GUÍA DE AUTOAPRENDIZAJES MATEMÁTICA DUODÉCIMO …

TEMA 1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

GUÍA DE AUTOAPRENDIZAJES

MATEMÁTICA

DUODÉCIMO GRADO

BACHILLER EN CIENCIAS

BACHILLER EN TECNOLOGÍA E INFORMÁTICA

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

DIRECCIÓN REGIONAL DE EDUCACIÓN DE SAN MIGUELITO

INSTITUTO RUBIANO

MATEMÁTICA

TERCER TRIMESTRE

DUODÉCIMO GRADO

BACHILLER EN CIENCIAS

BACHILLER EN TECNOLOGÍA E INFORMATICA

PREPARADO POR:

Raquel Atencio ([email protected])

(Horas de atención) miércoles: 9:00 a.m./9:20 a.m.; jueves: 9:00 a.m./9:20 a.m.

Vilma Prado ([email protected])

(Horas de atención) miércoles: 9:00 a.m./9:20 a.m.; jueves: 9:00 a.m./9:20 a.m.

Gloribeth Vega ([email protected])

(Horas de atención) martes: 3:30 p.m./3:50 p.m.; jueves: 1:30 p.m./1:50 p.m.

Hernán Castillo ([email protected])

(Horas de atención) lunes: 1:30 p.m./1:50 p.m.; martes: 2:30 p.m./2:50 p.m.

FECHA DE ENTREGA POR EL ESTUDIANTE:

12 de noviembre de 2021

mailto:[email protected]




ÍNDICE

Contenidos Páginas

Guía didáctica 1

Límite de una función………………………………………………………………. 1 – 7

Guía didáctica 2

Limites indeterminados (factorización)………………………………………. 8 – 11

Guía didáctica 3

Limites indeterminados (racionalización)………………………………….... 12 – 15

Guía didáctica 4

La Derivad…………………………………………………………………………. 16 – 21

Referencias Bibliografía e Infografías………………………………………………22

PRESENTACIÓN

Esta guía de auto instrucción se encuentra dirigidas a los estudiantes que cursan el duodécimo grado

de los Bachilleres de Ciencias y Tecnología e Informática del Instituto Rubiano, para ser desarrollada

por el alumno desde su casa de forma no presencial.

Las mismas tienen como objetivo lograr el aprendizaje de conocimientos básicos de Matemáticas con

los cuales debe contar el alumnado para poder seguir satisfactoriamente sus estudios a nivel

universitario.

Es importante que pongas todo tu empeño y esfuerzo en lograr cada uno de los objetivos propuestos,

exhortándote cumplir con responsabilidad las lecturas de las partes teóricas, de los ejemplos resueltos,

la observación de los videos de apoyo y la realización de las actividades, de manera que lleguemos

con éxitos al final de esta nueva experiencia de aprendizaje.

INDICACIONES GENERALES

Las guías didácticas son publicadas especialmente para los estudiantes que no se pueden conectar a

las clases a través de Microsoft Teams. En cada una se muestran las definiciones, ejemplos y

asignaciones respectivas. También se encuentran páginas web, vídeos y bibliografía para que el

alumno pueda complementar el contenido.

Las asignaciones que el alumno debe desarrollar y entregar deben ser enviadas al correo institucional

del profesor (a) en un único archivo en formato PDF.

OBJETIVO GENERAL

• Manifestar una actitud constructiva y reflexiva ante problemas planteados en la resolución de

situaciones de su entorno.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Verifica la existencia del límite de una función.

• Aplica la derivada de funciones para resolver situaciones reales.

INDICADORES DE LOGROS

• Explica con seguridad y coherencia el concepto de derivada de una función.

• Aplica los teoremas de límite de funciones, mostrando destrezas y responsabilidad en la

solución de ejercicios.

• Calcula la derivada de funciones algebraicas y trascendentes aplicando los teoremas.

1

GUÍA DIDÁCTICA 1

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

ACTIVIDADES DE INICIO

OBSERVA LOS SIGUIENTES VIDEOS AUTO INSTRUCTIVOS DEL TEMA

Limites | Introducción y conceptos básicos

https://www.youtube.com/watch?v=o2UTk8bsLS0

LÍMITES Introducción, Gráfica y Cálculo

https://www.youtube.com/watch?v=uVwa7hHiROc

Teoremas básicos de límites matemáticos sobre funciones. Reglas y ejemplos

https://www.youtube.com/watch?v=Ggro0sCkG2U

ACTIVIDAD DE DESARROLLO

CONTENIDO

El límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático

aplicado a las funciones. En particular, el concepto aplica en análisis real al estudio

de límites, continuidad y derivabilidad de las funciones reales.

Intuitivamente, el hecho de que una función f alcance un límite L en un punto c

significa que, tomando puntos suficientemente próximos a c, el valor de f puede ser

tan cercano a L como se desee. La cercanía de los valores de f y L no depende del

valor que adquiere f en dicho punto c.

El límite funcional es un concepto relacionado con la variación de los valores de una

función a medida que varían los valores de la variable y tienden a un valor

determinado. El límite de una función en un valor determinado de x es igual a un

número al cual tiende la función cuando la variable tiende a dicho valor. Este hecho

se indica así:

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇(𝒙)

https://www.youtube.com/watch?v=o2UTk8bsLS0

https://www.youtube.com/watch?v=uVwa7hHiROc

https://www.youtube.com/watch?v=Ggro0sCkG2U

2

Para comprender un poco más el concepto de límite analizaremos el siguiente

ejemplo:

Si tenemos el conjunto 𝐴 = { 1

𝑥 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥 ∈ ℕ} entonces algunos de estos elementos

del conjunto serán:

𝐴 = {1,1

2,1

3,1

4,1

5, … }

Hacemos una representación gráfica del conjunto A en la recta numérica,

tendremos:

Como apreciamos en la gráfica, el valor de la expresión 1

𝑥 , se va haciendo cada vez

más pequeño y cada vez más cerca de cero; entonces ocurrirá que cuando el valor

de x se hace muy grande, 1

𝑥, será sumamente pequeño, tan pequeño que tiende a

anularse, es decir se acerca mucho a cero.

Podemos deducir que la expresión 1

𝑥, tiene un límite hacia el cual se acerca tanto

que puede considerarse igual a él, como podemos ver nuestro ejemplo ese límite

es cero.

De lo anterior, concluimos que el límite de la expresión 1

𝑥, cuando x tiene a infinito

(valor sumamente grande), es cero. Esto podemos escribirlo así:

𝐥𝐢𝐦𝒙→∞

𝟏

𝒙= 𝟎

Esta expresión se lee: el límite de 1

𝑥, cuando x tiende a infinito, es cero.

3

El cálculo de límites usando valores crecientes y decrecientes emplea demasiado

tiempo. Por esos se estudiarán una serie de proposiciones que serán útiles para el

cálculo de límites.

TEOREMA SOBRE LÍMITES

1) El límite de una constante k cuando x tiende al valor a es la constate k.


𝒌 = 𝒌

Ejemplos:

1. lim𝑥→3

8 = 8

2. lim𝑥→2

√3 = √3

2) El límite de x cuando x tiende a al valor a es a.


𝒙 = 𝒂

Ejemplos:

1. lim𝑥→7

𝑥 = 7

2. lim𝑥→−4

𝑥 = −4

Caso Particular:

El límite del producto de una constante por una función, cuando x → a, es igual al

producto de la constante por el límite de la función cuando x → a.


𝒌 ∙ 𝒇(𝒙) = 𝒌 ∙ 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇(𝒙) = 𝒌 ∙ 𝒇(𝒂)

Ejemplos:

1. lim𝑥→3

7𝑥 = 7 lim𝑥→3

𝑥 = 7 ∙ 3 = 21

2. lim𝑥→−5

2 𝑥 = 2 lim𝑥→−5

𝑥 = 2(−5) = −10

4

3) Si m y b son dos constantes cualesquiera,


(𝒎𝒙 + 𝒃) = 𝒎 ∙ 𝒂 + 𝒃

Ejemplos:

1. lim𝑥→4

(3𝑥 + 8) = 3(4) + 8 = 12 + 8 = 20

2. lim𝑥→−3

(2𝑥 + 15) = 2(−3) + 15 = −6 + 15 = 9

4) El límite de la suma de un número finito de funciones cuando x → a es igual a la

suma de los límites de estas funciones cuando x → a:

Sea f y g son dos funciones tales que:


𝒇(𝒙) = 𝑳 𝒚 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒈(𝒙) = 𝑴

Entonces,


[𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙)] = 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇(𝒙) + 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒈(𝒙) = 𝑳 + 𝑴

De igual forma:


[𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)] = 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇(𝒙) − 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒈(𝒙) = 𝑳 − 𝑴

Ejemplos:

5) El límite del producto de un número finito de funciones cuando x → a, es igual al

producto de los límites de estas funciones cuando x → a.

5

Sea f y g son dos funciones tales que:



𝒈(𝒙) = 𝑴

Entonces,


[𝒇(𝒙) ∙ 𝒈(𝒙)] = 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇(𝒙) ∙ 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒈(𝒙) = 𝑳 ∙ 𝑴

Ejemplo:

6) El límite del cociente de dos funciones cuando x → a es igual al cociente de los

límites de las funciones cuando x → a, siempre que el límite de denominador no sea

igual a cero.



𝒈(𝒙) = 𝑴 𝒚 𝑴 ≠ 𝟎

Entonces,


𝒇(𝒙)

𝒈(𝒙)=


𝒇(𝒙)


𝒈(𝒙)=

𝑳

𝑴

Ejemplo:

7) El límite de la potencia de una función cuando x → a y n es cualquier entero

positivo, es igual a la función cuando x → a elevada a n.

6

Ejemplos:

8) El límite de una función dentro de un radical. Cuando x → a es igual a la raíz n

del límite de la función.


√𝒇(𝒙)𝒏

= √𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇(𝒙)𝒏

Ejemplo

9) Si lim𝑥→𝑎

𝑓1(𝑥) = 𝐿1, lim𝑥→𝑎

𝑓2(𝑥) = 𝐿2, … , lim𝑥→𝑎

𝑓𝑛(𝑥) = 𝐿𝑛

𝒊) 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

[𝒇𝟏(𝒙) + 𝒇𝟐(𝒙)+, … , +𝒇𝒏(𝒙)] = 𝑳𝟏 + 𝑳𝟐+, … , +𝑳𝒏

𝒊𝒊) 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

[𝒇𝟏(𝒙) ∙ 𝒇𝟐(𝒙) ∙, … ,∙ 𝒇𝒏(𝒙)] = 𝑳𝟏 ∙ 𝑳𝟐 ∙, … ,∙ 𝑳𝒏

Ejemplos: (Aplicando los teoremas anteriores)

lim𝑥→2

(7𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 − 10) = 7 lim𝑥→2

𝑥3 − 4 lim𝑥→2

𝑥2 + lim𝑥→2

𝑥 − lim𝑥→2

10

= 7 [ lim𝑥→2

𝑥 ] 3

− 4 [ lim𝑥→2

𝑥 ] 2

+ lim𝑥→2

𝑥 − lim𝑥→2

10

= 7[ 2 ] 3 − 4 [ 2 ] 2 + 2 − 10

= 32

Las reglas para el cálculo de límites se aplican a las operaciones principales: si se

opera con dos funciones, siendo las operaciones adición, sustracción,

multiplicación, división o potencia, y se calcula su límite en un punto, el resultado es

igual a la misma operación aplicada al resultado de los límites de dichas funciones

en el punto en cuestión.

7

ACTIVIDAD DE CIERRE

INSTITUTO RUBIANO

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

ASIGNACIÓN SUMATIVA # 1

LÍMITES DE UNA FUNCIÓN

Nombre: ______________________ 12º____ Fecha: ___________

Profesor: __________________________ Puntos:____/60.

INDICACIONES GENERALES:

• Entregar las asignaciones en UN SOLO ARCHIVO WORD O PDF, escaneado o

fotos lo más claras posibles.

• Desarrollar la prueba a lápiz marcando fuertemente o pluma sin tachones ni borrones.

• Debe ser ordenado y coherente en su desarrollo.

• Debe ser entregado al correo electrónico del docente.

• Entregar puntualmente según fecha indicada.

I. PARTE: Representa los siguientes conjuntos en una recta numérica e indica a que limite

se acercan. ℕ indica el conjunto de los números naturales, ℕ0 indica los números naturales

y el cero.

II PARTE: Determina los siguientes limites utilizando los teoremas

1. lim𝑥 → −5

( 5 − 𝑥 ) 2. lim𝑥 → 3

( 𝑥3 − 2𝑥2 + 1 ) 3. lim𝑥 → −9

8

𝑥 + 13

4. lim𝑥 →

12

5𝑥2 − 23𝑥 − 10

5𝑥 + 3 5. lim

𝑥 → −1 √3𝑥2 + 6 6. lim

𝑥 → 7 √𝑥2 − 25

7. lim𝑥 → 4

√𝑥2 − 3𝑥 + 4

2𝑥2 − 𝑥 − 1

3

= 8. lim𝑥 → 7

𝑥2 − 49

𝑥 + 7 9. lim

𝑥 → −3

2𝑥 − 6

4𝑥2 − 36

10. lim𝑥 → 10

√10𝑥

2𝑥 + 5= 11. lim

𝑥 → 8( 1 + √8

3 ) = 12. lim

𝑥 → 2(

4𝑥3 + 8𝑥

𝑥 + 4)

13

=

8

GUÍA DIDÁCTICA 2

LÍMITE INDETERMINADO (FACTORIZACIÓN)



Solución de límites por factorización | Ejemplo 1

https://www.youtube.com/watch?v=h9lEAU5-CSg


https://www.youtube.com/watch?v=kO_D4w13vyg


https://www.youtube.com/watch?v=-G00rN5_bXU


https://www.youtube.com/watch?v=yAy-cSuSKFc


CONTENIDO

Límites indeterminados

Hasta ahora al calcular el límite de una fracción hemos visto:

a. Si el numerador y el denominador tienen límite distinto de cero, el límite de la

fracción es igual al cociente de los límites.

b. Si el límite del numerador es cero y el denominador es distinto de cero, el

límite de la fracción es cero.

c. Si el límite del numerador es distinto de cero y el denominador es cero, la

fracción no tiene límite y se dice que tiende a más o menos infinito, según el

caso.

Pero si el límite del numerador y del denominador son ambos iguales a cero se

obtiene la expresión 0

0 , que es una de las formas llamadas indeterminadas.

https://www.youtube.com/watch?v=h9lEAU5-CSg

https://www.youtube.com/watch?v=kO_D4w13vyg

https://www.youtube.com/watch?v=-G00rN5_bXU

https://www.youtube.com/watch?v=yAy-cSuSKFc

9

I. CALCULA LOS SIGUIENTES LÍMITES

EJEMPLO 1 PASO 1 (EVALUACION)

𝐥𝐢𝐦𝒙 → 𝟓

𝒙 − 𝟓

𝒙𝟐 − 𝟐𝟓=

(𝟓) − 𝟓

(𝟓)𝟐 − 𝟐𝟓=

𝟓 − 𝟓

𝟐𝟓 − 𝟐𝟓=

𝟎

𝟎 𝑰𝑵𝑫𝑬𝑻𝑬𝑹𝑴𝑰𝑵𝑨𝑫𝑶

PASO 2 (ÀLGEBRA)

∎ 𝒙 − 𝟓

𝒙𝟐 − 𝟐𝟓=

𝒙 − 𝟓

(𝒙 + 𝟓)(𝒙 − 𝟓)=

𝟏

𝒙 + 𝟓

PASO 3 (REESCRIBIR)

∎ 𝐥𝐢𝐦𝒙 → 𝟓

𝒙 − 𝟓

𝒙𝟐 − 𝟐𝟓= 𝐥𝐢𝐦

𝒙 → 𝟓

𝟏

𝒙 + 𝟓=

𝟏

𝟓 + 𝟓=

𝟏

𝟏𝟎


𝐥𝐢𝐦𝒙 → 𝟑

𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟖

𝒙 − 𝟑=

(𝟑)𝟐 + 𝟑(𝟑) − 𝟏𝟖

𝟑 − 𝟑=

𝟗 + 𝟗 − 𝟏𝟖

𝟑 − 𝟑=

𝟎


PASO 2 (ÀLGEBRA)

∎ 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟖

𝒙 − 𝟑=

(𝒙 + 𝟔)(𝒙 − 𝟑)

𝒙 − 𝟑= 𝒙 + 𝟔

PASO 3 (REESCRIBIR)

∎ 𝐥𝐢𝐦𝒙 → 𝟑

𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟖

𝒙 − 𝟑= 𝐥𝐢𝐦

𝒙 → 𝟑 𝒙 + 𝟔 = 𝟑 + 𝟔 = 𝟗


𝐥𝐢𝐦𝒙 → 𝟓

𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟒𝒙 + 𝟐𝟎

𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟒𝒙 − 𝟓=

𝟐(𝟓)𝟐 − 𝟏𝟒(𝟓) + 𝟐𝟎

𝟑(𝟓)𝟐 − 𝟏𝟒(𝟓) − 𝟓=

𝟓𝟎 − 𝟕𝟎 + 𝟐𝟎

𝟕𝟓 − 𝟕𝟎 − 𝟓

TRINOMIO DE LA FORMA 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS


𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃)

10

=𝟎


PASO 2 (ÀLGEBRA) 𝟐 × 𝟐𝟎 = 𝟒𝟎

∎ 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟒𝒙 + 𝟐𝟎

𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟒𝒙 − 𝟓=

(𝟐𝒙 − 𝟏𝟎)(𝟐𝒙 − 𝟒)

(𝟑𝒙 − 𝟏𝟓)(𝟑𝒙 + 𝟏)=

(𝒙 − 𝟓)(𝒙 − 𝟐)

(𝒙 − 𝟓)(𝟑𝒙 + 𝟏)=

(𝒙 − 𝟐)

(𝟑𝒙 + 𝟏)

PASO 3 (REESCRIBIR)

∎ 𝐥𝐢𝐦𝒙 → 𝟓

𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟒𝒙 + 𝟐𝟎

𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟒𝒙 − 𝟓= 𝐥𝐢𝐦

𝒙 → 𝟓

(𝒙 − 𝟐)

(𝟑𝒙 + 𝟏)=

𝟓 − 𝟐

𝟑(𝟓) + 𝟏=

𝟑

𝟏𝟔


𝐥𝐢𝐦𝒙 → 𝟐

𝒙𝟑 − 𝟖

𝒙𝟒 − 𝟏𝟔=

(𝟐)𝟑 − 𝟖

(𝟐)𝟒 − 𝟏𝟔=

𝟖 − 𝟖

𝟏𝟔 − 𝟏𝟔=

𝟎


PASO 2 (ÀLGEBRA)

∎ 𝒙𝟑 − 𝟖

𝒙𝟒 − 𝟏𝟔=

(𝒙 − 𝟐)(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟒)

(𝒙𝟐 − 𝟒)(𝒙𝟐 + 𝟒)=

(𝒙 − 𝟐)(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟒)

(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟐)(𝒙𝟐 + 𝟒)

=(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟒)

(𝒙 + 𝟐)(𝒙𝟐 + 𝟒)

PASO 3 (REESCRIBIR)

∎ 𝐥𝐢𝐦𝒙 → 𝟐

𝒙𝟑 − 𝟖

𝒙𝟒 − 𝟏𝟔= 𝐥𝐢𝐦

𝒙 → 𝟐

(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟒)

(𝒙 + 𝟐)(𝒙𝟐 + 𝟒)=

(𝟐)𝟐 + 𝟐(𝟐) + 𝟒

(𝟐 + 𝟐)(𝟐𝟐 + 𝟒)=

𝟏𝟐

𝟑𝟐=

𝟑

𝟖

TRINOMIO DE LA FORMA 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

TRINOMIO DE LA FORMA 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS


DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

𝒂𝟑 − 𝒃𝟑 = (𝒂 − 𝒃)(𝒂𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐)

11

ACTIVIDAD DE CIERRE

INSTITUTO RUBIANO



LÍMITES INDETERMINADOS

(FACTORIZACIÓN)

Nombre: ______________________ 12º____ Fecha: ___________

Profesor: __________________________ Puntos:____/60.








I PARTE. Calcula los siguientes límites

1. lim𝑥 → −2

𝑥2 + 9𝑥 + 14

𝑥 + 2 2. lim

𝑥 → −1 𝑥2 − 1

𝑥 + 1= 3. lim

𝑥 → 4

𝑥2 + 4𝑥 − 32

𝑥2 − 6𝑥 + 8

4. lim𝑥 → −7

4𝑥2 + 27𝑥 − 7

𝑥 + 7 5. lim

𝑥 → −3

𝑥 + 3

𝑥2 − 6𝑥 − 27 6 lim

𝑠 → 4

3𝑠2 − 17𝑠 + 20

4𝑠2 − 25𝑠 + 36

7. lim𝑥 →

97

9 − 7𝑥

81 − 49𝑥2 8. lim

𝑥 → −3

𝑥2 − 9

𝑥2 + 8𝑥 + 15 9. lim

𝑥 → 6

𝑥2 + 3𝑥 − 54

𝑥2 − 36

10. lim𝑥 → 2

𝑥3 − 8

2𝑥2 − 3𝑥 − 2 11. lim

𝑥 → 1

𝑥4 − 1

𝑥3 − 1 12. lim

𝑥 → 0

5𝑥3 + 8𝑥2

3𝑥4 − 16𝑥2

13. lim𝑥 → −

54

16𝑥2 − 25

4𝑥 + 5

14. lim𝑥 → 0

13 + 𝑥 −

13

𝑥 15. lim

𝑥 → 1

𝑥4 − 1

𝑥4 + 4𝑥2 − 5

12

GUÍA DIDÁCTICA 3

LÍMITE INDETERMINADO (RACIONALIZACIÓN).



Solución de límites por racionalización | Ejemplo 1

https://www.youtube.com/watch?v=7c4wBd2Iko8

Solución de límites por racionalización | Ejemplo 2

https://www.youtube.com/watch?v=O4Hl-rXDNsY


CONTENIDO

Racionalización de radicales. También se le conoce como racionalizar una

fracción con raíces en el denominador, que consiste en operar para eliminar los

radicales del denominador de una fracción. Para ello se multiplica el numerador y

el denominador por otra expresión de forma que, al operar, se elimine la raíz del

denominador

I. CALCULA LOS SIGUIENTES LÍMITES


𝐥𝐢𝐦𝒙 → 𝟒

√𝒙 − 𝟐

𝒙 − 𝟒=

√𝟒 − 𝟐

𝟒 − 𝟒=

𝟐 − 𝟐

𝟒 − 𝟒=

𝟎


PASO 2 (RACIONALIZACION)

∎ √𝒙 − 𝟐

𝒙 − 𝟒=

√𝒙 − 𝟐

𝒙 − 𝟒∙

√𝒙 + 𝟐

√𝒙 + 𝟐=

(√𝒙)𝟐

− ( 𝟐 )𝟐

(𝒙 − 𝟒)(√𝒙 + 𝟐)=

(𝒙 − 𝟒)

(𝒙 − 𝟒)(√𝒙 + 𝟐)=

𝟏

√𝒙 + 𝟐

PASO 3 (REESCRIBIR)

∎ 𝐥𝐢𝐦𝒙 → 𝟒

√𝒙 − 𝟐

𝒙 − 𝟒= 𝐥𝐢𝐦

𝒙 → 𝟒

𝟏

√𝒙 + 𝟐=

𝟏

√𝟒 + 𝟐=

𝟏

𝟐 + 𝟐=

𝟏

𝟒

https://www.youtube.com/watch?v=7c4wBd2Iko8

https://www.youtube.com/watch?v=O4Hl-rXDNsY

13


𝐥𝐢𝐦𝒙 → 𝟎

𝒙

√𝒙 + 𝟏 − 𝟏=

𝟎

√𝟎 + 𝟏 − 𝟏=

𝟎

𝟏 − 𝟏=

𝟎



∎ 𝒙

√𝒙 + 𝟏 − 𝟏 =

𝒙

√𝒙 + 𝟏 − 𝟏∙

√𝒙 + 𝟏 + 𝟏

√𝒙 + 𝟏 + 𝟏 =

𝒙(√𝒙 + 𝟏 + 𝟏)

(√𝒙 + 𝟏)𝟐

− ( 𝟏 )𝟐

=𝒙(√𝒙 + 𝟏 + 𝟏)

𝒙 + 𝟏 − 𝟏=

𝒙(√𝒙 + 𝟏 + 𝟏)

𝒙= (√𝒙 + 𝟏 + 𝟏)

PASO 3 (REESCRIBIR)

∎ 𝐥𝐢𝐦𝒙 → 𝟎

𝒙

√𝒙 + 𝟏 − 𝟏= 𝐥𝐢𝐦

𝒙 → 𝟎 (√𝒙 + 𝟏 + 𝟏) = (√𝟎 + 𝟏 + 𝟏) = 𝟏 + 𝟏 = 𝟐


𝐥𝐢𝐦𝒙 → 𝟗

√𝟐𝒙 − 𝟗 − 𝟑

𝒙𝟐 − 𝟗𝒙=

√𝟐(𝟗) − 𝟗 − 𝟑

(𝟗)𝟐 − 𝟗(𝟗)=

√𝟏𝟖 − 𝟗 − 𝟑

𝟖𝟏 − 𝟖𝟏=

𝟑 − 𝟑

𝟖𝟏 − 𝟖𝟏

=𝟎



∎ √𝟐𝒙 − 𝟗 − 𝟑

𝒙𝟐 − 𝟗𝒙=

√𝟐𝒙 − 𝟗 − 𝟑

𝒙𝟐 − 𝟗𝒙∙

√𝟐𝒙 − 𝟗 + 𝟑

√𝟐𝒙 − 𝟗 + 𝟑=

(√𝟐𝒙 − 𝟗)𝟐

− 𝟑𝟐

(𝒙𝟐 − 𝟗𝒙)(√𝟐𝒙 − 𝟗 + 𝟑)

=𝟐𝒙 − 𝟗 − 𝟗

𝒙(𝒙 − 𝟗)(√𝟐𝒙 − 𝟗 + 𝟑)

FACTOR COMUN MONOMIO

=𝟐𝒙 − 𝟏𝟖

𝒙(𝒙 − 𝟗)(√𝟐𝒙 − 𝟗 + 𝟑)=

𝟐(𝒙 − 𝟗)

𝒙(𝒙 − 𝟗)(√𝟐𝒙 − 𝟗 + 𝟑)=

𝟐

𝒙(√𝟐𝒙 − 𝟗 + 𝟑)

14

PASO 3 (REESCRIBIR)

∎ 𝐥𝐢𝐦𝒙 → 𝟗

√𝟐𝒙 − 𝟗 − 𝟑

𝒙𝟐 − 𝟗𝒙= 𝐥𝐢𝐦

𝒙 → 𝟗

𝟐

𝒙(√𝟐𝒙 − 𝟗 + 𝟑)=

𝟐

(𝟗) (√𝟐(𝟗) − 𝟗 + 𝟑)

=𝟐

(𝟗)(√𝟏𝟖 − 𝟗 + 𝟑)=

𝟐

(𝟗)(√𝟗 + 𝟑)=

𝟐

(𝟗)(𝟑 + 𝟑)=

𝟐

(𝟗)(𝟔)=

𝟐

𝟓𝟒=

𝟏

𝟐𝟕


𝐥𝐢𝐦𝒙 → 𝟒

√𝟓 + 𝒙 − √𝟏𝟑 − 𝒙

𝒙 − 𝟒=

√𝟓 + 𝟒 − √𝟏𝟑 − 𝟒

𝟒 − 𝟒=

√𝟗 − √𝟗

𝟒 − 𝟒=

𝟎



∎ √𝟓 + 𝒙 − √𝟏𝟑 − 𝒙

𝒙 − 𝟒=

√𝟓 + 𝒙 − √𝟏𝟑 − 𝒙

𝒙 − 𝟒∙

√𝟓 + 𝒙 + √𝟏𝟑 − 𝒙

√𝟓 + 𝒙 + √𝟏𝟑 − 𝒙

=(√𝟓 + 𝒙)

𝟐− (√𝟏𝟑 − 𝒙)

𝟐

(𝒙 − 𝟒)(√𝟓 + 𝒙 + √𝟏𝟑 − 𝒙)

=𝟓 + 𝒙 − (𝟏𝟑 − 𝒙)

(𝒙 − 𝟒)(√𝟓 + 𝒙 + √𝟏𝟑 − 𝒙)=

𝟓 + 𝒙 − 𝟏𝟑 + 𝒙

(𝒙 − 𝟒)(√𝟓 + 𝒙 + √𝟏𝟑 − 𝒙)

=𝟐𝒙 − 𝟖

(𝒙 − 𝟒)(√𝟓 + 𝒙 + √𝟏𝟑 − 𝒙)==

𝟐(𝒙 − 𝟒)

(𝒙 − 𝟒)(√𝟓 + 𝒙 + √𝟏𝟑 − 𝒙)

=𝟐

(√𝟓 + 𝒙 + √𝟏𝟑 − 𝒙)

PASO 3 (REESCRIBIR)

∎ 𝐥𝐢𝐦𝒙 → 𝟒

√𝟓 + 𝒙 − √𝟏𝟑 − 𝒙

𝒙 − 𝟒= 𝐥𝐢𝐦

𝒙 → 𝟒

𝟐

(√𝟓 + 𝒙 + √𝟏𝟑 − 𝒙)=

𝟐

(√𝟓 + 𝟒 + √𝟏𝟑 − 𝟒)

=𝟐

(√𝟗 + √𝟗)=

𝟐

𝟔=

𝟏

𝟑

15

ACTIVIDAD DE CIERRE

INSTITUTO RUBIANO



LÍMITES INDETERMINADOS

(RACIONALIZACIÓN)

Nombre: ______________________ 12º____ Fecha: ___________

Profesor: __________________________ Puntos:____/60.








I. Calcula los siguientes límites.

1. lim𝑥 → 49

𝑥 − 49

√𝑥 − 7=

2. lim𝑥 → 9

𝑥 − 9

√𝑥 + 7 − 4=

3. lim𝑥 → 10

3 − √𝑥 − 1

10 − 𝑥=

4. lim𝑥 → −1

√8 − 𝑥 − 3

𝑥 + 1= 5. lim

𝑥 → 2

𝑥2 − 4

3 − √𝑥 + 7= 6. lim

𝑥 → −6

𝑥2 − 36

√4 − 2𝑥 − 4=

7. lim𝑥 → −15

𝑥 + 15

√4 − 4𝑥 − 8=

8. lim𝑥 → 7

𝑥 − 7

4 − √2𝑥 + 2=

9. lim𝑥 → 0

√1 + 𝑥2 − √1 − 𝑥2

𝑥2

=

10. lim𝑥 → 3

𝑥2 − 2𝑥 − 3

√𝑥2 − 2𝑥 + 6 − 𝑥=

11. lim𝑥 → 0

√25 + 𝑥 − 5

√1 + 𝑥 − 1=

12 lim𝑥 → 1

√𝑥 + 3 − 2

1 − √3𝑥 − 2=

16

GUÍA DIDÁCTICA 4

LA DERIVADA



¿Qué es la derivada? | Concepto de derivada

https://www.youtube.com/watch?v=uK4-s0ojHFg

Derivando desde cero (parte 1 de 2) (Introducción a las derivadas-derivadas básicas)

https://www.youtube.com/watch?v=kSyj2CCIccc

Derivada de una suma o diferencia | Reglas de derivación

https://www.youtube.com/watch?v=RBN1HeRmZlc&list=RDCMUCanMxWvOoiwtjL

Ym08Bo8QQ&index=6

Derivada de una raíz | Reglas de derivación

https://www.youtube.com/watch?v=xr0_7dPW-

Iw&list=RDCMUCanMxWvOoiwtjLYm08Bo8QQ&index=2

Derivada de un producto | Reglas de derivación

https://www.youtube.com/watch?v=nTY64wRlczA

Derivada de un cociente | Reglas de derivación

https://www.youtube.com/watch?v=HUq8qmH68x8&list=RDCMUCanMxWvOoiwtjL

Ym08Bo8QQ&index=3


El problema de encontrar la recta tangente a una curva y el problema de encontrar

la velocidad de un objeto, involucran encontrar el mismo tipo de límite. Esta clase

especial de límite se denomina derivada y puede ser interpretada como una razón

de cambio en cualquiera de las ciencias o ingeniería.

Definición:

Sea 𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅 la derivada de la función 𝑓(𝑥) es aquella función denotada 𝑝𝑜𝑟 𝑓(𝑥) tal

que su valor de función en cualquier número x en el dominio de 𝑓(𝑥) está dado por:

𝒇′(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎

𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝒇(𝒙)

𝒉

si este límite existe.

https://www.youtube.com/watch?v=uK4-s0ojHFg

https://www.youtube.com/watch?v=kSyj2CCIccc

https://www.youtube.com/watch?v=RBN1HeRmZlc&list=RDCMUCanMxWvOoiwtjLYm08Bo8QQ&index=6

https://www.youtube.com/watch?v=RBN1HeRmZlc&list=RDCMUCanMxWvOoiwtjLYm08Bo8QQ&index=6

https://www.youtube.com/watch?v=xr0_7dPW-Iw&list=RDCMUCanMxWvOoiwtjLYm08Bo8QQ&index=2

https://www.youtube.com/watch?v=xr0_7dPW-Iw&list=RDCMUCanMxWvOoiwtjLYm08Bo8QQ&index=2

https://www.youtube.com/watch?v=nTY64wRlczA

https://www.youtube.com/watch?v=HUq8qmH68x8&list=RDCMUCanMxWvOoiwtjLYm08Bo8QQ&index=3

https://www.youtube.com/watch?v=HUq8qmH68x8&list=RDCMUCanMxWvOoiwtjLYm08Bo8QQ&index=3

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Observaciones:

a. 𝑓’(𝑥) es una nueva función, y al evaluarlo en un valor del dominio, se obtendrá

un número que puede representar la pendiente de la recta tangente a 𝑓(𝑥) en

ese punto o si 𝑓(𝑥) es la ecuación de movimiento de una 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑓’(𝑥)

evaluada en un tiempo 𝑡0, representará la velocidad instantánea en 𝑡0, o si

𝑓(𝑥) es la ecuación costo total, 𝑓’(𝑥) evaluada en 𝑥 = 𝑥1 representará el

costo marginal 𝑥1.

b. La derivada de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) se denota de diversas formas:

𝑓′( 𝑥 ) = 𝑦′ =𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑓

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥𝑓( 𝑥 ) = 𝐷(𝑓)( 𝑥 ) = 𝐷𝑥𝑓( 𝑥 )

Reglas de diferenciación

En esta sección se introducen algunas reglas que nos permiten derivar una gran

variedad de funciones. Una vez que las hayamos comprobado seremos capaces de

derivar funciones sin tener que aplicar la definición de derivada.

La primera regla sostiene que la derivada de toda función constante es cero.

REGLA 1 Derivada de una función constante

Si 𝒇 tiene el valor constante 𝒇( 𝒙 ) = 𝒄 , entonces 𝒇′( 𝒙 ) = 𝟎

Ejemplos:

1. 𝑓(𝑥) = 7 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 0

2. 𝑓(𝑥) = 𝜋 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 0

La segunda regla nos dice cómo derivar 𝒙𝒏 si 𝒏 es un entero positivo.

REGLA 2 Regla de potencias para enteros positivos

Si 𝒇( 𝒙 ) = 𝒙𝒏 , donde n es un entero positivo, entonces 𝒇′(𝒙) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏

Ejemplos:

1. 𝑓(𝑥) = 7𝑥 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 7𝑥1−1 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 7𝑥0 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 7

2. 𝑓(𝑥) = 𝑥4 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 4𝑥4−1 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 4𝑥3

3. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 3𝑥3−1 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2

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La tercera regla dice que, cuando una función diferenciable se multiplica por una

constante, su derivada está multiplicada por la misma constante.

REGLA 3 Regla del múltiplo constante

Si 𝒇( 𝒙 ) = 𝒄𝒙𝒏 es una función diferenciable de x, y c es una constante, 𝑛 ∈ ℤ distinto

de cero, entonces 𝒇′(𝒙) = 𝒏𝒄𝒙𝒏−𝟏

Ejemplos:

1. 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 4 ∙ 3𝑥4−1 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 12𝑥3

2. 𝑓(𝑥) = 7𝑥8 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 8 ∙ 7𝑥8−1 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 56𝑥7

3. 𝑓(𝑥) = 3𝑥−5 ⇒ 𝑓′(𝑥) = −5 ∙ 3𝑥−5−1 ⇒ 𝑓′(𝑥) = −15𝑥−6

La cuarta regla dice que la derivada de la suma de dos o más funciones

diferenciables es la suma de sus derivadas.

REGLA 4 Regla de la derivada de una suma

Si 𝒇(𝒙) y 𝒈(𝒙) son funciones diferenciables de x, entonces su suma 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙)

es diferenciable en todo punto donde tanto 𝒇(𝒙) como 𝒈(𝒙) sean diferenciables.

ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)

𝒉′(𝒙) = 𝒇′(𝒙) + 𝒈′(𝒙)

Ejemplo 1

𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 3𝑥 + 1

𝑓′(𝑥) = 2(2)𝑥2−1 + 3(1)𝑥1−1 + 1(0)𝑥0−1

𝑓′(𝑥) = 4𝑥1 + 3𝑥0 + 0

𝑓′(𝑥) = 4𝑥 + 3

Ejemplo 2

𝑓(𝑥) = 6𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 − 7

𝑓′(𝑥) = 6(3)𝑥3−1 + 3(2)𝑥2−1 − (1)𝑥1−1 − 7(0)𝑥0−1

𝑓′(𝑥) = 18𝑥2 + 6𝑥1 − 𝑥0 − 0

𝑓′(𝑥) = 18𝑥2 + 6𝑥 − 1

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Ejemplo 3

𝑓(𝑥) = 4√𝑥 −6

√𝑥3

𝑓′(𝑥) = 4√𝑥12−

6

√𝑥3

𝑓′(𝑥) = 4𝑥1

2⁄ −6

𝑥1

3⁄

𝑓′(𝑥) = 4𝑥1

2⁄ − 6𝑥−13⁄

𝑓′(𝑥) = 4 ( 1

2 ) 𝑥

12

−1 − 6 (−1

3 ) 𝑥−

13

−1

𝑓′(𝑥) = 2𝑥 −12

+ 2𝑥− 43

𝑓′(𝑥) =2

𝑥1

2⁄+

2

𝑥4

3⁄

REGLA 5 Derivada de un producto

Si 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) son diferenciables en 𝒙, entonces también lo es su producto 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥), y

ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)

𝒉′(𝒙) = 𝒇′(𝒙) ∙ 𝒈(𝒙) + 𝒇(𝒙) ∙ 𝒈′(𝒙)

Ejemplo1

ℎ(𝑥) = (2𝑥2 − 5𝑥 + 6)(3𝑥 + 1)

ℎ′(𝑥) = (2𝑥2 − 5𝑥 + 6)′(3𝑥 + 1) + (2𝑥2 − 5𝑥 + 6)(3𝑥 + 1)′

ℎ′(𝑥) = (4𝑥 − 5)(3𝑥 + 1) + (2𝑥2 − 5𝑥 + 6)(3)

ℎ′(𝑥) = 12𝑥2 + 4𝑥 − 15𝑥 − 5 + 6𝑥2 − 15𝑥 + 18

ℎ′(𝑥) = 18𝑥2 − 26𝑥 + 13

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REGLA 6 Derivada de un cociente

Si 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) ≠ 0 son diferenciables en 𝒙, entonces también lo es su cociente 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥), y

ℎ(𝑥) =𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

𝒉′(𝒙) =𝒇′(𝒙) ∙ 𝒈(𝒙) − 𝒇(𝒙) ∙ 𝒈′(𝒙)

𝒈𝟐(𝒙)

EJEMPLO 1

𝑔(𝑥) =2𝑥2 + 𝑥 − 15

4𝑥2 + 11𝑥 − 3

𝑔′(𝑥) =(2𝑥2 + 𝑥 − 15)′ ∙ (4𝑥2 + 11𝑥 − 3) − (2𝑥2 + 𝑥 − 15) ∙ (4𝑥2 + 11𝑥 − 3)′

(4𝑥2 + 11𝑥 − 3)2

𝑔′(𝑥) =(4𝑥 + 1) ∙ (4𝑥2 + 11𝑥 − 3) − (2𝑥2 + 𝑥 − 15) ∙ (8𝑥 + 11)

(4𝑥2 + 11𝑥 − 3)2

𝑔′(𝑥) =16𝑥3 + 44𝑥2 − 12𝑥 + 4𝑥2 + 11𝑥 − 3 − (16𝑥3 + 22𝑥2 + 8𝑥2 + 11𝑥 − 120𝑥 − 165)

[(4𝑥 − 1)(𝑥 + 3)]2

𝑔′(𝑥) =16𝑥3 + 44𝑥2 − 12𝑥 + 4𝑥2 + 11𝑥 − 3 − 16𝑥3 − 22𝑥2 − 8𝑥2 − 11𝑥 + 120𝑥 + 165

[(4𝑥 − 1)(𝑥 + 3)]2

𝑔′(𝑥) =18𝑥2 + 108𝑥 + 162

(4𝑥 − 1)2(𝑥 + 3)2

𝑔′(𝑥) =18(𝑥2 + 6𝑥 + 9)

(4𝑥 − 1)2(𝑥 + 3)2

𝑔′(𝑥) =18(𝑥 + 3)2

(4𝑥 − 1)2(𝑥 + 3)2

𝑔′(𝑥) =18

(4𝑥 − 1)2

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ACTIVIDAD DE CIERRE

INSTITUTO RUBIANO



LA DERIVADA

Nombre: ______________________ 12º____ Fecha: ___________

Profesor: __________________________ Puntos:____/60.








I. Encuentra 𝒇′( 𝒙 )

1. 𝑓(𝑥) = 7𝑥2 − 4𝑥 + 10 2. 𝑓(𝑥) = 2𝑥−14⁄ − 3𝑥−1

6⁄

3. 𝑓(𝑥) =1

5𝑥5 − 3𝑥4 + 9𝑥2 + 1 4. 𝑓( 𝑥 ) = 3𝑥−1

3⁄ − 2𝑥−12⁄

5. ℎ(𝑥) = −𝑥 +8

𝑥+

2

𝑥2−

3

𝑥3 6. 𝑓( 𝑥 ) =

4

√𝑥+ 2√𝑥

7. ℎ(𝑥) = (7𝑥 + 1)(𝑥2 − 9) 8. ℎ(𝑥) = ( 3𝑥4 + 2𝑥2 + 1 )( 𝑥2 − 7 )

9. ℎ(𝑥) =3𝑥 + 1

2𝑥 − 5 10. ℎ(𝑥) =

3𝑥2 − 8𝑥 − 3

3𝑥 + 1

11. 𝑓(𝑥) =2𝑥 + 3

6𝑥2 + 5𝑥 − 6 12. 𝑔(𝑥) =

6𝑥2 − 𝑥 − 15

4𝑥2 + 12𝑥 + 9

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INFOGRAFÍA

https://es.khanacademy.org/math/precalculus/x9e81a4f98389efdf:composite/x9e81

a4f98389efdf:composing/a/finding-and-evaluating-composite-functions

BIBLIOGRAFÍA

• Stewart, Redlin, Watson (2012). Precálculo, Matemáticas para el cálculo.

Sexta Edición. ISBN: 978 – 607 – 481-826-0

• Sullivan, M. Trigonometría y Geometría Analítica. IV Edición. Prentice Hall.

INC

• Leithold, L. El Cálculo. Séptima Edición. Oxford University Press.

https://es.khanacademy.org/math/precalculus/x9e81a4f98389efdf:composite/x9e81a4f98389efdf:composing/a/finding-and-evaluating-composite-functions

https://es.khanacademy.org/math/precalculus/x9e81a4f98389efdf:composite/x9e81a4f98389efdf:composing/a/finding-and-evaluating-composite-functions

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