Gamaliel Moreno Eléctrica

Gradiente, divergencia y rotacional


Gamaliel MorenoEléctrica

UAZ

Oct., 2018

Gamaliel Moreno Eléctrica Gradiente, divergencia y rotacional


Introducción

∇ = ∂∂x i+

∂∂y j+

∂∂zk

Este operador vectorial posee propiedades análogas a las de losvectores comunes. Es útil para de�nir tres cantidades queaparecen en ciertas aplicaciones y que se conocen comogradiente, divergencia y rotacional. El operador ∇ también seconoce como nabla.



Gradiente

Sea φ(x, y, z) una función escalar de�nida y diferenciable encada punto (x, y, z) en cierta región del espacio [es decir, φde�ne un campo escalar diferenciable]. Entonces, el gradiente deφ, que se denota con ∇φ o grad φ, se de�ne como sigue:

∇φ =(∂∂x i+

∂∂y j+

∂∂zk

)φ = ∂φ

∂x i+∂φ∂y j+

∂φ∂zk



Gradiente

Ejemplo. Suponga que φ(x, y, z, ) = 3xy3 − y2z2. Encuentre ∇φen el punto P(1,1,2).

∇φ =(∂∂x i+

∂∂y j+

∂∂zk

)(3xy3 − y2z2)

∇φ = 3y3i+ (9xy2 − 2yz2)j− 2y2zk

y para P(1,1,2)

∇φ(1, 1, 2) = 3(1)2i+ [9(1)(1)2 − 2(1)(2)2]j− 2(1)2(2)k

∇φ(1, 1, 2) = 3i+ j− 4k



Gradiente

Ejercicio. Suponga que φ(x, y, z) = 3x2y − y3z2. Encuentre ∇φ (o grad ∇φ) en el punto (1, -2, -1)



Gradiente

Ejercicios. Encuentre el gradiente de las siguientes funciones



Derivadas direccionales

Considere una función escalar φ = φ(x, y, z). Entonces, laderivada direccional de φ en dirección de un vector A se denotacon DA(φ). Si a = A/|A|, el vector unitario en dirección de A,

DA(φ) = ∇φ · a

Se hace énfasis en que a debe ser un vector unitario.




Ejemplo. Considere la función escalar φ(x, y, z) = x2 + y2 + xz.

Encuentre grad φ.

Encuentre grad φ en el punto P=P(2,-1, 3).

Determine la derivada direccional de φ en el punto P endirección de A = i+ 2j+ k




Ejemplo. Considere la función escalar φ(x, y, z) = x2 + y2 + xz.

Encuentre grad φ.

∇φ =(∂∂x i+

∂∂y j+

∂∂zk

) (x2 + y2 + xz

)=

(2x+ z)i+ 2yj+ xk

Encuentre grad φ en el punto P=P(2,-1, 3).∇φ = 7i− 2j+ 3k

Determine la derivada direccional de φ en el punto P endirección de A = i+ 2j+ k

a = A/|A| = (i+ 2j+ k)/√6

∇φ · a = (7i− 2j+ 3k) ·[(i+ 2j+ k)/

√6]= 6/

√6 =√6




Encuentre la derivada direccional de φ = x2 + y2 − z en el puntoP = (1, 1, 2) en dirección de A = 4i+ 4j− 2kSol. ∇φ = 2xi− 2yj− kk en el punto P = (1, 1, 2)∇φ = 2i− 2j− kk ahora en la dirección del vector A, primeronormalizamos el vector A a = A |A| = 2

3 i+23 j−

13k entonces

tenemos que DA(φ) = ∇φ · a = 3Esto quiero decir que la función φ incrementa 3 unidades porunidad de distancia si procedemos de la (1,1,2) en la direccióndada.




1 Encuentre la derivada direccional en P (1, 3− 2) en la direcciónde −i+ sj+ 2k si φ = yz + xy + xz

2 Encuentre la derivada direccional en P (1, 3− 2) en la direcciónde −i+ sj+ 2k si φ = x2 + 2y2 + 3z2

3 Un mosquito esta volando a una velocidad de 5 unidades dedistancia por segundo, en la dirección del vector 4i+ 4j+−2k.La temperatura esta dada por φ(x, y, z) = x2 + y2 − z. ¾Cuál esla tasa de incremento de temperatura por unidad de tiempo en elinstante en el que pasa por P (1, 1, 2)?

4 ¾Cuál es el máximo posible de la derivada direccional siφ(x, y, z) = x2 + y2 − z en el punto P (1, 4, 2) (base en lade�nición de producto punto)

5 Encontrar el vector normal a la super�cie x2 + y2 − z = 6 en el

punto P (2, 3, 7)



Multiplicador de Langrange

Aquí deseamos encontrar los puntos (x, y) que son los extremos(valores máximo o mínimo) de una función f(x, y) sujeta a larestricción g(x, y) = d, donde d es una constante [más engeneral, se trata de encontrar los puntos (x1, x2, . . . xn) que danlos extremos (valores máximo o mínimo) de una funciónf(x1, x2, . . . xn) sujeta a la restricción g(x1, x2, . . . xn) = d,donde d es una constante].



Multiplicador de Langrange

Esto ocurrirá sólo cuando los gradientes ∇f y ∇g (derivadasdireccionales) sean ortogonales a la curva [super�cie] dadag(x, y) = d. Entonces,∇f y ∇g son paralelos y, por tanto, debehaber una constante λ tal que ∇f = λ∇g.La letra griega λ (lambda) se usa para denotar al multiplicadorde Lagrange. La condición ∇f = λ∇g y la restricción originalgeneran (n+ 1) ecuaciones, en este caso tres, con las incógnitasx, y y λ

fx(x, y) = λgx(x, y), fy(x, y) = λgy(x, y) y g(x, y) = d

Las soluciones del sistema para x y y producen los candidatospara los extremos f(x, y) sujetos a la restricción g(x, y) = d.



Divergencia

Suponga que V(x, y, z) = V1i+ V2j+ V3k está de�nida y esdiferenciable en cada punto (x, y, z) en una región del espacio(es decir, V de�ne un campo vectorial diferenciable). Entonces,la divergencia de V, que se denota con ∇ ·V o div V, se de�necomo sigue:

∇ ·V =(∂∂x i+

∂∂y j+

∂∂zk

)= ∂V1

∂x + ∂V2∂y + ∂V3

∂z

Aun cuando V es un vector, ∇ ·V es un escalar.



Ejemplo

Suponga A = x2z2i− 2y2z2j+ xy2zk. Encuentre ∇ ·A en elpunto P(1,-1,1).



Rotacional

Suponga que V(x, y, z) = V1i+ V2j+ V3k es un campo vectorialdiferenciable. Entonces, el rotacional o rotación de V, que sedenota ∇×V, rotacional V o rot V, se de�ne como sigue:



Rotacional



Fórmula que involucran ∇

Suponga que A y B son funciones vectoriales diferenciables, yque φ y ψ son funciones escalares diferenciables de posición(x, y, z).



Fórmula que involucran ∇

Suponga que φ y A son respectivamente funciones escalar yvectorial, diferenciables, y que ambas tienen segundas derivadasparciales continuas. Entonces, se cumplen las siguientes leyes:



Invarianza

Considere dos sistemas de coordenadas rectangulares o marcosde referencia xyz y x′y′z′, que tengan el mismo origen O perocon ejes rotados con respecto al otro.



Invarianza

Un punto P en el espacio tiene coordenadas (x, y, z) o (x′, y′, z′)relativas a estos sistemas coordenados. Las ecuaciones detransformación entre coordenadas de los dos sistemas, otransformación de coordenadas, son las siguientes:



Invarianza

En el caso en que los orígenes de los dos sistemas coordenadosno coincidan, las ecuaciones de transformación se convierten enlas siguientes:

donde el origen O del sistema de coordenadas xyz se localiza en(a′1, a′2, a′3) en relación con el sistema coordenado x′y′z′.



Invarianza

Rotación pura Rotación con traslación otransformación ortogonal

Una transformación lineal general se llama transformación afín.



Invarianza

Físicamente, una función escalar puntual o campo escalarφ(x, y, z) evaluada en un punto particular, debe serindependiente de las coordenadas del punto. Así, la temperaturaen cierto punto no depende de si se utilizan coordenadas (x, y, z)o (x′, y′, z′). Entonces, si φ(x, y, z) es la temperatura en el puntoP con coordenadas (x, y, z) y φ′(x′, y′, z′) es la temperatura enel mismo punto P con coordenadas (x′, y′, z′), debe ocurrir queφ(x, y, z) = φ′(x′, y′, z′). Si φ(x, y, z) = φ′(x′, y′, z′), donde x, y, zy x′, y′, z′ están relacionadas por las ecuaciones detransformación anteriores, se llama a φ(x, y, z) un invariante conrespecto de la transformación. Por ejemplo, x2 + y2 + z2 esinvariante con la transformación de rotación , ya quex2 + y2 + z2 = x′2 + y′2 + z′2.


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