7/17/2019 FUNCIONES EXPONENCIALES

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Matemática - Funciones

Contenido

 Apunte de Funciones: Función exponencial. Ejemplos. Propiedades. Representación gráfica.Ecuaciones y sistemas de ecuaciones exponenciales. Logaritmos. Propiedades de los logaritmos.

FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

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P!ime!a "a!te

Tradicionalmente el estudio de los logaritmos !a ido ine"ita#lemente acompa$ado de las ta#laslogar%tmicas y del estudio de conceptos tales como el de mantisa caracter%stica cologaritmo...

&oy en d%a esto ya no es necesario. 'on la creciente utili(ación de las calculadoras en todos los ni"elesel cálculo logar%tmico se !a simplificado enormemente.

Por tanto en este tema se prescindirá del manejo de las ta#las y de su explicación.

La in"ención de los logaritmos )pala#ra de origen griego: logos )λογοσ* + tratado arit!mos ),ριθµοσ* +n-meros* se de#e al matemático escocs /o!n 0apier #arón de 1erc!iston )233452627* 8uien seinteresó fundamentalmente por el cálculo numrico y la trigonometr%a. En 2629 y tras "einte a$os detra#ajo pu#licó su o#ra Logarithmorum canonis descriptio donde explica cómo se utili(an loslogaritmos pero no relata el proceso 8ue le lle"ó a ellos.

n a$o despus en 2623 el matemático ingls &enry ;riggs )2362526<2* "isitó a 0apier y le sugirió

utili(ar como #ase de los logaritmos el n-mero 24. A 0apier le agradó la idea y se comprometieron aela#orar las ta#las de los logaritmos decimales. 0apier muere al ca#o de dos a$os escasos y se 8ueda;riggs con la tarea.

En 262= ;riggs pu#licó Logarithmorum Chiliaes prima primer tratado so#re los logaritmos "ulgares ode ;riggs cuya #ase es el n-mero 24. ;riggs !i(o el cálculo de las ta#las de logaritmos de 2 a >4 444 yde ?4 444 a 244 444.

En 26>4 el !ijo de 0apier pu#licó la o#ra de su padre Mirifici logarithmorum canonis constructio )@escripción de la mara"illosa regla de los logaritmosB* donde ya se explica el proceso seguido por0apier mediante la comparación de progresiones y la utili(ación de unas "arillas cifradas llamadas"arillas o regletas de 0apier para llegar a sus resultados so#re los logaritmos.

Las ta#las de los logaritmos decimales de ;riggs fueron completadas de 2 a

244 444 en 26>= por el matemático Clac8.

Estos resultados fueron muy #ien acogidos por el mundo cient%fico del momento 8ue no dudó en

utili(arlos para la resolución de cálculos numricos.FUNCION EXPONENCIAL

De llama función exponencial  de #ase a siendo a un n-mero real positi"o y distinto de 2 a la función

f:R → Rx → f)x* + ax

Esta función se escri#e tam#in como f(x) = exp a x y se lee @exponencial en #ase a de xB.

 Antes de dar un ejemplo de función exponencial con"iene recordar algunas propiedades de laspotencias:

#$ a + 2

%$ a5n + 2an

E&em"'os de (unciones e)"onencia'es

#$ La función y + >x es una función exponencial de #ase >. Algunos de los "alores 8ue toma estafunción f:R  →  R 

f)5<* + >5G + 2>G + 2=

f)52>* + >52> + 2>2> + 2H>

f)2* + >I + >

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%$ La función y + 2>x es una función exponencial de #ase 2>. Alguno de los "alores 8ue toma esta función f: R  →  R   son:

f)59* + >59 + 2>9 + 226

f)4* + )2>* + 2

f)>* + )2>* J + 29

P!o"iedades de 'a (unci*n e)"onencia' + , a x

2a. Para x + 4 la función toma el "alor 2: f)4* + a + 2

>a. Para x + 2 la función toma el "alor a: f)2* + aI + a

<a. La función es positi"a para cual8uier "alor de x: f(x *K4.

Esto es de#ido a 8ue la #ase de la potencia a es positi"a y cual8uier potencia de #ase positi"a dacomo resultado un n-mero positi"o.9a . Di la #ase de la potencia es mayor 8ue 2 aK2 la función es creciente.

3a. Di la #ase de la potencia es menor 8ue 2 a<2 la función es decreciente.

Re"!esentaci*n !á(ica de 'a (unci*n e)"onencia'

#ser"ando las propiedades antes descritas para una función exponencial se !an de distinguir doscasos para !acer la representación de una función y + a x:

A. a K 2

En este caso para x + 4 y + a + 2

para x + 2 y + aI + a

para cual8uier x la función es creciente y siempre positi"a.

'omo caso particular se representa la función y + > x.

/. a < 2Para x + 4 y + a + 2

Para x + 2 y + aI + a

Para cual8uier x la función es decreciente y siempre positi"a.

'omo caso particular se representa la función y + )2>* x.

ECUACIONES Y SISTEMAS E ECUACIONES EXPONENCIALES

Las ecuaciones en las 8ue la incógnita aparece como exponente son ecuaciones exponenciales.

0o !ay ninguna fórmula general 8ue indi8ue cómo resol"er cual8uier ecuación exponencial. Dólo lapráctica ayuda a decidir en cada caso 8u camino tomar.

Para resol"er estas ecuaciones !ay 8ue tener presente algunos resultados y propiedades:

#$ ax + ay ⇔ x + y

'on"iene por tanto siempre 8ue sea posi#le expresar los dos miem#ros de la ecuación comopotencias de la misma #ase.

%$ ax.ay + ax M y

0$ axay + ax 5 y

1$ )ax*y + ax.y

El uso de los logaritmos como se "erá más adelante facilita en muc!as ocasiones la resolución deestas ecuaciones.

E&e!cicio2 !eso'uci*n de ecuaciones e)"onencia'es

2* Resol"er + 2=

Resolución:

5 Expresando 2= como potencia de >: + 2><

+ >5G⇒ 2 5 x J + 5<

;asta a!ora con resol"er esta ecuación de segundo grado.

2 5 x J + 5< → x J + 9 → x + N >

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Resol"er 9xM2 M >xM< + <>4

Resolución:

En algunas ecuaciones es necesario !acer un cam#io de "aria#le para su resolución.

Teniendo en cuenta las propiedades de las potencias la ecuación puede escri#irse:

9.9x M >GO>x + <>4 → 9.9x M =O>x + <>4

Expresando 9

x

 como potencia de dos9.> J.x M =.>x + <>4

De !ace el cam#io de "aria#le >x + y )por tanto > J.x + y J* y se o#tiene:

9 y J M = y + <>4

;asta a!ora con resol"er esta ecuación:

y J M > y 5 =4 + 4

De des!ace a!ora el cam#io y + >x

y2 + 524 + >x. 0o es posi#le encontrar un x 8ue "erifi8ue esta condición )> x es siempre positi"o*

y> + = + >x → x + <

La solución es por tanto x + <

Resol"er 3x M 3xM> M 3xM9 + 632

Resolución:

 Aplicando las propiedades de las potencias la ecuación se puede escri#ir como

3x M 3 J O3x M 39 O3x + 632

Dacando factor com-n 3x:

3x )2 M 3 J M 39* + 632

3xO632 + 632 → 3x + 2 → x + 4

 Algunas ecuaciones exponenciales re8uieren para su resolución el empleo de logaritmos y por ello setratarán junto con las ecuaciones logar%tmicas.

E&e!cicio2 !eso'uci*n de sistemas de ecuaciones e)"onencia'es

2* Resol"er el sistema: >x 5 9 J.y + 4x 5 y + 23

Resolución:

De despeja x en la segunda ecuación:

x + 23 M y

De sustituye este "alor de x en la primera ecuación:

>23My 5 9 J.y + 4 )Pero 9 + > J*

>23My 5 )> J* J.y + 4

>23My 5 >9y + 4 ⇒ >23My + >9y ⇒ 23 M y + 9 y ⇒ < y + 23 ⇒ y + 3

De sustituye el "alor de y + 3 en x + 23 M y:

x + 23 M 3 + >4

Por tanto y + 3 x + >4>* Resol"er el sistema:

>>.x M 3.y + >>5.x M y + =

Resolución:

De ponen todos los factores como potencia de #ase >:

>>.x M 3.y + >I ⇒ >.x M 3.y + 2

>5x M y + >G ⇒ 5x M y + <

Resol"iendo este sistema de ecuaciones por cual8uier mtodo resulta

x + 5> y + 2

<* Resol"er el sistema:>x M >y + >9>x.>y + 2>=

Resolución:

>x M >y + >9 &aciendo el cam#io >x + a resulta el sistema>x.>y + 2>= >y + #

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a M # + >9Resol"iendo este sistema se o#tiene a + = # + 26

a.# + 2>=

Para o#tener los "alores de x e y !ay 8ue des!acer el cam#io:

a + = ⇒ >x + = ⇒ >x + >G ⇒ x + <

# + 26 ⇒ >y + 26 ⇒ >y + >9 ⇒ y + 9

LOGARITMOS

ado un n-mero real a positi"o no nulo y distinto de 2 )a K 4 a Q 4 a Q 2* y un n-mero 0 positi"o y nonulo )0 K 4 0 Q 4* se llama logaritmo en #ase a de 0 al exponente x al 8ue !ay 8ue ele"ar dic!a #asepara o#tener el n-mero.

Para indicar 8ue x es el logaritmo en #ase a de 0 se escri#e:

loga N = x 

y se lee @logaritmo en #ase a de 0 es igual a xB.

Por lo tanto loga N = x  )notación logar%tmica* e8ui"ale a decir 8ue ax + 0

)notación exponencial*.

0otaciónlogar%tmica

0otaciónexponencial

log > = + <

log 2> 9 + 5>log 7 7G + <

>G + =

)2>*5> + > J + 97G + 7G

'onsecuencias de la definición de logaritmo

#$ El logaritmo de 2 en cual8uier #ase es 4: log a 2 + 4 ya 8ue a + 2

%$ El logaritmo de un n-mero igual a la #ase es 2: log a a + 2 ya 8ue aI + a

0$ El logaritmo de una potencia cuya #ase es igual a la #ase del logaritmo es igual al exponente de lapotencia: loga am + m ya 8ue am + am

1$ 0o existe el logaritmo en cual8uier #ase de un n-mero negati"o o cero.

3$ El logaritmo de un n-mero 0 mayor 8ue cero y menor 8ue 2 estrictamente 4 N<2 es negati"o si la#ase a del logaritmo es aK2.

 As% por ejemplo log < 2? + 5> ya 8ue < 5> + 2?

4$ El logaritmo de un n-mero 0 mayor 8ue cero y menor 8ue 2 estrictamente 4 N<2 es positi"o si la

#ase a del logaritmo es a<2.Por ejemplo log 2< 2? + > ya 8ue )2<* J + 2?

5$ El logaritmo de un n-mero 0K2 es positi"o si la #ase es aK2.

 As% log< ? + > ya 8ue < J + ?

6$ El logaritmo de un n-mero 0K2 es negati"o si la #ase es a<2.

 As% log 23 >3 + 5> ya 8ue )23* 5> + >3

P!o"iedades de 'os 'oa!itmos

#$ Loa!itmo de un "!oducto

El logaritmo de un producto de dos n-meros es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de ellos.

loga)S O * + loga S M loga 

Demostración:

Dea loga S + x esto significa 8ue ax

 + S.Dea loga  + y esto significa 8ue ay + .

loga)S O * + loga )ax O ay* + loga ax M y + x M y + loga S M loga 

Este resultado se puede generali(ar para más de dos factores.

Di S2  S>  S<  ... Sn son n n-meros reales positi"os y no nulos

loga)S2 O S> ... Sn* + loga S2 M loga S> M ... M loga Sn

%$ Loa!itmo de un cociente

El logaritmo de un cociente de dos n-meros es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo deldenominador.

log a S + log a S 5 log a 

Demostración:

Dea loga S + x esto significa 8ue ax + S

Dea loga  + y esto significa 8ue ay +

log a )S* + log a )axay* + log a )ax 5 y* + x 5 y + log  a S 5 log a 

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0$ Loa!itmo de una "otencia

El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la #ase de lapotencia.

loga Sn + n loga S

Demostración:

Dea loga S + x esto significa 8ue ax + S.

loga Sn + loga )ax*n + loga anx + nx = n log a S

1$ Loa!itmo de una !a78

El logaritmo de una ra%( es igual al logaritmo del radicando di"idido entre el %ndice de la ra%(.

Demostración:

Este es un caso particular del apartado anterior logaritmo de una potencia.

#sr"ese 8ue las propiedades anteriores se refieren al logaritmo de un producto un cociente una

potencia y una ra%( pero nada se !a dic!o so#re el logaritmo de una suma o una resta. El logaritmo deuna suma o de una resta no admite desarrollo.