1 Elementos de Geometría Analítica

La Recta:

I. Distancia entre dos puntos

Y P 2 ( x 2 , y 2 )

y 2 - y 1

y 1

P 1 ( x 1 , y 1 )

x 1 x 2 - x 1 X

Teorema: La distancia entre dos puntos: P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) representado pord(P1.P2) esta dado por la formula:

II. División de un segmento en una razón dada.

Teorema: Si P1(x1 , y1 ) y P22(x2 , y2 ) son los extremos del segmento P1.P2 LasCoordenadas del punto P (x , y) que divide a este en la razón dada

son y , r ≠ -1

Y P 2 ( x 2 , y 2 )

E

P ( x , y )

D

P 1 ( x 1 , y 1 )

X

Cálculo de abscisa x del punto P, tenemos que:

2 Elementos de Geometría Analítica

Pero P1D = x - x1 y PE = x2 - x

Entonces r ≠ -1

De igual modo para el cálculo de la ordenada y del punto P, tenemos que:

Pero PD = y - y1 y P2E = y2 - y

Entonces r ≠ -1

III. Pendiente

Teorema: La pendiente del segmento P1P2 es un numero real que corresponde a la tangente del ángulo que forma dicho segmento con el eje positivo de la X.se designa por m

Luego: x2 ≠ x1

P 2 ( x 2 , y 2 )

y 2 - y 1

Ѳ

P 1 ( x 1 , y 1 )

x 2 - x 1

Observaciones:Si Ѳ < 90° ( ángulo agudo ) entonces m > 0Si Ѳ > 90° ( ángulo obtuso ) entonces m < 0Si Ѳ = 90° ( ángulo recto ) entonces m = ∞

La Línea Recta.

3 Elementos de Geometría Analítica

Analíticamente la línea recta es una ecuación de primer grado con dos variables, y recíprocamente, la grafica de una ecuación de primer grado en dos variables es una recta.

Formas de la ecuación de una recta.

1. Teorema: La ecuación de la recta L que pasa por los puntos P1(x1 , y1) y P2(x2 , y2) está dado por:

x2 ≠ x1

2. Teorema: La ecuación de la recta L que pasa por los puntos P1(x1 , y1) y tiene pendiente m

3. Forma Pendiente ordenada en el origen

Teorema: La ecuación de la recta L de pendiente m que intercepta al eje Y en el punto Po(0 , b) esta dado por:

y = mx + b

4. Forma simétrica de la recta

Teorema: La ecuación de la recta que intercepta a los ejes coordenados X e Y en los puntos A(a , 0) y B(b , 0) esta dado por:

5. Forma general de la ecuación de la recta:

Ax + By + C = 0

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES:

Si L1 / / L2 ==> mL1 = mL2

Si L1 L2 ==> mL1 . mL2

Distancia de un punto a una recta

Teorema: Las distancias no dirigida de un punto Po ( xo , yo ) a una recta L: Ax + By + C = 0 esta dado por la fórmula.

Nota: Las rectas; L1: Ax + By + C1 = 0 y L2: Ax + By + C2 = 0 son paralelas luego la distancia entre ellas es:

Angulo entre dos rectas.

4 Elementos de Geometría Analítica

Teorema: Sean Las rectas; L1: A1x + B1y + C1 = 0 y L2: A2x + B2y + C2 = 0 , el ángulo formado por las rectas: L1 y L2 esta dado por:

ml2 . mL1 ≠ -1

YL2 L1

θ

α β

X

Área de un triángulo en función de las coordenadas de sus vértices

Si: P1 ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) y P3 ( x3 , y3 ) son los vértices del triangulo entonces su área en función de las coordenadas de sus vértices, esta dado por:

Fórmula de Herón

Donde: L1 = d(P1.P2)

L2 = d(P1.P3)

L3 = d(P2.P3)

L1 = d(P1.P2)

Coeficientes de la ecuación general de una recta en función de las coordenadas de dos puntos por los que pasa la recta.

5 Elementos de Geometría Analítica

Si: P1 ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) son los puntos por los que pasa la recta. Entonces la ecuación de la recta que pasa por estos puntos esta dado por:

De esta última igualdad de desprende:

A = y2 – y1 B = x1 – x2 C = y1(x2 – x1) - x1(y2 – y1)

Coordenadas del punto de intersección de dos rectas en función de los coeficientes de las ecuaciones general de las rectas

Sean Las rectas; L1: A1x + B1y + C1 = 0 y L2: A2x + B2y + C2 = 0 y P (x , y ) el punto de intersección entre las rectas.

A1x + B1y + C1 = 0A2x + B2y + C2 = 0

-B2.A1x - B2.B1y - B2.C1 = 0 B 1.A2x + B1. B2y + B1. C 2 = 0

( B1.A2 - B2.A1 )x = B2.C1 - B1.C2

SEMINARIO DE PROBLEMAS.

P1. Calcule la distancia y la pendiente entre los puntos que se dan a continuación:(a) P1( -7 , -13 ) , P2( 3 , 9 ) (c) P1( 0 , -10 ) , P2( 5 , 8 )(b) P1( -11 , 9 ) , P2( 4 , -13 ) (d) P1( 5 , -6 ) , P2( -8 , 10 )

P2. Calcule las coordenadas de punto medio entre los puntos(a) P1( -8 , 5 ) , P2( 4 , -4 ) (c) P1( 9 , 10 ) , P2( 0 , 1 )(b) P1( 5 , -8 ) , P2( -4 , 1 ) (d) P1( -9 , 9 ) , P2( 3 , -3 )

P3. Calcule las coordenadas de punto de trisección entre los puntos

6 Elementos de Geometría Analítica

(a) P1( -1 , 0 ) , P2( 7 , 6 ) (c) P1( -8 , 5 ) , P2( 4 , -7 )(b) P1( 4 , 4 ) , P2( -4 , -2 ) (d) P1( 8 , -7 ) , P2( -4 , 5 )

P4. Calcule la superficie del triangulo en función de sus vértices.(a) P1( -7 , 1 ) , P2( -1 , 7 ) , P3( 2 , -2 )(b) P1( 2 , 2 ) , P2( 1 , 6 ) , P3( -5 , 5 )(c) P1( -5 , 5 ) , P2( 5 , -1 ) , P3( 1 , 9 )(d) P1( -5 , 2 ) , P2( 3 , 3 ) , P3( 4 , -3 )

P5. Tres vértices de un rectángulo son los puntos ( 2 , -1 ) , ( 7 , -1 ) y ( 7 , 3 ). Hallar el cuarto vértice y el área del rectángulo.

P6. Los vértices de un triangulo rectángulo son los puntos ( 1 , -2 ) , ( 4 , -2 ) y ( 4 , 2 ). Determine las longitudes de los catetos, la hipotenusa y el área del triangulo.

P7. Dos de los vértices de un triangulo equilátero son los puntos ( -1 , 1 ) y, ( 3 , 1 ). Hallar las coordenadas del tercer vértice (dos casos)

P8. Calcular el perímetro y área del cuadrado cuyos vértices son: ( -3 , -1 ) , ( 0 , 3 ) , ( 3 , 4 ) y( 4 , -1 ).

P9. Demostrar que los puntos ( -2 , -1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 5 , -2 ) son vértices de un triangulo isósceles.

P10. Demostrar que los puntos ( 2 , -2 ) , ( -8 , 4 ) , ( 5 , 3 ) son vértices de un triangulo rectángulo y calcule su área aplicando todos los métodos existentes.

P11. Demostrar que los tres puntos ( 12 , 1 ) , ( -3 , -2 ) , ( 2 , -1 ) son colímales.

P12. Demostrar que los puntos ( 0 , 1 ) , ( 3 , 5 ) , ( 7 , 2 ) , ( 4 , -2 ) son vértices de un cuadrado y calcule su perímetro y área.

P13. Los vértices de un triangulo son: A ( 3 , 8 ) , B ( 2 , -1 ) , C ( 6 , -1 ). Si D es el punto medio del lado BC. Calcular la longitud de la mediana AD

P14. Demostrar que los cuatro puntos: ( 1 , 1 ) , ( 3 , 5 ) , ( 11 , 6 ) , ( 9 , 2 ), son los vértices de un paralelogramo.

P15. Los vértices de un triangulo son: A ( -1 , 3 ) , B ( 3 , 5 ) , C ( 7 , -1 ). Demostrar que la longitud del segmento que une los puntos medios de dos lados consecutivos es igual a la mitad de la longitud del tercer lado y a su vez paralelo.

P16. Con las coordenadas de los vértices de un triangulo que se dan a continuación(a) P1( -2 , -2 ) , P2( -1 , 9 ) , P3( 7 , 5 )(b) P1( -2 , 5 ) , P2( -3 ,- 6 ) , P3( 7 , -1 )(c) P1( -5 , 5 ) , P2( 5 , -1 ) , P3( 1 , 9 )Establecer:1. Ecuaciones de: Lados , Alturas , Medianas , Mediatrices y Bisectrices2. Coordenadas del Baricentro, Ortocentro, Circuncentro e Incentro.3. Longitud de los lados y alturas4. Perímetro y área del triangulo.

7 Elementos de Geometría Analítica

5. Ecuaciones de los segmentos que unen los puntos medios de los lados y comprobar que son paralelos al tercer lado

6. Ángulos internos del triangulo

P17. Dado las ecuaciones de los lados de un triangulo:(a) L1: x + y – 8 = 0 L2: x – 3y – 4 = 0 L3: 3x – y + 4 = 0(b) L1: 3x + y + 11 = 0 L2: 2x – y – 1 = 0 L3: x – 3y + 17 = 0(c) L1: 11x - y + 20 = 0 L2: x + 2y – 17 = 0 L3: 7x – 9y - 4 = 0Establecer:1. Coordenadas de los vértices del triangulo2. Ecuaciones de: Alturas , Medianas , Mediatrices y Bisectrices3. Coordenadas del Baricentro, Ortocentro, Circuncentro e Incentro.4. Longitud de los lados y alturas5. Perímetro y área del triangulo.6. Ecuaciones de los segmentos que unen los puntos medios de los lados y comprobar

que son paralelos al tercer lado7. Ángulos internos del triangulo