Problemas de probabilidades

TAREA - 3 CADENAS MARKOVIANASSISTEMAS ESTOCASTICOS1. Si repetitivamente se lanza una moneda con probabilidad p de caer cara y se cuenta el nmero de caras resultantes de las tiradas sucesivas. Si se comienza con 0 y sea Tn= nmero de veces que hay que tirar la moneda para alcanzar n caras Cul es la distribucin de probabilidades de Tn? 2. Si la mquina automtica de venta de refresco tiene una probabilidad = 0,2 de fallar el prximo da y una probabilidad de repararse el prximo da. Si se observa que el da Lunes la mquina est bien:Cul es la probabilidad que la mquina permanezca trabajando sin fallar los das martes, mircoles y jueves. Cul es la probabilidad de que falle el jueves?

3. Un juego independiente se puede ganar con p= 18/38 se repite sucesivamente hasta que algn jugador obtiene tres triunfos sucesivos y gana. Si el jugador ha ganado 2 juegos consecutivos

Cul es la probabilidad de ganar el pozo en las prximas 5 jugadas?

4. Para el juego anterior, si se gana con 4 juegos sucesivosa. Dibuje el diagrama de transicin del juegob. Si p= 18/38 y el juego lleva 3 xitos sucesivos Cul es la probabilidad de que gane el pozo en las prximas 5 tiradas?

5. Un experimento consiste en tirar 2 monedas balanceadas y contar el nmero de caras obtenido. Se repite sucesivamente el juego en forma independiente. Modlelo mediante una cadena de Markov y dibuje su diagrama de transicin de estado para el nmero de sus caras. 6. Un juego que se puede ganar con probabilidad p, se repite sucesivamente en forma independiente por un jugador. Si las apuestas son mltiplos de $ 1 y el pago es doble o nada. Bajo el supuesto que el jugador sigue la estrategia del doblete econmico hasta alcanzar $ 7.a. Dibuje el diagrama de transicin del juego

b. Calcule las probabilidades de obtener $ 7 en a lo ms 6 juegosc. Calcule la probabilidad eventual de obtener $ 7

7. En el problema 2, sean X e Y los estados de la mquina automtica de refrescos entre los das Martes y Mircoles sucesivos. Si se supone que el lunes estaba funcionando bien.

a. Calcule la probabilidades de la distribucin conjunta de X e Y.

b. Calcule las distribuciones marginales de la densidad de probabilidades de X e Y, Son independientes? Son idnticamente distribuidas?

8. Si se tira una moneda balanceada repetitivamente.a. Cul es el valor esperado de los sellos que aparecen antes de que ocurran 3 caras sucesivas?b. Cuantos lanzamientos esperados ocurrirn hasta que ocurran tres caras sucesivas?c. Si el primer lanzamiento resulta cara Cul es la nueva respuesta de a?d. Si la primera lanzada resulta cara cuntos lanzamientos se esperan hasta la ocurrencia de 3 caras sucesivas9. Considere el juego de la ruleta con N= 5a. Escriba la matriz de transicin de estado en forma estndarb. Calcule la matriz (I-Q)-1 para p= 0,3 y p= 0,7c. Calcule las probabilidades de ganar y el promedio esperado de duracin de l juego para p=0,3 y P= 0,4 si se parte de 1

10. Suponga usted administra una mquina de venta de caf que genera ganancias diarias promedio de $ 200. Cuando la mquina esta funcionando, Si la tasa de falla = 0,2. Si una empresa de reparaciones ofrece un servicio de mantencin de probabilidad de reparar en un da la falla. Si el costo del servicio es de $ 10(1-) por da. Qu valor de optimiza la ganancia neta de la mquina?11. Considere un ratn ubicado en un tablero con 9 compartimentos dispuestos de la siguiente forma123

456

789

El ratn se mueve de un compartimento a otro en forma aleatoria, si tiene k compartimentos contiguos escoge uno de ellos con probabilidad 1/k. Sea Xn el nmero de compartimiento en que se encuentra el ratn despus de la movida nmero n. Obtenga la matriz de transiciones de estado

12. Juan y Pedro tienen 2 monedas cada uno. Se disponen a enfrentarse en un juego en que en cada oportunidad cada jugador lanza una de sus monedas. Si ambas coinciden, gana Juan y se queda con la moneda de Pedro. En caso contrario gana Pedro. El juego termina cuando uno de los jugadores se queda con las 4 monedas.

a. Obtenga la distribucin de probabilidades del nmero de jugadas necesarias para que Juan logre 3 monedas por primera vez.

b. Explique cmo obtendra la distribucin de probabilidades del nmero de jugadas para el trmino del juego.

13. Suponga que las ventas semanales de un cierto producto pueden ser descrita como una Cadena de Markov discreta. Suponga que estas oscilan entre 2 y 8 unidades. La matriz de probabilidades de transicin es la siguiente:

2 3 4 5 6 7 8

a. Existe distribucin lmite estacionaria? Justifiqueb. Suponga que las ventas semanales pueden clasificarse en Bajas (2,3) medias (4,5) o altas (6, 7,8) y suponga que durante la primera semana se vendieron seis unidades. Cuales son las probabilidades, en el largo plazo, de que las ventas en una semana cualquiera sean bajas, Medias o altas?c. Cuanto tiempo transcurre en promedio entre dos semanas con ventas iguales a 2 unidades? Cual es la distribucin de probabilidades de ese tiempo?

14. Considere una Cadena de Markov con la siguiente matriz de transicin instantnea de estado. 1 2 3 4 5 6 7

a. Determine las clases de estados y clasifique los estados en transientes, recurrentes y determine si son aperodicos o peridicos y el periodo. b. Analice el problema de la existencia de una distribucin lmite.c. Cul es la probabilidad de que si el sistema parte del estado 7 se llegue alguna vez al estado 6 y al 5?d. Suponga que el sistema parte del estado 1 que tiempo transiciones promedios le toma volver al estado 1?e. Obtenga P(6;i) y P(6,3)15. La Corporacin de Educacin Municipal de una cierta comuna est encargada de la gestin educacional de 100 colegios de enseanza bsica. Esta Corporacin debe escoger una poltica de asignacin de recursos a actividades de supervisin y apoyo pedaggicos a los colegios. Para evaluar la efectividad de su poltica cuenta con los resultados del SIMCE que anualmente aplica el Ministerio de educacin Este programa mide el logro de los programas oficiales para los distintos niveles de Educacin Bsica. Esto permite obtener el promedio de logro de objetivos por nivel y colegio para todas la asignaturas evaluadas Si el resultado obtenido por un colegio puede clasificarse en; Malo < 30, Regular entre (30 a 50) y Bueno > 50 y Excelente > 70. Suponga que los resultados obtenidos por un colegio en el SIMCE del prximo ao solo dependen del resultado del SIMCE actual y de la supervisin del colegio por la Municipalidad. Si los colegios no reciben ninguna supervisin sus resultados los prximos aos quedarn definidos por la siguientes transiciones, instantnea

Prximo aoEste aoResultado ActualMRBE

M0,30,60,30,10

R0,450,30,40,20,1

B0,120,10,30,40,2

E0,130,10,20,40,3

La Corporacin Municipal dispone de $ 70.000.000 para gastar en supervisin. El costo de dar supervisin a un colegio con resultado actual M alcanza a $ 3.000.000 en los otros casos alcanza a $ 2.000.000 anuales por colegio.

Se desea determinar la poltica ptima de asignacin de recursos para la supervisin en la que se especifique el porcentaje de colegio de cada categora de resultados que recibieran recursos para supervisin. Si los colegios reciben supervisin sus resultados SIMCE del prximo ao se pueden predecir por la siguiente matriz de transicin instantnea

PROXIMO AO

Este aoMRBE

M0,40,50,10

R0,20,40,30,1

B0,10,30,30,3

E00,30,30,4

Formule un modelo que permita obtener la poltica de asignacin optima de recursos (maximizar colegios con resultados R o B). Como cambiara el modelo si quiere minibar la cantidad de colegio con resultados M?Suponga que quiere escoger una poltica optima valedera para un horizonte largo o estacionario. Formule un modelo que le permita minimizar el nmero de colegios con resultados M en el largo plazo.16. Una Empresa debe decidir el tamao de su aviso de publicidad en la edicin dominical del mercurio. Hay dos alternativas: Un aviso pequeo con un costo anual de $ 100.000 y un aviso grande con un costo anula de $ 300.000 : Las ventas semanales de la empresa pueden clasificarse en Altas con un ingreso neto (no considera gastos de avisos) de $ 1.000.000 semanal con un ingreso neto semanal de $ 800.000 o Bajas con un ingreso neto semanal de $ 500.000

Se sabe que las ventas de una semana dependen de las ventas de la semana anterior y del tamao del aviso en funcin de las siguientes probabilidades:

Ventas semana actual

VentasAVISO PEQUEOAVISO GRANDE

semana PasadaAMBAMB

A0,20,50,30,60,30,1

M0,10,50,40,40,50,1

B0,10,30,60,20,70,1

Suponga se desea analizar la poltica: si las ventas durante la semana pasada fueron bajas publicar un aviso grande. Formule como una cadena de markov y analice la poltica.17. Considere un cultivo que contiene inicialmente un solo glbulo rojo. Despus de una cantidad de tiempo el glbulo rojo muere y es reemplazado por dos glbulos rojos nuevos o 2 glbulos blancos nuevo. Las probabilidades de estos eventos son y respectivamente. Subsecuentemente cada glbulo rojo se reproduce de la misma manera y cada glbulo blanco muere sin reproducirse en una unidad de tiempo. Formule un modelo que le permita calcular la probabilidad de la extincin del cultivo.

24. Considere un sistema de atencin al que llegan personas de acuerdo aun proceso de Poisson de tasa : Los tiempos de atencin de las personas son variables independientes e idnticamente distribuidas de distribucin F continua. Suponga que se observa el proceso cada vez que sale un cliente del sistema. Sea Xn = N de personas en el sistema a la salida del cliente N - Es Xn una cadena de Markov? Que sucede si observamos el sistema a la llegada de cada cliente? 25. La empresa Car Rental se dedica a arrendar autos para el uso diario y tiene oficinas en Santiago y en Via. Una de las secciones de la empresa esta destinada exclusivamente a arrendar autos para viajes entre ambas ciudades. En este caso una persona que arriende el auto en una de estas ciudades debe devolverlo en las oficinas de la otra antes de la 8AM del DIA siguiente. Si los clientes llegan diariamente a arrendar en Santiago tiene una distribucin Poisson con media y en Via Poisson con media . y esta seccin de la empresa tiene N autos que al comienzo de cada semana estn asignados a alguna de estas oficinas. Formule un modelo de una cadena Markoviana que permita asignar los vehculos al comienzo de la semana de manera de minimizar el nmero de clientes esperando autos en ambas ciudades (considere una semana = 6 das hbiles).

26. En un pueblo el 90% de los das soleados le siguen das soleados, y al 80% de los das nublados le siguen das nublados. Con esta informacin modelar el clima del pueblo como una cadena de Markov. 27. El ascensor de un edificio con bajo y dos pisos realiza viajes entre los pisos. El piso en que finaliza el viaje n-esimo del ascensor sigue una cadena de Markov, Se sabe que la mitad de los viajes parten del bajo y se dirigen a cada uno de los dos otros pisos con la misma probabilidad. Si parte del primer piso solo el 25% termina en el segundo. Si parte del segundo siempre finaliza en el bajo. Se pide

a. Calicular la matriz de probabilidades de la cadena

b. Dibujar el grafo asociado

c. Cul es la probabilidad que a largo plazo el sensor se encuentre en cada piso?

28. Un agente comercial realiza trabajos en tres ciudades A, B y C. Para evitar desplazamientos innecesarios esta todo el da en la misma ciudad y all pernocta desplazndose a otra ciudad al da siguiente, si no tiene suficiente trabajo. Despus de estar trabajando un da entero en C la probabilidad de tener que seguir en C al da siguiente e 0,4 y la de tener que viajar a B de 00,4 y la de ir A es de 0,2. Si el viajante duerme un da en B con probabilidad 20% tendr que seguir en la misma ciudad y un 60% de viajar a C al da siguiente y un 20% de ir a A. por ltimo si el agente duerme en A permanecer en A con 0,1 ira a B con 0,3 y a C con 0, 6:

a. Si hoy el viajante esta en C Cul es la probabilidad que tenga que ir a trabajar en C al cabo de 4 das?

b. Cules son los porcentajes de das en que el agente esta en las tres ciudades durante un ao?

29. La cervecera ms importante del mundo (Guiness) ha contratado una analista de investigacin de operaciones para analizar su posicin en el mercado. Estn preocupados en especial por su mayor competidor (Heineken). El analista piensa que el cambio de marca se puede modelar como una cadena de Markov incluyendo tres estados. los estado G y H representan a los clientes que beben cerveza producidas por las respectivas cerveceras y el estado I que representa todas las otras marcas. Los datos se toman cada mes y el analista ha construido la siguiente matriz de transicin de los datos histricos.GGI

G0,700,200,10

H0,200,750,05

I0,100,100,80

Cuales son los porcentajes de mercado en el estado estable para las dos grandes cervecerias? 30. En una comunidad hay tres supermercado ( S1,S2 y S3) existe movilidad de un cliente a otro . El primero de septiembre , de los clientes va del Si al S2 y 5/12 al S3 de un total de 10.000 personas. Cada mes el super S1 retiene el 90% de sus clientes y pierde el 10% que se va a S2 y el resto se va a S3, el que retiene solo el 40% y pierde el 50% que se va a S1 y el 10% se va a S1.a. Establecer la matriz de transicinb. Cul es la proporcion de clientes para los supermercados el 1 de Noviembre?

c. Hallar la solucin estable

31. Un petrolero realiza las travesias entre una Plataforma Petrolifera y una refinera, y viceversa de forma ininterrumpida tardando 12 horas en cada viaje. El barco es propulsado por dos motores, cada uno de los cuales puede sufrir una avera durante el trayecto con una probabilidad de 0,1. El barco puede navegar con un motor averiado. En este caso, el mecanico de a bordo intenta reparar el motor averiado, con una probabilidad de xito de 0.6 en cada travesa. Si se averan los dos motores, el barco es remolcado a du dstino y debe permanecer amarrado en el puerto durante 24 horas (el tiempo de realizar dos viajes) para ser reparado por completo. Inicialmente el barco navega en perfectas condiciones.a. Comprobar que el sistema se puede modelar mediante una Cadena de Markov. Definir los estados de la cadena, hallar la matriz de probabilidades de transicin.

b. Clasificar los estados de la cadena y hallar las clases de equivalencia.

32. Se realiza una sucesin de experimentos que consiste cada uno de ellos en lanzar una bola en una de tres cajas. La bola no puede caer fuera de alguna de estas cajas y la probabilidad de que la bola caiga en una de ellas es 1/3. Se Xn, n ( 1, la variable aleatoria que describe el numero de cajas no vacis despues del n-simo lanzamiento. Obtener la matriz de probabilidades de transicin y la matriz de probabilidades de transicin de n pasos de la cadena.

33. Considerar un proceso markoviano con la siguiente matriz de probabilidades de transicin:

a. Cul es el tiempo medio de primer paso de 3 a 2?b. Cules deberan ser las probabilidades iniciales de estado ((0) = [(1(0), (2(0), (3(0)] para que el proceso entrase en estado estacionario despus de una transicin? 34. El siguiente proceso de Markov empieza en el estado 1

Encontrar las probabilidades de que:a. El proceso est en el estado 3 despus de tres transiciones

b. El proceso llegue al estado 3 por primera vez despus de n transicionesc. El proceso no haya llegado an al estado 2 despus de n transicionesd. Despus de la tercera transicin desde el estado 3 hasta el 2 las dos transiciones siguientes sean (2 (1(3) (2(3(3)

e. El proceso entre en el estado 2 exactamente una vez en las tres primeras transiciones

f. El proceso realice la transicin 1 ( 2 exactamente una vez en las tres primeras transicionesg. El nmero esperado de veces que el proceso entrar en el estado 2 durante las tres primeras transiciones.35. Supongamos que la probabilidad de que maana llueva si hoy est lloviendo es 0.6, y que la probabilidad de que maana haga buen tiempo si hoy hace buen tiempo es 0.4.a. Determinar la matriz de probabilidades de transicin de la cadena de Markov correspondiente.b. Hallar la distribucin de probabilidad del estado estacionario.36. Determinar las clases de las siguientes cadenas de Markov y decir si son o no recurrentes

37. Consideremos el siguiente juego: un jugador apuesta una unidad en cada partida. Tiene una probabilidad p de ganar y q=1-p de perder. Seguir jugando hasta que se arruina o alcanza una fortuna de T unidades. Sea Xn la fortuna del jugador en la n-sima partida. = 0 < Xn < T Xn+1 = Xn

Xn = 0 Ta. {Xn} es una cadena de Markov. Supongamos que las sucesivas partidas del juego son independientes y que la fortuna inicial del jugador es X0b. Determinar la matriz de probabilidades de transicin de 1 paso de la cadena de Markovc. Hallar las clases de la cadena de Markovd. Sean T = 3 y p = 0.3

Hallar ((((e. Sean T = 3 y p = 0.7

Hallar ((((

f. Qu se puede deducir de c) y d)?38. Supongamos que una red de comunicaciones transmite dgitos binarios 0 o 1. Al recorrer la red, existe una probabilidad q de que el dgito binario se reciba de forma incorrecta en el siguiente paso. Si X0 denota un dgito binario que entra en el sistema, X1 el dgito recibido despus de la primera transicin, X2 el dgito recibido despus de la segunda transicin, ... Xn , entonces es una cadena de Markov.Hallar la matriz de probabilidades de transicin y la distribucin de probabilidad del estado estacionario.39. Las familias de cierto pas se clasifican segn residan en reas rurales, urbanas o suburbanas. Los estudios de movilidad demogrfica estiman que, en promedio, en el curso de un ao, el 15% de las familias urbanas cambia de residencia y se traslada a un rea suburbana, y el 5% a un rea rural; mientras que el 6% de las familias residentes en reas suburbanas se traslada a reas urbanas, y el 4% a reas rurales, y finalmente el 4% de las familias rurales migra a las reas urbanas y el 6% a las suburbanas.a. Cul es la probabilidad de que una familia que vive ahora en un rea urbana siga viviendo en un rea urbana dentro de dos aos? Y en una suburbana? Y en una rural?b. Supongamos que en el presente el 40% de las familias del pas viven en reas urbanas, el 35% en suburbanas y el 25% en rurales. Qu porcentaje de familias vivir en reas urbanas dentro de dos aos?c. Qu distribucin de poblacin es de prever en el futuro si las tendencias no cambian?40. Un bosque consta de dos tipos de rboles: jvenes (entre 0 y 3 mts de altura) y adultos (ms de 3 mts). Cada ao, el 30% de los rboles jvenes muere, el 10% se vende por $20 cada uno, el 20% se mantiene entre 0 y 3 mts y el 40% crece superando los 3 mts. Cada ao, el 40% de los rboles adultos se vende por $50, el 20% se vende por $20, el 30% permanece en el bosque y un 10% muere.a. Cul es la probabilidad de que un rbol joven muera antes de ser vendido?b. Si plantar un rbol joven cuesta $5, cul es el beneficio esperado para cada rbol joven plantado?41. En cierta ciudad los habitantes pueden tener alguna de las profesiones A, B, C. En cada caso los hijos tienden a seguir la profesin del padre con probabilidades 3/5, 2/3 y respectivamente. Quienes no siguen la tradicin del padre eligen equiprobablemente alguna de las otras dos. Hallar:a. La distribucin porcentual de las profesiones en la prxima generacin, si actualmente es de 20% para A, 30% para B y 50% para C. b. La distribucin lmite de las generaciones cuando transcurren muchas generaciones.

c. Una cierta distribucin porcentual de las profesiones que no cambie de una generacin a otra. 42. Suponga que toda la industria de refresco produce dos colas: Coca Cola y Pepsi Cola. Cuando una persona ha comprado Coca Cola hay una probabilidad de 90% de que siga comprndola la vez siguiente. Si una persona compr Pepsi, hay 80% de que repita la vez siguiente. Se pide: a. Si una persona actualmente es comprador de Pepsi. Cul es la probabilidad de que compre Coca Cola pasadas dos compras a partir de hoy? b. Si en la actualidad una persona es comprador de Coca Cola. Cul es la probabilidad de que compre Coca Cola pasadas tres compras a partir de ahora? c. Supongamos que el 60% de toda la gente toma hoy Coca Cola y el 40% Pepsi. A tres compras a partir de ahora, Qu fraccin de los compradores estar tomando Coca Cola?. 43. El departamento de estudios de mercado de una fbrica estima que el 20% de la gente que compra un producto un mes, no lo comprar el mes siguiente. Adems, el 30% de quienes no lo compren un mes lo adquirir al mes siguiente. En una poblacin de 1000 individuos, 100 compraron el producto el primer mes. Cuntos lo comprarn al mes prximo? Y dentro de dos meses?44. En una poblacin de 10,000 habitantes, 5000 no fuman, 2500 fuman uno o menos de un paquete diario y 2500 fuman ms de un paquete diario. En un mes hay un 5% de probabilidad de que un no fumador comience a fumar un paquete diario, o menos, y un 2% de que un no fumador pase a fumar ms de un paquete diario. Para los que fuman un paquete, o menos, hay un 10% de probabilidad de que dejen el tabaco, y un 10% de que pasen a fumar ms de un paquete diario. Entre los que fuman ms de un paquete, hay un 5% de probabilidad de que dejen el tabaco y un 10% de que pasen a fumar un paquete, o menos. Cuntos individuos habr de cada clase el prximo mes? 45. Una urna contiene dos bolas sin pintar. Se selecciona una bola al azar y se lanza una moneda. Si la bola elegida no est pintada y la moneda produce cara, pintamos la bola de rojo; si la moneda produce cruz, la pintamos de negro. Si la bola ya est pintada, entonces cambiamos el color de la bola de rojo a negro o de negro a rojo, independientemente de si la moneda produce cara o cruz. a. Modele el problema como una cadena de Markov y b. encuentre la matriz de probabilidades de transicin. 46. Las probabilidades de que cierto pas sea gobernado por uno de tres partidos polticos X, Y o Z despus de la prxima eleccin estn dadas por la matriz de transicin:

XYZ

P =X1/3 1/6

Y0

Z1/52/52/5

a. Cul es la probabilidad de que el partido Z gane la prxima eleccin si el partido X est ahora en el poder?

b. Cul es la probabilidad de que el partido X est en el poder despus de dos elecciones si se supone que el partido Y se encuentra en el poder ahora?c. Si el partido Z se encuentra en el poder, cul es la probabilidad de que estar ah despus de dos elecciones? 47. La probabilidad de que una persona de baja estatura tenga un hijo tambin de baja estatura es de 0,75, mientras que la probabilidad de que un padre alto tenga un hijo algo es de 0,60 (se ignora la posibilidad de concebir un hijo de mediana estatura)

a. cul es la probabilidad de que un hombre alto tenga un nieto de baja estatura? b. cul es la probabilidad de que un hombre de baja estatura tenga un nieto alto? c. Encuentre la matriz estacionaria del proceso y d su interpretacin 48. Las granjas de cierta regin pueden clasificarse en tres tipos: agrcolas, pecuarias o mixtas. Actualmente 30% son agrcolas, 40% pecuarias y 30% mixtas. La matriz de transicin de una ao al siguiente es:

APM

P =A0.80.10.1

P0.20.80

M0.10.10.8

Encuentre los porcentajes de los tres tipos de granjas: a. el ao prximo, b. dentro de 2 aos, c. a largo plazo.49. En cierto pas 90% de la energa es generada por petrleo, gas o carbn y 10% provena de la energa atmica. Cinco aos despus los porcentajes eran 80% y 20% respectivamente, mientras que 5 aos ms tarde fueron 75% y 25%. Suponiendo que el proceso es de Markov con

(0.8, 0.2) = (0.9, 0.1) * P

(0.75, 0.25) = (0.8, 0.2) * P

Calcule la matriz de transicin P. Encuentre la matriz estacionaria e interprtela.

Suponga que la ocupacin de cada persona puede clasificarse como de profesional, calificado o no calificado. Suponga, adems, que siempre es cierto que de los hijos de profesionales 70% son profesionales, 20% calificados y 10% no calificados, de los hijos de personas calificadas, 60% son calificados, 20% son profesionales y 20% son no calificados y de los hijos de personas no calificadas, 20% son profesionales, 30% son calificados y 50% no calificados. Suponga que el nmero total de personas con un ocupacin es el mismo en cada generacin y que en la generacin actual, 35% son profesionales, 35% calificados y 30% no calificados. Encuentre la matriz de transicin. Halle la distribucin de trabajos despus de una generacin y despus de dos generaciones.

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_1462265638.unknown

_1143707145.doc

Xn - 1 con probabilidad q = 1 - p

Xn + 1 con probabilidad p