Generalidades de Fisica

8/15/2019 Generalidades de Fisica

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92 CAP ´ ITULO 3. LEYES DE NEWTON Y SUS APLICACIONES

está en el origen de coordenadas en t = 0, determina su posici ón y velocidad

cuando t = 1,6 s.

(Respuestas : r = (−1 92, 3 20) m; v = (−2 4, 4 0) m/s)

5. Una part́ıcula de masa m está suspendida de una cuerda de longitud L y se mueve

con velocidad constante en un ćırculo horizontal de radio r. Si la cuerda forma

un ángulo θ con la vertical, determı́nese su tensi´on y la velocidad de la part́ıcula.

(Respuestas : T = mg/ cosθ; v = √ Lg sen θ tan θ)

6. Se hace girar un cubo de agua en una trayectoria vertical de radio r . Si la velocidad

del cubo en el punto más alto es vt , determinar la fuerza ejercida por el cubo sobre

el agua. Calcula también el valor mı́nimo de vt para que el agua no se salga del

cubo.

(Respuestas : N = m(v2t /r −g); vt = √ gr )

7. Despreciando el rozamiento y las masas de las poleas y de las cuerdas, determina

la masa m2 en el sistema de la gura para que la aceleraci ón de la masa m3 sea0,45 m/s 2 hacia abajo. Los valores de las otras masas son: m1 = 200 g, m3 = 300

g.

(Respuestas : m2 = 0,104 kg)


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3.10. PROBLEMAS 93

m 1 m 2

m 3

8. Un globo con todos sus accesorios pesa 200 kg y desciende con una aceleraci´on 10

veces menor que la de la gravedad. Calcula la masa de lastre que ha de arrojarse

para que ascienda con esa misma aceleraci ón.

(Respuestas : m = 36,36 kg)

9. Un montacargas de 1200 kg de masa parte del reposo y alcanza una velocidad de

6 m/s al ascender 12 m. Calcula:

a) La aceleración con que asciende.

b) La tensi ón del cable que lo soporta.

(Respuestas : a = 1,5 m/s 2; T = 13560 N)

10. Una part́ıcula de masa m = 10 kg, sometida a la acci ón de una fuerza f =120t + 40 N se desplaza en una trayectoria rectiĺınea. Cuando t = 0, la part́ıcula

se encuentra en x0 = 5 m con una velocidad v0 = 6 m. Obténgase su velocidad y

posición instant áneas.

(Respuestas : v(t) = 6 + 4 t + 6 t2 m/s; x(t) = 5 + 6 t + 2 t2 + 2 t3 m)


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11. Los objetos A y B de la gura pesan 200 y 300 g respectivamente. La polea

Q1 tiene el eje jo, pero la Q2 puede moverse libremente. Calcula la tensi´on en

la cuerda y la aceleración de cada cuerpo. (Sup ónganse las poleas sin masas ni

rozamientos).

(Respuestas : a = −1,8 m/s 2; T A = 1,6 N; T B = 3,2 N)

mB

mA

Q 1

Q 2

12. Una part́ıcula de masa m se mueve en el plano XY de modo que su vector posición

es:

r (t) = a cos(ωt) i + bsen(ωt) j

siendo a, b y ω constantes positivas y a > b. Demuestra que la part́ıcula se mueve

en una elipse y que la fuerza que actúa sobre ella está siempre dirigida hacia el

origen.

13. Calcula el ángulo de inclinación que debe tener una rampa para que un cuerpo

al deslizar por ella sin rozamiento tarde el doble de tiempo en alcanzar la base

que si lo hiciese en caı́da libre.

(Respuestas : θ = 30 ◦ )


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3.10. PROBLEMAS 95

14. Un montacargas tiene una velocidad de régimen, tanto al ascender como al des-

cender, de 4 m/s, tardando 1 s en adquirirla al arrancar o detenerse. Si se carga

una masa de 600 kg y la masa del montacargas y sus accesorios es de 1200 kg, cal-

cula la fuerza que ejerce la masa sobre el suelo del montacargas en los siguientes

casos:

1) Durante el arranque para ascender.

2) Durante el ascenso a velocidad constante.

3) Durante el proceso de frenado para detenerse.

4) ¿Cuál es la tensión sobre el cable que sujeta el montacargas en el caso 1)?

(Respuestas : 1) f = 8300 N; 2) f = 5900 N; 3) f = 3500 N; 4) T = 25000N)

15. En el sistema de la gura, la fricción y la masa de la polea son despreciables.

Obténgase la aceleraci´on de m2 si m1 = 300 g, m2 = 500 g y f = 1,5 N.

m 1 m2

f

(Respuestas : a2 = 0,88 m/s 2)

16. Las máquinas de un petrolero se aveŕıan y el viento acelera la nave a una velocidad

de 1,5 m/s hacia un arrecife. Cuando el barco est´a a 500 m del arrecife el viento

cesa y el maquinista logra poner en marcha las m áquinas para acelerar hacia

atr ás. La masa total del petrolero es de 3 ,6 ×107 kg y sus máquinas producenuna fuerza de 8,0 ×104 N. Si el casco puede resistir impactos de hasta 0 ,2 m/s,¿se derramar á el petr óleo?


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(Respuestas : El petr óleo no se vertirá.)

17. Una alumna muy inteligente se pregunta cómo sacar del barro su coche que ha

quedado atascado. para ello dispone de una cuerda con la que atar el coche aun árbol pr óximo. Si es capaz de ejercer una fuerza de 300 N, ¿será posible que

saque el coche del barro?

18. Una persona empuja un trineo por un camino horizontal nevado. Cuando el m´ odu-

lo de la velocidad del trineo es 2,5 m/s, esa persona suelta el trineo y éste se desliza

una distancia d = 6,4 m antes de detenerse. Determina el coeciente de fricci ón

cinética entre los patines del trineo y la supercie nevada.

(Respuestas : µc = 0,05)

19. Una masa de 45 kg es arrastrada en un trineo sobre un terreno horizontal cubierto

de nieve. El trineo es tirado por una cuerda que forma un ángulo de 40o con la

horizontal. Si el trineo tiene una masa de 5 kg y los coecientes de fricción estática

y cinética son µe = 0,2 y µc = 0,15, determina la fricci ón ejercida por el suelo

sobre el trineo y la aceleración de éste cuando la tensión de la cuerda vale:

a) 100 N

b) 140 N

(Respuestas : a) f e = 85,2 N; a = 0; b) f c = 60 N; a = 0,94 m/s 2)

20. Un coche viaja a 108 km/h por una carretera horizontal. Los coecientes de

fricción entre la carretera y los neumáticos son: µe = 0,5; µc = 0,3 ¿Cuánto

espacio tarda el coche en frenar si:

a) el frenazo es fuerte pero el coche no llega a patinar?

b) el frenazo es muy brusco y el coche patina?(Respuestas : a) d = 91,8 m; b) d = 153 m)

21. Un coche viaja por una carretera horizontal describiendo una circunferencia de 30

m de radio. Si el coeciente de fricción estática es µe = 0,6, ¿cuál es la velocidad

máxima a la que puede ir el coche sin salirse de la curva?


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3.10. PROBLEMAS 97

(Respuestas : vm = 47,8 km/h)

22. Una curva de 30 m de radio tiene un ángulo de peralte θ. ¿Cuál debe ser este

peralte para que un coche pueda tomar la curva a 40 km/h aunque no hayafuerzas de rozamiento?

(Respuestas : θ = 22,7◦ )

23. Un bloque de masa m1 se apoya sobre un segundo bloque de masa m2, que a su

vez descansa sobre una mesa horizontal sin rozamiento. Se aplica una fuerza f

sobre el bloque de abajo. Los coecientes de fricción estática y cinética ( µe y µc)

entre los bloques se suponen conocidos.

a) Determina el valor m áximo de f para que los bloques no deslicen entre si.

b) Determina la aceleraci ón de cada bloque cuando se supera ese valor.

(Respuestas : a) f = gµe(m1 + m2); b) a1 = gµc; a2 = ( f −gµcm1/m 2))24. Un bloque de 50 kg es lanzado hacia arriba sobre un plano inclinado 30o. Si el

coeciente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0,2, calcula:

a) El tiempo que tarda en detenerse si se lanza con una velocidad inicial de 20

m/s.

b) ¿Con qué velocidad retornar´ a al punto de partida?

c) El tiempo que tarda en subir y bajar.

(Respuestas : a) t = 3,03 s; b) v = 13,9 m/s; c) 7,4 s)

25. Una pequeña esfera de masa m está colgada del techo de un vagón de ferrocarril

que se desplaza por una v́ıa con aceleraci ón a. ¿Cuáles son las fuerzas que actúan

sobre la esfera para un observador inercial? ¿Y para uno no inercial en el interiordel vagón?

26. Dos bloques de 200 kg y 75 kg descansan sobre dos planos inclinados y están

conectados mediante una polea tal y como indica la gura. Calcula:

a) la aceleración del sistema.


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b) la tensi ón de la cuerda.

c) la aceleración y la tensión si el coeciente de rozamiento entre los bloques y el

plano vale 0,2.

(Respuestas : a) a = 2,15 m/s 2; b) T = 748,2 N; c) a = 0,69 m/s 2; T = 727,2

N)

B

A

β= 53o

α= 37

o

27. En el instante t = 0, un paracaidista que tiene peso de magnitud mg está situado

en z = 0 y se mueve con velocidad v0. Suponiendo que la fuerza de rozamien-

to debida al aire es proporcional a su velocidad, halla su velocidad, posici ón y

aceleración en cualquier instante de tiempo.

(Respuestas : v(t) = 1b

mg −(mg −bv0)e− bt/m ; z (t) = ( mg/b ) t + ( m/b )(e− bt/m −1) ;a(t) = ge− bt/m )

28. Un objeto se desliza sobre una supercie de hielo a lo largo de una ĺınea recta

horizontal. En cierto punto de la trayectoria la velocidad es v0 y después de

recorrer una distancia xr el objeto se detiene. Compruébese que el coeciente de

rozamiento es v20 / 2gxr .

29. Un bloque de hierro de masa ma = 7 kg es arrastrado sobre una mesa horizontalpor la acción de otra masa mb = 2 kg que cuelga verticalmente de una cuerda

horizontal unida al bloque de hierro y que pasa por una polea ideal. Si µc = 0,15,

determina la aceleraci ón y la tensión de la cuerda.

(Respuestas : a = 1,0 m/s 2; T = 17,6 N )


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3.10. PROBLEMAS 99

30. Un convoy minero está formado por n vagonetas con masas m1, m2, . . . mn .

Se supone que las ruedas deslizan sobre los raı́les y que el coeciente de fricción

cinética entre las ruedas y los ráıles, µc, es conocido. En esas condiciones, calcula:

a) La fuerza capaz de mover el sistema con velocidad constante y la tensi´on en

los enganches entre dos vagones cualquiera.

b) Si tiramos con una fuerza dada, T 1, mayor que la calculada en el apartado

anterior, determina la aceleraci´ on del sistema y la expresión general de la tensión

para cualquier vag ón.

(Respuestas : a) T 1 = gµc ni=1 m i ; T j = gµcni= j mi ; b) a = (1 /M )(T 1−µcgM );

c) T j = T 1(1 −(1/M ) j − 1i=1 m i) )

31. En el sistema representado en la gura, las masas de los cables y poleas son

despreciables. Si el coeciente de rozamiento cinético de la masa m2 con el plano

inclinado es µc, calcula la aceleración del sistema.

(Respuestas : a = gm1 −m3 −m2(µc cos −sen )

m1 + m2 + m3)

m 1

m 2

m 3

32. En el sistema que se muestra en la gura, el coeciente de rozamiento entre los

bloques es µ. Si se ejerce una fuerza, f , sobre el bloque de masa m1, ¿cuál es la

aceleración del sistema?

(Respuestas : a = f −µg(3m2 + m1)

m1 + m2)


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m 1

f

m 2

33. Un bloque de 2 kg está situado sobre otro de 4 kg que descansa sobre una mesa sin

rozamiento y sobre el que est á actuando una fuerza horizontal F . Los coecientes

de fricción entre los bloques son µe = 0,3 y µc = 0,2 . a) ¿Cuál es el valor máximo

de F que puede aplicarse para que el bloque de 2 kg no resbale sobre el de 4 kg?

b) Si F es igual a la mitad de este valor máximo, determinar la aceleraci´on de

cada bloque y la fuerza de fricción que actúa sobre cada uno de ellos. c) Si F es

igual al doble del valor obtenido en a), calcula la aceleración de cada bloque.

(Respuestas : a) F = 17,64 N; b) a1 = a2 = 1,47 m/s 2; f r = 2,94 N; c)

a1 = 1,96 m/s 2; a2 = 7,84 m/s 2)


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Caṕıtulo 4

Trabajo, enerǵıa y conservaci´ on dela enerǵıa

4.1. Introducci´ on

En principio, si se conociera la fuerza que actúa sobre una part́ıcula como función

del tiempo, f = f (t), seŕıa f ácil obtener la ecuaci ón de su trayectoria, r = r (t), que es

uno de los problemas fundamentales que se plantea la Mecánica Clásica:

f (t) = ma (t) −→ a (t) = f (t)m −→ v (t) = a (t) dt = r (t) = v (t) dt

Pero generalmente las fuerzas que actúan sobre las part́ıculas se conocen en F́ısica en

función de su posición y el método anterior no es aplicable. Por lo tanto, se introducen

nuevos conceptos (trabajo y enerǵıa) con los que conociendo s ólo algunas propiedades

de la fuerza se pueden resolver muchos problemas.

4.2. Concepto de trabajo

4.2.1. Sistemas unidimensionales

Consideremos una fuerza, f , constante o variable, que actúa sobre una part́ıcula

para provocar sobre ella un desplazamiento unidimensional. Se dene el trabajo inni-

tesimal que realiza la fuerza sobre la part́ıcula para provocar un desplazamiento, dx,

como,

dW = f x dx,


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102 CAP ´ ITULO 4. TRABAJO Y ENERG ´ IA.

donde f x es la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento. Para un

desplazamiento nito, entre dos puntos x1 y x2, se dene el trabajo como:

W = x2

x1f x dx

Es decir, que en problemas unidimensionales, el trabajo realizado por una fuerza no es

más que el área encerrada bajo la curva, f x = f x (x).

Como por denición el trabajo es una fuerza por un desplazamiento, sus dimensio-

nes son: [W ] = ML2T − 2 y sus unidades en el sistema internacional son N.m, que se

denomina joule o julio y se representa como J. En el sistema cegesimal, la unidad del

trabajo es el ergio (erg) que se dene como 1 erg= 1 dina ×1 cm. Factor de conversi ón:1 J= 10 7 erg.

x1 x2 x x1 x2 x

fuerza variablefuerza constante f x f x

Conviene resaltar que el concepto de trabajo en F́ısica no se corresponde exac-

tamente con la noci ón que tenemos en la vida cotidiana. Por ejemplo, empujar una

pared, aunque, por supuesto, no consigamos derribarla, supone un trabajo en la vida

ordinaria, pero en F́ısica, como no hay desplazamiento, el trabajo realizado es nulo.

Igual sucede cuando un levantador de pesas no consigue elevarlas o cuando sujetamos

un objeto en el aire sin desplazarlo.

4.2.1 Ejemplo

Un bloque apoyado sobre una mesa sin rozamiento est´ a sujeto a un muelle horizontal

que ejerce una fuerza f = −k x, donde k = 400 N/m. El bloque se comprime hasta


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4.2. CONCEPTO DE TRABAJO 103

la posici´ on xi = −5 cm. Calcula el trabajo que realiza para llevar el bloque hasta la posici´ on xf = 0.

mk

xi x f

Resolveremos el problema de dos maneras, anaĺıticamente y ge´ ometricamente a par-

tir de la representaci´ on de la funci´ on fuerza.

i) Anaĺıticamente.

W = xf x i f (x) dx = xf x i (−kx) dx = −k x22x f

x i= −

k2

x2f −x2i = 0,5 J ii) Geométricamente 1.

f

x x f xi

b

a

W = 12

b a = 12

(xf −xi)f (xi) = 0 ,5 J

1 Nótese que el trabajo, en general, puede tener un valor positivo o negativo. Con el métodogeométrico s´olo se puede obtener el valor del trabajo en m´ odulo, puesto que un ´area es, por de-nición, un n úmero positivo.


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4.2.2. Expresión general de trabajo

Consideremos ahora una part́ıcula con vector de posici´on r desplazándose en el

espacio bajo la acción de una fuerza, f , variable. Se dene el trabajo realizado por lafuerza como:

W = f i f .dr.En componentes,

W = f i (f x dx + f y dy + f z dz ).La integral se evalúa sobre la curva que conforma la trayectoria de la part́ıcula y se

denomina por esa raz ón integral de lı́nea . En general, cuando evaluamos el trabajo que

realiza una fuerza para trasladar la part́ıcula desde i hasta f , no es lo mismo hacerlo por

la trayectoria c1 que por la c2. En cada caso la integral se realizar á de forma diferente

y los resultados serán distintos.

i

f

c1

c2

4.2.2 Ejemplo

Calc´ ulese el trabajo realizado por la fuerza f = xy i (N) para desplazar una part́ıcula

desde i : (0, 3) hasta f : (3, 0) a lo largo de las trayectorias:

1) Recta que une i y f .

2) Arco de la circunferencia centrada en el origen de coordenadas que pasa por esos

puntos.


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4.2. CONCEPTO DE TRABAJO 105

c1

c2

i

f

y

x

1) Ecuaci´ on de la recta: y = 3 −x.W if =

f

i f .dr =

f

ixy dx =

3

0x(3 −x) dx = 32x2 − x

3

3 = 4,5 J .

2) Ecuaci´ on de la circunferencia: x2 + y2 = 9 .

W if = f i xy dx = f i x(9 −x2)1/ 2 dx.Haciendo el cambio de variables: u ≡9 −x2 resulta −2xdx = du.

W if = −12

u1/ 2 du = −

1 2

23

u3/ 2 = −13

(9 −x2)3/ 23

0=

13

93/ 2 J = 9 J

Como vemos, el trabajo realizado en las dos trayectorias, aunque coincidan los puntos

inicial y nal son diferentes.

En un desplazamiento innitesimal, la expresi´on general del trabajo viene dada por:

δW = f . dr.

La notaci ón, δ , para el trabajo elemental se utiliza en algunos libros para representar

que depende de la trayectoria recorrida. Se dice que la diferencial es inexacta .Cuando varias fuerzas, {f i} (i = 1, 2 . . . n ) act úan sobre una part́ıcula, el trabajo

neto es la suma de cada uno de los trabajos:

dW =n

i=1

dW i =n

i=1

f i .dr i .


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4.3. Potencia

Desde un punto de vista práctico, es a menudo m´ as interesante saber no s´olo el

trabajo realizado por una fuerza sobre un objeto, sino la rapidez con que se realiza.Esto es especialmente importante en Ingenieŕıa, donde es relevante tanto el trabajo que

realiza, por ejemplo, un motor como el tiempo que tarda en ejecutarlo.

Se dene la potencia media al realizar un trabajo W como:

P m = W

t ,

donde t es el tiempo que se emplea en su realización. Las dimensiones de la potencia

son:[P m ] =

[W ]t

= ML2T − 2

T = ML2T − 3.

Unidades habituales de la potencia:

S.I. −→ watio (W)=J/sCaballo de vapor (CV) −→ 1 CV=735,50 736 W. Se dene como la potencianecesaria para elevar una masa de 75 kg 1 metro de altura en 1 s. No debe

confundirse con el horsepower (HP ó hp), unidad de potencia de origen anglosaj ón

equivalente a 745,70 746 W.

A partir del watio se dene una unidad de trabajo muy utilizada, el kw.h:

1 kw.h = 1000J/s ×3600 s = 3,6 ×106 J .Se dene la potencia instant´ anea realizada por una fuerza como:

P = ĺımt → 0

W

t =

dW

dt ,

es decir, es el trabajo innitesimal realizado por la fuerza por unidad de tiempo. De

otro modo:

dW = f .dr = f .v dt −→ P = dW

dt = f .v.


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4.4. ENERG ´ IA CIN ´ ETICA. TEOREMA TRABAJO-ENERG ´ IA 107

4.3.1 Ejemplo

Un elevador tiene una masa de 1000 kg y lleva una carga de 800 kg. Una fuerza de

rozamiento constante de 4000 N se opone a su movimiento. ¿Cu´ al debe ser la potencia

mı́nima del motor para subir la carga con una velocidad constante de 3 m/s?

Fuerzas sobre el ascensor:

T −f r −(ma + mc)g = 0 −→ T = f r + ( ma + mc) g = 2,16 ×104 N P = f .v = T .v = T v = ( f r + mg)v = 64,9 kW

¿Y si la aceleraci´ on hacia arriba fuese 1 m/s 2

T −f r −mg = ma −→T = f r + mg + ma = 2,34 ×104

N

= P = T v = 2,34 ×104 ×v (W )donde v es la velocidad instant´ anea del ascensor.

4.4. Enerǵıa cinética. Teorema trabajo-enerǵıa

Todo cuerpo en movimiento tiene la capacidad de realizar un trabajo a partir de

una disminuci ón de su velocidad. Como ejemplos se pueden considerar un martillo

golpeando un clavo, una bala impactando contra una pared de acero o una piedra

golpeando a otra piedra. Estos hechos sugieren estudiar con m´as detalle la relaci ón

existente entre el estado de movimiento de una part́ıcula y su posible capacidad para

realizar trabajo.

Como la fuerza que la part́ıcula ejerce sobre el exterior es la misma que se ejerce

sobre ella (principio de acción y reacción):

dW = f .dr = ma.dr = ma.vdt = mv.dv

Por otra parte, se puede expresar:

d(v2) = d(v.v ) = 2v.dv


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Sustituyendo en la primera ecuaci´on:

dW = f .dr = 1

2

m d(v2)

−→ W =

f

i

f .dr = 1

2

m

f

i

d(v2) = 1

2

mv2f

−

1

2

mv2i

W = ∆12

mv2 ≡∆ E cEste resultado se denomina teorema trabajo-enerǵıa . La magnitud E c = (1 / 2) mv2 se

llama energı́a cinética de la part́ıcula y el teorema arma que el trabajo que realiza la

part́ıcula es igual a la variaci´ on de su energı́a cinética . Pero también se puede interpre-

tar en sentido opuesto. Para cambiar la energı́a cinética de la part́ıcula hay que realizar

un trabajo sobre ella que es igual a su variaci´ on .

La enerǵıa cinética es una magnitud escalar, que s´ olo depende de la masa y lavelocidad de la part́ıcula y que tiene las mismas dimensiones que el trabajo ([ E c] =

ML 2T − 2). No puede ser nunca negativa.

4.5. Fuerzas conservativas y enerǵıa potencial

Se dice que una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza para trasladar una

part́ıcula desde un punto cualquiera i hasta otro cualquiera f es independiente de la

trayectoria que recorre la part́ıcula.

i

f y

x

y

x

i

O de modo equivalente, una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza sobre

una part́ıcula cuando esta describe una trayectoria cerrada es cero. Matem´ aticamente:

f .dr = 0.


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4.5. FUERZAS CONSERVATIVAS Y ENERG ´ IA POTENCIAL 109

Basándonos en esta denici ón, si una fuerza es conservativa siempre se puede denir

una función, U , de manera que el trabajo realizado por la fuerza sea, W if = U i −U f .Esto es una expresi ón matem ática de que el trabajo s ólo depende de las caracterı́sticas

de los estados inicial y nal de la part́ıcula.

∆ U = U f −U i = −W if = − f i f .dr.En un desplazamiento innitesimal:

dU = − f .dr.

Esta funci ón, U , con dimensiones de trabajo o enerǵıa se denomina enerǵıa potencial asociada a f .

4.5.1 Ejemplo

Enerǵıa potencial del campo gravitatorio terrestre (en las proximidades de la supercie

de la Tierra).

dU = − f .dr = − P .dr.Si elegimos P = −mg j ,

dU = mgdy −→ U = U 0 + mgy,

donde U 0 = U (y = 0) .

Este es un ejemplo particular de una fuerza constante que es conservativa. Veremos

a continuaci ón que cualquier fuerza constante (en módulo, dirección y sentido) es con-

servativa. Sea f una fuerza vectorialmente constante que desplaza una part́ıcula desde

r i hasta r f . Veremos que el trabajo que realiza para desplazarla s´ olo depende de los

puntos inicial y nal.

W if = f i f .dr = f i f x dx + f i f y dy + f i f z dz = f .r f − f .r i .


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112/370


Para x > 0 −→ U > 0, con lo cual la fuerza es negativa. Si está situadala part́ıcula inicialmente en x = 0, y se la somete a una peque ña perturbación

tratando de alejarla de ese punto, el muelle reacciona con una fuerza que se opone

a esa perturbaci ón y trata de retornar la part́ıcula a x = 0. Se dice que este punto

es de equilibrio estable . Matem áticamente se caracteriza porque es un mı́nimo de

la función U = U (x): U = 0 y U > 0.

Consideremos ahora otro tipo de funci ón U = U (x), con un máximo local, tal y

como muestra la gura.

U

x

U' < 0

f x

U' > 0

f x

U'= 0 , f = 0 x

Ahora si la part́ıcula está inicialmente en el máximo de la función (x = 0 en este

caso sencillo) y se ve sometida a una pequeña perturbación, la fuerza que experimenta

es tal que tiende a alejarla denitivamente de ese punto. Se dice que la posición del

máximo de U , es un punto de equilibrio inestable . Puede haber también curvas de

energı́a potencial con puntos de equilibrio indiferente o neutro que son aquellos puntos

de equilibrio, en que una pequeña perturbación hace que la part́ıcula pase a otro punto

de equilibrio adyacente. Geométricamente estas regiones son mesetas en U (x).


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4.6. AN ´ ALISIS DE CURVAS DE ENERG ´ IA POTENCIAL 113

U

x

equilibrio estable

equilibrio inestable

equilibrio neutro

4.6.1 Ejemplo

La enerǵıa potencial de un par de ´ atomos (denominado potencial de Lennard-Jones)

de un gas tiene la forma:

U (x) = 4 εσx

12

−σx

6,

donde ε y σ son constantes que dependen de las peculiaridades de los ´ atomos.

a) Obténganse los estados de equilibrio.b) Dib´ ujese la curva de enerǵıa potencial.

a)

dU dx

= 0 −→ −12σ12x− 13 + 6 σ6x− 7 = 0 −→2σ6x

− 13 = x− 7 = xe = 21/ 6σ.

S´ olo hay un punto de equilibrio y es f´ acil demostrar que es estable. Basta comprobar

que U (xe) > 0.

U (xe) = 4 ε σ12

22 σ12 − σ62 σ6

= 4ε 14 − 12 = −ε.

Ceros de la funci´ on:

U (x) = 0 −→σx

12=

σx

6

−→ x = σ.


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4 5 6 7 8

-100

-50

50

100

150

U (x)

x

x= 21/6

x = 2 σ1/6

e

U(x )= - εe

En el caso de sistemas tridimensionales se puede hacer un planteamiento semejante,

pero introduciendo un operador habitual en an´ alisis diferencial en varias variables, que

es el concepto de gradiente 3.

dU = − f .dr −→ f = −−−→U.

4.6.2 Ejemplo

Calc´ ulese la fuerza asociada a la enerǵıa potencial dada por la funci´ on: U (x,y,z ) =

k x2yz , donde k es una constante.

f = −−−→U

f x = −∂U ∂x

= −2kxyz f y =

−∂U

∂y =

−kx2z

f z = −∂U ∂z

= −kx2y3 Dada una funci´on escalar, f = f (x,y,z ), se dene su gradiente en coordenadas cartesianas, como

el vector dado por:−→f = ∂f

∂x i +

∂ f ∂y

j + ∂ f ∂z

k.


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4.7. CONSERVACI ´ ON DE LA ENERG ´ IA 115

= f = −k(2xyz i + x2z j + x2y k).

4.7. Conservaci´ on de la enerǵıa

4.7.1. Sistemas conservativos

Supongamos una fuerza conservativa actuando sobre una part́ıcula. Seg´ un el teore-

ma trabajo-energı́a, se verica:

W =

f

i

f .dr = ∆ E c.

Además, por ser la fuerza conservativa, existe una funci´on energı́a potencial que satis-

face:

W = −∆ U.Igualando ambas ecuaciones:

W = ∆ E c = −∆ U −→ ∆( E c + U ) = 0 −→ E c + U ≡E = cte.

La suma de las energı́as cinética y potencial de la part́ıcula recibe el nombre de energı́a mec´ anica . Y la ecuacíon que acabamos de demostrar signica que si sobre una part́ıcula

sólo actúan fuerzas conservativas, la energı́a mec´anica total, E = E c + U , permanece

constante. De aqúı el nombre de fuerza conservativa .

U

x

E

x r -x r

U

E c


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Es interesante dar una interpretaci´ on geométrica a este principio. Supongamos que

una fuerza conservativa con enerǵıa potencial, U , act úa sobre la part́ıcula. Como la

energı́a mec ánica es constante, se puede representar mediante una ĺınea horizontal de

un gráco que representa las enerǵıas del sistema frente a su posici ón. En cualquier

punto, U viene dada por la curva, U = U (x), y la diferencia con E será la energı́a

cinética de la part́ıcula. Aśı por ejemplo en un estado de equilibrio, como el de la

gura, la enerǵıa potencial es cero, y por tanto, E = E c. En ese punto la velocidad

de la part́ıcula es m´axima. Aqúı se comprueba c´omo en un estado de equilibrio la

part́ıcula no tiene porqué estar en reposo. Su aceleraci´ on es nula (no hay fuerzas),

pero su velocidad no tiene porqué serlo. En los puntos de corte de E con U , E c = 0.

Se denominan puntos de retorno y en ellos cambia el módulo de la velocidad de lapart́ıcula y la enerǵıa potencial es m´ axima.

Conociendo la energı́a mec ánica y potencial de una part́ıcula, calcular su velocidad

en cualquier posición es sencillo a partir de esta expresi ón:

12

mv2 + U (x) = E −→ v = 2m

(E −U (x))1/ 2

.

4.7.1 EjemploUn esquiador inicialmente en reposo en lo alto de una pista (a una altura h respecto

a la horizontal) se dispone a iniciar un descenso. Calc´ ulese su velocidad en funci´ on de

la altura.

h y

v(y)

t=0 t


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Las fuerzas que act´ uan sobre la ni˜ na son: peso, rozamiento con el aire y el tobog´ an

y fuerza normal. Las de rozamiento no son conservativas y la normal no ejerce trabajo,

luego el ´ unico trabajo no conservativo es el asociado a las fuerzas de rozamiento:

W nc = ∆ E = ∆ E c + ∆ U

∆ E c = E cf − 0E ci = E cf = 12 mv

2f

∆ U = 0

U f −U i = −mgh= W nc = E cf −U i =

12

mv2f −mgh = −180J .

4.7.3. Principio de conservaci´ on de la enerǵıa

Macroscópicamente las fuerzas no conservativas siempre están presentes. Las m´ as

familiares son las de rozamiento, pero existen otras (como las magnéticas). Por ejemplo,

al empujar una caja sobre una supercie rugosa, podemos interpretar que la variaci´ on de

energı́a mec ánica de la caja es igual al trabajo que hacemos para vencer el rozamiento.

Pero la experiencia dice que en el proceso, la supercie de contacto se calienta. Otra

forma de interpretar este hecho es diciendo que la enerǵıa mec´anica que se pierde se

transforma en otro tipo de enerǵıa, la térmica. Este tipo de ideas surgi´ o en el s. XIX, con

el desarrollo de la Termodin ámica. Hoy en d́ıa se admite que la enerǵıa ni se crea ni se

destruye, simplemente se transforma . En Mecánica, sólo se manejan habitualmente las

energı́as cinética, potencial y mec´ anica, pero si se incluyen otras enerǵıas que provienen

de otras ramas de la F́ısica, la energı́a total siempre es constante. Otros tipos de enerǵıa

son la interna (asociada a la estructura interna de un cuerpo), la quı́mica (que se pone

en juego al producirse reacciones quı́micas), la eléctrica , la magnética , etc. La ley de

conservación de la enerǵıa no tiene demostraci ón matem ática, es un Principio y se

admite como tal. Se justica diciendo que no se ha observado nunca ninguna situaci´on

f́ısica en que no se satisfaga.


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6. Un trineo comienza a deslizarse desde el reposo en la cima de una colina siguiendo

un camino cubierto de nieve y con el perl de la gura. El tramo fq es circular

con radio R. Despreciando cualquier tipo de rozamiento:

a) Determina el m ódulo de la velocidad del trineo en f .

b) ¿Cu ál es la fuerza normal ejercida por la supercie en ese punto?

c) ¿Cuánto valen el módulo de la velocidad y la fuerza normal en el punto q ?

(Respuestas : a) vf = (4 gR)1/ 2; b) N = 5mg; c) vq = (2 gR)1/ 2 m/s; N =

2mg)

i

f

q R

R

2 R

7. Considérese un autom´ovil de masa m que se acelera hacia arriba por una pen-

diente que forma un ángulo θ con la horizontal. Supóngase que la magnitud de

la fuerza de rozamiento que se opone a su movimiento est á dada por:

f a = 218 + 0 ,7 v2 (N)

Calcúlese la potencia que debe suministrar el motor. En particular, considérese

el caso, m = 1450 kg, v = 97,2 km/h, a = 1 m/s 2 y θ = 10o.

(Respuestas : P = mav + mvg sen θ+218 v+0 ,7 v3 = 52,0+89 ,0+7 , 9+18 ,0 = 167,0

CV)

8. Un péndulo formado por una cuerda de longitud L y una part́ıcula de masa m

forma inicialmente un ángulo θ0 con la vertical. Determina la velocidad de la


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14. Dedúzcanse las ecuaciones de movimiento de una part́ıcula en una dimensi´ on

sometida a una fuerza constante a partir de la conservaci´ on de la enerǵıa.

(Respuestas : x = f 2m t2 +

2E m

1/ 2

t)

15. Un cuerpo cae a través de un uido viscoso partiendo del reposo y de una altura

y0. Calcula la velocidad con la que se disipa su enerǵıa.

(Respuestas : d(E c + U )

dt = −

(mg)2

B )

16. La gura muestra un sistema bidimensional formado por dos muelles de constan-

tes k1 y k2. Determina las componentes de la fuerza total experimentada por el

cuerpo conectado en el extremo de coordenadas ( x, y).(Respuestas : f = −[k1x + k2(x −c)] i −y(k1 + k2) j )

y

x

k 1k 2

(x,y)

(0,0) (c,0)

17. Una part́ıcula de masa m está colocada en el punto más alto de una esfera lisa

de radio a. La part́ıcula se desplaza ligeramente sobre la esfera. ¿En qué punto

se separa de ella? ¿Cuál es la velocidad en ese punto?

(Respuestas : θ = 41,8o; v =2ga

3

1/ 2

)

18. Una part́ıcula est´a sometida a una fuerza f = xy i (N). Calcula el trabajo reali-

zado por esa fuerza para desplazar la part́ıcula del punto A : (0, 3) al B : (3, 0) a

lo largo de los siguientes caminos:


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4.8. PROBLEMAS 123

1) A lo largo de la recta que une A y B .

2) A lo largo del arco de circunferencia con centro en el origen de coordenadas y

extremos A y B .(Respuestas : a) W = 4,5 J; b) W = 9 J)

19. El potencial 6 −12 de Lennard-Jones representa de forma realista la interacci´ onentre dos átomos separados una distancia r :

V LJ = 4σr

12

−σr

6,

donde r = ( x2 + y2 + z 2)12 y y σ son parámetros que dependen de las carac-

terı́sticas de los átomos. Calcula la fuerza que experimentan entre sı́ los ´ atomos.

(Respuestas : f = −24r 2

σr

6

−2σr

12r )

20. Un péndulo de longitud y masa m está conectado en su posición de equilibrio

a un muelle horizontal de constante k también en equilibrio. Se eleva el péndulo

hasta que forma un ángulo θ (muy pequeño) respecto a la vertical. ¿Cu ál será la

velocidad del péndulo cuando pase por la posici ón de equilibrio?

(Respuestas : v2

= θ2

g + km )

21. Un muelle de constante el ástica k y masa despreciable est á apoyado sobre una

supercie horizontal y mantiene su eje vertical. Sobre su extremo libre se apoya

una masa m y se comprime el muelle una longitud d, en cuyo momento se suelta.

Calcula:

a) La altura m´axima que alcanza la masa.

b) ¿A qué altura tendr´ a la masa su velocidad máxima?

c) ¿Qué valor tiene la velocidad m áxima?

(Respuestas : a) ym = kd2

2mg; ymax =

d2 −

mg2k

)

22. La función enerǵıa potencial de una part́ıcula de masa 4 kg en un campo de

fuerzas viene descrita por: E p = 3x2 −x3 para x ≤ 3 y E p = 0 para x ≥ 3 en


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donde E p se expresa en julios y x en metros. a) ¿Para que valores de x la fuerza

F x es cero? b)Hágase un esquema de E p en función de x. c) Discute la estabilidad

del equilibrio para los valores de x obtenidos en a). d) Si la enerǵıa total de la

partı́cula es 12 J, ¿cuál es su velocidad en x = 2m?

(Respuestas : a) x = 0; x = 2 m; x ≥3 m; d) v = 2 m/s)


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Caṕıtulo 5

Sistemas de part́ıculas. Momentolineal y su conservaci´ on

5.1. Introducci´ on

Hasta ahora hemos considerado la cinem ática y la din ámica de part́ıculas indivi-

duales. Nuestro objetivo ahora se centra en sistemas formados por varias part́ıculas.

Estos sistemas pueden ser continuos o discretos, dependiendo del n´umero y distancia

relativa entre las part́ıculas que los componen. Veremos c´ omo en los dos casos la dinámi-

ca del sistema se puede describir a partir de las leyes de Newton, pero introduciendo

algunos conceptos nuevos como los de centro de masas y momento lineal .

5.2. Centro de masas

5.2.1. Denici´ on

Se dene el centro de masas de un sistema discreto de partı́culas como:

r cm = 1M

n

i=1

m ir i ,

donde M es la masa total del sistema: M =n

i=1

m i . De algún modo este punto re-

presenta la posici ón en promedio de la masa del sistema. El motivo de su denici ón

lo entenderemos a posteriori , cuando demostremos que el centro de masas de un sis-

tema, se comporta en cuanto a su movimiento de traslaci´ on como si en él estuviese


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126 CAP ´ ITULO 5. SISTEMAS DE PART ´ ICULAS. MOMENTO LINEAL

concentrada toda su masa y sobre él actuasen todas las fuerzas presentes en el sistema.

5.2.1 Ejemplo

Dos masas iguales o diferentes.

m 1 m 2

m =1 m 2

x

m 1 m 2

m =1 m 2

x

x cm x cm

/

m1 = m2

xcm = 12(x1 + x2)

m1 = m2xcm =

1m1 + m2

(x1m1 + x2m2)

5.2.2 Ejemplo

Considérese la siguiente distribuci´ on de masas en un plano:

m1 = 1 kg −→ r 1 = (1 , 1) (m)m2 = 2 kg −→ r 2 = (−2, 1) (m)m3 = 3 kg −→ r 3 = (3 , −2) (m)

m 1

y (m)

x (m)

m 2

m 3

c.m.


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5.2. CENTRO DE MASAS 127

La posici´ on del centro de masas viene dada por:

r cm = 1M

3

i=1

m ir i

xcm = 1M

3

i=1

m ixi = 16

(1 −4 + 9) = 1 m

ycm = 1

6(1 + 2 −6) = −

12

m

= r cm = 1, −12

(m)

A menudo un sistema f́ısico real no est á formado por part́ıculas identicables indivi-dualmente, cuyas contribuciones puedan simplemente sumarse. Esto pasa con cualquier

objeto macroscópico, formado por moléculas, pero que observado desde una distancia

adecuada, puede considerarse como un continuo . Se dene el vector de posición del

centro de masas para un sistema continuo como:

r cm = 1M r dm,

donde dm representa un elemento innitesimal de masa localizado en la posici ón r . Un

modo alternativo de expresar r cm es introduciendo la densidad 1:

ρ(r ) = dmdV

x

y

z

dm

r

1 En sistemas bidimensionales es habitual denir la densidad supercial de masa como: σ = dm/dS ,es decir, la masa por unidad de supercie y en sistemas unidimensionales se dene la densidad lineal de masa como: λ = dm/d .


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5.2. CENTRO DE MASAS 129

5.2.2. Movimiento del centro de masas

En general, describir el movimiento de un sistema formado por varias part́ıculas

es muy complicado, ya sea el movimiento de una molécula formada por varios átomos(sistema discreto) o de un objeto macrosc´opico extenso y continuo. Veremos c ómo el

estudio del movimiento del centro de masas del objeto facilita conocer el movimiento

del sistema. Supongamos, por ejemplo, un sistema discreto:

r cm = 1M

n

i=1

m ir i −→ Mr cm =n

i=1

m ir i ,

derivando respecto al tiempo:

M dr cm

dt =

n

i=1m i

dr idt −→ Mv cm =

n

i=1m iv i ,

y derivando otra vez,

M dv cm

dt =

n

i=1

m idv idt −→ Ma cm =

n

i=1

m ia i .

Según la segunda ley de Newton, m ia i , representa la fuerza neta resultante sobre cada

part́ıcula, f i . Esta fuerza siempre se puede descomponer en una suma de las fuerzas

externas e internas al sistema:

f i = f i,int + f i,ext

Las internas se deben a las part́ıculas que forman el sistema entre śı. Obedecen el

principio de acción y reacción, por lo que al sumar sobre todas las part́ıculas, la fuerza

neta debida a interacciones internas se anula:

Ma cm =n

i=1

0

f i,int +n

i=1

f i,ext = F ext .

Es decir, que el centro de masas se mueve como si en él estuviese concentrada toda

la masa del sistema y sobre él actuasen todas las fuerzas externas presentes. Esta

ecuación de movimiento permite s ólo describir la dinámica del centro de masas del

sistema. Veremos m ás adelante c ómo podemos estudiar el movimiento general de todo

el sistema. Aunque hemos hecho la deducci ón sólo para sistemas discretos, en el caso

de sistemas continuos el resultado que se obtiene es an álogo.


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5.3. SISTEMAS DEL CENTRO DE MASAS Y DEL LABORATORIO 131

5.3.2. Conservací on del momento lineal

Hemos visto que tanto para una part́ıcula individual como para un sistema de

part́ıculas, la cantidad de movimiento s´ olo se puede alterar si existe alguna fuerzaexterna neta no nula. Dicho de otro modo,

F ext = 0 −→ d P

dt = 0 = P = cte.

Si la suma de todas las fuerzas externas es nula, la cantidad de movimiento del sistema

se conserva, es una constante del movimiento . Este principio de conservaci ón es una de

las leyes más importantes de la Mec ánica. Es más amplia que la ley de conservación

de la enerǵıa en el sentido de que la enerǵıa mec ánica sólo se conserva si todas las

interacciones son de car ácter conservativo. En cambio, la conservación del momentolineal es independiente de la naturaleza de las fuerzas que actúan sobre el sistema.

Siempre que la acción externa neta sobre él se anula, P permanece constante. Se dice

entonces que el sistema est á aislado.

Conviene además destacar que P se conserva como una magnitud vectorial, es decir,

en módulo, dirección y sentido, lo que a efectos prácticos permite plantear sistemas de

varias ecuaciones. Ejemplo t́ıpico de situaciones que se resuelven aplicando la conserva-

ción de la cantidad de movimiento son las colisiones, que estudiaremos a continuación.

5.4. Sistemas de referencia del centro de masas ydel laboratorio

En problemas de sistemas de partı́culas y, concretamente, de colisiones, es ´ util denir

un sistema de referencia alternativo al habitual, el denominado sistema del laboratorio .

Por éste se entiende un sistema de referencia (inercial) externo al sistema en estudio.

Es como si estuviésemos observando un hecho f́ısico en un laboratorio y tomásemos

como sistema de referencia el propio laboratorio.

Pero si la fuerza neta externa sobre el sistema es nula, la velocidad del centro de

masas permanece inalterada. Entonces, respecto al sistema de referencia original, el

centro de masas se desplaza con velocidad constante y se puede situar sobre él un

sistema de referencia inercial. Este sistema de referencia se denomina de centro de


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masas . Con respecto a él, la velocidad del centro de masas es nula y por lo tanto,

también lo es el momento lineal total del sistema. Veamos como ejemplo el caso de dos

part́ıculas.

Sistema de referencia del laboratorio:

v 1 v 2

m 1 m 2

vcm

c.m.

Sistema de referencia del centro de masas:

v 1 = v 1 −v cm ; v 2 = v 2 −v cmv' 1

c.m.

v' 2

m 1 m 2

v = 0cm

5.5. Colisiones

Denominaremos colisi´ on a una interacci ón entre dos o más objetos que tiene lugaren un tiempo muy corto y en una regi ón determinada del espacio. Esta interacci´ on

produce fuerzas entre los objetos que son mucho m ás importantes que el resto de las

fuerzas que puedan existir. Esto conlleva que el momento lineal total se conserve, pues

las fuerzas externas en la colisión se consideran despreciables frente a las existentes

entre las part́ıculas del sistema. En un choque dos objetos se acercan con velocidad

constante, interaccionan y se separan con velocidad otra vez constante. No estaremos

interesados en el proceso que tiene lugar en la propia colisi ón, sino en el antes y el

después , es decir, cómo obtener el estado nal de movimiento de las part́ıculas a partirdel inicial.

En cualquier tipo de colisi ón, el momento lineal total del sistema permanece cons-

tante: P =

n

i=1

pi = cte.


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5.5. COLISIONES 133

Esto se debe simplemente a que consideramos despreciable cualquier acción externa

sobre el sistema.

Tipos de colisiones:

Colisiones el´ asticas: son aquellas en que además de conservarse P , se conserva la

enerǵıa cinética total del sistema.

Colisiones inel´ asticas: son aquellas en que sólo se conserva el momento lineal

total del sistema.

Colisiones perfectamente inel´ asticas son aquellas colisiones inelásticas en que

los objetos que interaccionan permanecen unidos después del choque. Sus veloci-dades nales son iguales entre śı e igual a la del centro de masas del sistema.

Estamos considerando que justo antes y justo después de la colisión no hay fuerzas

externas sobre las part́ıculas que colisionan, es decir, no tienen enerǵıa potencial, s´ olo

cinética. Decir que en una colisi ón elástica se conserva E c es decir que durante la colisión

se conserva la energı́a mec ánica total del sistema, o sea, que la fuerza de interacción

justo en la colisión es conservativa. Si no se conserva E c es porque parte de ella se ha

convertido en trabajo no conservativo. En general, las colisiones reales son inel ásticas.La variación de enerǵıa cinética se debe a la existencia de fuerzas conservativas que,

por ejemplo, vaŕıan la forma del objeto. De este modo una parte de la enerǵıa de la

colisión se invierte en deformar el propio objeto y de ah́ı que la energı́a cinética quede

alterada en el choque.

5.5.1. Colisiones elásticas en una dimensi´ on

Consideremos dos part́ıculas que chocan según la siguiente notaci ón en el sistemade referencia del laboratorio:

vi1 vi2

m1 m2

v f 1 v f 2

colisión

x

m1 m2


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Por el principio de conservación del momento lineal (al ser un sistema en una

dimensión se expresa mediante una única ecuación):

P i = P f −→ m1vi1 + m2vi2 = m1vf 1 + m2vf 2. (5.1)Por ser el choque elástico, la enerǵıa cinética total del sistema también se conserva,

E ci = E cf −→ 1

2m1v2i1 +

12

m2v2i2 = 12

m1v2f 1 + 12

m2v2f 2. (5.2)

Sacando factor común a las masas en las dos ecuaciones:

m1(vi1 −vf 1) = m2(vi2 −vf 2)12m1(v

2i1 −v2f 1) = 12m2(v2i2 −v2f 2),y dividiendo ambas ecuaciones:

vi1 + vf 1 = vi2 + vf 2 −→ vi1 −vi2 = −(vf 1 −vf 2) −→ vf 2 −vf 1 = −(vi2 −vi1)Es decir, que la velocidad relativa (en módulo) de las part́ıculas se conserva en el

choque. Esta es una caracteŕıstica esencial de las colisiones elásticas en una dimensi ón.

Si consideramos como datos de partida del problema las masas y las velocidades

iniciales, las velocidades nales se pueden obtener considerando (5.1) y (5.2) como un

sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Se puede resolver para obtener:

vf 1 =m1 −m2m1 + m2

vi1 + 2m2

m1 + m2vi2

vf 2 = 2m1

m1 + m2vi1 +

m2 −m1m1 + m2

vi2,

Si consideramos como caso particular que la part́ıcula 2 está en reposo (o jamos sobre

ella el sistema de referencia) se verica que:

vf 1 =m1 −m2m1 + m2

vi1

vf 2 = 2m1

m1 + m2vi1,


135/370

5.5. COLISIONES 135

5.5.1 Ejemplo

m1 = m2Si el objeto 2 est´ a inicialmente en reposo:

vf 1 = 0; vf 2 = vi1.

Es decir, que si dos masas iguales chocan, estando una inicialmente en reposo, después

de la colisi´ on se mueve ésta ´ ultima con la velocidad de la incidente y ésta queda en

reposo.

Si el objeto 2 no est´ a inicialmente en reposo:

vf 1 = vi2; vf 2 = vi1.

Las masas intercambian sus velocidades en la colisi´ on.

5.5.2 Ejemplo

m1 >> m 2 y el objeto 2 est´ a inicialmente en reposo

vf 1

vi1; vf 2

2vi1.

La velocidad del objeto incidente no vaŕıa y la del menos m´ asico se hace el doble que

la de aquel.

5.5.3 Ejemplo

m2 >> m 1 y el objeto 2 est´ a inicialmente en reposo

vf 1 −vi1; vf 2 0.El objeto peque˜ no rebota hacia atr´ as y el estado de movimiento del grande permanece

inalterado.


136/370


5.5.2. Colisiones ineĺasticas en una dimensi´ on

En general, un choque inel ástico es d́ıcil de estudiar porque, como la enerǵıa cinéti-

ca no se conserva, sólo existe una ecuación (conservación escalar de P ) para obtenerlas dos velocidades nales. Por analogı́a con el caso elástico se introduce el denominado

coeciente de restituci´ on , e, que es la medida de la elasticidad de una colisión. Se dene

de forma que:

vf 2 −vf 1 = −e(vi2 −vi1)

e = 1 −→ colisión elásticae = 0

−→ vf 2 = vf 1

−→ colisión perfectamente inel ástica

En una colisión perfectamente inel´ astica las dos masas permanecen unidas tras el cho-

que. Es el caso, por ejemplo, de dos bolas de plastilina:

vi 1 vi 2

m1 m2

colisión

m + m1 2

v = f 1 v ≡ v f 2 f

Como se conserva la cantidad de movimiento:

m1vi1 + m2vi2 = ( m1 + m2)vf −→ vf = m1vi1 + m2vi2

m1 + m2.

Un ejemplo de choque inelástico es el denominado péndulo baĺıstico , que es un disposi-

tivo válido para medir la velocidad de un proyectil que se mueve a gran velocidad.

5.5.4 Ejemplo

Supongamos un proyectil disparado con velocidad desconocida, vi1 sobre un bloque de

madera que se puede elevar tal y como muestra la gura:


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5.5. COLISIONES 137

m 1

v i 1

m 2

v = 0i 2

hcolisión

Enerǵıa cinética inmediatamente después de la colisi´ on: E c = 12 (m1 + m2)v2f .

Particularizando la ecuaci´ on para vf en el caso v

i2 = 0:

vf = m1

m1 + m2vi1 −→ E c =

12

m21m1 + m2

v2i1.

Después del choque, la energı́a cinética se transformar´ a en enerǵıa potencial que eleva

el conjunto (no hay fuerzas no conservativas y la enerǵıa mec´ anica se conserva):

12

m21m1 + m2

v2i1 = ( m1 + m2)gh −→ vi1 = m1 + m2

m1 2gh.Mediante esta ecuaci´ on podemos entonces determinar la velocidad del proyectil inci-

dente sin m´ as que medir la altura que se eleva el conjunto.

5.5.3. Colisiones en tres dimensiones

Los choques en dos o tres dimensiones son de más dif́ıcil tratamiento que los unidi-

mensionales. Para su tratamiento es b´ asico considerar el carácter vectorial de P y su

conservación. Supongamos el caso más sencillo de una colisión en un plano y de tipo

elástico. En este caso tendremos dos ecuaciones de conservaci ón del momento y otra de

conservación de la enerǵıa. Y, sin embargo, habr´ a cuatro inc ógnitas, dos por cada una

de las velocidades nales. Es decir, que el problema no se puede resolver completamente

si sólo conocemos las velocidades iniciales. Hace falta obtener información adicional.

Consideremos como ejemplo un choque en un plano de una part́ıcula m1 de veloci-

dad inicial v i1 con otra m2 inicialmente en reposo.


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vi1

v = 0i2

m1

m2

v f 1

v f 2

b

y

xm1

m2

θ 1

θ 2

θ 1

θ 2

colisión

Conservaci ón de la cantidad de movimiento: P i = P f .

eje x : m1vi1 = m1vf 1 cosθ1 + m2vf 2 cosθ2

eje y : 0 = m1vf 1 sen θ1 −m2vf 2 sen θ2

Conservaci ón de la energı́a cinética:

12m1v2i1 = 12m1v

2f 1 + 12m2v2f 2.

datos −→ m1, m2, vi1ecuaciones −→ 3incógnitas −→ vf 1, vf 2, θ1, θ2

Generalmente lo que se hace a nivel experimental es determinar la direcci´on de salida al

menos de una part́ıcula, con lo que las velocidades nales se pueden calcular resolviendo

el sistema correspondiente. Los estudios de este tipo son fundamentales en la F́ısica

actual, pues permiten obtener informaci´ on sobre las interacciones entre part́ıculas. Esto

es lo que se hace, por ejemplo, en los aceleradores de part́ıculas .

Aunque hemos visto como ejemplo el caso bidimensional, el tridimensional es an álo-

go tanto en su planteamiento como en la dicultad de su resoluci´on. Simplemente

aparece un n úmero mayor de datos, ecuaciones e inc ógnitas.


139/370

5.6. IMPULSO Y FUERZA MEDIA 139

5.6. Impulso y fuerza media

En nuestro estudio sobre los choques no hemos comentado nada acerca de la in-

teracci ón entre las part́ıculas en el momento de la colisión. Sólo hemos supuesto queesta fuerza de interacci ón es muy intensa en comparaci ón con otras posibles y que

su duraci ón es muy corta. Si representamos esta interacci´ on en función del tiempo

obtendrı́amos una gráca ası́:

0 2 4 6 8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f

t t i t f

Antes de ti y después de tf no existe interacci ón y ∆ t = tf

−t i es el tiempo de

contacto, que puede ser del orden de 10 − 3 s para colisiones de objetos macroscópicos.

Se dene el impulso como:

I = tf t i f (t) dtGeométricamente representa el ´ area bajo la curva f = f (t). Como según la segunda

ley de Newton f = d p/dt se tiene que:

I =

tf

t if (t) dt =

tf

t i

dpdt

dt =

tf

t idp = pf − pi = ∆ p

Es decir, que el impulso representa la variación del momento lineal de un objeto durante

el choque. Evidentemente, el momento lineal de cada objeto en la interacci´ on vaŕıa

aunque el total se mantenga constante porque despreciamos las fuerzas externas.

Se dene el promedio temporal o fuerza media de una fuerza, f m como la fuerza

constante que produce el mismo impulso en el mismo intervalo de tiempo.


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0 2 4 6 8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f

t t i t f

f m

A1

A2

A1 = A2

→ f m ∆ t = A1 = I

−→ f m =

I

∆ tEste concepto es importante a la hora de estimar el orden de magnitud de la interacci´ on.

5.6.1 Ejemplo

Est́ımese la fuerza media ejercida por el cintur´ on de seguridad de un autom´ ovil sobre

un conductor de 80 kg cuando choca contra un obst´ aculo jo a una velocidad de 90

km/h.

El coche comienza a decelerar cuando su parachoques toca el obst´ aculo. Si se deforma

1 m, éste ser ́a el espacio recorrido por el conductor hasta que esté parado. Si suponemos que la velocidad media durante la colisi´ on es la mitad de la velocidad inicial:

v̄ = 90

2 km/h = 12,5 m/s

∆ t = sv̄

= 112,5

= 0,08 s

Aceleraci´ on media:

am = ∆ v∆ t

= 250,08

= 312 m/s 2

Esta aceleraci´ on es aproximadamente 32 veces g, y la fuerza media es f m = mam =25000 N. Esta es la fuerza que sujeta al conductor durante la colisi´ on. Si el conductor

no llevase cintuŕ on de seguridad, la distancia de frenado seŕıa mucho menor, el tiempo

también y la aceleraci´ on y la fuerza media serı́an mucho mayores.


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143/370

5.7. PROBLEMAS 143

(Respuestas : vf = 4,7 m/s; θ = 45o; ∆ E c = −208,3 J)10. Un observador mide la velocidad de dos part́ıculas de masas m1 y m2 y obtiene

respectivamente los valores v 1 y v 2. Determina la velocidad del centro de masasrelativo a dicho observador y la velocidad de cada part́ıcula relativa al centro de

masas.

(Respuestas : v cm = m1v 1 + m2v 2

m1 + m2; v 1 =

m2m1 + m2

v 12; v 2 = − m1

m1 + m2v 12 )

11. Una part́ıcula α choca contra un n úcleo de O2 inicialmente en reposo. La part́ıcula

se desv́ıa en una direcci ón que forma un ángulo de 72o con la dirección del mo-

vimiento inicial y el núcleo de O2 se desv́ıa formando un ángulo de 41o hacia el

lado opuesto de la part́ıcula α. ¿Cuál es la razón entre las velocidades nales delas dos part́ıculas? ¿Y entre las dos velocidades de la part́ıula α? (La masa del

núcleo de O2 es cuatro veces mayor que la de la part́ıcula α .)

(Respuestas : vfαvfo

= 2 ,76; vfα

viα= 0 ,71)

12. Un individuo de 80 kg se encuentra en el extremo de una tabla de 20 kg de masa

y 10 m de longitud que ota en reposo sobre la supercie de agua de un estanque.

Si el hombre se desplaza al otro extremo, a) ¿qué distancia recorre la tabla? b)

¿Qué distancia recorreŕıa la tabla si el hombre se encontrara inicialmente en elcentro de la misma? (Considera despreciable el rozamiento con el agua).

(Respuestas : a) x = 8 m; b) x = 4 m)

13. Se dispara un proyectil con una velocidad de 200 y un ángulo de elevación de

π/ 3 (rad ). Cuando se encuentra en el punto m´as alto de su trayectoria explota

dividiendose en dos fragmentos iguales, uno de los cuales cae verticalmente. ¿A

qué distancia del punto de lanzamiento caer´ a el segundo fragmento?

(Respuestas : x2 = 5160 m)

14. Una bala de masa m se introduce en un bloque de madera de masa M que

está unido a un resorte espiral de constante de recuperaci´on k. Por el impacto el

resorte se comprime una longitud x. Sabiendo que el coeciente de rozamiento

entre el bloque y el suelo es µ, calcula la velocidad de la bala antes del choque.


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(Respuestas : v2i = 2(m + M )x

m2kx2

+ µ(m + M )g )

15. Demuestra que cuando un cuerpo colisiona oblicuamente con otro de masa muchomayor e inicialmente en reposo, si el choque es perfectamente el ástico, el ángulo

de incidencia coincide con el de reexión.

16. Desde la azotea de un edicio de 64 m de altura dejamos caer una pelota. Si el

coeciente de restituci ón de los botes de la pelota en el suelo es e = 1/ 2, averigua

la altura que asciende sobre el suelo después de botar tres veces.

(Respuestas : h3 = 1 m)

17. Estima la fuerza media ejercida por el cintur´on de seguridad de un autom óvil

sobre un conductor de 80 kg cuando choca contra un obst´aculo jo a una velocidad

de 90 km/h.

(Respuestas : f̄ = 25 kN)

18. Un soldado dispara un rie con una masa mr = 3 kg. Si la bala pesa mb = 5 gy la velocidad con la que sale del rie es vb = 300 m/s, ¿cu ál es la velocidad de

retroceso del rie?

(Respuestas : v3 = 0,02 m/s)

19. Siguiendo el esquema de la gura, se suelta un péndulo de longitud l = 120 cm y

de masa m = 100 g desde una posición inicial que forma un ángulo θi = 37o con

la vertical. Después de la colisi ón con la masa M = 300 g, el péndulo rebota hastauna posición θf = 20o y la masa M se desliza por la supercie hasta detenerse.

Si el coeciente de fricción de la supercie con la masa M vale µc = 0,2, calcula

la distancia que recorre M hasta detenerse.

(Respuestas : d = 0,32 m)


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Caṕıtulo 6

Dinámica de la rotaci´ on

6.1. Cuerpo ŕıgido, traslaci´ on y rotaciónEn los temas anteriores hemos estudiado únicamente movimientos de traslaci´ on

para part́ıculas y sistemas de part́ıculas. Hemos denido el centro de masas como

aquel punto que se comporta como si todas las fuerzas que actúan sobre el sistema se

concentraran en él. El movimiento de un cuerpo extenso se puede describir en términos

del movimiento traslacional de su centro de masas y del movimiento de los puntos del

sistema respecto al centro de masas (por ejemplo, respecto a un eje que pasa por él).

Para completar, por lo tanto, el estudio del movimiento de un cuerpo extenso nos faltaestudiar esta última parte. Veremos que el estudio de este tipo de movimiento rotacional

es análogo al traslacional, pero introduciendo nuevas magnitudes fı́sicas que siempre

tienen su equivalente lineal . Por ejemplo, si la ecuación de movimiento del centro de

masas de un cuerpo relaciona aceleraci ón con fuerzas externas, la de la rotaci ón, como

veremos, relaciona otro tipo de aceleraci ón (angular ) con el momento de las fuerzas

aplicadas.

La principal hip ótesis simplicadora en el estudio de movimientos rotacionales suele

ser la consideración del objeto a estudiar como un cuerpo ŕıgido . Éste es aquel sistema

en que la distancia entre dos puntos cualquiera no vaŕıa con el tiempo. Es un sistema

que no se deforma. Consideraremos que un cuerpo ŕıgido describe un movimiento de

rotaci´ on cuando cada una de sus part́ıculas (salvo las que están sobre el eje) realiza un

movimiento circular.


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6.3. C ´ ALCULO DE MOMENTOS DE INERCIA 149

Si denominamos I a la magnitudi

m ir 2i , obtenemos una ecuaci ón para la energı́a

cinética de la rotaci´ on similar a la de la traslaci ón:

E c = 12Iω2.

La magnitud I se denomina momento de inercia del sistema y como iremos compro-

bando en este tema constituye de alg´un modo, la magnitud equivalente en din´amica

de la rotaci ón a la masa en dinámica de la traslaci ón. Sus dimensiones y sus unidades

en el Sistema Internacional son:

[I ] = ML2

S.I.

→ kg m2

Conviene resaltar que en esta denici ón, las distancias que aparecen son las distan-

cias de cada masa del sistema al eje de giro (¡no al origen de coordenadas!), luego el

momento de inercia depende del eje de giro elegido. No es una propiedad inherente al

sistema, sino que también depende de cu´ al es el eje de giro.

6.3. Cálculo de momentos de inercia

6.3.1. Sistemas discretos

6.3.1 Ejemplo

Considérese la molécula de O 2. Si la distancia media entre sus ´ atomos es de 1,21 Åy

la masa de cada ´ atomo es 2,77 ×10− 26 kg, calc´ ulese su momento de inercia alrededor de un eje que pasa por el centro de masas (considerando que los ´ atomos son masas

puntuales).

d

O O

z

m m


150/370

150 CAP ´ ITULO 6. DIN ´ AMICA DE LA ROTACI ´ ON

I =2

i=1

m ir 2i = 2md2

2

= 1 ,95 ×10− 46 k g m2.

6.3.2 Ejemplo

Calc´ ulese el momento de inercia de la siguiente distribuci´ on de 8 masas idénticas res-

pecto a los dos ejes que se muestran en la gura:

z

m

a

z

r

a

a

z

z

a) Un eje que pasa por el centro de masas de la distribuci´ on.

b) Un eje que pasa por dos masas en el mismo lado.


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6.3.3 Ejemplo

Calc´ ulese el momento de inercia de un anillo de masa M y radio R respecto a un eje

perpendicular al plano que lo contiene y que pasa por su centro.

z

x

dm

R

I = r2dm = R2 dm = M R2.En este caso, el momento de inercia es independiente de que el anillo sea homogéneo

o no (cosa que no ocurre, por ejemplo, cuando se calcula su centro de masas).

6.3.4 EjemploMomento de inercia de un disco uniforme de masa M y radio R respecto a un eje

perpendicular al plano que lo contiene y pasa por su centro.

y

z

x Rr

dm


153/370


Tomamos como elemento de masa dm un anillo situado entre r y r + dr . Su ´ area

ser´ a ds = 2πrdr .

dm = σds = M πR 2 2 πrdr

I = r2dm = 2 M R2 R0 r 3dr = 2 MR 44R2 = 12MR 2.Este momento de inercia se puede aplicar a calcular el de un cilindro uniforme respecto

a su eje de simetŕıa, sin m´ as que considerarlo como una superposici´ on de discos de

radios idénticos

I = dI = 12R2dm = 12MR 2.

dI

R

dm

6.3.5 Ejemplo

Momento de inercia de una esfera uniforme respecto a un eje que pasa por su centro

en funci´ on de su masa M y de su radio R.


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I=MR2 I= MR

22 _ 3

I= M (R +R )2

2_1

122

I= ML 2_31 I= ML 2_

121

I= M (a +b )212_1 2

Aro cilíndrico Cilindro hueco Cascarón esférico

Placa rectangular Varilla

R

R 1

R 2 R

a

b

L

L

6.3.3. Teorema de los ejes paralelos (Steiner)

Como hemos visto, el momento de inercia de un cuerpo no es único, sino que de-

pende del eje respecto al que se calcula. Esto hace muchas veces su cálculo complicado.

Se ha de recurrir entonces a expresiones generales que relacionen el momento de iner-

cia respecto a dos ejes diferentes. Uno de los teoremas al respecto m ás prácticos es el

denominado de Steiner o de los ejes paralelos . Relaciona el momento de inercia res-

pecto a un eje que pasa por el centro de masas con el relativo a un eje paralelo. La


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demostraci ón es sencilla a partir de la gura adjunta.

z

y

x

dm

c.m.

x

y

x cm

ycmd

y'

rr '

O

x'

r : (x, y) −→ coordenadas de dm respecto a O r : (x , y ) −→ coordenadas de dm respecto al c.m. d : (xcm , ycm ) −→ coordenadas del c.m. respecto a OVectorialmente, r = d + r y en coordenadas, (x, y) = ( xcm , ycm ) + ( x , y ). Respecto a

z :

I = r2 dm = (x

2 + y2) dm = (x + xcm )2 + ( y + ycm )2 dm =

= (x 2 + y 2) dm = I cm

+ 2 xcm x dm = Mx cm =0

+ 2 ycm y dm = My cm =0

+ (x2cm + y2cm ) dm =( x 2cm + y2cm ) dm = d2 M donde d es la distancia entre los ejes. En denitiva:

I = I cm + d2M.

6.3.7 Ejemplo

Como ejercicio es f´ acil obtener la relaci´ on entre el momento de inercia de una varilla

respecto a un eje perpendicular que pasa por su centro de masas, I cm = (1 / 12)ML 2, y

a un eje perpendicular que pasar por uno de sus extremos, I cm = (1 / 3)ML2.


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6.3.4. Teorema de los ejes perpendiculares

Este teorema s ólo es válido para guras planas. Relaciona los momentos de inercia

respecto a dos ejes perpendiculares contenidos en una gura plana con el momento deinercia respecto a un tercer eje perpendicular a los dos anteriores.

z

y

x

x

y

dm

r

I z = r2 dm = (x2 + y2) dm = x2 dm + y2 dm = I z = I x + I y.6.3.8 Ejemplo

Calcularemos el momento de inercia de un anillo respecto a un eje que contiene a unode sus di´ ametros.

Consideremos que el anillo est´ a situado en el plano X Y y el origen de coordenadas

en el centro del anillo. Por lo tanto el eje Z es perpendicular al plano del anillo y pasa

por su centro. Ya hemos obtenido anteriormente que I z = mr 2.

Por simetrı́a, I y = I x −→ I x = I x + I y = 2I x −→ I x = 12

mr 2 = I y.

6.4. Momento angular

El análogo rotacional del momento lineal o cantidad de movimiento de una partı́cula

es una nueva magnitud f́ısica denominada momento angular . Se dene el momento


159/370

6.4. MOMENTO ANGULAR 159

angular de una part́ıcula en un instante determinado y respecto a un cierto origen de

coordenadas O como: = r

× p,

donde r es el vector de posición de la part́ıcula respecto a ese origen y p es su momento

lineal en ese instante. Con esta denici ón vemos que es una magnitud vectorial,

perpendicular tanto a r como a p.

Dimensiones: [ ] = LMLT − 1 = M L2T − 1; Unidades S.I.: kg.m2/ s.

Conviene recalcar que la denici ón de esta nueva magnitud depende del origen de

coordenadas elegido, por lo que siempre que se hable de momento angular debe quedar

claro a que sistema de coordenadas nos referimos.

6.4.1 Ejemplo

Part́ıcula describiendo una circunferencia.

z

O

ω

l

r

p

= k −→ = rmv senπ2

= rmv = r 2mω.

Si ω es constante, también lo es.


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6.4.2 Ejemplo

Part́ıcula movíendose en ĺınea recta.

y

z

x

r

l

r

p

θ

O

= − j −→ = rmv sen θ = mvr .´ Unicamente si el origen est´ a en la trayectoria de la part́ıcula, valdr´ a cero. Si la

velocidad es constante, ser´ a constante, pero si la part́ıcula est´ a acelerada, vaŕıa en

el tiempo.

6.5. Segunda Ley de Newton para la rotaci´ on

6.5.1. Part́ıcula ´ unica

En el caso del movimiento de traslaci ón, comprobamos cómo la derivada temporal

del momento lineal est á relacionada con las fuerzas exteriores que act úan sobre cierta

part́ıcula. De hecho, esta es una expresión alternativa de la ecuación newtoniana del

movimiento de la part́ıcula. Veremos a continuaci´ on qué informaci ón está contenida en

la derivada del momento angular. Consideremos una única partı́cula:

d

dt =

d(r × p)dt

=

0drdt × p +r ×

d pdt

= r × d pdt

d pdt

= f = d

dt = r × f = τ .


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162/370


La relací on matem´ atica rigurosa entre ambas magnitudes la obtenemos a partir del

concepto de momento angular.

Como en la obtención de esta segunda ley para la rotaci ón, hemos aplicado la

correspondiente a la traslaci´on, que sólo es válida en sistemas de referencia inerciales ,

el resultado obtenido es también ´unicamente v álido en estos sistemas de referencia. Esta

ley constituye la analoǵıa rotacional de la segunda ley de Newton que ya conoćıamos

para la traslaci ón.

6.5.2. Sistemas de part́ıculas

Se dene el momento angular total de un sistema de part́ıculas como la suma de

los momentos individuales de cada una:

L =n

i=1

i

d Ldt

=n

i=1

d idt

=n

i=1

r i × f i = τ t ,donde τ t representa el momento de fuerzas total sobre el sistema, que se puede des-

componer en un momento asociado a fuerzas internas al sistema y otro a externas.

τ t = τ int + τ ext .

Es fácil darse cuenta de que τ int = 0. Por ejemplo, para un sistema de dos part́ıculas:

r

f ij

r j

r i

f ji

θi θ j

i

j

O


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6.5. SEGUNDA LEY DE NEWTON PARA LA ROTACI ´ ON 163

−

f ij = f ji −→ f ij = f ji

Si el eje perpendicular al papel es el z :

τ int = r if ij sen θi k −r j f ij sen θ j k = f ij (r i sen θi −r j sen θ j ) k = f ij (r −r ) k = 0

La demostraci ón para un n úmero arbitrario de part́ıculas ser´ a análoga. Por lo tanto,

queda demostrado que:

d Ldt

= τ ext

Esta es la expresi ón de la segunda ley de Newton para la rotaci ón aplicada a un sistema

de partı́culas.

No lo demostraremos aqúı, pero esta ecuaci´on no sólo es válida en cualquier sistema

de referencia inercial, sino que también lo es siempre respecto al sistema de referencia

de centro de masas del sistema, aunque esté acelerado. Es por esto que siempre se puede

descomponer el movimiento de un cuerpo extenso en traslaci´ on del centro de masas y

rotaci´ on respecto a él . En el primer caso se elige un sistema de referencia inercial y

se aplica la segunda ley de Newton respecto a él. Para la rotaci´on se considera como

sistema de referencia el centro de masas y se aplica la segunda ley de Newton para larotaci ón respecto a él.

Trataremos ahora de expresar la segunda ley de Newton para la rotaci´ on de modo

análogo a la ecuación, f = ma . Consideremos un sólido ŕıgido rotando alrededor del

eje z y tomemos como origen un punto cualquiera del eje.


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i

z

x

y

ω

O

R i r i

pi

z

plano xy

i

r i

R il iθ i

θ i

liz

i = r i pi senπ2

= r im ivi = r iR im iω

Componente z de li :

iz = r iR im iω sen θi y como: r i sen θi = R i = iz = R2i m iω.

Sumando para todas las part́ıculas que forman el objeto:

Lz =n

i=1

iz = n

i=1

m iR2i ω = Iω.

Luego para todo s ólido ŕıgido, la componente sobre el eje de rotaci ón del momento

angular verica una ecuaci ón similar a p = mv. Aunque no lo demostraremos, se puede

comprobar que para cualquier s´olido ŕıgido con simetŕıa axial :

L = I ω,

es decir, que L está dirigido en la dirección de ω. Pero esto no es cierto para cualquier

sólido ŕıgido.

En resumen,

Para un s ólido ŕıgido (I = cte.) cualquiera:

dLzdt

= I dωdt

= Iα −→ τ z = Iαdonde τ z es la componente z de τ ext .


165/370

6.6. CONSERVACI ´ ON DEL MOMENTO ANGULAR Y SUS APLICACIONES 165

Si además de ser ŕıgido tiene simetrı́a de revoluci´on:

d Ldt

= I d ωdt

= I α −→ τ ext = I α

Estas expresiones constituyen la analoǵıa rotacional de d pdt

= ma para la segunda ley

de Newton en movimientos lineales. De otro modo: d Ldt

= τ ext = I α.

6.6. Conservaci´ on del momento angular y sus apli-caciones

Hasta aqúı hemos introducido dos principios de conservaci´ on básicos en Mecánica

Clásica, el de conservación de la energı́a y el de conservación del momento lineal de

un s

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