1Tema I

FUNCIONS DE VARIES VARIABLES

1. Sigui la famlia de tancats .

s la seva uni un tancat?

Resultat:

2. Sigui la famlia d'oberts .

s la seva intersecci un obert?

Resultat:

3. Estudiar el domini de definici de les segents funcions i representeu-lo grficament al pla.

Resultats:

a)

b)

c)

d)

4. Estudiar i representar grficament el domini de definici de lessegents funcions:

Resultats:

a)

b)

c)

d)

Funcions de varies variablesS)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

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5. Estudiar i representar grficament el domini de definici de lessegents funcions:

Resultats:

a)

b)

c)

6. Estudiar i representar grficament el domini de definici de lessegents funcions:

Resultats:

a)

b)

c)

7. Estudiar les corbes de nivell de les funcions:Resultats:

a)

b)

c)

d)

8. Estudiar les corbes de nivell de les funcions:Resultats:

a)

b)

c)

d)

Funcions de varies variablesS)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

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9. Sigui f(x,y) = y/x, estudiar el seu domini i el lmit doble en (0,0).

Resultat:

10. Sigui f(x,y) = x sin (1/y), estudiar el seu domini i el lmit doble en(0,0).

Resultat:

11. Estudiar, en el punt (0,0), el lmit doble i els reiterats de lesfuncions:a) b) c)

Resultats:

12. Calcular, en el punt (0,0), el lmit doble de les funcions:

a) b) Resultat: ,

13. Calcular els segents lmits: Resultats:

a) 0

b) 0

c)

d) 1/2

e) 2

f)

g)

Funcions de varies variablesS)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

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14. a) Estudiar, en el punt (0,0), la continutat de la funci:. Resultat: Discontinutat evitable

b) Estudiar, en el punt (0,0), la continutat de la funci:

Resultat: Contnua

15. Estudiar en l'origen, els lmits, els lmits reiterats i la continutatde les segents funcions:

a) Resultat: , -1, 1, discontnua

b) Resultat: 0, , 0, contnua

c)

Resultat: 0, , , contnua

d)

Resultat: , 0, 0, discontnua

16. Estudiar la continutat en l'origen de la funci:

Resultat: Discontnua

17. Calcular el lmit doble en (0,0) de la funci .

Resultat:

18. Per a quins valors de a , t lmit real en (0,0) la funci:

?. Resultat:

19. Per a quins valors de " s contnua en (0,0) la funci:

?.

Resultat: " > 1

Funcions de varies variablesS)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

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20. Determinar si s o no contnua en (0,0) la funci:

Resultat: S

21. Calcular les derivades parcials de les segents funcionsResultats:

a)

b)

c)

d)

22. Calcular les derivades parcials de les segents funcionsResultats:

a)

b)

c)

d)

23. La productivitat duna empresa val , on L sn les hores detreball (capital hum en termilogia econmica), i K el capitalinvertit. La Productivitat marginal del treball i productivitatmarginal del capital es determinen matemticament calculant,respectivament, a . Quant valen aquestes

productivitats marginals en els punts (1,1), (10,2)?

Resultats:

Funcions de varies variablesS)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

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24. La productivitat duna empresa val , on L sn les hores detreball (capital hum en termilogia econmica), i K el capitalinvertit. La Productivitat marginal del treball i productivitatmarginal del capital es determinen matemticament calculant,respectivament, a . Quant valen aquestes

productivitats marginals en els punts (1,1), (2,3)?

Resultats:

25. Si la funci f est definida com , trobeu els segentsvalors:

a) b) c)

Resultats:

26. Si la funci f est definida com , trobeu elssegents valors:

a) b) c)Resultats:

27. Calculeu (derivada direccional en la direcci del vector v, de lafunci f en el punt P)

Resultats:

a)

b)

28. Calculeu (derivada direccional en la direcci del vector v, de lafunci f en el punt P)

Resultats:

a)

b)

Funcions de varies variablesS)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

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29. La temperatura T en un punt (x,y) duna plaa metl.lica plana ve donadaper la funci

a) Si som en el punt (0,0), en quina direcci la temperatura creixms rpidament? Quina s aquesta variaci per unitat de longitud?

b) Si som en el punt , en quina direcci la temperaturadisminueix ms rpidament? Quina s aquesta variaci per unitatde longitud?

c) Si som en el punt , doneu una direcci per tal que lavariaci per unitat de longitud sigui 1.

Resultats:

30. La pressi P que fa un slid rgid sobre la terra que el suporta vedeterminada per la funci

a) En quina direcci la pressi creix ms rpidament al voltant delpunt (1,1)? Quina s aquesta variaci per unitat de longitud?

b) Si som en el punt , hi ha alguna direcci per tal que lavariaci per unitat de longuid sigui 1?

c) En quina direcci la pressi decreix ms rpidament al voltantdel punt (1,1)? Quina s aquesta variaci per unitat de longitud?

Resultats:

31. Estudiar la continutat, derivabilitat i diferenciabilitat, en tot el

seu domini, de la funci:

Resultat:

32. Sigui la funci

a) Estudiar la continutat, derivabilitat i diferenciabilitat en (0,0).

Resultat:

b) Determinar el pla tangent i la recta normal a z = f(x,y) en (1,1).

Resultat:

Funcions de varies variablesS)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

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33. Considereu la funci

a) Doneu un punt (x,y) que visqui a la mareixa corba de nivell de fque el punt (1,-1).

b) Doneu la derivada direccional de f en el punt (1,1), en ladirecci del vector gradient de f en aquest punt.

c) Calculeu el pla tangent a la grfica f en el punt (1,1).

Resultats:

34. Considereu la funci

a) Doneu un punt (x,y) que visqui a la mareixa corba de nivell de fque el punt (1,-1).

b) Doneu la derivada direccional de f en el punt (1,1), en ladirecci del vector gradient de f en aquest punt.

c) Calculeu el pla tangent a la grfica f en el punt (1,1).

Resultats:

35. Estudiar en (0,0), la continutat, derivabilitat i diferenciabilitat de

la funci

Determinar, si existeix, el valor de la derivada de f(x,y) en el punt(1,2) i en la direcci .

Resultat:

36. Sigui , estudiar:

a) La continutat de f en el punt (0,0).

b) La existncia i la continutat de fx i fy en el punt (0,0).

Resultat:

37. Trobar el valor mxim de la derivada direccional en el punt (B/3,0), dela funci: f(x,y) = e - y sin x + 1/3 e - 3 y sin 3x.

Resultat:

Funcions de varies variablesS)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

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38. Trobar la derivada de la funci u = x + y + z, en un punt de l'esferax2 + y2 + z2 = 1, segons la normal exterior a l'esmentada esfera.

Determinar, posteriorment, els punts on aquesta derivada direccionals:

a) mxima b) mnima c) nula.

Resultat:

39. Estudiar la continutat i diferenciabilitat de les segents funcions:

a)

Resultat:

b)

Resultat:

c)

Resultat:

40. Estudiar la continutat i diferenciabilitat de les segents funcions:

a)

Resultat:

b)

Resultat:

c)

Resultat:

41. Sigui la funci , essent p > 0,

q > 0. Estudiar la seva continutat i diferenciabilitat en (0,0),segons els valors de p i q.

Resultat: p + q > 2: z contnua, p + q > 3: z diferenciable

Funcions de varies variablesS)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

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42. Donada la funci ,

determinar, si existeixen, en (0,0):

a) Els lmits reiterats.

b) El lmit doble.

c) Les derivades parcials.

d) La diferencial.

Resultat:

43. Donada la funci , estudiar la seva

continutat i diferenciabilitat en 2.

Resultat: f contnua i diferenciable en 2

44. Sigui la funci , estudiar la seva

continutat, derivabilitat i diferenciabilitat en 2.

Resultat:

45. a) Determinar els valors de les constants a, b i c, tals que laderivada direccional de la funci f(x,y,z) = a xy2 + b yz + cz2x3, en el punt (1,2,-1), tingui un valor mxim de 64 en una

direcci paralela a l'eix Z.

Resultat: (a,b,c) = 6,24,-8), (a,b,c) = (-6,-24,8)

b) Amb els valors obtinguts calcular el pla tangent a la superfcief(x,y,z) = 0, en el punt (0,0,1).

Resultat: y = 046. Demostrar que l'esfera s tangent a

l'elipsoide en el punt (2,1,1).

47. Trobar l'angle agut format per el hiperboloide 4x2 - y2 + z2 = 31 i elparaboloide 2x2 + 4y2 = 3z en el punt (2,-1,4).

Resultat:

48. Donat el elipsoide , calcular un pla tangent que talli

els eixos de coordenades en segments de igual longitud.

Resultat:

Funcions de varies variablesS)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

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49. Donada la funci , comprovar si f(x,y)

compleix el teorema de Schwartz en el punt (0,0).Resultat: No

50. Sigui , es demana:

a) Estudiar la continutat en l'origen.

b) Calcular en tots els punts del pla.

Resultat: f contnua en (0,0)

51. Demostrar que la funci u = f(x - at) + g(x + at), on f i g sn unesfuncions qualsevol, diferenciables dues vegades, satisf l'equaci:

.

52. Sigui la funci z = x f(y/x) + g(y/x), on f i g son funcions derivablesde qualsevol ordre. La expressi x 2 zxx + y2 zyy + 2xy zxy + 1 s unaconstant, determinar-la.

Resultat: 1

53. Sigui z3 - xz - y = 0, comprovar que la expressi s un

numero enter. Calcular-lo.Resultat: 0

54. Transformar a les noves variables independents u i v l'equaci

, si . Resultat:

55. Transformar a les noves variables independents u i v l'equaci

, si . Resultat:

Funcions de varies variablesS)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

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56. Transformar l'equaci de les vibracions de la corda

, a unes noves variables independents u i v tals

que . Resultat:

57. En el sistema de referncia (O;x,y,z,t) "l'equaci d'onda" s'escriu

, transformar l'esmentada equaci, prenent

com noves variables les del sistema (O;x1,y1,z1,t1), (que es mou ambvelocitat v respecte del anterior), relacionades amb les anteriors perles equacions de Lorentz:

.

Resultat:

58. Essent , demostrar que l'equaci de Laplace:

, se transforma en .

59. Determinar el valor de la Laplaciana de la funci:

. Resultat:

60. Transformar l'equaci y zx - x zy = (y - x) z , mitjanant el canvi de

variables i de funci donat per .

61. Sigui l'equaci z xx - 3 zxy + 2 zyy = 0, transformar-la mitjanant elcanvi , posteriorment trobar 8 i : per a que la

transformada sigui zuv = 0.

Resultat: 8 = 1, = 1/2; 8 = 1/2, = 1

62. Donat el sistema , calcular dz, du i d2u.

Resultat:

Funcions de varies variablesS)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

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63. Donat el sistema , trobar, si existeixen, .

Resultat:

64. Sigui z = u v, i essent , calcular .

Resultat: Resultat:

65. Transformar l'equaci (x + y) zx + (x - y) zy = 0 mitjanant el canvi .

Resultat:

66. Essent , calcular determinant els

seus respectius dominis.

Resultat:

67. Donat el sistema , calcular , essent

z = (u + v)2.

Resultat:

68. Transformar l'equaci x z z x + y z zy + x2 + y2 = 0 , mitjanant el

canvi de variables i de funci donat per .

Resultat:

69. Donat el sistema , calcular , concretant

els dominis en que les esmentades expressions estan definides.

Resultat:

Funcions de varies variablesS)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

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70. Estudieu quins punts crtics tenen les segents funcions:

a) Resultat:(0,0) mn.;(0,-1) no extrem

b)

Resultat: (0,0) mn.;(-1,1),(-1,-1) no extrems

c) Resultat:(-1,-1/2) mx.;(0,0) no extremd)

Resultat:(0,0) mn.; , no extrems

e)

Resultat:(0,0) mx.; (0,2), , no extrems

71. Estudieu quins punts crtics tenen les segents funcions:

a) Resultat:(3,3) mn.;(0,0) no extrem

b) Resultat:(2,1) no extrem

c)

Resultat:(0,0) mx. i (2,0) mn.;(1,1) i (1,-1) no extrems

d) Resultat:(1,0) mn.

e) Resultat:(-4,-2) mx.; (0,0) no extrem

72. Trobar els punts extrems de les funcions:

a) z(x,y) = x2 + y2 Resultat: Mn. (0,0)

b) z(x,y) = x3 + 3xy + y3 Resultat: Mx. (-1,-1)

c) z(x,y) = y2 - 4x2 y + 3x4 Resultat: No extrems

73. Trobar els punts extrems de les funcions:

a) z(x,y) = 6xy - y3 - x3. Resultat: Mx. z(2,2) = 8

b) z(x,y) = (x3 + y3 + x2 y) e - y Resultat: Mx. (-2,3)

c) z(x,y) = x4 + y4 - 2x2 - 2y2 + 4xy

Resultat:

74. Calcular la distncia mxima i mnima al pla z = 0, de la cnicaintersecci del cilindre x2 + y2 = 1 amb el pla x + y + z = 2.

Resultat:

Funcions de varies variablesS)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

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75. Extrems de la funci u = ( x y z )3 amb la condici: .

Resultat:

76. Extrems de la funci y = (u v w)2 amb la condici u2 + v2 + w2 = 1.

Resultat:

77. a) Extrems relatius de la funci ( x > 0, y > 0).

b) Inscriure en l'elipsoide un octedre de volum

extrem (no nul).

Resultat: z no t extrems; Mx. V = 8 abc

78. Trobar els punts, amb , ms propers a l'origen de la superfcie:2x2 + 4y2 - z2 - 6x + 5y + 18 = 0.

Resultat:

79. Trobar les distncies mxima i mnima, de l'origen de coordenades a lacorba 5x2 + 6xy + 5y2 = 9.

Resultat:

80. Una elipse, d'eixos els de coordenades, passa per el punt (h,k).Determinar la seva equaci per a que la seva rea sigui mnima.

Resultat:

81. Calcular la mnima distncia de l'origen de coordenades a la corba

.

Resultat:

82. Calcular les arestes del major paraleleppede rectangle, que t trescares en els plans de coordenades i el seu vrtex en el pla .

Resultat:

Funcions de varies variablesS)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

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83. Trobar els extrems relatius de la funci z = y (x -2), amb la condicix2 + y2 = 4.

Resultat:

84. Trobar la distncia mxima i mnima a l'origen de la superfcie

.

Resultat: Mx. d = a, Mn. d = b

85. Trobar els extrems absoluts de la funci f(x,y) = 10 xy - x2y - xy2 en

el conjunt definit per .

Resultat:

86. Trobar els extrems de la funci z = sin x + sin y + sin (x + y), en laregi del pla limitada per el quadrilter de vrtexs: (0,0), (0, B/2),(B/2,B/2) y (B/2,0).

Resultat:

87. Trobar els extrems absoluts de la funci u = x y z , en la regi

.

Resultat:

88. Extrems absoluts de la funci f(x,y) = x2 + y2 - xy + x + y en elrecinte R = { (x,y) , R2 ,, x # 0, y # 0, x + y $ - 3 }.

Resultat: Mx. abs. f = 6, Mn abs. f = -1