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ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA

DEPARTAMENTO ACADEMICO DE INGENIERIA ELECTRICAACADEMIA DE MATEMATICAS

GUIA DE LA MATERIA DE CALCULO VECTORIALTURNO VESPERTINO

Junio 2011

I. SISTEMAS DE REFERENCIA Y ALGEBRA VECTORIAL

1. a) Expresar en coordinadas cilndricas los lugares geometricos siguientes:(i)x2 + y2 + z2 = 9(ii) z2 = 3(x2 + y2)b) Siendo ,,z las coordenadas cilndricas, enunciar los lugares geometricos que se indican y hallar

su expresion en coordenadas cartesianas(i) = 4

(ii) = 2

2. Escriba las coordenadas del vector r = 2i 4j + 3k(a) en el sistema de coordenadas cartesianas,(b) en el sistema de coordenadas cilndricas y(c) en el sistema de coordenadas esfericas.

3. Expresar las siguientes figuras en (i) coordenadas cilndricas (ii) coordenadas esfericas(a) x2 + y2 + z2 = 25(b) z2 = 2(x2 + y2)

4. Escriba las coordenadas del vector

r = 5i 2j 3k(a) en el sistema de coordenadas cartesianas,

(b) en el sistema de coordenadas cilndricas y(c) en el sistema de coordenadas esfericas.

5. ParaA = 2i + 3j 4k,B =i 2j + 2k,C = 2i + 3j k,

(a). Encuentre un vector unitario perpendicular aA y

B simultaneamente.

(b). Calcule el angulo entreA y

C.

(c). Encuentre los valores de a,b,c de manera que el vectorD = ai + bj + ck,

pueda escribirse como

D =

A 2

B + 3

C .

6. Calcule la distancia del punto (2, 3, 1) al plano que pasa por los puntos (1, 1, 1), (3, 1, 2) y(1, 2,1).

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7. Determine el volumen del paraleleppedo con aristas (2, 3, 4), (0, 4,1) y (5, 1, 3).

8. ParaA =

i + 5

j 2

k,

B = 3i + 2j + 2k,C = 6i + 2j 3k,

(a). Encuentre un vector unitario perpendicular aA y

B simultaneamente.

(b). Calcule el angulo entreA y

C.

(c). Encuentre los valores de a,b,c de manera que el vector

D = ai + bj + ck,

pueda escribirse como

D = 2

A 3

B + 4

C .

9. Calcule la distancia del punto (1,3, 1) al plano que pasa por los puntos (5,1, 2), (3, 1, 2) y(1,2, 1).

10. ParaA = i 3j 2k,B = 3i + 5j +k,

C = 4i + 3j 3k,

(a). Encuentre un vector unitario perpendicular aA y

B simultaneamente.

(b). Calcule el angulo entreA y

C.

(c). Encuentre los valores de a,b,c de manera que el vectorD = ai + bj + ck,

pueda escribirse como

D =

A 2

B + 3

C .

11. Un pajaro vuela en lnea recta con vector de velocidad 10i + 6j + k (en kilometros por hora).Supongamos que (x, y) son sus coordenadas en el suelo y que z es su altura.

a) Si en cierto momento el pajaro esta en la posicion (1, 2, 3), cual sera su situacion una hora mastarde?, y un minuto mas tarde?

b) Cuantos segundos tarda el ave en subir 10 metros?

12. Un avion se encuentra en la posicion (3, 4, 5) al medioda y viaja con una velocidad de 400i +500j k, en kilometros por hora. El piloto avista un aeropuerto en la posicion (23, 29, 0).

(a). A que hora pasara el avion sobre el aeropuerto?(b).Cual sera la altura del avion cuando pase sobre el aeropuerto?

13. Una pesa de 100 lb cuelga de dos alambres. Encuentre las tensionesT1 y

T2 en terminos de

sus componentes.

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14. Determine el volumen del paraleleppedo con aristas (2, 3, 4), (0, 4,1) y (5, 1, 3).

15. Encuentre la distancia entre los planos paralelos 3x 4y + 5z = 9 y 3x + 4y 5z = 4.

16.Un pajaro vuela en lnea recta con vector de velocidad 10i + 6j + k (en kilometros por hora).Supongamos que (x, y) son sus coordenadas en el suelo y que z es su altura.

a) Si en cierto momento el pajaro esta en la posicion (1, 2, 3), cual sera su situacion una hora mastarde?, y un minuto mas tarde?

b) Cuantos segundos tarda el ave en subir 10 metros?

17. Una fuerza constante

F = 5i + 9j 6k,

mueve un objeto a lo largo de una recta del punto (2, 3, 3) al punto (4, 5, 9). (a) Encuentre el

trabajo W =F

d realizado si la distancia se mide en metros y la magnitud de la fuerza se mide

en newtons. (b) Calcule el Momento de la fuerza (M = r

F) respecto al punto P = (1, 1, 1) si la

fuerza se aplica en el punto Q = (2, 2, 2)

18.Encuentre la distancia entre los planos paralelos 2x 4y + 3z = 2 y 2x + 4y 3z = 5.

19. Encontrar la ecuacion del plano perpendicular a la superficie x2y 3x3z = 5 en el punto

(2,1,-2).

20. Hallar la ecuacion del plano que es perpendicular a v = (1, 2, 3) y pasa por (1, 1, 1).

II. DERIVACION VECTORIAL

21.Demostrar que 2[ (

rr2 )] = 2r

4.

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22. ParaA = x2yzi 2xyz3j + xz2k,

B = 2zi + yj x2k,

encuentre 2

xy

(A

B ).

23. Sea r = t5i + costj + sentk, encuentre la posicion, velocidad y aceleracion para t=5 s.24. Hallar la derivada direccional de = 4xz3 3x2yz en el punto (2, -1, 2) en la direcci on de

2i 3j + 6k.25. Hallar

A (

B ) y (

A

)

B para los vectores del problema 22.

26. ParaA = x2yzi 2xyz

3

j + xz2

k,B = 2zi + yj x2k,

evaluara) (

A

)B ,

b)A (

B ).

27. La posicion de una partcula esta descrita por r = t4i + cos(t)j + sen(t)ka) Encuentre la velocidad y aceleracion en funcion de t,b) Evalue la posicion, velocidad y aceleracion en t = 4s con =

2,

c) Determine la energa cinetica dada por K = 12

m|v2|.

28.Hallar la derivada direccional de = 4xz3 3x2yz en el punto (2, -1, -2) en la direccion de

2i 3j 6k.29. Utilizar los multiplicadores de Lagrange para hallar los valores maximo y mnimo de f(x,y,x) =

x2 + 2y2 + 3z2 sujetos a las restricciones x + y + z = 1 y x y + 2z = 2.

30. Demostrar queA = (6xy + z3)i + (3x2 z)j + (3xz2y)k y es irrotacional y hallar de forma

queA =

.

31. ParaA = yz2i 3xz2j + 2xyzk, B = 3xi + 4zj xyk y = xyz

encuentre(a)

A (

)

(b) (A

)

(c) (

A )

B

(d)B

A

32. Siendo d2A

dt2 = 6ti 24t2j + 4sentk hallar A sabiendo que A = 2i +j y dAdt = i 3k en

t = 0.

33. Hallar la derivada direccional de = 3x2y3 + 3x2z en el punto (-1, 1, 2) en la direcci on de

i + 3j + 4k.4

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34. Hallar (

rr2 ).

35. Demuestre que el campo vectorial dado porF = (zcosxz)

i ey

j (xcosxz)

k

es conservativo y encontrar la funcion potencial correspondiente.

36. La posicion de una partcula esta descrita por r = 2t3i + cos(2t)j + sen(2t)ka) Encuentre la velocidad y aceleracion en funcion de t,b) Evalue la posicion, velocidad y aceleracion en t = 3s con =

4,

c) Determine la energa cinetica dada por K = 12

m|v2|.

37. ParaA = xz2i 2yj 3xzk,B = xzi + 2yzj z2k,

evaluara)A (

)B ),

b) (A ) B ,en el punto (1, -2, 2)

38. Demostrar que [r

(

rr3 )] = 3r

4.

39. Hallar los valores extremos de f(x,y,x) = x + y + z sujeta a las restricciones x2 + y2 = 2 yx + z = 1.

40. Demostrar queE =

rr2 y es irrotacional y hallar de forma que

E =

y que (a) = 0

siendo a > 0.

41. Hallar la derivada direccional de = 2xyz3 + 3x3yz2 en el punto (1, -1, -1) en la direccion de3i + 2j 3k.

III. INTEGRACION VECTORIAL

42. ParaF = (2x cos y y cos x)i + x2 sin y sin xj

(a). Pruebe queF es un campo de fuerzas conservativo.

(b). Encuentre el potencial escalar paraF .

(c). Encuentre el trabajo hecho al mover una partcula en este campo de (0,1,-1) a (2 ,-1,2).

43.Verifique el Teorema del rotacional para

F = y3i + x3j z3k

donde S es la region x2 + z2 = 1 sobre x + y + z = 1.

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44. Demostrar el teorema de Green en el plano paraC

2xydx + (x2 + 2x)dy

donde R es la region limitada por x2

9 + y2

4 = 1 exterior a x2

+ y2

= 1.

45. Verifique el Teorema de la Divergencia para

F = xz2i xyj + 3yz2k

sobre la region limitada por x2 + y2 + z2 = 9.

46. Verifique el Teorema de la Divergencia para

A = yi + xj + z2k

sobre la region limitada por z = (1 x2 y2))1/2 y z = 0.

47. Verifique el Teorema de Stokes para

A = (x2 + y2 4)i 3xyj + (2xz + z2)k

donde S es la superficie definida por z = 4 (x2 + y2).

48. Verifique el Teorema de Green en el plano paraC

2x y3

dx xydy

donde C es el contorno de la region limitada por los crculos x2

+ y2

= 1 y x2

+ y2

= 9.

49. Verifique el Teorema de la Divergencia para

A = xyi + (y2 + exz2)j + senxyk

sobre la region limitada por z = 1 x2 y los planos z = 0, y = 0 y y + z = 2.

50. Verifique el Teorema de Stokes para

F = yzi + xzj + xyk

donde S es la parte de la esfera x2 + y2 + z2 = 4 que se encuentra dentro del cilindro x2 + y2 = 1 y

arriba del plano XY.

IV. COORDENADAS GENERALIZADAS

51. Calcule los factores de foma hu, hv, hw para el sistema de Coordenadas Esfericas.

52. Escriba el vector

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A = 2xzi + x2zj + 4xy2zk

en la formaA = Au eu + Av ev + Awew

para coordenadas esfericas.

53. Calcule los factores de foma hu, hv, hw para el sistema de Coordenadas Cilindricas.

54. Escriba el vector

A = x2yi + y2z2j + 3xz2k

en la formaA = Au

eu + Av

ev + Aw

ew

para coordenadas cilndricas.

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