FUNCIONES N N UFHH

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Cuadernillo de Apuntes de Matemticas I

Luis Ignacio Sandoval Paz

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ndice Nmeros reales 1.1 Clasificacin de los nmeros reales. 5 1.2 Propiedades. 7 1.3Interpretacin geomtrica de los nmeros reales. 10 1.4 Desigualdades lineales y cuadrticas y sus propiedades. 13

Funciones 2.1 Definicin de funcin. 20 2.2 Representaciones de funciones(tablas, grficas, formulas y palabras) 21

2.3.2 Funcin racional. 27 2.3.3 Funcin raz. 29 2.3.4 Funcin exponencial. 31 2.3.5 Funcin logartmica. 34 2.3.6 Funcin definida parte por parte. 37 2.3.7 Funcin inversa. 38

2.4 Clasificacin de las funciones por sus propiedades: 39 2.4.1 Funcin creciente y decreciente 39 2.4.2 Funcin par e impar. 41 2.4.3 Funcin peridica. 42

2.5 Operaciones con funciones y composicin de funciones 43

Lmites y Continuidad 3.1 Definicin de lmite 46 3.2 Propiedades de los lmites 47 3.3 Lmites laterales 48 3.4 Asntotas (verticales, horizontales u oblicuas) 51 3.5 Definicin de continuidad. 54 3.6 Propiedades de la continuidad. 56

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Derivadas 4.1 Definicin de la derivada. 57 4.2 Interpretacin geomtrica y fsica de la derivada. 57 4.3 Derivada de la funcin constante, derivada del producto de una constante por una funcin, derivada de la funcin x

n cuando n es un entero positivo, y

cuando n es un nmero real, derivada de una suma de funciones, derivada d un producto de funciones y derivada de un cociente de funciones. 59

4.4 Derivada de las funciones exponenciales. 62 4.5 Derivada de las funciones trigonomtricas. 63 4.6 Derivada de las funciones compuestas 66 (regla de la cadena). 4.7 Derivada de la funcin inversa. 69 4.8 Derivada de las funciones logartmicas. 71 4.9 Derivada de las funciones trigonomtricas inversas. 73 4.10 Derivada de las funciones implcitas. 79 4.11 Derivadas sucesivas. 83 4.12 Teorema del valor medio y teorema de Rolle. 86

Aplicaciones de la derivada 5.1 Recta tangente, normal e interseccin de curvas. 93 5.2 Mximos y mnimos (criterio de la primera derivada). 95 5.3 Mximos y mnimos (criterio de la segunda derivada.) 99 5.4 Funciones crecientes y decrecientes. 101 5.5 Concavidades y puntos de inflexin. 104 5.6 Estudio general de curvas. 110 5.7 Derivada como razn de cambio y aplicaciones. 113 5.8 Regla de L`Hpital. 115

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Sucesiones y series 6.1 Definicin de sucesin. 118 6.2 Lmite de una sucesin. 118 6.3 Sucesiones montonas y acotadas. 121 6.4 Definicin de serie infinita. 122 6.5 Serie aritmtica y geomtrica. 122 6.6 Propiedades de las series. 124 6.7 Convergencia de series. 126

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CAPTULO I: LOS NMEROS REALES.

NMEROS REALES

1.1 Clasificacin de los nmeros reales.

En matemticas, los nmeros reales incluyen tanto a los nmeros racionales (como: 31, 37/22, 25,4) como a los nmeros irracionales aquellos que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no peridicas, tales como: . Nmeros reales son aquellos que poseen una expresin decimal.

Pueden ser descritos de varias formas, aparentemente simples, pero estas carecen del rigor necesario para los propsitos formales de matemticas.

Durante los siglos XVI y XVII el clculo avanz mucho aunque careca de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, usando expresiones como pequeo, lmite, se acerca sin una definicin precisa. Esto llev finalmente a una serie de paradojas y problemas lgicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa a la nueva matemtica, la cual incluy definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente tcnicas) del concepto de nmero real.

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Un nmero real puede ser un nmero racional o un nmero irracional. Los nmeros racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos nmeros enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los dems. Los nmeros racionales tambin pueden describirse como aquellos cuya representacin decimal es eventualmente peridica, mientras que los irracionales tienen una expansin decimal aperidica:

Ejemplos

1/4 = 0,250000... Es un nmero racional puesto que es peridico a partir del tercer nmero decimal.

5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un perodo de longitud 6 (repite 714285).

es irracional y su expansin decimal es aperidica.

Otra forma de clasificar los nmeros reales es en algebraicos y trascendentes. Un nmero es algebraico si existe un polinomio que lo tiene por raz y es trascendente en caso contrario. Obviamente, todos los nmeros racionales son

algebraicos: si es un nmero racional, con p entero y q natural, entonces es raz del binomio qx=p. Sin embargo, no se cumple el recproco, no todos los nmeros algebraicos son racionales.

Ejemplos

El nmero es algebraico puesto que es la raz del polinomio 8x3 12x2 + 6x 8

Un ejemplo de nmero trascendente es

Operaciones con nmeros reales

Con nmeros reales pueden realizarse todo tipo de operaciones bsicas con dos excepciones importantes:

1. No existen races de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de nmeros negativos en nmeros reales, razn por la que existe el conjunto de los nmeros complejos donde estas operaciones s estn definidas.

2. No est definida la divisin entre cero, pues carece de sentido dividir entre nada o entre nadie.

Estas dos restricciones tienen repercusiones importantes en ramas ms avanzadas de las matemticas: existen asntotas verticales en los lugares

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donde una funcin se indefine, es decir, en aquellos valores de la variable en los que se presenta una divisin entre cero, o no existe grfica real en aquellos valores de la variable en que resulten nmeros negativos para races de orden par, por mencionar un ejemplo de construccin de grficas en geometra analtica.

La principal caracterstica del conjunto de los nmeros reales es la completitud, es decir, la existencia de lmite para dada sucesin de Cauchy de nmeros reales.

Notacin

Los nmeros reales miden cantidades continuas que se expresan con fracciones decimales que tienen una secuencia infinita de dgitos a la derecha de la coma decimal, como por ejemplo 324,8232. Frecuentemente tambin se subrepresentan con tres puntos consecutivos al final (324,823211247), lo que significara que an faltan ms dgitos decimales, pero que se consideran sin importancia.

Las medidas en las ciencias fsicas son siempre una aproximacin a un nmero real. No slo es ms conciso escribirlos con forma de fraccin decimal (es decir, nmeros racionales que pueden ser escritos como proporciones, con un denominador exacto) sino que, en cualquier caso, cunde ntegramente el concepto y significado del nmero real. En el anlisis matemtico los nmeros reales son objeto principal de estudio. Puede decirse que los nmeros reales son la herramienta de trabajo de las matemticas de la continuidad, como el clculo y el anlisis matemtico, mientras que los nmeros enteros lo son de las matemticas discretas, en las que est ausente la continuidad.

Los matemticos usan el smbolo (o, de otra forma, , la letra "R" en negrita) para representar el conjunto de todos los nmeros reales.

La notacin matemtica se refiere a un espacio de n dimensiones de los nmeros reales; por ejemplo, un valor consiste de tres nmeros reales y determina un lugar en un espacio de tres dimensiones.

En matemtica, la palabra "real" se usa como adjetivo, con el significado de que el campo subyacente es el campo de los nmeros reales. Por ejemplo, matriz real, polinomio real, y lgebra de Lie real.

1.2 Propiedades. Cuando a este conjunto de smbolos que solemos llamar Nmeros reales les adicionamos las operaciones de suma (+) y multiplicacin (*) usuales creamos algo que se le llama CAMPO DE NMEROS REALES. Estas operaciones deben cumplir y de hecho estn caracterizadas con las siguientes propiedades, las cuales mostramos en la tabla 1: donde a, b y c son nmeros reales cualesquiera:

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Si a, b y c son nmeros reales entonces:

Propiedad Operacin Definicin Que dice Ejemplo

Conmutativa Suma

Multiplicacin

a+b = b+a

ab = ba

El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado.

2+8 = 8+2

5(-3) = ( -3)5


Asociativa Suma

Multiplicacin

a+(b+c)=(a+b)+c

a(bc) = (ab)c

Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado.

7+(6+1)=(7+6)+1

-2(4x7)= (-2x4)7


Identidad Suma

Multiplicacin

a + 0 = a

a x 1= a

Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva.

Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa.

-11 + 0 = -11

17 x 1 = 17


Inversos Suma

Multiplicacin

a + ( -a) = 0

La suma de opuestos es cero.

El producto de recprocos es 1.

15+ (-15) = 0


Distributiva Suma respecto a

Multiplicacin

a(b+c) = ab + ac El factor se distribuye a cada sumando.

2(x+8) =

2(x) + 2(8)

Propiedad de los opuestos

Que dice Ejemplo

9

-( -a ) = a El opuesto del opuesto es el mismo nmero.

- ( - 9 ) = 9

(-a)( b)= a (-b)= -(ab)

El producto de reales con signos diferentes es negativo.

( -15) (2) = 15( - 2) = - (15 x 2)

= - 30

( - a)( -b) = ab El producto de reales con signos iguales es positivo.

( -34) ( - 8) = 34 x 8

-1 ( a ) = - a El producto entre un real y -1 es el opuesto del nmero real.

-1 ( 7.6 ) = - 7.6

Propiedades del cero

Propiedad del cero Que dice Ejemplo

a x 0 = 0 Todo real multiplicado por 0 es 0.

16 x 0 = 0

a x b = 0 entonces

a = 0 b = 0

Si un producto es 0 entonces al menos uno de sus factores es igual a 0.

(a+b)(a-b) = 0 entonces

a + b = 0 a b = 0

A las propiedades de enunciadas se les denomina propiedades de campo, para distinguirlas de otros dos conjuntos de propiedades de este conjunto llamadas propiedades de orden y propiedades de continuidad

Identifica la propiedad:

5 ( 4 x 1.2 ) = ( 5 x 4 ) 1.2

14 + ( -14 ) = 0

3 ( 8 + 11 ) = 3 ( 8) + 3 (11)

( 5 + 7 ) 9 = 9 (7 + 5)

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Aplica la propiedad indicada:

5(x + 8) ; (conmutativa de suma)

(3 x 6) 2 ; (asociativa de multiplicacin)

(9 + 11) + 0 ; (identidad aditiva)

12(x + y) ; (distributiva)

9(6 + 4) ; (conmutativa de multiplicacin)

(x + y) + z ; (asociativa de suma)

1.3 Representacin Geomtrica de los Nmeros Reales

Geomtricamente podemos representar el conjunto de los nmeros reales mediante los puntos de una recta horizontal que llamaremos la recta real o el eje real. Para ello, escogemos un punto de la recta para representar el nmero 0 y otro punto a la derecha de este para representar al nmero1. La longitud del segmento determinado por los puntos marcados 0 y 1 se selecciona como unidad de distancia. Utilizando esta unidad de distancia representamos los nmeros positivos a la derecha del 0 y los nmeros negativos a la izquierda del 0. El entero positivo n se representa por el punto situado a una distancia de n unidades a la derecha del 0 y el entero negativo n se representa por el punto situado a una distancia de n unidades a la izquierda del 0, como se indica en la siguiente figura donde se representan los enteros entre -5 y 5.

En la prctica, se acostumbra a identificar un nmero real con el punto sobre la recta que lo representa y, a utilizar como sinnimas las expresiones " el punto

" y " el nmero ".

Para representar la distancia entre dos puntos de la recta, necesitamos calcular la diferencia entre la coordenada del punto que esta a la derecha y la coordenada del punto que est a la izquierda. Si los puntos tienen coordenadas

y , entonces cuando la distancia es y cuando la distancia es , ya que la distancia es siempre positiva. Con el fin de tener una nica frmula para calcular la distancia en todos los casos, introducimos la nocin de valor absoluto.

Definicin: Si es un nmero real, su valor absoluto que notamos , lo definimos

| x| =

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Ejemplo

, pues

, pues

, pues

, pues

De acuerdo con nuestra observacin anterior, si y son las coordenadas de dos puntos sobre una recta, la distancia entre ellos se define como . En particular, representa la distancia del origen al punto .

La relacin de orden entre nmeros reales tiene una interpretacin geomtrica muy simple:

si y slo si el punto que representa esta localizado a la izquierda del punto que representa .

La representacin geomtrica es de gran utilidad en la resolucin de problemas y en la visualizacin de muchas propiedades importantes de los nmeros reales.

Se llama intervalo al conjunto de nmeros reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo .

Intervalo abierto

Intervalo abierto , (a, b) , es el conjunto de todos los nmeros reales mayores que a y menores que b .

(a, b) = {x / a < x < b}

Intervalo cerrado

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Intervalo cerrado , [a, b] , es el conjunto de todos los nmeros reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b .

[a, b] = {x / a x b}

Intervalo semiabierto por la izquierda Intervalo semiabierto por la izquierda , (a, b] , es el conjunto de todos los nmeros reales mayores que a y menores o iguales que b .

(a, b] = {x / a < x b}

Intervalo semiabierto por la derecha Intervalo semiabierto por la derecha , [a, b) , es el conjunto de todos los nmeros reales mayores o iguales que a y menores que b .

[a, b) = {x / a x < b}

Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o ms de estos intervalos, se ut i l iza e l s igno (unin) entre e l los.

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1.4 Desigualdades lineales y cuadrticas de los nmeros reales.

Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incgnita La expresin

a b, Quiere decir que "a" no es igual a "b". Segn los valores particulares de "a" y de "b", puede tenerse a > b, que se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia a - b es positiva y a < b, que se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia a - b es negativa.

Desigualdad "es la expresin de dos cantidades tales que la una es mayor o menor que la otra".

Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los trminos que estn a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los trminos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definicin de desigualdad, lo mismo que de la escala de los nmeros algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber:

1 Todo nmero positivo es mayor que cero

2 Todo nmero negativo es menor que cero

3 Si dos nmeros son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;

Sentido de una desigualdad. Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos o contrarios en las desigualdades, segn que el primer miembro sea mayor o menor que el

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segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa.

Desigualdades absolutas y condicionales.

As como hay igualdades absolutas, que son las identidades, e igualdades condicionales, que son las ecuaciones; as tambin hay dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales.

Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales que figuran en ella

Ejemplo: a2+ 3 > a

Desigualdades condicional es aquella que slo se verifica para ciertos valores de las literales:

Ejemplo: 2x - 8 > 0

que solamente satisface para x > 4. En tal caso se dice que 4 es el lmite de x.

Las desigualdades condicionales se llaman inecuaciones.

Propiedades de las desigualdades.

1. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se aade o se resta un mismo nmero a cada miembro

Efectivamente si en la desigualdad a > b se designa por "c" lo que falta a "b" para ser igual a "a", se tiene:

a = b + c Aadiendo un mismo nmero, positivo o negativo a los miembros, se puede escribir:

a + m = b + c + m Suprimiendo "c" en el segundo miembro, resulta evidentemente

a + m > b +m

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Ejemplos:

9 > 5 9 + 2 > 5 + 2

11 > 7

-2 > -6 -2 -3 > -6 -3

-5 > -9 Consecuencia de esta propiedad: Puede suprimirse un trmino en un miembro de una desigualdad, teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el trmino simtrico del suprimido; es decir, se puede pasar un trmino de un miembro a otro, cambiando su signo, porque esto equivale a sumar o restar una misma cantidad a los dos miembros. Ejemplo:

6x -2 > 4x + 4 6x -4x > 4 + 2

2. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen entre un mismo divisor, tambin positivo.

Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + c Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por un nmero positivo "m", resulta:

am = bm + cm. Suprimiendo el trmino positivo "cm", en el segundo miembro disminuye, y se tiene:

am > bm Si "m" es recproco de un nmero positivo, queda evidenciada la segunda parte de esta propiedad Ejemplos:

12 > 7 12 * 3 > 7 * 3

36 > 21

15 > -25 15 5 >(-25) 5

3 > -5

3. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen entre un mismo divisor, tambin negativo.

Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + c Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por el factor negativo -n se obtiene:

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-an = -bn -cn Suprimiendo -cn, en el segundo miembro aumenta; por tanto,

-an < -bn Si -n es recproco de un nmero negativo, queda demostrada la segunda parte del enunciado. Ejemplos:

3 > -15 3(-4) < (-15)(-4)

-12 < 60

64 < 80 64 (-4) >80 (-4)

-16 > -20 Consecuencia de la propiedad anterior pueden cambiarse todos los signos de una desigualdad, con tal que se cambie el sentido de la misma; porque esto equivale a multiplicar sus dos miembros por -1. Ejemplo:

-7x + 130 < 9 -5x 7x - 130 > -9 + 5x

4. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia, la desigualdad no cambia de sentido.

Sea la desigualdad a < b, en la que "a" y "b" son positivos. Multiplicando sus dos miembros por "b", resulta:

ab < b2 En el primer de esta desigualdad, sustituyendo "b" por "a", la desigualdad se refuerza; por tanto:

a2 < b2 Ejemplo:

7 < 10 73 < 103

343 < 1000

5. Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia de grado impar, no cambia el sentido de la desigualdad; pero hay cambio de sentido si el grado de la potencia es par.

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Sea la desigualdad -a < -b a) Multiplicando sus dos miembros por b2 se obtiene:

-ab2 < -b3 En el primer miembro, reemplazando b2 por a2, la desigualdad se refuerza; luego se puede escribir:

-a3 < -b3 b) Multiplicando los dos miembros de la primera desigualdad por -b y haciendo anlogas transformaciones, la desigualdad cambia de sentido, porque sus trminos cambian de signo, y se tiene:

a2 > b2 Ejemplos:

-3 > -6 (-3)3 > (-6)3 -27 > -216

-8 < -4 (-8)2 > (-4)2

64 > 16

6. Si se suman miembro a miembro varias desigualdades de mismo sentido, resulta una desigualdad de mismo sentido que aqullas.

Sean las desigualdades a > b; a' > b'; a" > b" Se puede escribir:

a = b + c a' = b' + c' a" = b" + c"

Sumando miembro a miembro y suprimiendo c + c' + c", se tiene, sucesivamente:

a + a' + a" = b + b' + b" + c + c' + c" a + a' + a" > b + b' + b"

Ejemplo:

Dado: 2x > 10 y 7x > 26 se obtiene: 9x > 36

7. Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario, resulta una desigualdad de igual sentido que el minuendo.

Sean las desigualdades a > b y c < d Invirtiendo la segunda desigualdad y sumndola a la primera se tiene

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a > b d > c

a + d > b +c Restando d + c de cada miembro, resulta:

a - c > b -d Ejemplo:

Dado: 7x < 12 y 5x > 16, se obtiene: 2x < -4

Las desigualdades lineales se resuelven exactamente como las igualdades, con una importante excepcin: al multiplicar o dividir por una cantidad negativa, el signo de desigualdad se invierte.

El conjunto solucin lo escribimos as: S = ]-, -13/7]

Desigualdades Cuadrticas

1 Factorizables

Ejemplo 1: Hallar el conjunto solucin de x2 - 6x + 8 > 0.

Solucin:

Factorizando, (x - 2)(x - 4) > 0.

Grficamente:

\ x < 2 o x > 4.

El conjunto solucin es {x R : x < 2 o x > 4}

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Recta Numrica:

\ x < 2 o x > 4.

El conjunto solucin es {x R : x < 2 o x > 4}

Ejemplo 2: Hallar el conjunto solucin de (2x - 1)(x + 2) < x(4 + x).

Solucin:

2x2 + 3x - 2 < 4x + x2

x2 - x - 2 < 0

(x + 1)(x - 2) < 0

\ -1 < x < 2.

El conjunto solucin es {x R : -1 < x < 2}

2 No Factorizable

Ejemplo 3: Resolver x2 - 4x + 1 > 0.

Solution:

Mtodo 1: Completando el Cuadrado

x2 - 4x + 1 = x2 - 4x + 4 - 3

= (x - 2)2 - 3

(x - 2)2 - 3 > 0

(x - 2)2 > 3

|x - 2| > 3

x - 2 > 3 o x - 2 < -3

x > 2 + 3 o x < 2 - 3

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CAPTULO II: FUNCIONES.

2.1 Definicin de funcin.

Existen diferentes tipos de expresiones algebraicas, sin embargo algunas de las expresiones que ms nos interesan dentro del clculo son las funciones.

Una funcin es una regla de asociacin que relaciona dos o ms conjuntos entre s; generalmente cuando tenemos la asociacin dos conjuntos las funcin se define como una regla de asociacin entre un conjunto llamado dominio con uno llamado codominio, tambin dominio e imagen respectivamente o dominio y rango. Esta regla de asociacin no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del codominio.

Definicin de funcin que se ampara bajo una regla de asociacin de elementos del dominio con elementos del codominio, imponiendo la restriccin de relacionar un elemento del dominio con uno del codominio, sin importar si los elementos del codominio puedan estar relacionados con dos o ms del codominio.

Donde se dice que f: A B (f es una funcin de A en B, o f es una funcin que toma elementos del dominio A y los aplica sobre otro llamado codominio B) Se dice que el dominio de una funcin son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado codominio, generalmente cuando se habla del plano, el dominio es el intervalo de valores que estn sobre el eje de las Xs y que nos generan una asociacin en el eje de las Ys.

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El otro conjunto que interviene en la definicin es el conjunto llamado codominio o rango de la funcin, en ocasiones llamado imagen, este conjunto es la gama de valores que puede tomar la funcin; en el caso del plano son todos los valores que puede tomar la funcin o valores en el eje de las Ys. Tambin, cuando se grafica en el plano cartesiano se tiene una relacin de dos variables, considerando como variable aquella literal que est sujeta a los valores que puede tomar la otra.

VARIABLES DEPENDIENTES.

Son aquellas variables que como su nombre lo indica, dependen del valor que toma las otras variables Por ejemplo: f(x)= x, y o f(x) es la variable dependiente ya que est sujeta a los valores que se le subministre a x.

VARIABLE INDEPENDIENTE.

Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de x.

VARIABLE CONSTANTE.

Es aquella que no est en funcin de ninguna variable y siempre tiene el mismo valor ejemplo:

Y=2, la constante gravitacional, entre otras. 2.2 Representaciones de funciones(tablas, grficas, formulas y palabras) La grfica de una funcin solo puede ser cortada por una recta vertical en un punto, si dicha recta corta ms de una punto no lo es. Como se muestra en la figura Se traza una lnea paralela

Y debe de cortar una solo punto, Y si corta dos o ms puntos

No es funcin.

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Se llama funcin polinmica de grado cero o funcin matemtica constante a la que no depende de ninguna variable, se la representa de la forma:

Donde a es la constante.

Como se puede ver es una recta horizontal en el plano xy, en la grfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la funcin no depende de x, si hacemos:

Tenemos:

Donde a tiene un valor constante, en la grfica tenemos representadas:

La funcin constante como un polinomio en x

Si un polinomio general, se supone que tiene la forma:

Una funcin constante cumple esta expresin con n= 0, es un polinomio de grado 0.

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Que es lo mismo que:

Que corresponde al termino independiente del polinomio.

2.3 Clasificacin de las funciones por su naturaleza; algebraicas y trascendentes.

2.3.1 Funcin polinomial. Una variable es un smbolo al que se le puede asignar un conjunto de valores. En general se representan las variables con las ltimas letras del alfabeto: u,v,w,x,y,z. Una constante es un smbolo al que se le puede asignar un solo valor. En general se representan las constantes con las primeras letras del alfabeto: a, b, c. Llamaremos funcin lineal a una ecuacin del tipo

y = mx +b

Halle las expresiones que determinan las siguientes rectas y grafique. Una recta de pendiente dos que pasa por el punto tres, cuatro. Una funcin lineal que pasa por el punto P, de coordenadas (18.1;3) y el J de coordenadas (1.2;-3.2) Una recta con m igual a -2/5 y trmino independiente igual a cinco. Determine todos los puntos de interseccin entre estas tres rectas. Responda las siguientes cuestiones y grafique. Si y = (3/2 )x + 3x, determine el valor de b. Si y = 3 + (1/2 )x, determine el valor de m Si t= 2/5 + x + 3, determine el valor de m y b

Recuerde que:

24

Son paralelas si y solo si:

son perpendiculares si y solo si:

Funcione cuadrtica Decimos que una funcin es cuadrtica si se puede expresar de la forma

f(x)= ax2+bx+c

donde a,b y c son constantes y a # 0

La grfica de una funcin cuadrtica es una parbola y su dominio es el conjunto de los nmeros reales.

Si a>0, se dice que la parbola es positiva y, en este caso, abre hacia arriba. Si a

25

5 4

1 -2

1 3

Funciones polinomiales Si una funcin f est definida por 01

22

11 ...)( axaxaxaxaxf

nn

nn

nn +++++=

donde naaa ,...,, 10 son nmeros reales ( 0na ) y n es un entero no negativo, entonces, f se llama una funcin polinomial de grado n. Por lo tanto,

173)( 25 += xxxxf , es una funcin polinomial de grado 5. Una funcin lineal es una funcin polinomial de grado 1, si el grado de una funcin polinomial es 2, se llama funcin cuadrtica, y si el grado es 3 se llama funcin cbica. Una funcin que puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales

)()()(

xgxfxQ = se llama funcin racional. Una funcin algebraica es aquella que

est formada por un nmero finito de operaciones algebraicas sobre la funcin identidad y la funcin constante. Las funciones trascendentes son las trigonomtricas, exponenciales y logartmicas.

Ejemplos:

1. Para la funcin 652)( 23 += xxxxf :

(a) Determine el dominio de la funcin

(b) Las intercepciones con los ejes

(c) Elabora una tabla para algunos valores del Df

(d) Traza la grfica de la funcin

(e) Estima una aproximacin del Rf (puedes comprobarlo utilizando un software)

Solucin: (a) RD f = (el dominio de las funciones polinomiales son todos los nmeros

reales. (b) Intercepciones con los ejes:

6

0=

=

yxSi

La curva intercepta al eje y en el punto (0, 6)

26

65200

23 +=

=

xxxySi

Por divisin sinttica:

Los factores de 6 son: 6,3,2,1

Por lo tanto, f tiene un factor de la forma x-1.

)6()1(652)( 223 =+= xxxxxxxf

El factor 62 xx , puede descomponerse en:

)2()3(62 += xxxx

Finalmente:

0)2()3()1(0652

023

=+=+

=

xxxxxx

ySi

Los valores de x son:

202303101

==+====

xxxxxx

La curva corta al eje x en los puntos: (-2, 0), (1, 0) y (3, 0)

(c) La siguiente tabla ser de mucha utilidad para graficar:

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y -70 -24 0 8 6 0 -4 0 18

(d) La funcin ha sido graficada utilizando un software:

1 -2 -5 6

1 1

1

-1

-1

-6

-6

0

27

2 4 6 8 10 12 14-2-4-6-8-10-12-14

2

4

6

8

10

-2

-4

-6

-8

-10

x

yy = x^3-2x^2-5x+6

(e) El recorrido de la funcin coincide con el contradominio:

RR f =

2.3.2 Funcin racional Definicin: Si P(x) y Q(x) son polinomios, la funcin de la forma:

f x P xQ x

( ) ( )( )

=

se llama una funcin racional, donde Q(x) es diferente de cero. Ejemplos:

f xx

g x xx

h x x( ) , ( ) , ( )= = +

= 1 3

13 12

El dominio de las funciones racionales es el conjunto de todos los nmeros reales tal que el denominador sea diferente de cero. Teorema: Sea f una funcin racional definida de la forma:

f x P xQ x

( ) ( )( )

=

Donde P(x) y Q(x) son polinomios. Si a es un nmero real que Q(a) = 0 y P(a) es diferente de cero, entonces la recta x = a es una asntota vertical de la grfica de y = f(x). Ejemplos para discusin: Halla las asntotas verticales para cada de las siguientes funciones:

28

1 1

2 21

3 2 34

4 12 1

2

) ( )

) ( )

) ( )

) ( )

f xx

g xx

h x xx

f xx

=

=+

=

=

Teorema: Sea f una funcin racional definida por el cociente de dos polinomios,

f x a x a x ab x b x b

mm

nn( )

......

=+ + ++ + +

1 0

1 0 entonces: 1) Para m < n, la recta y = 0 (el eje x) es una asntota horizontal. 2) Para m = n, la recta y = am/bn, es una asntota horizontal. 3) Para m > n, no hay asntotas horizontales. Halla las asntotas horizontales para cada una de las siguientes funciones:

1 1

2 21

3 2 33 1

4 31

3

2

) ( )

) ( )

) ( )

) ( )

f xx

g xx

h x xx

f x xx

=

=+

=+

=+

Grfica de funciones racionales Ahora utilizaremos las tcnicas de interceptos y asntotas para graficar algunas funciones racionales. Ejemplos para discusin: Dibuja la grfica de:

29

163)()5

13)()4

32)()3

11)()2

1)()1

2

+

=

=

=

+=

=

xxxg

xxf

xxxh

xxg

xxf

Teorema: Si f es una funcin definida de la forma:

f x P xQ x

( ) ( )( )

=

Donde P(x) y Q(x) son polinomios y el grado de P(x) es 1 ms que el grado de Q(x), entonces se puede expresar de la forma:

f x mx b r xQ x

( ) ( )( )

= + +

Donde el grado de r(x) es menor que el grado de Q(x). La recta y = mx + b es una asntota oblicua para la grfica de f. 2.3.3 Funcin raz Sea n un nmero natural no nulo. La funcin (potenciacin) x x n define una biyeccin de hacia si ''n'' es impar, y hacia si ''n'' es par. Se llama ensima raz, o raz de orden n su funcin matemtica recproca, y se puede anotar de formas:

.

Para todo n natural, a y b reales positivos, tenemos la equivalencia:

.

En l, se han dibujado las curvas de algunas races, as como de sus funciones recprocas, en el intervalo [0;1]. La diagonal de ecuacin y = x es eje de simetra entre cada curva y la curva de su recproca.

30

Cambiando de escala:

La raz de orden dos se llama raz cuadrada y, por ser la ms frecuente, se escribe sin superndice: en vez de . La raz de orden tres se llama raz cbica.

El clculo efectivo de la raz se hace mediante las funciones logaritmo y exponencial:

.

Todos los ordenadores y calculadoras emplean este mtodo. El problema es que ste clculo no funciona con los nmeros negativos, porque el logaritmo usual slo est definido en (0,+ ). De ah una tendencia, todava minoritaria,

31

de restringir la definicin de las races de orden impar a los nmeros positivos.

Propiedades Como se indica con la igualdad , la radicacin es en realidad otra forma de expresar una potenciacin: la raz de un cierto orden de un nmero es equivalente a elevar a dicho nmero a la potencia inversa.

Por esto, las propiedades de la potenciacin se cumplen tambin con la radicacin.

2.3.4 Funcin exponencial

Comenzaremos observando las siguientes funciones: f(x) = x2 y g(x) = 2x. Las funciones f y g no son iguales. La funcin f(x) = x2 es una funcin que tiene una variable elevada a un exponente constante. Es una funcin cuadrtica que fue estudiada anteriormente. La funcin g(x) = 2x es una funcin con una base constante elevada a una variable. Esta es un nuevo tipo de funcin llamada funcin exponencial.

Definicin: Una funcin exponencial con base b es una funcin de la forma f(x) = bx , donde b y x son nmeros reales tal que b > 0 y b es diferente de uno.

El dominio es el conjunto de todos los nmeros reales y el recorrido es el conjunto de todos los nmeros reales positivos.

1) f(x) = 2x

0

2

4

6

8

-4 -2 0 2 4

( )2 12 2 21) ( )f x

xx x=

= =

32

0

2

4

6

8

-4 -2 0 2 4

Propiedades de f(x) = bx, b>0, b diferente de uno:

1) Todas las grficas intersecan en el punto (0,1).

2) Todas las grficas son continuas, sin huecos o saltos.

3) El eje de x es la asntota horizontal.

4) Si b > 1 (b, base), entonces bx aumenta conforme aumenta x.

5) Si 0 < b < 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x.

6) La funcin f es una funcin uno a uno.

Propiedades de las funciones exponenciales: Para a y b positivos, donde a y b son diferentes de uno y x, y reales:

1) Leyes de los exponentes:

( )

a a a a

b aa

a

c a a

d ab a b

e ab

ab

x y x y

x

yx y

x y xy

x x x

x x

x

)( )( )

)

)

)( )

)

=

=

=

=

=

+

2) ax = ay si y slo si x = y

3) Para x diferente de cero, entonces ax = bx si y slo si a = b.

Usa las propiedades para hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones:

1) 2x = 8

2) 10x = 100

3) 4 x - 3 = 8

33

4) 5 2 - x = 125

Halla el valor de x:

1) 2x = 64

2) 27 x + 1 = 9

La funcin exponencial de base e Al igual que , e es un nmero irracional donde e = 2.71828... La notacin e para este nmero fue dada por Leonhard Euler (1727).

Definicin: Para un nmero real x, la ecuacin f(x) = ex define a la funcin exponencial de base e.

Las calculadoras cientficas y grficas contienen una tecla para la funcin f(x) = ex.

La grfica de f(x) = ex es:

0

5

10

15

20

25

-4 -2 0 2 4

El dominio es el conjunto de los nmeros reales y el rango es el conjunto de los nmeros reales positivos.

La funcin f(x) = ex es una funcin exponencial natural. Como 2

34

En la simplificacin de expresiones exponenciales y en las ecuaciones exponenciales con base e usamos las mismas propiedades de las ecuaciones exponenciales con base b.

Simplifica:

( )=

=

83

3

42

)2

)1

x

x

xx

ee

e

Halla el valor de x en e x + 1 = e 3x - 1

1) Simplifica: (e 3x + 1) (e 2x 5)

2) Halla el valor de x en e3x 4 = e2x

La grfica de la funcin exponencial f(x) = e-x es:

0

5

10

15

20

25

-4 -2 0 2 4

2.3.5 Funcin logartmica

Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logartmicas. Como la notacin f-1 se utiliza para denotar una funcin inversa, entonces se utiliza otra notacin para este tipo de inversas. Si f(x) = bx, en lugar de usar la notacin f-1(x), se escribe logb (x) para la inversa de la funcin con base b. Leemos la notacin logb(x) como el logaritmo de x con base b, y llamamos a la expresin logb(x) un logaritmo.

Definicin: El logaritmo de un nmero y es el exponente al cual hay que elevar la base b para obtener a y. Esto es, si b > 0 y b es diferente de cero, entonces

logb y = x si y slo si y = bx.

35

Nota: La notacin logb y = x se lee el logaritmo de y en la base b es x.

Ejemplos:

1) A qu exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25? Al exponente 2, ya que 52 = 25. Decimos que el logaritmo de 25 en la base 5 es 2. Simblicamente lo expresamos de la forma log5 25 = 2. De manera que, log5 25 = 2 es equivalente a 52 = 25. (Observa que un logaritmo es un exponente.)

2) Tambin podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3.

Nota: El dominio de una funcin logaritmo es el conjunto de todos los nmeros reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los nmeros reales. De manera que, log10 3 est definido, pero el log10 0 y log10 (-5) no lo estn. Esto es, 3 es un valor del dominio logartmico, pero 0 y -5 no lo son.

Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial:

1 9 2

2 7 12

3 14

2

3

49

2

) log

) log

) log

=

=

=

Ejercicios:

1) Halla el valor de x si log3 9 = x.

2) Halla el valor de b si logb 8 = 3.

3) Halla el valor de y si log2 y = 7.

Ejercicio:

1) Halla el valor de y si log3 27 = y.

2) Halla el valor de b si logb 100 = 2.

3) Halla el valor de x si log2 x = -3.

Propiedades de las funciones logartmicas: Si b, M y N son nmeros reales positivos, b es diferente de uno, y p y x son nmeros reales, entonces:

1) logb 1 = 0

2) logb b = 1

3) logb bx = x

36

4) logb MN = logb M + logb N

5) log log logb b bMN

M N=

6) logb Mp = p logb M

7) logb M = logb N si y slo si M = N

Logaritmos comunes y naturales

Los logaritmos comunes son los logaritmos de base 10. Los logaritmos naturales son los logaritmos de base e. Si y = ex entonces x = loge y = ln. Muchas calculadoras tienen la tecla [log] para los logaritmos comunes y la tecla [ln] para los logaritmos naturales.

Notacin:

Logaritmo comn: log x = log10 x

Logaritmo natural: ln x = loge x

El logaritmo natural tiene todas las propiedades para los logaritmos con base b. En particular:

1 12 1 03

4

5

) ln) ln) ln( ) ln ln

) ln ln ln

) ln ln

e

uv u vuv

u v

u n un

=== +

=

=

Usa las propiedades para expandir:

=

=

yxxx

23ln)2212ln)1

Grficas de funciones logartmicas

Las funciones y = bx y y = logb x para b>0 y b diferente de uno son funciones inversas. As que la grfica de y = logb x es una reflexin sobre la recta y = x de la grfica de y = bx. La grfica de y = bx tiene como asntota horizontal al eje de x mientras que la grfica de y = logb x tiene al eje de y como asntota vertical.

37

Ejemplo:

0

2

4

6

8

-4 -2 0 2 4

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 2 4 6 8

y = 2x y = log2 x

Las funciones y = 2x y y = log2 x son funciones inversas una de la otra, por tanto, la grfica de y = log2 x es una reflexin de la grfica de y = 2x sobre la recta y = x. El dominio de y = 2x es el conjunto de los nmeros reales y el recorrido es todos los nmeros reales mayores que cero. El dominio de y = log2 x es el conjunto de los nmeros reales mayores que cero y el recorrido el conjunto de los nmeros reales.

2.3.6 Funcin definida parte por parte

Trazar la grfica de la funcin f si

Solucin

Si x < 0, entonces f(x) = 2x +3, y la grfica de f coincide con la recta y = 2x + 3. Con esto se obtiene la parte de la grfica que est a la izquierda del eje y, que se ve en la Fig. 3.53. El circulo pequeo indica que el punto (0, 3) no est en la grfica.

Si 0 x < 2, se usa x2 para calcular valores de f y, por consiguiente, esta parte de la grfica de f coincide con la parbola y = x2, como se ve en la figura. Ntese que el punto (2, 4) no pertenece a la grfica.

Finalmente, si x 2, los valores de f siempre son 1. As, la grfica de f para x 2 es la media recta horizontal que se ve en la figura.

38

2.3.7 Funcin inversa Se l lama funcin inversa o reciproca de f a otra funcin f1 que cumple que: Si f(a) = b, entonces f1(b) = a.

Podemos observar que: El dominio de f1 es e l recorr ido de fEl recorr ido de

. f1 es e l dominio de f

Si queremos hal lar e l recorr ido de una funcin tenemos que hal lar e l dominio de su funcin inversa.

.

Si dos funciones son inversas su composicin es la funcin identidad

.

f o f - 1 = f - 1 o f

= x

Las grf icas de f y f - 1 son simtr icas respecto de la b isectr iz del pr imer y tercer cuadrante.

39

Hay que dist ingui r entre la funcin inversa , f1(x), y la

inversa de una funcin , . Clculo de la funcin inversa Se escr ibe la ecuacin de la funcin con x e y. Se despeja la var iable x en funcin de la var iable y. Se intercambian las var iables.

Calcular la funcin inversa de:

2.4 Clasificacin de las funciones por sus propiedades: 2.4.1 Funcin creciente y decreciente Funcin estrictamente creciente en un intervalo

40

Una funcin es estrictamente creciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

Cuando en la grfica de una funcin estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha tambin nos movemos hacia arriba:

Una funcin es estrictamente creciente en el punto de abscisa si existe algn nmero positivo tal que es estrictamente creciente en el intervalo .

De esta definicin se deduce que si es derivable en y es estrictamente creciente en el punto de abscisa , entonces .

Funcin creciente en un intervalo

Una funcin es creciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

Funcin estrictamente decreciente en un intervalo

Una funcin es estrictamente decreciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

41

f (-x) f (x)

x -x

Cuando en la grfica de una funcin estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha tambin nos movemos hacia abajo:

Una funcin es estrictamente decreciente en el punto de abscisa si existe algn nmero positivo tal que es estrictamente decreciente en el intervalo .

De esta definicin se deduce que si es derivable en y es estrictamente decreciente en el punto de abscisa , entonces .

Funcin decreciente en un intervalo

Una funcin es decreciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

2.4.2 Funcin par e impar

SIMETRA.

FUNCIN PAR. Si una funcin f satisface que f(-x) = f(x) para todo x en su dominio, entonces f es una funcin par.

Ejemplo. Comprobar que f(x) = x2 es par.

f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x)

Como f(-x) = f(x), entonces la funcin es par!

42

La grfica de una funcin par es simtrica respecto al eje y.

FUNCIN IMPAR. Si una funcin f satisface que f(-x) = - f(x) para todo x en su dominio, entonces f es una funcin impar.

Ejemplo. Demostrar que f(x) = x3 es una funcin impar.

f(-x) = (-x)3 = - x3 = - f(x)

Como f(-x) = - f(x), entonces la funcin es impar!

La grfica de una funcin impar es simtrica respecto al origen.

Ejemplos. Determine si cada una de las siguientes funciones es par, impar o ninguno de los dos.

f(x) = x5 + x

f(x) = 1 x4

f(x) = 2 x x2

2.4.3 Funcin peridica

Una funcin f (x) es per idica, de perodo T, s i para todo nmero entero z, se ver i f ica:

f(x) = f(x + zT)

La funcin f (x) = sen x es per idica de periodo 2, ya que cumple que:

sen (x + 2) = sen x

f (x)

f (-x)

x -x

43

La funcin f (x) = tg x es per idica de per iodo , ya que cumple que:

tg (x + ) = tg x

2.5 Operaciones con funciones y composicin de funciones

Si tenemos dos funciones: f (x) y g(x), de modo que el dominio de la 2 est incluido en el recorr ido de la 1, se puede def in ir una nueva funcin que asocie a cada elemento del dominio de f (x) e l valor de g[ f (x)] .

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

(g o f ) (1) = 6 1 + 1 = 7 Dominio: D ( g o f ) = {x D f / f (x) D g

}

Propiedades Asociat iva: f o (g o h) = (f o g) o h

44

No es conmutat iva.

El e lemento neutro es la f o g g o f

funcin identidad , i (x) = x . f o i = i o f = f

Sean las funciones:

46

CAPTULO III: LMITES Y

CONTINUIDAD. 3.1 Definicin de lmite Definicin de lmite

Sea f una funcin definida en una vecindad del punto (b,0).

Definicin:

Se dice que , si para cada nmero positivo , por pequeo que este sea, es posible determinar un nmero positivo , tal que para todos los valores

de , diferentes de , que satisfacen la desigualdad , se verificar la

desigualdad .

Luego, si y solo si para cada tal que si ,

entonces .

En forma grfica se tiene:

para cada existe

tal que si entonces

47

Tambin el puede interpretarse de la forma siguiente: como la

desigualdad se deduce que , entonces todos los puntos en

la grfica de la funcin con ecuacin , que corresponden a los puntos que se localizan a una distancia no mayor que del punto , se encontrarn

dentro de una franja de ancho ,limitada por las rectas , como se muestra en la siguiente figura:

Puede decirse entonces que la definicin de lmite dada anteriormente ,

establece que los valores de la funcin se aproximan a un lmite , conforme se aproxima a un nmero , s el valor absoluto de la diferencia

entre se puede hacer tan pequea como se quiera tomando suficientemente cercana a "b", pero no igual a "b".

3.2 Propiedades de los lmites Para resolver alguno limites es necesario tener en cuenta alguna de las siguientes propiedades, a continuacin iniciaremos con las ms sencillas e irn aumentando de dificultad, pero muchas veces teniendo en cuenta a anteriores

(1)

48

(2)

(donde c es una constante o numero cualquiera)

(3)

(e igual cuando es resta)

(4)

(5)

mientras que

En este ejemplo vamos a usar propiedades de los limites y algunos trucos para romper la indeterminacin de un lmite, teniendo en cuenta que solo puedo multiplicar y dividir por 1, usar la factorizacin o alguno otro procedimiento matemtico que no afecte al lmite.

3.3 Lmites laterales

Definicin de lmites laterales o unilaterales

Definicin de lmite por la derecha

Se dice que si y solo si para cada existe tal que si

entonces es el lmite por la derecha de en "a".

Observe que no hay barras de valor absoluto alrededor de , pues es mayor que cero ya que .

49

Definicin de lmite por la izquierda

Se dice que si y solo si para cada existe tal que si

entonces es el lmite por la izquierda de en "a".

Note que la expresin es mayor que cero, pues por lo que .

En adelante determinaremos los lmites laterales a partir de la representacin grfica de una funcin cuya ecuacin se da.

Ejemplo:

Determinar los lmites, en los puntos de discontinuidad, de la funcin definida por:

Primero hagamos la grfica de la funcin:

El punto de discontinuidad se presenta cuando

Luego: y Observe que el lmite por la derecha (3), es diferente al lmite por la izquierda (2). Ejercicio:

50

Represente la funcin definida por

y determine los lmites laterales en el punto de discontinuidad.

Es posible demostrar que para que exista es necesario y suficiente que los lmites laterales existan y sean iguales.

Es decir, si y solo si y

Por consiguiente, si es diferente de se dice que no existe.

Ejemplo: Representemos grficamente la funcin definida por:

Como y , entonces

Como y , entonces no existe.

Ejercicio: Considere la representacin grfica de la funcin definida por:

51

3.4 Asntotas (verticales, horizontales u oblicuas)

Las asntotas son rectas a las cuales la funcin se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.

Una definicin ms formal es: Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una funcin y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asntota de la funcin.

Las asntotas se clasifican en:

Asntotas verticales (paralelas al eje OY)

Si existe un nmero a tal, que :

La recta x = a es la asntota vertical.

Ejemplo:

es la asntota vertical.

52

Asntotas horizontales (paralelas al eje OX)

Si existe el lmite: :

La recta y = b es la asntota horizontal.

Ejemplo:

es la asntota horizontal.

53

Asntotas oblicuas (inclinadas)

Si existen los lmites: :

La recta y = mx+n es la asntota oblicua.

Ejemplo:

es la asntota oblicua.

Las asntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de unas, implica la no existencia de las otras.

En el clculo de los lmites se entiende la posibilidad de calcular los lmites laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la existencia de asntotas por la derecha y por la izquierda diferentes o solo una de las dos.

Posicin relativa de la funcin con respecto a la asntota Para estudiar la posicin relativa de la funcin con respecto a la asntota, primero calcularemos los puntos de corte de ambas resolviendo el sistema:

54

Estos puntos determinan los cambios de posicin de la funcin respecto de la asntota. Estos cambios quedarn perfectamente establecidos estudiando el SIGNO [f(x)-Asntota].

Ejemplo:

La funcin tiene por asntota oblicua la recta

Calculamos los puntos de interseccin de ambas:

El punto de corte de las dos funciones es P(2/3, 8/3).

Ahora estudiamos el signo de FUNCIN-ASNTOTA.

Esto nos indica que en el intervalo la funcin est por encima de la asntota y en el intervalo la funcin est por debajo de la asntota.

3.5 Definicin de continuidad Definicin de continuidad

55

Se dice que una funcin f es continua en c si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes: 1.

est definida, (o sea, c pertenece al dominio de f) 2.

existe 3.

La funcin f ser discontinua en c si por lo menos una de las condiciones anteriores no se cumple.

Ejemplo

Determinar si la funcin definida por es continua en

Primero por lo que f est definida en 2

Calculemos

(de aqu existe)

Como entonces f es continua en Note que f no est definida ni en , ni en por lo que f es discontinua en esos puntos.

Ejemplo

Determine si la funcin definida por

es o no continua en

56

Se tiene que (es decir, 4 pertenece al dominio de )

Adems

Pero por lo que es discontinua en . La representacin grfica de la funcin es la siguiente:

3.6 Propiedades de la continuidad Propiedades de continuidad Si b es un nmero real y f, g son continuas en x = c, entonces: 1) bf es continua en c (mltiplo escalar) 2) f g es continua en x = c ( suma o diferencia) 3) fg es continua en x = c ( producto)

4) gf es continua en x = c si g(c) 0 ( cociente)

Teorema-Funcin compuesta Si g es continua en c y f es continua en g(c) , entonces ( f o g )(x) = f(g(x)) es continua en x = c.

57

CAPTULO IV: LA DERIVADA.

4.1 Definicin de la derivada.

La derivada es uno de los conceptos ms importante en matemticas. La derivada es el resultado de un lmite y representa la pendiente de la recta tangente a la grfica de la funcin en un punto. Pero vayamos por partes.

La definicin de derivada es la siguiente:

4.2 Interpretacin geomtrica y fsica de la derivada. Cuando h t iende a 0, e l punto Q t iende a confundirse con el P. Entonces la recta secante t iende a ser la recta tangente a la funcin f (x) en P, y por tanto e l ngulo t iende a ser .

58

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la der ivada de la funcin en ese punto.

m t

= f ' (a)

Dada la parbola f (x) = x2

La bisectr iz del pr imer cuadrante t iene como ecuacin y = x, por tanto su pendiente es m = 1.

, hal lar los puntos en los que la recta tangente es parale la a la b isectr iz del pr imer cuadrante.

Como las dos rectas son paralelas tendrn la misma pendiente, as que:

f '(a) = 1Porque la pendiente de la tangente a la curva es igual a la der ivada en el punto x = a.

.

59

4.3 Derivada de la funcin constante, derivada del producto de una

constante por una funcin, derivada de la funcin xn cuando n es un

entero positivo, y cuando n es un nmero real, derivada de una

suma de funciones, derivada de un producto de funciones y

derivada de un cociente de funciones.

Derivada de una funcin constante Sea una funcin constante f(x) = C. Su grfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definicin de f(x), f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que Luego la derivada de una constante es siempre cero.

60

Derivada de la funcin xn

Una funcin de carcter exponencial, cuyo exponente es un entero se representa por f(x) = xn y se puede demostrar que su derivada es f'(x) = nxn 1 por ejemplo tomemos la funcin:

f(x) = x3

Lo primero que se debe hacer es "bajar" el exponente de tal forma que ste multiplique a la variable con respecto a cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta la unidad formando uno nuevo, as:

f'(x) = 3x3 1

Quedando finalmente:

f'(x) = 3x2

En algunas funciones donde la variable ya est siendo multiplicada, como: f(x) = 7x4 se aplica la siguiente regla.

Derivada de una constante por una funcin

Cuando una funcin est representada por medio de f(x) = cxn, su derivada equivale a f'(x) = n(cx(n 1)) de la siguiente manera:

Consideremos la siguiente funcin: f(x) = 8x4, lo primero a hacer es "bajar" al exponente a multiplicar por la variable y el coeficiente que la acompaa, y de nuevo se halla un nuevo exponente de la misma manera explicada anteriormente:

f'(x) = 4(8x4 1)

Para obtener

f'(x) = 32x3

Cuando una constante acompaa a una variable cuyo exponente es 1 su derivada ser el valor de la constante:

f(x) = 7x

Entonces su derivada con respecto a esta variable ser:

f'(x) = 7

Puesto que x0 = 1

61

Derivada de una suma

Se puede demostrar a partir de la definicin de derivada, que la derivada de una suma es la suma de la derivada de cada trmino por aparte. Es decir, (f + g)' = f' + g'. Como ejemplo consideremos la funcin f(x) = 3x5 + x3, para determinar su derivada se trabaja la derivada de cada termino por aparte y la expresin de estos ser la derivada de la funcin suma:

f'(x) = 15x4 + 3x2

Derivada de un producto

La derivada se expresa literalmente de la siguiente forma:

"La derivada de un producto de dos funciones es equivalente a suma entre el producto de la primera funcin sin derivar y la derivada de la segunda funcin y el producto de la derivada de la primera funcin por la segunda funcin"

Y matemticamente expresado por la relacin . Consideremos la siguiente funcin como ejemplo:

h(x) = (4x + 2)(3x7 + 2)

Identificamos a f(x) = (4x + 2) y g(x) = (3x7 + 2), utilizando las reglas anteriormente expuestas, vemos que:

f'(x) = 4 y que g'(x) = 21x6

Por lo tanto

Simplificando y organizando el producto obtenido nos queda

h'(x) = 84x7 + 12x7 + 42x6 + 8

Sumamos trminos semejantes y finalmente obtenemos la derivada:

h'(x) = 96x7 + 42x6 + 8

Derivada de un cociente

La derivada de un cociente se determina por la siguiente relacin:

Es decir:

62

"La derivada de un cociente de dos funciones es la funcin ubicada en el denominador por la derivada del numerador menos la derivada de la funcin en el denominador por la funcin del numerador sin derivar, todo sobre la funcin del denominador al cuadrado"

Este caso se relaciona mucho con la regla de derivada de un producto, pero hay que tener en cuenta la resta y el orden de los factores. Pero ya explicando lo dicho anteriormente consideremos como ejemplo la siguiente funcin:

Ahora se trabaja el enunciado anterior el cual nos dice que multipliquemos el denominador que en este caso es g(x) = 2x y se multiplique por la derivada del numerador que sera f'(x) = 3; luego la segunda parte dice que tomemos la funcin del numerador (f(x)) sin derivar y lo multipliquemos por la derivada de g(x) = 2x, que sera g'(x) = 2, todo esto lo dividimos entre el denominador al cuadrado, as:

Ahora todo es cuestin de simplificar:

4.4 Derivada de las funciones exponenciales.

La funcin f(x) = ex es una funcin exponencial natural. Como 2

63

Reglas para la derivacin de funciones exponenciales:

Halla la derivada de:

1) y = e 2x - 1

3) y = x3ex

Ejercicios: Deriva cada una de las siguientes funciones: 1) f(x) = e2x

22)2 xxey += 3)

xey = 4) g(x) = (e x + e x)3 5) y = x2 e-x 6) y = x2 ex 2x ex + 2 ex 7) f(x) = 4x 8) g(x) = 5 x 2 9) h(x) = 2e x + 1

4.5 Derivada de las funciones trigonomtricas.

Derivada de la funcin seno

A partir de la definicin de la derivada de una funcin f(x):

64

Por tanto si f(x) = sen(x)

A partir de la identidad trigonomtrica sin(A + B) = (sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B), se puede escribir

Agrupando los trminos cos(x) y sin(x), la derivada pasa a ser

Reordenando los trminos y el lmite se obtiene

Ahora, como sin(x) y cos(x) no varan al variar h, se pueden sacar fuera del lmite para obtener

El valor de los lmites

Son 1 y 0 respectivamente por Teorema del sndwich. Por tanto, si f(x) = sin(x),

Derivada de la funcin coseno

Si f(x) = cos(x)

A partir de la identidad trigonomtrica cos(A + B) = cos(A)cos(B) sin(A)sin(B), se puede escribir

65

Operando se obtiene

Como sin(x) y cos(x) no varan al variar h, se pueden sacar fuera del lmite para obtener

El valor de los lmites

Son 1 y 0 respectivamente. Por tanto, si f(x) = cos(x),

Derivada de la funcin tangente

A partir de la regla del cociente, segn la cual si la funcin que se quiere derivar, f(x), se puede escribir como

y h(x) 0, entonces la regla dice que la derivada de g(x) / h(x) es igual a:

A partir de la identidad trigonomtrica

haciendo

g(x) = sin(x) g'(x) = cos(x)

h(x) = cos(x) h'(x) = sin(x)

66

sustituyendo resulta

operando

y aplicando las identidades trigonomtricas

cos2(x) + sin2(x) = 1

resulta

f'(x) = sec2(x)

4.6 Derivada de las funciones compuestas (regla de la cadena).

En clculo, la regla de la cadena es una frmula para la derivada de la composicin de dos funciones. Tiene aplicaciones en el clculo algebraico de derivadas cuando existe composicin de funciones. Descripcin de la regla: En trminos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razn de cambio de y con respecto a x puede ser computado como el producto de la razn de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razn de cambio de u con respecto a x.

En trminos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si es diferenciable en y es una funcin diferenciable en

, entonces la funcin compuesta es diferenciable en y

Alternativamente, en la notacin de Leibniz, la regla de la cadena puede expresarse como:

67

Donde indica que g depende de f como si sta fuera una variable.

Ejemplos de aplicacin

Supngase que se est escalando una montaa a una razn de 0,5 kilmetros por hora. La razn a la cual la temperatura decrece es 6 F por kilmetro (la temperatura es menor a elevaciones mayores). Al multiplicar 6 F por kilmetro y 0,5 kilmetros por hora, se obtiene 3 F por hora, es decir, la razn de cambio de temperatura con respecto al tiempo transcurrido.

Este clculo es una aplicacin tpica de la regla de la cadena.

Por ejemplo si y = f(u) es una funcin derivable de u y si adems u = g(x) es una funcin derivable de x entonces y = f(g(x)) es una funcin derivable con:

o tambin

Ejemplo

y queremos calcular:

Por un lado tenemos:

y

si:

68

Entonces:

Si definimos como funcin de funcin:

Resulta que:

Con el mismo resultado.

Ejemplo

Tenemos la cual se puede definir como funcin compuesta. Si desglosamos la funcin compuesta quedara:

, cuyas derivadas seran:

Con la regla de la cadena, esto sera:

Los cuales corresponden a las derivadas anteriormente extradas.

69

Se reemplazan las letras b y c pos sus valores NO derivados, no confundir.

Y luego se obtiene la derivada.

Derivadas de orden superior

Las frmulas de Fa di Bruno generalizan la regla de la cadena a derivadas de orden superior. algunas de ellas son:

4.7 Derivada de la funcin inversa.

Previo al estudio de las funciones trigonomtricas inversas, es necesario determinar la derivada de la funcin inversa de una funcin dada. Para ello consideremos el siguiente teorema.

Teorema

Sea una funcin estrictamente creciente y continua en un intervalo la

funcin inversa de .

70

Si existe y es diferente de cero para , entonces la funcin derivada

tambin existe y no es nula en el correspondiente "y" donde .

Adems se tiene que .

Note que si entonces , y

Ejemplos:

1. Consideremos la funcin definida por:

Esta funcin posee funcin inversa definida por:

Se tiene que

Como

Note que:

2. Sea la ecuacin de una funcin definida en tal que

.

Se tiene que entonces

As:

71

El teorema anterior ser de gran utilidad cuando determinemos las derivadas de las funciones trigonomtricas inversas.

4.8 Derivada de las funciones logartmicas

Vamos a estudiar la derivada de la funcin definida por , donde

tal que

Teorema

Si , entonces la funcin es

derivable sobre su dominio

Ejemplos:

1.

2.

Teorema

Sea , si la funcin es derivable y sobre un

conjunto , entonces la funcin definida por , es

derivable sobre y .

Ejemplos:

1.

2.

3.

( )( )( )

2

5 22

2

( 3) 1 1 21 log1 33

x x xex x

x

+ +=

+ ++

72

En particular si la base de los logaritmos es " " entonces el se denota por , y:

1. , es decir

2. Si es una funcin derivable con entonces:

Ejemplos:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

73

4.9 Derivada de las funciones trigonomtricas inversas.

Conviene recordar que:

a. Si una funcin es continua y estrictamente creciente (decreciente) en un intervalo, entonces posee funcin inversa la cual tambin es continua y estrictamente creciente (decreciente). b. Las funciones trigonomtricas son peridicas por lo que la correspondencia entre la variable independiente y la dependiente no es "uno a uno". De aqu se tiene que la inversa de una funcin trigonomtrica no es una funcin, es una relacin. Sin embargo, si se restringe el dominio de una funcin trigonomtrica se establece una relacin biunvoca y la inversa de la funcin trigonomtrica s es una funcin.

Funcin seno inverso

Al considerar la grfica de la funcin seno:

Se observa que en varios intervalos, por ejemplo:

, etc, la funcin seno es continua y estrictamente creciente, por lo que podra escogerse alguno de ellos para definir la funcin

inversa de la funcin seno. Usualmente se toma el intervalo . Luego, se define la funcin seno como:

La funcin as definida es continua y estrictamente creciente en el intervalo

, por lo que existe una nica funcin, definida en el intervalo , llamada funcin seno inverso. Esta funcin, denotada arcsen, se define como sigue:

74

Se tiene entonces que .

Luego, es el nico nmero para el cual .

Ejemplos:

a.

b.

c.

d.

La representacin grfica de la funcin seno y de la funcin arcoseno es la siguiente:

Derivada de la funcin seno inverso

Como , aplicando el teorema de la derivada de una funcin inversa se tiene que:

75

Como , y entonces

pues .

Luego:

En general

Ejemplos:

1.

2.

3.

Ejercicio:

Determine si:

a.

b.

Funcin coseno inverso

Como en la funcin seno, la funcin coseno es continua y estrictamente decreciente en varios intervalos, por lo cual debe restringirse su dominio de tal forma que posea funcin inversa.

Sea entonces la funcin tal que:

La funcin as definida es continua y estrictamente decreciente en el intervalo

, por lo que posee funcin inversa. Esta recibe el nombre de arco coseno, (o funcin coseno inverso), y se denota .

Se define de la siguiente forma:

76

Se tiene que

Luego, es el nico nmero con para el que

Ejemplos:

a.

b.

c.

d.

La representacin grfica de la funcin coseno y la de la funcin arco coseno es la siguiente:

Derivada de la funcin coseno inverso

Como , aplicando el teorema de la derivada de la funcin inversa se tiene que:

77

Como , y entonces

pues .

Luego:

En general

Ejemplos:

1.

2.

3.

Ejercicio:

Determine si:

a.

b.

Funcin tangente inversa

Igual que en los dos casos anteriores, vamos a restringir el dominio de la

funcin tangente al intervalo , en el que es continua y estrictamente creciente, por lo que posee funcin inversa.

Luego se define la funcin tangente como:

Se define la funcin tangente inversa, tambin llamada arco tangente, y denotada , como:

78

Se tiene que ,

Luego, es el nico nmero con para el que

Ejemplos:

a. b. c.

Adems:

La representacin grfica de la funcin tangente y la de la funcin arcotangente es la siguiente:

79

Derivada de la funcin arcotangente

Como , aplicando el teorema de la derivada de la funcin inversa se tiene que:

Como , y entonces por lo que:

En general

Ejemplos:

1.

2.

3.

Ejercicio:

Determine si:

a.

b.

c.

4.10 Derivada de las funciones implcitas.

Al considerar la funcin con ecuacin , es posible determinar

con los teoremas enunciados anteriormente, ya que es una funcin dada implcitamente en trminos de la variable independiente .

80

Sin embargo, existen funciones que no estn definidas en forma explcita, ejemplos de las cuales son las siguientes:

Estas ecuaciones no pueden ser resueltas explcitamente para "y" en trminos de "x". Se dice que la funcin f est definida implcitamente por las ecuaciones:

respectivamente.

Note que ambas expresiones son de la forma general .

Interesa ahora determinar la derivada de una funcin dada en forma implcita.

Consideremos cada una de las ecuaciones anteriores:

a.

Observe que involucra un producto de funciones y que para derivar

se debe utilizar la regla de la cadena.

Se tiene entonces derivando:

Despejando se tiene que:

Sustituyendo "y" por se obtiene:

81

b. derivando

de donde

y sustituyendo se tiene:

El proceso realizado en estos dos ejemplos recibe el nombre de derivacin implcita, y puede ser utilizado nicamente bajo el supuesto de que la ecuacin dada especifica una funcin. En caso de que no sea as, aunque se realicen las operaciones, el resultado carece de sentido.

Ejemplos:

1. Suponiendo que existe una funcin derivable tal que est definida

implcitamente por la ecuacin , calcular

Solucin:

Derivando implcitamente se obtiene:

Note que hemos trabajado como si .

2. En cada caso determinar una ecuacin para la recta tangente y una ecuacin para la recta normal a la grfica de la ecuacin dada en el punto . Graficar la curva, la recta tangente y la recta normal.

82

a.

b.

Solucin:

a.

Primero obtenemos que nos da la pendiente de la recta tangente:

de donde

Evaluando se tiene que

Luego . Sustituyendo se obtiene que por lo que la

ecuacin de la recta tangente es

La pendiente de la recta normal es de donde la ecuacin de esta

recta es: ; sustituyendo nuevamente en se obtiene que

La ecuacin de la recta normal es:

La ecuacin puede escribirse como

que representa la ecuacin de una circunferencia

con centro en y radio .

La representacin grfica de la curva y las rectas es la siguiente:

83

b.

Dada la ecuacin obtenemos . como entonces

Evaluando en se tiene que

Luego, la pendiente de la recta tangente es y la ecuacin es

. Sustituyendo en esta ecuacin se obtiene que por lo que finalmente la ecuacin de la recta tangente es .

La pendiente de la recta normal es y la respectiva ecuacin es:

. Sustituyendo se obtiene que por lo que la ecuacin de la recta normal es .

La representacin grfica de la curva, las recta tangente y de la recta normal es la siguiente:

4.11 Derivadas sucesivas.

Si es una funcin diferenciable, es posible considerar su funcin derivada como:

para en el dominio de .

Si para algunos valores existe el se dice que existe la

segunda derivada de la funcin que se denota por o , que equivale

84

a . O sea, la segunda derivada de la funcin se obtiene derivando la primera derivada de la funcin.

Ejemplos:

1. Si entonces:

y

2. Si entonces:

y derivando nuevamente

Por tanto

Similarmente podemos decir que la derivada de respecto a "x" es la

tercera derivada de respecto a "x" que se denota o .

La derivada de la tercera derivada es la cuarta derivada y as podramos

continuar sucesivamente hasta la ensima derivada de que se denota por

o . Generalmente se habla del orden de la derivada; as la primera derivada es la derivada de primer orden, la segunda es la de segundo orden, la ensima derivada es la derivada de orden n.

Ejemplos:

1. Determinar , donde

Solucin:

85

Obtenemos primero

Luego:

y se tiene que:

2. Determinar

Solucin:

Se tiene que:

2 33 52 8( ) 1

3 5f x x x

= +

5 83 54 24( )

9 25f x x x

= +

Por ltimo:

8 133 520 192 ( )

27 125f x x x

=

Una aplicacin de la segunda derivada

Anteriormente hemos estudiado que si nos indica la distancia de una

partcula al origen en un tiempo , entonces es la velocidad en el tiempo

Al calcular la derivada de la velocidad respecto al tiempo, es decir, al calcular

se obtiene la aceleracin instantnea en el tiempo . Si denotamos esta

aceleracin por se tiene que , es decir, la aceleracin es la segunda derivada de la distancia respecto al tiempo.

86

Ejemplo:

Sea , la ecuacin que determina la distancia en el tiempo (en segundos) de una partcula al origen en un movimiento rectilneo. Determinar el tiempo, la distancia, y la velocidad en cada instante en que la aceleracin es nula. Solucin:

Si entonces la velocidad, est dada por:

Averigemos el tiempo en que la aceleracin se hace cero.

Luego, la distancia recorrida cuando es metros y la velocidad en

es .

4.12 Teorema del valor medio y teorema de Rolle.

Teorema del valor medio para derivadas (Teorema de Lagrange)

Sea una funcin que cumple las propiedades siguientes:

1. Es continua sobre un intervalo cerrado

2. Es derivable sobre un intervalo abierto

Entonces existe por lo menos un nmero tal que y

Este teorema se utiliza para demostrar varios teoremas tanto del clculo diferencial como del clculo integral.

Interpretacin geomtrica

El teorema del valor medio puede interpretarse geomtricamente como sigue:

Consideremos la representacin grfica de una curva continua :

87

La recta secante que une los puntos tiene como pendiente

. Segn el teorema del valor medio, debe existir algn punto sobre la curva, localizado entre P y Q, en el que la recta tangente sea paralela

a la recta secante que pasa por P y Q; es decir, existe algn nmero tal

que

Ejemplos:

Para cada funcin cuya ecuacin se da, verificar que se cumplen las condiciones del teorema del valor medio en el intervalo dado, y determinar un valor adecuado "c" que satisfaga la conclusin de este teorema:

1.

2.

Solucin:

1. Por ser una funcin polinomial, es derivable para toda por lo que

debe existir por lo menos un nmero tal que:

Adems por lo que

Como entonces por lo que

88

Luego en y en la recta tangente

es paralela a la recta secante que pasa por los puntos y .

2. Como es continua en el intervalo y derivable en el intervalo

cumplir ambas condiciones en el intervalo

Luego debe existir por lo menos un nmero tal que

Como ,

entonces por lo que

Resolviendo la ecuacin se obtiene que o

Aunque ambos valores de pertenecen al intervalo ,se tiene que

nicamente cuando

Luego en la recta tangente es paralela a la recta secante que

pasa por los puntos .

Grficamente se tiene:

89

Teorema de Rolle (o teorema sobre las races de la derivada)

Sea una funcin que cumple las condiciones siguientes:

1. es continua sobre un intervalo cerrado

2. es derivable sobre un intervalo abierto

3.

Entonces existe por lo menos un nmero real

tal que .

O sea para cierto .

Interpretacin geomtrica Este teorema puede interpretarse geomtricamente de la manera siguiente:

Si una curva continua interseca al eje en y tiene una recta

tangente en cada uno de los puntos del intervalo , entonces existe por lo menos un punto de la curva en el que la recta tangente es paralela al eje . Grficamente se tiene:

El teorema tambin es vlido para una funcin derivable que aunque en los

extremos del intervalo no interseque al eje , s tome valores iguales para

"a" y "b", es decir, .

90

Es necesario que la funcin posea derivada en todos los puntos del intervalo, ya que aunque la funcin sea continua en el intervalo, si no es derivable en

algn punto, puede suceder que no exista ningn valor "c" para el que sea igual a cero.

Por ejemplo, la funcin con ecuacin es continua en el intervalo

y adems se cumple que , pero la derivada de no

est definida para , y se tiene que no se hace cero en el intervalo dado.

La representacin grfica de esta funcin en el intervalo es la siguiente:

Ejemplos:

91

Para cada una de las funciones cuyas ecuaciones se dan a continuacin, verificar que se cumplen las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo indicado, y determinar un valor adecuado "c" que satisfaga la conclusin de este teorema:

1.

2.

Solucin:

1. Por ser una funcin polinomial es derivable y por lo tanto continua para

todo . se cumplen entonces las dos primeras condiciones en el

intervalo

Adems por lo que la curva interseca al eje y se cumple la tercera condicin.

Luego, debe existir por lo menos un nmero tal que

Como si y solo si entonces puede tomarse

Luego en el punto la recta tangente es paralela al eje

2. De nuevo, es una funcin polinomial y por tanto es derivable, y

continua para toda . En particular, en el intervalo se cumplen las dos primeras condiciones.

Adems verificndose la tercera condicin.

92

Luego, el teorema es vlido en el intervalo y existe tal que

. Como entonces si y solo si

. Note que ambos valores pertenecen al intervalo

.

Luego, en los puntos , la recta tangente tiene pendiente cero y por tanto dicha recta es paralela al eje .

93

CAPTULO V: APLICACIONES DE

LA DERIVADA. 5.1 Recta tangente, normal e interseccin de curvas.

Recta tangente

La recta tangente en un punto de una circunferencia es aquella recta que intercepta a la circunferencia en un solo punto, pero lo cierto es que tal definicin no es suficiente para una curva en general porque en otros casos la recta tangente puede llegar a interceptar a la curva en uno o ms puntos, adems de ser inclinada, horizontal o vertical.

y = x3+1 y = sen x

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3

Para obtener una definicin adecuada de la recta tangente a la grfica de una funcin en un punto se emplea el concepto de lmite

Ecuacin de la recta tangente

Sea f una funcin continua en xo. La ecuacin de la recta tangente a la curva en xo es:

Sea f una funcin continua en xo. La ecuacin de la recta tangente a la curva en xo es:

i) y = f '(xo) . x + b, si la funcin es derivable en x0.

94

ii) x=xo, si la derivada, cuando x tiende a xo por la izquierda y por la derecha, es ms infinito (o menos infinito).

1. Clculo de la ecuacin de la recta tangente a f(x)=x3+1 en xo=0.5.

1. Derivamos la funcin f '(x)=3x2. 2. Evaluamos la derivada en 0,5, f '(0.5)=mt=0.75. 3. Calculamos la ordenada de xo=0.5 que es yo=f(xo)=1.13. 4. Sustituimos los valores dados en la ecuacin de la recta tangente a la

curva, es decir en yo=mt xo + b, para obtener b=0.75. 5. Escribimos la ecuacin de la recta tangente: y = 0,75 x + 0,75

2. Clculo de la ecuacin de la recta tangente a y= sen x en xo=pi/2.

1. Derivamos la funcin y' = cos x. 2. Evaluamos la derivada en pi/2 para obtener mt= 0 3. Calculamos la ordenada de xo=pi/2, que es yo=1. 4. Calculamos la ordenada en el origen de la recta tangente, b=1. 5. Escribimos la ecuacin de la recta tangente: y=1

3. Clculo de la ecuacin de la recta tangente a la siguiente curva en el punto de abscisa cero.

1. La derivada 2. Se observa que el dominio de la funcin es D=R, pero que la primera

derivada no est definida en cero. 3. Analizando la derivada cuando x tiende a 0 por la izquierda y derecha se

sabe que y' es ms infinito en ambos casos, entonces la ecuacin de la recta tangente es vertical y su ecuacin: x=0

4. Clculo de la ecuacin de la recta tangente a la circunferencia x2 + y2 = 5 en xo= -2.

1. La derivada es y' = -(x/y) (Obtenerla derivando la funcin implcitamente).

2. La ordenada para xo= - 2 es yo= -1. 3. La derivada evaluada en (-2,1) es mt= - 2. 4. La ordenada en el origen de la recta tangente b= - 5. 5. La ecuacin de la recta tangente: y = - 2x- 5

95

5.2 Mximos y mnimos (criterio de la primera derivada).

Extremos Absolutos

Las palabras mximas y mnimas, pertenecen a un lenguaje habitual y los usamos generalmente cuando deseamos expresar, lo ms grande o lo ms pequeo de la cantidad comparada. Este es el mismo significado que toma en el clculo. Para cada funcin es posible establecer comparaciones entre las imgenes, en un intervalo dado, y de acuerdo a la medida conocer la mayor imagen y desde luego, al menor. Estos sern llamados extremos de la funcin, o de manera ms especfica, mximo absoluto y mnimo absoluto respectivamente.

Precisaremos aun ms:

Definicin:

Mximo y mnimo absolutos: Sea f una funcin continua definida en [a, b].

Sea c y d dos nmeros del intervalo, tales que:

f (c) f (x) para todo x [a, b]

y f (d) f (x) para todo x [a, b]

Llamamos a f(c) el mximo absoluto de f en [a, b] y a f(d) el mnimo absoluto de f en [a, b]

Es conveniente hacer algunas reflexiones sobre la definicin anterior.

Primeramente, es evidente en la Figura que:

y

f (b)

f (a)

x

a b

Sin embargo, Cul es el mximo absoluto y el mnimo absoluto en la funcin constante que aparece en la Figura?

Mximo absoluto = f (b)

Mnimo absoluto = f (a)

96

Con esto deseamos enfatizar lo siguiente: el mximo o el mnimo son nmeros

que resultan de la comparacin de los valores que toma la funcin en su

dominio. No representa la imagen de algn argumento en particular,

independientemente de que sta los tome. As, este nmero llamado mximo

(o mnimo) absoluto, puede corresponder al valor de la funcin para uno o ms

argumentos del dominio.

Otro aspecto importante es el hecho de que los extremos absolutos

pueden o no coincidir con los lmites del intervalo que da el dominio, como se

ver en el ejemplo 1:

Ejemplo 1.- Dada f (x) = x2 2x, calcular los extremos absolutos en el intervalo [0, 3].

SOLUCIN:

y

0 3 x

Si x = 0 Si x = 2

f (x) = (0)2 2 (0) = 0 f (x) = (2)2 2 (2) = 4 4 = 0

Si x = 1 Si x = 3

F (x) = (1)2 2 (1) = 1 2 = -1 f (x) = (3)2 2 (3) = 9 6 = 3

Mximo absoluto = 3 para x = 3

Mnimo absoluto = -1 para x = 1

Extremos Relativos

Definicin:

Mximos y mnimos relativos: Sea f una funcin derivable en [a, b]. Sea c

(a, b), tal que f'(c) = 0. Decimos que f(c) es un extremo relativo (o extremo

Como se observa, su vrtice se encuentra en x = 1, y en l se encuentra el mnimo absoluto.

Resulta tambin evidente que el mximo absoluto corresponde a la imagen en x = 3.

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local), si es posible encontrar un subintervalo de [a, b] que contenga a c en donde f (c) sea un extremo absoluto.

FUNCIONES N N UFHH

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