INSTITUOT POLITÉCNICO NACIONAL

CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS“ESTANISLAO RAMÍREZ RUIZ”

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS TURNO MATUTINO

GUIA DE GEOMETRÍA ANALITICA

RESUELVE CORRECTAMENTE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS.

SISTEMAS DE COORDENADAS, DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS, LUGAR GEOMÉTRICO Y LINEA RECTA.

1.Calcula la longitud de la diagonal del cuadro de vértices:

A(-2, 4), B(3, 4), C(3, -1), D(-2, -1).

2. Traza el triangulo con los vértices dados y halla las longitudes de los lados.

a) A(-1, 1), B(-1, 4), C(3, 4)

b) A(-2,-1), B( 4, 2), C(5,0)

3. Comprueba que el triangulo de vértices A (10, 5), B (3, 2), C (6, -5) es un triangulo rectángulo y halla su área.

4. Halla el área del triangulo de vértices:

a) A(2, -3), B(3, 2), C(-1, 5)

b) P(-3, 2), Q(5, -2), R(1, 3)

5. Si los puntos A (3, -4), B (1, 6), C (-2, 3) son los vértices de un triangulo, halla su área.

6. Dibuja el triangulo que tiene los vértices dados y demuestra que es un triangulo isósceles

a) A(6, 2), B(2, -3), C(-2, 2)

b) A(5, 4), B(2, 0), C(-2, 3)

7. Demuestra que el triangulo es rectángulo por medio del teorema de Pitágoras.

a) A(1, 3), B(10, 5), C(2, 1)

b) A(5,-2), B(1, 1), C(7, 9)

8. Comprueba que el rectángulo de vértices (1, -1), (-5, -3), (-3, 3) es un triangulo rectángulo.

9. Halla el valor de los ángulos interiores del triángulo que tiene como vértices.

a) A(1, 1), B(5, 2), C(3, 5)

b) A(2, 2), B(-4, -1), C(6, -5)

10. Hallar las ecuaciones de los lados del triangulo de los vértices.

A( 2, 5), B(7, 3), C(4, 1)

11.En el triangulo de vértices M(1, -2), N(-3, 5), O(3, 3), hallar:

a) Las ecuaciones de una de sus medianas

b) Las ecuaciones de una de sus alturas

12. Halla el valor de los ángulos interiores del triangulo que tiene como vértices:A(1, 1), B( 5, 2), C(3, 5)

13. Halla las coordenadas de los puntos medios de los lados del siguiente triangulo.A(1, 2), B(2, 5), C(6, 3)

14. Los extremos de un segmento son (4, 4) y (2, 6). Halla las coordenadas del punto que lo divide en la razón r = -3.

15. Uno de los segmentos de un extremo de recta es el punto (3, -2), su punto medio es (5, 3).Halla el otro extremo.

16. Halla el punto P(X, Y) dada la razón en el segmento A B.

a) A(4, 3), B(5, 1); r = 1/3

b) A(6, -2), B(-1, 7); r = 2

c) A(2, 5), B(5, -2); r = ¾

17. Comprueba que los puntos A (1, -1), B (5, 2), C (2, 6), D (-2, 3) son lados iguales del cuadrilátero A B C D.

18. Traza una recta que tenga pendiente dada y que pase por el punto que se indica.

a) P(2, 2); m = 3 b) P(-1, 3); m = -1 c) P(-3, 3); m = -3/4

19. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto y la pendiente dada:

a) A(1, 3); m = 2

b) A(-5, 3); m = 1

c) A(-3, 6); m = -4

20. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B.

a) A(-1, 3), B(5, -4)

b) A(5, ½), B(-1, ¾)

c) A(1/3, 4), B(0, -2/3)

21. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto.

P(2, 5); m = 2/5

22. La ecuación de una recta es 3x- 2y+3=0 y su perpendicular pasa por el punto P (1, 5).Halla la ecuación de su paralela y su perpendicular

23. La ecuación de una recta es 7y+2x-11=0Halla la ecuación de su perpendicular que pasa por el punto P(8, 7)

24. Halla el punto de intersección de las rectas y el ángulo que forman entre ellas.

a) 2x- 5y= 20 3x+ 2y=11

25. Halla el punto de intersección de las rectas y el ángulo que forman entre ellas.

a) 4x+ 7y=9 5x-3y=1

26. Halla la distancia de la recta al punto.

a) 5x-12y+3=0; P(-2, 1)b) 4x+3y=5; P(2, -5)c) x+3=0; P(-1, -4)d) x+5y+3=0; P(3, 3)

27. Halla la mediatriz del segmento:

A (2, -3), B (5, 8)

28. Halla las ecuaciones de dos rectas que pasan por el punto A, una paralela y otra perpendicular.

a) A(1, 4), 3x-2y+40=0

b) A(2, -1), x-2y-5=0

c) A(6, 0), 3x-3y=1

29. Las coordenadas de un segmento de recta son A(2, 3) y B(5, y). La distancia de AB= 18. Hallar “y”.

30. Las coordenadas de los puntos A(2, 3) B(5, 7) C(-5, -3), equidistan a un punto P(x, y).Hallar las coordenadas del punto P.

31. Las coordenadas de un segmento de recta son:A (-2, -3), B (4, 7). Hallar las coordenadas de los puntos de los puntos que dividan a este segmento en 4 partes iguales.

32. Calcula la longitud de la diagonal del cuadrado de vértices: A (-2, 4), B(3, 4), C(3, -1), D(-2, -1).

33. El triangulo de vértices: A(6, 1), B(2, -4), C(-2, 1) es: Equilátero, Isósceles, Escaleno?

34. Comprobar que el triangulo de vértices A (10, 5), B (3, 2), C (6, -5) es un triangulo rectángulo y halla su área.

35. Halla el área del triangulo de vértices:

a) A(2, -3), B(3, 2), C(-2, 5)

b) P(-3, 2), Q(5, -2), R(1, 3)

36. los vértices de un triangulo son: A(4, y), B(-2, 4), C(8, -2), si su área es de 28u; calcular el valor de y.

37. Hallar los ángulos del triangulo de vértices A (-2, 1), B (3, 4), C (5, -2)

resp. A=54.16°, B=77.2°, C=48.36°

38. Hallar el ángulo agudo del paralelogramo de vértices A(-2, 1), B(1, 5), C(10, 7), D(7, 3)

resp. 40.6°

39. Hallar le perímetro y los ángulos del triangulo de vértices P (-4, 2), Q (-1, -3), R (3, 5)

resp. P82,234°, Q=57.5°

40. Comprobar que el triangulo de vértices (-1, 1), (-5, -3), (-3, 3) es triangulo rectángulo.

41. Halla el punto medio del segmento A (-4, -6), B (8, -2)

42. El diámetro de una circunferencia tiene sus extremos en los puntos M (-4, -2), N (-2, 5). Hallar las coordenadas del centro.

43. Los extremos de un segmento son (-4, 4)) y (2, 6). Hallar las coordenadas del punto que lo divide en la razón r= -3

44. Uno de los extremos de un segmento de recta es el punto (3, -2), su punto medio es: (5, 3) halla el otro extremo.

45.El centro de un paralelogramo es: (0, 5), dos de sus vértices son (2, 8) y (-1, 6). Hallar las coordenadas de los otros vértices.

46. Hallar las coordenadas de los puntos que dividen al segmento de extremos A(1, 3) y B(5, 4), en cuatro partes iguales.

47. Las coordenadas de los puntos medios de los medios de un triangulo son (-2, 1), (5, 2), (2, -3). Halla sus vértices.

RECTA

48. Halla las ecuaciones de los lados del triangulo de vértices A(2, 5), B(7, 3), C(4, -1).

49. Halla la ecuación de la recta paralela al lado AB y que pasa por el punto P(-5, -3).

Del problema 50 al 53 se refieren al problema 39

50. Dibuja las alturas del triangulo.

51. Obtén las ecuaciones de sus lados.

52. Dibuja las alturas del triangulo.

53. Obtén las ecuaciones de una de sus alturas.

54. Obtener la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta:

55. a) 4x+3=1 b) –2x+5y=1 c) x =3y-9 d) y=9 f) x=1 g) 4x-9y= -1

56. Hallar la ecuación de la recta que pasa por P(2, 5) y que tiene pendiente m= 2/5.

57. Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(2, -4) y que es perpendicular a la recta de ecuación: 2x-3y+1=0.

58. Halla el punto de intersección de las rectas 4x+7y=9, 5x-3y=1

59. Halla la mediatriz del segmento A(2, -3), B(5, 8).

60. En el triangulo de vértices M(1, -2), N(-3, 5), O(3, 3), Hallar:

a) las ecuaciones de los lados.

b) las ecuaciones de las medianas.

c) las ecuaciones de las alturas.

CIRCUNFERENCIA

61.Hallar la ecuación de la circunferencia:

a) Centro (0, 0) radio r=7 b) Centro (-2, 7) radio= 2.5

62. Encuentre el centro y el radio de la circunferencia:

a) (x+1)²+(y+3)²=4 b) x-8) ²+(y+3) ²=40 c) (x-5) ²+(y-½)²=75

63. Hallar el centro y el radio de la circunferencia de ecuación:

a) x²+y²-8x-12y-250=0 b) x²+y²+5x-3y=0 c) x²+y²+8x-6y-15=0

d) x²+y²+6x-4y-15=0

64. Halla la ecuación de la circunferencia:a) Centro en (0, 0) y pasa por (-3, 4).

b) Centro en (3, -2) y pasa por (11, -2)

c) Centro en (-3, -2), tangente al eje y.

d) Centro en (2, 5) tangente al eje x.

65. Radio r=4, tangente al eje x y al eje y, en el segundo cuadrante.

66. Trace la circunferencia y la recta tangente en el punto indicado y obtenga la ecuación de dicha tangente:

a) x²+y²= 80, (-8, 4) b) x²+y²= 9, (-2,√5) c) x²+y²+4x-6y=60, (6, 0)

d) (x-4) ²+(y+5) ²=45, (1, 1) c) x²+y²-2x-2y-8=0, (4, 2)

67. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(0, 3), B(3, 0), C(-1, 0)

68. Halla la ecuación de la circunferencia circunscrita al triangulo de vértices A(0, 0), B(1, 0), C(0, 1).

69. Halla la ecuación de la circunferencia circunscrita al triangulo cuyos vértices son:2x+y-8=0, x-y-1=0, x-7y-1=0.

70. Obtener la ecuación de radio r=4 y concéntrica a la circunferencia (x-4)²+(y+5)²= 36

71. Obtener la ecuación de radio r=9 y concéntrica a la circunferencia x²-16x+y²=0 y72. Un poste de concreto, tiene en el centro una varilla de forma xcilíndrica, obtenga la ecuación de esta circunferencia, tomando en cuenta el sistema de referencia que se muestra.

73. Para el gancho que se muestra en la figura de abajo, escriba las ecuaciones de las circunferencia externa e interna. 12 pulg 0.7 cm

y

3cm x

PARABOLA

74. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice esta en el origen y que satisface las siguientes condiciones:

a) Foco en (0, 2)

b) Directriz x-3= 0

c) Vertical con la rama hacia arriba y L1=6

d) El eje x y pasa por el punto (2, 1)

e) Directriz y-3/4 =0

f) El eje coincide con el eje x y el foco esta sobre la recta 3x-5y-18= 0

g) Foco en (4, 0), el eje x y la directriz pasa por el punto (-4, 7).

75. Encuentra la ecuación de la parábola que satisface las condiciones siguientes:

a) Vértice (1, 1), directriz x=4

b) Foco (-2, 4), vértice (1, 4)

c) Eje y= 0 y pasa por los puntos (-2, 1), (1, 2) y (-1, 3)

d) Foco (2, 3), (1, 2) y (-1, 3)

e) Foco (2, 3), Lr=4, concavidad hacia la izquierda.

76. Hallar las coordenadas del vértice y del foco, la ecuación de la directriz, la longitud del

lado recto y trace la grafica de la parábola cuya ecuación se indica.

a) (x-4)² = 4(y+3)

b) (y-3)² = 2x-8

c) x²+4x+1

d) y= -x²+12x

e) –4y+x²+2x=11

f) y²-8y-3x+22=0

g) 9x²+16y²-54x-63=0

77. Hallar la ecuación de la parábola con foco en (0, -5) y directriz, la recta 3x+y-1=0.

78. Determinar la ecuación de la parábola cuyo lado recto tiene por extremos los puntos

P(5, -5) y Q(5, 7).

79. Determinar la ecuación de la parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las

abscisas y que pasa por los puntos P(2, 3), Q(-4,7) y R(-6, 19).

ELIPSE

80. Para cada elipse obtenga sus elementos y trace su grafica.

a) x²+4y² =4 b) 9x²+16y²=144 c) 4x²+9y=1 d) 2x²+3y²=6 e) 5x²+7y²=3

81. Obtenga los elementos de la elipse de ecuación:

a) 4x²+y²-24x+4y+36=0 b) 16x²+25y²-30x+18y+9=0

c) 16x²+25y²-30x+18y+9=0 d) 3x²+4y²-18x+8y+19=0

e) 5x²+9y²+24x-36y+36=0 f) 4x²-16x+9y²+18y=11

g) 16x²+25y²-32x+50y+31 h) 9x²+16y²-54x-63=0

82. Hallar la elipse que cumple:

a) Centro en el origen, un foco (0, 5), a=13

b) Eje menor=2, focos F1(-1,1), F2(1,1).

c) Centro (0, 1), un vértice v(6, 1), e=2/3

d) Centro (2, 3), focos F1(-2, 3), F2(6, 3), eje menor 2b=8.

e) (0, ±5), F(0, ±3)

f) (-5, 0), F(-5, ±2), b=3

g) F(-2, 7), F(6, 7), 2b=8

h) F(-3, 6), F(5, 7), 2b=8

i) Vértices (3, 1) y (3, 9), eje menor de longitud 6.

j) Focos (1, ±5), eje mayor de longitud 14.

k) Centro en (5, 1), vértice en (5, 4), extremo de un eje menor en (3, 1).

l) Extremos del eje menor en (-1, 2) y (-1, 4), un foco en (1, -1)

m) Centro en (5, 4), longitud del eje mayor 16, longitud del eje menor 6, eje mayor

paralelo al eje x.

n) Centro (-2, 2), un vértice en (-2, 6), un foco en (-2, 2+ ).

83. Un arco de 80 metros de luz tiene forma semieliptica. Sabiendo que su altura es de 30

metros, hallar la altura del arco en un punto situado a 15 metros del centro.

84. La orbita de la tierra es una elipse en uno de cuyos focos esta el sol. Sabiendo que el

semieje mayor es de148.5 millones de kilómetros y que la excentridad vale 0.017, hallar la

máxima y la mínima distancia de la tierra al sol.

HIPERBOLA

85. Esboce la hipérbola representada por cada una de las ecuaciones siguientes, dibuje sus

asintotas y calcule las coordenadas de sus vértices y focos:

a) x²-4y²=100 b) 3x²-4y²=24

c) 16x²-9y²=144 d) 9y²-4x²+36=0

86. Hallar la ecuación de la hipérbola, que satisfacen las siguientes condiciones:

a) Centro C(0, 0), un foco F(6, 0) y un vértice v(5, 0)

b) b=7, lado recto 49/4 y eje focal sobre el eje x.

c) La distancia entre sus vértices es igual a 24 y los focos son F1(-10, 2), F2(16, 2).

d) Los focos son F(±3.6, 2), sus vértices V(±2, 2)

e) Centro (4, 2), foco en (4, 7), e=5/3.

f) Vértices en (-2, 3), (6, 3) y un foco en (-4, 3).

g) Centro (-1, -2), un vértice en (-1, 1), e= 2

h) Vértices (3, 0) y –( -3, 0) y una de sus asíntotas es la recta y= -2x

87. Transforme la ecuación y esboce la hipérbola, dibuje sus asintotas y calcule las

coordenadas de sus vértices y focos:

a) 9x²-16y²-54x-64y-127=0 b) 4x²-y²+8x-2y+3=0

c) 16x²-9y²-64x-54y-161=0 d) 5x²-7y²-25x+28y=0

e) 3x²-y²+18x-2y+14=0 f) 16x²-25y²-96x+50y-281=0

g) 16x²-9y²+96x+72y+144=0

COORDENADAS POLARES

88. Trace la grafica de la curva cuya ecuación polar es:

a) r= 3 sen 2 θ

b) r= 2+ 2 cos θ

c) r²= 4 sen 3 θ

d) r= θ

89. Transforme la ecuación polar en ecuación rectangular.

a) r= 4 sen θ

b) r= 2

c) r= tan θ

d) r² (4 sen² θ – 9 cos² θ)=36

e) r= 6/ (cosθ + 5sen θ)

90. Transformar la ecuación rectangular a la forma polar.a) x+ 7y=8

b) 3x² -2y² -1=0

c) y²-8x-16=0

d) x²-3y²=7x

e) ax + by + c=0

ECUACIONES PARAMETRICAS

91. Trace la grafica de la curva cuyas ecuaciones parametricas son:

a) x= 1+t , y= 2+t²

b) x= 2 cos t , y= 2 sen t

92. Eliminar el parámetro de las ecuaciones:

a) x= 3+2t , y= 1+t

b) x= 2y+3 , y= 2y²+4t

c) x= 5 sen t , y= 5 cos t

d) x= 2 + 3 tan t , y= 1+4 sec t

e) x= t+ 1/t , y= t- 1/t

f) x= sen t + cos t , y= sen t – cos t

g) x= cos³ t , y= sen³ t