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UCV-INGENIERIA CALCULO ISemestre 2009-1

Tema Nº 5: Aplicaciones de Derivadas

Guía de Estudio Nº 8Ejercicios propuestos sobre aplicaciones de derivadas

1.- En cada caso halle las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva dada en el punto indicadoa) 22 4 3 en el punto 1 3y x x ,

b) 1 en el punto 0 1y xy ,e e

2.- Hallar las ecuaciones de las rectas de pendiente 4, que son tangentes a la curva 3y x x

3.- Demostrar que la recta tangente a la hipérbola 2 24 4y x , en el punto 1 1x , y tiene

por ecuación 1 14 4 0x x y y

4.- Calcule los ángulos de intersección de las circunferencias 2 2 2 24 0 y 8x x y x y

5.- Demuestre que las curvas 3 2 4 34 5 0 y 4 5 0y x y x y x y x y , son ortogonales en el origen de coordenadas.

6.- Determine si la función 22 1 xf x x e en 1 1, satisface las condiciones del

Teorema de Rolle. En caso afirmativo determine los valores de 0x que verifican la

conclusión de dicho teorema.

7.- En el segmento de parábola 2y x comprendido entre A(1,1) y B(3,9) hallar un punto cuya tangente sea paralela a la cuerda AB

8.- la ecuación del movimiento de una partícula que se mueve a lo largo de una recta está dada por 3 3s( t ) t t , con s en metros y t en segundos. Determinara) La velocidad después de 2 segb) La aceleración cuando la velocidad es 0

9.- Una partícula se mueve en línea recta de acuerdo a la ley 3 212 36s( t ) t t t con s medido en metros y t en segundos. a) Determinar la ecuación de la velocidad instantáneab) ¿Cuál es la velocidad de la partícula después de 3 seg?c) ¿Cuándo está la partícula en reposo?d) ¿Cuándo se mueve hacia delante?

10.- Halle el diferencial de cada una de las funciones dadas a continuación

a) 2 2 3y x x



b) 2

2

cos xy

senx

c) 2 2y tan x sec x

11.- Obtenga una aproximación lineal para la función 1f ( x ) x en 0 0x . Utilice el

resultado obtenido para hallar un valor aproximado de 0 99.

12.- Un tanque cilíndrico abierto deberá tener un revestimiento de 2 cm de espesor. Si el radio interior es de 6m y la altura de 10 m, utilice diferenciales para estimar la cantidad de material de revestimiento que se requiere.

13.- Calcular los siguientes límites

a) 3

1

1 2 1

2x

xlim

x x

b) 0

1senx

xlim

x

c) 2

41x

senx cos xlim

tan x

d) 1

1xlim ln x ln x

e) 1

1

12

x

xlim

xsen

f) 1n

x

xlim x ne

g) 1

x

xlim x

h) 2

3

32

x

x

xln x

limx

ee

i) 30x

x cos x senxlim

x

j)

2

1

2

1

2

x

xlim

arctan x

e

k) 2

0xlim x ln x

l)

0 2 1x xarcsenx

lime

m) 1xlim ln x ln x

n)

11

1 1

x

xlim

x

e

o)

0

senx

xlim senx

15.- Para cada una de las funciones dadas a continuación hallari) Números críticos (si existen)ii) Intervalos en los cuales la función es creciente y aquellos donde es decrecienteiii) Máximos y mínimos

a) 3 22 3 12 5f x x x x b) 2 28f x x x

c)

3

2

1

4 16 16 1 4

2 4

x si x

x x si x

si x

d) f x x cos x e) 2

5 4

xf x

x

f) 22 1f x x g) 3 22 6 5 en 3 1f x x x , h) 23f x x

i) 2

2

4

xf x ln

x

16.- Para cada una de las funciones dadas determinar los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y aquellos donde es cóncava hacia abajo.



a) 3y x x b) 2

4 5

2 2

xy

x

c) 23y x x d) 2 xy x e

e) 2

1

xy ln

x

17.- Sea 3 2f x ax bx cx d , hallar los valores de las constantes ya,b,c d para

que la función alcance un máximo de valor 2 en 1x y un mínimo de valor -1 en 1x

Variaciones realacionadas

18.- Un estudiante utiliza un pitillo para tomar refresco de un vaso que tiene forma de cono circular recto, a razón de 3 cm3/seg . Si la altura del vaso es 10 cm y el diámetro de su abertura 6 cm ¿Qué tan rápido está bajando el nivel del líquido cuando su altura sobre el fondo es de 5 cm?

19.- Se bombea aire a un globo esférico de manera que el radio del mismo crece a una tasa de 1 cm/seg ¿A qué velocidad se incrementa el volumen del mismo cuando su radio es de 10 cm?

20.- Se derrama petróleo de un tanque roto y se dispersa siguiendo un patrón circular. Si el radio de dicho círculo aumenta a una velocidad de 1 m/seg ¿A qué velocidad aumenta el área del derrame cuando el radio es de 30 m?

21.- Dos autos comienzan a moverse a partir del mismo punto. Uno de ellos viaja hacia el sur a 60 millas por hora y el otro hacia el oeste a 25 millas por hora ¿A qué velocidad aumenta la distancia entre ambos dos horas más tarde?

22.- Dos lados de un triángulo miden 12 y 15 m respectivamente. El ángulo entre ambos crece a razón de 2º por minuto ¿Con qué rapidez aumenta la longitud del tercer lado, cuando el ángulo entre los otros dos es de 60º?

23.- En un cono circular recto se aumenta el radio de la base a razón de 0, 5 cm/min, manteniendo constante e igual a 5 cm la longitud de su generatriz. Determinar la razón de cambio del volumen del cono cuando el radio es de 3 cm

24.- Un auto se desplaza por una pista que tiene forma de un triángulo equilátero de 5 km de lado a 250 km/h. En el instante en que el auto está a 3 km de uno de los extremos de la recta ¿A qué velocidad cambia su distancia al punto de partida, que se encuentra en ese instante en el vértice opuesto?

25.- Un poste de 5 m de altura tiene un farol en la parte superior; un hombre de 1.70 m de estatura se aleja del poste caminando a una velocidad de 1.2 m/s. Cuando la distancia de la base del poste a la punta (parte más alejada) de la sombra del hombre es de 6 m, ¿con qué velocidad crece su sombra?; ¿con qué velocidad se mueve la punta de la sombra con respecto al farol?



Problemas de optimización

25.- Hallar el área máxima del triángulo inscrito en la circunferencia 2 2 2x y r , con un lado coincidiendo con un diámetro

26.- Determinar las dimensiones del cono circular recto de volumen máximo que puede inscribirse en una esfera de radio R

27.- Determinar las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo que puede inscribirse en un cono circular recto de radio de la base 4 y altura 8.

28.- Determinar las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo que puede inscribirse en una esfera de radio 9.

29.- Hallar las dimensiones de rectángulo de área máxima, que puede inscribirse en un triángulo equilátero de lado 1 m, si uno de los lados del rectángulo se encuentra en la base del triángulo

30.- Desde una central telefónica que está a 15 km por la costa del punto más cercano a una isla, situada 20 km mar adentro, se quiere tender un cable. Desplegar el cable por tierra cuesta Bs 30.000 por km y por mar 50.000 por km ¿Cuál es el tendido más económico de la central a la isla?

31.- Dos postes de 20 y 28 m de altura respectivamente, se encuentran separados una distancia de 30 m y se han de sujetar con cables fijados en un solo punto, desde el suelo hasta los extremos de cada poste. ¿En qué punto deben fijarse los cables para que la cantidad de material a emplear sea mínima?

32.- Una lata de aceite debe tener un volumen de 1000 cm3 y la forma de un cilindro con base plana y tapa semiesférica. Determinar las dimensiones que debe tener para que la cantidad total de material necesario para construirla sea mínima.

33.- De una lamina de 120 cm. x 75 cm. Se desea construir una caja sin tapa, recortando cuadrados iguales de las esquinas de la lámina y doblando hacia arriba las salientes para tomar las caras laterales. ¿Cuáles deben de ser las dimensiones de la caja para que su volumen sea máximo?

34.- Un alambre de 100 cm. de longitud, se corta en dos partes formando con una de ellas un círculo y con la otra un cuadrado. Cómo debe ser cortado el alambre para que la suma de las áreas de las dos figuras sea máxima.

35.- La figura muestra un rectángulo inscrito en un triángulo rectángulo isósceles, cuya hipotenusa mide 2 unidades de largo. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de mayor área posible?



36.- Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,5) y que determina en el primer cuadrante un triángulo de área mínima.

37.- Determine las coordenadas del punto de la curva 2 2 16x y , que se encuentra más cercano al punto P(0,4). ¿Cuánto vale esa distancia mínima?

Trazado de curvas:

Realice el estudio y construya la gráfica de las siguientes funciones

a) 3 23 2y x x b) 2 1

1

x xy

x

c) 2x

xy

e d) 2 1y ln x

e) 3

22 8

xy

x

f)

2

2 1

x

xy e g)

11

1

x

yx

e

h) ln x

y xx

i) 1

3 4y x x j) 1y ln ln x

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