Simulación de Sistemas – Semestre 2008 -1Abrril 2009
Simulación de Sistemas
Generación de Números y Variables AleatoriasIng. Eduardo Carbajal L.
Agenda
Generación de números y variables aleatorias 1. Generación de Números Aleatorios2. Pruebas de aleatoriedad. 3. Generación de variables aleatorias4. Pruebas de bondad de ajuste: Kolmogorov -
Smirnov y Chi cuadrado (2)
Lecturas: Ross, Cap. 3, 4 y 5Banks, Cap. 8 y 9Law, Cap. 6
Tomando en cuenta los números aleatorios generados previamente Ri que siguen una distribución uniforme, es posible emplear método que permitan generar variables aleatorias.
Métodos y variables generadas
¿Qué métodos existen?Existen métodos generales así como métodos particulares para distribuciones específicas
¿Qué métodos emplearemos Método de la transformada inversa Método de Aceptación y rechazo Método de Convolución
¿Qué tipo de variables aleatorias pueden generarse?
Mayoritariamente variables aleatorias continuas y discretas, aunque algunos métodos permiten generar variables que no pertenecen enteramente a ninguna de las categorías mencionadas previamente
Generación de variables aleatorias
El método de la transformada inversa utiliza la distribución acumulada F(x) de la distribución que se desea simular..
Generación de variables aleatorias
Método de la Transformada Inversa
Una de las características de F(x) es que se encuentra definida en el intervalo (0,1). Por tanto, se puede generar un número aleatorio uniforme R ~ U(0,1), con el cual se ingresa por la ordenada (eje y) y se intercepta la curva F(x). El número X correspondiente a la abscisa (eje x) del punto de intersección, es un número aleatorio que tiene la distribución deseada.
xx=F (R)-1
1
R
)()(1RxóRxF F
Distribuciones continuasDistribuciones continuas
Generación de variables aleatorias
Método de la Transformada Inversa
La función de probabilidad acumulada F(x) para una distribución continua presenta una gráfica continua. En este caso se aplica directamente la función inversa función inversa sobre Ri para calcular el valor de la variable.OBS: F(x) es la función de probabilidad acumulada
f(x) para las dist. continuas se llama función de densidad
F(x) se calcula integrando f(x)
xx=F (R)-1
1
R
)()(1RxóRxF F
Distribuciones discretasDistribuciones discretas
Generación de variables aleatorias
Método de la Transformada Inversa
La función de probabilidad acumulada F(x) para una distribución continua presenta una gráfica discontinua. En este caso se emplea la función inversa generalizada, función inversa generalizada, debido a que por estas discontinuidades no tiene función inversa propiamente dicha. Dado un R, se procede a tomar como la inversa de R, al menor Dado un R, se procede a tomar como la inversa de R, al menor x, tal que F(x) = R x, tal que F(x) = R OBS: F(x) es la función de probabilidad acumulada f(x) para las dist. continuas se llama función de densidad F(x) se calcula como la sumatoria de f(x) desde 0 hasta x
RR11
xx11
RR22
xx22
Generación de variables aleatorias
Método de la Transformada Inversa
Notación: X ~ Bernoulli (p)
Distribución de Distribución de BernoulliBernoulli
1. Generar un número aleatorio R ~ U(0,1)2. Si R <= p x = 1 , en caso contrario x = 0
Método de Método de generación: generación:
Función de probabilidad:
donde p : probabilidad de éxito
.1,0,1)(1
xppxP
xx
Generación de variables aleatorias
Método de la Transformada Inversa
Notación: X ~ Uniforme(a,b)
Distribución UniformeDistribución Uniforme
1. Generar un número aleatorio R ~ U(0,1)2. Hallar X = a + (b-a)*R.
Método de Método de generación: generación:
Función de probabilidad:
0 , si x < a
F(x) = (x-a)/(b-a) , si x Є [a,b]
1 , si x > b
Generación de variables aleatorias
Método de la Transformada Inversa
Notación: X ~ Exponencial(b)
Distribución Distribución ExponencialExponencial
1. Generar un número aleatorio R ~ U(0,1)2. Hallar X = (-1/b)*ln(1 – R)
Método de Método de generación: generación:
Función de probabilidad:
F(x)= 1 – e-bx , x ≥ 0
Generación de variables aleatorias
Método de la Transformada Inversa
Notación: X ~ Weibull(a,B)
Distribución WeibullDistribución Weibull
1. Generar un número aleatorio R ~ U(0,1)2. Hallar X = α (- ln( 1 – R))^(1/β)
Método de Método de generación: generación:
Función de probabilidad: F(x) = 1 – e-(x/α)^β
Generación de variables aleatorias
Método de la Transformada Inversa
Notación: X ~ Triangular(a,b,c)
Distribución Distribución TriangularTriangular
1. Generar un número aleatorio R ~ U(0,1)2. Hallar
Método de Método de generación: generación:
Función de probabilidad: (x-a)2 / [(b-a)(c-a)] para a≤x≤b
F(x)=1 - (x-c)2/[(c-b)(c-a)] para b≤x≤c
Genere variables aleatorias triangulares con parámetros a=0, b=1, y c=2 empleando los siguientes números aleatorios
La inversa en función de R de la distribución triangular es:
Reemplazando los parámetros:
0 +((1-0)(2-0) R ) 0.5 , R <= (1-0)/(2-0) (2R) 0.5 ,R <= 0.5 X =
2 - [(2-1)(2-0)(1-R)] 0.5 ,R <= (1-0)/(2-0) 2 - (2-2R) 0.5 ,R >= 0.5
Empleando entonces los aleatorios dados:
R1=0.46
R2=0.37
R3=0.04
R4=0.01
R5=0.58
< 0.5
< 0.5
< 0.5
< 0.5
>0.5
X1 = (2(0.46)) 0.5 = 0.96
X2 = (2(0.37)) 0.5 = 0.86
X3 = (2(0.04)) 0.5 = 0.28
X4 = (2(0.01)) 0.5 = 0.14
X5 = 2-(2(1-0.58)) 0.5 = 1.08
El método de aceptación y rechazo utiliza la función de función de densidad f(x)densidad f(x) de la distribución que se desea generar.
Generación de variables aleatorias
Método de Aceptación y Rechazo
Procedimiento a seguir:1. Obtener tres valores
que acoten dicha funcion f(x):
CC, que la acote superiormente, es decir CC ≥ ≥ f(x) f(x) para todo x
AA, que la acote por la izquierda , es decir AA ≤ ≤ xx, para todo x,
BB, que la acote por la derecha, es decir xx≤ BB para todo x.
Generalmente, el eje x acota inferiormente a la función.
x
f(x)f(x)
yCC
AA BB
2. Generar un número aleatorio R entre [0,1].
3. Si R cumple con la regla de transformación, RR ≤ f(x) f(x) / CC, entonces el valor de x sigue la sigue la distribución requerida distribución requerida y es aceptado, de lo contrario, se rechaza dicho número.
4. Se repite el algoritmo hasta generar la cantidad de variables deseadas.
RR
xx
Cada par de números aleatorios generados, no no necesariamente necesariamente genera un valor de una variable aleatoria. Depende si cae en la región de aceptaciónregión de aceptación (debajo de la curva f(x)) o de rechazorechazo (por encima de la curva f(x)). Por lo tanto, se necesitan en promedio, tres números aleatorios para generar un valor de la variable aleatoria.
El método de convolución permite generar variables aleatorias en función a una combinación lineal ponderada de otras variables aleatorias. El método entonces requiere que la variable aleatoria a ser generada Yi, pueda expresarse como una suma lineal ponderada de otras variables aleatorias Xi.
Generación de variables aleatorias
Método de Convolución
bi es una constante que refleja la ponderación de la variable xi en la combinación lineal.
Procedimiento a seguir:1. Se generan números aleatorios (R1,R2,...,Rk, … )2. Con uno (o mas, dependiendo del método a utilizar) de los
números aleatorios, se generan las variables aleatorias componentes (x1,x2,...xk) usando alguno de los métodos anteriores.
3. Se obtiene un valor de la variable por suma lineal de las variables aleatorias componentes.
Y = b1*x1+ b2*x2 +…+bk*xk
Variables que se generan con este método: Normal, Binomial, Poisson, Gamma, Erlang
Generación de variables aleatorias
Método de Convolución
Notación: X ~ B (n,p)
Distribución BinomialDistribución Binomial
1. Generar las variables X1 , X2 ,............Xn ~ Bernoulli (p)
2. Generar Y como la suma de (X1 + X2 + .... + Xn )
Método de Método de generación: generación:
Función de probabilidad:
..;0
,....,1,0;)(
1
ccen
nxx
n
xPpp
xnx
donde p : probabilidad de éxito
Generación de variables aleatorias
Método de Convolución
Notación: X ~ P (λ)
Distribución PoissonDistribución Poisson
1. Se inicializa x=0 y t=0.2. Se genera una variable aleatoria X~ exp(1/ λ).3. Se actualiza t = t + X4. Si t ≤ T entonces Y = Y+15. Se repite el algoritmo a partir del 2do punto, hasta que
t > T. El valor de Y generado, sigue una distribución Poisson.
Método de Método de generación: generación:
Función de probabilidad:
..0
,...2,1,0!)(
ccen
xxxPex
Dondex : número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempoλ : número promedio de eventos en un tiempo dado
)(~1
~1
PoissonxExpY
Generación de variables aleatorias
Método de Convolución
Notación: X ~ N( μ, σ)
Distribución NormalDistribución Normal
1. Se generan doce números aleatorios X con distribución U(0,1).
2. Generar Z como la suma Z = ( X1 + X2 + …… + X12) – 6 3. Donde Z es una variable normal estándar con media
igual 0 y varianza igual a 1. Esto se obtiene, ya que la media de cada variable X es ½ y la varianza es igual a 1/12.
4. Para generar una variable Y~ N( μ, σ), utilizar la regla de transformación Y = (Z * σ) + μ
Método de Método de generación: generación:
Generación de variables aleatorias
Método de ConvoluciónDistribución Chi cuadradoDistribución Chi cuadrado
1. Generar Z, que son variables aleatorias normales estándar.
2. Elevar al cuadrado cada variable Z generada.3. Para generar una variable chi-cuadrado de grado de
libertad “n”, suma n variables Z 2.
Método de Método de generación: generación:
2
,rcrítico
k
iik Z
1
22 ZZZZ2
4
2
3
2
2
2
1
2
4
Por ejemplo:
Generación de variables aleatorias
Métodos para la Distr. Normal Estándar
Notación: X ~ N (0,1)
1. Propuesta de Marsaglia-Brax2. Propuesta de Box Muller
Función de probabilidad:
x
dtt
xF e 2
2
2
1)(
Dado que la inversa resulta complicada de calcular se emplean otros métodos en este caso particular. Los métodos son:
Generación de variables aleatorias
Métodos para la Distr. Normal Estándar
1. Se generan dos números aleatorios R1 y R2.2. Se calcula v1= 2R1 – 1 y v2=2R2 – 13. Se calcula s = v1 2 + v2 2
4. Si s≤1, entonces se calcula Zi = vi * [ -2 ln(s) / s] 0.5
Propuesta de Marsaglia Propuesta de Marsaglia BraxBraxMétodo de Método de generación: generación:
OBS: Los Zi que se obtiene bajo este método son variables aleatorias normales estándar
Generación de variables aleatorias
Métodos para la Distr. Normal Estándar
1. Generamos dos números aleatorios R1 y R2, obteniendo el valor de Z1 ó Z2 (usar solo una de las dos fórmulas)
OBSERVACIÓN:A partir de Zi (obtenidos por cualquiera de ambos métodos)
podemos hallar una variable que se ajuste a una distribución .
Propuesta de Box MullerPropuesta de Box Muller
Método de Método de generación: generación:
),( N
)1,0(~
)2()ln(2
)2()ln(2
212
211
N
SenSen
CosCos
RRZ
RRZ
X
Z ZxSabemos que Despejando obtenemos:
Ejercicios Propuestos:
1. Usando el algoritmo discutido en clase y los siguientes números aleatorios, genere tres valores de una variable aleatoria Poisson con media 1.35. Muestre sus cálculos y use en orden los números aleatorios.
2. Generar 10 variables aleatorias normales (utilizando ambos métodos) con parámetros = 5 y = 1, a partir de los siguientes números aleatorios (por par de columnas)
Pruebas de Bondad de Ajuste
Definición
Son pruebas de hipótesis que permiten validar si la distribución de la frecuencia observada de conjunto de datos puede aproximarse a una distribución teórica dada. Las hipótesis que emplean estas pruebas son:
H0 : La variable aleatoria se ajusta a la distribución candidata con los parámetros estimados
H1: La variable aleatoria no se ajusta.
Las pruebas de hipótesis que emplearemos son:
Kolmogorov Smirnov
Chi Cuadrado
Características
Pruebas de Bondad de Ajuste
Prueba Kolmogorov-Smirnov (K-S)
No depende de una distribución específica, no se sabe a priori la forma de la distribución de donde se sacan los datos.
Aplicable solamente a variables aleatorias continuas, pues es un supuesto de la prueba.
Calcula las diferencias en valor absoluto entre las frecuencias acumuladas relativas observadas y las esperadas en cada clase.
Se busca la mayor diferencia (Dmax) y se compara con valor crítico de tablas.
Se puede aplicar para todo tamaño de muestras, pequeñas o grandes
Otra ventaja es que permite construir límites de confianza para la distribución acumulada completa.
Procedimiento (1)
Pruebas de Bondad de Ajuste
Prueba Kolmogorov-Smirnov (K-S)
Se halla una tabla de frecuencias para los “n” datos históricos. Se sugiere tomar k intervalos donde k siga la regla siguiente:
Para cada uno de los “k” intervalos obtenidos, se halla la frecuencia observada Oi, para i=1,…k.
Se divide cada frecuencia observada por el número total de datos “n”. A este resultado se le llama la probabilidad observada del intervalo i. (POi)
Se calcula la probabilidad acumulada observada de cada intervalo probabilidad acumulada observada de cada intervalo ((OAi).OAi).
Se propone una distribución de probabilidad de acuerdo con la forma de la tabla de frecuencias obtenida. (Elaborar histograma)
caso otroen )log(2.31
grandemuy es non si intervalos de Número
n
nk
Procedimiento (2)
Pruebas de Bondad de Ajuste
Prueba Kolmogorov-Smirnov (K-S)
Con la distribución propuesta se calcula la probabilidad esperada para cada uno de los intervalos (PEi).
Se calcula la probabilidad acumulada esperada (EAi) probabilidad acumulada esperada (EAi) para cada intervalo de clase
Se calcula la diferencia absoluta entre OAiOAi y EAiEAi para cada intervalo y se selecciona la máxima diferencia, llamándola Dmax.
Dmáx = |OAiOAi – EAiEAi|máx
Donde: OAi: OAi: frecuencia acumulada relativa de la clase i frecuencia acumulada relativa de la clase i observadaobservada EAi: EAi: frecuencia acumulada relativa de la clase i frecuencia acumulada relativa de la clase i esperadaesperada
El estimado Dmax se compara con un valor límite porporcionado en tabla, con n datos y a un nivel de confiabilidad de (1 – α). Si el estimador Dmax es menor o
igual al valor límite de la tabla, entonces no se puede rechazar que la información histórica sigue la distribución propuesta.
12.36 14.15 6.76 14.46 7.475.71 16.83 5.17 0.03 19.65
16.79 19.33 17.46 15.45 16.0818.01 11.99 10.72 11.51 11.995.12 20.18 11.53 19.8 9.517.69 18.73 20.41 15.1 8.04
19.41 6.31 6.21 9.83 14.668.58 15.83 12.52 16.39 6.578.42 12.87 8.03 9.6 5.42
15.56 18.04 8.97 17.11 7.7910 12 16 18 14
18 17 15 19 13
n = 60
k = raíz(60) = 7.74 8
Se toman 8 intervalos, se calcula el valor máximo y mínimo observados en los datos:
Mínimo = 0.03Máximo =20.41Rango de valores =20.41 -0.03 = 20.38Amplitud de cada intervalo = Rango/k = 20.38/8 =2.5475
Límite de Clase
Inferior
Límite de Clase
Superior
Número de Datos en
Clase
Frecuencia Relativa
Observada
Frecuencia Acumulada Observada
Frecuencia Acumulada
Teórica
Estadístico K-S
Verifique si los datos siguientes siguen una distribución uniforme empleando una prueba K-S
0.03 2.57752.577
55.125
5.125 7.67257.672
510.22
10.22 12.76812.76
815.31
515.315
17.86317.86
320.41
12.36 14.15 6.76 14.46 7.475.71 16.83 5.17 0.03 19.65
16.79 19.33 17.46 15.45 16.0818.01 11.99 10.72 11.51 11.995.12 20.18 11.53 19.8 9.517.69 18.73 20.41 15.1 8.04
19.41 6.31 6.21 9.83 14.668.58 15.83 12.52 16.39 6.578.42 12.87 8.03 9.6 5.42
15.56 18.04 8.97 17.11 7.7910 12 16 18 1418 17 15 19 13
1
12.36 14.15 6.76 14.46 7.475.71 16.83 5.17 0.03 19.65
16.79 19.33 17.46 15.45 16.0818.01 11.99 10.72 11.51 11.995.12 20.18 11.53 19.8 9.517.69 18.73 20.41 15.1 8.04
19.41 6.31 6.21 9.83 14.668.58 15.83 12.52 16.39 6.578.42 12.87 8.03 9.6 5.42
15.56 18.04 8.97 17.11 7.7910 12 16 18 1418 17 15 19 13
1
12.36 14.15 6.76 14.46 7.475.71 16.83 5.17 0.03 19.65
16.79 19.33 17.46 15.45 16.0818.01 11.99 10.72 11.51 11.995.12 20.18 11.53 19.8 9.517.69 18.73 20.41 15.1 8.04
19.41 6.31 6.21 9.83 14.668.58 15.83 12.52 16.39 6.578.42 12.87 8.03 9.6 5.42
15.56 18.04 8.97 17.11 7.7910 12 16 18 1418 17 15 19 13
8
12.36 14.15 6.76 14.46 7.475.71 16.83 5.17 0.03 19.65
16.79 19.33 17.46 15.45 16.0818.01 11.99 10.72 11.51 11.995.12 20.18 11.53 19.8 9.517.69 18.73 20.41 15.1 8.04
19.41 6.31 6.21 9.83 14.668.58 15.83 12.52 16.39 6.578.42 12.87 8.03 9.6 5.42
15.56 18.04 8.97 17.11 7.7910 12 16 18 1418 17 15 19 13
11
12.36 14.15 6.76 14.46 7.475.71 16.83 5.17 0.03 19.65
16.79 19.33 17.46 15.45 16.0818.01 11.99 10.72 11.51 11.995.12 20.18 11.53 19.8 9.517.69 18.73 20.41 15.1 8.04
19.41 6.31 6.21 9.83 14.668.58 15.83 12.52 16.39 6.578.42 12.87 8.03 9.6 5.42
15.56 18.04 8.97 17.11 7.7910 12 16 18 1418 17 15 19 13
8
12.36 14.15 6.76 14.46 7.475.71 16.83 5.17 0.03 19.65
16.79 19.33 17.46 15.45 16.0818.01 11.99 10.72 11.51 11.995.12 20.18 11.53 19.8 9.517.69 18.73 20.41 15.1 8.04
19.41 6.31 6.21 9.83 14.668.58 15.83 12.52 16.39 6.578.42 12.87 8.03 9.6 5.42
15.56 18.04 8.97 17.11 7.7910 12 16 18 1418 17 15 19 13
8
12.36 14.15 6.76 14.46 7.475.71 16.83 5.17 0.03 19.65
16.79 19.33 17.46 15.45 16.0818.01 11.99 10.72 11.51 11.995.12 20.18 11.53 19.8 9.517.69 18.73 20.41 15.1 8.04
19.41 6.31 6.21 9.83 14.668.58 15.83 12.52 16.39 6.578.42 12.87 8.03 9.6 5.42
15.56 18.04 8.97 17.11 7.7910 12 16 18 1418 17 15 19 13
11
12
Dividir cada
término entre n
0.017
0.017
0.133
0.183
0.133
0.133
0.183
0.200
0.017
0.033
0.167
0.350
0.483
0.617
0.800
1.000
La frecuencia relativa de la uniforme hace que cada intervalo sea equiprobable, con
probabilidad 1/k = 1/8 = 0.125
0.125
0.250
0.375
0.500
0.625
0.750
0.875
1.000
Dmáx = |OAi – EAi|
máx
0.108
0.217
0.208
0.150
0.142
0.133
0.075
0.000
Estadístico es el valor absoluto de la diferencia
entre la Observada Acumulada y la Acumulada
Teórica
= 0.217
Valor crítico de tablas para 60 datos y a 0.05 = 0.17
Como Dmax = 0.217 > Valor crítico de tablas = 0.17 -> Se rechaza HoEs decir hay evidencias para rechazar la hipótesis nula que afirma que la
muestra sigue una distribución exponencial
Características
Pruebas de Bondad de Ajuste
Prueba Chi Cuadrado
Para probar hipótesis que muestra aleatoria de tamaño n de la V.A X sigue una distribución específica.
Formaliza la idea intuitiva de comparar el histograma de la información con la forma de la densidad o masa candidata.
Válida para tamaños de muestra grande, para distribuciones discretas o continuas.
Intuitivamente: compara frecuencias observadas contra frecuencias teóricas o esperadas mediante. Dicho estadístico es mayor o igual acero. Si las observadas y teóricas se parecen entonces el valor será pequeño.
Estadístico: Medida de discrepancia
Procedimiento (1)
Pruebas de Bondad de Ajuste
Prueba Chi Cuadrado
Hallar la tabla de frecuencias para los n datos con k intervalos
Para cada uno de los k intervalos obtenidos hallar la frecuencia observada OOii.
Se propone una distribución de probabilidad de acuerdo con la forma de la tabla.
Con la distribución candidata calcular frecuencia esperada de cada intervalo EEii.
Si dicha frecuencia es menor a 5, agrupar.
caso otroen )log(2.31
grandemuy es non si intervalos de Número
n
nk
Observaciones
Pruebas de Bondad de Ajuste
Prueba Chi Cuadrado
Si la distribución candidata es discreta entonces pi = p(xi) = P(X=xi) y cada valor en Rx de la V.A debería ser un intervalo.
Si la distribución es continua utilizar la diferencia de acumuladas.
Para cada clase:
Estadístico teórico: χ2 α, k`-r-1 donde r es el número de parámetros estimados y k’ es el número final de intervalos luego de revisar que ninguno tenga frecuencia esperada menor a 5
Se acepta Ho, si X2 observado ≤ X2 teórico
EEOXi
iii
2
2
Procedimiento (2)
0.46 0.67 0.12 0.21 0.44 0.87 0.89 0.25 0.9 0.340.22 0.74 0.94 0.74 0.81 0.7 0.64 0.79 0.76 0.830.99 0.02 0.52 0.73 0.41 0.56 0.67 0.77 0.99 0.960.78 0.05 0.45 0.31 0.05 0.56 0.82 0.17 0.3 0.470.39 0.42 0.65 0.37 0.93 0.82 0.19 0.23 0.71 0.790.18 0.49 0.1 0.42 0.66 0.05 0.46 0.99 0.17 0.990.75 0.49 0.69 0.34 0.28 0.81 0.01 0.54 0.51 0.370.73 0.05 0.96 0.58 0.94 0.3 0.97 0.56 0.43 0.720.79 0.62 0.4 0.19 0.64 0.4 0.24 0.84 0.39 0.060.29 0.78 0.6 0.11 0.47 0.64 0.88 0.97 0.26 0.18
Verifique si los datos siguientes siguen una distribución uniforme empleando una prueba Chi-Cuadrado n = 100
k = raíz(100) = 10Se toman 10 intervalos, se calcula el valor máximo y mínimo observados en los datos:Mínimo = 0.01Máximo = 0.99Rango de valores =0.99 -0.01 = 0.98Amplitud de cada intervalo = Rango/k = 0.98/10 = 0.098
Intervalo Límite de
Clase Inferior
Límite de Clase
SuperiorOi Ei Oi - Ei (Oi - Ei)2
(Oi - Ei)2 Ei
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.01
0.108
0.206
0.3040.402
0.500
0.5980.696
0.794
0.892
0.108
0.206
0.304
0.4020.500
0.598
0.6960.794
0.892
0.99
0.46 0.67 0.12 0.21 0.44 0.87 0.89 0.25 0.9 0.340.22 0.74 0.94 0.74 0.81 0.7 0.64 0.79 0.76 0.830.99 0.02 0.52 0.73 0.41 0.56 0.67 0.77 0.99 0.960.78 0.05 0.45 0.31 0.05 0.56 0.82 0.17 0.3 0.470.39 0.42 0.65 0.37 0.93 0.82 0.19 0.23 0.71 0.790.18 0.49 0.1 0.42 0.66 0.05 0.46 0.99 0.17 0.990.75 0.49 0.69 0.34 0.28 0.81 0.01 0.54 0.51 0.370.73 0.05 0.96 0.58 0.94 0.3 0.97 0.56 0.43 0.720.79 0.62 0.4 0.19 0.64 0.4 0.24 0.84 0.39 0.060.29 0.78 0.6 0.11 0.47 0.64 0.88 0.97 0.26 0.18
8
0.46 0.67 0.12 0.21 0.44 0.87 0.89 0.25 0.9 0.340.22 0.74 0.94 0.74 0.81 0.7 0.64 0.79 0.76 0.830.99 0.02 0.52 0.73 0.41 0.56 0.67 0.77 0.99 0.960.78 0.05 0.45 0.31 0.05 0.56 0.82 0.17 0.3 0.470.39 0.42 0.65 0.37 0.93 0.82 0.19 0.23 0.71 0.790.18 0.49 0.1 0.42 0.66 0.05 0.46 0.99 0.17 0.990.75 0.49 0.69 0.34 0.28 0.81 0.01 0.54 0.51 0.370.73 0.05 0.96 0.58 0.94 0.3 0.97 0.56 0.43 0.720.79 0.62 0.4 0.19 0.64 0.4 0.24 0.84 0.39 0.060.29 0.78 0.6 0.11 0.47 0.64 0.88 0.97 0.26 0.18
8
0.46 0.67 0.12 0.21 0.44 0.87 0.89 0.25 0.9 0.340.22 0.74 0.94 0.74 0.81 0.7 0.64 0.79 0.76 0.830.99 0.02 0.52 0.73 0.41 0.56 0.67 0.77 0.99 0.960.78 0.05 0.45 0.31 0.05 0.56 0.82 0.17 0.3 0.470.39 0.42 0.65 0.37 0.93 0.82 0.19 0.23 0.71 0.790.18 0.49 0.1 0.42 0.66 0.05 0.46 0.99 0.17 0.990.75 0.49 0.69 0.34 0.28 0.81 0.01 0.54 0.51 0.370.73 0.05 0.96 0.58 0.94 0.3 0.97 0.56 0.43 0.720.79 0.62 0.4 0.19 0.64 0.4 0.24 0.84 0.39 0.060.29 0.78 0.6 0.11 0.47 0.64 0.88 0.97 0.26 0.18
10
0.46 0.67 0.12 0.21 0.44 0.87 0.89 0.25 0.9 0.340.22 0.74 0.94 0.74 0.81 0.7 0.64 0.79 0.76 0.830.99 0.02 0.52 0.73 0.41 0.56 0.67 0.77 0.99 0.960.78 0.05 0.45 0.31 0.05 0.56 0.82 0.17 0.3 0.470.39 0.42 0.65 0.37 0.93 0.82 0.19 0.23 0.71 0.790.18 0.49 0.1 0.42 0.66 0.05 0.46 0.99 0.17 0.990.75 0.49 0.69 0.34 0.28 0.81 0.01 0.54 0.51 0.370.73 0.05 0.96 0.58 0.94 0.3 0.97 0.56 0.43 0.720.79 0.62 0.4 0.19 0.64 0.4 0.24 0.84 0.39 0.060.29 0.78 0.6 0.11 0.47 0.64 0.88 0.97 0.26 0.18
9
0.46 0.67 0.12 0.21 0.44 0.87 0.89 0.25 0.9 0.340.22 0.74 0.94 0.74 0.81 0.7 0.64 0.79 0.76 0.830.99 0.02 0.52 0.73 0.41 0.56 0.67 0.77 0.99 0.960.78 0.05 0.45 0.31 0.05 0.56 0.82 0.17 0.3 0.470.39 0.42 0.65 0.37 0.93 0.82 0.19 0.23 0.71 0.790.18 0.49 0.1 0.42 0.66 0.05 0.46 0.99 0.17 0.990.75 0.49 0.69 0.34 0.28 0.81 0.01 0.54 0.51 0.370.73 0.05 0.96 0.58 0.94 0.3 0.97 0.56 0.43 0.720.79 0.62 0.4 0.19 0.64 0.4 0.24 0.84 0.39 0.060.29 0.78 0.6 0.11 0.47 0.64 0.88 0.97 0.26 0.18
12
0.46 0.67 0.12 0.21 0.44 0.87 0.89 0.25 0.9 0.340.22 0.74 0.94 0.74 0.81 0.7 0.64 0.79 0.76 0.830.99 0.02 0.52 0.73 0.41 0.56 0.67 0.77 0.99 0.960.78 0.05 0.45 0.31 0.05 0.56 0.82 0.17 0.3 0.470.39 0.42 0.65 0.37 0.93 0.82 0.19 0.23 0.71 0.790.18 0.49 0.1 0.42 0.66 0.05 0.46 0.99 0.17 0.990.75 0.49 0.69 0.34 0.28 0.81 0.01 0.54 0.51 0.370.73 0.05 0.96 0.58 0.94 0.3 0.97 0.56 0.43 0.720.79 0.62 0.4 0.19 0.64 0.4 0.24 0.84 0.39 0.060.29 0.78 0.6 0.11 0.47 0.64 0.88 0.97 0.26 0.18
7
0.46 0.67 0.12 0.21 0.44 0.87 0.89 0.25 0.9 0.340.22 0.74 0.94 0.74 0.81 0.7 0.64 0.79 0.76 0.830.99 0.02 0.52 0.73 0.41 0.56 0.67 0.77 0.99 0.960.78 0.05 0.45 0.31 0.05 0.56 0.82 0.17 0.3 0.470.39 0.42 0.65 0.37 0.93 0.82 0.19 0.23 0.71 0.790.18 0.49 0.1 0.42 0.66 0.05 0.46 0.99 0.17 0.990.75 0.49 0.69 0.34 0.28 0.81 0.01 0.54 0.51 0.370.73 0.05 0.96 0.58 0.94 0.3 0.97 0.56 0.43 0.720.79 0.62 0.4 0.19 0.64 0.4 0.24 0.84 0.39 0.060.29 0.78 0.6 0.11 0.47 0.64 0.88 0.97 0.26 0.18
10
0.46 0.67 0.12 0.21 0.44 0.87 0.89 0.25 0.9 0.340.22 0.74 0.94 0.74 0.81 0.7 0.64 0.79 0.76 0.830.99 0.02 0.52 0.73 0.41 0.56 0.67 0.77 0.99 0.960.78 0.05 0.45 0.31 0.05 0.56 0.82 0.17 0.3 0.470.39 0.42 0.65 0.37 0.93 0.82 0.19 0.23 0.71 0.790.18 0.49 0.1 0.42 0.66 0.05 0.46 0.99 0.17 0.990.75 0.49 0.69 0.34 0.28 0.81 0.01 0.54 0.51 0.370.73 0.05 0.96 0.58 0.94 0.3 0.97 0.56 0.43 0.720.79 0.62 0.4 0.19 0.64 0.4 0.24 0.84 0.39 0.060.29 0.78 0.6 0.11 0.47 0.64 0.88 0.97 0.26 0.18
15
0.46 0.67 0.12 0.21 0.44 0.87 0.89 0.25 0.9 0.340.22 0.74 0.94 0.74 0.81 0.7 0.64 0.79 0.76 0.830.99 0.02 0.52 0.73 0.41 0.56 0.67 0.77 0.99 0.960.78 0.05 0.45 0.31 0.05 0.56 0.82 0.17 0.3 0.470.39 0.42 0.65 0.37 0.93 0.82 0.19 0.23 0.71 0.790.18 0.49 0.1 0.42 0.66 0.05 0.46 0.99 0.17 0.990.75 0.49 0.69 0.34 0.28 0.81 0.01 0.54 0.51 0.370.73 0.05 0.96 0.58 0.94 0.3 0.97 0.56 0.43 0.720.79 0.62 0.4 0.19 0.64 0.4 0.24 0.84 0.39 0.060.29 0.78 0.6 0.11 0.47 0.64 0.88 0.97 0.26 0.18
9
12
Cada intervalo tiene una probabilidad Esperada o Teòricade 1/k = 10 pues se esta probando si ajustan a una distribución exponencial. Ei se expresa en termino de frecuencia por lo tanto es el producto de la probabilidad y el número total de datos analizados
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
-2
-2
0
-1
2
-3
0
5
-1
2
Como no hay ningún Ei menor que 5 no es necesario agrupar intervalos k´ = k = 10
4
4
0
1
4
9
0
25
1
4
0.4
0.4
0
0.1
0.4
0.9
0
2.5
0.1
0.4Total = 5.2
El valor de tablas que corresponde a χ2 0.05,
10-2-1 es 6.346
Como χ2 observado (5.2) es menor que χ2 teórico (6.346) no se rechaza Ho, es decir no hay evidencias para rechazar que la muestra sigue una distribución uniforme entre 0.01 y 0.99
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