I.E. COLEGIO ANDRÉS BELLO

GESTIÓN ACADÉMICA GUÍA DIDÁCTICA 7

¡HACIA LA EXCELENCIA… COMPROMISO DE TODOS…!

CÓDIGO: PA-01-01

VERSIÓN: 2.0

FECHA: 19-06-2013

PÁGINA: 1 de 10

Nombres y Apellidos del Estudiante: Grado: UNDÉCIMO

Periodo: TERCERO – GUIA 7

Docente: ALEXANDRA URIBE Duración:

20 horas

Área: Matemáticas

Asignatura: Matemáticas

ESTÁNDAR: Analizo las relaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y las gráficas de funciones polinómicas y racionales y de

sus derivadas.

Modelo situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas e interpreto y utilizo sus derivadas.

INDICADORES DE DESEMPEÑO:

Aplica las reglas de derivación para calcular la derivada de funciones compuestas y resuelve problemas que involucran la

variación media y variación instantánea de una función.

EJE(S) TEMÁTICO(S):

DERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS, POLINÓMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS.

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN.

MOMENTO DE REFLEXIÓN / CRECIMIENTO PERSONAL/ SEGÚN EL TEMA

“Cada acción genera una fuerza de energía que regresa a nosotros de igual manera… Cosechamos lo que sembramos.

Y cuando optamos por acciones que producen alegría y éxito a los demás, el fruto de nuestro karma es también alegría y

éxito”.

ORIENTACIONES

Lee atentamente la guía.

Sigue las instrucciones del docente.

Resuelve las actividades en el cuaderno.

Aclara tus dudas.

EXPLORACIÓN

Encuentra 5 diferencias en el dibujo:

CONCEPTUALIZACIÓN

DERIVADA DE UNA FUNCION.- Introducción.

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Se abre aquí el estudio de uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial: la derivada de una función.

En este tema, además de definir tal concepto, se mostrará su significado y se hallarán las derivadas de las funciones más usuales.

Es de mucha importancia dominar la derivación para después poder abordar el trazado de curvas, así como para comprender la

utilidad del cálculo integral, que se estudiarán a continuación.

La noción de derivada es históricamente anterior al concepto de límite aunque actualmente se estudie aquélla inmediatamente

después de éste, por razones que serán fácilmente comprensibles.

La derivada de una función en un punto x0 surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de

abscisa x0, y fue Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones.

En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados.

En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales

DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

Sea una función y = f(x) y x0 un punto del eje X. Si se toma un punto x0 + h muy próximo a x0 (h es un número infinitamente

pequeño), a medida que se hace tender h a cero, la recta secante (en rojo de la figura) que une los puntos ( x0, f(x0 ) ) y ( x0 +

h, f(x0 + h) ), tiende a confundirse con la tangente (en azul de la figura) a la curva en el punto (x0,f(x0 )).

que determina la tangente con ese mismo

eje, en el triángulo rectángulo de vértices (x0,f(x0 )), (x0 + h,f(x0 + h)) y (x0 + h,f(x0 )), se verifica:

Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento de la tangente, es decir, si miras la

figura, al hacer que h tienda a cero la línea roja se acerca a la línea azul por lo que: tg ah tiende a tg a, es decir, a la

pendiente de la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0 )).

Esto se expresa matemáticamente así:

NOTA: Es importante que entiendas esto,

pues es el núcleo por el que después

entenderás otros conceptos, si no es así,

dímelo

Derivada de una función en un punto Dada una función y = f(x), se llama derivada de la función f en un punto x0 al

f '(x0 ) (efe prima de equis sub-cero) o por D(f(x0 )):

Cuando este límite existe (y es finito) se dice que la función f(x) es derivable en el punto x0.

Significado de la derivada

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Puesto que

la derivada de la función en un punto x0 no es otra cosa que la pendiente de la tangente a la curva (gráfica de la función) en

(x0,f(x0 )).

Calcular la derivada de la función f(x) = 3x + 5 en el punto de abscisa x = 1.

Resolución:

Se pide el valor de f '(1) (en este caso, x0 = 1).

Por tanto, f '(1) = 3.

Calcular la derivada de la función

f(x) = en el punto 2. Resolución:

(conjugado del numerador)

Recordando que suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados:

Ejercicio: cálculo de la ecuación de la tangente a una función en un punto

Calcular la ecuación de la tangente a la curva f(x) = x2 en el punto de abscisa 2. Resolución:

La tangente pasa por el punto (2, f(2)) = (2,4).

La pendiente (m) de la tangente a la curva en el punto de abscisa 2 es, por definición, f '(2), luego la ecuación de la recta es de la

forma

y - y0 = m (x - x0)

y - 4 = f '(2) (x - 2).

La ecuación de la tangente es entonces

y - 4 = 4(x - 2)

y - 4 = 4x - 8

4x - y - 4 = 0.

DEFINICIÓN DE DERIVADA

La derivada de la función )(xf se define mediante el límite:

h

xfhxfxf

h

)()(lim)('

0

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1. Utilice la definición de derivada para hallar la derivada de la siguiente función: 25)( xxf

DERIVADAS ELEMENTALES

1. Si kxf )( entonces 0)(' xf

2. Si xxf )( entonces 1)(' xf

3. Si nxxf )( ;

1)(' nxnxf

4. Si xxf )( ; x

xf2

1)('

5. Si xbxf )( ; )ln()(' bbxf x

6. Si xexf )( ;

xexf )('

7. Si )(log)( xxf b ; )ln(

1)('

bxxf

8. Si )ln()( xxf ; x

xf1

)('

ALGEBRA DE LAS DERIVADAS

1. Derivada de una suma ( diferencia )

)(')('')()( xgxfxgxf

2. Derivada de un producto

)(')()()('')()( xgxfxgxfxgxf

3. Derivada de una división

2)(

)(')()()(''

)(

)(

xg

xgxfxgxf

xg

xf

OTRAS NOTACIONES PARA LA DERIVADA

Si )(xfy , la deriva de )(xf se puede anotar de las siguientes formas: )()(' )1( xfdx

dyxf

CRECIMIENTO

Si f es derivable en a:

DECRECIMIENTO

Si f es derivable en a:

MÁXIMOS LOCALES

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0 2. f''(a) < 0

MÍNIMOS LOCALES

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0 2. f''(a) > 0

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS:

MONOTONIA (CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO) Y OPTIMIZACIÓN (MÁXIMOS Y MÍNIMOS)

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la formula:

R(x)=-0.002x2+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en

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cuenta que disponemos de 500 euros:

a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad

b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.

c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.

Solución

a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es

negativa decrece

Procedimiento:-Se deriva la función: R`(x)=-0,004x+0,8 -Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta: R`(x)=0

, -Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en

este caso x =200). Hay varios métodos, uno muy mecánico:

f

f ´ + 200 -

se coge un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos R´(100)=0,4>0 y en otro mayor que 200 (por ejemplo 300)

R´(300)=-0,4<0

Entonces la derivada es positiva en el intervalo (0, 200), y f es creciente en ese intervalo y es decreciente en (200, 500) ya que en

ese intervalo nos ha dado negativa la derivada. Lo que nos dice también que en punto 200 hay un máximo local

b) Teniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 200 euros.

c) La máxima rentabilidad es R(200)= -0,002.(200)2+0,8.200-5=75 euros

Solución gráfica

2. La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función V(t)= 40+15t-9t2+t3, donde t es

el tiempo(en horas) transcurrido desde que comienzo en estudio (t=0). Indicar los instantes de máxima y mínima virulencia en las

6 primeras horas y los intervalos en que esta crece y decrece.

Solución

Para que la función tenga un máximo o un mínimo la derivada debe ser cero.

V´(t)= 15-18t+3t2, igualando a 0, 3t2-18t+15=0

Simplificando t2-6t+5=0, cuyas soluciones son 5 y 1.

Ahora voy a ver quien es el máximo y quien el mínimo de la función, en el intervalo [0, 6], que tiene que estar entre estos dos

valores junto o en los extremos del intervalo (por el teorema de Weirtrars).

Ordenamos la función V por comodidad, V(t)= t3-9t2+15t+40

V(0)=40

V(5)=125-225+75+40 =15

V(1)=1-9+15+40= 47

V(6)=216-324+90+40=22

La máxima virulencia es a las 1 horas y la mínima a las 5 horas.

Para ver los intervalos de crecimiento y decrecimiento estudiamos el signo de la derivada: V’(t)=3t2-18t+15

0 1 5 6

V’ + 0 - 0 +

Luego V crece desde 0 a 1 y desde 5 a 6, (crece en (0, 1) unión (5, 6) ) y decrece en el intervalo (1, 5)

Observando la gráfica de esta función vemos lo q hemos deducido.

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3. Un coche de competición se desplaza a una velocidad que, entre las 0 y 2 horas, viene dada por la expresión v(x)= (2-x).ex,

donde x es el tiempo en horas y v(x) es a velocidad en cientos de kilómetros. Hallar en que momento del intervalo circula a

la velocidad máxima y calcular dicha velocidad. ¿En que periodos gano velocidad y en cuales redujo? ¿Se detuvo alguna vez?

SOLUCIÓN

Nos piden q estudiemos el crecimiento y decrecimiento y el máximo de la función velocidad v.

Por eso utilizamos la derivada, ya que sabemos (por teoría) que si la derivada da positiva la función crece y si da negativa decrece.

También sabemos que, la función tiene un máximo relativo en un punto, si la derivada, en ese punto, es 0 (condición necesaria) y

además cambia el crecimiento (es decir pasa de crecer a decrecer)

La derivada es:

v’(x)=-1.ex + ex.(2-x)= -ex + 2 ex- x .ex = ex- x. ex, sacando factor común ex se llega a: v’(x)=((1-x)ex

Igualando a 0 nos da (1-x).ex =0, de donde 1-x =0 y por tanto x =1, (ya q ex nunca puede ser cero)

Estudiamos v en los alrededores de 1

v ‘ + 1 - 2

y crece decrece

Por lo tanto en x=1 hay máximo y la función crece de 0 a 1 (gana velocidad) y decrece de 1 a 2 (reduce velocidad), veamos los

valores en ese punto y en el extremo:

v(x)= (2-x)ex

v(1)=(2-1).e = e (aquí el máximo como justificamos antes)

v(0)=(2-0).1=2

v(2)=(2-2).1=0 como da la velocidad 0 aquí se detuvo.

LA GRÁFICA:

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(No es necesaria la gráfica solo la pongo para ayudar a entender lo que se hace, vemos que pasa justo lo que hemos deducido entre

0 y 2)

REGLA DE LA CADENA

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.

En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto ax puede ser calculada con el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

EJEMPLOS:

1. Sea f(x) = 5(x2-3x+4)6 Hallar la derivada de la función:

Solución:

F’(x) = 6*5(x2-3x+4)5*(2x-3)

F’(x) = 30(x2-3x+4)5*(2x-3)

2. Sea f(x) = -6(2x3+8x+16)3

Solución:

F’(x) = -6*3(2x3+8x+16)2(6x2+8)

F’(x) = -18(2x3+8x+16)2(6x2+8)

ACTIVIDADES DE APROPIACIÓN

1) utiliza el concepto de derivada para hallar la derivada de:

a) 53)( 2 xxxf b) 64)( xxf

2. Determine la derivada de las siguientes funciones:

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a) 2)( xxf b)

5)( xxf c) 2)( xf d) xxf )( e) 3)( xxf

f) xexf )( g)

xxf 2)( h) )ln()( xxf i) )log()( xxf

3. Determine la derivada de las siguientes funciones:

a) 53)( 2 xxxf b) 656)( 2 xxxf c) 133)( 23 xxxxf

d) xxxf 34)( e) )ln()( xxxf f) 2)( xexf x

4. Determine la derivada de las siguientes funciones:

a)xexxf )( b) )ln()( 2 xxxf c)

xe

xxf

4

)( d))ln(

)(x

exf

x

e)x

xxf

)ln()( f)

xxxf 2)( 2

5. Determine la derivada de las siguientes funciones:

a) f (t) = t 2 +1( ) × t 3 + t 2 +1( ) b) f (z) =1

2z-

1

3z2 c) f (t) =

t -1

t 2 + 2t +1

d) f (x) =3x

x3 + 7x - 5 e) f (x) =

5 - 4x2 + x5

x3 f) f (x) = 4 x5 +

2

x

6. En cada caso, determine dx

dy:

a) 632 23 xxy b) cbxaxy 2 c) xxy ln

d) xe

xy

2

e) xxy 23 f)

xy

x

log

6

7. Determine la derivada de las siguientes funciones:

f (x) = x2 + x( )6

b) f (x) = 2x3 +1( )-5

c) 2

3

32)( xxf

d) f (x) = x3 +1 e) f (t) =t 2 +1

t 2 -1 f) f (u) =

1

u +1( )2

8. Determine la derivada de las siguientes funciones:

a)62

)( xexf b)tetf 53)( c)

22)( xexxf d) u

euf

u2

)( e)825)( xxf

f)wwwf 622)(

9. Determine la derivada de las siguientes funciones:

a) )43ln()( xxf b)

u

uuf

1

1ln)( c) 12ln1)( 2 tttf

d) 21ln)( wwf e) 2log)( 3 xxf f) xxxf 42log)(

10. Determine la derivada de las siguientes funciones:

a) f (x) = x3 + ln x2 +1( ) b) f (t) = et × t 5 + 2

c) 3 )ln()( xexf x d) f (u) = ln( u + 2u)

11. En cada caso, determine 2

2

dx

yd y

3

3

dx

yd:

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a) 12 25 xxy b) 2ln6 xxy

c) xxey x d) xey x

12. Aplicando la Regla de L’hopital calcule los siguientes límites:

xx

xx

x 23

3lim

4

23

0

b)

675

252lim

2

2

2

xx

xx

x

20

1lim

x

ex x

x

d)

2

)1ln(lim

2

x

x

x

2

2

0

32lim

x

ee xx

x

f)

1

21lim

1

x

x

x

SOCIALIZACIÓN

Resolver algunos ejercicios en el tablero para aclarar las dudas presentadas.

COMPROMISO

Realizar todos los ejercicios de apropiación en el cuaderno y preparar con tiempo las evaluaciones.

PROBLEMAS DE APLICACIONES FÍSICAS DE LA DERIVADA

1La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es e(t) = 6t 2.

Calcular:

1 la velocidad media entre t = 1 y t = 4.

2 La velocidad instantánea en t = 1.

2Debido a unas pésimas condiciones ambientales, una colonia de un millón de ba cterias no comienza su

reproducción hasta pasados dos meses. La función que representa la población de la colonia al variar el

tiempo (expresado en meses) viene dada por:

Se pide:

1. Verificar que la población es función continua del tiempo.

2. Calcular la tasa de variación media de la población en los intervalos [0, 2] y [0, 4].

3. Calcular la tasa de variación instantánea en t = 4.

3Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la función p(t) = 5000 + 1000t² , siendo t el

tiempo metido en horas. Se pide:

1. La velocidad media de crecimiento.

2. La velocidad instantánea de crecimiento.

3. La velocidad de crecimiento instantáneo para t 0 = 10 horas.

4La ecuación de un movimiento rectilíneo es: e(t) = t³ − 27t. ¿En qué momento la velocidad en nula?

Hallar la aceleración en ese instante.

5La ecuación de un movimiento circular es: φ(t) = ½t². ¿Cuál es la velocidad y la aceleración angulares al

cabo de siete segundos?

6Un observador se encuentra a 2000 m de lanzamiento de la torre de un cohete. Cuando éste despega

verticalmente mide la variación del ángulo Φ(t) que forma la línea visual que le une con el cohete y la del

suelo horizontal en función del tiempo tra nscurrido. Sabiendo que Φ'(t) = Π/3, se pide:

1. ¿Cuál es la altura del cohete cuando Φ = Π/3 radianes?

2. ¿Cuál es la velocidad del cohete cuando Φ = Π/3 radianes?

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7Se bombea gas a un globo esférico a razón de 6m 3 /min. Si la presión se mantiene constante . ¿Cuál es la

velocidad con la que cambia el radio del globo cuando el diámetro mide 120 cm?

8¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la ecuación e(t) = 2 − 3t 2 en el quinto

segundo de su recorrido? El espacio se mide en metros y el tie mpo en segundos.

9 La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los

días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley:

C = 0.01x3 − 0.45x2 + 2.43x + 300

1. Determinar las cotizaciones máximas y mínima, así como los días en que ocurrieron, en días distintos

del primero y del último.

2. Determinar los períodos de tiempo en el que las acciones subieron o bajaron.

10. Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de una hora viene dado por:

r = 300t (1−t).

Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide:

1. ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?

2. ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?

3. ¿Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?

ELABORÓ REVISÓ APROBÓ

NOMBRES

Aura Alexandra Uribe Rozo

Aura Alexandra Uribe Rozo

OSCAR MENDOZA

CARGO Docentes de Área Jefe de Área Coordinador Académico

19 05 2015 16 06 2015