GUÍA PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE MATEMÁTICAS II... · - Posteriormente, la fracción de...

$: GUÍA PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE MATEMÁTICAS II... · - Posteriormente, la fracción de minutos se convierte a segundos: - La solución es, entonces, 60° 20’ 40" EJERCICIOS$
SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN GENERAL DEL BACHILLERATO

CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO 4/2 LIC: JESÚS REYES HEROLES

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS.

GUÍA PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE MATEMÁTICAS II

JUNIO, 2018

ELABORARON: PROFESORES DE LA ACADEMIA DE MATEMÁTICAS.

Propósito:

La asignatura de Matemáticas II, tiene como propósito introducirte en el estudio de la Geometría, Trigonometría, lo cual

te ayudará a visualizar y analizar geométrica y estadísticamente los problemas que se presentan en tu entorno, así como en

la construcción de modelos matemáticos para su estudio y posible solución. Desde el punto de vista práctico, la Geometría

y la Trigonometría te proporcionan herramientas útiles para estudiar diversas situaciones o fenómenos desde una o ambas

perspectivas, según la información disponible y la conveniencia de tales representaciones; por otro lado la Estadística y

Probabilidad te servirán para analizar y comprender el comportamiento de cierta información. De esta forma, posibilita

que apliques dichos conocimientos en la modelación de fenómenos, en la asignatura de Física I y en el estudio del la

Geometría Analítica del tercer semestre, así como del Cálculo Diferencial e Integral, del V y VI semestres.

TEMARIO

BLOQUE I: ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS

ACTIVIDADES.

La unidad de medida de los ángulos se llama grado, y resulta de dividir un ángulo recto en 90 partes iguales, por lo tanto, un

ángulo recto mide 90º. El sistema de medición de los ángulos se llama sexagesimal y está formado por las siguientes

medidas menores al grado:

El radián se define como el ángulo que limita un arco de circunferencia cuya longitud (curva) es igual a la del radio (recta) de

la circunferencia.

Conversión de ángulos en grados a radianes y viceversa

Estudia con atención los ejemplos siguientes sobre el cambio de medidas angulares:




Ejemplos:

218090º90

2

3

180270º270

º60180

33

º210180

6

7

6

7

Realizando los cálculos necesarios, completa la siguiente tabla:




a)Convertir a radianes 39° 15’ 45" Solución: - Convertimos inicialmente los 45" a minutos: Sumamos el resultado a los 15’ y efectuamos la conversión a grados: - Añadimos este resultado a los 39° y realizamos la conversión a radianes: Que es el resultado buscado. b) Convertir a grados 1.0532116 Rad. Solución: - Multiplicamos por para efectuar la conversión de radianes a grados: - La fracción de grado se convierte a minutos de la siguiente manera: - Posteriormente, la fracción de minutos se convierte a segundos: - La solución es, entonces, 60° 20’ 40" EJERCICIOS I. Convierte a radianes los siguientes ángulos: a) 35°15’45" b) 85°30’ c) 100°25’14" II. Expresa en grados, minutos y segundos los siguientes ángulos: a) 1.8 • rad b) 4 • rad

c) 8

3

IDENTIFICA DIFERENTES TIPOS DE ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS.

Utiliza las propiedades y características de los diferentes tipos de ángulos y triángulos, a partir de situaciones que identifica en su comunidad. Resuelve ejercicios y/o problemas de su entorno mediante la aplicación de las propiedades de la suma de ángulos de un triángulo.

1.- Investigar los siguientes conceptos: a) Angulo b) Clasificación de ángulos de acuerdo a su medida (agudo, recto, obtuso, llano, entrante y perigonal) c) Ángulos adyacentes, complementarios y suplementarios. d) Ángulos: paralelas, perpendiculares, oblicuas y opuestos por el vértice. e) Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante (correspondientes, alternos internos, alternos internos, colaterales internos, colaterales externos y colineales).




2.- Hallar los complementos de los siguientes ángulos: a) 23° b) 44° 24’ c) 68° 33’ 12’’ d) 82° 59’’ 3.- Hallar los suplementarios de los siguientes ángulos: a) 93° b) 19° 18’ c) 123° 47’ 33’’ d) 157° 36’’ 4.- Obtener el valor de x y del ángulo que se te pide:

K N A

B

h

a b g j

O P O C

Si <KON = 2x, Si <a = x + 20° Si: <AOB = 2x + 20°, Si: <g = 2x,

<NOP = 3x + 35° <b = 3x - 10° <BOC = x+5 <h = 3x, <j = 4x.

hallar x, <KON, obtener: x, <a, b. Obtener x, <g,

<NOP. <h, <j.

A B a g p j

d b i

O c m t

C D z n

Si: <AOC = x , Si: <c = 3 + 4y Si: <g = 3x + 50° Si: <j = 3x + 10°

<AOD = 2x + 15 <d = 6y – 5 <p= 4x+30° <z=2x+20°

Hallar x, <AOC, Obtener: m, <a, Hallar: x, <p Obtener: x, <j,<z

˂AOD <b, <c, <d. <g, <m, <t. <i, <n.

5.- Investigar los siguientes conceptos. a) Triángulo. b) Clasificación de los triángulos de acuerdo a la medida de sus lados (equilátero, isósceles y escaleno) y a la medida de sus ángulos (acutángulo, obtusángulo y rectángulo). c) Perímetro y área del triángulo (formulas). d) Teorema de la suma de los ángulos interiores del triángulo y ángulos exteriores.

6.- Resolver los siguientes ejercicios, aplicando los teoremas de triángulos, obtener los valores que se te piden. A Si <A = 3x x Calcular:<e A Calcular: x

<B = 5x y <x, <y, <a, <b. <A y <B.

<C = 4x

Obtener <A, <B, <C.

C B a c b d

e C B

si <c = 97°, <d = 135° Si <A = 6x/2 y <B = 6x/3

7.- Mediante la fórmula de Herón de Alejandría determinar las áreas de los siguientes triángulos: a) a = 4cm b = 5cm c = 6cm b) a = 310cm b = 276cm c = 187cm c) a = 26.64mm b = 37.40mm c = 50.22mm




Fórmula de Herón de Alejandría: csbsassA conde s es el semiperímetro del triángulo, o sea

que: 2

cbas

Utilizas los criterios de congruencia para establecer si dos o más triángulos son congruentes entre sí. Resuelve ejercicios en los que se requiere la aplicación de los criterios de congruencia. Argumenta el uso de los criterios de congruencia en la resolución de triángulos.

I. Investigar los criterios de congruencia de los triángulos. a) Lado, lado, lado. b) Lado, ángulo, lado. c) Ángulo, lado, ángulo.

II. Resuelve los siguientes ejercicios aplicando los criterios de congruencia.

J A 29

35

B d

E 4y+3

F G H I

C 5x-6

Si FG= 2x+18° Si <A= 7x-2 obtener

HI= 6x, FJ= 8x + 11 <C = 8y-3 el valor de x y y

JI = 9y-2 <d=3x+2

Obtener x y y <e= 4y-3

Obtener x y y

I. Investigar los criterios de semejanza de triángulos. a) Caso ángulo, ángulo, ángulo. b) Caso: lado, ángulo, lado. c) Caso: lado, lado, lado.

II. Investigar en qué consiste el teorema de Tales. III. Investigar el teorema de Pitágoras. IV. Determinar el valor de x, aplicando los criterios de semejanza.

R H F

15

T

I T

20

U 12 W x V F J G W O P

Si: FG = 20, JG = 12, FI = x, IH = 10 Si: FT = 7, TP = 9, OT = x

WF = 5𝑥−3

2




V. Calcular el valor de x y de y en los siguientes triángulos semejantes:

15 10

8 10 x 15 24 12

4 x 12 y+3 x-2 4

y

6 y 20

VI. Problemas de triángulos semejantes:

a) Hallar la altura de un árbol que proyecta una sombra de 4.5m, al mismo tiempo que un poste de 5m proyecta una sombra de 3m.

b) La sombra que proyecta un edificio es de 16.25m al mismo tiempo que la de un poste de 10m de altura es de 7m. Encuentre la altura del edificio.

c) La sombra de un arbusto de 123cm de altura es de 75cm; en ese momento de un árbol proyecta una sombra de 24m. ¿Cuál es su altura?

BLOQUE II: PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS

ACTIVIDADES

I. Investigar los siguientes conceptos: a) Clasificación de los polígonos de acuerdo al número de lados, equiláteros, equiángulos, convexo,

cóncavo, regular e irregular. b) Sus elementos de los polígonos: radio, apotema y diagonales. c) Área y perímetro de los polígonos (fórmulas, elaborar un formulario para estudiarlo). d) Formulas para obtener la medida de los ángulos: interiores, exteriores, central y número de diagonales

totales y desde un vértice.

II. Resuelve los siguientes problemas relativos a ángulos interiores, exteriores, central y las diagonales de un polígono. a) ¿Cuánto suman los ángulos interiores, cuánto mide un ángulo interior y exterior, así como cuántas diagonales tiene un polígonos regular de 16 lados? b) ¿Cuánto mide un ángulo interior y exterior de un octágono regular? c) ¿Cuál es el polígono cuya suma de los ángulos interiores es de 1980°? d) Si la suma de los ángulos interiores de un polígono regular es de 2880°. ¿Cuál es el polígono? e) ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior es de 156°? f) ¿Cuál es el polígono que se pueden trazar 135 diagonales? g) Determinar el número total de diagonales que pueden trazarse en un polígono regular de 19 lados. h) Si un polígono regular uno de sus ángulos interiores mide 160°, ¿cuál es el polígono y cuántas diagonales se pueden trazar en dicho polígono.




III. Problemas de polígonos relativos a perímetro y área. EJEMPLO: 1)Las diagonales de un rombo son 8,3 dm. y 6,5 dm. Calcula su área expresándola en cm2

2 28,3 6,526,975 dm 2.697,50 cm

2 2

D dA

2) Calcula el área de un trapecio de 10 y 20 cm. de bases y 15 cm. de altura

Sabemos que: .2

B bA a

220 10.15 225 cm

2A

a) Calcular el área de un hexágono regular sabiendo que su apotema es igual a cm35 , y cada uno de sus lados mide

12cm. b) Calcular el área de un eneágono regular si su radio mide 25cm y su apotema 10cm. c) Si el área de un pentágono regular es de 1453 centímetros cuadrados y su apotema vale 20 cm, ¿qué valor tiene cada lado?

d) En un polígono regular, el perímetro es igual a 327 , y cada uno de sus lados vale 33 , ¿cuál es el número de

lados de ese polígono? Un poliedro es un cuerpo geométrico que está limitado por cuatro o más polígonos. Los polígonos que limitan al poliedro se llaman caras del poliedro, los lados y vértices de las caras son las aristas y vértices del poliedro respectivamente.

NOTA: ES NECESARIO TENER FORMULARIO. Solo existen 5 poliedros regulares que son:

Tetraedro Octaedro Cubo

(4 triángulos equiláteros) (8 triángulos equiláteros) (6 cuadrados)

Dodecaedro Icosaedro

(12 pentágonos regulares) (20 triángulos equiláteros)




EJEMPLOS

1.Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un prisma pentagonal sabiendo que su altura mide 9cm.; el lado de la base son 2cm y la apotema de la base 1,5 cm.

Solución:

2

LA = Perimetro poligono base×altura = 5×2 ×9 = 90 cm

2

T L LA = A +Areas bases = A +2 (P apotema) = 90+10 1,5 = 105 cm

3V = area base × altura = 5×1,5 ×9 = 67,5 cm

2. Calcular el área lateral, total y volumen de una prisma pentagonal sabiendo que cada lado del pentágono mide 6 cm, que la altura es 10 cm y la apotema de la base mide 5 cm. Solución: Para calcular el área lateral, tenemos que calcular el área de un triángulo y multiplicarlo por cinco. Desconocemos el valor de a, que es la apotema en los triángulos. Lo podemos calcular, pues a es la hipotenusa en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 cm y 10 cm respectivamente.

2 210 5 125 11,18 cma

AL = 10

5LA

AB = (P . a) / 2 = (5.6.5) / 2 = 75 cm2

3. Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono de 8 dm. de radio de la base y de 1 m de altura Solución: Necesitamos conocer el valor de la generatriz g, para su cálculo hacemos uso del teorema de Pitágoras:

2 22 2g = +h = 8 + 10 = 164 = 12,81 dmr

LA = longitud circunferencia×generatriz= 2πr g =

2 22 π 8 12,81 = 643,71 dm 6,44 m

2 2 2

T L bA = A +A = 2πrg + πr = 643,72+ π×8 = 844,77 dm

2 2 31 1 1V= area base×altura = πr ×h= π×8 ×10 = 670,21 dm

3 3 3

4. Sabiendo que la superficie de una esfera es de 3600 cm2 , calcula su radio.

Solución: 2 V 3600

V = 4πR R = = = 16,93 cm4.π 4.π

EJERCICIOS:

1.-El área de un rectángulo es de 180 cm2. Calcula la base sabiendo que la altura mide 15 cm. 2.- El área de un trapecio es 25 cm2 y sus bases son 4 y 6 cm. respectivamente. Calcula su altura 3.- Calcula la longitud de la circunferencia y la superficie del círculo correspondiente sabiendo que su radio mide 8 cm.

4.- Calcula el área lateral, área total y el volumen de un prisma octogonal de 5cm. de lado; 6cm. de apotema de la base y 9 cm. de altura. 5.- Sabiendo que la arista de un cubo es de 12 dm. Calcula el área total y el volumen 6.- Calcula la superficie y el volumen de una esfera de 28dm. de radio




BLOQUE III. ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

Resuelve ejercicios de perímetros y áreas de la circunferencia.

I. Investigar los siguientes conceptos:

a) Círculo y circunferencia.

b) Sus elementos: radio, diámetro, cuerda, arco, tangente y secante.

c) Ángulos: central, inscrito, semi-inscrito, externo e interno.

d) Área y perímetro.

II. Obtener el valor de los siguientes ángulos en las diversas circunferencias.

B B q

A M

A C D O

O

N

C D C A B

P

Fig. 1 fig.2 fig. 3 fig. 4

Si el arco CD= 70° Si el arco AB = 2x, Si el arco PN = 120° Si los arcos CD = 39° y

y <COD= 60° el arco BC = 3x, y el arco MN = 70° AB = 137°

Hallar el arco AB el arco CA = 4x. Determinar <O Calcular: <q, <ACB, <CBD

Hallar: x, <A, y <AOB

<B, <C.

III. Resuelve los siguientes ejercicios sobre longitud de la circunferencia y área del círculo.

A.- Determinar la longitud de la circunferencia y el área del círculo, si su diámetro es de 15 cm.

B.- Si la circunferencia es de longitud 27 cm., determinar su radio y su área.

C.- Si el área del un círculo es de 2.420 m , determinar el valor de su radio y la longitud de la circunferencia.

D.- En las figuras siguientes calcular las áreas sombreadas.

23

mm

40mm Medida del rectángulo: -------27mm------

Circulo A: diámetro 16mm. 36mmde largo por 25mm

Circulo B: diámetro 10 mm. de ancho.

Vi

A B




BLOQUE IV RAZONES TRIGONOMETRICAS

Calcula las razones trigonométricas del ángulo α :

Como ves, los tres lados del triángulo son conocidos, así que para calcular las

razones trigonométricas sólo tenemos que aplicar las fórmulas y sustituir. Para el ángulo α el cateo opuesto es 9, el contiguo 12 y la hipotenusa 15.




EJERCICIOS:

1) Halla las razones trigonométricas de los ángulos de los siguientes triángulos rectángulos:

5) Calcular las razones trigonométricas de un ángulo α situado en el primer cuadrante sabiendo que:

6) Calcular las razones trigonométricas de un ángulo α situado en el segundo cuadrante sabiendo que:

7) Calcular las razones trigonométricas de un ángulo α situado en el tercer cuadrante sabiendo que:

8) Calcular las razones trigonométricas de un ángulo α situado en el cuarto cuadrante sabiendo que:

9) Encontrar el ángulo α y las demás razones trigonométricas, sabiendo que:




Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los

catetos

Es decir C2 = B2 + A2

Con dicha fórmula podemos hallar A, B o C despejando de la siguiente manera:

Utilizando la expresión matemática del teorema de Pitágoras y haciendo los despejes necesarios, completa la tabla siguiente:

1. Apoyándote en el concepto de semejanza de triángulos, encuentra el valor de las incógnitas "x" y "y". ( )

A) x = 28.8 y = 23.5

B) x = 45 y = 14.4

C) x = 28.8 y = 40 X

D) x = 20 y = 27

E) x = 27 y = 20

2. Apoyándote en el concepto de semejanza de triángulos, encuentra el valor de las incógnitas. ( )

A) x = 6 y = 2

B) x = 2y = 128

C) x = 48 y = 2

D) x = 128 y = 2

E) x = 2 y = 48




3. Si en un determinado instante del día una estaca de un metro produce una sombra de 70cm de longitud. ¿Cuál será la

altura de un árbol que en ese mismo instante produce una sombra de 3.4m de longitud? ( )

4. Calculemos a qué altura se halla este globo.

5. Un árbol mide 5 m de altura y, a cierta hora del día, proyecta una sombra de 6 m. ¿Qué altura tendrá el edificio de la figura

si a la misma hora proyecta una sombra de 270 m?

6. Calculemos la longitud de una escalera, sabiendo que está apoyada en la pared a una distancia de 1,8 m y alcanza una

altura de 7 m.




7. Una antena está sujeta al suelo por dos cables que forman un ángulo recto de longitudes 27 y 36 cm. ¿Cuál es la distancia

que separa los dos puntos de unión de los cables con el suelo?

BLOQUE 5. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Funciones Trigonométricas Para Ángulos De Cualquier Magnitud

Ángulo de referencia

Una manera conveniente de representar un ángulo consiste en colocar su vértice en el origen de los ejes coordenados, el lado

inicial en el eje positivo de las "x" y el punto P(a, b) determinaría la posición del lado terminal.

El ángulo de referencia es aquel que forma el lado terminal con el eje de las "x", sin importar el cuadrante en el

que se ubique.

Para comprender mejor estas ideas, ubica los siguientes puntos en el plano utilizando tus escuadras. Una vez

realizado lo anterior, traza un segmento de recta del punto al origen e indica el ángulo de referencia:

A (2,3)

B (-3.2)

C (-4,-4)

D (2,-3)




Signo y valores de las funciones trigonométricas.

El cuadrante en el que se sitúa el punto P(a, b) determina el signo que

presenta cada una de las coordenadas, como se muestra en la figura.

Tomando ésto en cuenta, veamos cuáles son los signos que adoptan las funciones trigonométricas dependiendo

del cuadrante en el que se encuentre el lado terminal del ángulo, analiza la información siguiente junto con tu

asesor y respondan las preguntas que se presentan:

A)Para un ángulo en el primer cuadrante

Aplicando las definiciones, los signos que adopta cada función trigonométrica en el primer cuadrante son:

En conclusión, para un ángulo del primer cuadrante, todas las funciones trigonométricas son positivas.

Determina, ahora, los signos para los ángulos en los otros tres cuadrantes:

B) Para un ángulo en el segundo cuadrante

En conclusión, para un ángulo en el segundo cuadrante, son positivas las funciones_____________________

__________________________________________y negativas las funciones ________________

_____________________________.




C) Para un ángulo en tercer cuadrante

Conclusión: para un ángulo en tercer cuadrante, las funciones trigonométricas con signo positivo son _________

____________________________ y las que presentan signo negativo son _____________________

_________________.

D) Para un ángulo en cuarto cuadrante

Conclusión: Para un ángulo en el cuarto cuadrante, las funciones trigonométricas con signo positivo son

_______ ______________________________ y las que presentan signo negativo son ___________________

___________________.

Concentra en el cuadro los resultados obtenidos:

Ejemplo 1: Encuentra los valores de las funciones trigonométricas para un ángulo A, cuyo lado terminal está en el segundo

cuadrante y su tangente es 5

12

Solución:

Por definición, la tangente del ángulo A es




Trazamos un diagrama que represente al ángulo A en el segundo cuadrante y con las dimensiones que nos proporciona el

valor de la tangente:

Para obtener las dimensiones del lado terminal

(que equivale a la hipotenusa del triángulo)

utilizamos el teorema de Pitágoras:

Con este valor, las funciones trigonométricas para el

ángulo A quedan así:

Ejemplo 2:

El ángulo A está situado en el tercer cuadrante y su cotangente tiene un valor de 7.

Determina los valores de las demás funciones trigonométricas:

Por definición,

Y como el ángulo A está en el tercer cuadrante, ambos catetos son negativos, por lo que anotamos:

Dibujamos un diagrama del ángulo:

Calculamos el valor de c utilizando el teorema de Pitágoras:




Las funciones para el ángulo A son las siguientes

(nota cómo hemos aplicado las reglas de los signos,

la simplificación y la racionalización

cuando la raíz queda en el denominador):

Determina los valores de las demás funciones, al finalizar tu asesor elegirá a alguna pareja para que explique sus resultados.

En el círculo unitario

El circulo unitario se denomina "unitario" porque su radio es igual a la unidad. Tiene su centro en el origen de los ejes

coordenados y su ecuación es

Posiblemente recuerdes que la fórmula para calcular la circunferencia es rC 2

Y como en el círculo unitario r = 1, la formula se simplifica: 2C

C = 2•

Puesto que la circunferencia tiene 360°, por lo que la expresión anterior puede escribirse así: 2º360

De lo cual se deriva que

0º0 º180 2

3º270

, etc.

En consecuencia, los puntos correspondientes a los ejes

coordenados son:

)0,1()0( P

)1,0()2

(

P

)0,1()( P

)1,0()2

3(

P




Encuentra, ahora, las coordenadas para los puntos siguientes:

1. Si el lado final de un ángulo pasa por A, cuyas coordenadas son (3,4) como lo muestra la siguiente figura, determina las

razones trigonométricas de los valores del seno , coseno , tangente de y . ( )

A)

B)

C)

D)

E)

2. Si el valor de y el ángulo se encuentra en el cuarto cuadrante, encuentra los valores de las otras

dos funciones trigonométricas sen y cos . ( )

A) D)

B) E)

C)

3. Calcula las tres funciones trigonométricas (sen, cos, y tan) para el ángulo notable de 30°, partiendo del punto 3,1A de

la figura adjunta. ( )

A) D)

B) E)

C)

4. Si el valor de y el ángulo se encuentra en el segundo cuadrante, encuentra los valores de las otras

dos funciones trigonométricas cot y sec. ( )

A) D)

B) E)

C)




5. Indica con qué cuadrantes son positivas las funciones trigonométricas respecto al seno y cosecante. ( )

A) Primero y cuarto cuadrante

B) Primero y segundo cuadrante

C) Primero y tercer cuadrante

D) Segundo y tercer cuadrante

E) Segundo y cuarto cuadrante

6. Indica en qué cuadrantes son positivas las funciones trigonométricas con respecto a la tangente y cotangente.

A) Tercero y segundo cuadrante ( )

B) Tercero y cuarto cuadrante

C) Primero y cuarto cuadrante

D) Primero y tercer cuadrante

E) Primero y segundo cuadrante

7. Indica en qué cuadrantes son positivas las funciones trigonométricas respecto al coseno y secante. ( )

A) Primero y segundo cuadrante

B) Primero y tercer cuadrante

C) Primero y cuarto cuadrante

D) Segundo y tercer cuadrante

E) Segundo y cuarto cuadrante

8. Identifica si el enunciado es falso (F) o verdadero (V)

Las propiedades reciprocas son ejemplos de identidades trigonométricas. ( )

Es una identidad reciproca: ; para ( )

Es una identidad reciproca ; para ( )

Es una identidad reciproca del ; para ( )



El seno y el cosecante son identidades reciprocas. ( )

El coseno y la cotangente son identidades reciprocas. ( )

La tangente y la cotangente son identidades reciprocas. ( )

El seno y la secante son identidades reciprocas. ( )

El coseno y la secante son identidades reciprocas ( )




BLOQUE VI. TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

Un triangulo oblicuángulo es aquel que no presenta un ángulo recto, se denomina de dos formas: triángulo acutángulo si

tiene tres ángulos agudos y triangulo obtusángulo si tiene un ángulo obtuso, por lo que no es posible resolverlo si aplicamos

el Teorema de Pitágoras.

Para efectos prácticos en la resolución de los problemas, se sugiere el siguiente formato de triángulo

oblicuángulo. Donde: "A, B y C" representan los ángulos y "a, b y c" representan los lados.

Observa que:

a es el lado opuesto al ángulo A b es el lado opuesto al ángulo

B c es el lado opuesto al ángulo C

Para resolver triángulos oblicuángulos se utiliza

● Ley de seno. ●Ley de coseno.

Ley de Senos

En cualquier triángulo oblicuángulo, las longitudes de los lados

son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

La ley de seno es muy útil para resolver triángulos oblicuángulos cuando se conocen.

Un lado y dos ángulos (LAA o ALA)




Los ángulos del triángulo están representados por las letras A, B, C y los lados por a, b, c, los datos que

proporciona son:

Ángulos A= 22° C = 130°

Lados c = 80

El lado "c" es opuesto al ángulo "C", por lo tanto, para resolver este problema puedes aplicar la ley de Seno.

El otro caso para aplicar la ley de seno es cuando:

● Tienes dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (LLA).

Los ángulos del triangulo están representados por las letras A, B, C y los lados por a, b, c, los datos que proporciona

son:

Ángulos B= 83°

Lados a = 8, b = 11

El ángulo "B" es opuesto al lado "b", por lo tanto para resolver este problema puedes aplicar la ley de Seno.

La Ley de Senos, se aplica en los casos cuando sólo conoces un lado del triángulo y dos de sus ángulos, es

decir, LAA o ALA; o bien cuando conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, es decir, LLA.

Sin embargo; ahora veremos otros dos casos posibles, cuando de un triángulo oblicuángulo conocemos:

● Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, conocido como LAL.

● Los tres lados, caso conocido como LLL.

Para estos casos utilizarás la Ley de Coseno

La ley de Coseno establece:

En todo triángulo, el cuadrado de un lado, es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos la

multiplicación del doble producto de ellos, por el coseno del ángulo comprendido entre ellos.

De esta manera, las fórmulas para aplicar la ley de cosenos son las siguientes:




Identifica que ley aplicar según los datos proporcionados de los siguientes triángulos oblicuángulos.

Resolución de triángulos oblicuángulos

resolver triángulos oblicuángulos consiste en encontrar los datos que te faltan ya sean lados o ángulos. Veamos unos

ejemplos:

1)

Primero analizamos los datos que nos

proporciona el triángulo oblicuángulo.

Si observas los datos que nos proporcionan son dos ángulos y un lado, este caso corresponde a la Ley de seno. Fórmulas que

aplicarás

Recuerda que: "La suma de los ángulos interiores de cualquier

triangulo es 180°" A + B + C = 180

La Ley Seno se puedes descomponer en las siguientes relaciones:




Sustituye los datos que te proporciona el problema

Observa que la segunda relación solo falta el valor Ahora hay que encontrar el valor del ángulo B

del lado "a", entonces despejaremos y

encontraremos su valor:

Para encontrar el valor del lado "b" puedes utilizar Por lo tanto los datos faltantes del triangulo

la relación 1 o 3 para encontrar su valor. oblicuángulo son:

2) Los datos de un triangulo oblicuángulo son: A = 67º15 ,́ b = 7 y c = 11

Primero analizamos los datos que nos proporciona del triangulo oblicuángulo.

Los datos que nos proporcionan son dos lados y un ángulo, en este caso se recomienda que dibujes el triángulo para verificar

si el ángulo que te proporcionan está comprendido entre los lados o es opuesto a uno de ellos.




Observa que el ángulo queda comprendido entre los lados, Calculo del ángulo B utilizando la

por lo tanto ,la ley que ocuparás es la Ley de Coseno. Ley de Seno.

Calculamos el lado "a"

Calculo del ángulo C. Por lo tanto los datos faltantes del triangulo oblicuángulo son:

Resuelve los siguientes ejercicios:

1. Relaciona las siguientes columnas

1.- Es un triángulo que no presenta ángulo recto,

puede ser acutángulo u obtusángulo.

2.- En cualquier triángulo, las longitudes de los lados

son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

3.- En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual

a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el

doble producto de los mismos lados por el coseno del

ángulo que forman.

4.- La ley de seno se utiliza si se conoce:

5.- La ley de coseno se utiliza si se conocen:

6.-Según los datos, triangulo que aplica la ley de coseno.

A )Ley de Coseno

B )

C) Dos ángulos y un lado o dos lados y el

ángulo opuesto a uno de ellos.

D) Cuando se conocen los tres lados o cuando

se conocen solo dos lados y el ángulo entre

ellos.

E) Triangulo Oblicuángulo.

F) Ley de Seno.




2.- Triángulo que tiene tres ángulos agudos: ( )

A) Rectángulo B) Obtuso C) Oblicuángulo D) Acutángulo

3.- Triángulo que tiene un ángulo obtuso: ( )

A) Rectángulo B) Obtuso C) Acutángulo D) Obtusángulo

4.- Ley que nos sirve para solucionar Triángulos oblicuángulos: ( )

A) Ley de Pitágoras B) Ident. Trigonométricas C) Ley de Cotangente D) Ley de senos

5.- Ley que se aplica en un triángulo oblicuángulo cuando se conocen sus tres lados: ( )

A) Ley de Pitágoras B) Ley de Tangentes C) Ley de cosenos D) Ley de geometría

6.- La ley de seno que se utiliza para encontrar los lados y ángulos de un triangulo oblicuángulo. ¿Cuál es la forma correcta

de redactar esta ley? ( )

A) En cualquier triángulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos adyacentes.

B) En cualquier triángulo oblicuángulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos.

C) En cualquier triángulo oblicuángulo, las longitudes de los lados son diferentes a los senos de los ángulos opuestos.

D) En cualquier triángulo oblicuángulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

7.- La ley de seno se enuncia: "En cualquier triángulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los

ángulos opuestos" y se representa como

Si los datos de un triángulo son: lado c = 80 m. y los ángulos A = 22° y C = 130°. ¿Qué relación utilizas para encontrar el

lado a? ( )

8.- Ley que dice que en todo triángulo el cuadrado de un lado cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos

lados menos el doble producto de los mismos lados por el coseno del ángulo que forman: ( )

A) Pitágoras B) Ident. Trigonométricas C) Ley de Newton D) Ley de cosenos

GUÍA PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE MATEMÁTICAS II... · - Posteriormente, la fracción de...

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