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Geometría

Triángulos

2015-10-02

www.njctl.org

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Tabla de Contenidos

· PARCC Preguntas de Muestra y Aplicaciones

· Triángulos

· Triángulos semejantes

Click sobre el tema para ir a la sección

· Teorema de la Suma de Triángulos· Teorema de los Ángulos Exteriores

· Inecuaciones en Triángulos

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A lo largo de esta unidad, se usan los Estándar para Práctica de Matemática.

MP1: Darle sentido a los problemas y perseverar en resolverlos.MP2: Razonamiento abstracto y cuantitativo.MP3: Construir argumentos viables y ser crítico con el razonamiento de los otros. MP4: Modelar con matemática.MP5: Usar estratégicamente las herramientas apropiadas .MP6: Ser preciso.MP7: Buscar y hacer uso de la estructuraMP8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos.

En las diapositivas se incluyen preguntas adicionales usando las tablas de arrastre "Práctica de Matemática" (como ejemplo se muestra una en blanco a la derecha en esta diapositiva) con una referencia a los estándares usados.

Si ya hay preguntas en una diapositiva, en la tabla de arrastre se enumeran los estándares específicos a los que la pregunta dirige.

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Volver a la tabla de contenidos

Triángulos

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Figuras Geométricas

Euclides hizo ahora la transición a figura geométrica, como la que está formada por un límite que separa el espacio que está dentro de la figura del que no lo está.

Definición 13. Un límite es aquello que está en el extremo de alguna cosa

Definición 14. Una figura es aquella contenida por cualquier límtes o límite.

http://www.njctl.org

http://www.njctl.org

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Sus definiciones 15 de 18 relacionadas a círculos, se discutirán más tarde. En este capítulo, discutiremos los triángulos que son un ejemplo de figuras rectilíneas: una figura limitada por líneas rectas.

Un triángulo está limitado por tres líneas.

Definición 19. Las figuras rectilíneas son aquellas contenidas por líneas rectas, siendo figuras trilaterales aquellas contenidas por tres, cuadriláteros aquellas contenidas por cuatro y multilaterales aquellas contenidas por más de cuatro líneas rectas.

Figuras Geométricas

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Partes de un triánguloCada triángulo tiene tres lados y tres vértices. Cada vértice es donde se encuentran los lados

Un par de lados y el vértice definen un ángulo, de modo que cada triángulo incluye tres ángulos.

Escribe "lado" junto a cada lado y marca con círculo los vértices sobre el triángulo de abajo.

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1 La letra sobre este triángulo que corresponde al lado es:

A

B

C

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2 La letra sobre este triángulo que representa al vértice es:

AB

C Res

pues

ta

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Partes de un triángulo

C

A B

Cada vértice se nombra con una letra.

Los lados pueden ser nombrados con las letras de los dos vértices o con la de el lado.

El triángulo es nombrado con un triángulo de símbolo adelante, seguido de las tres letras de los vértices.

Nombra los tres lados de este triángulo

______ ______ ______

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3 ¿Cuál es el nombre del lado mostrado en rojo?

A ABB BCC AC

C

A B

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4 ¿Cuál es el nombre del lado mostrado en rojo?

A AB

B BC

C AC

C

A B

Res

pues

ta

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5 ¿Cuál es el nombre de este triángulo?

A ΔABCB ΔBCAC ΔACB

C

A B

D ΔCABE todos

Res

pues

ta

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Partes de un triángulo

C

A B

Arriba el lado rojo es ________________ A,

mientras que los lados verdes son ________________ a A.

Un lado está opuesto al ángulo si éste no lo toca. De otra manera, es adyacente al ángulo..

Res

pues

ta

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6 ¿Qué lado está opuesto al ángulo B?

A AB

B CA

C BC

D Ninguno

C

A B

Res

pues

ta

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7 ¿Qué lado está opuesto al ángulo A?

A AB B CA

C BC D Ninguno

C

A B

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8 ¿Qué lados son adyacentes al ángulo C?

A AB & BC

B CA & BA

C BC & CAD Ninguno

C

A B

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9 ¿Qué lados son adyacentes al ángulo B?

A AB & BCB CA & BA C BC & CAD Ninguno

C

A B

Res

pues

ta

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Tipos de triángulos

En general un triángulo puede tener lados de diferentes longitudes y ángulos de diferentes medidas.

Sin embargo, hay nombres dados para triángulos que tienen ángulos especiales o algunos lados o ángulos iguales.

Euclides definió los nombres para un número de esos en sus definiciones.

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Definición 20: De figuras trilaterales, un triángulo equilátero es aquel que tiene sus tres lados iguales, un triángulo isosceles es aquel que tiene dos lados iguales y un triángulo escaleno tiene sus tres lados desiguales.

Clasificando triángulos

Los Triángulos pueden ser clasificados por sus lados o por sus ángulos.

En su definición, Euclides usó los lados.

En su siguiente definición, Euclides usó los ángulos.

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Definición 21: Más allá de las figuras trilaterales, un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto, un triángulo obtusángulo es que tiene un ángulo obtuso y un triángulo acutángulo es el que

tiene sus tres ángulos agudos. .

Trabajaremos con ambas definiciones, ya que en muchos casos ambas aplican a los mismos triángulos.


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Triángulos agudos

En un triángulo acutángulos cada uno de sus ángulos es agudo.

Observa que en este triángulo no hay ángulos iguales o mayores a 90º .

Definición 21: "...un triángulo acutángulo es que tiene sus tres ángulos agudos."


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Triángulos rectángulos

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto y dos ángulos agudos.

Observa que sólo un ángulo tiene 90º, lo que significa que los otros dos suman 90º; y por lo tanto son agudos.

Al lado opuesto al ángulo recto se lo llama hipotenusa y a los otros dos lados se los llama catetos.

Definición 21: "...un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto..."


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Triángulo Isósceles

Un triángulo isósceles tiene dos lados de igual longitud.

Los ángulos opuestos a aquel formado por dos lados iguales son de la misma medida.

x x

Definición 20: "...Un triángulo isósceles es aquel que tiene dos de sus lados de igual longitud..."


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Triángulo Isósceles

A los ángulos iguales de medida x en el diagrama se los llama ángulos de la base. Al lado que está entre ellos se lo llama base.

A los otros dos lados, opuestos a los ángulos de la base y congruentes entre sí se los llama catetos.

Es un caso especial de triángulo acutángulo.

x x


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Triángulo obtusángulo

Un triángulo obtusángulo tiene un ángulo que es mayor que 90º y dos ángulos agudos.

Observa que un ángulo es mayor que 90º, lo que significa que la suma de los otros dos es menor que 90º; y que son agudos..

Definición 21: "...un triángulo obtusángulo es el que tiene un ángulo obtuso..."


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Equiangular / Triángulo equilátero

Un triángulo equiangular o equilátero tiene los tres ángulos de igual medida y los lados de igual longitud.

Definición 20: "...un triángulo equilátero es el que tiene sus tres lados iguales..."

Todos los lados tienen la misma medida y todos los lados son de igual longitud.

Cada ángulo mide 60º.

Es un triángulo agudo especial.x x

x


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Triángulo Escaleno

Ninguno de los lados o ángulos de un triángulo escaleno son congruentes entre sí.

Definición 20: "...un triángulo escaleno es que que tiene sus tres lados desiguales..."

Observa que en este triángulo ninguno de sus lados o ángulos son iguales.


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10 Un triángulo isósceles es _______________ un triángulo equilátero

A Algunas vecesB SiempreC Nunca

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11 Un triángulo obtusángulo es _______________ triángulo isósceles.

A Algunas vecesB SiempreC Nunca R

espu

esta

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12 Un triángulo puede tener más de un ángulo obtuso.

Verdadero

Falso

Res

pues

ta

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13 Un triángulo puede tener más de un ángulo recto.

TrueFalse

Res

pues

ta

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14 En un triángulo equilátero cada ángulo mide 60°

Verdadero

Falso Res

pues

ta

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15 Un triángulo equilátero también es un triángulo isósceles

Verdadero

Falso Res

pues

ta

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16 Este triángulo es clasificado como _____. (Marca todo lo que aplica)

A agudo

B recto

C isósceles

D obtuso

E equilátero

F equiangular

G escaleno

60º8.6

60º

60º8.68.6

Res

pues

ta

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17 Este triángulo es clasificado como _____. (Marca todo lo que aplica)

A agudo

B recto

C isósceles

D obtuso

E equilátero

F equiangular

G escaleno

57º

79º 44º

6.1 8.7

7.4

Res

pues

ta

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18 Este triángulo es clasificado como _____. (Marca todo lo que aplica.)

A agudo

B recto

C isósceles

D obtuso

E equilátero

F equiangular

G escaleno

26°

128° 26°

2.5

2.5

4.5

Res

pues

ta

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19 Este triángulo es clasificado como _____. Marca todo lo que aplica.

A agudo

B recto

C isósceles

D obtuso

E equilátero

F equiangular

G escaleno

4.8 4.8

45° 45°

6.8

Res

pues

ta

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Mide y clasifica el triángulo por sus lados y ángulosEjemplo

isósceles, agudoClick para la respuesta

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escaleno, obtusoClick para la respuesta

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escaleno, agudoClick para la respuesta

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20 Clasifica el triángulo a partir de la información dada: Longitud de los lados: 3 cm, 4 cm, 5 cm

A EquiláteroB IsóscelesC Escaleno

D AgudoE EquiangularF RectoG Obtuso R

espu

esta

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21 Clasifica el triángulo a partir de la información dada: Longitudes de lado: 3 cm, 2 cm, 3 cm


D Agudo

E Equiangular

F Recto

G Obtuso

Res

pues

ta

Slide 45 / 224

22 Clasifica el triángulo a partir de la información dada: Longitudes del lado: 5 cm, 5 cm, 5 cm


D AgudoE EquiangularF RectoG Obtuso

Res

pues

ta

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23 Clasifica el triángulo a partir de la información dada: Medidas de los ángulos: 25°, 120°, 35°



Res

pues

ta

Slide 47 / 224

24 Clasifica el triángulo a partir de la información dada: Medidas de los ángulos: 30°, 60°, 90°



Res

pues

ta

Slide 48 / 224

25 Clasifica el triángulo a partir de la información dada: Longitud de los lados: 3 cm, 4 cm, 5 cmMedidas de los ángulos: 37°, 53°, 90°



Res

pues

ta

/ 224

26 Clasifica el triángulo a partir de sus lados y ángulos

A EquiláteroB IsóscelesC EscalenoD AgudoE EquiangularF RectoG Obtuso

AB

120°

C

Res

pues

ta

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L

MN



Res

pues

ta

Slide 51 / 224

H

J

K45°

85°

50°



Res

pues

ta

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Teorema de la Suma de

Triángulos


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Teorema de la Suma de Triángulos

A

B C

Podemos usar lo que aprendimos sobre las rectas paralelas para determinar la suma de las medidas de los ángulos de cualquier triángulo.

Primero, vamos a trazar dos rectas paralelas. La primera entre la base del triángulo y la otra pasando por el vértice opuesto.

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Y extender AB para hacerla transversal.

Luego, vamos a nombrar algunos de los ángulos.

A

B C

x

x

y

y


page2svg

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29 ¿Cuál es el nombre para el par de ángulos nombrado como x y qué relación hay entre ellos?

A exteriores de afuera, son desigualesB interiores alternos, son desigualesC interiores alternos, son igualesD exteriores de afuera, son iguales

¿Esto es igual para el par de ángulos nombrados como y?

Res

pues

ta

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A

B C

Por lo tanto, ambos ángulos etiquetados como x son iguales y los dos pueden ser llamados x y tienen igual medida que B.

x

x

Repite el mismo proceso con el lado AC y calcula el ángulo a lo largo de la paralela de arriba que es igual al ángulo C.


Slide 57 / 224

A

B C

x

x

y

y

Vamos a volver a nombrar a los ángulos con A, B y C.


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A

B C

La suma de aquellos ángulos a lo largo de la recta paralela superior es igual a 180º, de modo que A + B + C = 180º

B C

No hacemos suposiciones especiales sobre este triángulo, de manera que esta demostración aplica a todos los triángulos: la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º.


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La medida de los ángulos interiores de un triángulo suman 180°

Click aquí para ir al laboratorio llamando "Teorema de la suma de Triángulos".

A

B C


Prác

tica

de M

atem

átic

a

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Ejemplo: Teorema de la Suma de Triángulos

32º

J

K L 20º

Calcula la medida del ángulo que falta.

Res

pues

ta

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30 ¿Cuál es la m∠B?

A B

C

52°

53°

Res

pues

ta

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31 ¿Cuál es la medida del ángulo que falta?

57°L

M

N

Res

pues

ta

Slide 63 / 224

32 En ΔABC, si m∠ B es 84° y m∠ C es 36°, ¿cuál es la m∠ A?

Res

pues

ta

Slide 64 / 224

33 En el ΔDEF, si m∠ D es 63° y la m∠ E es 12°, calcula la m∠ F.

Res

pues

ta

Slide 65 / 224

Resuelve para x

55°

(12x+8)°

(8x-3)°P

Q

R

Ejemplo

Res

pues

ta

Slide 66 / 224

Q

R

S2x° 5x°

8x°34 Resuelve para x.

Entonces calcula: m∠ Q =

m∠ R =

m∠ S =

Res

pues

ta

/ 224

35 ¿Cuál es la medida de ∠ B?

C

B

A

(3x-17)0

(x+40)0 (2x-5)0

Res

pues

ta

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Corolario para el Teorema de la Suma de Triángulos

Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios.

A

B

C

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Dado: Triángulo ABC es un triángulo rectángulo

Demostración: sus ángulos agudos, ángulos B y C, son complementarios

A

B

C

Demostración del Corolario del Teorema de la Suma de Triángulos

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36 ¿Qué razón aplica al paso 1?A Propiedad de Sustracción de la IgualdadB Propiedad de Sustitución de la IgualdadC DadoD Definición de Triángulo Rectángulo E Definición de un ángulo recto

A

B

C

Afirmación Razón

1 E triángulo ABC es un triángulo rectángulo ?

2 Los Triángulos Rectángulos contienen un ángulo recto. ?

3 ?Teorema de los ángulos

interiores4 m∠ A = 90º ?

5 90º + m∠ B + m∠ C = 180º ?

6 m∠ B + m∠ C = 90º ?

7 ? Definición de complementario

Res

pues

ta

Slide 71 / 224

37 ¿Qué razón aplica al paso 2?

A

B

C

Afirmación Razón

1 El triángulo ABC es un triángulo rectángulo ?

2 Los triángulos rectángulos contienen un ángulo recto. ?



5 90º + m∠ B + m∠ C = 180º ?

6 m∠ B + m∠ C = 90º ?


A Propiedad de Sustracción de la IgualdadB Propiedad de Sustitución de la IgualdadC DadoD Definición de Triángulo Rectángulo E Definición de un ángulo recto R

espu

esta

D Definición de triángulo rectángulo

Slide 72 / 224


A

B

C

A La medida de un ángulo llano es 180ºB m∠A + m∠B + m∠C = 180ºC m∠B + m∠C = 90ºD m∠B + m∠C = 180ºE ∠A es un ángulo recto

Afirmación Razón


2 Los triángulos rectángulos contienen un ángulo recto. ?



5 90º + m∠ B + m∠ C = 180º ?

6 m∠ B + m∠ C = 90º ?


Res

pues

ta B m∠A + m∠B + m∠C = 180º

/ 224


A

B

C

Afirmación Razón


2 Un triángulo rectángulo contiene un ángulo recto. ?



5 90º + m∠ B + m∠ C = 180º ?

6 m∠ B + m∠ C = 90º ?



espu

esta E Definición de ángulo

recto

Slide 74 / 224


A

B

C

Afirmación Razón


2 Un triángulo rectángulo contiene un ángulo recto ?



5 90º + m∠ B + m∠ C = 180º ?

6 m∠ B + m∠ C = 90º ?



espu

esta B Propiedad de

Sustitución de la Igualdad

Slide 75 / 224


A

B

C

Afirmación Razón



3 ? Teorema de los ángulos interiores

4 m∠ A = 90º ?

5 90º + m∠ B + m∠ C = 180º ?

6 m∠ B + m∠ C = 90º ?



espu

esta A Propiedad de

Sustracción de la Igualdad

Slide 76 / 22442 ¿Qué razón aplica al paso 7?

A

B

C

Afirmación Razón





5 90º + m∠ B + m∠ C = 180º ?

6 m∠ B + m∠ C = 90º ?


A La medida de un ángulo recto es 180ºB La suma de los ángulos interiores de un

triángulo es 180ºC Los ángulos agudos son complementariosD Los ángulos agudos son suplementariosE ∠A es un ángulo recto

Res

pues

ta C Los ángulos agudos son complementarios

Slide 77 / 224

A

B

C

Dado: El triángulo ABC es un triángulo rectángulo

Prueba: Sus ángulos agudos, ángulos B y C, son complementarios

Afirmación Razòn

1 El triángulo ABC es un triángulo rectángulo Dado

2 Un triángulo rectángulo contiene un ángulo recto.

Definición de triángulo rectángulo

3 m∠A + m∠B + m∠C = 180ºTeorema de los ángulos

interiores4 m∠A = 90º Definición de ángulo recto

5 90º + m∠B + m∠C = 180º Propiedad de sustitución de la igualdad

6 m∠B + m∠C = 90ºPropiedad de sustracción

de la igualdad

7 Los ángulos agudos son complementarios

Definición de complementario

Demostración del Corolario del Teorema de la Suma de Triángulos

Slide 78 / 224

Ejemplo

La medida de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es cinco veces la medida del otro ángulo agudo.

Calcula la medida de cada ángulo agudo.

Res

pues

ta

/ 224

43 En un triángulo rectángulo, la suma de los dos ángulos agudos es 90°.

Verdadero

Falso

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44 ¿Cuál es la medida del ángulo que falta?

57°L

M

N

Slide 81 / 224

45 Resuelve para x.

A

B CCB

A¿Cuáles son las medidas de los tres ángulos?x+57 = 90º

x = 33º

Slide 82 / 224

46 Resuelve para x.

¿Cuáles son las medidas de los tres ángulos?

Slide 83 / 224

47 m∠1 + m∠2 =

1

23

A

Res

pues

ta

Slide 84 / 224

48 m∠1 + m∠3 =

1

23

Res

pues

ta

/ 224

20°

X°

49 Calcula el valor de x en el diagrama

Res

pues

ta

Slide 86 / 224

Teorema de los Ángulos Exteriores

Volver a la Tabla de Contenidos

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Los ángulos exteriores están formados por la extensión de un lado cualquiera de un triángulo.

El ángulo exterior es entonces el ángulo entre el lado extendido y el lado más cercano del triángulo.

Abajo se muestra un lado exterior.

Tómate un momento y traza otro.

Ángulos Exteriores

A

B Cxº

Slide 88 / 224

Ya que un triángulo tiene tres vértices y dos ángulos externos puede ser trazado en cada vértice, es posible trazar seis ángulos externos al triángulo.

Traza el otro ángulo externo al vértice A.

A

B C

xº

Ángulos Exteriores

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A

B C

xºxº

Los ángulos exteriores en cada vértice son congruentes, ya que son ángulos verticales u opuestos por el vértice.

Ángulos Exteriores

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Los ángulos interiores de un triángulo son ∠A, ∠ABC y ∠C.

Una vez que se traza un ángulo exterior, un ángulo interior es adyacente y los otros dos son remotos.

Ya que se puede trazar ángulos exteriores en cualquier vértice, cualquier ángulo anterior puede ser remoto dependiendo sobre qué vértice se traza el ángulo externo.

Ángulos Interiores Remotos

A

B C

En este caso, ∠A y ∠C son los ángulos interiores remotos y ∠ABC es el ángulo adyacente interior

xº

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50 ¿Cuáles son los ángulos interiores remotos en este ejemplo?

A ∠A y ∠BB ∠A y ∠CC ∠B y ∠C

A

B C

xºxº

Slide 92 / 224

51 Si AB es una línea recta, ¿Cuál es la suma de ∠2 y ∠1?

1A B

2

Slide 93 / 224

52 En este diagrama, ¿cuál es la suma de P, Q y R?

P

R Q Res

pues

ta

Slide 94 / 224

A

B CD

La medida de cualquier ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de sus ángulos interiores remotos.

m∠DBA = m∠A + m∠C

ó

x = m∠A + m∠C

Teorema de los Ángulos Exteriores

xº

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Dado: ∠DBA es un ángulo exterior al ΔABC y ∠A y ∠C son ángulos remotos interiores.

Prueba: m∠DBA = m∠A + m∠C

Demostración del Teorema de los Ángulos Exteriores Remotos

A

B CD

xº

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53 ¿Qué razón aplica al paso 2?A Los ángulos que forman un par lineal son suplementariosB Definición complementarioC Teorema de los ángulos interioresD Propiedad de sustitución de la igualdadE Definición de ángulo recto

A

B CD

xº

Afirmación Razón

1 ∠ DBA es un ángulo exterior a ΔABC y ∠ A y ∠ C son ángulos interiores remotos Dado

2 ∠ DBA y ∠ ABC son suplementarios ?

3 ? Definición de suplementarios

4 m∠ A+ m∠ ABC + m∠ C = 180° ?

5 m∠ DBA + m∠ ABC = m∠ A + m∠ ABC + m∠ C ?

6 ?Propiedad de

sustracción de la igualdad

Res

pues

ta

/ 224

54 ¿Qué afirmación aplica al paso 3?A m∠DBA + m∠ABC = 180°B m∠DBA = m∠A + m∠C C m∠A + m∠B = 180° D m∠DBA + m∠A = 90°E m∠DBA + m∠A = 180°

A

B Cx

D

Afirmación Razón

1 ∠ DBA es un ángulo exterior a ΔABC y∠ A y ∠ C son ángulos interiores remotos Dado


3 ? Definición de suplementario

4 m∠ A+ m∠ ABC + m∠ C = 180° ?


6 ?Propiedad de


Res

pues

ta

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A

B Cx

D

Afirmación Razón

1 ∠ DBA es un ángulo exterior la ΔABC y ∠ A y ∠ C son ángulos interiores remotos Dado



4 m∠ A+ m∠ ABC + m∠ C = 180° ?


6 ?Propiedad de


A Los ángulos que forman un par lineal son suplementariosB Definición de complementarioC Teorema de los ángulos interioresD Propiedad de sustitución de la igualdad

E Definición de ángulo recto

Res

pues

ta

Slide 99 / 224

56 ¿Qué razones aplican al paso 5?

A

B Cx

D

Afirmación Razón




4 m∠ A+ m∠ ABC + m∠ C = 180° ?


6 ?Propiedad de


A Los ángulos que forman un par lineal son suplementariosB Definición complementarioC Teorema de los ángulos interioresD Propiedad de sustitución de la igualdadE Definición de ángulo recto R

espu

esta

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57 ¿Qué afirmaciones aplican al paso 6?A m∠DBA + m∠ABC = 180°B m∠DBA = m∠A + m∠C C m∠A + m∠B = 180° D m∠DBA + m∠A = 90°E m∠DBA + m∠A = 180°

A

B Cx

D

Afirmaciones Razón



3 ? Definición de suplementarios

4 m∠ A+ m∠ ABC + m∠ C = 180° ?


6 ?Propiedad de


Res

pues

ta

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Afirmaciones Razón

1∠ DBA es un ángulo ΔABC y ∠ A y ∠ C son ángulos interiores remotos Dado

2 ∠ DBA y ∠ ABC son suplementarios Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios

3 ∠ DBA + m∠ ABC = 180° Definición de suplementarios

4 m∠ A+ m∠ ABC + m∠ C = 180° Teorema de los ángulos interiores

5 m∠ DBA + m∠ ABC = m∠ A + m∠ ABC + m∠ C

Propiedad de sustitución de la igualdad

6 m∠ DBA = m∠ A + m∠ C Propiedad de sustracción de la igualdad

Demostración del Teorema de Ángulos ExterioresDado: ∠ DBA es un ángulo exterior a ΔABC y ∠ A y ∠ C son ángulos interiores remotos.

Prueba: m∠ DBA = m∠ A + m∠ C

A

B Cx

D

Slide 102 / 224

58 En esta caso, ¿cuál debe ser la relación entre los ángulos interiores de ΔPQR y ∠1?

A m∠Q = m∠1B m∠1 = m∠PC m∠1 = m∠Q + m∠RD m∠1 = m∠P + m∠RE m∠1 = m∠Q + m∠P

1

P

R Q

Res

pues

ta

/ 224

59 En este caso, ¿cuál debe ser la relación entre los ángulos interiores de ΔPQR y ∠2?

A m∠Q = m∠2B m∠2 = m∠PC m∠2 = m∠Q + m∠RD m∠2 = m∠P + m∠RE m∠2 = m∠Q + m∠P

2P

R Q

Slide 104 / 224

Ejemplo: usando el Teorema de los ángulos exteriores

140ºXº

Xº

P

QR

¿Cuál es el valor de x? Res

pues

ta

Slide 105 / 224

EjemploResuelve para x e y.

21°

34°x° y° Res

pues

ta

Slide 106 / 224

xº yº

75º

50º

EjemploResuelve para x e y.

Res

pues

ta

Slide 107 / 224

60 Resuelve para x.

xº yº

60º

55º

Res

pues

ta

Slide 108 / 224

61 Resuelve y.

xºyº

60º

55º

Res

pues

ta

/ 224

62 Calcula el valor de x.

2xº

yº

60º

94º

Res

pues

ta

Slide 110 / 224


(2x+3)º

yº100º

51º

Res

pues

ta

Slide 111 / 224


(x+2)°

y°(3x-5)°

33°

Res

pues

ta

Slide 112 / 224

65 El segmento PS bisecta a ∠RST, ¿cuál es el valor de w?

25°

P

S

TRwº

Res

pues

ta

Slide 113 / 224

EjemploCalcula los ángulos que faltan en el diagrama.

60°

7

103°

43°45°

30°

5 43

2 1

Not

as p

ara

el

Prof

esor

Slide 114 / 224

40º

1

24 53

60º

66 Calcula la medida de ∠1.

Res

pues

ta

/ 224

67 Calcula la medida de∠2.

40º

1

24 53

60º

Res

pues

ta

Slide 116 / 224


40º

1

24 53

60º

Res

pues

ta

Slide 117 / 224

69

40º

1

24 53

60º

Calcula la medida de ∠4.R

espu

esta

Slide 118 / 224


40º

1

24 53

60º

Res

pues

ta

Slide 119 / 224

Desigualdad en triángulos


Slide 120 / 224

Desigualdades en un triángulo

Para determinar desigualdades en un triángulo descargar el esquema, "desigualdades en un triángulo" y la hoja de trabajo "desigualgades en un triángulo"

Ir al esquema, "Desigualdades en un

triángulo."

Ir a la hoja de trabajo,"Desigualdades en un triángulo."

page2svg

http://njctl.org/courses/math/geometry-2015-16/triangles/inequalities-in-one-triangle-sketch-3/

http://njctl.org/courses/math/geometry-2015-16/triangles/inequalities-in-one-triangle-2/

/ 224

Ángulos desiguales en un triángulo

El lado más largo está opuesto siempre al ángulo más grande.

El lado más corto está siempre opuesto la ángulo más pequeño.

Slide 122 / 224

71 Nombra el lado más largo del triángulo.A ABB BCC CAD todos son iguales

AB

C

35°60°

85°

Res

pues

ta

Slide 123 / 224

72 Nombra el lado más corto de este triángulo.A ABB BCC CAD son todos iguales

AB

C

35°60°

85°

Res

pues

ta

Slide 124 / 224

73 Nombra el lado más corto de este triángulo.A ABB BCC CAD son todos iguales

AB

C

35° 105°

40°

Res

pues

ta

Slide 125 / 224

74 Nombra el ángulo más grande de este triángulo.A ∠A B ∠B C ∠C D Son todos iguales

AB

C

10

148

Res

pues

ta

Slide 126 / 224

75 Nombra el ángulo más pequeño de este triángulo.A ∠A B ∠B C ∠C D Son todos iguales

AB

C

10

148

Res

pues

ta

/ 224

A

C

1010

10

76 Nombra el ángulo más pequeño de este triángulo.

A ∠A B ∠B C ∠C D Son todos iguales

B

Res

pues

ta

Slide 128 / 224

Desigualdades de longitud en un triángulo

Un lado no puede ser más largo que la suma de los otros dos lados.

Un lado no puede ser más corto que la diferencia de los otros dos lados.

Slide 129 / 224

Ningún lado puede ser más largo que la suma de los otros dos lados.

Esto se deriva del hecho de que si los dos lados más cortos no pueden ser ubicados en un ángulo de 180º y excede la longitud del lado más largo, no se puede formar un triángulo.

Como se muestra abajo, si el lado azul es más largo que la suma del lado rojo y del lado verde, no se puede formar un triángulo.

Mueve los lados de abajo e intenta formar un triángulo.


Slide 130 / 224

Ningún lado puede ser menor a la diferencia entre los otros dos lados.

Esto se deriva del hecho de que si los lados más largos no pueden ser ubicados en un ángulo de 0° grado para alcanzar el extremo del lado más corto, no se puede formar un triángulo.

Como se muestra abajo, si el lado azul también es corto para alcanzar a la línea roja, incluso cuando la línea roja está en el ángulo más pequeño, no se puede formar un triángulo.


Slide 131 / 224

77 ¿Cuál es la máxima longitud del tercer lado para formar un triángulo si los otros lados son de 4 y 6?

Res

pues

ta

Slide 132 / 224

78 ¿Cuándo es la máxima longitud del tercer lado para formar un triángulo si los otros lados son de 8 y 7?

Res

pues

ta

/ 224

79 ¿Cuál es la mínima longitud del tercer lado para formar un triángulo si los otros lados son de 4 y 6?

Res

pues

ta

Slide 134 / 224

80 ¿Cuál es la mínima longitud del tercer lado para formar un triángulo si los otros lados son de 7 y 8?

Res

pues

ta

Slide 135 / 224

Triángulos Semejantes


Slide 136 / 224

Recuerda que:

Congruencia

Dos objetos son congruentes si pueden ser movidos, por alguna combinación de traslación, rotación y reflexión de manera que cada parte de cada objeto se superponga.

Este es el símbolo para congruencia:

Si a es congruente a b se mostraría como

lo cuál se lee como "a es congruente a b"

a b

Slide 137 / 224

Sólo los segmentos con la misma longitud son congruentes.

También, todos los segmentos congruentes tienen la misma longitud.

Antes aprendimos que:

Segmentos Congruentes

ab

cd

c da b

Slide 138 / 224

Recuerda:

Ángulos Congruentes

A B∠ ∠ ∠C ∠D

Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida.

Dos ángulos no son congruentes si tienen diferentes medidas.

AB

C

D

If m∠A = m∠B If m∠C # m∠D

page2svg

/ 224

Triángulos Congruentes

Los triángulos están construidos por tres segmentos Y tres ángulos.

Para que un triángulo sea congruente con otro los tres lados Y los tres ángulos deben ser congruentes.

Slide 140 / 224


Si los tres lados de dos triángulos son congruentes, vamos a demostrar que los tres ángulos también son congruentes.

Por consiguiente, los triángulos son congruentes.

Además, dos triángulos pueden tener todos sus ángulos congruentes, con todos o ninguno de sus lados siendo congruentes.

En ese caso, se dice que los triángulos son Semejantes.

Slide 141 / 224

Triángulos Congruentes

Los Triángulos Congruentes también son Triángulos Semejantes ya que todos sus ángulos son congruentes.

Los Triángulos Congruentes son además un caso especial de triángulos semejantes. Nos enfocaremos primero en los

triángulos semejantes, y luego trabajaremos con los triángulos congruentes en una unitad posterior.

Los triángulos Semejantes representan una gran herramienta para resolver problemas y son el fundamento de la

trigonometría.

Slide 142 / 224

Los triángulos semejantes tienen la misma forma, pero pueden tener diferentes tamaños.

Si tienen igual forma y son del mismo tamaño, son semejantes y congruentes.

A

B

C D

E

F

Triángulos Semejantes tienen Lados Proporcionales

Slide 143 / 224


Este es el símbolo para semejanza

De modo que, la afirmación simbólica para

El triángulo ABC es semejante al triángulo DEF

es:

DEFDEFΔABC Δ

Slide 144 / 224

Nombrando Triángulos Semejantes

Esta afirmación nos dice más que dos triángulos son semejantes.

Nos dice también que los ángulos son iguales

En este caso, que

m∠A = m∠D m∠B = m∠E m∠C = m∠F

Y así que son lados correspondientes y proporcionales.

AB corresponde a DEBC corresponde a EFCA corresponde a FD

DEFDEFΔABC Δ

/ 224

De manera que, cuando estás nombrando triángulos semejantes, el orden de las letras importa.

No tienen que ser alfabéticas.

Pero tienen que ser nombrados de manera que ángulos iguales correspondan con los otros iguales.

DEFDEFΔABC Δ

Nombrando Triángulos Semejantes

Slide 146 / 224

Demostrando triángulos semejantesSi puedes probar que los tres ángulos de los dos triángulos son congruentes, directamente queda comprobado que son semejantes.

Además, hay atajos para demostrar que son triángulos semejantes.

Exploraremos tres conjuntos de condiciones que implican que los tres ángulos de los dos triángulos son congruentes, significando que los triángulos deben ser semejantes.

Slide 147 / 224

Teorema de la Semejanza Ángulo a Ángulo

Sabemos del Teorema de la Suma de Triángulos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre es igual a 180º.

De modo que, si dos triángulos tienen dos pares de ángulos congruentes que suman x, entonces el tercer ángulo en ambos triángulos debe ser (180 - x)º ....formando tres pares de ángulos congruentes.

Una forma de demostrar que dos triángulos son semejantes es probar que dos de sus ángulos en cada

triángulo son congruentes.

Slide 148 / 224

Si dos ángulos de un triángulo son congruentes a dos ángulos en otro triángulo, sus terceros ángulos son congruentes y los triángulos son semejantes. Aquí está la demostración

Afirmación Razón

1 ∠ A y ∠ B en ΔABC son ≅ a ∠D y ∠ E en ΔDEF

Dada

2 m∠ A = m∠D; m∠ B = m∠ E Definición de ángulos congruentes

3m∠ A+ m∠ B + m∠C = 180ºm∠D+ m∠ E + m∠ F = 180º

Teorema de la suma de triángulos

4m∠C =180º - (m∠ A + m∠ B) m∠ F =180º- (m∠D + m∠ E)

Propiedad de sustracción de la igualdad

5m∠C =180º - (m∠ A + m∠ B) m∠ F =180º- (m∠ A + m∠ B)

Propiedad de sustitución de la igualdad

6 m∠C = m∠ F Propiedad de sustitución de la igualdad

7 ΔABC y ΔDEF son semejantes Definición de semejanza

Teorema de la Semejanza Ángulo a Ángulo

Slide 149 / 224

Si dos triángulos tiene sus lados proporcionales, los triángulos serán equiangulares y tendrán aquellos ángulos iguales a los que sus lados correspondientes subtienden.

Euclides- Libro 7: Proposición 5

Los triángulos equiangulares son semejantes, de modo que esto establece que los triángulos con lados proporcionales son semejantes.

Esta es la segunda forma para demostrar que los triángulos son semejantes:

Si se puede demostrar que los tres pares de lados en dos triángulos son proporcionales, entonces se habrá

demostrado que los triángulos son semejantes.

Teorema de la Semejanza Lado-Lado-Lado

Slide 150 / 224

Esto se deriva de la forma que contruimos ángulos congruentes.

Hicimos uso del hecho de que si dos ángulos son congruentes, sus lados se separan a la misma razón a medida que se alejan del vértice.Aquí está el dibujo que usamos para construir ∠ABC de modo que sería congruente a ∠FGH.


F

G H

A

CB

/ 224

Si trazamos los segmentos verdes conectando los puntos donde los arcos azules intersecan las semirrectas, podemos ver que la longitud de ese segmento sería la misma para ambos ángulos.

Ya que los ángulos son congruentes, el segmento opuesto a aquellos ángulos también serán congruentes, si este interseca ambos lados del ángulo a la misma distancia desde el vértice en ambos casos.


F

G H

A

CB

D

E

Slide 152 / 224

En este caso los segmentos AC y DE serán congruentes ya que los segmentos GD y GE también son congruentes a los segmentos AB y BC.

De modo que el ΔDEG es congruente al ΔABC, ya que todos los ángulos y lados son iguales.

Cambiando la escala del ΔABC no cambiará la medida de sus ángulos. Los lados serán proporcionales a aquellos del ΔDEG, pero no iguales.


F

G H

A

CB

D

E

Slide 153 / 224

El diagrama de abajo muestra una ampliación del ΔABC y podemos ver que las medidas de los ángulos no cambiaron.

Aún son triángulos semejantes. Los lados correspondientes son proporcionales.


A

CB

F

G H

D

E

Slide 154 / 224

A

CB

Removiendo los arcos y desplazando el triángulo más pequeño dentro del más grande se hace claro que todos los ángulos son congruentes y los lados están en proporción.

Así que, la segunda forma de demostrar triángulos semejantes es mostrar que todos sus lados están en proporción.

F

D

EG H


Slide 155 / 224

Si dos triángulos tienen un ángulo igual a otro y los lados alrededor del ángulo igual están en proporción, los triángulos serán equiangulares y tendrán aquellos ángulos iguales con los correspondientes ángulos que subtienden.

Los Elementos de Euclides - Libro Sexto- Proposición 6

La tercera forma de demostrar que son semejantes es mostrar que pueden compartir un ángulo que es igual y los dos lados formando ese ángulo son proporcionales en los dos triángulos.

Teorema de la Semejanza Lado- Ángulo-Lado

Slide 156 / 224

Esto deriva directamente del trabajo que hemos hecho para mostrar que la proporcionalidad Lado-Lado-Lado puede ser usada para demostrar triángulos semejantes.

Si recuerdas, el segmento que forma el tercer lado de un triángulo está completamente definido por el ángulo opuesto y la longitud de los otros dos lados.


/ 224

Si los ángulos son congruentes y los dos lados del ángulo están en proporción, el tercer lado debe estar también en proporción.

Si los tres lados están en proporción, los triángulos deben ser semejantes debido al Teorema Lado-Lado-Lado.

Puedes ver esto en la página siguiente.


Slide 158 / 224

A

B

C D

E

F

Si ∠B ≅ ∠E y los segmentos AB y BC son proporcionales a los segmentos ED y EF, entonces el segmento AC también debe ser proporcional al segmento DF. Ya que los tres lados están en proporción, los triángulos son semejantes.


Slide 159 / 224

Error común

NO PUEDES demostrar triángulos semejantes Lado- Lado. Ángulo.

No es lo mismo que Lado-Ángulo-Lado.

Como se muestra abajo, dos triángulos pueden tener dos lados correspondientes y un ángulo correspondientes congruente, pero NO ser semejantes.

Slide 160 / 224

81 ¿Qué teorema te permite demostrar que estos dos triángulos son semejantes?

A Ángulo- ÁnguloB Lado- Ángulo- LadoC Lado- Lado- LadoD Podrían no ser semejantes

x

x

E No son semejantes

Res

pues

ta

Slide 161 / 224


A Ángulo- ÁnguloB Lado- Ángulo- LadoC Lado- Lado- LadoD Podrían no ser semejantesE No son semejantes

Res

pues

ta

Slide 162 / 224


6

4

88

12

16

A Ángulo- ÁnguloB Lado- Ángulo- LadoC Lado- Lado- Lado

D No son semejantesE Podrían no ser semejantes

/ 224

84 ¿Qué teoremas te permiten demostrar que estos dos triángulos son semejantes?

4 8

36

6 10


Res

pues

ta

Slide 164 / 224

85 ¿Qué teoremas te permiten demostrar que estos triángulos son semejantes?

4 8

36

xx


Res

pues

ta

Slide 165 / 224


4

3x

8

6

x


Res

pues

ta

Slide 166 / 224

87 ¿Qué teorema te permite demostrar que estos dos triángulos son semejantes?A Ángulo- ÁnguloB Lado- Ángulo- LadoC Lado- Lado- LadoD Podrían no ser semejantesE No son semejantes

Slide 167 / 224

88 ¿Qué teorema te permite demostrar que estos dos triángulos son semejantes?A Ángulo- ÁnguloB Lado- Ángulo- LadoC Lado- Lado- LadoD Podrían no ser semejantesE No son semejantes

Res

pues

ta

Slide 168 / 224



Res

pues

ta

/ 224


A

B C

D ENota que BC es paralelo a DE.


Res

pues

ta

B

Slide 170 / 224

A

B C

D E

Teorema del Divisor de Lado

Cualquier recta paralela a un lado de un triángulo formará un triángulo que es semejante al primer triángulo.

Como aprenderemos más tarde, también hace todos los lados proporcionales, dividiéndolos...de ahí el nombre del teorema.

Slide 171 / 224

A

B C

D E

Dado: BC es paralelo a DE

Prueba: ΔABC ~ ΔADE.

Demostración del Teorema del Divisor de Lado

Slide 172 / 22491 ¿Cuál es la razón para el paso 2?

A Teorema de Semejanza Ángulo- ÁnguloB Teorema de la Semejanza Lado- Lado- LadoC Propiedad Reflexiva de Congruencia D Cuando dos rectas paralelas son intersecadas por una

transversal, los ángulos correspondientes son congruentesE Cuando dos rectas paralelas son intersecadas por una

transversal, los ángulos interiores alternos son congruentes

A

B C

D E

Afirmación Razón1 BC es paralelo a DE Dada2 ∠ ABC ≅ ∠D; ∠ ACB ≅ ∠ E ?

3 ∠ A ≅ ∠ A ?4 ΔABC ~ ΔADE ?

Res

pues

ta

Slide 173 / 224

92 ¿Cuál es la razón para el paso 3? A

B C

D E

Afirmación Razón1 BC es paralelo a DE Dada2 ∠ ABC ≅ ∠D; ∠ ACB ≅ ∠ E ?

3 ∠ A ≅ ∠ A ?4 ΔABC ~ ΔADE ?




Res

pues

ta

Slide 174 / 224

93 ¿Cuál es la razón para el paso 4? A

B C

D E

Afirmación Razón1 BC es paralela a DE Dada2 ∠ ABC ≅ ∠D; ∠ ACB ≅ ∠ E ?

3 ∠ A ≅ ∠ A ?4 ΔABC ~ ΔADE ?




Res

pues

ta

/ 224

Demostración del Teorema Lado Divisor

Dado: BC es paralelo a DE

Prueba: ΔABC ~ ΔADE

A

B C

D EAfirmación Razón

1 BC es paralelo a DE Dada

2∠ ABC ≅ ∠D; ∠ ACB ≅ ∠ E

Cuando dos rectas paralelas son intersecadas por una transversal, los

ángulos correspondientes son congruentes

3 ∠ A ≅ ∠ A Propiedad Reflexiva de la Congruencia

4 ΔABC ~ ΔADE Teorema de la Semejanza Ángulo- Ángulo

Slide 176 / 224

Los triángulos semejantes tienen la misma forma, pero pueden tener diferentes tamaños. Si tienen la misma forma y el mismo tamaño, son congruentes.

Si tienen igual forma y son de diferentes tamalos, son semejantes y sus lados están en proporción.

A

B

C D

E

F

Teorema Triángulos Semejantes tienen Lados Proporcionales

Slide 177 / 224

Lo contrario también es cierto y demostrará ser muy útil.

Si dos triángulos son semejantes, todos sus lados correspondientes están en proporción.

*Mientras Euclides si probó ese teorema, sus demostraciones resultaron en otros teoremas que tendrían que ser probados primero y se irían de los objetivos de este curso. Así que, sólo relacionaremos sobre ese teorema y observa que la demostración está disponible en Los Elementos de Euclides- Libro Sexto: Proposición 5

Teorema Triángulos Semejantes tienen Lados Proporcionales

Slide 178 / 224Triángulos Semejantes y

Proporcionalidad

A

B

C D

E

F

En los triángulos de abajo, si sabemos que

m∠A = m∠D, m∠B = m∠E, y m∠C = m∠F,

Entonces sabemos que los triángulos son semejantes.

Slide 179 / 224

A

B

C D

E

F

También sabemos que los lados correspondientes son proporcionales.

El símbolo para proporcional es la letra griega, alfa: #

AB α DE, ya que AB corresponde a DEBC α EF, ya que BC corresponde a EFAC α DF, ya que AC corresponde a DF

Triángulos Semejantes y Proporcionalidad

Slide 180 / 224

Lados Correspondientes

A

B

C D

E

F

Nuestro trabajo con triángulos similares y nuestro futuro trabajo con triángulos congruentes nos requiere identificar los lados correspondientes.

Una forma de hacer esto es localizar los lados opuestos a los ángulos congruentes. Si sabemos que los triángulos ABC y EDF son semejantes y que el ángulo A es congruente al ánguo D, entonces los lados opuestos a A y D están en proporción: BC α EF

/ 224


A

B

C D

E

F

Otra forma de indentificar lados correspondientes es usar la descripción de Euclides.....aquellos ángulos [son] iguales a los que los lados correpondientes subtienden."

Abajo, ya que el ángulo A es igual al ángulo D y el ángulo B es igual al ángulo E, entonces los lados AB y DE están en proporción.

Slide 182 / 224

A

B

C D

E

F

Cualquiera de estos enfoques funciona, usa el que sea más fácil

Identifica los lados correspondientes con los lados que conectan ángulos iguales o los lados opuestos a ángulos iguales... obtendrás el mismo resultado.


Slide 183 / 224

Triágulos Semejantes y Proporcionalidad

A

B

C D

E

F

Otra manera de decir que dos lados son proporcionales es decir que uno está en una versión ampliada del otro. Si multiplicas todos los lados de un triángulo por el mismo factor de escala, K, obtienes el otro triángulo. En este caso, si ΔABC es k veces más grande que ΔDEF, entonces: AB = kDE BC = kEF AC = kDF

Slide 184 / 224

A

B

C D

E

F

O resulta de dividir los lados proporcionales:

AB BC ACDE EF DF = k= =

Esta propiedad de proporcionalidad es muy útil en la resolución de problemas usando triángulos semejantes y provee el fundamento para la trigonometría.

Triágulos Semejantes y Proporcionalidad

Slide 185 / 224

94 Si m∠A = m∠D, m∠B = m∠E, y m∠C = m∠F, identifica que lado corresponde al lado AB.

A DEB EFC FG

A

B

C D

E

F

Res

pues

ta

Slide 186 / 224

95 Si m∠I = m∠M, m∠H = m∠N, y m∠J = m∠L, identifica que lado corresponde al lado IJ.

A MNB NLC ML

I

J

H

M

N

L

/ 224

A

B

C8 D

E

F4

Ejemplo- Lados Proporcionales

Dado que el ΔABC es similar al ΔDEF, y dadas las longitudes indicadas, calcula las longitudes de AB y BC.

5 7

Slide 188 / 224

Ya que los triángulos son semejantes sabemos que la siguiente relación cabe entre todos los lados correspondientes.

Primero, vamos a calcular la constante de proporcionalidad, k, a partir de usar los dos lados de valores: AC y DF. ¿Qué relación podría escribir para determinar el valor de k?

AB BC ACED EF DF = k= =

A

B

C8 D

E

F4

5 7


Slide 189 / 224

A

B

C

5 7

8 D

E

F4

AB BC ACED EF DF = k = 2= =

AC 8 DF 4= = k = 2

Esto significa que los otros dos lados del ΔABC también serán dos veces más grandes que los lados correspondientes de ΔDEF

¿Cómo podríamos escribir las proporciones requeridas para calcular AB y BC?


Slide 190 / 224

A

B

C

5 7

8 D

E

F4

AB ED = 2 BC

EF = 2

AB 5 = 2

AB = 10

BC 7 = 2

BC = 14


Slide 191 / 224

96 Dado que m∠ A = m∠D, m∠ B = m∠ E, y m∠C = m∠ F. Si BC = 8, DE = 6, y AB = 4, EF = ?

A

B

C D

E

F

Res

pues

ta

Slide 192 / 224

97 Dado que ΔJIH es semejante a ΔLMN; calcula la longitud de LM.

I

J

H

M

N

L

14

10

12

5

Res

pues

ta

/ 224

98 Dado que ΔJIH es semejante a ΔLMN; calcula la longitud de LN.

I

J

H

M

N

L

14

10

12

5

Res

pues

ta

Slide 194 / 224

99 Dado que BC es paralelo a DE y las longitudes dadas, calcula la longitud de DE.

A

B C

D E

8

64

Res

pues

ta

Slide 195 / 224

100 Dado que BC es paralelo a DE y las longitudes dadas, calcula la longitud de DB.

A

B C

D E9

7

3

Res

pues

ta

Slide 196 / 224

Ejemplo - Semejanza y Lados Proporcionales

D

P

K

12

9

18

R

L

B6

1210

Determina si los triángulos son semejantes. Si son semejantes, escribe una afirmación de semejanza. Si no son similares, explica por qué.

Slide 197 / 224

D

P

K

12

9

18

R

L

B6

1210

Para identificar los lados correspondientes sin perder mucho tiempo, primero escribe todos los lados desde el más corto al más largo de ambos triángulos y compara para ver si son proporcionales.

Entonces puedes identificar los lados correspondientes y la constante de proporcionalidad.


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D

P

K

15

9

18

R

L

B6

1210

Lado de ΔPDK Longitud Lado del ΔBRL Longitud Razón

DK 9 BR 6 1.5

PD 15 RL 10 1.5

PK 18 BL 12 1.5

Todos los lados correspondientes tienen una relación de 1.5:1, de modo que los triángulos son semejantes. Esto también prueba el orden de los lados, así que podemos decir que ΔKDP es semejan a ΔBRL. Controla para asegurte que todos los lados están en el orden correcto.


/ 224

101 Si estos triángulos son semejantes, ingresa la constante de proporcionalidad, k, entre el triángulo más grande y el más pequeño. Si no lo son, ingresa cero.

D

P

K

12

9

18

R

L

B6

1210

Res

pues

ta

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102 Si estos triángulos son semejantes, ingresa la constante de proporcionalidad, k, entre el triángulo más grande y el más pequeño. Si no lo son, ingresa cero..

52°

1

2

3

R

S

T

52°24

6X

Y

Z

Res

pues

ta

Slide 201 / 224

103 Si estos triángulos son semejantes, ingresa la constante de proporcionalidad, k, entre el triángulo más grande y el más pequeño. Si no lo son, ingresa cero.

P

R

S

3 4.2

6B

C

D

2 2.8

4

Res

pues

ta

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A

B C

D E

Teorema del Lado Divisor Opuesto

Si una recta divide los dos lados de un triángulo proporcionalmente, entonces la recta es paralela al tercer lado.

Slide 203 / 224

104 Calcula el valor de x para demostrar que AB es paralelo a ER.

27

x

18 12R

EA

B

D

Res

pues

ta

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105 Calcula el valor de x para probar que FC es paralelo a MN.

J

M

NC

F

x 9

6

8 Res

pues

ta

/ 224

106 Calcula el valor de y.

6

1012

y

Res

pues

ta

Slide 206 / 224


4

14 12

y

Res

pues

ta

Slide 207 / 224


2415y

6 Res

pues

ta

Slide 208 / 224

PARCC Pregunta de Muestra y Aplicaciones


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109 La figura ΔABC ~ ΔDEF con longitudes de lado como se indica. ¿Cuál es el valor de x?

F

D

E

95

7

C

BA

27

21

x

From PARCC EOY sample test

Res

pues

ta

Slide 210 / 224

¿Cómo puedes usar figuras semejantes para resolver problemas de la vida real?

Usando triángulos semejantes y midiendo indirectamente podemos calcular distancias grandes y la altura de árboles, mástiles y edificios.

¿Cuál es la diferencia entre medir directamente y medir indirectamente

Usando Triángulos Semejantes

Res

pues

ta

page2svg

http://practice.parcc.testnav.com/#

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¿Cómo podemos calcular la distancia entre un lado y otro del Gran Cañón?

Grand Canyon National Park, AZ

Usando Triángulos SemejantesSlide 212 / 224

Primero, construye un triángulo rectángulo ΔABC.

1. Identifica y marca un punto A. 2. Ubica un marcador en el punto B directamente enfrente del punto A. 3. Ve hasta el punto C, ubica un marcador y mide la distancia de BC.


Slide 213 / 224

Luego, construye un triángulo rectángulo ΔEDC.

1. Ve al punto D, ubica un marcador y mide la distancia de CD. 2. Ve al punto E, ubica un marcador y mide la distancia de DE.


Slide 214 / 224

¿Cómo podemos demostrar que ΔABC ~ ΔEDC?

¿Cómo podemos calcular la distancia que cruza el Gran Cañón?


Slide 215 / 224

ΔABC ~ ΔEDC

¿Por qué?

¿Por qué?¿Por qué?

∠DCE ≅ ∠BCA∠CDE ≅ ∠CBA


Res

pues

ta

Slide 216 / 224

¿Cómo podemos calcular d?

Escribe una sentencia de proporcionalidad que use d. click


/ 224

¿Cómo podemos calcular la altura del Monumento a Washington cuando no hay sombras?


Slide 218 / 224

Vamos a usar un truco de espejo para calcular la altura del Monumento a Washington. Este es otro método de medida indirecta.

Ubica un espejo con pelos cruzados (en X) trazando sobre el un plano sobre el piso entre tu mismo y el Monumento. Mira dentro del espejo y camina a un punto en el que puedas ver la parte más alta del Monumento alineada con los pelos cruzados en el espejo.

Los rayos de luz desde la parte superior del Monumento a Washington al espejo y atrás de tu ojo forman ángulos iguales.


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En Física

ángulo de incidencia

ángulo de reflexión

rayo reflejado rayo incidente

surperficie

ángulo de reflexión = ángulo de incidencia


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Mide la distancia entre tu y el espejo y entre el Monumento a Washington y el espejo.

¿Cómo puedes probar que ΔABC ~ ΔDEF? ¿Cómo puedes calcular la altura del Monumento a Washington?

Slide 221 / 224

¿Por qué?

¿Por qué?

ΔABC ~ ΔADE

∠CAB ≅∠EAD

∠ACB ≅∠EAD


¿Por qué?

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¿Cómo puedes calcular h?

Escribe una sentencia de proporcionalidad que use h


click

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110 Tu hermana más pequeña quiere saber la altura de la jirafa. Ubicas un espejo sobre el piso y te paras donde puedas ver la parte de arriba de la jirafa como se muestra. ¿Qué altura tiene la jirafa?

A 189 pulgadas

B 21 pies

C 15.75 pies

D 18.9 piesTú5 pies 3 pulgadas

g

15 pies

5 pies

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111 Para calcular el ancho de un río usas una técnica de supervivencia como se muestra. Establece la proporción para calcular la distancia que cruza el río.

A

B

C

D

=963

w12

=963w12

=963w

12

=963 w

12

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