Matematica Aplicada a la Medicina

Lic. Juan Carlos Damian Sandoval

Lic. Geovana Elizabeth Linares Purisaca

Ciclo 2013 - 1

2SEMINARIO No 1 - LOGICA

1. Indicar cuales de los siguientes enunciados son proposiciones:

Viva el Peru !

El esta trabajando en la RENIEC.

Cual es el nombre del ministro de Educacion ?

Los Banos del Inca se encuentran en el departamento del Cuzco.

x + 3 < 5 + 2

Chiclayo es la ciudad de la amistad.

2. Utilizando variables y conectivos simbolizar en forma logica las siguientes proposiciones:

La piscina esta temperada porque hay calefaccion, o la piscina esta temperada porque

habra concurso de natacion.

Si apruebas Matematica Aplicada a la Medicina entonces podras llevar Bioestadstica

el siguiente semestre.

Los soldados vencieron en el campo de batalla, pero no ganaron la guerra. Luego si

no vencieron en la batalla, no ganaron la guerra.

O la matematica es una ciencia formal y la logica tambien , o mi memoria esta fa-

llando.

La polica y las brigadas de socorro rescatan ninos, si y solo resultan heridos en el

accidente.

Si Rosa y Javier van de paseo, entonces se divierten.

Si el clima es malo o muchos estan enfermos, la fiesta no se hara.

Tendremos muchas flores en el jardn, puesto que la estacion es propicia y las semillas

no estan malogradas.

3. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

Alexander Fleming descubrio la penicilina y Christian Neethling Barnard realizo el

primer trasplante del corazon.

Ricardo Palma nacio en Lima ademas su obra cumbre fue Diamantes y Perlas.

O dos es multiplo de veinte o quince es multiplo de 150.

(152 142) < 28 (16 = 4)

34. Establecer si los siguientes esquemas moleculares son tautologas, contradicciones o con-

tingencias.

[(p q) (q r)] (q r) [ (p q) p ] p [(p q) q] q (p r) (p q) (p q) (p q) (p q) [( q) ( p)]

5. Si se sabe que el esquema ( p q) ( s r) es falso:a) Hallar el valor de verdad de p, q, r, s

b) Hallar el valor de verdad de: [p ( q4 r)] [( s w)4 x]

6. Si la proposicion (p q) (r q) es falso.Senal el valor de verdad de las de las siguientes proposiciones:

a) [(p q) (q r)] (p q)b) [ (p q) (q r)] (p r)

7. Si la proposicion [(p q) ( r q)] es verdaderaCual es el valor de verdad de: [( q4 r) p] (q r)

8. Dadas las proposiciones:

p : El 15 por ciento de 200 es 150.

q : Los3

4de los

3

5de 200 es 60.

r : 50 por ciento es equivalente a la mitad de una cantidad

Determinar el valor de verdad de (q p) ( r q)

9. Determinar si los esquemas moleculares:

A = [p (p q)] y B = [(p q)4 q] son equivalentes.

10. Si se sabe que:

p q = p q, p ] q = p qEvalua el siguiente esquema molecular

A = (p r) ] (q r)

11. Para una proposicion cualquiera q se define:

G(q) =

{1 , si q es verdadero

0 , si q es falso

Si G(m) = 1 donde: m = (p r) sSi G(n) = 0 donde: n = p (r q)Hallar G(p r) + G(r s) + G(p s) + G( p r)

4SEMINARIO No 2 - LEYES LOGICAS Y CUANTIFICADORES

1. Simplificar las siguientes proposiciones

a) [ (p q) p] p b) [(p q) (p q)] ( p q)c) [(q p) p] ( p q) d) (p q) ( p q)e) [ (p q) ( q p)] p f) [(q p) p] ( p q)

2. Determinar la menor expresion que representa al siguiente esquema molecular:

[p (q r)]

3. Determina la menor expresion que representa al siguiente esquema molecular

{ [ p q) q] [ (p q)}

4. Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones cuantificadas:

a) x A/2x 1 = 3, A = {0; 1; 2; 4}b) x R/x2 > 0c) x R/x2 0d) n A; 5 n2 > 0; A = {2; 1; 2}e) x K/ 6x 1 > 41; K = {2; 5; 8; 9}f) x B/2x + 3

4< 12, B = {0; 1; 5; 7}

5. Negar la siguiente proposicion

(x R/|x| = x) (x R/x + 1 1)

6. Dadas las expresiones logicas

I. x R/x2 + 8 0 II. n Q/0 < n < 1III. n Z+/n2 + n + 17 no es primo IV. n N/n + 1 < 5Cuantas de ellas son verdaderas justifique su respuesta?

7. Negar la proposicion x R, y R/x < y

8. Determina el esquema mas simple de la proposicion

a) [(p q) p] ( q p)b) ( p q) [ p (q p)]

9. Analiza el valor de verdad de las siguientes proposiciones

i) p : x Q/x3 < xii) q : x Z, y Z/x2 + y2 > 0iii) r : x Z, y Z/x < y x2 y2 > 0Con los valores de verdad obtenidos, hallar el valor de verdad de

[( p r) (q r)] q

5SEMINARIO No 3 - CONJUNTOS

1. Dado el conjunto B = {2; 5; {3}; {7; 8}} coloque verdadero o falso segun corresponda. {{3}} B {2; 7; {3}} B 5 B {7; 8} B {2; {7; 8}} P (B) {5} P (B)

2. Determina por extension los siguientes conjuntos:

a) A = {x Z/(x2 = 4) (x2 + x = 12)} b) B = {x Z/x4 13x2 + 36 = 0}

c) C ={3x 1

2 N/x N2 x < 17

}d) D = {x Z/x3x210x8 = 0}

3. Determina por comprension los siguientes conjuntos:

a) A = {3; 8; 15; 24; 35} b)B ={

5;17

3;19

3; 7;

23

3

}

c) C ={

0;4

7;10

9;18

11;28

13

}d)D =

{13

;2

5;3

7;4

9;

}

4. Dados el conjunto unitario

A = {a + b; a + 2b 3; 12}

Encuentre a3 b3

5. Si los conjuntos A = {3a + b 9; 4a}, B = {5a + 2b; 4} son unitarios, probar queC = {6a + b; 2b + 8a 3} tambien es unitario.

6. Si los conjuntos A y B son iguales, halla la suma de los elementos del conjunto C, tal

que:

A = {5a1; 4b+2} B = {125; 64} C = {x3/x N b x a}

7. Sean los conjuntos A y B y se cumple:

n(A B) = 30;n(AB) = 12 y n(B A) = 10

Determine el valor de :n(A) + n(B)

8. Dados los conjuntos

A = {x N/ x es divisor de 12} B = {x N/ x es divisor de 18}C = {x N/ x es divisor de 16}Determina

a) (AB)(BC) b) (AB)(BC) c) (A4B)C

69. Sabiendo que el siguiente conjunto A = {3m 3n + 2;m + n; 14} es unitarioDetermine el numero de subconjuntos propios de

B = {m; 2m;n; 2n 1}

10. El conjunto potencia de A tiene 256 subconjuntos Cuantos elementos tiene A?

11. Sean los conjuntos

A = {x Z/x3 + x2 9x 9 = 0} B = {x N/(x 4)2(x2 4)(x2 + 9) = 0}C = {4; 5; 0; 1; 2; 3} {4; 5}, encuentre (A C)4B

12. Si n[P (A)] = 128, n[P (B)] = 16 y n[P (A B)] = 8 Indica el valor de n[P (A B)]

13. Dados los conjuntos

A = {x N/x + 3 < 8} B = {x N/x2 3x + 2 = 0}C = {x N/x = k 2, k < 5 k N}Encuentra el conjunto E = A (B C)

14. Dado el conjunto universal, U = {x/x N x < 8} y los subconjuntos:A = {x/x U x es par} ; B = {x/x U x es divisor de 6}, C = {1; 2; 3; 4; 7}Determina:

a) (A C) B b) (B C) A

15. En el Hospital Sabogal de 58 pacientes en emergencia 38 tienen fiebre, 15 presentan

varicela y 20 neumona y solo 3 de ellos presentan los tres sntomas Cuantos pacientes

tienen exactamente 2 de estas enfermedades?

16. Se entrevistan a X personas a cerca de la preferencia del consumo de vitaminas A, B y

C observandose los siguientes resultados:

- 2 no consumen ni A ni B ni C.

- 2 consumen las tres vitaminas.

- 7 consumen solo C.

- 5 consumen solo B.

- 16 consumen B o C pero no A.

- 10 consumen A y C.

- 10 consumen A pero no B.

- 3 consumen A y B pero no C.

Cuantas fueron las personas entrevistadas?

17. En un instituto de investigacion cientfica trabajan 67 medicos. De estos 47 investigan el

cancer, 35 investigan el sida y 23 ambas enfermedades. Cuantos medicos en el instituto

no estudian el cancer ni el sida?

718. En el pabellon A de un hospital hay 40 pacientes, algunos que estudian o trabajan y otros

que ni estudian ni trabajan. Se tiene que presentar un informe acerca de los pacientes

sabiendo que:15 pacientes no estudian ni trabajan,10 pacientes estudian, 3 pacientes es-

tudian y trabajan. Cuantos trabajan? Cuantos solo trabajan? Cuantos solo estudian?.

19. En un salon de 100 alumnos, 60 aprueban Matematica, 40 aprueban Qumica, 30 aprue-

ban Lenguaje y 10 aprueban los tres cursos. Cuantos alumnos aprueban exactamente 2

cursos?

20. En una encuesta a los alumnos de cierta universidad se obtuvo la siguiente informacion: El

60 % aprobo fsica; el 40 % aprobo qumica; el 75 % aprobo matematica; el 10 % aprobo los

tres cursos; el 10 % aprobo fsica solamente; el 15 %aprobo qumica y fsica; y el 30 %

aprobo qumica y matematica. Cual es el porcentaje de alumnos que lamentablemente

no aprobo curso alguno?

21. En un test psicologico a 80 universitarios se recogio la siguiente informacion: 9 universi-

tarios fueron diagnosticados con las psicopatologas A y B pero no C; 11 universitarios

fueron diagnosticados con B y C pero no A; 5 universitarios fueron diagnosticados con A

y C pero no B, 62 universitarios fueron diagnosticados con al menos una de estas psico-

patologas y 11 universitarios fueron diagnosticados con A y B. Cuantos universitarios

fueron diagnosticados con una sola psicopatologa?

22. En una batalla intervienen 100 soldados de los cuales: 42 fueron heridos en la cabeza, 43

fueron heridos en el brazo, 32 fueron heridos en la pierna, 8 fueron heridos en la pierna y

el brazo, 5 fueron heridos en la cabeza y el brazo, 6 fueron heridos en la pierna y la cabeza.

Si todos fueron heridos Cuantos fueron heridos en la cabeza, la pierna y el brazo?

23. En el examen de admision de una universidad de un total de 30 postulantes que se

presentaron a la carrera profesional de idiomas, 14 dominan filosofa, 19 dominan literatura

y 13 razonamiento verbal, si:

n[F (L R)] = 3 ; n[(L R) F ] = 4, n[(F L) R] = 8, n[R (F L)] = 6,n[F L R] = 2 Cuantos no dominan ninguna de las 3 areas?

24. Al preguntarles a un grupo de lectores acerca de sus preferencias por dos diarios locales,

se obtuvo que: 12

leen la industria; 712

leen el norteno; 16

leen ambos diarios y 35 leen otro

periodicos. A cuantos lectores se entrevisto?

8SEMINARIO No 4 - ANALISIS COMBINATORIO

1. En un hospital se utilizan seis smbolos para clasificar las historias clnicas de sus pacien-

tes, de manera que los tres primeros son letras y los tres ultimos dgitos cualesquiera.

Suponiendo que hay 20 letras, cuantas historias clnicas podran hacerse si las tres letras

no pueden ser iguales?

2. En cierta clnica se requiere formar grupos con 3 cardiologos, 2 neumologos y 1 aneste-

sista, de cuantas maneras pueden agruparse si en total se dispone de 7 cardiologos, 4

neumologos y 3 anestesistas?

3. Se convocan a 4 ingenieros, 3 abogados y 5 medicos para un proyecto especial. Cuantos

grupos de 4 miembros se pueden formar de manera que cada grupo este integrado por lo

menos por un medico?

4. En una operacion laparoscopica participan el medico cirujano y la enfermera jefe acom-

panados de 6 internos (del quinto ano), de cuantas formas distintas se pueden ordenar

alrededor del paciente si el medico y la enfermera siempre estan juntos?

5. En una reunion hay 16 estudiantes y 4 profesores

a) Cuantas comisiones de 5 personas cada una pueden formarse si en cada una de ellas

deben participar 2 profesores?

b) Cuantas comisiones de 5 personas cada una pueden formarse si en cada una de ellas

participan a lo mas 2 profesores?

6. Si 4 personas entran a un cine en el cual hay 7 lugares vacos De cuantas maneras

diferentes se pueden sentar?

7. Se ordenan 6 libros diferentes en un estante donde 2 de ellos son de Farmacologa, de

cuantas formas diferentes se podran ordenar los libros si los que no son de Farmacologa

deben estar juntos?

8. En un examen de matematicas, un estudiante debe responder siete preguntas de las diez

dadas. De cuantas formas diferentes debe seleccionar, si el debe responder por lo menos,

tres de las cinco primeras preguntas?

9. Cuantas palabras (con sentido o no) pueden formarse que tengan exactamente las mismas

letras de la palabra CASTO y que empiecen y terminen por vocal?

10. De cuantas maneras diferentes se pueden ubicar en una fila de 5 pacientes 3 hombres y

2 mujeres de modo que las mujeres no esten juntas?

11. De 6 argentinos y 4 chilenos. Cuantos comites de 5 integrantes se pueden formar si cada

comite debe tener por lo menos 3 argentinos?

912. La diferencia entre el numero de variaciones de ?m? objetos, tomados de 2 en 2 y el

numero de combinaciones de esos objetos, tomados de 2 en 2 es 45. Indica el valor de m

13. De un grupo de 12 fumadores y16 no fumadores, dos sociologos que trabajan en un

programa de prevencion de enfermedades cardiacas necesitan escoger 3 fumadores y 4 no

fumadores para un estudio. De cuantas maneras lo puede hacer?

14. En un hospital se tiene 5 medicos especialistas en nefrologa y 4 enfermeras, se desea

escoger un grupo de cuatro personas para una intervencion quirurgica al rinon en la sala

de ciruga del nosocomio. De cuantas maneras se podra realizar esto, si en cada grupo

debe haber a lo mas 2 medicos nefrologos para realizar la intervencion?

15. Una clnica tiene veinticinco empleados profesionales, cuatro de ellos son medicos ciru-

janos. De cuantas maneras pueden formarse grupos de tres profesionales donde por lo

menos uno de ellos sea medico cirujano.

16. Cuatro matrimonios han comprado 8 asientos contiguos para el teatro.

a) De cuantas maneras se pueden sentar?

b) De cuantas maneras se pueden sentar si todos los varones se sientan juntos y todas

las mujeres se sientan juntos?

17. Un profesor de Geologa tiene 6 silicatos, 7 piritas y 8 cuarzos en su coleccion de minerales.

El coge 7 de estas piedras para que un estudiante las analice. De cuantas maneras se

puede tener en este grupo 2 silicatos, 2 piritas y 3 cuarzos?

18. Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comite de 2 hombres y

3 mujeres. De cuantas formas puede formarse, si una mujer determinada debe pertenecer

al comite.

19. De cuantas maneras se pueden ubicar a 4 parejas de esposos en una mesa circular para

jugar casino, si estas parejas juegan siempre juntas?

20. De un equipo de 12 astronautas, siete han volado al espacio exterior y cinco no. De

cuantas maneras diferentes se pueden seleccionar cuatro miembros del equipo si al menos

dos de ellos ya tienen experiencia en el espacio?

21. Con las letras de la palabra BRAVO, cuantas ordenaciones distintas pueden hacerse de

forma que no haya dos vocales juntas?

22. Francisco tiene 6 libros diferentes: 3 con pasta roja y 3 con pasta azul. De cuantas formas

diferentes podra arreglar estos libros en un estante, de tal manera que los libros vecinos

no tengan pasta de un mismo color?

10

SEMINARIO No 5 - PROBABILIDADES

1. En una sala de emergencia hay 7 personas con fracturas y 4 con quemaduras. Se quiere

instalar en un cuarto a 3 personas al azar. Hallar la probabilidad de que en el cuarto se

ubique a:

a) Solo personas con quemaduras.

b) 2 con quemaduras y 1 con fracturas.

c) A lo mas 2 con fracturas.

2. Tres asistentes del Dr. Carpio trabajan independientemente en diagnosticar correcta-

mente a un paciente con probabilidades de 1/5; 1/4 y 1/3 respectivamente, cual es la

probabilidad de que al menos uno de ellos diagnostique bien?

3. Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres, la mitad de los hombres y la mitad de las

mujeres tienen los ojos castanos. Determinar la probabilidad de que una persona elegida

al azar sea un hombre o tenga los ojos castanos.

4. De 100 pacientes mayores de edad examinados en el Hospital Loayza 20 padecen de

diabetes, 32 padecen de hipertension y 8 tienen ambos males. Hallar la probabilidad de

seleccionar un paciente que padezca diabetes o hipertension.

5. En una encuesta realizada entre 24 alumnos resulta que 18 fuman ducados, 12 celtas y 8

de las dos clases. Se eligen tres alumnos al azar y se desea saber:

a) Cual es la probabilidad de que los tres fumen?

b) Cual es la probabilidad de que dos, exactamente dos, fumen ducados?

6. En el aula de medicina el 32 % de los estudiantes son varones, asimismo se sabe que el

10 % de los varones son de provincias, mientras que el 80 % de las damas son de Lima.

Cual es la probabilidad de seleccionar al azar un estudiante de Lima?

7. Se tiene una familia con tres hijos. Determine la probabilidad de que:

a) los dos primeros sean hombres.

b) los tres hijos sean mujeres.

c) el ultimo de los hijos sea mujer.

d) al menos dos de los hijos sean hombres.

e) al menos uno de los hijos sea mujer.

8. En una ciudad, el 40 %de la poblacion tiene cabellos castanos, el 25 % tiene ojos castanos

y el 15 % tiene cabellos y ojos castanos. Se escoge una persona al azar:

a) Si tiene los cabellos castanos, cual es la probabilidad de que tenga tambien ojos

castanos?

11

b) Si tiene ojos castanos, cual es la probabilidad de que no tenga cabellos castanos?.

c) Cual es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castanos?

9. Se sabe que una determinada Unidad de Cuidados Intensivos (UCI) el 7, 8 % de los pa-

cientes que ingresan lo hacen con una infeccion adquirida en el exterior, mientras que el

13, 6 % adquieren una infeccion durante su estancia en el hospital. Se conoce ademas que

el 1, 5 % de los enfermos ingresados en dicha unidad presentan una infeccion de ambos

tipos. Cual sera entonces la probabilidad de que un determinado paciente presente una

infeccion de cualquier tipo en UCI?

10. En una encuesta publica se determina que la probabilidad que una persona consuma el

producto A es 0.50, que consuma el producto B es 0.37, que consuma el producto C es

0.30 que consuma A y B es 0.12, que consuma solamente A y C es 0.08, que consuma

solamente B y C es 0.05; que consuma solamente C es 0.15. Calcular la probabilidad que

una persona consuma:

a) A o B pero no C

b) Solamente A

11. En una clnica se ha determinado de que el 40 % de los trabajadores fuman cigarrillos,

el 55 % son mujeres y el 75 % son mujeres o fuman cigarrillos. Se elige un trabajador al

azar:

a) Cual es la probabilidad de que fume cigarrillos y sea varon?

b) Cual es la probabilidad de que fume cigarrillos, dado que es varon?

12. Doscientas personas estan distribuidas de acuerdo a su sexo y lugar de procedencia de la

siguiente manera: 130 son hombres, 110 son de capital y 30 son mujeres y de provincias.

Se elige una persona al azar:

a) Calcular la probabilidad que sea varon y de provincia.

b) Calcular la probabilidad que sea mujer, dado que es de la capital.

13. Sean A y B dos caractersticas geneticas. La probabilidad de que un individuo presente

la caracterstica A es 0.50, de que presente la caracterstica B es 0.35 y de que presente

ambas caractersticas es 0.05. Cual es la probabilidad de que un individuo:

a) presente una unica caracterstica?

b) presente por lo menos una de ellas?

c) no presente ninguna de ellas?

d) presente la caracterstica B si ha presentado la caracterstica A?

e) presente la caracterstica B si ha presentado al menos una de las dos?

f) presente la caracterstica A si no ha presentado la caracterstica B?

14. En una clnica de rehabilitacion se atienden pacientes con problemas fsicos, fisiologicos y

neurologicos los que representan el 25, 35 y 40 por ciento del total de pacientes. De estos

12

el 5, 4 y 2 por ciento tienen una edad entre 5 y 15 anos. Si escogemos un paciente al azar,

cual es la probabilidad que tenga una edad entre 5 y 15 anos?

15. En un estudio sobre enfermedades pulmonares, se ha examinado a 5000 personas de mas

de 60 anos de edad, de las cuales 2000 son fumadores habituales. Entre los fumadores

900 tiene alguna afeccion pulmonar y entre los no fumadores, 750 tienen alguna afeccion

pulmonar. Si se escoge una persona al azar determine la probabilidad de que:

i) Presente afeccion pulmonar si no fuma.

ii) Fume si presenta alguna afeccion pulmonar.

16. Se tiene dos cajas. En la caja 1 hay 5 sobres sellados; tres de ellos contienen billetes de

S/. 100.00 y dos de ellos billetes de S/. 50.00. En la caja 2 hay 10 sobres sellados; 7 de

ellos contienen billetes de S/. 100.00 y 3 billetes de S/. 50.00. Si se selecciona una caja

de al azar y de ello se toma un sobre Cual es la probabilidad de que contenga un billete

de S/.50.00?

17. Se consideran ahora tres cajas con lamparas: La caja 1 contiene 10 lamparas de las cuales

4 son defectuosas. La caja 2 contiene 6 lamparas de las cuales 1 es defectuosa La caja 3

contiene 8 lamparas de las cuales 3 son defectuosas Escogemos al azar una caja y luego

sacamos una lampara al azar Cual es la probabilidad de que la lampara sea defectuosa?

18. Este problema se refiere a la miopa entre hermanos en familias con dos hijos. Sea S1 el

evento de que el hermano mayor sea miope, y S2 representa el evento de que el hermano

menor sea miope. Si se sabe que P (S1) = 0,4, P (S2) = 0,2 y P (S1 S2) = 0,1 Se pide: a)Calcular P (S1 S2)b) Cual es la probabilidad de que ninguno de los hermanos sea miope? c) Calcular

P (S1/S2) y P (S2/S1).

19. Una enfermedad puede estar producida por tres virus A, B, y C. En el laboratorio hay

3 tubos de ensayo con el virus A, 2 tubos con el virus B y 5 tubos con el virus C. La

probabilidad de que el virus A produzca la enfermedad es de 1/3, que la produzca B es

de 2/3 y que la produzca el virus C es de 1/7. Se inocula un virus a un animal y contrae

la enfermedad. Cual es la probabilidad de que el virus que se inocule sea el C?

20. En una ciudad el 55 % de los habitantes consume pan integral, el 30 % consume pan de

multicereales y el 20 % consume ambos. Se pide: a. Sabiendo que un habitante consume

pan integral, cual es la probabilidad de que coma pan de multicereales?. b. Sabiendo que

un habitante consume pan de multicereales, cual es la probabilidad de que no consume

pan integral? c. Cual es la probabilidad de que una persona de esa ciudad no consuma

ninguno de los dos tipos de pan?.

13

SEMINARIO No 6 - ECUACIONES Y SISTEMA DE ECUACIONES

1. Encuentre el conjunto solucion:

a)x

2 6 x

5=

3x

4+

11

5b)

2x 45 9 + 3x

20=

2x 35

c)2y 3

4=

6y + 7

3d) (x 1)2 + (x 3)2 = 2(x + 5)2

e)3

2(4x 3) = 2[x (4x 3)] f) 7x + 2

4 8x 5

2= 8

g)x + 2

32 x

6= x2 h) 23 x

4{2 x

2+(

12 + x4

)}= 0

2. Resuelve las siguientes ecuaciones fraccionarias

a)5x 2x + 1

= 1 b)3x 22x + 3

=3x 12x + 1

c)1

x+

11

10=

2

x 2

5d)

x

x + 3 xx 3 =

3x 4x2 9

e)3x

x2 1 +x 2x + 1

=x

x + 1f)

x

x 2 +2

x + 2=x2 1x2 4

3. Determine el conjunto solucion

a) x2 6x 55 = 0 b) 14x2 56 = 0

c)5

3x2 2

7x = 0 d)

x2

4+x

2= 2

e) 6x2 + 7x 5 = 0 f) x2 = x + 32

g) (4x 1)(2x + 3) = (x + 3)(x 1) h) (x 3)2 (2x + 5)2 = 16

i)2

x 1 6

2x + 1= 5 j)

3

x 4 +x 3x

= 2

k)y + 1

y + 3+y + 5

y 2 =14y + 7

y2 + y 6 l)6(w + 1)

2 w +w

w 1 = 3

4. Encuentre n, si la ecuacion presenta raz doble

9x2 (n + 2)x + 1 = 0 , n > 0

14

5. Si una de las races de la ecuacion

(2n 1)x2 + (5n + 1)x 3 = 0

es 3. Determina el valor de n y el de la otra raz.

6. Dada la ecuacion cuadratica

x2 (m + 2)x + m + 3 = 0

Encuentre el valor de m si1

x1+

1

x2=

3

5, donde x1 y x2 son las races de la ecuacion.

7. Determina el conjunto solucion de:

a) 2x4 3x3 12x2 + 7x + 6 = 0 b) x5 + 3x4 5x3 15x2 + 4x + 12 = 0c) 2x4 + 3x3 6x2 5x + 6 = 0 d) x5 2x4 3x3 + 6x2 + 2x 4 = 0

8. Dos clnicas contratan a 53 personas, de ellos 21 son medicos. Si la tercera parte que

labora en una de las clnicas y los tres septimo que laboran en la otra clnica son medicos.

Cuantos empleados tienen cada clnica?

9. En una reunion hay 22 personas, entre hombres, mujeres y ninos. El doble del numero de

mujeres mas el triple del numero de ninos, es igual al doble del numero de hombres. Si,

ademas, se sabe que el numero de hombres es el doble del de mujeres, cuantos hombres,

mujeres y ninos hay?

10. Una empresa fabrica televisores de 14 pulgadas de pantalla y 29 pulgadas de pantalla,

para fabricar cada televisor es necesario utilizar dos maquinas A y B. Cada televisor de

14 pulgadas requiere 3 horas en la maquina A, 1 hora en la maquina B. Cada televisor

de 29 pulgadas requiere 2 horas en la maquina A, 2 horas en la maquina B. La maquina

A esta disponible 24 horas diarias, la maquina B 16 horas diarias. Calcule el numero

de unidades de cada tipo que deben fabricarse diariamente para que funcione a plena

capacidad.

11. Un gran salon de recepciones acoge a 100 personas entre hombres y mujeres. Si cada

caballero pago S/.25 por la entrada y cada dama pago S/.10 por el mismo concepto,

siendo la recaudacion total de S/. 2050, cuantos hombres mas que mujeres asistieron a

la reunion?

15

Seminario No 7 -Intervalos e Inecuaciones de Primer y Segundo Grado

1. Si x ] 3; 4] a que intervalo pertenece la expresion (4 2x)?

2. Sean los conjuntos :

S ={x R/

(x 32

) [3; 2]

}P = {x + 2/x R, (2 3x) ] 3; 1[}

Halla los intervalos correspondientes al siguiente conjunto :

C = {x R/x (P S)}

3. Dados los conjuntos A = {x R/(x 3) [5; 3[} B ={x R/2 x

2 [4; 2]

}C =

{x R/3x 1

2] 3; 4[

}.Determina P = (AB) (B C)

4. Resuelva las siguientes inecuaciones lineales :

a) 7x 5 > 5x + 1 b) x + 2 x3

+4 3x

4

c) 2x 0c) x4 4x3 3x2 + 14x 8 0 d) (2x + 1)(3x 2)3(2x 5) 0

2. Dado el conjunto solucion de

A = {x R/x5 3x4 5x3 + 15x2 + 4x 12 < 0}

Determina Ac

3. Resuelve las siguientes inecuaciones racionales

a)x + 1

x 2 > 0 b)x + 4

x 3 >x

x + 1

c)x

1 3x 2 d)(x 1)2 (x + 2)2(x 2)2 (x + 1)2 0

e)3

2 x 2

1 3x f)2x4 + 3x3 6x2 5x + 6

x3 7x + 6 0

g)x 1x + 3

2 h) x1 2x 0

i)x3 3x2 13x + 15

(x 8)653 0 j)1

x + 1+

2

x + 3> 3

k)(x + 3)3(x 3)2(x2 1)(x2 + 1)(x 2)4(x + 3)3 0 l)

x3 + x2 + 22x 40x2 + 7x

0

4. Resolver las siguientes inecuaciones

a)x2 1 < x + 1 b) x2 6x + 5 x2 7x + 10

c)

2x + 1 1 x d) 3x + 2 > 2 x

e)x2 1 0 f) 2x 3 0

18

SEMINARIO No 9 - RELACIONES

1. Determine los valores de x e y en cada uno de los ejercicios siguientes :

a) (4; 2x 10) = (x 1; y+ 2) b) (y 2; 2x+ 1) = (x 1; y+ 2)

2. Sea A = {x Z/1 x 5} se define en A la relacion

R = {(x, y) A A/x2 + y2 < 6}

Si E : Suma de los elementos del Dom(R) F : Suma de los elementos de Ran(R)

Calcula T = 5F E

3. Sean A = {3; 5; 7}; B = {2; 4; 6} , se definen las siguientes relaciones

R1 = {(x, y) AB/x + y = 9}, R2 = {(x, y) AB/y = 4}

Determina Dom(R1 R2)

4. Dados los siguientes conjuntos :

A = {x Z/ 12 < x + 6 < 20} B = {x Z/100 x2 400}Cuantos elmentos tiene AB?

5. Dados los conjuntos A = {1; 2; 3; 4} se definen las relaciones :

R1 = {(x, y) A2/x < y}, R2 = {(x, y) A2/x + y = 5}

Determina el numero de pares ordenados que tiene: R2 (R1 R2)

6. Dada la relacion :

S = {(x, y) R2/x2 + y2 = 49}Encuentra el complemento de :

Dom(S) Dom(S1)

7. Graficar las relaciones siguientes, halla el dominio y rango en cada caso :

a) R = {(x, y) R2/y2 + 4x = 7}b) R = {(x, y) R2/x2 + y2 + 4x 4y + 7 = 0}c) R = {(x, y) R2/x2 + y2 4x 6y + 13 = 16}d) R = {(x, y) R2/5x + 2y 5 = 0}e) R = {(x, y) R2/x2 6x + 5y 11 = 0}f ) R = {(x, y) R2/4y2 48x 16y = 71}

19

g) R = {(x, y) R2/2x 3y + 6 = 0}h) R = {(x, y) R2/2x + 4y 1 = 0, x [1; 6[}

8. Graficar las relaciones siguientes,halla el dominio y rango e cada caso

a) R = {(x, y) R2/2x + y > 4}b) R = {(x, y) R2/2x y + 2 0}c) R = {(x, y) R2/x2 2x 3 y 0}d) R = {(x, y) R2/x + 2y2 + 4y 3 0}e) R = {(x, y) R2/x [3, 5[, y [2; 4[}

9. Grafica las siguientes relaciones,ademas halla el dominio y rango

a) R = {(x, y) R2/2x + y 3 0 x y + 2 > 0}b) R = {(x, y) R2/x + 4y 6 0 2x 6y + 7 0}c) R = {(x, y) R2/1 x2 + y2 4}

10. Calcular el area de la region representada por la relacion

R = {(x, y) R2/16 x2 + y2 25}

20

Seminario No 10 -Funciones Especiales

1. Si f(2x + 5) =

2x + 1 +

x+52

encuentre el valor de f(4)

2. De los siguientes graficos determine cuales son funciones

3. Sea la funcion definida por : h(x + 2) = 5x 1 y g(3x) = x 4Encuentre el valor de

P =h(5) g(9)g(3) h(3)

4. Encuentra m2 + n2 , si f = {(2; 5), (1;3), (3; 2m n), (1;m n), (m+ n;n)} es unafuncion. Ademas halla el dominio y rango.

5. Si

g = {(2; 3), (3;m + 3n), (4; 4), (3;2), (

4; 2m n), (3; 4)}es una funcion. Encuentra 2m 3n

6. Cual debe ser el valor de t para que el grafico de y = 7x2 4x + 2t 10 pase por elorigen?

7. Si f : R R es una funcion lineal talque 2f(2) + f(4) = 21; y f(3) 3f(1) = 16,hallar el valor de k donde :

k =f(1) + f(1)f(0) + f(6)

8. Calcula el dominio de las siguientes funciones:

a) f(x) =

4 x

x2 x b) f(x) =

6 3x 33 + 4x

c) f(x) =2 +x 2

x2 16 d) g(x) =x2 5x + 6

9. Bosquejar la grafica de las siguientes funciones, ademas halla su dominio y rango

a) f(x) = 3x 4 b) f(x) = 2 4x

c) f(x) = x2 + 6x 4 d) f(x) = 2x2 4x + 5

21

e) f(x) =x + 3 5 f) f(x) = 4 3x + 5

g) f(x) = 2x + 1 h) f(x) = |x + 3| 4

i) f(x) = |4 2x|+ 5 j) f(x) = x 35

10. Grafica y encuentra el dominio y rango de las siguientes funciones :

a) f(x) =

{6x + 7, si; x 22x 1, si; x > 2 b) f(x) =

x 1, si; x < 35, si; x = 3

2x + 1, si; x > 3

c) f(x) =

{6 x, si; x 25x 4, si; x > 2 d) f(x) =

{ 2 x, si; x 2

x 1, si; x > 211. De acuerdo al siguiente grafico indicar el valor de :

E =6 f(5) + f(9, 776)

f(2) + 2f(0)

12. En la grafica de la funcion f(x) = x2 + 2x + 3 , encuentre a + b

22

Seminario No 11 - Operaciones con Funciones

1. Sean las funciones f = {(1; 2), (3; 4), (4; 7), (5; 6)} y g = {(1; 3), (2; 5), (3; 8), (4; 2)}Encuentre:

a) f + g b) f g c) fg

2. Dadas las funciones

f = {(1, 2); (3, 4); (1, 0); (6, 2); (2, 4)} g = {(1, 2); (1, 1); (5, 4); (3, 2); (7, 0)}

Hallar f 2 + 5g

3. Si f(x) =

{x2 3x, si x ] 2; 3[x + 5, si x [3; 7[ g(x) = 3x

2 1 , x ]0; 5]

Determina 2f g

4. Si f(x) = 2x2 + 5x + 3, x ] 5; 2] y g(x) ={

2x + 1, si x ] 3; 1]x 4, si x ]1; 5[

Encuentre f + 2g

5. Dadas las funciones

f = {(2; 0), (0; 2), (1; 2), (4; 3), (5; 2), (6; 0)}

g = {(0; 3), (2; 3), (5; 2), (4; 2), (3; 6), (1;2), (1; 0)}Encuentra la suma de los elementos del dominio de (g f)

6. Se tiene las funciones:

f(x) = 2x + 6, x [0; 13] y g(x) = x + 3, x ]6; 12]

En caso que exista, calcula (f g)(x)

7. Se tiene las funciones:

f(x) = 2x 3, x ]; 7] y g(x) = x 1, x ] 1; 8]

En caso que exista, calcula (g f)(x)

8. Sean f y g dos funciones reales definidas por:

f(x) = ax + b g(x) = x + 1

Si (f g)(3) = 11 , (g f)(2) = 8. Encuentre a + b

23

9. Sean las funciones f = {(1; 5), (2; 6), (3; 7)} y g = {(5; 10), (6; 4), (2; 1), (0; 3)}Calcule el valor de

k =(f g)(2) + (g f)(1)(f g)(0) (g f)(2)

10. Sabiendo que g(x) = 2x 1, y f(x) ={

2x, si x 33x + 1, si x > 3

Determine

P =(f g)(0) (f g)(5)

(f + g)(1)

11. Suponga que durante un programa nacional para inmunizar a la poblacion contra cierta

variedad de influenza, los funcionarios de salud publica calcularon que el costo de vacunar

a x%de la poblacion era aproximadamente

f(x) =150x

200 xmillones de dolares.

a) Cual es el dominio de la funcion f?

b) Cual es el costo de vacunar al 50 % de la poblacion?

c) Que porcentaje de la poblacion haba sido vacunada cuando se haban gastado 37.5

millones de dolares?

12. La presion P, de un volumen constante de gas, en centmetros de mercurio, estan relacio-

nadas linealmente con la temperatura T, en grados Celsius. En un experimento con aire

seco, se encontro que P = 90 cuando T = 40, y que P = 100 cuando T = 80.

a) Exprese P como una funcion de T.

b) Encuentre P cuando T = 20.

13. En un estudio de paciente VIH que se infectaron por el uso de drogas intravenosas, se

encontro que despues de 4 anos, 17 por ciento de los pacientes tenan SIDA y que despues

de 7 anos 33 por ciento lo tenan.

a) Encuentre una funcion lineal que modele la relacion entre el intervalo de tiempo y el

porcentaje de pacientes con SIDA.

b) Pronostique el numero de anos para que la mitad de esos pacientes tenga SIDA.

14. Supongamos que el rendimiento en porcentaje de un alumno en un examen de una hora

viene dado por r(t) = 300t(1 t) .Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Cuando seobtiene el mayor rendimiento y cual es?

15. Se estudiaron los efectos nutricionales sobre ratas que fueron alimentadas con una dieta

que contena un alto contenido de protena. La protena consista en levadura y harina de

maz. Variando el porcentaje p de levadura en la mezcla de protena, se estimo que el peso

24

promedio ganado en gramos de una rata en un perodo fue de f(p) = 150p2 + 2p + 20.

Encuentre el maximo peso ganado.

16. La temperatura (medida en grados Celsius), que experimenta cierto cultivo de bacterias,

vara de acuerdo a

T (x) = (x 2)2 + 1Donde x, representa el tiempo de exposicion a fuentes de energa calorica. Despues de

cuanto tiempo la temperatura es maxima?

17. Una compana de productos de belleza estima que t meses despues de la introduccion de

un nuevo perfume, h(t) miles de mujeres lo usaran, donde h(t) = 18t2+3600 , 0 t 12Estime el numero maximo de mujeres que usaran el producto.

18. Un estudio sobre prevencion de enfermedades bronco pulmonares, sugiere que el nivel

medio diario de monoxido de carbono en el aire sera C(p) = 0,5p + 1 partes por millon

cuando la poblacion sea p miles. Se estima que dentro de t anos la poblacion de la

comunidad sera P (t) = 10 + 0, 1t2 miles. Exprese el nivel de monoxido de carbono en el

aire como funcion del tiempo.

19. Para una empresa dedicada a la venta de materiales de construccion se tiene que la funcion

ingreso se expresa como I(p) = p2 10p + 2500. Determinar el ingreso mnimo de dichaempresa.

20. Un collar antiguo se espera que tenga un valor de 360 dolares despues de 3 anos y de 460

dolares al cabo de 7 anos. Determine una funcion que describa el valor del collar despues

de t anos.

21. Se estima que, de aqu a t anos, el numero de personas que visitaran el Parque de las

Leyendas sera representado por la funcion N(t) = 30t2 120t + 3000a) Actualmente, cual es el numero de personas que visitan el parque de las leyendas?

b) Determinar el ano en que sera registrado el menor numero de visitantes.

25

Seminario No 12 - Funciones Exponenciales y Logartmicas

1. Determina el dominio, el rango y la grafica de cada una de las siguientes funciones:

a) f(x) = 3x1 2 b) g(x) = 4x + 3

c) h(x) =(1

2

)x+6+ 5 d) f(t) = e2t+4 + 1

e) g(x) = 2x+3 4 f) h(x) =(1

4

)x+ 1

2. Determina el dominio, el rango y la grafica de cada una de las siguientes funciones:

a) f(x) = log(x + 4) + 2 b) g(x) = 5 + log3(x 2)

c) f(x) = log0,5(x 3) + 1 d) f(x) = log 13(x) + 3

e) f(x) = Ln2(x 1) + 2 f) f(x) = log 12(2x 2) + 4

3. Determine si la funcion es creciente o decreciente, y encuentre su dominio.

a) f(x) = ex(x24) b) g(x) = Log

(x2 3x + 2x + 3

)

c) g(x) = Log6(x2 + 2x 3) + 3 d) f(x) = 2

x26x+8

e) g(x) = Log(1 + x

1 x)

f) f(x) = 5

2x 1x2 16

g) f(x) = (e)

x3 + 4x2 + x 6x2 + 2x 3 h) g(x) = Log

(x2 8x + 15x3 8

)

i) g(x) =(1

2

)4x 4x 3 j) f(x) = Log0,4

( 3xx 3

)4. Graficar las siguientes funciones y encuentre su rango.

a) f(x) = 3x , x [1; 3[ b) g(x) = 2x+1 , x ] 4; 3[

c) g(x) =(2

5

)x, x [1; 1] d) g(x) = (1, 5)1x , x ] 2; 2]

26

Seminario No 13 - Ecuaciones Exponenciales y Logartmicas

1. Calcula el valor de x en cada caso:

a) log2(x 8) = 2 b) log5(x2 4x 4) = 0

c) log4(2x + 4) 3 = log43 d) log(3x 2) = log(x + 1) + log4

e) e2x+5 + 1 = 4 f)

ex + 3

ex 3 1 = 2ex 3ex + 3

g) logx + log(2x 5) = 2logx h) 3x2+x1 = 1

i) log2log3(x + 2) = 2 j) 6e2x 1 = 1/2

2. Calcule el conjunto solucion de la siguiente ecuacion

2(log2x)(log2x) + 5log2x = 3

3. Encuentra la suma de los valores de x que satisface la ecuacion:

ex + 10ex = 7

4. Calcula el valor de:

M =lne4 + 2lne3 + eln4

ln(5e4) eln(ln5e2)

5. Un cultivo de la bacteria Esherichia Coli crece en un medio de sales inorganicas y glucosa.

La poblacion inicial es de 106 bacterias por mm3 crece exponencialmente con k = 0,8 y

el tiempo se mide en horas.

a) Hallar una expresion matematica del comportamiento de esta poblacion.

b) En que instante la poblacion se triplica?

6. La cantidad de miligramos de un medicamento que queda en el organismo de una persona

luego de t horas de haber sido administrada esta dada por 10e0,3t . Si la cantidad del

medicamento no puede bajar de 2mg. Cada cuanto tiempo en horas debera tomar el

medicamento?

7. En un cultivo de bacterias su numero aumenta a razon de 4 %por hora. Al inicio, estaban

presentes 500 bacterias.

a) Determine una ecuacion que de el numero N, de bacterias despues de t horas.

b) Cuantas bacterias estan presentes despues de una hora?

27

8. Una bacteria en el odo medio se incrementa a razon del 3 % cada hora. Suponga que al

inicio de una infeccion bacteriana estaban presentes 130 bacterias.

a) Determine el numero de bacterias N (t) presentes despues de t horas.

b) Cuantas bacterias estan presentes en el organismo despues de 4 horas?

9. Una bacteria estomacal debe ser tratada con un determinado tratamiento antibiotico

antes que esten presentes 10000 de ellas en el organismo, de lo contrario el tratamiento

sugerido es otro. Si se sabe que su numero se incrementa a razon del 4 % cada hora y que

al inicio estaban presentes 450 bacterias.

a) Determine el numero de bacterias N (t) presentes despues de t horas.

b) De cuanto tiempo se dispone antes de cambiar el tratamiento?

10. Una sustancia radioactiva se desintegra siguiendo una funcion exponencial. La cantidad

inicial es de 20 gramos; pero despues de 200 anos es de 5 gramos.

a) Calcular la constante de desintegracion.

b) Calcular la cantidad que hubo despues de 30 anos.

11. Suponga que el numero de casos de SIDA diagnosticadas crece exponencialmente. En el

Peru haba 80 casos en 2000 y 240 casos en el ano 2010. Exprese este numero en la forma:

P (t) = aebt , donde a y b son constantes y t es el tiempo medido en anos a partir del

2000 Cuantos casos de SIDA habra en el ano 2015?.

28

SEMINARIO No 14 - LIMITES

1. Calcule los siguientes lmites:

a) lmx3

x2 +x + 1

x + 32x + 1

b) lmx0

x3 + 4x2 + x

x2 + xc) lm

w1/36w 212w 4

d) lmh1/3

1 9h21 3h e) lmx3

2x3 5x2 2x 34x3 13x2 + 4x 3 f) lmx6

x2 8x + 12x2 + 4x 60

g) lmx1

(3 x)3 8x2 1 h) lmx1

x2 + xx + 2 1 i) lmx5

x2 2532x 1

j) lmxb

x2 b2x + b2b k) lmx2

x2 + x6x2 3x + 2 l) lmx5

x2 2532x 1

m) lmx

3x2 2x + 14x2 + x 5 n) lmx

x5 2x2 + 3x 10, 5x2 + 3x 2 o) lmx

4x2 + 25

5x4 + 3x 2

2. Dados A = lmx0

1 + x2 1 x2

x2, B = lm

x16x 6

x2 3x + 2

Calcule el valor de E = BA + 6A

3. Dados A = lmx1

x3 + 1

x2 1, B = lmx1(x 1)2 x

x2 1

Determine el valor de E =A + B

A+ABB

4. Encontrar lmh0

f(x + h) f(x)h

si

a) f(x) = 4 x b) f(x) = x2 3x

5. Analice si existe el lmite de las siguientes funciones, en los puntos indicados

a) f(x) =

x 1, si x 32x3, si x > 3

x0 = 3 b) g(x) =

x2 + 5

x, si x < 1

x2 1x 1 , si x 1

x0 = 1

c) f(x) =

x2 2xx2 4 , si x > 2

3x + 3 3x 2 , si x < 2

x0 = 2 d) f(x) =x 5|x 5| , x0 = 5

29

6. Para una relacion particular presa depredador, se determino que el numero yde presasconsumidas por un depredador a lo largo de un perodo fue una funcion de la densidad

de presas x (el numero de presas por unidad de area)

y =10x

1 + 0, 1x

Si la densidad de presas aumentara sin cota. A que valor se aproximara y?

7. La poblacion de cierta ciudad pequena t anos a partir de ahora se pronostica que sera:

N(t) =36000t3 + 10000t2 + 5000

2t3 + t2 + 6

Determine la poblacion a largo plazo.

8. A partir de la grafica de la funcion f dibujada en la figura adjunta, evalue si existen los

lmites en los puntos x0 = 1, x0 = 2, x0 = 4

9. A partir de la grafica de la funcion f dibujada en la figura adjunta, evalue si existen los

lmites en los puntos x0 = 0, x0 = 2, x0 = 3

30

SEMINARIO No 15 - DERIVADAS

1. Aplicando la definicion, encuentre la derivada de las siguiente funciones

a) f(x) = 3x2 + 1 b) g(x) = 8x + 2 c) h(x) = x2 + x

2. Calcule la derivada de las siguientes funciones

a) f(x) = 2x3 + 4x2 5x + 3 b) g(x) = x2 + 1 c) h(x) = 3x + 1x2 + 3

d) f(x) = Ln(4x3 + 6x 5) e) h(x) = x2 x 3 f) g(x) = 24x+5x2

g) f(x) = 4

8x2 + 3x 1 h) g(x) = (3x2 + 2x)3

x2 + 4i) h(x) = 4e2x1

j) h(x) = (1 4x3)7 (2x)3 k) f(x) = cosx + 47x + x9

l) g(x) =x + 1

x 1

m) f(x) = cos(

2x + 1) n) g(x) = Log

3x

x2 + 1o)h(x) = e4xln(x2+1)

3. Si f(x) =1

2x + 3y g(x) =

1

1 3x . Encuentre E = 27f(3) + 625g(8)

4. Una sociologa estudia varios programas que pueden ayudar en la educacion de ninos de

edad pre escolar en cierta ciudad. El sociologo cree que x anos despues de iniciado el

programa particular, f(x) miles de ninos estaran matriculados, donde:

f(x) =10

9(12x x2) , 0 x 12

A que razon cambiara la matricula despues de 3 anos?

5. Una hora despues de que se le da a una persona x miligramos de cierto farmaco, el

cambio en la temperatura del cuerpo, T (x), en grados Fahrenheit, esta dado de manera

aproximada por:

T (x) = x2(

1 x3

)La razon a la cual cambia T con respecto al tamano de la dosis x; T (x) se denomina

sensibilidad del cuerpo a la dosis. Determine la sensibilidad cuando la dosis es de 1

miligramo.

6. En un estudio relativo a la polilla de invierno en Nueva Escocia, se determino que el

numero promedio, y, de huevos en una polilla hembra en funcion de su ancho abdominal

x (en milmetros); esta dado por:

y = 14x3 17x2 16x + 34, 1, 5 x 3, 5

31

A que razon cambia el numero de huevos con respecto al ancho abdominal cuando x = 2?

7. Los sociologos han estudiado la relacion entre el ingreso y el numero de anos de educacion

en miembros de un grupo urbano particular. Ellos encontraron que una persona con x

anos de educacion, antes de buscar empleo regular puede esperar recibir un ingreso anual

medio de y dolares ,donde:

y = 5x5 + 5900, 4 x 16

Encuentre la razon de cambio del ingreso con respecto al numero de anos de educacion.

Evaluarla cuando x = 9

8. La temperatura de una persona es f(t) grados Fahrenheit t das despues de adquirir una

enfermedad que dura 12 das, donde:

f(t) = 98, 6 + 1, 2t + 0, 12t2 , 0 t 12

a) Determine la tasa de variacion de f(t).

b) Cual es la tasa de variacion de la temperatura cuando la persona ha estado enferma

por 5 das?

9. Una persona tiene una quemadura en la piel de forma circular. Determine la tasa de

variacion del area de la quemadura con respecto a su radio , cuando este mide:

a) 1, 5cm b) 2cm

10. Un biologo realizo un experimento sobre la cantidad de individuos en una poblacion de

paramecium en un medio nutritivo y obtuvo el modelo g(t) = ln(t2 2t + 5) donde tse mide en das y g(t) es el numero de individuos en el cultivo. Hallar la derivada de la

funcion g.

11. En una comunidad particular, una cierta epidemia se propaga en tal forma que x meses

despues de iniciarse el numero de personas infectadas es

P (t) =30x2

(1 + x2)2

medido en miles de personas. A que razon se propaga la epidemia pasadas 2 semanas?

32

SEMINARIO No 16 - INTEGRALES

1. Calcular las siguientes integrales

a)

3x7 7x3 +x

x4dx b)

x4 + 3x2 + 4x

5xdx

c)

[x17 + mx5/3 (m + 3)x + m]dx d)

( 1x + 3

5x

)dx

e)

ex + e2x

exdx f)

(3y3 2y2 + e

y

6)dy

g)

(z + 2)(z z + 2)dz h)

p2(2p4 + 3p2 2p3)dp

i)

18 + 12x

4 9x 3x2dx j)

(2s + 1)es2+sds

k)

2x3 + 3x

x4 + 3x2 + 7dx l)

x2

2

2x3 + 4dx

m)

y + 2

y + 4dy n)

5x

4+bx(x3 +

b

4

)dx

o)

(M3 + N3)(x6 + 1)

5x7 + 7x + a2dx p)

ex

xdx

q)

(x + 1)2x

dx r)

3x 1dx

s)

dx

ax + bt)

x(x2 + 5)13dx

2. La tasa de crecimiento de la poblacion en una ciudad nueva es estimada por medio de:

dN

dt= 500 + 300

t

En donde t esta en anos. Determine la forma de la ecuacion, para encontrar el numero de

la poblacion.

3. Debido a una competencia nueva, el numero de suscriptores a cierta revista esta dismi-

nuyendo a una velocidad de:dS

dt= 480

t3

Suscripciones por mes, donde t es el numero de meses desde que la competencia entro al

mercado. Determine la forma de la ecuacion para el numero de suscriptores a la revista.

33

4. La tasa de crecimiento de una especie de bacterias es estimada por medio de:

dN

dt= 800 + 200et

En donde N es el numero de bacterias (en miles) despues de t horas. Si N(5) = 40,000,

determine N(t).

5. Es Julio 31 y un tumor ha estado creciendo dentro del cuerpo de una persona de modo

que t das a partir del 1 de Julio el volumen del tumor ha incrementado a una tasa de:

1

100(t + 6)1/2, cm3 por da

Si el volumen del tumor el 4 de Julio fue de 0.20 , cual es el volumen ahora?

6. Un grupo de biologos estudio los efectos alimenticios en ratas a las que alimento con una

dieta en la que 10 % era protena. La protena consistio en levadura y harina de maz.

El grupo encontro que en cierto perodo, la razon de cambio aproximada del alimento

promedio de peso G (en gramos) de una rata, con respecto al porcentaje P de levadura

en la mezcla protenica fue:

dG

dp= p

25+ 2, 0 p 100

Si G = 38 cuando p = 10 encuentre G.

7. Una poblacion de microorganismos esta cambiando al ritmo:

dP

dt=

3000

1 + 0, 25t

Donde t es el tiempo en das. Suponiendo que la poblacion inicial es de 1000.

Escribir una ecuacion que describa el comportamiento de la poblacion en todo instante.

8. Una enfermedad se propaga en el tiempo a razon dedN

dt= 4t2(6 t), 0 t 8,

personas por da. Si cuando comienza la enfermedad hay 5 enfermos, encuentre la funcion

N(t) y describala usando la informacion del problema.

9. Calcula las siguientes integrales definidas

a)

31

(x + 1)ex2+2xdx b)

21

2x + 1

(x2 + x + 1)3dx