 : Calcula en forma binómica y representa gráficamente la solución:

a)

i21ii3 3

b)

i23

i2i13 4

c)

i24

i32i10 7

d)

i71i71i25 21

e)

i1i3 2

f)

i3

i1i5 10

EJERCICIO 2 : a Representa gráficamente el número z 1 i y halla su opuesto y su conjugado. b Expresa en forma polar z 1 i. EJERCICIO 3 : i.322zcomplejo el número Considera a Represéntalo gráficamente y escribe su opuesto y su conjugado. b Expresa z en forma polar. EJERCICIO 4 :

te.gráficamen lorepreséntay 6z complejo número el binómica formaen Expresa a) 210

b Escribe el opuesto y el conjugado de z.

EJERCICIO 5 : .2

i31 que z, sabiendo z valor de Calcula el 6

EJERCICIO 6 : i.322mplejo z número cotencia del cuarta poCalcula la EJERCICIO 7 : Halla las raíces cuartas de 16 y represéntalas gráficamente. ¿Qué figura obtienes si unes los afijos de las raíces obtenidas? EJERCICIO 8 :

nirnemos al uigura obte . ¿Qué fi1 de hallarresultadosmente los ta gráficasenpreRe 3 los afijos de las raíces obtenidas? EJERCICIO 9 : Halla las raíces sextas de 1 e interpreta gráficamente los resultados obtenidos. EJERCICIO 10 : Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 0z27z3 24 b) ix3 8 0 c) 2z6 2 0 EJERCICIO 11 :

polar. formaen exprésalosy conjugado,su y opuestosu 2i,2z Representa EJERCICIO 12 : i.31do que z, sabienCalcula z 8 EJERCICIO 13 : Halla los números complejos, z, que cumplen la siguiente igualdad: z3 64 0

EJERCICIO 14 : Calcula: 4 81 EJERCICIO 15 : Halla un número complejo, z, sabiendo que una de sus raíces quintas es 2 2i. EJERCICIO 16

números. treslos representay conjugado,su y opuestosu escribe i,31z complejo número el Dadoa)

a polar. en formzyzz,Escribe b) EJERCICIO 17 : i.232ado de z el conjug opuesto yEscribe el Escribe los tres números en forma polar y represéntalos. EJERCICIO 18

302ómica z forma binEscribe ena)

polar.y binómica formaen conjugadosu y opuestosu Hallab) .z y zta z,senpreRec )

EJERCICIO 19

i.3zpolarformaenExpresaa) z. de conjugado ely opuesto elpolar formaen y binómica formaen Escribeb)

.zy zz, Representac) EJERCICIO 20 : Calcula:

i21

ii32a)25

4 81b)

37i

i43i31c)

3 i22d)

i4i32ie)

30

4 1f) 3 i27g) 28ii31i22h)

i2ii7i)43

3 i344j)

EJERCICIO 21 : Calcular x para que i3i9x

sea un número imaginario puro.

EJERCICIO 22 : El número complejo de módulo 12 y argumento 150º es el producto de dos número complejos, uno de los cuales es el número 4. Di cuál es el otro y exprésalo en forma binómica. EJERCICIO 23 : El producto de un número complejo de argumento 60º por otro de módulo 5 nos da como resultado el número complejo –6 + 6 3 i. Halla el módulo del primero y el argumento del segundo. EJERCICIO 24 : Halla dos números complejos conjugados cuyo cociente sea un imaginario puro y su diferencia sea 4i. EJERCICIO 25 : Un cuadrado con centro en el origen de coordenadas tiene uno de sus vértices en el punto A(3,4). Calcular los demás vértices. EJERCICIO 26 : Calcular dos números complejos cuya suma es un número real, su diferencia tiene por parte real –1 y su producto vale 15 + 3i

TRIGONOMETRÍA 1.-Dos aviones que se encuentran a a5 y 8 Km de un aeropuerto C se observan desde éste bajo un ángulo de 38º. Calcular la distancia que separa dichos aviones. 2.- Para colgar una bombilla del techo, se la hace pasar por una cuerda que se clava de sus extremos en dos puntos situados a una distancia de 140cm.Los ángulos que forma la cuerda con el techo son de 40º, y de 60º. Hallar la longitud total de la cuerda y a que distancia cuelga la bombilla del techo. 3.- Las diagonales de un paralelogramo miden 6 y 14 cm , y forman un ángulo de 75º. Hallar el perímetro y los ángulos del paralelogramo. 4.-Calcular el área y el perímetro de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio 3cm. 5.- Hallar el perímetro y el área de un hexágono regular de 8 cm de lado. 6.-Una antena de radio está sujeta al suelo con dos cables que forman con la antena ángulos de 36º y 48º.Los puntos de sujeción de los cables están alineados con el pié de la antena y distan entre si 98m.Calcula la altura de la antena. 7.- Resolver los siguientes sistemas trigonométricas :

a)

º18022

1

yx

senysenx b)

2

2cos

yx

ysenx c)

1seccos2

1cos

yecx

ysenx

d)

22seccos

2cos

yecx

ysenx e)

4

1·cos

4

3·cos

senyx

ysenx f)

3coscos

1

yx

senysenx

8.- Expresar en radianes los siguientes ángulos : 30º, 60º, 75º, 225º, 315º, 330º

9.- Expresar en grados sexagesimales : rad4

3 ; ; rad

2

3 ; rad

10

9

10.- Hallar las razones trigonométricas de 120º ; 210º ; 135º ; 225º ; 960º ; -2010º; - rad12

132

11.- Sabiendo que cotg 3 y sen 0 , halla : a) demás razones trigonométricas de . b) sen (90- ) c) cos( 90+ ) d) tg ( 180- )

e) cotg ( 180+ ) f) sec(360- ) g) cosec(360+ )

12.- Sabiendo que cosec x= 3 y tgx < 0 ; y tg y =3

1 y cosy < 0 , calcular :

a) razones trig de x b) razones trig de y c) las de x+y d) las de x-y e) 2x f) 2

y

13.- Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas :

a) 2cos 02cos32 xx b) cosx + sen 12 x c) sen 03 senxx

d) tg 03 tgxx e) sen xsenxxx 22 cos12cos f) sen2x = 4cosx

rad3

5

g) 8sen 016 24 xsenx h) 8cos 03cos10 24 xx i) 6sen 01611 23 senxxsenx

j) 2cos 01cos2cos23 xxx k) tgx·tg2x =1 l) 6cos2x+6sen 2 x = 5 +senx

m) 4sen cos22

xx = 3 n) 0

23

xsen

senx ñ)

2

2

2

tg

tgtg

o) tgtg ·21·3 2 p) 2

5cos ecsen q) tgtg 2

14.- Comprobar si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas:

a) 2 sen 12cos2 xx b) cos2x- 2cos 2 x = -1 c) senxxx

sen

1

2cos

2

2

d)

xtgxsenxgx

xsenx 2

2

2·coscot

1cos

e) gx

xxsen

xxsencot

2cos222

2cos221

f) tgx

x

xsen

1

·cos45cos

)45(

15.- Simplificar :

a) xxsen 44 cos b) sen xsenxx 23 ·cos c) senxsenx 1·1

d) xg

ecx2cot1

cos e)

xtg

xx2

22 cossec

16.-Resolver los siguientes triángulos rectángulos en A , conociendo : a) b= 3 cm ; c= 4 cm b) a= 13 cm; b = 5 cm ; c) B =30º ; b= 5 cm d) c= 23 cm; B =62º 26’ 17.- Resolver los siguientes triángulos isósceles ( A y C son los angulos iguales,b la base , h la altura ): a) A = 68º 57’ b) l= 75 m ; b = 102 m c) A = 27º 8’ 20” ; b= 3’7m d) b=14m; h= 15 m 18.-Resolver los siguientes triángulos: a) a=5 cm;b=7cm; C=40º b) a=3 cm; b=3cm; c= 5 cm c) b= 5 cm ;C=30º ; c= 7 cm d) B= 42º;C= 54º; a =10cm e) a= 5 cm; b= 4 cm; A= 40º f) a= 40cm; b= 50 cm; B= 36 º 19.- Desde la orilla de un rio se ve un árbol bajo un ángulo de 45º.Si el rio tiene una anchura de 20m, calcular la altura del árbol. 20.-Desde un punto situado a ras del suelo, se ve la copa de un árbol bajo un ángulo de 60º, y si nos acercamos 5 m el ángulo es de 70º.Hallar la altura del árbol. 21.-Una escalera de 30m de largo, se sitúa en un punto de una calle y se apoya sobre una pared formando un ángulo de 60º con el suelo, y desde ese mismo punto, se apoya sobre la otra pared formando un ángulo de 45º.Hallar la altura que alcanza la escalera sobre cada pared y la anchura de la calle. VECTORES EN EL PLANO

22.- Sean v (2, 3 ) ; w ( 5, -2 ). Calcular gráfica y analíticamente :

a) wv b) wv c) wv ·2·3

23.- Dados los puntos A( 1,2) ; B( 2,-3) , calcular el vector AB . Hallar el punto D para que CDAB , siendo C(-3,1 ) 24.-a) comprobar si están alineados los puntos A(2,-1) ; B(6,1 ) ; C( 8,2) b) calcular “m” para que P(1,4); Q(5,-2) y R( 6,m) estén alineados.

c) hallar el punto medio del segmento AB , siendo A(-5,2) ; B( 7,-4) d) hallar el simétrico del punto A(-5,4) respecto del punto P(2,-1)

e) sean M(7,4) ; N(-2,1). Hallar un punto P del segmento MN tal que la distancia de M a P sea la mitad de la distancia de P a N.

25.- Dados los vectores )4,5( , )3,2( wv , calcular :

a) wv· b) w, v c) ángulo que forman wy v

26.- Dados los vectores )1,2(z , )1,3(w , )2,1( v , calcula :

a) zwv ·· b) zwzv ·· c) wv ··3 d) zvwv ··2

27.- Dados los puntos A(2,1) ; B( 3,-2) ; C( 0,-3) , calcular :

a) ángulo que forman BCy AB . ¿ son perpendiculares estos vectores?

b) “ “ “ CBy CA

28.- Dado el vector ),5( kv , calcular “k” para que :

a) sea ortogonal a )2,4( w b) su módulo sea 34

29.- Si 5w ; 2 v y el ángulo que forman es de 60º, calcula wwv v ;

NOTA : todos los ejercicios debéis representarlos gráficamente. ECUACIONES DE LA RECTA

30.-Hallar todas las ecuaciones de la recta que pasa por A(-3,2) y tiene de vector director ).1,2( v

Calcula tres puntos cualesquiera de la recta. 31.-Idem de la recta que pasa por A(-5,3) ; B( 1, 1)

32.- Idem de la recta que pasa por A(-2,1) y es paralela a la recta r

3

32

y

x

33.- Idem de la recta que pasa por A( 5, -4) y tiene de pendiente m=4

3

34.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(0,2) y es paralela a la bisectriz del 2º cuadrante. 35.- Ecuación de la recta paralela a 2x-3y+6=0 y cuya ordenada en el origen el 5. 36.- “ “ “ “ perpendicular a y=2x-1 y pasa por el origen de coordenadas. 37.- Estudiar la posición relativa de los siguientes pares de rectas ( si se cortan, hallar los puntos de corte) :

a) r

ty

tx

3

5 s

ty

tx

36

21

b) r

ty

tx

35

2 s

6

11

2

yx

c) r 63 xy s 12 yx

d) r )1,3·()2,6(),( tyx s 0826 yx

e) r 0543 yx s 063 yx

38.- María y Nacho salieron hace 6 horas de dos puntos y siguieron respectivamente las trayectorias siguientes :

( x, y) = ( 7, 3)+ t· (1, 2

1) ; ( x, y ) = ( 6,4) +t· (1,

3

1)

Donde t representa el tiempo en horas, siendo el instante actual t =0 a) ¿en qué punto se encuentran ahora? ¿de qué punto salieron? b) ¿se cruzan sus caminos? Si es así, ¿en qué punto? c) ¿se encontrarán si mantienen su marcha?

39.- Dadas las rectas r 03 mxy ; s 052 nyx , hallar “m” y “n” para

a) sean paralelas b) perpendiculares. c) se corten en P( 2,1) NOTA : todos los ejercicios debéis representarlos gráficamente. GEOMETRIA EN EL PLANO. 40.- Hallar el ángulo que forman las rectas :

a)

02

53

yxs

xyr b)

)2,1()5,3(),(

12

yxs

xyr c)

0334

0143

yxs

yxr

41.- A(2,-3) ; B(-2, -1) ; C(0,3) son vértices de un triángulo. Se pide :

a) clasificarlo según lados y ángulos. b) ecuación de la mediana del vértice A c) ecuación de la altura del vértice B d) ecuación de la mediatriz del lado AB e) calcular su área. f) Hallar un punto D para que ABCD sea un paralelogramo. Con los datos obtenidos antes, ¿qué paralelogramo es?

42.- Idem para el triángulo de vértices A(1,1) ; B( 5,3) ; C( -2, 4)

43.- El área de un triángulo ABC es de 15 u 2 , siendo A(0,1) ; B( 6,4) . Calcular C sabiendo que tiene abscisa positiva y está sobre la recta y= x+5 44.- B( -1,3) ; C( 3,-3) son vértices de un triángulo isósceles que tiene el vértice A sobre la recta x+2y-15=0 , siendo AB y AC los lados iguales. Hallar el vértice A, el ortocentro, el baricentro, y circuncentro. 45.-Un rombo tiene el vértice A en el eje de abscisas. Otos dos vértices opuestos son B(3,1) y D( -5,-3). Hallar los vértices que faltan. 46.-Hallar las bisectrices de:

a)

ordenadasejes

yxr

de

060125 b)

07125

0143

yxs

yxr

47.- A( 2,1) ; B(-3,5) ; C(4,m) son vértices de un triángulo de área 6. Hallar “m” 48.-Hallar las ecuaciones de las rectas que pasando por A( 1,-2) disten 2 unidades de B(3,1) 49.- Hallar el área del paralelogramo OABC sabiendo que el lado OA es la recta x-2y=0; OC la recta 3x+y=0 y el vértice B es B(3,5). Clasificarlo,y hallar las ecuaciones de las diagonales. 50.-El triángulo ABC es rectángulo en A, siendo A(3,5) ;B(1,3) ; C(m,10) .Hallar “m”. 31.- A(2,0) ; B(3,5) ; C(-1, 4) son vértices de un paralelogramo. Calcular :

a) vértice D b) Ecuaciones de las diagonales. c) área d) clasificarlo.

51.- De un paralelogramo ABCD se conocen A( 1,-2) ; B( -3,2) y el centro del paralelogramo M( 2,1). Calcular :

a) ecuación de la recta paralela a AB pasando por M b) “ “ “ “ perpendicular a AB pasando por M c) Vértices C y D d) área e) clasificarlo.

52.- De un rectángulo ABCD se conocen el lado AB : 5x+3y-34=0 ; B( 8,-2 ) y D(0,0). Calcular : a) ecuaciones de los otros tres lados. b) vértices A y C c) área.

53.-Hallar el área de un triángulo determinado por el punto C(-1,3) y los puntos de intersección con los ejes de coordenadas de la recta que pasa por los puntos A(3, -1) y B(1,4) 54.- De un triángulo ABC se conocen A(2,5) ; el punto medio de BC es (3,1) y el punto medio de AB es (0,4). Hallar B, C y el área . 55.- El eje OX y las rectas 1 yr ; 32 yxs ; 072 yxt determinan un

cuadrilátero. Hallar su área , las ecuaciones de las diagonales y el punto de corte de éstas. 56.- Por el punto P(2,6) , se trazan dos rectas perpendiculares a las bisectrices del 1º y 2º cuadrante. Hallar :

a) las ecuaciones de dichas rectas. b) coordenadas de los otros vértices del triángulo formado por la recta 3x-13y-8=0 con dichas rectas.

NOTA: Todos los ejercicios deben representarse gráficamente. CÓNICAS 57.- Los focos de una hipérbola son F (5,0) ; F’(-5,0) y la diferencia constante de las distancias de sus puntos a los focos es 6. Hallar la ecuación reducida, excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas. 58.- Hallar el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de distancias a los puntos ( 0,3 ) y (0,-3 ) es constante y vale 4. 58.- Calcular el centro, vértices, y focos de las siguientes hipérbolas :

a) 08834 22 xyx b) 029161849 22 yxyx

c) 0442 22 yxxy d) 036242045 22 yxyx

59.- Hallar las ecuaciones de las hipérbolas siguientes, sabiendo que el centro es el origen de coordenadas y el eje real es el eje de abscisas :

a) eje real =18 ; distancia focal =24 b) excentricidad = 22 ; dist focal = 12 c) Pasa por los puntos P( 2,1) y Q(4,3) d) focos son (4,0) ;(-4,0) y la pendiente de las asíntotas es

2

3 y -

2

3

56.-Determinar la ecuación de la hipérbola de centro (-4,1) ; y semieje imaginario 4. 57.- El centro de una hipérbola es C( 3,-5) ; el eje real vale 8 ; el eje imaginario 10 y el eje focal es paralelo al eje de abscisas. Calcula vértices, focos, excentricidad y la ecuación de la hipérbola.

58.- Hallar la longitud de la cuerda que determina la elipse 62 22 yx con la recta

2x-y-3=0

59.- Hallar los puntos de intersección (es decir, donde se cortan ) la cónica: 7294 22 yx con :

a) 1322 yx b) y=x c) 1232 22 yx

¿qué representan, geométricamente, las ecuaciones de los apartados anteriores? 60.- Hallar el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de :

a) de la recta x= - 4 y del punto (4,0) b) “ “ “ x= 0 “ “ “ ( 2,3) c) “ “ “ y = 2 “ “ “ ( 4,6) d) “ “ “ y= -3 “ “ “ (-3,1)

61.- Hallar las ecuaciones de las siguientes parábolas : a) directriz x= -3 ; Foco F( 3,0) b) directriz y =4 ; F( 0,0) c) “ y =-5 ; “ F( 0,5) d) “ x=2 ; F(-2,0) e) vértice V(0,0) ; “ F (2,0) f) vértice V (5,2) ; F (3,2) g) “ V (-2,2) ; “ F (-2,5) h) “ V (1,4) ; F (3,4)

62.-Dada la parábola xy 42 , se pide :

a) hallar “h” para que la recta y =x+h sea tangente a la parábola b) “ la ecuación de la recta que pasa por el foco y es paralela a la tangente.

63.-Determina la ecuación de la parábola de foco F(0,2) y de directriz la recta y =x-2. Halla la ecuación de la tangente en el vértice. 64.- De las siguientes parábolas, determinar el vértice, foco y directriz :

a) xy 62 b) 13

41

2 yx c) xy 62 d) yx 62

e) 31022

xy f) 1332

xy g) yx 2 h) 03 2 xy

65.- Clasifica las siguientes cónícas, y halla los puntos notables de cada una de ellas:

a) 019405459 22 yxyx b) 05963632916 22 xyxy

c) 05201055 22 yxyx d) 08442 yxy

66.- Determinar el centro y el radio de las siguientes circunferencias :

a) 0126422 yxyx b) 0612444 22 yxyx

c) 010322 yxyx d) 0532

1

2

1 22 yxyx

67.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos : a) A( 3,-2 ) ; B(4, 0) ; C( 0,5) b) P( 1,1) ; Q( -2, 3) ; R (-1,-1)

68.- Hallar los puntos de corte de la circunferencia : 0202422 yxyx con :

a) x+7y -20 =0 b) 3x+4y -27 =0

c) x+y -10 = 0 d) 0142622 yxyx

e) 0104622 yxyx

69.- Una circunferencia tiene por extremos de uno de sus diámetros los puntos A (1,1) y B (5,-1) 70.- Ecuación de la circunferencia que pasa por P( 3,2) ; por el punto de corte de

r

1

23

y

x y s 053 yx y tiene su centro en la recta t 04 yx

71.- Ecuación de la circunferencia que pasa por P( 0,-3) , tiene de radio 5 y su centro está en la

bisectriz del 1º y 3º cuadrante, 72.- Estudiar la posición relativa de la recta r 32 xy con la circunferencia :

032322 yxyx . Ecuación de la circunferencia concéntrica con la anterior y tangente a la

recta r. 73.-Ecuación de la circunferencia que es tangente a las rectas r 052 yx ;

s 0152 yx , y a una de ellas en el punto P( 2,1 )

74.-Dada la circunferencia : 032322 yxyx y el punto P( 0,-1)

a) hallar el centro y el radio de la circuferencia b) ecuación de la recta tangente a la circunferencia en el punto P

c) intersección con la circunferencia : 064622 yxyx

75.- Dada la circunferencia : 06222 yxyx , hallar :

a) ecuación de la circunferencia concéntrica con la anterior y tangente a 3x-2y-3=0 b) “ “ “ recta tangente a la circunferencia en el punto P (-4, 2)

76.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por A(2, 5) ; B( 0,0 ) y es tangente a la recta x+y =0 77.- Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en x-y-2=0 y pasa por A( 0,1 ) y B (2 ,3 )

78.- Dada la circunferencia : 06610622 yxyx ; halla las ecuaciones de las rectas tangentes

paralelas a la recta 4x-3y+2 =0 79.- De las siguientes elipses, calcular los focos, centro, vértices y excentricidad :

a) 11216

22

yx

b) 1259

22

yx

c) 164 22 yx

d) 05822 22 yxyx e) 0663 22 yxyx f) 021618925 22 yyx

79*.- Hallar las ecuaciones reducidas de las siguientes elipses:

a) eje mayor = 9 ; distancia focal =8 b) eje menor = 4 ; distancia focal 32

c) Excentricidad = 2

1 ; distancia focal = 1 e) excentricidad =

3

2 ; distancia focal=

3

4

d) Pasa por los puntos A( 4,3 ) ; B( 6,2 ) 80.- Hallar la ecuación de la elipse de centro (1,2 ) ; un foco es ( 6,2) y pasa por el punto ( 4,6)

81.- Halla la ecuación de la elipse de centro ( -1, 1) ; un vértice ( 5,-1) excentricidad=3

2

82.- Hallar la ecuación reducida de la elipse que pasa por P( 5, 0 ) y excentricidad es 5

3

83.- Calcula las ecuaciones de las tangentes a la elipse 1925

22

yx

y cuya pendiente es 5

4

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. 84.- Calcular los dominios de las siguientes funciones :

a) f(x) = 32

132 xx

x b) f(x) =

4

13

3

5

x

x

x c) f(x) = 4

5

13

x

x

d) f(x) = 523 3832

4

xxx

x e) f(x) =

1

9

2

2

x

x f) f(x) =

5

42

x

x

g) f(x) = 5

42

x

x h) f(x) = log

4

13

x

x i) f(x) =

5log

2

2 x

x

j) f(x) =e 2

5

x

x

k) f(x) =2

5

x

e x

l) f(x) =sen

xx

x3

3

m) f(x) =xx

xcox

3

)3(

85.- Calcular f+g ; f-g ; f·g ; g

f ; siendo :

a) f(x) =

0 x si 1x

0 x si 132

x g(x) =

2- x si 5

-2 xsi 2

x

b) f(x) =

1 x si 3

1 xsi 1x g(x) =

3 x si x -5

3 xsi 2x

86.- Calcular (g o f )(x) y ( f o g)(x) (la composición) para:

a)

12

3)(

3)( 2

x

xxg

xxf b)

3)(

3)(2xxg

exxf x

c)

12)(

)2()( 2

xxg

xsenxf

d)

xexg

xxxf2

2

)(

coslog)( e)

2)(

5·3)(2

xxg

xxf f)

12)(

3)( 2

xxg

xxf

87.- Calcular la función inversa ( “recíproca” ) de las funciones :

a) f(x) = 23 x

x b) g(x) = 3 52 x c) h(x) = log(x+5)

d) f(x) = 5

13

2

x

x e) g(x) =e 52x f) h(x) = 25 3 x

88.- Representa gráficamente las siguientes funciones, y calcula su dominio, recorrido, cotas, monotonía y continuidad :

a) f(x) =

1- x si 4-x

-1 xsi 3x b) f(x) =

5 x si 1-x

1x 2- si 1

2- x si 32x

89.- Calcular los siguientes límites :

a) 45 lim 2

1

xx

x b) 43

25lim

x

xx c)

25

13 lim

2

1

x

x

x

d) 253

105 lim

22

xx

x

x e)

1

12 lim

3

2

1

x

xx

x f)

23

2 lim2

xx

x

x

g) 23

lim21

xx

xx

x h)

2

1 lim

2

1

xx

x

x i)

1 lim

2

3

x

xx

x

o) 1 lim 22

xxxx

p) 12lim 2

xxx

q) xxxxx

53 lim 22

r)

6

3

7 lim3

xx

x

x s) 785643 lim 223

xxxxx

x

CÁLCULO DIFERENCIAL 90.- Estudiar la continuidad de las siguientes funciones :

a)

1 x 2

1x 2- 1

2 23

)( 2

six

six

xsix

xf b)

3 si 2

1

3 si 4

5

)(

xx

xxxf

91.- Calcular “a” y “b” para que sea continua :

2 x si 3

2x 3- si 5

-3 x si 2

)(

bx

ax

x

xf

92.- Calcula, usando la definición, :

a) )2('f siendo 21)( xxf

b) )1(' f “ 2

3)(

x

xxf

93.- Estudiar la derivabilidad de :

a)

2 si 1

2 si 53)(

xx

xxxf b)

1 si 24

1 si 1)(

2

xx

xxxf

94.- Calcular “a” y “b” para que sea derivable:

2

2 si 1)(

2

xsibax

xxxf

95.- Calcular la ecuación de la recta tangente a :

a) 2 punto elen 1)( 0

2 xxxf b) 4 punto elen

3

1)( 0

x

x

xxf

e) xexf 2)( en 00 x f) 0en )( 0 xLnxxf

c) 3en 28)( 0

2 xxxxf d) 4

en )( 0

2 xxsenxf

96.- Averigua:

a) ¿en qué punto de la función 43)( 2 xxxf la recta tangente es ?43 xr

b) ¿Existe algún valor de x en el que la recta tangente a 56)( 2 xxxf sea paralela a la

recta tangente a 2

)( 3 xxxg

97.-Estudiar la derivabilidad de las funciones :

a)

0 si 1

0 si 1

1

)(2 xx

xx

x

xf b)

2 si 1

2 si 1

2

)(2 xbxax

xx

x

xf

98.- Derivar las siguientes funciones, dando el resultado lo más simplificado posible :

a) 43)( 23 xxxf b) 14·3)( 25 xxxf

c) 54

35))(

2

3

x

xxxf d)

24 35)( xxexf

e) 13log)( 45

2 xxxf f) xxxsenxf 26 45)(

g) )25()( 3 xarctgxf h) 2

13

52)(

x

xxf

i) 22)( senxxsenxf j) xesenxxf ·)(

k) xxLnxxf 3·2cos)( 53 l) 15

2)(

23

xarctgxf

xx

m) Lnx

xxf

2

)( n) )3()( xtgxf

ñ) 3

3)(

2

x

xxf o) )cos3()( 52 xxLnxf

p) 132)( 34

xxf xx q) 253 )3cos()( xexsenxf

r) 1`log)( 23

5 xxxf s) )·cos()( xexxf

DERIVADAS. 99.- Derivar las siguientes funciones :

a) )1(·4 3 xLnxy b) 3 4 73 xxy c) y = 923 23872 xxx

d) xey x·cos e) 55 xy x f) 3·3 xy x

g) senxLny h) 55 cos xxseny i) )(Lnxseny

j) xLnseny k) Lnxxseny · l) xseny 2

m) )3(

3

xLn

tgxy n) tgxxy n)

x

ey

tgx

cos

4

ñ) 21 xarcseny o) 21 xarctgy s) xsen

arctgxy

4

t) )1(·2

xarcseney x u) 5

2

cos

1

x

xLny v)

gxy

cot

8

w) Lnx

xy

cos

100- Deriva y simplifica :

a) senxx

senxxy

1

1 b)

semx

senxy

1

1 c)

senx

senxLny

1

1

d) 1

12

2

x

xLny e)

senx

senxLny

1

1 f) xLn

xy cos

cos2

12

g) xLnx

y coscos2

12

h) x

xarctgy

1

1 i) senxarctg

senx

senxLny ·2

1

1

101.- Estudiar la derivabilidad de las siguientes funciones : ( recuerda que la condición necesaria para que una función sea derivable es que sea contínua ) :

a)

0 x si )2(

0 x si 4 )(

2

2

x

xxf b)

2 x si 14

2 x si 32 )(

2 xx

xxf

c)

1 x si 2

1 x si 1

)(

xxxf d)

1 x si

1x 0 si 1

0 x si

)( 2

x

x

e

xf

x

4.- Hallar “a” y “b” para que sean derivables :

a)

1 x si ·

1 x si )(

2

Lnxa

baxxxf b)

0 x si )1(

0 x si )1·( )(

xLnb

eaxf

x

102.- Responde razonadamente:

a) ¿Geométricamente, la derivada de una función en un punto qué representa?

b) ¿en qué puntos de la gráfica 1)( 3 xxf la pendiente de la recta tangente es 3?

103.- Se pide:

a) Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a 016622 yyx en el punto de

abscisa 3 y ordenada negativa. b) Ídem en el punto de ordenada 0 y abscisa positiva. (¿qué cónica es? Dibújala y te ayudará a resolver el ejercicio)

GRÁFICAS DE FUNCIONES 104.-Representar gráficamente las siguientes funciones:

1.- 233 xxy 2.- xxxy 96 23 3.- xxy 3

4.- 45 24 xxy 5.- 12 24 xxy 6.- 42 xy

7.- 342 xxy 8.- 2

1

x

xy 9.-

1

x

xy

10.- 3

2

x

xy 11.-

2

2 1

x

xy

12.-

12

2

x

xy

13.- 1

22

2

x

xy 14.-

21

84

x

xy 15.-

2

3

1

x

xy

16.-

1

12

x

xy 17.-

x

xy

92 18.-

22

99

x

xy

19.- 22

2

xx

xy 20.-

1

12

x

xy 21.- y

1

42

x

x

22.- y12

3

x

x 23.-

1

12

2

x

xy 24.-

12

3

x

xy

25.- 2

2

124

x

xy 26.-

42

2

x

xy 27.-

1

12

2

x

xy

28.- 1

2

2

x

xy

29.-

1

842

x

xy 30.-

1

2

x

xy

31.-

1

2

3

x

xy 42 -32. xy 34 -33. 2 xxy

xexy ·.34 x

ey

x

-35. 2·-36. xey x

2-37.

x

ey

x

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 105.- Descomponer el número 49 en el producto de dos factores de tal forma que la suma de éstos sea mínima. 106.- Descomponer el número 98 en dos sumandos tales que la suma de sus raíces cuadradas sea máxima.

107.- Una finca rectangular tiene 400 m 2 de superficie. Calcula las dimensiones de los lados para que el perímetro sea mínimo. 108.- Con cartulinas de 5x8 dm una empresa quiere fabricar cajas sin tapa, cortando cuadrados iguales en las esquinas de la cartulina y doblándola. ¿ cómo debe cortar los cuadrados para que la capacidad de la caja sea máxima? 109.- Se quiere hacer un depósito abierto con base cuadrada y de 108 l de capacidad. Elegir las dimensiones para que la superficie del depósito sea mínima.

110.- Una hoja de papel debe contener 16 cm 2 de texto impreso. Los márgenes superior e inferior deben ser de 2 cm cada uno, y los márgenes laterales de 1 cm. Se pide calcular las dimensiones de la hoja para que el gasto del papel sea mínimo. 111.- Hallar los catetos de un triángulo rectángulo de hipotenusa 2 cm que engendra al girar

alrededor de uno de sus catetos el cono de volumen máximo. ( hrV ·3

1 2 )

112.- A una ventana de 1 m 2 de área se le quiere construir un marco de madera. El coste por cada metro de altura de la ventana es 1,25 € y por cada metro de ancho es 0,80 €. Hallar las dimensiones del marco más económico?

113.- De todos los cilindros de 36 m 3 de volumen, hallar el radio de la base y la altura del que tiene área total mínima. 114.- En un rectángulo de 4 m de perímetro, se sustituyen los lados por semicírculos exteriores.Hallar las dimensiones del rectángulo para que el área de la figura resultante sea mínima. 115.- Un alambre de 10 m de longitud se corta en dos trozos, con uno de ellos se hace un cuadrado y con el otro trozo un círculo. Hallar el lado del cuadrado y el radio del círculo para que la suma de las áreas sea mínima. 116.- Calcular el radio de la base y la altura del cilindro inscrito en una esfera de radio 1 m para que la superficie lateral sea máxima. 117.- Frente a dos puntos de la costa distantes entre sí 5 millas, están fondeados dos barcos, el “ Xurelo” y el “ Faneca” a 2 y 3 millas de la costa respectivamente. ¿cuál debe ser la trayectoria de un bote que saliendo del “Xurelo” deje a un pasajero en la orilla y se dirija al “Faneca” para que la trayectoria sea mínima?

118.-Se quiere hacer una caja con tapa y de volumen 72 cm 3 . Los lados de la base han de ser tales que uno mida el doble que el otro. Hallar las dimensiones para que la superficie total sea mínima. 119.- De todos los triángulos isósceles de 30 cm de perímetro, hallar el de área máxima. 120.- De todas las rectas que pasan por P (1 ,2), hallar la que determina con la parte positiva de los ejes de coordenadas, el triángulo de área mínima. 121.-De todos los triángulos rectángulos cuya suma de catetos es 10 cm, hallar el de área máxima. 122.-Un triángulo isósceles de 6 cm de perímetro, gira alrededor de la altura correspondiente al lado desigual, generando un cono. Halla la base del triángulo para que el volumen sea máximo. 123.- Doblar un trozo de alambre de 12 cm de longitud de modo que forme un rectángulo de área máxima. 124.- Un granjero dispone de 240 m de valla para cerrar dos corrales iguales rectangulares y adyacentes. ¿qué dimensiones deben tener los corrales para que el área encerrada sea máxima? 125.- Hallar el punto o puntos de la recta x+ 2y +5 = 0 cuya distancia al punto P ( 3 ,1 ) sea mínima. ( resolverlo también geométricamente)