GEOMETRÍA MÓDULO # 3 · 2020. 7. 11. · Partiremos de la construcción geométrica que ilustra...
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UNIVERSIDAD DE PANAMÁ
CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO BOCAS DEL TORO
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y TECNOLOGÍA
ANEXO KUSAPÍN
GEOMETRÍA
MÓDULO # 3
Facilitador: Magíster. Arquimedes Girón Ch.
24 DE JUNIO DE 2020
Enunciado y demostración del Teorema de Thales
Teorema de Thales
Si dos rectas secantes se cortan por dos rectas paralelas entonces los segmentos
que determinan las paralelas en una de las secantes son proporcionales a los
segmentos
Correspondientes de la otra secante. Esto es:
Si AB y A'B' son paralelas entonces
Recíprocamente, si entonces AB es paralelo a A'B'.
Y además:
Observaciones:
• Anteriormente se estudió el Teorema de Thales utilizando otra notación y sin
añadir la última proporción del enunciado.
Esta última proporción suele aparecer en casi todos los libros de texto de
educación secundaria, aunque no aparece en la misma proposición en los Los
Elementos de Euclides.
En este nuevo acercamiento sí la recogemos por su utilidad en el concepto de
semejanza que se desarrollará más adelante.
• La demostración de la primera parte del teorema ya se explicó en otra unidad
didáctica, por lo que sólo nos quedaría por demostrar que se cumple la última
proporción.
Demostración:
Como ya se dijo, la primera parte de este teorema ya está demostrada en una
unidad didáctica anterior. Así que partimos de que se cumple la
proporción y también el recíproco.
Sólo tenemos que probar que .
Partiremos de la construcción geométrica que ilustra el enunciado de teorema y
trazaremos la recta auxiliar, BD, que pasa por B y es paralela a la recta OA'.
Ahora, aplicamos el Teorema de Thales tomando como rectas secantes OB' y A'B'
y como rectas paralelas, OA' y BD.
Así:
Aplicando una propiedad de las proporciones:
Teniendo en cuenta que AA'BD es un paralelogramo y que, por tanto, sus lados
opuestos son iguales:
Y así podemos escribir la siguiente proporción:
E intercambiando los dos términos centrales: que es lo que
queríamos demostrar.
Trazando una paralela a OB' que pase por A, se demuestra del mismo modo
que
Teorema de Tales sobre triángulos semejante
Afirma que si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los
segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos
correspondientes en la otra.
Dicho de otra forma.Cuando veas rectas paralelas,»córtalas» y obtendrás varias razones
de semejanza.
Explicación del teorema de Tales
Cuando la ciudad de Mileto, situada en la costa griega, iba a ser atacada por los barcos
enemigos, los soldados recurrieron a Tales. Necesitaban saber a que distancia se
encontraba una nave para ajustar el tiro de sus catapultas.
El genio matemático resolvió el problema sacando una vara por la cornisa del acantilado,
de tal forma que su extremo coincidiera con la visual del barco. Conociendo su altura
(h), la del acantilado (a) y la longitud de la vara (v), calculó sin dificultad la distancia
deseada (x). Parece sencillo, ¿verdad?
Observa que ahora tenemos dos triángulos semejantes, de tal forma que al ser sus lados
proporcionales, podemos establecer la siguiente igualdad.
De esta forma consiguió calcular el valor de la distancia x. El resto de datos ya los
conocía.
Problemas de Tales de Mileto
Según narra Herodoto, Tales calculó la altura de la gran pirámide de Keops, situada en
Guiza, la más antigua de las siete maravillas del mundo.
¿Cómo lo hizo?
Usando su teorema, el gran sabio pensó que en el momento que su sombra midiese lo
mismo que él, los rayos del Sol formarían un grado de 45 grados con la cima de la
pirámide y con su cabeza. Y por tanto, en ese preciso instante la altura de la pirámide
sería igual a la sombra de la misma.
Observando el dibujo, podemos llamar h a la altura de Tales y s a su sombra.
En el momento que s=h, los rayos del Sol formaran un ángulo de 45 grados en la cabeza
de Tales y con la cima de la pirámide (al ser los rayos del Sol paralelos entre sí). Por tanto,
en ese mismo momento H=S.
Como estamos mirando triángulos semejantes, midiendo la sombra de la pirámide (S),
conoceremos su altura (H), que será la misma.
Observa que se trata de triángulos semejantes, porque sus ángulos homólogos son
iguales. Los dos triángulos dibujados tienen un ángulo recto y dos ángulos de 45 grados.
Datos curiosos sobre Tales de Mileto
Nuestro personaje de hoy, fue un célebre astrónomo, filósofo y matemático griego. Es
considerado como uno de los siete sabios de Grecia. Vivió en la misma época
que Pitágoras. Parece que fue el primero en explicar la razón de los eclipses de sol y de
luna. Descubrió varias proposiciones geométricas. Cuentan los historiadores que murió
asfixiado por la multitud, cuando se retiraba de un espectáculo.
Este es uno de los episodios anecdóticos atribuidos a Tales: Cierta noche paseaba el
matemático completamente absorto mientras contemplaba las estrellas y, por al no
prestar suficiente atención al terreno que pisaba, cayó dentro de un gran hoyo. Una
vieja, que pasaba por allí vio el accidente y le dijo, « ¿cómo quieres ¡oh sabio! saber lo
que pasa en el cielo si no eres capaz de saber lo que ocurre en tus pies?»
Destacó gracias a su sabiduría práctica, a su notable capacidad política y a la gran
cantidad de conocimientos que poseía. Se le atribuye la máxima «En la confianza está el
peligro».
Problemas de tarea
Usa el teorema de Tales para calcular x
2) Calcula el valor de x aplicando el teorema de Tales
3) Halla x e y aplicando el teorema de Tales
4) Halla x aplicando el teorema de Tales
5) Halla x aplicando el teorema de Tales
6) Sabiendo que AB = 15 cm, BC = 20 cm y A'B' = 12 cm, halla la
longitud del segmento B'C'. ¿Qué teorema has aplicado?
7) Divide al segmento AB de 10 cm en siete partes iguales.
8) Calcula la longitud del segmento x de la figura.