Generación de Números y Variables Aleatorias2 (1)

Simulación de Sistemas – Semestre 2008 -1Abrril 2009

Simulación de Sistemas

Generación de Números y Variables AleatoriasIng. Eduardo Carbajal L.

Agenda

Generación de números y variables aleatorias 1. Generación de Números Aleatorios2. Pruebas de aleatoriedad. 3. Generación de variables aleatorias4. Pruebas de bondad de ajuste: Kolmogorov -

Smirnov y Chi cuadrado (2)

Lecturas: Ross, Cap. 3, 4 y 5Banks, Cap. 8 y 9Law, Cap. 6

Tomando en cuenta los números aleatorios generados previamente Ri que siguen una distribución uniforme, es posible emplear método que permitan generar variables aleatorias.

Métodos y variables generadas

¿Qué métodos existen?Existen métodos generales así como métodos particulares para distribuciones específicas

¿Qué métodos emplearemos Método de la transformada inversa Método de Aceptación y rechazo Método de Convolución

¿Qué tipo de variables aleatorias pueden generarse?

Mayoritariamente variables aleatorias continuas y discretas, aunque algunos métodos permiten generar variables que no pertenecen enteramente a ninguna de las categorías mencionadas previamente

Generación de variables aleatorias

El método de la transformada inversa utiliza la distribución acumulada F(x) de la distribución que se desea simular..


Método de la Transformada Inversa

Una de las características de F(x) es que se encuentra definida en el intervalo (0,1). Por tanto, se puede generar un número aleatorio uniforme R ~ U(0,1), con el cual se ingresa por la ordenada (eje y) y se intercepta la curva F(x). El número X correspondiente a la abscisa (eje x) del punto de intersección, es un número aleatorio que tiene la distribución deseada.

xx=F (R)-1

1

R

)()(1RxóRxF F

Distribuciones continuasDistribuciones continuas



La función de probabilidad acumulada F(x) para una distribución continua presenta una gráfica continua. En este caso se aplica directamente la función inversa función inversa sobre Ri para calcular el valor de la variable.OBS: F(x) es la función de probabilidad acumulada

f(x) para las dist. continuas se llama función de densidad

F(x) se calcula integrando f(x)

xx=F (R)-1

1

R

)()(1RxóRxF F

Distribuciones discretasDistribuciones discretas



La función de probabilidad acumulada F(x) para una distribución continua presenta una gráfica discontinua. En este caso se emplea la función inversa generalizada, función inversa generalizada, debido a que por estas discontinuidades no tiene función inversa propiamente dicha. Dado un R, se procede a tomar como la inversa de R, al menor Dado un R, se procede a tomar como la inversa de R, al menor x, tal que F(x) = R x, tal que F(x) = R OBS: F(x) es la función de probabilidad acumulada f(x) para las dist. continuas se llama función de densidad F(x) se calcula como la sumatoria de f(x) desde 0 hasta x

RR11

xx11

RR22

xx22



Notación: X ~ Bernoulli (p)

Distribución de Distribución de BernoulliBernoulli

1. Generar un número aleatorio R ~ U(0,1)2. Si R <= p x = 1 , en caso contrario x = 0

Método de Método de generación: generación:

Función de probabilidad:

donde p : probabilidad de éxito

.1,0,1)(1

xppxP

xx



Notación: X ~ Uniforme(a,b)

Distribución UniformeDistribución Uniforme

1. Generar un número aleatorio R ~ U(0,1)2. Hallar X = a + (b-a)*R.



0 , si x < a

F(x) = (x-a)/(b-a) , si x Є [a,b]

1 , si x > b



Notación: X ~ Exponencial(b)

Distribución Distribución ExponencialExponencial

1. Generar un número aleatorio R ~ U(0,1)2. Hallar X = (-1/b)*ln(1 – R)



F(x)= 1 – e-bx , x ≥ 0



Notación: X ~ Weibull(a,B)

Distribución WeibullDistribución Weibull

1. Generar un número aleatorio R ~ U(0,1)2. Hallar X = α (- ln( 1 – R))^(1/β)


Función de probabilidad: F(x) = 1 – e-(x/α)^β



Notación: X ~ Triangular(a,b,c)

Distribución Distribución TriangularTriangular

1. Generar un número aleatorio R ~ U(0,1)2. Hallar


Función de probabilidad: (x-a)2 / [(b-a)(c-a)] para a≤x≤b

F(x)=1 - (x-c)2/[(c-b)(c-a)] para b≤x≤c

Genere variables aleatorias triangulares con parámetros a=0, b=1, y c=2 empleando los siguientes números aleatorios

La inversa en función de R de la distribución triangular es:

Reemplazando los parámetros:

0 +((1-0)(2-0) R ) 0.5 , R <= (1-0)/(2-0) (2R) 0.5 ,R <= 0.5 X =

2 - [(2-1)(2-0)(1-R)] 0.5 ,R <= (1-0)/(2-0) 2 - (2-2R) 0.5 ,R >= 0.5

Empleando entonces los aleatorios dados:

R1=0.46

R2=0.37

R3=0.04

R4=0.01

R5=0.58

< 0.5

< 0.5

< 0.5

< 0.5

>0.5

X1 = (2(0.46)) 0.5 = 0.96

X2 = (2(0.37)) 0.5 = 0.86

X3 = (2(0.04)) 0.5 = 0.28

X4 = (2(0.01)) 0.5 = 0.14

X5 = 2-(2(1-0.58)) 0.5 = 1.08

El método de aceptación y rechazo utiliza la función de función de densidad f(x)densidad f(x) de la distribución que se desea generar.


Método de Aceptación y Rechazo

Procedimiento a seguir:1. Obtener tres valores

que acoten dicha funcion f(x):

CC, que la acote superiormente, es decir CC ≥ ≥ f(x) f(x) para todo x

AA, que la acote por la izquierda , es decir AA ≤ ≤ xx, para todo x,

BB, que la acote por la derecha, es decir xx≤ BB para todo x.

Generalmente, el eje x acota inferiormente a la función.

x

f(x)f(x)

yCC

AA BB

2. Generar un número aleatorio R entre [0,1].

3. Si R cumple con la regla de transformación, RR ≤ f(x) f(x) / CC, entonces el valor de x sigue la sigue la distribución requerida distribución requerida y es aceptado, de lo contrario, se rechaza dicho número.

4. Se repite el algoritmo hasta generar la cantidad de variables deseadas.

RR

xx

Cada par de números aleatorios generados, no no necesariamente necesariamente genera un valor de una variable aleatoria. Depende si cae en la región de aceptaciónregión de aceptación (debajo de la curva f(x)) o de rechazorechazo (por encima de la curva f(x)). Por lo tanto, se necesitan en promedio, tres números aleatorios para generar un valor de la variable aleatoria.

El método de convolución permite generar variables aleatorias en función a una combinación lineal ponderada de otras variables aleatorias. El método entonces requiere que la variable aleatoria a ser generada Yi, pueda expresarse como una suma lineal ponderada de otras variables aleatorias Xi.


Método de Convolución

bi es una constante que refleja la ponderación de la variable xi en la combinación lineal.

Procedimiento a seguir:1. Se generan números aleatorios (R1,R2,...,Rk, … )2. Con uno (o mas, dependiendo del método a utilizar) de los

números aleatorios, se generan las variables aleatorias componentes (x1,x2,...xk) usando alguno de los métodos anteriores.

3. Se obtiene un valor de la variable por suma lineal de las variables aleatorias componentes.

Y = b1*x1+ b2*x2 +…+bk*xk

Variables que se generan con este método: Normal, Binomial, Poisson, Gamma, Erlang



Notación: X ~ B (n,p)

Distribución BinomialDistribución Binomial

1. Generar las variables X1 , X2 ,............Xn ~ Bernoulli (p)

2. Generar Y como la suma de (X1 + X2 + .... + Xn )



..;0

,....,1,0;)(

1

ccen

nxx

n

xPpp

xnx

donde p : probabilidad de éxito



Notación: X ~ P (λ)

Distribución PoissonDistribución Poisson

1. Se inicializa x=0 y t=0.2. Se genera una variable aleatoria X~ exp(1/ λ).3. Se actualiza t = t + X4. Si t ≤ T entonces Y = Y+15. Se repite el algoritmo a partir del 2do punto, hasta que

t > T. El valor de Y generado, sigue una distribución Poisson.



..0

,...2,1,0!)(

ccen

xxxPex

Dondex : número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempoλ : número promedio de eventos en un tiempo dado

)(~1

~1

PoissonxExpY



Notación: X ~ N( μ, σ)

Distribución NormalDistribución Normal

1. Se generan doce números aleatorios X con distribución U(0,1).

2. Generar Z como la suma Z = ( X1 + X2 + …… + X12) – 6 3. Donde Z es una variable normal estándar con media

igual 0 y varianza igual a 1. Esto se obtiene, ya que la media de cada variable X es ½ y la varianza es igual a 1/12.

4. Para generar una variable Y~ N( μ, σ), utilizar la regla de transformación Y = (Z * σ) + μ



Método de ConvoluciónDistribución Chi cuadradoDistribución Chi cuadrado

1. Generar Z, que son variables aleatorias normales estándar.

2. Elevar al cuadrado cada variable Z generada.3. Para generar una variable chi-cuadrado de grado de

libertad “n”, suma n variables Z 2.


2

,rcrítico

k

iik Z

1

22 ZZZZ2

4

2

3

2

2

2

1

2

4

Por ejemplo:


Métodos para la Distr. Normal Estándar

Notación: X ~ N (0,1)

1. Propuesta de Marsaglia-Brax2. Propuesta de Box Muller


x

dtt

xF e 2

2

2

1)(

Dado que la inversa resulta complicada de calcular se emplean otros métodos en este caso particular. Los métodos son:



1. Se generan dos números aleatorios R1 y R2.2. Se calcula v1= 2R1 – 1 y v2=2R2 – 13. Se calcula s = v1 2 + v2 2

4. Si s≤1, entonces se calcula Zi = vi * [ -2 ln(s) / s] 0.5

Propuesta de Marsaglia Propuesta de Marsaglia BraxBraxMétodo de Método de generación: generación:

OBS: Los Zi que se obtiene bajo este método son variables aleatorias normales estándar



1. Generamos dos números aleatorios R1 y R2, obteniendo el valor de Z1 ó Z2 (usar solo una de las dos fórmulas)

OBSERVACIÓN:A partir de Zi (obtenidos por cualquiera de ambos métodos)

podemos hallar una variable que se ajuste a una distribución .

Propuesta de Box MullerPropuesta de Box Muller


),( N

)1,0(~

)2()ln(2

)2()ln(2

212

211

N

SenSen

CosCos

RRZ

RRZ

X

Z ZxSabemos que Despejando obtenemos:

Ejercicios Propuestos:

1. Usando el algoritmo discutido en clase y los siguientes números aleatorios, genere tres valores de una variable aleatoria Poisson con media 1.35. Muestre sus cálculos y use en orden los números aleatorios.

2. Generar 10 variables aleatorias normales (utilizando ambos métodos) con parámetros = 5 y = 1, a partir de los siguientes números aleatorios (por par de columnas)

Pruebas de Bondad de Ajuste

Definición

Son pruebas de hipótesis que permiten validar si la distribución de la frecuencia observada de conjunto de datos puede aproximarse a una distribución teórica dada. Las hipótesis que emplean estas pruebas son:

H0 : La variable aleatoria se ajusta a la distribución candidata con los parámetros estimados

H1: La variable aleatoria no se ajusta.

Las pruebas de hipótesis que emplearemos son:

Kolmogorov Smirnov

Chi Cuadrado

Características


Prueba Kolmogorov-Smirnov (K-S)

No depende de una distribución específica, no se sabe a priori la forma de la distribución de donde se sacan los datos.

Aplicable solamente a variables aleatorias continuas, pues es un supuesto de la prueba.

Calcula las diferencias en valor absoluto entre las frecuencias acumuladas relativas observadas y las esperadas en cada clase.

Se busca la mayor diferencia (Dmax) y se compara con valor crítico de tablas.

Se puede aplicar para todo tamaño de muestras, pequeñas o grandes

Otra ventaja es que permite construir límites de confianza para la distribución acumulada completa.

Procedimiento (1)



Se halla una tabla de frecuencias para los “n” datos históricos. Se sugiere tomar k intervalos donde k siga la regla siguiente:

Para cada uno de los “k” intervalos obtenidos, se halla la frecuencia observada Oi, para i=1,…k.

Se divide cada frecuencia observada por el número total de datos “n”. A este resultado se le llama la probabilidad observada del intervalo i. (POi)

Se calcula la probabilidad acumulada observada de cada intervalo probabilidad acumulada observada de cada intervalo ((OAi).OAi).

Se propone una distribución de probabilidad de acuerdo con la forma de la tabla de frecuencias obtenida. (Elaborar histograma)

caso otroen )log(2.31

grandemuy es non si intervalos de Número

n

nk

Procedimiento (2)



Con la distribución propuesta se calcula la probabilidad esperada para cada uno de los intervalos (PEi).

Se calcula la probabilidad acumulada esperada (EAi) probabilidad acumulada esperada (EAi) para cada intervalo de clase

Se calcula la diferencia absoluta entre OAiOAi y EAiEAi para cada intervalo y se selecciona la máxima diferencia, llamándola Dmax.

Dmáx = |OAiOAi – EAiEAi|máx

Donde: OAi: OAi: frecuencia acumulada relativa de la clase i frecuencia acumulada relativa de la clase i observadaobservada EAi: EAi: frecuencia acumulada relativa de la clase i frecuencia acumulada relativa de la clase i esperadaesperada

El estimado Dmax se compara con un valor límite porporcionado en tabla, con n datos y a un nivel de confiabilidad de (1 – α). Si el estimador Dmax es menor o

igual al valor límite de la tabla, entonces no se puede rechazar que la información histórica sigue la distribución propuesta.

12.36 14.15 6.76 14.46 7.475.71 16.83 5.17 0.03 19.65

16.79 19.33 17.46 15.45 16.0818.01 11.99 10.72 11.51 11.995.12 20.18 11.53 19.8 9.517.69 18.73 20.41 15.1 8.04

19.41 6.31 6.21 9.83 14.668.58 15.83 12.52 16.39 6.578.42 12.87 8.03 9.6 5.42

15.56 18.04 8.97 17.11 7.7910 12 16 18 14

18 17 15 19 13

n = 60

k = raíz(60) = 7.74 8

Se toman 8 intervalos, se calcula el valor máximo y mínimo observados en los datos:

Mínimo = 0.03Máximo =20.41Rango de valores =20.41 -0.03 = 20.38Amplitud de cada intervalo = Rango/k = 20.38/8 =2.5475

Límite de Clase

Inferior

Límite de Clase

Superior

Número de Datos en

Clase

Frecuencia Relativa

Observada

Frecuencia Acumulada Observada

Frecuencia Acumulada

Teórica

Estadístico K-S

Verifique si los datos siguientes siguen una distribución uniforme empleando una prueba K-S

0.03 2.57752.577

55.125

5.125 7.67257.672

510.22

10.22 12.76812.76

815.31

515.315

17.86317.86

320.41

12.36 14.15 6.76 14.46 7.475.71 16.83 5.17 0.03 19.65

16.79 19.33 17.46 15.45 16.0818.01 11.99 10.72 11.51 11.995.12 20.18 11.53 19.8 9.517.69 18.73 20.41 15.1 8.04

19.41 6.31 6.21 9.83 14.668.58 15.83 12.52 16.39 6.578.42 12.87 8.03 9.6 5.42

15.56 18.04 8.97 17.11 7.7910 12 16 18 1418 17 15 19 13

1

12.36 14.15 6.76 14.46 7.475.71 16.83 5.17 0.03 19.65

16.79 19.33 17.46 15.45 16.0818.01 11.99 10.72 11.51 11.995.12 20.18 11.53 19.8 9.517.69 18.73 20.41 15.1 8.04

19.41 6.31 6.21 9.83 14.668.58 15.83 12.52 16.39 6.578.42 12.87 8.03 9.6 5.42

15.56 18.04 8.97 17.11 7.7910 12 16 18 1418 17 15 19 13

1

12.36 14.15 6.76 14.46 7.475.71 16.83 5.17 0.03 19.65

16.79 19.33 17.46 15.45 16.0818.01 11.99 10.72 11.51 11.995.12 20.18 11.53 19.8 9.517.69 18.73 20.41 15.1 8.04

19.41 6.31 6.21 9.83 14.668.58 15.83 12.52 16.39 6.578.42 12.87 8.03 9.6 5.42

15.56 18.04 8.97 17.11 7.7910 12 16 18 1418 17 15 19 13

8

12.36 14.15 6.76 14.46 7.475.71 16.83 5.17 0.03 19.65

16.79 19.33 17.46 15.45 16.0818.01 11.99 10.72 11.51 11.995.12 20.18 11.53 19.8 9.517.69 18.73 20.41 15.1 8.04

19.41 6.31 6.21 9.83 14.668.58 15.83 12.52 16.39 6.578.42 12.87 8.03 9.6 5.42

15.56 18.04 8.97 17.11 7.7910 12 16 18 1418 17 15 19 13

11

12.36 14.15 6.76 14.46 7.475.71 16.83 5.17 0.03 19.65

16.79 19.33 17.46 15.45 16.0818.01 11.99 10.72 11.51 11.995.12 20.18 11.53 19.8 9.517.69 18.73 20.41 15.1 8.04

19.41 6.31 6.21 9.83 14.668.58 15.83 12.52 16.39 6.578.42 12.87 8.03 9.6 5.42

15.56 18.04 8.97 17.11 7.7910 12 16 18 1418 17 15 19 13

8

12.36 14.15 6.76 14.46 7.475.71 16.83 5.17 0.03 19.65

16.79 19.33 17.46 15.45 16.0818.01 11.99 10.72 11.51 11.995.12 20.18 11.53 19.8 9.517.69 18.73 20.41 15.1 8.04

19.41 6.31 6.21 9.83 14.668.58 15.83 12.52 16.39 6.578.42 12.87 8.03 9.6 5.42

15.56 18.04 8.97 17.11 7.7910 12 16 18 1418 17 15 19 13

8

12.36 14.15 6.76 14.46 7.475.71 16.83 5.17 0.03 19.65

16.79 19.33 17.46 15.45 16.0818.01 11.99 10.72 11.51 11.995.12 20.18 11.53 19.8 9.517.69 18.73 20.41 15.1 8.04

19.41 6.31 6.21 9.83 14.668.58 15.83 12.52 16.39 6.578.42 12.87 8.03 9.6 5.42

15.56 18.04 8.97 17.11 7.7910 12 16 18 1418 17 15 19 13

11

12

Dividir cada

término entre n

0.017

0.017

0.133

0.183

0.133

0.133

0.183

0.200

0.017

0.033

0.167

0.350

0.483

0.617

0.800

1.000

La frecuencia relativa de la uniforme hace que cada intervalo sea equiprobable, con

probabilidad 1/k = 1/8 = 0.125

0.125

0.250

0.375

0.500

0.625

0.750

0.875

1.000

Dmáx = |OAi – EAi|

máx

0.108

0.217

0.208

0.150

0.142

0.133

0.075

0.000

Estadístico es el valor absoluto de la diferencia

entre la Observada Acumulada y la Acumulada

Teórica

= 0.217

Valor crítico de tablas para 60 datos y a 0.05 = 0.17

Como Dmax = 0.217 > Valor crítico de tablas = 0.17 -> Se rechaza HoEs decir hay evidencias para rechazar la hipótesis nula que afirma que la

muestra sigue una distribución exponencial

Características


Prueba Chi Cuadrado

Para probar hipótesis que muestra aleatoria de tamaño n de la V.A X sigue una distribución específica.

Formaliza la idea intuitiva de comparar el histograma de la información con la forma de la densidad o masa candidata.

Válida para tamaños de muestra grande, para distribuciones discretas o continuas.

Intuitivamente: compara frecuencias observadas contra frecuencias teóricas o esperadas mediante. Dicho estadístico es mayor o igual acero. Si las observadas y teóricas se parecen entonces el valor será pequeño.

Estadístico: Medida de discrepancia

Procedimiento (1)


Prueba Chi Cuadrado

Hallar la tabla de frecuencias para los n datos con k intervalos

Para cada uno de los k intervalos obtenidos hallar la frecuencia observada OOii.

Se propone una distribución de probabilidad de acuerdo con la forma de la tabla.

Con la distribución candidata calcular frecuencia esperada de cada intervalo EEii.

Si dicha frecuencia es menor a 5, agrupar.

caso otroen )log(2.31

grandemuy es non si intervalos de Número

n

nk

Observaciones


Prueba Chi Cuadrado

Si la distribución candidata es discreta entonces pi = p(xi) = P(X=xi) y cada valor en Rx de la V.A debería ser un intervalo.

Si la distribución es continua utilizar la diferencia de acumuladas.

Para cada clase:

Estadístico teórico: χ2 α, k`-r-1 donde r es el número de parámetros estimados y k’ es el número final de intervalos luego de revisar que ninguno tenga frecuencia esperada menor a 5

Se acepta Ho, si X2 observado ≤ X2 teórico

EEOXi

iii

2

2

Procedimiento (2)

0.46 0.67 0.12 0.21 0.44 0.87 0.89 0.25 0.9 0.340.22 0.74 0.94 0.74 0.81 0.7 0.64 0.79 0.76 0.830.99 0.02 0.52 0.73 0.41 0.56 0.67 0.77 0.99 0.960.78 0.05 0.45 0.31 0.05 0.56 0.82 0.17 0.3 0.470.39 0.42 0.65 0.37 0.93 0.82 0.19 0.23 0.71 0.790.18 0.49 0.1 0.42 0.66 0.05 0.46 0.99 0.17 0.990.75 0.49 0.69 0.34 0.28 0.81 0.01 0.54 0.51 0.370.73 0.05 0.96 0.58 0.94 0.3 0.97 0.56 0.43 0.720.79 0.62 0.4 0.19 0.64 0.4 0.24 0.84 0.39 0.060.29 0.78 0.6 0.11 0.47 0.64 0.88 0.97 0.26 0.18

Verifique si los datos siguientes siguen una distribución uniforme empleando una prueba Chi-Cuadrado n = 100

k = raíz(100) = 10Se toman 10 intervalos, se calcula el valor máximo y mínimo observados en los datos:Mínimo = 0.01Máximo = 0.99Rango de valores =0.99 -0.01 = 0.98Amplitud de cada intervalo = Rango/k = 0.98/10 = 0.098

Intervalo Límite de

Clase Inferior

Límite de Clase

SuperiorOi Ei Oi - Ei (Oi - Ei)2

(Oi - Ei)2 Ei

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.01

0.108

0.206

0.3040.402

0.500

0.5980.696

0.794

0.892

0.108

0.206

0.304

0.4020.500

0.598

0.6960.794

0.892

0.99

0.46 0.67 0.12 0.21 0.44 0.87 0.89 0.25 0.9 0.340.22 0.74 0.94 0.74 0.81 0.7 0.64 0.79 0.76 0.830.99 0.02 0.52 0.73 0.41 0.56 0.67 0.77 0.99 0.960.78 0.05 0.45 0.31 0.05 0.56 0.82 0.17 0.3 0.470.39 0.42 0.65 0.37 0.93 0.82 0.19 0.23 0.71 0.790.18 0.49 0.1 0.42 0.66 0.05 0.46 0.99 0.17 0.990.75 0.49 0.69 0.34 0.28 0.81 0.01 0.54 0.51 0.370.73 0.05 0.96 0.58 0.94 0.3 0.97 0.56 0.43 0.720.79 0.62 0.4 0.19 0.64 0.4 0.24 0.84 0.39 0.060.29 0.78 0.6 0.11 0.47 0.64 0.88 0.97 0.26 0.18

8

0.46 0.67 0.12 0.21 0.44 0.87 0.89 0.25 0.9 0.340.22 0.74 0.94 0.74 0.81 0.7 0.64 0.79 0.76 0.830.99 0.02 0.52 0.73 0.41 0.56 0.67 0.77 0.99 0.960.78 0.05 0.45 0.31 0.05 0.56 0.82 0.17 0.3 0.470.39 0.42 0.65 0.37 0.93 0.82 0.19 0.23 0.71 0.790.18 0.49 0.1 0.42 0.66 0.05 0.46 0.99 0.17 0.990.75 0.49 0.69 0.34 0.28 0.81 0.01 0.54 0.51 0.370.73 0.05 0.96 0.58 0.94 0.3 0.97 0.56 0.43 0.720.79 0.62 0.4 0.19 0.64 0.4 0.24 0.84 0.39 0.060.29 0.78 0.6 0.11 0.47 0.64 0.88 0.97 0.26 0.18

8

0.46 0.67 0.12 0.21 0.44 0.87 0.89 0.25 0.9 0.340.22 0.74 0.94 0.74 0.81 0.7 0.64 0.79 0.76 0.830.99 0.02 0.52 0.73 0.41 0.56 0.67 0.77 0.99 0.960.78 0.05 0.45 0.31 0.05 0.56 0.82 0.17 0.3 0.470.39 0.42 0.65 0.37 0.93 0.82 0.19 0.23 0.71 0.790.18 0.49 0.1 0.42 0.66 0.05 0.46 0.99 0.17 0.990.75 0.49 0.69 0.34 0.28 0.81 0.01 0.54 0.51 0.370.73 0.05 0.96 0.58 0.94 0.3 0.97 0.56 0.43 0.720.79 0.62 0.4 0.19 0.64 0.4 0.24 0.84 0.39 0.060.29 0.78 0.6 0.11 0.47 0.64 0.88 0.97 0.26 0.18

10

0.46 0.67 0.12 0.21 0.44 0.87 0.89 0.25 0.9 0.340.22 0.74 0.94 0.74 0.81 0.7 0.64 0.79 0.76 0.830.99 0.02 0.52 0.73 0.41 0.56 0.67 0.77 0.99 0.960.78 0.05 0.45 0.31 0.05 0.56 0.82 0.17 0.3 0.470.39 0.42 0.65 0.37 0.93 0.82 0.19 0.23 0.71 0.790.18 0.49 0.1 0.42 0.66 0.05 0.46 0.99 0.17 0.990.75 0.49 0.69 0.34 0.28 0.81 0.01 0.54 0.51 0.370.73 0.05 0.96 0.58 0.94 0.3 0.97 0.56 0.43 0.720.79 0.62 0.4 0.19 0.64 0.4 0.24 0.84 0.39 0.060.29 0.78 0.6 0.11 0.47 0.64 0.88 0.97 0.26 0.18

9

0.46 0.67 0.12 0.21 0.44 0.87 0.89 0.25 0.9 0.340.22 0.74 0.94 0.74 0.81 0.7 0.64 0.79 0.76 0.830.99 0.02 0.52 0.73 0.41 0.56 0.67 0.77 0.99 0.960.78 0.05 0.45 0.31 0.05 0.56 0.82 0.17 0.3 0.470.39 0.42 0.65 0.37 0.93 0.82 0.19 0.23 0.71 0.790.18 0.49 0.1 0.42 0.66 0.05 0.46 0.99 0.17 0.990.75 0.49 0.69 0.34 0.28 0.81 0.01 0.54 0.51 0.370.73 0.05 0.96 0.58 0.94 0.3 0.97 0.56 0.43 0.720.79 0.62 0.4 0.19 0.64 0.4 0.24 0.84 0.39 0.060.29 0.78 0.6 0.11 0.47 0.64 0.88 0.97 0.26 0.18

12

0.46 0.67 0.12 0.21 0.44 0.87 0.89 0.25 0.9 0.340.22 0.74 0.94 0.74 0.81 0.7 0.64 0.79 0.76 0.830.99 0.02 0.52 0.73 0.41 0.56 0.67 0.77 0.99 0.960.78 0.05 0.45 0.31 0.05 0.56 0.82 0.17 0.3 0.470.39 0.42 0.65 0.37 0.93 0.82 0.19 0.23 0.71 0.790.18 0.49 0.1 0.42 0.66 0.05 0.46 0.99 0.17 0.990.75 0.49 0.69 0.34 0.28 0.81 0.01 0.54 0.51 0.370.73 0.05 0.96 0.58 0.94 0.3 0.97 0.56 0.43 0.720.79 0.62 0.4 0.19 0.64 0.4 0.24 0.84 0.39 0.060.29 0.78 0.6 0.11 0.47 0.64 0.88 0.97 0.26 0.18

7

0.46 0.67 0.12 0.21 0.44 0.87 0.89 0.25 0.9 0.340.22 0.74 0.94 0.74 0.81 0.7 0.64 0.79 0.76 0.830.99 0.02 0.52 0.73 0.41 0.56 0.67 0.77 0.99 0.960.78 0.05 0.45 0.31 0.05 0.56 0.82 0.17 0.3 0.470.39 0.42 0.65 0.37 0.93 0.82 0.19 0.23 0.71 0.790.18 0.49 0.1 0.42 0.66 0.05 0.46 0.99 0.17 0.990.75 0.49 0.69 0.34 0.28 0.81 0.01 0.54 0.51 0.370.73 0.05 0.96 0.58 0.94 0.3 0.97 0.56 0.43 0.720.79 0.62 0.4 0.19 0.64 0.4 0.24 0.84 0.39 0.060.29 0.78 0.6 0.11 0.47 0.64 0.88 0.97 0.26 0.18

10

0.46 0.67 0.12 0.21 0.44 0.87 0.89 0.25 0.9 0.340.22 0.74 0.94 0.74 0.81 0.7 0.64 0.79 0.76 0.830.99 0.02 0.52 0.73 0.41 0.56 0.67 0.77 0.99 0.960.78 0.05 0.45 0.31 0.05 0.56 0.82 0.17 0.3 0.470.39 0.42 0.65 0.37 0.93 0.82 0.19 0.23 0.71 0.790.18 0.49 0.1 0.42 0.66 0.05 0.46 0.99 0.17 0.990.75 0.49 0.69 0.34 0.28 0.81 0.01 0.54 0.51 0.370.73 0.05 0.96 0.58 0.94 0.3 0.97 0.56 0.43 0.720.79 0.62 0.4 0.19 0.64 0.4 0.24 0.84 0.39 0.060.29 0.78 0.6 0.11 0.47 0.64 0.88 0.97 0.26 0.18

15

0.46 0.67 0.12 0.21 0.44 0.87 0.89 0.25 0.9 0.340.22 0.74 0.94 0.74 0.81 0.7 0.64 0.79 0.76 0.830.99 0.02 0.52 0.73 0.41 0.56 0.67 0.77 0.99 0.960.78 0.05 0.45 0.31 0.05 0.56 0.82 0.17 0.3 0.470.39 0.42 0.65 0.37 0.93 0.82 0.19 0.23 0.71 0.790.18 0.49 0.1 0.42 0.66 0.05 0.46 0.99 0.17 0.990.75 0.49 0.69 0.34 0.28 0.81 0.01 0.54 0.51 0.370.73 0.05 0.96 0.58 0.94 0.3 0.97 0.56 0.43 0.720.79 0.62 0.4 0.19 0.64 0.4 0.24 0.84 0.39 0.060.29 0.78 0.6 0.11 0.47 0.64 0.88 0.97 0.26 0.18

9

12

Cada intervalo tiene una probabilidad Esperada o Teòricade 1/k = 10 pues se esta probando si ajustan a una distribución exponencial. Ei se expresa en termino de frecuencia por lo tanto es el producto de la probabilidad y el número total de datos analizados

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

-2

-2

0

-1

2

-3

0

5

-1

2

Como no hay ningún Ei menor que 5 no es necesario agrupar intervalos k´ = k = 10

4

4

0

1

4

9

0

25

1

4

0.4

0.4

0

0.1

0.4

0.9

0

2.5

0.1

0.4Total = 5.2

El valor de tablas que corresponde a χ2 0.05,

10-2-1 es 6.346

Como χ2 observado (5.2) es menor que χ2 teórico (6.346) no se rechaza Ho, es decir no hay evidencias para rechazar que la muestra sigue una distribución uniforme entre 0.01 y 0.99

Generación de Números y Variables Aleatorias2 (1)

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