Guia - s4 Matematica

LÓGICO MATEMÁTICA - ALFA 2015 - 0

ALFA 2014 - II

COMPETENCIA INDICADORES Aplica contenidos conceptuales y procedimentales de la

Lógica Matemática para solucionar problemas de la realidad, de manera acertada, responsable y proactiva.

Resuelve problemas que implican cálculos con operaciones básicas en los sistemas numéricos.

Es indudable que el hombre aprendió a contar y a conocer los eventos estelares antes que a escribir. Así lo indican claramente su conocimiento de las posiciones de los astros, del inicio de las estaciones y sus calendarios lunares, pues ya existían en el Neolítico grabados en hueso.

El nacimiento de la agricultura y la ganadería también hizo necesarios dichos conocimientos para saber cuándo se debía sembrar, realizar el recuento de las cosechas o aparear al ganado. Así también con la navegación, en la que era indispensable conocer cuñando y donde se producían las mareas y corrientes marinas que podían imposibilitar o facilitar la navegación de las pequeñas embarcaciones de que disponían. De aquí su atenta

observación y conocimiento de las fases lunares, del curso solar y de los demás astros visibles. Podemos imaginarnos que empezaron sirviéndose de simples series de trazos a las que seguramente añadían una representación de lo que se contaba.

El lenguaje articulado fue esencial para el nacimiento del pensamiento abstracto matemático. Los signos para representar números fueron anteriores a las palabras para representar números, seguramente porque es más fácil contar muescas en un palo que establecer una frase para identificar un número concreto. Los símbolos que representan a los números no han sido siempre los mismos.

En Mesopotamia se representaban en forma de cuña.

En Egipto mediante jeroglíficos.

En Grecia con las letras de su alfabeto: , , , , , etc.

En Roma, los símbolos que se usaron fueron: I = 1; V = 5; X = 10; L = 50; C = 100; D = 500; M = 1000.

Nuestro sistema de numeración actual, que introdujeron los árabes y es de origen hindú, es: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9 (aunque los hindúes hacen referencia únicamente a nueve símbolos porque no tenían conocimiento del cero). La primera referencia al cero en la India


Introducción

data del año 876, dos siglos después de la primera conocida a los otros nueve numerales. Es posible que el cero surgiera en Alejandría y que desde allí se propagase a la India.

DEL NUMERO NATURAL AL NUMERO IRRACIONAL

El conjunto de los números naturales se denota por N. En él se definen dos operaciones: la adición y la multiplicación, que dan como resultado otro número natural. Así, para dos números naturales cualesquiera, a y b, su suma suele representarse por (a + b) y su producto, por (a . b).

Asimismo, se pueden comparar dos números naturales cualesquiera y establecer, entre ellos, una relación de orden en N. Se escribe para indicar que a es menor o igual que b (o, lo que es lo mismo, que b es mayor o igual que a, que también se escribe ).

El conjunto de los números enteros , que amplía el de los naturales, se denota por Z. En él se definen la adición y la multiplicación, así como una relación de orden. Las propiedades de la adición y multiplicación, y la relación de orden para los números naturales también las cumplen los números enteros, además de algunas otras.

En Z se puede realizar la sustracción, pero no siempre la división. Esta operación es posible (dividiendo por elementos distintos de 0) en el conjunto Q de los números racionales, que son cocientes de números enteros (con denominador no nulo). En este conjunto se definen la adición y la multiplicación, así como una relación de orden. Las propiedades de la adición, la multiplicación y la relación de orden para los números enteros también las cumplen los números racionales, además de algunas otras.

El conjunto de números racionales no es suficiente para solucionar ciertos problemas elementales algebraicos y geométricos. Por ejemplo, no hay un número racional a/b para el que (a/b)2=2, es decir, el número no es número racional, sino que pertenece al conjunto de los números irracionales (I), que es el conjunto de números que no pueden expresarse como cociente de dos números enteros.

EL SISTEMA DE NÚMEROS REALES

El sistema de números reales es el conjunto de los números reales, denotado por R, y sus propiedades. Está formado por los números naturales, enteros, racionales e irracionales, y se caracteriza por representar cualquier número real sobre una recta y, a su vez, porque cada punto de una recta puede ser designado por un número real. A esa correspondencia se le llama relación biunívoca porque para cada número real hay un punto en la recta y para cada punto en la recta hay un número real.


SISTEMAS NUMÉRICOS – OPERACIONES BÁSICAS

Los números reales se pueden representar gráficamente como puntos de una recta. Esto permite ver, sobre todo, las relaciones de orden.

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

Propiedad Operación Definición Significado Ejemplo

ClausuraSuma

Multiplicación

El resultado de sumar o multiplicar dos números reales, también es número real.

ConmutativaSuma

Multiplicación

El orden al sumar o multiplicar los números reales, no afecta el resultado.

-5+8=8+-5

AsociativaSuma

Multiplicación

No importa el orden al asociar la suma o multiplicación de tres o más número reales, el resultado siempre será el mismo.

NeutroSuma

Multiplicación

Si a un número real se le suma el cero (neutro aditivo), se queda igual.Sin un número real se multiplica por 1 (neutro multiplicativo), se queda igual.

7 + 0 = 7

-7 (1) = -7

InversoSuma

Multiplicación

Si a un número se le suma su inverso, se obtiene como resultado el 0 (neutro aditivo).Si un número se multiplica por su inverso multiplicativo, se obtiene como resultado 1 (neutro multiplicativo).

8 + (-8) = 0

Distributiva Suma respecto a la multiplicación

El factor se distribuye a cada sumando.

LAS OTRAS OPERACIONES


Dados a, b R, se llama DIFERENCIA de a y b en este orden y se denota por a-b a la suma de a con el inverso aditivo de b, esto es:

a – b = a + (-b);

La sustracción es la operación que a cada par de números reales a, b, hace corresponder su diferencia a – b.

La división es la operación que a cada par de números reales a, b, con le hace

corresponder su cociente .

OPERACIONES COMPUESTAS

Al operar con números reales, hay que tener en cuenta dos reglas sencillas:

Ejemplo:

Calcula las siguientes operaciones con números naturales:

a) 40 – 3 . 5 + 12 : 2

40 – 15 + 6 = 31

b) 2 . 3 . 5 – 6 – 8 + 7 . 2 . 10

30 – 6 – 8 + 140 = 24 – 8 + 140 = 16 + 140 = 156

Ejemplo:

Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a) 22 – 3 . 4 – 2 . (6 - 2 . 3 + 8 : 2)

22 – 3 . 4 – 2 . (6 – 6 + 4) = 22 – 3 . 4 – 2 . (4) = 22 – 12 – 8 = 2

b) 23 – 5 . (7 – 4) + 6 . (5 – 2)

23 – 5 . 3 + 6 . 3 = 23 – 15 + 18 = 8 + 18 = 26

c) 22 – 14 – 6 – (7 – 1) + 6 : 2 + 8


Dados a, b con se llama cociente de a y b, en este orden y se denota por al producto de a con el inverso multiplicativo de b.Esto es:

Si en una expresión con números figura un paréntesis, se efectúa en primer lugar el paréntesis y después se aplica la regla 1.

Si en una expresión figuran sumas, restas, multiplicaciones y divisiones (sin paréntesis), se efectúan en primer lugar las multiplicaciones y divisiones, comenzando de izquierda a derecha; y a continuación las sumas y restas.

22 - 14 – 6 – 6 + 3 + 8 = 22 – 5 + 8 = 25

PROBLEMAS:

1. Resolver los siguientes ejercicios:

a)

b)

c)

2. En un ómnibus llegaron 43 estudiantes a Cajatambo, pero por cada estudiante que bajaba subían 3, el precio de cada pasaje era S/. 25 y se recaudó en total S/. 1250. ¿Cuál era la cantidad de estudiantes que había inicialmente?

Solución:Nº total de estudiantes: 1250 : 25 = 50Nº estudiantes que bajaron: (50 -43) = 7Nº estudiantes que subirán: 3 x 7 = 21Nº estudiantes al inicio: (50-21)= 29

3. Un administrador de una tienda comercial compró 50 jarrones de cristal a S/. 8 cada uno, después de haber vendido 15 con una ganancia de S/. 2 por jarrón se rompieron 9. ¿A qué precio vendió cada uno de los jarrones que le quedaron, sabiendo que la ganancia total fue de S/. 62?

Solución:GASTO TOTAL : 50 x 8 = S/. 400Dinero recuperado : 15 x 10 = S/. 150Falta recuperar : 400 – 150 = S/. 250Nº jarrones que quedan para vender : 50 – 15 – 9 = 26

4. Hace 2 años, tu edad era mayor que la de Maritza por 8 años. Si actualmente tu edad es el triple que la de Maritza, ¿qué edad tendrás el próximo año?

Hace 2 años: Y – M = 8


Con los números reales podemos realizar muchas operaciones que

están relacionados a nuestra vida diaria, …, esto es

fascinante, aquí hay algunos ejemplos.

Actualmente: Y = 3MReemplazando: 3M – M = 8

2M = 8M = 4Y = 3M = 3(4) 12 (hoy)

Rpta.: El próximo año tendré 13 años.

5. Dos estudiantes de Ingeniería Ambiental se fueron a pescar. Sucedió que pescaron 495 pescados, de los cuales uno a pescado el cuádruplo del otro. ¿Cuántos peces ha pescado el que pescó menos?

Calculando el número de peces del que pescó menos:

N° peces =

Rpta.: Pescó 99 peces.

6. Un estudiante de Nutrición vende dulces de kiwicha. Durante la mañana vende ¼ de lo que tiene. En la tarde vende 1/3 del resto, quedándole por vender 24 dulces. ¿Cuántas dulces de kiwicha tenía al iniciar la venta del día?

Se resuelve a partir del último dato: Si vende 1/3 del resto, entonces le queda 2/3 del resto que equivale a 24 dulces:

El resto hallado anteriormente es lo que queda de la primera venta. Si se vendió ¼ de la cantidad inicial, entonces quedaron ¾ de la cantidad inicial, que equivale a 36 dulces.

Rpta.: Inicialmente tenía 48 dulces.


I. Efectuar las siguientes operaciones combinadas:


Rpta:

Rpta: Rpta:

01 02

03(

04

HOJA DE TRABAJO # 04

Rpta:


Rpta: Rpta:

Rpta: Rpta:

05

06

07

08


Rpta: Rpta:

Rpta: Rpta:

09

10

11

12

II. Resuelve los siguientes problemas sobre números naturales:


Rpta: Rpta:

Rpta: Rpta:

13

14

15

16


Rpta: Rpta:

Rpta: Rpta:

Un estudiante trabaja como Asistente Contable ganando 35 soles por día de trabajo. Si trabaja 6 días a la semana, y gasta 120 soles respectivamente. ¿Cuánto puede ahorrar en 8 semanas?

17

Durante el período de prueba del Corredor Azul, se observó que en el paradero inicial de ómnibus habían 286 estudiantes; si en cada ómnibus solo pueden ir 43 estudiantes. ¿Cuántos ómnibus habrán pasado si aún quedan 28 estudiantes?

18

Un grupo de estudiantes de la EAP de Ciencias de la Comunicación viajan para realizar un reportaje, partiendo de la ciudad de Lima.El primer día hacen un recorrido de 42 Km y cada día recorren 6 Km más que el día anterior. ¿A qué distancia se encuentra de la ciudad de Lima después de 5 días de camino?

19

Dos estudiantes de administración deciden hacer un negocio y compran 45 celulares a 95 soles cada uno. ¿A cuánto deben vender cada celular para obtener una ganancia total de 1125 soles?

20


Rpta: Rpta:

Rpta: Rpta:

Durante los juegos deportivos universitarios, un grupo de estudiantes realizan una caminata, partiendo de la universidad. Se hace el siguiente recorrido: caminan 18Km al norte, luego 11Km al sur, luego 23Km al norte, luego 16Km al sur, luego 9km al sur, luego 14km al norte. ¿A qué distancia se encuentran los estudiantes de la universidad?

21

Un ingeniero ambiental cultiva 15 m2 de un campo empleando 2 kg de semillas. ¿Cuántos Kg necesitará para cultivar un campo de 1200 m2?

22

Un nutricionista prepara 24 litros de jarabe revitalizante, mezclando 3/8 de fruta, 1/3 de dulce y el resto de agua. ¿Cuántos litros de agua ha empleado para la mezcla?

23

El último domingo visitaron el zoológico del Parque de Las Leyendas 600 personas, de las cuales 2/5 eran estudiantes, de los estudiantes, la mitad eran mujeres. ¿Cuántos estudiantes asistieron? ¿Cuántas eran mujeres?

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Rpta: Rpta:

Rpta: Rpta:

Al iniciar su producción, una fábrica de zapatos producía 150 pares de zapatos por semana, pero debido a la demanda fue incrementando su producción en 20 pares cada semana. ¿Cuál será su producción total luego de 2 meses?

25

Al contratar a un vendedor le ofrecen un sueldo básico mensual de 750 soles más un bono adicional equivalente a la cuarta parte del total de sus ventas. ¿Qué monto de ventas debe alcanzar para recibir un sueldo total de 1500 soles?

26

Después de cobrar su sueldo mensual, un arquitecto pagó una deuda de 470 soles y prestó 260 soles a un amigo. Si todavía le quedaron 1890 soles, ¿a cuánto asciende su sueldo mensual?

27

Juan y Francisco, estudiantes de la facultad de Derecho, parten en sus respectivos automóviles de la ciudad de Lima a las 9:00 am, pero en sentidos opuestos. El primero lleva una velocidad de 75 km/h y el segundo va a 90 km/h. ¿A qué distancia estarán a mediodía?

288


Rpta: Rpta:

Rpta: Rpta:

Las edades de tres estudiantes de la EAP de Contabilidad son las siguientes: María tiene 16 años, Olga tiene 2 años más del doble que María, y Guadalupe tiene 22 años menos que la suma de edades de María y Olga. ¿Qué edad tiene Guadalupe?

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Una profesora de Educación Inicial premia a sus alumnos de la siguiente manera: Por cada día que sabe la lección le suma 10 puntos; y por cada día que no sabe, le resta 5 puntos. Al cabo de 20 días, Luis tiene 80 puntos. ¿Cuántos días supo la lección y cuántos no la supo?

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Claudia y Jorge, dos estudiantes de la EAP de Administración, deciden recaudar fondos para la navidad. Compran cajas de panetones a S/.60 cada una; primero venden la mitad a S/.80 cada una, después la cuarta parte a S/. 75. y por último, el resto a S/. 70, ganando S/. 1625 por todas las cajas. ¿Cuántos cajas de panetones han comprado?

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Gaby, estudiante de Psicología, vive un poco alejada de la universidad, por lo que tarde aproximadamente 4/5 de hora en trasladarse de su casa a la universidad.Si las clases empiezan a las 7:00 a.m. ¿cuál sería la hora aproximada en que debería salir Gaby para llegar 5 minutos antes de la hora de entrada?

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS


Rpta: Rpta:

Rpta: Rpta:

La directora de la IEI “Los Vencedores”, decide dar una bonificación de S/. 1360 a cada una de sus docentes; pero una de ellas renunció a esta bonificación y la parte de ésta se repartió por igual entre las demás, recibiendo entonces cada una de ellas S/. 1530. ¿Cuántas docentes laboran en esta IEI?

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Un empleador decide entregar a cada uno de sus trabajadores S/. 350. Uno de ellos es despedido y el total es repartido entre los demás, recibiendo cada uno S/. 400. ¿Cuántos eran los trabajadores inicialmente?

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Una tienda comercial compra 70 televisores del mismo modelo por S/. 45 500. Vende después 4 docenas de ellos, ganando S/. 50 por cada uno. Determina el precio de venta de cada uno de los restantes, si quiere obtener un beneficio total de S/. 3500?

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Milagros y Walter, estudiantes de la EAP de Turismo, hacen la siguiente inversión: Compran libros a S/. 50 cada uno. Por cada docena le regalan un libro, obteniendo en total 1040 libros. Si decide regalar 40 libros. ¿A qué precio deben vender cada libro para ganar S/. 12000?

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Código de biblioteca TEXTO

511.3 E23Editorial San Marcos (2010). Compendio de Razonamiento Matemático

372.7 G57T.1Mario E. Góngora Santa Cruz (2007). Matemática FundamentalGaldós, L. (2005). Dominando las matemáticas – Aritmética I. Madrid, España: Cultural S.A.Asociación Fondo de Investigadores y Editores (2008). Razonamiento Matemático.


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