H ipertexto 1 parte 1

Mauricio Bautista Ballén

Francia Leonora Salazar Suárez

Física

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© 2011 EDITORIAL SANTILLANA S.A.Calle 80 No. 9-69Bogotá, Colombia.

ISBN 978-958-24-1598-3 Obra completaISBN 978-958-24-1599-0 Edición para el estudianteISBN 978-958-24-1600-3 Edición para el docente

Este libro está elaborado de acuerdo con las normas ICONTEC NTC-4724 y NTC-4725 para textos escolares.

Depósito legal en trámite.

Impreso en Colombia por

Prohibida la reproducción total o parcial, el registro o la transmisión por cualquier medio de recuperación de información, sin permiso previo por escrito de la Editorial.

HIPERTEXTO FÍSICA 1 Para educación media, es una obra colectiva, concebida, diseñada y creada por el Departamento Editorial de Santillana S.A.

Directora de Educativas Ana Julia Mora Torres

Directora Editorial Fabiola Nancy Ramírez Sarmiento

Autores Mauricio Bautista BallénLicenciado en matemáticas. Universidad Pedagógica Nacional. Físico. Universidad Nacional de Colombia. Especialista en educación matemática. Universidad Pedagógica Nacional. Estudios de Maestría en docencia de la matemática. Universidad Pedagógica Nacional.

Francia Leonora Salazar SuárezLicenciada en física. Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Estudios de maestría en Educación con énfasis en investigación. Universidad de la Sabana.

La persona encargada de avalar este texto desde el punto de vista de la disciplina específi ca y desde su pedagogía fue Beatriz Bechara Cabrera. Física. Universidad Nacional de Colombia. Science Instructor. Universidad de Londres.La especialista encargada de avalar este texto desde la equidad de género y de su adecuación a la diversidad cultural fue Doris Gilma Rincón Perilla. Psicóloga. Corporación Universitaria Iberoamericana.Las pruebas de campo del texto fueron realizadas por el Departamento de Investigación de Editorial Santillana, bajo la dirección de Ximena Galvis Ortiz.

Se han hecho todos los esfuerzos para ubicar a los propietarios de los derechos de autor. Sin embargo, si es necesario hacer alguna rectifi cación, la editorial está dispuesta a hacer los arreglos necesarios.

Equipo editorial Isabel Hernández Ayala. Coordinadora de contenidosDiana Constanza Salgado Ramírez. Editora ejecutiva del área de matemáticasJeinsson Giovanni Gamboa Sulvara. Editor júniorCarlos David Sánchez. Editor júniorMauricio Bautista Ballén. Editor externoJuan Gabriel Aldana Álvarez. Asistente editorial del área de matemáticas

Equipo gráfi co y técnico Iván Merchán Rodríguez. Coordinador creativo/Diseñador del modelo gráfi co y carátulasMauricio García Duque. Coordinador de contenidos digitalesMartha Jeanet Pulido Delgado, Orlando Bermúdez Rodríguez. Correctores de estiloAlveiro Javier Bueno Aguirre. Coordinador de soporte técnicoLuis Nelson Colmenares Barragán. Documentalista gráfi co y operador de escánerClaudia Marcela Jaime Tapia, Anacelia Blanco Suárez, Lady Midlennis Sánchez Yopazá. DocumentalistasSandra Patricia Acosta Tovar, Hugo Armando Castrillón Toro, César Alfonso Murillo Díaz. DiagramadoresDiomedes Guilombo Ramírez, Francisco Sánchez, Danilo Ramírez Parra, Jhon Jairo Barinas. IlustradoresGustavo Rodríguez, Juan Giraldo, Claudia Marcela Jaime Tapia. FotógrafosGetty images, Repositorio Santillana, Corel Professional Photos, Images provided by Photodisc, Inc., Corbis Images, Archivo Santillana, Furita S.L., Novosti, Agencia García Pelayo, S.L., Thinkstock. FotografíaFrancisco Rey González. Director de producción

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3© Santillana

HIPERTEXTO FÍSICA 1

PRESENTACIÓN DEL MODELO

De la serie HIPERTEXTOS SANTILLANA, es una nueva propuesta pedagógica que responde a los lineamientos curriculares y a los estándares básicos de competencias exigidos por el MEN. Tu Hipertexto te permitirá potenciar tus capacidades de manera que puedas manejar los conocimientos propios de esta área, aproximarte al conocimiento como científi co natural y desarrollar compromisos personales y sociales.

Estos hipervínculos.Cuando los veas debes saber que cada uno de ellos te indica que, además de lo que hay en la página, vas a encontrar:

Un método para que desarrolles destrezas en la comprensión de los contenidos propios de la física.

Unas HIPERPÁGINAS que, a través de infografías e imágenes llamativas, te permitirán establecer relacio-nes entre procesos o descomponer un todo en sus partes para conocerlas en detalle.

¡Tu Hipertexto hace tu aprendizaje más dinámico!

Mayor información para ampliar tus

conocimientos sobre temas especí-

fi cos. Además, en algunos casos, te

sugiere realizar más actividades para

reforzar los conceptos trabajados.

Una dirección de Internet para

profundizar en un tema.

Este enlace te invita a consultar en nues-

tra página web la sección de laboratorios.

Allí obtendrás el formato para la presen-

tación de tu informe de laboratorio.

¿Qué hay en tu hipertexto?

Comprender para aprender

Para acceder a esta información debes consultar la página: www.santillana.com.co/hipertextos

67© Santillana66 © Santillana

CIENCIA TECNOLOGÍA

El Rover Sojourner es el primer vehículo robótico que fue enviado al planeta Marte en la misión Mars Pathfinder.El vehículo cuenta con 6 ruedas y sus dimensiones son: 65 cm de largo, 45 cm de ancho y 30 cm de altura. Su peso es de 10,6 kg, la máxima velocidad que alcanza es de 1 cm/s y puede desplazarse hasta 500 m desde el Lander.

Fue una misión a Marte apoyada por Estados Unidos con el fin de explorar el planeta rojo a bajo costo.Entre la misión se pretendía analizar la atmósfera, el clima y la composición de rocas y el suelo. La misión fue dirigida por el Caltech, Instituto de Tecnología de California.

El contenedor de instrumentos electrónicos cuenta con procesador Intel 80C85 de 8 bits. El contenedor está asistido térmicamente para que el sistema eléctrico resista las extremas condiciones climáticas de Marte.

El Rover estaba dotado de un espectrómetro de rayos X alfa protón que fue utilizado para el análisis de la roca Marciana.

La antena permite la recepción de señales de su Lander.

En la superficie superior tiene un panel solar que suministra energía necesaria para su movimiento.

El Lander hace las veces de torre de control y es a donde llega

y se envía la información al Rover Sojourner.

En esta parte cuenta con cámaras y lásers que permiten capturar imágenes de la distribución de los suelos y rocas.

Las ruedas tienen un diámetro de 13 cm y fueron fabricadas con aluminio. Todas las ruedas tienen un movimiento independiente. Se puede observar el trayecto

recorrido por el Rover y las rocas estudiadas.

Mars Pathfinder

Una evaluación que

te permitirá verifi -

car tus capacidades

y el aprendizaje de

los contenidos de

cada unidad.

Una presentación o un

video que te ayudará a

comprender mejor los

temas desarrollados.


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1. La fuerza - Primera ley de Newton2. Ley fundamental de la dinámica -

Segunda ley de Newton3. Acción y reacción - Tercera ley de Newton

Temas de la unidad

Las leyes de la dinámica 4UNIDAD

Para responder…

■ ¿Crees que un cuerpo puede permanecer en movimiento sin que sobre él actúen fuerzas? Explica.

■ ¿Qué fuerzas crees que actúan sobre un cohete cuando se mueve a través del espacio?

■ Cuando se da un empujón a una caja y esta se mueve a lo largo de una superficie plana, finalmente se detiene. ¿Cómo explicas esto?

Para pensar…

Seguramente alguna vez te habrás preguntado, qué mantiene un edificio en equilibrio, qué hace que un objeto acelere o desacelere, o, cómo es el movimiento de una nave espacial cuando se desplaza por el espacio inter-planetario.

Todas las situaciones anteriormente mencionadas nos sugieren la idea de movimiento, cambio de posición o cambio de velocidad de los cuerpos, lo cual puede suceder debido a la acción de factores externos.

Entre estos factores se encuentra la fuerza, la cual no sólo produce cambios en el movimiento de los cuerpos sino que también puede llegar a deformar-los, como ocurre cuando se aplasta una esponja.

A lo largo de esta unidad consideraremos la dinámica, que estudia la relación entre fuerza y movimiento, apoyados en tres grandes principios que fueron enunciados por Isaac Newton y revolucionaron el pensamiento científico de la época en el siglo XVII.

10

MANEJO CONOCIMIENTOS PROPIOS DE LAS CIENCIAS NATURALES

1 1© Santillana© Santillana

Figura 3. Si simultáneamente introducimos los dedos en dos recipientes con agua a diferente temperatura y luego los introducimos en otro recipiente cuya temperatura sea intermedia, es posible que nuestros sentidos nos engañen.

En otras ocasiones, el trabajo científico es cuantitativo, es decir, requiere me-didas rigurosas y precisas de las características de los fenómenos observados, por lo cual, en estos casos, se formulan matemáticamente las observaciones y las conclusiones.

El trabajo científico conduce a resultadosLos resultados de la experimentación y del trabajo científico, en la mayoría de las situaciones, conducen a plantear generalizaciones para explicar los fenómenos.A partir de estas generalizaciones es posible predecir las condiciones en las cuales se producirá determinado fenómeno. No obstante, nunca se puede estar seguro de que, en el futuro, no pueda darse una experiencia que sirva como contraejemplo de una generalización.Por ejemplo, las tres leyes del movimiento planteadas por Isaac Newton en el siglo XVII son válidas para describir y predecir el movimiento de los cuerpos siempre que estos no se muevan con velocidades cercanas a la velocidad de la luz (300.000 km/s) y que su masa no sea demasiado pequeña (como la de las partículas subatómicas), caso en el cual se aplica la mecánica cuántica, desarrollada a partir de los trabajos realizados en el siglo XX por Planck, Einstein y De Broglie, entre otros.

El trabajo científico se realiza en equipoAunque en un principio, los científicos concebían sus ideas y experimen-taban sobre ellas de manera independiente, en la actualidad se conforman equipos interdisciplinarios con permanente comunicación nacional e inter-nacional.Cada vez se acepta más la importancia y la necesidad de abordar en equipo problemas concretos, en forma completa y cercana a la realidad.

1.3 Un ejemplo de investigación científica

A continuación, se propone un ejemplo para ilustrar un posible proceso en la solución de la siguiente pregunta científica: ¿al suministrar calor a un cuerpo, aumenta siempre su temperatura?En el proceso que se describe a continuación se consideran los siguientes aspectos: observación del fenómeno, búsqueda de la información, formula-ción de la hipótesis, comprobación experimental, trabajo en el laboratorio, conclusiones y comunicación de resultados, y elaboración de teorías.

Observación del fenómenoLa observación debe ser reiterada, minuciosa, rigurosa y sistemática. Tal vez la primera pregunta que nos formulemos sea: ¿en qué circunstancias aumenta la temperatura cuando le suministramos calor a un cuerpo?Una primera observación nos indicará que, cuando ponemos sobre el fogón una cantidad de agua, la temperatura del líquido aumenta. Para comprobar dicho evento será necesario valernos de nuestros sentidos para percibir las diferencias de temperatura (figura 3).Posteriormente, y para evitar errores, se usa un instrumento de medición adecuado, que en este caso, es el termómetro.

Componente: Entorno físico

Figura 1. El aprovechamiento de la energía nuclear es una de las principales aplicaciones de las interacciones entre materia y energía.

Figura 2. Galileo Galilei produjo un cambio en la forma de observar los fenómenos.

1. Cómo se construye la ciencia

1.1 Qué estudia la físicaLa física, como disciplina científica, indaga acerca del porqué y el cómo suceden los fenómenos naturales que observamos; en este proceso usamos nuestros sentidos y los instrumentos de medición y de observación de los cuales disponemos.En este contexto, los físicos intentan descubrir las leyes básicas que rigen el compor-tamiento y las interacciones de la materia y la energía en cualquiera de sus formas. Así mismo, escudriñan la naturaleza de las estrellas, la luz, el tiempo, el sonido y las partículas subatómicas, entre otros objetos de estudio.En conclusión, mediante la física se busca descubrir generalidades sobre la estructura básica del universo, para así explicar fenómenos observables en términos de principios fundamentales.

1.2 El trabajo científicoA continuación describiremos los pasos del trabajo científico.

El trabajo científico se planificaPara desarrollar un trabajo, los científicos establecen los objetivos y las etapas que, aunque no siempre se dan en el mismo orden, les permiten abordar problemas, ex-plicar fenómenos, realizar descubrimientos y obtener conclusiones generales sobre el funcionamiento de un sistema en estudio.

El trabajo científico busca solucionesLa esencia del quehacer científico es la capacidad humana para plantearse preguntas acerca de los sucesos más complejos e incomprensibles, por lo cual, la razón, funda-mental del estudio de un fenómeno se relaciona con el interés que este despierta en el científico.En muchas ocasiones, la motivación de los científicos se relaciona con las necesidades de la sociedad, por lo cual su trabajo tiene un marcado carácter social, ejemplo de esto es el desarrollo de vacunas para combatir enfermedades y epidemias que arremeten contra la población.

El trabajo científico se basa en conocimientos existentesPara realizar su trabajo, los científicos no parten de cero, sino que en sus investiga-ciones aprovechan los conocimientos que existen sobre el objeto de estudio. En este sentido, se dice que la ciencia es acumulativa, es decir, los nuevos conocimientos se construyen sobre los anteriores y, de esta forma, dichos conocimientos pueden ser ampliados. Por ejemplo, el físico inglés Isaac Newton (1643-1727) declaró que nunca habría podido llegar a plantear sus leyes sobre el movimiento sin apoyarse en los hombros de dos gigantes: Galileo Galilei (1564-1642) y Johannes Kepler (1571-1630).

El trabajo científico es cualitativo y cuantitativoEn ocasiones, el trabajo científico implica observaciones de tipo cualitativo en las cuales no es necesario tomar medidas. En estas observaciones se analiza y se describe un determinado fenómeno para establecer la causa que lo produce, los factores que intervienen en él, la relación que tiene con otros fenómenos, etc.

Presenta los temas que vas a trabajar en la unidad.

Para pensar… Texto breve de divulgación científi ca que se relaciona con el tema de la unidad y recoge algunos de los aspectos más importantes que vas a estudiar.

Para responder...Las preguntas de esta sección te permitirán fortalecer tu capacidad de interpretar textos relacionados con Física.

Al comienzo de cada unidad encontrarás una doble página de apertura con los temas que vas a trabajar, una lectura relacionada con los contenidos y algunas preguntas sobre ella.

En las páginas de contenido encontrarás las ideas fundamentales del tema con ejemplos resueltos, que explican el procedimiento que se debe realizar paso a paso.

Tu Hipertexto Física 1 está compuesto por ocho unidades y los contenidos están organizados de acuerdo con los componentes de Física.

¿Cómo está organizado tu hipertexto?

Páginas iniciales

Páginas de contenido

Te indica el tipo de estándar o estándares que vas a trabajar en la unidad.

En las páginas de contenido también vas a encontrar estas señales:


EJER

CICI

O Son preguntas acerca de la teoría o ejercicios que surgen a partir de ella.

HERRAMIENTA MATEMÁTICA

Son apuntes matemáticos que te ayudarán a comprender mejor los contenidos.

© Santillana4


Ciencia � tecnología: esta sección te informa sobre algunos elementos, procesos y avances tecnológicos, su funcionamiento y la manera como estos infl uyen en la sociedad.

PRÁCTICA DE LABORATORIO


64 65© Santillana© Santillana

ME APROXIMO AL CONOCIMIENTO

COMO CIENTÍFICO NATURAL



Responde:1. ¿Qué sucedió con la hoja y con el libro?2. ¿Hay alguna diferencia en los dos lanzamientos de las pelotas?

¿Por qué? Analiza lo que sucede con cada experimento.

Análisis de resultados

1. Extiende tus brazos sosteniendo una pelota de tenis en cada mano y suéltalas. Observa qué pasa con ellas.

2. Corta un pedazo de cuerda de unos 15 cm y usa cinta adhesiva para fijar un extremo a cada pelota. Así formas un sistema doble.

3. Extiende de nuevo tus manos y sostén con una de ellas la pelota de tenis restante y con la otra, el sistema doble.

Procedimiento

Experimento 2: Gravedad.

1. Pon la hoja sobre el libro.2. Sostén el libro horizontalmente a un metro de altura, con una

hoja sobre su cara superior.3. Coloca la almohada en el piso para que proteja la caída del libro.4. Antes de soltar el libro, trata de adivinar qué pasará con la hoja.

Procedimiento

Experimento 1: Caída libre.Materiales■ Una hoja de papel.■ Almohada.■ Libro.■ Tres pelotas de tenis.■ Cuerda.■ Cinta adhesiva.■ Tijeras.

Cuando un cuerpo se deja caer y se desplaza verticalmente con una aceleración constante, hace que su rapidez aumente uniformemente en la medida que transcurre el tiempo de caída. Si se desprecia la resistencia del aire y suponiendo que actúa la aceleración gravitacional de forma constante, entonces, el movimiento es de caída libre.En esta práctica vas a observar los efectos producidos por la gravedad en algunos objetos.

Conocimientos previosMovimiento uniforme variado, aceleración gravitacional y velocidad.

Movimiento vertical

1. Representa gráficamente los dardos en papel milimetrado. Escribe la distancia recorrida en el eje vertical y el tiempo em-pleado en el eje horizontal. Luego, traza la gráfica correspon-diente.

2. ¿Cuál es la velocidad que alcanza la esfera?3. ¿La canica se mueve durante todo el intervalo con la misma

velocidad? Explica.


1. Construye un plano inclinado con la regla de un metro y el bloque de madera.

2. Desde el borde inferior del plano inclinado hasta el extremo de la mesa, dibuja marcas separadas a 20 cm.

3. Deja rodar libremente, desde el borde superior del plano incli-nado, la canica.

4. Con el cronómetro, toma el tiempo que la esfera emplea en re-correr 20 cm, 40 cm, 60 cm, etc. Para cada distancia, realiza tres veces la medición.

5. Calcula el tiempo promedio entre las tres mediciones.6. Registra los datos obtenidos en la siguiente tabla.

ProcedimientoMateriales■ Regla de un metro.■ Un bloque de madera de

5 cm de lado y 10 cm de alto.■ Mesa horizontal.■ Metro.■ Canicas.■ Cronómetro.■ 1 hoja de papel milimetrado.■ Regla de 30 cm.

En la naturaleza observamos diferentes tipos de movimientos pero nunca nos detenemos a cuestionar las características de estos.Para reconocer la diferencia entre un movimiento y otro, es indispensable medir tiempos y distancias recorridas por un objeto y analizar los cambios de estas magnitudes. En esta práctica medirás tiempos y distancias para reconocer si es un movimiento rectilíneo uniforme.

Conocimientos previosGraficar coordenadas, distancia recorrida, velocidad y tiempo.

Movimiento rectilíneo uniforme

Distancia (cm) Tiempo (s)

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135© Santillana

CIENCIA TECNOLOGÍA

La idea de construir un puente que una dos continentes va

más allá de lo pensado y es construir autopistas que permitan

unir a África, Europa, Asía y América desde el Cabo de Buena

Esperanza en Suráfrica hasta la Patagonia en Argentina.

La construcción del puente del Estrecho de Bering

es un proyecto muy ambicioso por la magnitud

de la construcción que permitiría comunicar a Siberia

y Alaska. En total se deben construir 85 km de autopista

que traerían facilidad en el transporte de mercancía,

pasajeros y hasta combustibles fósiles como

el petróleo y el gas natural.

ESTRECHO DE BERING

Asia

África

Océano Índico

Océano Pacífico

Oceanía

Océano Atlántico

América del Norte

América del Sur

América Central

La construcción del puente del Estrecho de Bering

es un proyecto muy ambicioso por la magnitud

de la construcción que permitiría comunicar a Siberia

y Alaska. En total se deben construir 85 km de autopista

que traerían facilidad en el transporte de mercancía,

pasajeros y hasta combustibles fósiles como

el petróleo y el gas natural.

Para la base del puente se necesitarían

220 pilares de 50.000 toneladas y 40

pisos de altura para soportar el peso

de toda la estructura y generar mayor

estabilidad. Deben ser fabricadas

en un material especial que soporte

temperaturas de hasta 50 °C bajo cero.

Para soportar cada parte del

puente, también son necesarios

cables cubiertos por concreto

para lograr mayor resistencia

y durabilidad.

Contará con una autopista

para carros y camiones

que funcionará solamente

4 meses al año durante

el verano ártico.

El proyecto también tiene aspectos negativos como una

catástrofe ecológica en esta parte de la Tierra considerada

como reserva natural.

Los trenes son de alta velocidad

y tienen una forma especial

que les permite menor fricción

con el aire y así aprovechar

la energía en velocidad.

Cada pilar debe tener la forma de la proa de un

barco para eliminar la fricción con los bloques

de hielo que chocarían constantemente con

la estructura del puente.

En la planta baja se encontrarán

tubos que transportan durante

el año petróleo y gas hacia Norte

América.

240 © Santillana

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CIENCIA TECNOLOGÍA

El petróleo se presenta en forma de líquido viscoso cuyo color varía desde el amarillo hasta el negro. Tiene un fuerte olor característico, y es menos denso que el agua, de modo que flota sobre ella. Su composición puede variar de acuerdo con el yacimiento que provenga.

Debido al incremento en el uso de este combustible fósil también se construyen plataformas de extracción en el mar.

La recuperación asistida es el método utilizado para extraer el petróleo. Una forma de hacerlo es inyectando agua u otro líquido para generar mayor presión sobre el petróleo y generar su ascenso en otro punto.

Pozo de inyección

Otra forma de realizar la recuperación asistida es haciendo inyecciones de gases como el dióxido de carbono. Cuando este se mezcla en el petróleo lo hace menos viscoso y se produce un aumento en el volumen del crudo generando su ascenso.

La bomba de balancín permite extraer el

petróleo para luego llevarlo a los estanques

de almacenamiento.La torre de perforación cuenta con una barra con punta de diamante para que sea capaz de perforar incluso los terrenos más duros.

La bomba permite la inyección del líquido o el gas para extraer el petróleo.

En promedio los pozos petroleros están a profundidades entre los 900 y 7.000 m incluso, en ocasiones, se encuentran a mayor profundidad.

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Tema 2. Movimiento de proyectilesTema 1 Magnitudes vectoriales

Ciudad A Ciudad B

Ciudad C

9 Dos niños juegan con dos canicas en una mesa, si uno deja caer la canica desde la altura de la mesa y al mismo tiempo el otro niño empuja su canica horizontalmente desde el borde de la mesa,

a. ¿cuál de las dos canicas llega primero al suelo? ¿Por qué?

b. ¿cuál llega con mayor velocidad al suelo? ¿Por qué?

10 Responde. ¿Por qué en un partido de fútbol, cuando se cobra un tiro de esquina, suele co-brarse por el aire y no por el suelo?

1 Responde. ¿En qué se diferencia el plantea-miento hecho por Aristóteles y Galileo con res-pecto al movimiento de un cuerpo en un plano horizontal?

2 Un niño va en su bicicleta y choca contra una piedra. ¿Cómo es su movimiento después del choque? ¿Por qué?

3 La trayectoria seguida por un proyectil en su lanzamiento resulta de la composición de dos movimientos, uno vertical y otro horizontal, estos movimientos son respectivamente:

a. Rectilíneos uniformes.

b. Rectilíneo uniforme y uniformemente acele-rado, con aceleración igual a la de la gravedad.

c. Uniformemente acelerados.

d. Uniformemente acelerado, con aceleración igual a la de la gravedad y rectilíneo uniforme.

4 Escribe V, si el enunciado es verdadero o F, si es falso.

En un lanzamiento horizontal, el movi-miento a lo largo del eje x del cuerpo es rec-tilíneo uniforme, porque no hay nada que lo perturbe.

La posición que ocupa un proyectil durante su movimiento tiene una sola componente que está sobre el eje y.

Para calcular la altura alcanzada por un pro-yectil en la Tierra es sufi ciente conocer la velocidad de lanzamiento.

La aceleración de un proyectil en el punto más alto de su trayectoria es cero.

Las preguntas 5, 6, 7 y 8 se refi eren a la siguiente gráfi ca, que muestra la trayectoria seguida por un balón que es pateado por un niño, con velocidad vo que forma un ángulo � con la horizontal.

5 Responde. ¿Puede afi rmarse que el tiempo que tarda el cuerpo en ir del punto A hasta el punto B es el mismo que tarda en ir de B hasta C? ¿Por qué?

6 Con respecto a la norma de la aceleración en los puntos A y B es cierto que:

a. aA � aB c. aA � aB � gb. aA . aB d. aA � aB � 0

7 En los puntos A, B y C el vector que representa la aceleración es:

8 En el punto C de la trayectoria la velocidad está representada por el vector:

a. (v0 � cos �; 0) c. (v0 � cos �; v0 � sen �)

b. (0; v0 � sen �) d. (0; 0)

a.

b.

c.

d.

A

B

C

20 El piloto de una avioneta debe mantener el rumbo de 18° al noreste para que el avión viaje hacia el este con respecto a la Tierra. La veloci-dad de la avioneta es 320 km/h y su velocidad con respecto al suelo es de 350 km/h. Determina la velocidad del viento.

21 Unos niños en una excursión deciden hacer un concurso del tesoro escondido, para lo cual primero deben dibujar el mapa, que tiene las si-guientes instrucciones: desde la palmera camine 40 pasos al sur, luego 60 pasos a 30° suroeste, después 50 pasos al norte y fi nalmente, 30 pasos a 45° al noreste.a. Dibuja el mapa del tesoro.b. Determina las componentes horizontal y verti-

cal de cada uno de los desplazamientos.c. Halla gráfi camente la posición en la que se

encuentra el tesoro con respecto a la palmera.

22 Una ruta escolar realiza solo dos paradas en su recorrido después de salir de la estación. La primera a 6 km y 60° al noroeste, donde suben los niños, y la segunda en el colegio que es su destino a 9,5 km y 40° al noreste de la estación. ¿Qué desplazamiento realiza la ruta desde el punto donde se suben los niños hasta el colegio donde estudian?

23 Dos atletas parten del mismo punto y se mueven con rapidez de 25 km/h formando entre ellos un ángulo de 120°. Después de 1,5 h:a. ¿a qué distancia está cada uno del punto de

partida?b. ¿qué distancia hay entre los dos?

24 Un policía persigue a un ladrón y cuando está a punto de alcanzarlo, este escapa por un atajo recorriendo 300 m hacia el sur y luego 450 m a 45° al sureste. Si el policía se desplaza desde el mismo punto del ladrón 695,3 m, a un ángulo de 63° al sureste, ¿podrá coincidir la posición del policía con la del ladrón?

25 Luis rema desde el punto A hasta el punto B en la orilla de un río en el que la velocidad de la corriente es 1 km/h con la corriente a favor y emplea un tiempo de 1 h. Cuando se mueve en contra de la corriente emplea 2 h para ir del punto B al punto A. Determina la velocidad con la cual se mueve el bote en aguas tranquilas.

15 Cuando un pescador rema en su canoa se mueve a una velocidad de 3 m/s. Si va a cruzar el río cuya corriente tiene una velocidad de 1 m/s, ¿con qué velocidad se mueve el pescador con respecto a la orilla del río?

16 Un patinador recorre 2,5 km al oeste y luego 4 km al sur. Si el recorrido total lo realiza 45 min:

a. ¿con qué rapidez media se mueve el patinador?

b. ¿cuáles son la norma y dirección de su veloci-dad media?

17 Un avión parte de una ciudad A hacia una ciu-dad B recorriendo 350 km hacia el este. Luego, desde la ciudad B, va a la ciudad C recorriendo 420 km al norte. ¿Qué ubicación debe progra-mar el piloto de la ciudad A, para poder viajar a ella desde la ciudad C?

18 Una avioneta se dirige hacia el aeropuerto por el oeste con una velocidad de 200 km/h. Si se pre-senta un fuerte viento que tiene una velocidad de 48 km/h a 30° al noroeste:

a. ¿cuál es la velocidad de la avioneta?

b. ¿hacia qué dirección debe orientarse la avio-neta para llegar al aeropuerto y no desviarse?

19 Un ciclista recorre 8 km hacia el oeste, luego cambia de dirección. Al fi nal del recorrido se encuentra a 12 km a 35° al noreste. ¿Cuál es la norma y dirección de su segundo desplaza-miento?

Desarrollo de competencias

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10 Da un ejemplo en el que dos cuerpos describan la misma trayectoria pero realicen diferente desplazamiento.

11 Un cuerpo se somete al mismo tiempo a la acción de dos velocidades de diferente norma. ¿Cómo deben ser las direcciones de estas dos velocidades para que el cuerpo se mueva con la máxima velocidad resultante posible? ¿Por qué?

12 Responde. ¿Qué debe hacer el timonel de un barco para que la corriente del río no desvíe su embarcación cuando quiere moverlo en direc-ción perpendicular a la corriente?

13 Dos automóviles, A y B, se mueven con la misma rapidez en un camino largo y recto, ¿con qué ve-locidad se mueve al auto B con respecto al auto A?, si:a. se dirigen el uno hacia el otro.b. se alejan el uno del otro.c. se mueven en la misma dirección.

14 Plantea un ejemplo en el que la composición de dos movimientos no dé como resultado un movimiento con trayectoria parabólica.

5 Un profesor de física explica a sus estudiantes que la luz se propaga en línea recta. Uno de ellos le pregunta si la luz emitida por el Sol es una magnitud física de carácter vectorial. ¿Qué crees que responderá el profesor? ¿Por qué?

1 Representa el vector velocidad resultante en cada uno de los siguientes casos:

a. Un atleta que cruza un río nadando hacia la otra orilla a 8 m/s cuando el río corre con una velocidad perpendicular a él de 6 m/s.

b. Una golondrina que vuela horizontalmente a 6 m/s mientras que el viento sopla a 2,5 m/s, formándose entre las dos velocidades un án-gulo de 50°.

2 La posición que ocupa un cuerpo en diferentes instantes de tiempo se representa por medio de los vectores:

t � 0 s r ( , )� �5 0t � 1 s r ( , )� �3 4t � 2 s r ( , )� 0 5t � 3 s r ( , )� 3 4t � 3 s r ( , )� 5 0a. Ubica cada vector en el plano cartesiano.

b. Grafi ca una posible trayectoria del cuerpo.

3 Dibuja la trayectoria de un proyectil que es lan-zado con una velocidad que forma un ángulo con la horizontal de 35°. Sobre ella, dibuja el vec-tor velocidad y el vector aceleración en el punto de salida, en el más alto y, en el punto más bajo de la trayectoria.

4 Un jugador patea una pelota con una velocidad que forma un ángulo con la horizontal. Si la pelota lleva una velocidad horizontal de 2 m/s y cae a 16 m de donde fue lanzada, ¿cuál es la com-ponente vertical de la velocidad de lanzamiento?

6 Examina las siguientes magnitudes físicas y establece si ellas son vectoriales o escalares; lon-gitud, velocidad, aceleración, temperatura, área y densidad. Justifi ca tu respuesta.

7 Responde. ¿Puede la componente de un vector ser mayor o igual que su norma? ¿Por qué?

8 Un automóvil parte del reposo hasta alcanzar una velocidad v, con la que se mueve durante un tiempo t y fi nalmente se detiene después de aplicar los frenos. ¿Puede afi rmarse que durante todo el movimiento la velocidad y la aceleración tienen la misma dirección?

9 Un proyectil se lanza con velocidad de 10 m/s. Dibuja las trayectorias seguidas si el ángulo de lanzamiento es de 30° y si el ángulo de lanza-miento es de 60°. Realiza los cálculos que consi-deres pertinentes.

Actividades con ejercicios enfocados a desarrollar competencias.

Aquí afi anzarás tus conocimientos a partir de la realización de actividades, utilizando el método “Comprender para aprender”.

Además tu hipertexto contiene:

Secciones especiales

En tu Hipertexto Física 1, también encontrarás algunas secciones especiales que puedes identifi car así:

Prácticas de laboratorio: a través de estas prácticas podrás comprobar algunos fenómenos científi cos y aplicar conceptos tratados en cada unidad, para aproximarte al conocimiento como científi co natural.

© Santillana 5


CONTENIDO

Tema 1. Cómo se construye la ciencia 10

1.1 Qué estudia la física 1.2 El trabajo científi co 1.3 Un ejemplo de investigación científi ca

Tema 2. Magnitudes físicas 14

2.1 Sistemas físicos 2.2 Sistema internacional de unidades 2.3 Cómo expresar los resultados de las mediciones 2.4 Cómo interpretar las unidades de medida

2.5 Manejo de errores Tema 3. Funciones y gráfi cas 23

3.1 Sistemas de coordenadas 3.2 Las variables en un experimento 3.3 La construcción de gráfi cas

■ Actividades 28

■ Práctica de laboratorio 34

■ Ciencia � tecnología

Nanotecnología 36

Unidad 1. Introducción a la física 8

Tema 1. Magnitudes vectoriales 70

1.1 Los vectores 1.2 El vector desplazamiento 1.3 El vector velocidad 1.4 Suma gráfi ca de vectores 1.5 Composición de movimientos 1.6 Componentes de un vector

1.7 Suma analítica de vectores Tema 2. Movimiento de proyectiles 78

2.1 El principio de inercia 2.2 Lanzamiento horizontal 2.3 Movimiento de proyectiles

■ Actividades 86


Unidad 3. Movimiento en el plano 68

Tema 1. La fuerza - Primera ley de Newton 96

1.1 Características de las fuerzas 1.2 Fuerzas fundamentales 1.3 Medición de las fuerzas - Ley de Hooke 1.4 La primera ley de Newton 1.5 Algunas fuerzas comunes

Tema 2. Ley fundamental de la dinámica - Segunda

ley de Newton 107

2.1 La segunda ley de Newton 2.2 El peso de los cuerpos 2.3 La fuerza de rozamiento 2.4 El plano inclinado

Tema 3. Acción y reacción - Tercera ley de Newton 115

3.1 La tercera ley de Newton 3.2 La cantidad de movimiento lineal 3.3 Impulso mecánico 3.4 La conservación de la cantidad de movimiento 3.5 Los sistemas de propulsión 3.6 Colisiones

■ Actividades 124



El puente del estrecho de Bering 134

Unidad 4. Las leyes de la dinámica 94

■

Tema 1. El movimiento rectilíneo 40

1.1 El movimiento 1.2 El movimiento rectilíneo uniforme 1.3 El movimiento rectilíneo uniformemente variado

Tema 2. Caída libre 55

2.1 Cómo caen los cuerpos

2.2 La caída de los cuerpos 2.3 Las ecuaciones del movimiento de caída libre

■ Actividades 58



El primer vehículo robótico 66

Unidad 2. El movimiento en una dirección 38

© Santillana6


Tema 1. Fluidos en reposo 212

1.1 La densidad 1.2 La presión 1.3 La presión en los líquidos 1.4 El principio de Pascal1.5 El principio de Arquímedes 1.6 La presión en los gases 1.7 Tensión superfi cial

Tema 2. Fluidos en movimiento 224

2.1 El movimiento de los fl uidos

2.2 Ecuación de continuidad 2.3 Ecuación de Bernoulli 2.4 Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli2.5 Flujo sanguíneo 2.6 Viscosidad

■ Actividades 232



Extracción de petróleo 240

Unidad 7. Mecánica de fl uidos 210

Tema 1. El movimiento circular 138

1.1 La velocidad en el movimiento circular 1.2 Movimiento circular uniforme 1.3 Aceleración centrípeta 1.4 Fuerza centrípeta 1.5 Fuerza centrífuga 1.6 Gravedad simulada 1.7 Movimiento circular variado

Tema 2. La mecánica celeste 149

2.1 Desarrollo de la astronomía 2.2 Leyes de Kepler

2.3 La gravitación universal Tema 3. Rotación de sólidos 160

3.1 Cuerpos rígidos 3.2 Torque o momento de una fuerza 3.3 Condiciones de equilibrio para cuerpos rígidos3.4 La cantidad de movimiento angular

■ Actividades 168



El gran colisionador de hadrones 178

UNIDAD 5. El movimiento de rotación 136

Unidad 6. La energía 180

Tema 1. Trabajo, potencia y energía 182

1.1 Trabajo 1.2 Energía 1.3 Potencia

Tema 2. La conservación de la energía 195

2.1 La conservación de la energía 2.2 Las fuerzas no conservativas

2.3 Energía potencial elástica 2.4 Energía en las colisiones 2.5 La conservación de la energía 2.6 El principio de conservación de la energía

■ Actividades 202


Tema 1. Calor y temperatura 244

1.1 Los conceptos de calor y temperatura 1.2 Calor y la variación de la temperatura 1.3 El equilibrio térmico 1.4 La transmisión del calor 1.5 La dilatación

Tema 2. Las fases de la materia 256

2.1 Punto de fusión y punto de ebullición 2.2 Cambios de fase 2.3 Los gases

Tema 3. Las leyes de la termodinámica 264

3.1 La primera ley de la termodinámica 3.2 Trabajo en los gases 3.3 Procesos termodinámicos 3.4 Proceso isotérmico 3.5 Las máquinas térmicas 3.6 La entropía

■ Actividades 274



Superconductividad 284

Unidad 8. Termodinámica 242

■ Glosario 286

■ Bibliografía 287

Anexos

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8 © Santillana

1UN

IDA

D

1. Cómo se construye la ciencia2. Magnitudes físicas3. Funciones y gráficas

Temas de la unidad

Introducción a la física

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ENTORNO VIVO

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Para pensar…

En todo trabajo científico, los conceptos propios de la ciencia, los métodos utilizados para la construcción del conocimiento, las aplicaciones que tienen los descubrimientos y la forma como se comunican los resultados a la comu-nidad, cumplen un papel muy importante.

En las ciencias las mediciones son de especial importancia, ya que permiten tomar datos, cuantificar situaciones y hacer generalizaciones a partir de re-sultados experimentales; para representar dichas mediciones se requieren unidades de medida como el metro, el kilogramo y el segundo, entre otras.

Los datos obtenidos a partir de la aplicación de los conceptos o de los mé-todos experimentales permiten el análisis de variables, para lo cual las ma-temáticas son el lenguaje conveniente hacia una apropiada comprensión.

A lo largo de esta unidad describiremos el trabajo en ciencias y estudiare-mos algunos elementos fundamentales, que debemos tener en cuenta para expresar, representar y relacionar las medidas.

Para responder…

n Consideralavalidezdelaexpresión“cuandolaedadaumenta,laestaturaaumenta”.

n Describeunexperimentoquehayasrealizadoindicandolospasosqueseguiste.

n Construyeunalistadeunidadesdemedidaqueutilicesenlavidacotidiana.

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10


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Figura 1. El aprovechamiento de la energía nuclear es una de las principales aplicaciones de las interacciones entre materia y energía.

Figura 2. Galileo Galilei produjo un cambio en la forma de observar los fenómenos.

1. Cómo se construye la ciencia

1.1 Qué estudia la físicaLa física, como disciplina científica, indaga acerca del porqué y el cómo suceden los fenómenos naturales que observamos; en este proceso usamos nuestros sentidos y los instrumentos de medición y de observación de los cuales disponemos.En este contexto, los físicos intentan descubrir las leyes básicas que rigen el compor-tamiento y las interacciones de la materia y la energía en cualquiera de sus formas. Así mismo, escudriñan la naturaleza de las estrellas, la luz, el tiempo, el sonido y las partículas subatómicas, entre otros objetos de estudio.En conclusión, mediante la física se busca descubrir generalidades sobre la estructura básica del universo, para así explicar fenómenos observables en términos de principios fundamentales.

1.2 El trabajo científicoA continuación describiremos los pasos del trabajo científico.

El trabajo científico se planificaPara desarrollar un trabajo, los científicos establecen los objetivos y las etapas que, aunque no siempre se dan en el mismo orden, les permiten abordar problemas, ex-plicar fenómenos, realizar descubrimientos y obtener conclusiones generales sobre el funcionamiento de un sistema en estudio.

El trabajo científico busca solucionesLa esencia del quehacer científico es la capacidad humana para plantearse preguntas acerca de los sucesos más complejos e incomprensibles, por lo cual, la razón, funda-mental del estudio de un fenómeno se relaciona con el interés que este despierta en el científico.En muchas ocasiones, la motivación de los científicos se relaciona con las necesidades de la sociedad, por lo cual su trabajo tiene un marcado carácter social, ejemplo de esto es el desarrollo de vacunas para combatir enfermedades y epidemias que arremeten contra la población.

El trabajo científico se basa en conocimientos existentesPara realizar su trabajo, los científicos no parten de cero, sino que en sus investiga-ciones aprovechan los conocimientos que existen sobre el objeto de estudio. En este sentido, se dice que la ciencia es acumulativa, es decir, los nuevos conocimientos se construyen sobre los anteriores y, de esta forma, dichos conocimientos pueden ser ampliados. Por ejemplo, el físico inglés Isaac Newton (1643-1727) declaró que nunca habría podido llegar a plantear sus leyes sobre el movimiento sin apoyarse en los hombros de dos gigantes: Galileo Galilei (1564-1642) y Johannes Kepler (1571-1630).

El trabajo científico es cualitativo y cuantitativoEn ocasiones, el trabajo científico implica observaciones de tipo cualitativo en las cuales no es necesario tomar medidas. En estas observaciones se analiza y se describe un determinado fenómeno para establecer la causa que lo produce, los factores que intervienen en él, la relación que tiene con otros fenómenos, etc.

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Figura 3. Si simultáneamente introducimos los dedos en dos recipientes con agua a diferente temperatura y luego los introducimos en otro recipiente cuya temperatura sea intermedia, es posible que nuestros sentidos nos engañen.

En otras ocasiones, el trabajo científico es cuantitativo, es decir, requiere me-didas rigurosas y precisas de las características de los fenómenos observados, por lo cual, en estos casos, se formulan matemáticamente las observaciones y las conclusiones.

El trabajo científico conduce a resultadosLos resultados de la experimentación y del trabajo científico, en la mayoría de las situaciones, conducen a plantear generalizaciones para explicar los fenómenos.A partir de estas generalizaciones es posible predecir las condiciones en las cuales se producirá determinado fenómeno. No obstante, nunca se puede estar seguro de que, en el futuro, no pueda darse una experiencia que sirva como contraejemplo de una generalización.Por ejemplo, las tres leyes del movimiento planteadas por Isaac Newton en el siglo XVII son válidas para describir y predecir el movimiento de los cuerpos siempre que estos no se muevan con velocidades cercanas a la velocidad de la luz (300.000 km/s) y que su masa no sea demasiado pequeña (como la de las partículas subatómicas), caso en el cual se aplica la mecánica cuántica, desarrollada a partir de los trabajos realizados en el siglo XX por Planck, Einstein y De Broglie, entre otros.

El trabajo científico se realiza en equipoAunque en un principio, los científicos concebían sus ideas y experimen-taban sobre ellas de manera independiente, en la actualidad se conforman equipos interdisciplinarios con permanente comunicación nacional e inter-nacional.Cada vez se acepta más la importancia y la necesidad de abordar en equipo problemas concretos, en forma completa y cercana a la realidad.

1.3 Un ejemplo de investigación científica

A continuación, se propone un ejemplo para ilustrar un posible proceso en la solución de la siguiente pregunta científica: ¿al suministrar calor a un cuerpo, aumenta siempre su temperatura?En el proceso que se describe a continuación se consideran los siguientes aspectos: observación del fenómeno, búsqueda de la información, formula-ción de la hipótesis, comprobación experimental, trabajo en el laboratorio, conclusiones y comunicación de resultados, y elaboración de teorías.

Observación del fenómenoLa observación debe ser reiterada, minuciosa, rigurosa y sistemática. Tal vez la primera pregunta que nos formulemos sea: ¿en qué circunstancias aumenta la temperatura cuando le suministramos calor a un cuerpo?Una primera observación nos indicará que, cuando ponemos sobre el fogón una cantidad de agua, la temperatura del líquido aumenta. Para comprobar dicho evento será necesario valernos de nuestros sentidos para percibir las diferencias de temperatura (figura 3).Posteriormente, y para evitar errores, se usa un instrumento de medición adecuado, que en este caso, es el termómetro.

Componente: Entorno físico

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Cómo se construye la ciencia

Figura 4. Un metal puede cambiar de fase cuando se somete al calor.

Búsqueda de informaciónAdemás de la observación es necesario consultar información acerca de la pregunta planteada en fuentes de referencia como libros, enci-clopedias o revistas científicas. En este tipo de fuentes se encuentra el conocimiento científico acumulado a través de la historia. Internet resulta una herramienta útil, pero es importante verificar la credibilidad de la información obtenida.En el caso del ejemplo, la consulta que hemos considerado mostrará que los conceptos de calor y temperatura son diferentes y que, en algunos casos, la temperatura de las sustancias aumenta cuando se les suminis-tra calor. Sin embargo, encontramos que en algunas situaciones particu-lares, al suministrar calor a una sustancia, la temperatura no aumenta.Un caso en el que se verifica esta afirmación se presenta cuando la sus-tancia experimenta cambio de fase, es decir, cuando cambia de la fase líquida a la gaseosa o de la fase sólida a la líquida.

Formulación de hipótesisA partir de la observación y de la documentación, se plantea una posi-ble explicación del fenómeno, tratando de responder preguntas como: ¿Siempre que se suministra calor a una sustancia, aumenta su tem-peratura? ¿En qué condiciones se suministra calor y no aumenta la temperatura?La explicación, propuesta como hipótesis, debe ser coherente con las observaciones y teorías científicas aceptadas hasta el momento.A partir de la hipótesis planteada, es posible especular acerca de qué pasaría si se cambia algo o qué pasaría si las condiciones fueran dife-rentes. En otras palabras, hacemos suposiciones y predicciones, que luego deberán ponerse a prueba a través de una serie de experimentos.Volviendo al ejemplo, se sabe que los conceptos de calor y temperatura se relacionan, de manera que una posible causa del aumento de tem-peratura en una sustancia es el suministro de calor. Podemos formular una explicación, a manera de hipótesis, en los si-guientes términos:La temperatura de una sustancia no varía durante el tiempo en el cual la sustancia cambia de fase.

Comprobación experimentalSe deben confirmar las hipótesis con experimentos que reproduzcan las condiciones bajo las cuales ocurre el fenómeno estudiado. El fenó-meno tendrá validez si tiene lugar en tales condiciones y se cumplen las suposiciones y predicciones que se hicieron con base en la hipótesis.Para el caso tratado, es posible poner un recipiente con hielo sobre el fogón de una estufa para suministrarle calor. Mientras exista única-mente hielo dentro del recipiente, la temperatura permanecerá cons-tante.

Trabajo en el laboratorio En el laboratorio, se crean condiciones para reproducir el fenómeno estudiado; allí es posible cuantificar las variables, tomar datos y repetir las medidas tomadas por diferentes personas.

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Componente: Procesos físicos

Figura 5. Montaje de laboratorio para la medida de la temperatura del agua expuesta al calor.

Para nuestro problema de investigación, en el laboratorio se puede realizar el siguiente experimento:— Se pone una cantidad de hielo dentro de un recipiente. — Luego, se le suministra calor por medio de un mechero y se

registra la temperatura cada dos minutos. — Con los datos obtenidos, se construye una tabla de valores y se

analizan los registros.Se podrá observar que, mientras exista hielo en el recipiente, la temperatura no variará.— El paso siguiente sería explicar lo observado en los siguientes

términos: cuando las sustancias experimentan un cambio de fase mediante suministro de calor, la temperatura no varía.

En realidad, el calor absorbido por la sustancia durante el cambio de fase se manifiesta en energía que aumenta la velocidad prome-dio de las moléculas.

Conclusiones y comunicación de resultadosLas conclusiones que se obtienen después del trabajo experimen-tal pueden ser de dos tipos: empíricas o deductivas. En el primer caso, las conclusiones se basan en la experimentación, mientras que en el caso de las deductivas, se parte de premisas que han sido comprobadas anteriormente, para deducir otras de manera lógica. Toda conclusión debe ser divulgada a la comunidad.

Elaboración de teoríasEn palabras del filósofo alemán Goethe:Toda contemplación se convierte en observación, toda observación conduce a una conjetura, toda conjetura conduce al establecimiento de un enlace importante y se puede decir que cada vez que nosotros examinamos con atención el mundo, postulamos una teoría. Las palabras anteriores, que pueden considerarse como una guía del trabajo científico, sitúan la observación como una contempla-ción que genera conocimiento sobre un fenómeno. A partir de la misma, surgen hipótesis y suposiciones que conducen a una primera aproximación del conocimiento.Las leyes son hipótesis comprobadas que permiten explicar algu-nos fenómenos y hacer predicciones acerca de los mismos. Deben ser generales y, con frecuencia, requieren el uso de las matemáti-cas. Las teorías son sistemas de leyes que, relacionadas entre sí en forma coherente, permiten explicar fenómenos. Las teorías cien-tíficas, como lo hemos indicado, tienen validez hasta que se mues-tran limitaciones para explicar determinados fenómenos o hasta que un nuevo descubrimiento las contradice.De acuerdo con las limitaciones de una teoría, se puede establecer el campo de aplicación, es decir, se indican los problemas en los que dicha teoría es o no suficiente.La pregunta planteada con respecto al aumento de la temperatura quedó resuelta al comprobar la hipótesis formulada que establece que, durante los cambios de fase, el suministro de calor no produce cambios de temperatura.

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Figura 6. El sistema Tierra-Luna es un ejemplo de sistema físico.

Figura 7. Balanza de platillos, mide la masa comparándola con la de otros cuerpos de masa conocida.

2. Magnitudes físicas2.1 Sistemas físicosNuestra realidad objetiva es muy compleja y presenta una gran cantidad de propiedades para ser estudiadas; por ejemplo, si observamos una pie-dra, notamos que su conformación no es sencilla, ya que presenta un gran número de elementos químicos en su composición interna, seguramente con imperfecciones en su estructura cristalina; sin embargo, cuando se usa en el estudio de la caída de los cuerpos, estas propiedades son despre-ciables en relación con la posición de la piedra en cada instante de tiempo.Para que el estudio de un sistema físico resulte útil para la interpretación de la realidad, se hace una observación de él. En esta interpretación se usan sólo las propiedades relevantes de los objetos que están relacionadas con el fenómeno físico que se va a estudiar. Como conclusión, podemos decir que el estudio de un sistema físico nos ayuda a comprender la rea-lidad y en ese sentido, es una aproximación a ella. Son ejemplos de sistemas físicos una estrella, un haz luminoso, un átomo de un elemento, un resorte, el sistema Tierra-Luna o un circuito eléctrico, entre otros. Así, por ejemplo, si consideramos el sistema físico formado por un recipiente que contiene agua, la influencia de la temperatura del medio que lo rodea puede provocar que el agua hierva o que, por el con-trario, se congele.

2.2 Magnitudes físicasPara la descripción del sistema físico es imprescindible la medición, ya que permite establecer relaciones cuantitativas entre las diversas variables que intervienen en su comportamiento. Las propiedades que caracterizan a los cuerpos o a los fenómenos na-turales y que son susceptibles de ser medidas, reciben el nombre de magnitudes físicas. Así, la longitud, la masa, la velocidad, el tiempo y la temperatura, entre otras, son ejemplos de magnitudes físicas.Otras propiedades, como el olor, el sabor, la bondad, la belleza, no son magnitudes físicas, ya que no se pueden medir.Existen magnitudes físicas que son independientes de las demás y reciben el nombre de magnitudes fundamentales; entre ellas mencionamos la longitud, la masa y el tiempo.Algunas magnitudes se definen a partir de las magnitudes fundamentales y reciben el nombre de magnitudes derivadas. Por ejemplo, la medida de la velocidad de un objeto se obtiene a partir de la longitud y el tiempo, por lo tanto, la velocidad es una magnitud derivada.

2.2.1 Medición de las magnitudes físicasAl medir, se compara una magnitud física con una cantidad conocida que se toma como patrón. Este patrón se denomina unidad. Resulta habitual que las magnitudes físicas se midan utilizando instru-mentos calibrados; así, la masa de un cuerpo se puede medir en una balanza de platillos, comparándola con la de otros cuerpos de masa co-nocida (figura 7).

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El resultado de la medición de una magnitud se expresa mediante un número y una unidad. Por ejemplo, si se mide la altura (l) de una persona y se toma como unidad el metro (m), el resultado debe expresarse de esta manera: l 5 1,80 m, donde el número 1,80 indica cuántas unidades (metros en este caso) están contenidas en la magnitud medida (la altura de la persona). Decir únicamente que la altura de la persona es 1,80 no tendría significado, ya que podría tratarse de 1,80 centímetros, 1,80 milímetros, etc.

2.2.2 Sistema internacional de unidadesLas mediciones confiables y exactas exigen unidades inalterables que los observadores puedan reproducir en distintos lugares. Por tal razón, en virtud de un acuerdo firmado en 1960, se estableció que en la mayor parte del mundo se utilizaría un sistema de unidades para científicos e ingenieros, denominado Sistema Internacional de Unidades (SI). Estos acuerdos son resultado del trabajo de la llamada Conferencia General de Pesos y Medidas, organización internacional con representación en la mayoría de países.En la tabla 1.1 se muestran las unidades básicas del SI y nos referiremos a cada una de ellas a medida que avancemos en nuestro estudio de la física.

Tabla 1.1

Tabla 1.2

En la tabla 1.2, se indican algunos prefijos utilizados para las unidades del Sistema Internacional y el factor por el que se debe multiplicar cuando se utiliza cada uno de ellos. Por ejemplo, 3 kg equivalen a 3 ? 103 g, lo que es igual a 3.000 g. También, 5 mm equivalen a 5 ? 1026 m, es decir, 0,000005 m.

Magnitud Unidad Símbolo

Longitud metro m

Masa kilogramo kg

Tiempo segundo s

Intensidad de corriente amperio A

Temperatura kelvin K

Cantidad de sustancia mol mol

Intensidad luminosa candela cd

Múltiplos Submúltiplos

Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo Factor

exa E 1018 deci d 1021

peta P 1015 centi c 1022

tera T 1012 mili m 1023

giga G 109 micro m 1026

mega M 106 nano n 1029

kilo k 103 pico p 10212

hecto h 102 femto f 10215

deca D 10 atto a 10218

EJERCICIO La capacidad del disco duro de un

computadorseexpresaengigabytes(GB),sinembargo,hoyseconsiguendiscosde1 terabyteomás (TB). ¿AcuántosGBequivaleunTB?

Procesos físicos

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Magnitudes físicas

Figura 8. La masa de los objetos se mide con la balanza.

A continuación, nos referimos a tres magnitudes fundamentales: la longitud, la masa y el tiempo.Es importante tener presente que las unidades de las magnitudes fundamentales han sido escogidas de manera arbitraria por la comunidad científica, teniendo en cuenta algunas condiciones de comodidad, reproducibilidad, accesibilidad y universalidad.

La longitudLa unidad básica de longitud en el Sistema Internacional es el metro (m). Durante mucho tiempo se tomó como definición internacional de metro la distancia existente entre dos marcas hechas en una barra de platino e iridio (distancia denominada metro patrón) que se conserva en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas de Sèvres (París). Definir de esta manera el metro no es preciso, ya que cualquier material, aun el platino y el iridio, está sometido a dilataciones y contracciones por efecto de la temperatura.A partir de 1982, las unidades fundamentales del Sistema Internacional se definen en función de constantes totalmente invariables. En particular, el metro se define así:

Un metro es la distancia que recorre la luz en el vacío en un tiempo de 1/299.972,458 de segundo.

Definición

Un segundo es la duración que tienen 9.192.631.770 períodos de una determinada radiación de cesio-133.

Aunque el metro es la unidad básica de longitud en el Sistema Internacional, se utilizan los múltiplos y los submúltiplos del metro para expresar algunas distancias. En ocasiones, si las dis-tancias son muy grandes se emplea el año luz, el cual es equiva-lente a la distancia que recorre la luz en un año.

La masaLa unidad básica de masa en el Sistema Internacional es el kilo-gramo (kg). El kilogramo fue definido desde 1889 como la masa de un bloque de platino e iridio, denominado kilogramo patrón, que se conserva en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas de Sèvres.Aunque la unidad en el Sistema Internacional es el kilogramo, la masa se expresa con otras unidades, como los múltiplos y sub-múltiplos del gramo. Por ejemplo, la cantidad de alguna sustancia contenida en un medicamento se expresa en miligramos (mg).

El tiempoLa unidad de tiempo en el Sistema Internacional es el segundo (s). Desde 1889 a 1967, el segundo fue definido como la fracción 1/86.400 del día solar medio, pero, como la duración del día ex-perimenta variaciones, la definición actual es la siguiente:

Definición

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Otras unidades de tiempo diferentes al segundo se utilizan de acuerdo con los períodos de tiempo que se quieran determinar. Por ejemplo, para refe-rirse al tiempo que emplea un planeta de nuestro sistema solar en dar una vuelta alrededor del Sol, se utilizan los años o los días, pero para medir el tiempo que tarda una de las alas de un insecto en su ir y venir, se utilizan los milisegundos (ms).

2.2.3 Sistema británico de unidadesAunque a lo largo del texto utilizaremos con mayor frecuencia las unida-des del Sistema Internacional, cabe mencionar que existen otros sistemas de unidades. Uno de ellos es el sistema británico de unidades, que se usa habitualmente en los Estados Unidos. El pie (p) es la unidad de longitud en este sistema y equivale a 30,48 cen-tímetros. Otras unidades comunes de longitud son: la pulgada (pul), que equivale a 2,54 centímetros y la milla (mi), que equivale a 1.609 kilómetros.El slug es la unidad de masa y equivale a 14,59 kilogramos.La unidad de tiempo en el sistema británico, al igual que en el Sistema Internacional, es el segundo. En la tabla 1.3 se presentan las unidades en el sistema británico.

2.3 Cómo expresar los resultados de las mediciones

2.3.1 Conversión de unidadesEn física, es muy común expresar algunas cantidades en diferentes unidades de medida. Por ejemplo, determinar a cuántos kilómetros equivalen 1.560 metros o a cuántos segundos equivalen 20 minutos. Preguntas como estas se resuelven mediante la conversión de unidades.Algunas de estas conversiones sólo requieren realizar un cálculo mental; en otras ocasiones se hace necesaria la utilización de los factores de con-versión, los cuales facilitan la expresión de una misma cantidad física en unidades diferentes.

Los factores de conversión se utilizan cuando se establece proporcionali-dad entre las unidades. Por ejemplo, un slug equivale a 14,59 kg. En conse-cuencia, para convertir 30 kilogramos en x slug, escribimos la proporción:

1 slug14,59 kg kg

30 kg

5

5

x

x

30

1 slug14,59 kg

? Al despejar x

x Al ca2,06 slug5 llcular

La misma conversión se puede realizar de la siguiente manera:

30 kg 1 slug14,59 kg 2,06 kg? 5

A la expresión 1 slug 5 14,59 kg se le denomina factor de conversión. En un factor de conversión se establece un cociente entre la unidad de un sistema y su equivalencia en otro sistema o en otra unidad del mismo sistema.

Magnitud Unidad Símbolo

Longitud pie p

Tiempo segundo s

Masa slug slug

Tabla 1.3

Procesos físicos

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Magnitudes físicas

Figura 9. Si la medida que expresamos en este caso es 58,3 cm, el 3 es dudoso.

Figura 10. Si la medida que expresamos en este caso es 583,5 mm, el 5 es dudoso.

2.3.2 Las cifras significativasEn la figura 9 se observa que, al determinar la longitud de una mesa con una cinta métrica graduada en centímetros, se puede afirmar que dicha longitud es de 58,3 cm; al hacer esta medición estamos seguros de las cifras 5 y 8, pero la cifra 3 es dudosa.Ahora, al observar la figura 10, si la medida se realiza con una cinta métrica gra-duada en milímetros, se puede afirmar que la medición es, por ejemplo 583,5 mm, donde las cifras seguras son el 5, el 8 y el 3, pero la cifra dudosa es el 5.A las cifras seguras y a la primera cifra dudosa obtenida en una medición se les denomina cifras significativas. En el primer caso, decimos que la medición tiene tres cifras significativas; mientras que en el segundo, decimos que tiene cuatro cifras significativas.

EJEMPLOS

1. En el comercio se consiguen reglas graduadas en centímetros y en pulgadas. Determinar la medida en pulgadas de una regla de 30 cm.Solución:Como 1 pulgada equivale a 2,54 cm, la conversión que se establece es:

30 cm 1 pul2,54 cm 11,81 pul Al simplificar l? 5 oos cm

La longitud de una regla de 30 centímetros, expresada en pulgadas, es 11,81 pul.2. La masa de una persona es 65 kg. ¿Cuál es su masa en slug?

Solución:Se multiplica 65 kg por el factor de conversión 1 slug/14,59 kg:

65 kg 1 slug14,59 kg 4,46 slug� 5

Por tanto, la masa de una persona de 65 kg es 4,46 slug.

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2.3.3 La notación científicaComo resultado de los cálculos científicos, a veces aparecen magnitudes físicas que toman valores muy grandes o por el contrario, surgen valores de medidas que, al ser comparadas con la unidad patrón, toman un valor muy pequeño. Para expresar el valor numérico de dichas magnitudes se utiliza la notación científica. En el manejo de la notación científica se emplean las cifras significativas y las potencias de 10.

EJEMPLOS

1. El radio de la base de un cilindro de aluminio mide 1,25 cm y su altura mide 4,63 cm. Cuando se pone en el platillo de una balanza, se registra una masa de 61,3 g. Determinar la densidad del alumi-nio si se sabe que esta se calcula como el cociente entre la masa y el volumen.

Solución:Para calcular el volumen de un cilindro consideramos algunos concep-tos geométricos.V 5 pr2hV 5 3,14 ? (1,25 cm)2 ? 4,63 cm Al remplazarV 5 22,7 cm3

Aunque el resultado obtenido con la calculadora es 22,7159375, lo redondeamos a 22,7 puesto que, tanto en el radio como en la altura, se utilizaron tres cifras significativas y el resultado no debe expresarse con un número de cifras mayor que ellas.Ahora, la densidad se expresa mediante la expresión:

densidad masavolumen

densidad 61,3 g22,7 cm3

5

5 2,70 g/cm35 Al remplazar y calcular

Por tanto, la densidad del aluminio es 2,70 gramos por centímetro cúbico.

2. El radio de una esfera de hierro mide 1,15 cm y la densidad del hierro es 7,80 g/cm3. Determinar la masa de la esfera, teniendo en cuenta el número de cifras significativas.

Solución: El volumen de una esfera se expresa como:

V r

V

� �

� � �

4343 (1,15 cm) 6,37 cm

3

3 3

?

? Al remplazar y calcular

Ahora, la masa se expresa mediante la expresión:masa 5 densidad ? volumenmasa 5 7,80 g/cm3 ? 6,37 cm3 5 49,7 g Al remplazar y calcularLa masa de la esfera es 49,7 g. Este resultado tiene tres cifras significa-tivas.

EJERCICIO El largodeunaplaca rectangulares

3,25cmyelancho1,50cm.Calculaeláreadelaplacateniendoencuentalascifrassignificativas.

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Magnitudes físicas

Para escribir una cantidad utilizando la notación científica, se ubican las cifras significativas con una parte entera (comprendida entre 1 y 9) y otra parte decimal, multiplicada por la correspondiente potencia de 10. Por ejemplo, la masa de un electrón es 9,1 ? 10231 kg, mientras que la masa de la Tierra es 6,0 ? 1024 kg. Por medio de la notación científica se pueden comparar los valores que toma una magnitud física en forma sencilla.

EJEMPLO

EJEMPLO

El planeta Tierra se encuentra ubicado en la galaxia conocida como la Vía Láctea. El Sol se encuentra a 30.000 años luz del centro de la Vía Láctea. Determinar esta distancia en metros.Solución:Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año. La luz recorre 300.000.000 metros en un segundo, es decir, recorre 3,0 ? 108 metros en un segundo. Como un año equivale a 31.536.000 segundos, tenemos que:1 año luz 5 velocidad de la luz ? un año1 año luz 5 (3,0 ? 108 m/s) ? (31.536.000 s) Al remplazar1 año luz 5 9,5 ? 1015 m Al calcularPor tanto, 30.000 años luz equivalen a (3 ? 104 años luz) (9,5 ? 1015 m) 5 2,8 ? 1020 mLa distancia que separa el Sol del centro de la Vía Láctea es 2,8 ? 1020 m, correspondiente al número 280.000.000.000.000.000.000.

El sonido viaja en el aire a una velocidad de 340 m/s, ¿cómo se podría interpretar este resultado?Solución:Si la velocidad del sonido es 340 m/s, podemos interpretar que 1 s después de generarse un sonido, este se ha propagado 340 m a partir del sitio en el cual se produjo. Por lo tanto, la velocidad es una magnitud derivada, puesto que para su definición, se consideran las magnitudes fundamentales longitud y tiempo.

2.4 Cómo interpretar las unidades de medida

En el estudio de las ciencias es importante dar significado a las unidades. La densidad del aluminio es 2,70 g/cm3. Este dato permite concluir que la masa de cada cm3 de aluminio es 2,70 g.En este caso, la unidad g/cm3 se interpreta de la siguiente manera: si la densidad del aluminio es 2,70 g/cm3, se tiene que la masa de cada cm3 de aluminio es 2,70 g.En conclusión, podemos afirmar que la densidad es una magnitud de-rivada, puesto que para su definición, se utilizan las magnitudes masa y volumen, siendo el volumen una magnitud derivada de la longitud.

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2.5 Manejo de erroresAl realizar una medición es imposible evitar cierto grado de incerti-dumbre, pues es probable que en el procedimiento se generen errores experimentales, ya sean humanos, por variaciones del medio o por una calibración incorrecta de los instrumentos utilizados. Al medir se pue-den presentar dos clases de errores que no son atribuidos al experimen-tador: sistemáticos o aleatorios.

Los errores sistemáticos se producen por limitaciones del equipo uti-lizado o por deficiencias en el diseño experimental. Suele suceder que se presente este tipo de errores cuando se repite el experimento exacta-mente de la misma manera.

Por ejemplo, la medida de una determinada intensidad de corriente es 2,5 A; si el fabricante del amperímetro advierte que toda medición tiene un error de 60,05 A, el resultado se debe expresar como 2,5 A 6 0,05 A.

Los errores aleatorios se originan por causas que no se pueden controlar en cada medida. Por ejemplo, si diferentes personas midieran el espesor de un libro con una regla graduada en milímetros, obtendrían diferentes valores, ya que la apreciación de la última cifra significativa podría ser distinta.

Nos referimos a la precisión de una medición cuando al repetirse dicha medición varias veces, existe concordancia entre los valores obtenidos. Cuando en la repetición de la medida la variación entre los valores obte-nidos aumenta, a esta se le atribuye una menor precisión.

Por otra parte, mencionamos la exactitud de una medida al expresar la proximidad de Esta con determinado valor de referencia, relacionando la cercanía del valor medido al valor conocido.

Por ejemplo, cuando se determina experimentalmente la densidad del aluminio, el valor obtenido tendrá mayor exactitud cuanto más se aproxime a 2,70 g/cm3.

A partir de la diferencia entre el valor obtenido en la medición y el valor de referencia, se definen dos tipos de errores: el absoluto y el relativo.

Error absoluto: es el valor absoluto de la diferencia entre el valor obte-nido en una medición y el valor que se toma como referencia.

Error absoluto 5 |Valor obtenido 2 Valor de referencia|

Error relativo: es el cociente entre el error absoluto y el valor que se toma como referencia de la medida.

Error relativo Valor obtenido Valor de refe� � rrenciaValor de referencia

Como hemos dicho, se obtiene una medida más precisa de una magnitud cuando se realizan varias mediciones; sin embargo, es posible que en cada medición se obtenga una diferencia con respecto al valor esperado o valor de referencia. Por esta razón, es conveniente calcular el error en que se incurre en un conjunto de varias mediciones.

La estadística nos permite calcular el valor promedio de los valores obtenidos en una serie de mediciones mediante el cálculo de la media aritmética.

EJERCICIO Aldeterminarlamedidadelamasa

de un objeto se obtiene 308 g, sinembargo, las especificaciones origi-nales indicanque lamasaes300g.Calcula el error absoluto y el errorrelativodelamedición.

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Magnitudes físicas

Si una medida se realiza ocho veces y se obtienen los valores x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7 y x8, el valor promedio se obtiene mediante la expresión:

1 2 3 4 5 6 7 8x x x x x x x x x� � � � � � � �8

Por otra parte, es importante establecer qué tanto se alejan los datos tomados con respecto al promedio. Para ello, se calcula la desviación media, la cual se determina mediante la siguiente expresión

DM x x x x x xn

n�

� � � � � �| | | | … | |1 2

El resultado de la medición se expresa como

x 6 DM

Se acostumbra a determinar el error relativo como

Error relativo 5 DMx

Es usual expresar el error relativo en términos de porcentaje.

EJEMPLO

El diámetro de un disco se mide cinco veces con una regla graduada en milímetros, y se obtienen los si-guientes resultados: 12,2 mm; 12,1 mm; 12,3 mm; 12,0 mm; 12,2 mm.

a. Determinar el valor promedio de los datos.

b. Determinar la desviación media.

c. Expresar el resultado de la medición y el error relativo.

Solución:a. El valor promedio se calcula así:

x x x x x x

x

� � � � �

��

1 2 3 4 5

12,2 12,1 12,3 12,05

12,2

12,25

x � Al remplazar, calcular y aproximar

b. La desviación media se calcula a partir de:

DM x x x x x x x x x�

� � � � � � � � | | | | | | | | |1 2 3 4 55 |

|12,2 12,2| |12,1 12,2| |12,3 12,

�

� � � � � �

x

DM

522| |12,0 12,2| |12,2 12,2|� � � �

5

DM 5 0,1 Al remplazar y calcular

c. La medida del diámetro se expresa como 12,2 6 0,1 y el error relativo es

Error relativo 0,008

El error re

� � �DMx

0 112 2,,

llativo 0,008 se expresa en términos de porcentaaje como 100% 0,8%0 112 2,, ? �

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3. Funciones y gráficas3.1 Sistemas coordenadosEn la mayoría de estudios es necesario efectuar medidas relacionadas con los factores que intervienen en un fenómeno. Los datos que se obtienen de las mediciones, en lo posible, se presentan por medio de representaciones gráficas que pueden ser en una dimensión, en dos dimensiones o en tres dimensiones.n En una dimensión se representan los valores de una variable sobre la recta

de los números reales. Por ejemplo, la posición de un objeto que se mueve en línea recta se puede representar sobre una recta, como se muestra en la siguiente figura:

n En dos dimensiones se utiliza el plano cartesiano (figura 11), en el que a cada punto le corresponde una pareja ordenada. Este tipo de representa-ción es muy útil para analizar los datos obtenidos en un experimento o para relacionar variables.

n En tres dimensiones se representan puntos en el espacio, lo cual se realiza por medio de un sistema de tres ejes coordenados, perpendiculares entre sí, llamados eje x, eje y y eje z. En este caso, a cada punto del espacio le corresponde una terna (x, y, z), como se muestra en la figura 12. Este tipo de representación es útil, por ejemplo, para describir el movi-miento de un objeto que se mueve en el espacio; se utilizan los tres ejes coordenados.

1

2

1 2 3 x

y

�1�1

�2�3

�4�5�6

�2

(3,2)

z

y

xx0

0

0

y

z

0 (x ,y ,z )00

Figura 11. En el plano cartesiano a cada punto le corresponde un par ordenado.

Figura 12. En la representación gráfica de tres dimensiones se representan puntos en el espacio.

3.2 Las variables en un experimentoEn un experimento influyen muchos factores. A estos factores se les conoce con el nombre de variables. Una vez identificadas las variables que intervienen en el transcurso de un experimento, se clasifican en variables que se mantie-nen constantes mientras que otras toman diferentes valores. A una variable cuyos valores dependen de los valores que toma la otra variable se le llama variable dependiente y a la otra variable se le llama variable independiente.

EJEMPLO

Representar gráficamente en el espacio el punto (4, 3, 5).

Solución:Para representar el punto (4, 3, 5) se ubica sobre el eje x el punto cuya coordenada es 4, y sobre el eje y el punto cuya coordenada es 3. Se trazan segmentos paralelos a los ejes x y y. Luego, se traza un seg-mento paralelo al eje z de longitud 5 unidades.

z

y

x

4

5

3

(4,3,5)

�5 �4 �3 �2 �1 0 1 2 3 4 5

Procesos físicos

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Funciones y gráficas

Figura 13. Es posible encontrar la relación matemática entre la masa del objeto que se cuelga y el alargamiento producido en el resorte.

Para ilustrar la manera como se realiza un tratamiento de datos, consi-deremos el estudio del alargamiento de un resorte cuando se suspenden pesas en su extremo (figura 13). En este caso, la longitud de alargamiento del resorte (A), es la variable dependiente, la masa (m) del objeto que colgamos es la variable independiente y la elasticidad del resorte es una variable controlada que mantenemos constante, ya que se trata del mismo resorte.En un experimento se puede tener más de una variable cuyo cambio afecta la variable dependiente. Por ejemplo, para estudiar el comporta-miento del volumen de un gas, se tiene que este depende de la presión a la cual se somete y de la temperatura a la cual se encuentra. Una variación en la presión produce una variación en el volumen; así mismo, una varia-ción en la temperatura produce una variación en el volumen.Dadas las múltiples situaciones de la vida cotidiana en las cuales inter-vienen relaciones entre dos variables, resulta útil recurrir al concepto de función definido en matemáticas. Por ejemplo, para el caso del resorte, la variable alargamiento está representada en función de la variable masa, pues a cada valor de la masa que se cuelga, le corresponde un único valor del alargamiento.Como sabemos, hay varias formas de representar funciones y es posible establecer relaciones entre las distintas formas de representación.

3.3 La construcción de gráficasTanto las funciones como las relaciones entre dos variables se pueden re-presentar a partir de tablas de datos. Una tabla es un arreglo, de dos filas o dos columnas, en el cual se escriben todos o algunos valores de la variable independiente y los respectivos valores de la variable dependiente. En la siguiente tabla se presentan los valores de la masa del cuerpo colgada del resorte y su respectivo alargamiento.

La representación gráfica de una función se construye en el plano car-tesiano. Sobre el eje x se ubica el rango entre el cual están los valores dados a la variable que se considera independiente. Sobre el eje y se ubica el rango entre el cual están los valores que corresponden a la variable dependiente.La representación gráfica de una función se obtiene al constituir en el plano cartesiano un número suficiente de parejas ordenadas. A conti-nuación, presentamos la gráfica.

El alargamiento A del resorte de-pende de la masa m del cuerpo que se cuelga.

Es importante anotar que, a partir de la gráfica, se puede analizar el com-portamiento de la función.

Masa del cuerpo colgado (g) 10 15 20 25 30 35

Alargamiento (cm) 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0

7

A(cm)

m(g)10 15 20 25 30

53

35Unafunciónf esunareglaqueasignaacadaelementoxdeunconjuntoX,unúnicoele-mentoydeunconjuntoY.


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3.3.1 Proporcionalidad directa

Si dos magnitudes, x y y, son directamente proporcionales, se cumple que:

n El cociente entre ellas siempre es constante, es decir yx k,5 donde

k se denomina constante de proporcionalidad.n Sus valores se relacionan mediante la expresión y 5 k ? x.En la gráfica presentada en la página anterior podemos observar que cuanto mayor es la masa (m) del objeto que colgamos del resorte, mayor es su alargamiento (A). Además, al duplicar la masa, el alargamiento se duplica, al triplicar la masa, el alargamiento se triplica, y así sucesi-vamente. De esta manera, al dividir el alargamiento entre el respectivo valor de la masa siempre se obtiene el mismo valor.

EJEMPLO

Un tren avanza 40 km hacia el norte cada vez que transcurre una hora.a. Elaborar una tabla de valores para la distancia recorrida en los tiempos 1, 2, 3, 4 y

5 horas.b. Determinar la razón entre cada distancia y su respectivo tiempo. ¿Las variables dis-

tancia y tiempo son directamente proporcionales?c. Realizar la gráfica que representa los valores de las variables.Solución:a. El tiempo y la distancia que recorre se representan en la siguiente tabla.

b. La razón entre cada valor de la distancia y su respectivo valor del tiempo se obtiene así:40 40, 40, 40, 40 y 401

802

1203

1604

20055 5 5 5 5

Las magnitudes distancia recorrida y tiempo son directamente proporciona-les, porque la razón entre sus respecti-vos valores es constante e igual a 40. Es decir, la constante de proporcionalidad es 40 km/h.

c. En la figura se puede observar la repre-sentación gráfica de la función que rela-ciona las variables distancia y tiempo.

Al representar, en el plano cartesiano, dos magnitudes directamente proporcionales se obtiene una recta que pasa por el origen. El valor de la pendiente de esta recta corresponde a la constante de proporcionalidad.

Tiempo (horas) 1 2 3 4 5

Distancia (kilómetros) 40 80 120 160 200

Dos magnitudes son directamente proporcionales si la razón entre cada valor de una de ellas y el respectivo valor de la otra es igual a una constante. A la constante se le llama constante de proporcionalidad.

0

40

80

120

160

200

Distancia (km)

Tiempo(h)

1 2 3 4 5

Definición

La pendiente de la recta que pasa por lospuntos(x1,y1)y(x2,y2)enelplanocartesianosedefinecomo

Pendiente 2 1

2 1�

��

y yx x


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En el ejemplo del tren de la página anterior, los valores de la distancia recorrida y el tiempo se pueden relacionar mediante la expresión d 5 40 t. Observemos que la pendiente de la recta es

Pendiente 200 05 0 40 m/h� �

��m m

h h

3.3.2 Proporcionalidad inversa

Funciones y gráficas

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando el producto de cada valor de una magnitud por el respectivo valor de la otra es igual a una constante, llamada constante de proporcionalidad inversa.

Definición

Por ejemplo, el tiempo, t, y la velocidad, v, empleados en recorrer de-terminada distancia son magnitudes inversamente proporcionales. A medida que la velocidad aumenta, el tiempo que emplea en el recorrido disminuye, de tal manera que si la velocidad se duplica, el tiempo se re-duce a la mitad; si la velocidad se triplica, el tiempo se reduce a la tercera parte, y así sucesivamente.Si dos magnitudes, x y y, son inversamente proporcionales se cumple que:n El producto entre ellas es constante, es decir x ? y 5 k, donde k es la

constante de proporcionalidad inversa.n Sus valores se relacionan mediante la expresión y k

x5

EJEMPLO

Se desea cortar placas rectangulares cuya área sea igual a 36 cm2. a. Elaborar la tabla que muestra los posibles valores para el largo y el ancho de las placas.b. Determinar la relación entre el largo, l, y el ancho, a, de los rectángulos.c. Determinar la expresión matemática que relaciona el largo y el ancho de las placas.d. Realizar la gráfica que representa los valores del largo y el ancho.

Solución:a. Una tabla de valores podría ser la siguiente:

b. Observamos que, cuando el largo del rectángulo au-menta, el ancho disminuye. Además, es posible ob-servar que al duplicar el largo, el ancho disminuye a la mitad; al triplicar el largo, el ancho disminuye a la tercera parte, etc. Así, entre el largo y el ancho de las placas de área 36 cm2, podemos establecer una relación de proporcionalidad inversa.

c. El producto del largo, l, por el ancho, a, siempre toma el mismo valor, 36. Por tanto, l ? a 5 36.

d. Al representar los datos en el plano cartesiano obtene-mos la gráfica que se muestra a continuación.

Largo (cm) 3,0 4,0 5,0 6,0 7,2 9,0 12,0

Ancho (cm) 12,0 9,0 7,2 6,0 5,0 4,0 3,0

0

1

34567

9

12

Largo (cm)

Ancho(cm)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

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3.3.3 Otras relaciones entre variablesRelación gráfica de una línea rectaAlgunas variables se relacionan de tal manera que la representación gráfica es una línea recta que no necesariamente pasa por el origen de coordenadas. En este caso, puede suceder que, cuando una variable au-menta, la otra también aumenta y, sin embargo, las variables no son di-rectamente proporcionales. En la siguiente tabla se presentan los valores de la velocidad de un objeto para diferentes valores del tiempo.

Tiempo (s) 0 1 2 3 4 5

Velocidad (m/s) 10 14 18 22 26 30

La representación gráfica de los valores en el plano cartesiano es una recta que no pasa por el origen, como se muestra a continuación.

Podemos determinar la ecuación de la recta mediante el cálculo de la pendiente y el valor en el que la gráfica corta al eje vertical (eje que re-presenta la velocidad).

Pendiente � ��

�30 m 10 m5 s 0 4 m/s

Por lo tanto, la ecuación de la recta que relaciona las variables v y t es:v 5 4 t 1 10

Relación cuadráticaAlgunas magnitudes se relacionan mediante una relación cuadrática, como es el caso de un objeto que se mueve en línea recta y la distancia recorrida es proporcional al cuadrado del tiempo. En la siguiente tabla se muestran los datos de la distancia y el tiempo para el movimiento de un objeto bajo esta condición.

Tiempo (s) 0 1 2 3 4 5 6

Distancia (m) 0 2 8 18 32 50 72

La representación gráfica de los valores de la variable se representa en la figura 14. Aunque la distancia aumenta cuando el tiempo aumenta, en este caso las variables no son directamente proporcionales y la gráfica no es una línea recta que pasa por el origen.

18

22

2630

1410

5

0 1 2 3 4 5 Tiempo(s)

Velocidad (m/s)

La ecuación de la recta en el plano x2 y,cuyapendienteesm ycortaalejeverticaleny 5besy5mx1b


72

60

50

4032

18

820 1 2 3 4 5 6 t

Tiempo (s)

Distancia (m)

Figura 14. La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola.

Procesos físicos

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10 Diseñaunmétodoquetepermitamedireldiá-metrodeunalambre,utilizandounareglagra-duadayunlápiz.

11 ¿Cómomediríaselvolumendeunafigurairre-gular?Aplicandoestemétododeterminaelvo-lumendeunapiedra.

7 EnlaexpresiónT Lg� �2 paraqueelpe-

ríodo,T,sedupliqueesnecesarioque:

a. Lsereduzcaalamitad.

b. Lseduplique.

c. Lsecuadruplique.

d. Lsereduzcaalacuartaparte.

8 Se desea reducir el error en la medición deltiempoquetardaunpénduloensumovimientoen ir desde un lado de su trayectoria hasta elotro. Para esto se proponen dos procedimien-tos;medirdirectamenteeltiempoquetardaenhacerelrecorridoomedireltiempoenelqueva10vecesdeunladohastaelotroyluegodividirelvalorobtenidopor10.¿Cuálprocedimientoescogeríasyporqué?

9 Lasgráficasrepresentanlatemperaturadedossustanciasquesehansometidoaunafuentedecaloryluegosehanretiradodeellaenfuncióndeltiempo.Lastemperaturasinicialesson70°Cy50°C,respectivamente.

1 Ordenademenoramayorlassiguientesmedi-dasdemasa:

• masadeunelectrón9,11?10231kg

• masadeunprotón1,673?10227kg

• masadeundeuterón3,343?10227kg

2 Enlafresadeundentistaapareceunainscrip-ción que dice: 7.200 r.p.m.; ¿Qué significa lainscripción?

3 Unmedicamentoensuposologíaindica:“Dosisniños8mL/kgaldía,adultos12mL/kgaldía”.

a. ¿Cuántos cm3 debe tomar al día un bebé quetiene6kg?

b. ¿Cuántos cm3 debe tomar al día una personade45kg?

4 ¿CuálesladensidaddelaTierrasisudiámetropromedio mide 12.634 km y su masa corres-pondea5,98?1024kg?

5 Lasiguientetablamuestraladistanciarecorridapor un cuerpo en determinados instantes detiempo.

a. Construyeenelplanocartesianolagráficadeposición-tiempo.

b. Calculalapendientedelarectaeinterpretaloquerepresentaenelmovimiento.

c. Determina laexpresiónmatemáticaquerela-cionalasvariablesdistanciaytiempo.

6 La tabla muestra el comportamiento del volu-mendeungasamedidaquelapresiónsobreélvaría,cuandolatemperaturaesconstante.

x Volumen (cm3) 1 5 10 20 25

y Presión (Pa) 20 4 2 1 0,8

a. Construyeenunahojadepapelmilimetrado,lagráficadepresiónP,enfuncióndelvolumenV.

b. ¿Qué tipo de proporcionalidad relaciona lasvariables?

c. Deacuerdoconlagráfica,¿quépresiónsedebeejerceralgasparaquesuvolumensea15cm3?

t Tiempo(s) 0 4 8 12 16

y Distancia (m) 0 60 120 180 240

a. ¿Cómovaríalatemperaturacuandotranscurretiempo?

b. ¿Enquéinstantelasdostemperaturassonigua-les?

55

15253545556575

10 15 20 25 30 35 40 45

Tem

pera

tura

°C

Tiempo (min)

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10 Utilizandoelmétodocientífico,planteadequémaneraserelacionaelmovimientodelaTierraalrededordelSol.

11 Larapidezdelsonidodependedelmedioatra-vésdelcualsepropaga.¿Cómodeterminaríaselmedioenelcualsepropagaelsonidoconmayorrapidezentreelaire,elaguayelhierro?

12 WilliamHerscheldescubrió,en1781,elséptimoplaneta,Urano.Auncuandohabíaobservadosumovimientoporelcieloysuforma,aseguróqueeraunnuevocometa.

Otros científicos anteriormente pensaron queeraunaestrellafija.

a. ¿QuécreesquepermitióaHerschelllegaraestaconclusión?

b. ¿DequémanerallegóHerschelaestaconclu-sión?

13 Con respecto a la tesis “Nuestro universo estácontenido en otro universo cuya existencia nosehapodidodetectar”,planteaunahipótesis,ydescribelospasosquedesarrollaríasparareali-zarlainvestigación.

6 Enunestudiocientíficosobrelaextincióndelosdinosaurios la frase “Los dinosaurios desapa-recieron por una lluvia de meteoritos” corres-pondea:

a.Unanálisis c.Unaobservación.

b.Unahipótesis. d.Unacomprobación experimental.

Tema 1. Cómo se construye la ciencia

7 Se desea hacer un estudio científico sobre loscambiosqueexperimentaunresortealvariarlamasaquependedeél.Describecomorealizaríaselestudio.

8 Seleccionaunfenómenocuyoestudiorequieradeobservacióntantocualitativacomocuantita-tiva.

9 Describe cómo realizarías el estudio. Elige laopción correcta, el planteamiento hecho porCopérnicodequeelSoleselcentrodelsistemasolares:

a. Unaley

b. Unateoría

c. Unahipótesis.

d. Unaobservación

Explicaturespuesta.

1 ¿Cuáleslaimportanciadelamatemáticaparaabordarsituacionespropiasdelafísica?

2 EscribeV,sielenunciadoesverdaderooF,siesfalso.

Lafísicautilizalossentidos,losinstrumentosdemediciónylaobservaciónensuprocesodebúsquedadelporquéyelcómosucedenlosfenómenosnaturales.

Los pasos del trabajo científico se debendesarrollarenelordenenelqueestánplan-teados para poder obtener los resultadosesperados.

La curiosidad y el deseo de saber más, delhombre,constituyenelprincipalinsumodeltrabajocientífico.

El trabajocientíficodemayoraportesocialesaquelquerealizademaneraindividual,elcientíficoensulaboratorio.

3 ¿Qué significa la frase “la ciencia es acumula-tiva”?Explicaatravésdeunejemplo.

4 En la clase de ciencias Juan realizó un experi-mentoenelcualpusounaarvejasobrealgodóndentrodeun frascoconagua.Durante lasdossiguientessemanasobservóydescribiócómofuecambiandolaarveja,yplanteósusconclusionesconrespectoaloobservado.Luegoalpresentarsutrabajoenlaclaseunodesuscompañerosledijoquesutrabajonoeraunestudiocientífico,puesnoteníamediciónalgunaquelorespaldara.¿TienerazónelcompañerodeJuan?¿Porqué?

5 ¿Quéesmásgeneral,unateoríaounaley?¿Porqué?

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8 Explicalaformaenquecalcularíaselnúmerodeletrasquetieneunahojadeestelibro.

9 ¿Quécaracterísticasconsiderasquedebetenerunpatróndemedida?

10 Enlaclasedegeometríaelprofesorentregaporgrupoasusestudiantesuncírculodecartulina,hiloyunaregla.¿Cómopuedenellosconestoselementosdeterminarelradio,eldiámetroyelperímetrodelacircunferencia?

11 Galileo Galilei, utilizó el conteo de sus pul-saciones para medir el tiempo en uno de susexperimentos. ¿Consideras que ese método esconfiable?¿Porqué?

12 Setienentrescuerposde45kg;3,5slugy385g,respectivamente.¿Cuáldelostrestienemayormasa?¿Quédiferenciaenkghayentrelasmasasdelostres?

13 Enclasedebiología,atravésdeunmicroscopio,un estudiante observa una pequeña partículadealuminioenformadecubocuyaaristamide0,000000000025cm.

a. Expresa la longitud de la arista en notacióncientífica.

b. ¿Cuáleselvolumendelapartículaenm3?

c. ¿Quédensidadtienelapartícula?

14 Expresa en notación científica las siguienteslongitudes:

a. RadiopromediodelaLuna1.740.000m

b. RadiopromediodelSol696.000.000m

c. DistanciaTierra–Luna384.000.000m

d. DistanciaTierra–Sol149.600.000.000m

15 ¿QuémasaenslugtienelaTierra,sitiene5,97?1024kg?

16 UndiscoenformatoDVDtieneunacapacidaddealmacenamientode4Gb(gigabits).¿Cuántosbitsde informaciónsepuedenalmacenaren5DVD?

1 ¿Quédiferenciaexisteentremagnitudypatróndemedida?Explicaatravésdeunejemplo.

2 LaunidaddetemperaturadelSistemaInterna-cionales:a.K b.°R c.°C d.°F

3 ElradiopromediodelaTierraesde6.374km,estevalornoesiguala:a.6,374?106m c.6,374?103mb.6,374?108cm d.63,74?105dm

4 Juan levanta en hombros a su compañera Pa-tricia y afirma: “estás pesando 48 kg”. ¿Puedeestaafirmaciónsercierta?¿Porqué?


El volumen es una magnitud fundamentalqueseexpresaencm3.

Lacantidaddesustanciaesunadelasmag-nitudesbásicas.

Unmetroesladistanciaquerecorrelaluzenelvacíoenunsegundo.

Elpieesunaunidaddelongitudquepermiteexpresarlalongituddeuncuerpo,enelsis-temaCGS.

Losprefijosnospermitenexpresarmúltiplososubmúltiplosdeunaunidad.

Lavelocidadesunamagnitudfundamental.6 Completalatablaenlaunidadindicadaconel

valoroconelprefijocorrespondiente.

Tema 2. Magnitudes físicas

Magnitud Valor Prefijo

Corriente A 75 mA

Carga 0,000005 C

Longitud 3.500.000 m

Capacitancia f 15 pf

Masa 8.250.000.000 kg

7 ¿Cuáldelossiguientesconceptosnoesunamag-nitudfísicayporqué?

a.Fuerza c.Carga

b.Intensidaddeldolor d.Energía

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27 Sevaapintarunaparedde4,5mdelargopor3,4mdealto;ysequierequelacapadepinturaseade3mmdeespesor.Sicadagalóndepinturacuesta$85.000¿cuántocuestalapinturanecesa-riaparaterminarlapared?

28 Secompraron210baldosasde1,15piesdeladoparaembaldosarunpatio.Sisobraron3,25bal-dosas,¿cuáleseláreadelpatioenm2?

29 SiladensidaddelaTierraesde5,5?103kg/m3ysumasaes5,97?1024kg:

a. ¿Cuálessuvolumen?

b. ¿CuáleselradiopromediodelaTierraenkm?

30 ¿Quémasatieneelairecontenidoenuncuartoenformadecubode4mdelado,siladensidaddelaireesde1,29?1023g/cm3?

31 Sedesearealizarunrecubrimientoenoroaunaesferadecobrede10cmdediámetro.Sielmetrocuadrado de recubrimiento tiene un costo de$1.200.000,¿cuántocuestarecubrirlaesfera?

32 En1987loscientíficosanunciaronlamuertedelasupernovamásbrillantedelsiglo.Estaestrellatenía originalmente una masa 20 veces mayorqueladelSol.

SilamasadelSoles330.000veceslamasaterrestreylamasaterrestreesde6.000millonesdemillonesdemillonesdetoneladas,¿cuáleralamasadelasupernova?

17 Una señal de tránsito avisa que la velocidadmáxima por una carretera es de 55 millas/h.¿Cuál es el valor de esta velocidad máxima enkm/h?

18 Unterrenodeformatriangulartiene250piesdebasepor180piesdealtura.¿Cuáleslamagnituddesuáreaenm2?

19 Unagaseosaenlatacontiene355cm3delíquido.¿Cuáleselvolumendelrecipienteexpresadoenpul3?

20 ElperíododerotacióndeMartealrededordelSolesde5,94?107s.¿CuántosañostardaMarteendarlavueltaalrededordelSol?

21 Untransbordadorespacialalcanzavelocidadeshastade1,1?104km/h.

a. ¿Cuántosmetrosrecorreenunahora?

b. ¿Cuántosmetrosrecorreenunsegundo?

22 Enunhospital,aunpacientede110lbdepesoseleestánsuministrandodiariamente4.500mgdeinsulina.¿Cuántosmgdeinsulinaporkilo-gramodepesoseleestánsuministrando?

23 Parahacerunosodeicoporseutilizandosbolasde4cmy7cmderadiocadauna,¿cuántosme-troscuadradosdepañolincedebencomprarseparaforrarlasdosesferas?

24 Unaunidadastronómicauaequivalealadistan-ciaentre laTierrayelSol,queesaproximada-mente1,46?108km.¿CuántasuatieneelradiodelagalaxiaAndrómedaqueesde1,056?1021m?

25 Enlaprácticadelaboratoriodeinstrumentosdemedición,elprofesorsolicitaacadaintegrantede los diferentes grupos, medir la longitud deunapuntilla,utilizandoelcalibrador.Losresul-tadosobtenidosporungruposonlossiguientes:1,27cm;1,265cm;1,275cm;1,27cmy1,275cm,determina:

a. Longitudpromediodelapuntilla.

b. Elerrorabsolutodelamedición.

c. Elresultadodelamedicióndelapuntillayelerrorrelativo.


26 Alrealizarlamedicióndelamasadelosestu-diantes de un grado, el error relativo fue del0,5%yladesviaciónmediade0,24.

a. ¿Cuáleslamasapromediodelosestudiantes?

b. ¿Cuálesresultadodelamedición?

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5 Enlaexpresióna5F/m,siFesconstanteyseduplicaelvalordem,entoncesa:

a. Semantieneconstante.

b. Sereducealamitad.

c. Seduplica.

d. Secuadruplica.

Explicaturespuesta.

6 El área de la superficie de un paralelepípedoregulareslasumadelasáreasdelasseiscaras.Siseduplicacadaunadesusdimensiones,¿enquéfactoresmayoreláreaconrespectoaláreainicial?

7 Para cada una de las siguientes gráficas deter-minaeltipoderelaciónexistenteentrelasdosvariables.

a. c.

b. d.

1 ¿Cómoseclasificanlosfactoresqueintervienenenlaocurrenciadeunfenómenofísico?


Lasvariablesseclasificanendependienteseindependientes.

Dos variables son directamente proporcio-nalescuandoelcocienteentrelasdosesunvalorconstante.

Cuandounamagnitudcrecemientrasquelaotradecrecesedicequelasdosmagnitudessoninversamenteproporcionales.

Cuando la gráfica que muestra el compor-tamientodedosvariablesesunalínearectaascendente,supendienterepresentalacons-tantedeproporcionalidadentrelasdosvaria-bles.

3 Parauncuerpoquesemueveenlínearecta,laposiciónqueocupaeneltiempoestádadaporlaecuaciónx52,5t;paraestecuerpoescorrectoafirmarque:

a. Cadasegundosuvelocidadesmayor.

b. Semueveconvelocidadconstantede2,5m/s.

c. Encadasegundodetiempoquepasa,recorremenordistancia.

d. Sieltiemposeduplicaelvalordexsecuadru-plica.

4 Lasiguientegráficamuestra loscambiosen lavelocidadqueexperimentandiferentesmasasalaplicárseleslamismafuerza.

Tema 3 Funciones y gráficas

a. ¿Quérelaciónhayentrelasvariables?¿Explica?

b. Silarelaciónesdeproporcionalidad,¿cuáleselvalordelaconstantedeproporcionalidad?

c. ¿Cuálserálavelocidadparaunamasade50kg?

d. ¿Qué masa debe tener el cuerpo para que lavariaciónensuvelocidadsea0,5m/s?

10 20 30 40 50 60 70 80 Masa (kg)

v (m/s)

1

2

3

4

5

6

V

T

V

T

V

T

V

P

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12 Cuando se sospecha de una insuficiencia car-diacaenunapersona,losmédicosrealizanunaprueba de esfuerzo; esta sirve para evaluar elfuncionamientodelcorazóncuandoestásome-tidoaunesfuerzofísico,comoelejercicio.Unpacientepedaleaenunabicicletaestáticaymidesuritmocardiaco.Losresultadossemuestranenlagráfica.

Responde las siguientes preguntas y justifica turespuesta.a. ¿Elpacientenorealizaactividadcardíacaenlos

primeros5segundos?b. Cuandocomienzalaactividadfísica,¿elritmo

cardíacodelcorazónesdirectaoinversamenteproporcionalaltiempo?

c. ¿Existeunmomentodelapruebaenelqueelpacienteestabilizasuritmocardíaco?

8 Semidenlosdiámetros(cm)yperímetros(cm)de varias circunferencias y se obtienen los si-guientesresultados:

c. ¿Paracuáldelosdosresortesaumentamáslalongitudalcolgarlamasa?

11 Aunpacientede55kgseleestáaplicandocadahora,deacuerdoconsupeso,unadeterminadacantidaddediclofenacoenmg,latablamuestralacantidaddemgsuministradosalcabodecadaintervalodetiempo:

Construyelagráficayresponde:a. ¿Cuál de las dos variables sería la indepen-

dienteycuálladependiente?b. ¿Quérelaciónhayentreelperímetrodelacir-

cunferenciaysudiámetro?c. ¿Cuáleslaecuaciónquerelacionalasdosva-

riables?d. ¿Encasodeproporcionalidadentreeldiámetro

yelperímetrocuáleslaconstantedepropor-cionalidad?

9 Paralossiguientescasosdeterminalavariabledependientey lavariableindependiente.Yex-plicacuálessondirectamenteproporcionalesycuálesinversamenteproporcionales.a. La masa de varias esferas a medida que su

volumenaumenta,siendotodasdeunmismomaterial.

b. Lapresiónqueejerceunfluidosobreuncuerpoamedidaquedesciendeatravésdeél.

c. Lamedicióndelapresiónqueexperimentaunaláminaamedidaquesedisminuyeeláreaenlaqueseaplicadichapresión.

10 Enunaprácticadelaboratoriosepidealoses-tudiantes trabajar con dos resortes, midiendola longitud al sujetar, de cada uno, diferentesmasas.Losresultadosobtenidossonlossiguien-tes:

Diámetro 4 8 10 12 16

Perímetro 12,6 25,1 31,4 37,7 50,2

Resorte 1

Longitud 12 24 36 48 60

Masa (kg) 0 2 4 6 8

Resorte 2

Longitud 20 30 40 50 60

Masa (kg) 0 2 4 6 8

a. Construyelagráficadelongitud(x)enfuncióndelamasa(m)enunmismoplanocartesiano.

b. Hallalaecuaciónquerelacionalalongitudconlamasaparalosdosresortes.

a. Construyelagráficadelacantidaddemedica-mentoenmgenfuncióndeltiempoenh.

b. ¿Cuántos mg de diclofenaco se le aplican alpacienteporkgdepeso?

c. Siseleaplicaelmedicamentodurante24horas,¿cuántomedicamentoleseráinyectado?

d. ¿Cuántashorasdebentranscurrirparaquelacantidad del medicamento suministrado sea86g?

Medicamento 137,5 275,0 412,5 550,0 687,5

Tiempo (h) 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h

0 5 10 15 20 25 30

10

20

30

40

5060

70

Tiempo (s)

Ritm

o ca

rdía

co

Pulsaciones

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4. Determina el promedio de la distancia, es decir, el valor más probable, mediante la expresión.

x x x x x x x x x �

� � � � � � �1 2 3 4 5 6 7 8

8

5. Para cada uno de los datos, xi, podemos determi-nar el error absoluto mediante la expresión

e x xi i � �

Registra en la tabla el error absoluto para cada medición.

6. Para hallar el error absoluto promedio, ea, de-termina el promedio de los errores mediante la expresión

e e e e e e e e ea

�� 1 2 3 4 5 6 7 8

8

Expresa el resultado de las medidas de la si-guiente forma:

x ea �

7. Calcula el error relativo, er, expresado en porcen-taje, mediante la expresión

e exra

%� � 100

1. ¿Qué signi� ca el promedio de los datos en este caso?

2. ¿Qué signi� cado tendría que el error absoluto promedio de los datos fuera igual a cero?

3. ¿Qué signi� cado tendría que el error absoluto tuviera un valor cercano al 100%?

4. ¿De qué depende que se obtengan errores dife-rentes de cero en este experimento?

5. Interpreta el signi� cado del resultado absoluto de las medidas expresados como x ea � .


1. Pide a un compañero que sostenga la regla por el extremo superior, entre sus dedos índice y pulgar. Coloca tus dedos de la misma manera, justo a la altura del borde inferior de la regla pero sin tocarla.

2. Cuando tu compañero diga ¡ya! y deje caer la regla, debes juntar tus dedos para asegurarla entre ellos. Acuerda un criterio para medir la distancia x, expresada en centímetros, que baja la regla hasta que la detengas.

3. Realiza la experiencia ocho veces y registra la distancia x que baja la regla, en una tabla como la siguiente.

ProcedimientoMateriales� Una regla de

50 cm de largo

Una técnica empleada en el trabajo experimental consiste en realizar varias veces una medición deter-minada. Una vez se han realizado las diferentes mediciones, es necesario determinar un único valor para la magnitud que se está cuantifi cando. Para tal fi n, mediante el cálculo del promedio, la estadística nos permite saber cuál es el valor más probable. Como, por múltiples razones, puede suceder que al repetir una medición no se obtengan valores iguales, es importante establecer una medida que nos indique qué tanto se alejan del promedio los datos tomados.En esta práctica vamos a desarrollar un procedimiento para manipular, interpretar y analizar datos ex-perimentales, centrándonos en el cálculo del error debido a imprecisiones experimentales.

Conocimientos previosPromedio, porcentajes y análisis de datos.

Cálculo de errores experimentales

No. del ensayo x Error absoluto e.

1

2

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1. Identi� ca la variable dependiente y la variable independiente del experimento.2. Explica la relación que existe entre las variables identi� cadas.3. Realiza las grá� cas correspondientes al comportamiento de cada botella en papel milimetrado.4. Si en algún caso existe relación de proporcionalidad, encuentra el valor de la constante.

1. Realiza un único ori� cio de diferente diámetro en la base de cada botella.

2. Mide el diámetro (d) del ori� -cio de cada botella.

3. Toma una de las botellas, tapa el agujero y llénala con agua hasta que su nivel alcance una altura h � 20 cm.

4. Destapa el agujero y mide el tiempo (t) empleado por el agua en salir de la botella.

5. Realiza los procedimientos 3 y 4 para niveles de agua, h � 15 cm, h � 10 cm y h � 5 cm.

6. Realiza los procedimientos 3, 4 y 5 con las otras tres botellas.

7. Registra los diámetros y tiempos ob-tenidos para cada recipiente en la si-guiente tabla:


ProcedimientoMateriales� 4 botellas plásticas de

600 mL cada una.� 4 puntillas de diferentes

diámetros.� Una cubeta.� Agua.� Un cronómetro.� Una regla.

Cuando se realizan experimentos de diferente tipo, se estudian variables que se relacionan entre sí. Estas relaciones pueden dar como resultado expresiones que permiten describir de manera clara el fenómeno físico estudiado. Algunas herramientas útiles en la descripción de los fenómenos es la toma de datos y la organización de los mismos en tablas y gráfi cas.

Conocimientos previosMagnitudes proporcionales, variables dependientes e independientes, relación y función.

Análisis de un experimento

Tabla de registro

dh

20 15 10 5

Botella 1

Botella 2

Botella 3

Botella 4

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CIENCIA TECNOLOGÍA

La nanotecnología, una verdadera revolución tecnológica, es el estudio, diseño, creación, aparatos y sistemas funcionales a la escala de átomos y moléculas. Al ser manipulados a escalas muy pequeñas los resultados son sorprendentes.

Richard Feynman, Nobel de Física, es considerado el padre de la nanotecnología. En 1959 propuso fabricar productos con base en un reordenamiento de átomos y moléculas. En este mismo año, escri-bió un artículo sobre los computadores cuánticos los cuales podían trabajar con átomos individuales consumiendo poca energía y logrando velocidades impresionantes.En una conferencia en Caltech, Instituto de Tecno-logía de California, comenta:“Muchas cosas nuevas podrán suceder porque las partículas se comportan en forma distinta a lo que ocurre a mayor escala”. “Si nos reducimos y comen-zamos a juguetear con átomos allá abajo estaremos sometidos a unas leyes diferentes y podremos hacer cosas diferentes”.

ÁtomoADNProteínasVirusCélulas

NanotubosTransistor (1970)

NANOMICRO100nm 10nm 1nm 1Á

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Estructura tubular de carbono extremadamente pequeña. Presenta propiedades interesantes como conductor eléc-trico y es una fibra resistente. En la actualidad es usado para almacenar hidrógeno, en la construcción de paneles solares más eficientes, en la fabricación de transistores y en la creación de células nerviosas funcionando como protector de las mismas.

Los dendrímeros son moléculas artificiales que se pueden diseñar a escalas nanométri-cas y son utilizadas en medicina para incluir medicamentos contra el cáncer y otras enfer-medades, a las células directamente afectadas.

En la industria electrónica la nanotecnología es utilizada para crear los componentes básicos de un chip a escalas muy pequeñas.

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2UNIDAD Temas de la unidad1. El movimiento rectilíneo2. Caída libre

El movimiento en una dirección

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ENTORNO VIVO

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Para pensar…

El movimiento de los cuerpos es un fenómeno del que sabemos muchas cosas, ya que desde nuestra infancia, observamos que los cuerpos se mueven a nuestro alrededor, al mismo tiempo que nosotros también nos movemos.

A partir de las investigaciones realizadas por Galileo y Newton en el siglo XVII se ha visto la importancia del estudio del movimiento. A partir de allí se generó una nueva concepción del universo, por la cual el movimiento de los cuerpos terrestres y celestes se rige por las mismas leyes. Esta es una de las razones por las cuales es posible que a veces tengamos dudas acerca de qué cuerpos son los que realmente se mueven y qué cuerpos permanecen en reposo.

Al hablar de movimiento es muy común escuchar expresiones como: excedió el límite de velocidad, podría ir más rápido o desde dónde viene. Estas y otras ex-presiones hacen referencia a conceptos propios de la física que, aunque son de uso cotidiano, tienen inmersos aspectos matemáticos importantes de analizar.

En esta unidad estudiaremos el movimiento de los cuerpos en línea recta, consi-deraremos el caso particular de los cuerpos cuando caen o cuando son lanzados hacia arriba, y aplicaremos ecuaciones para describirlos.

Para responder…

n ¿ConrespectoaquéobjetossemuevelaTierra?

n ¿Quéexperimentorealizaríasparaprobarsiunobjetopesadollegaprimeroalsuelosisesueltaaltiempodesdelamismaalturaconunobjetomásliviano?

n ¿Cómocreesquesedeterminalarapidezconlacualsedesplazaunanimalenunrecorridoenlínearecta?

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Figura 1. Los sistemas físicos describen diversos movimientos.

1. El movimiento rectilíneo1.1 El movimientoDesde la Antigüedad, el ser humano ha estudiado los fenómenos rela-cionados con el movimiento. La cinemática es la parte de la física que estudia el movimiento de los cuerpos sin ocuparse de las causas que lo provocan; se encarga de abordar el estudio de las magnitudes involucra-das en el movimiento como la velocidad y la distancia recorrida.

A continuación, introduciremos dos conceptos necesarios para el estu-dio del movimiento: sistemas de referencia y cuerpos puntuales.

Los sistemas de referenciaEl movimiento de los planetas puede ser descrito desde la Tierra como lo hizo Aristóteles (384-322 a.C.), quien la concebía como el centro del uni-verso y la tomó como sistema de referencia para describir el movimiento de los planetas, del Sol, de la Luna y de las estrellas. También puede tomarse como sistema de referencia el Sol, cuyo estudio ha permitido profundizar en el conocimiento que tenemos acerca del comportamiento de los astros.

Otra forma de pensar en un sistema de referencia se presenta cuando es-tando en un automóvil en reposo, se percibe que éste retrocede por efecto del movimiento hacia delante de un automóvil que se encuentra al lado.

De manera general, para describir el movimiento de un cuerpo es con-veniente establecer ciertos sistemas de referencia que faciliten su análisis. Es decir, el cambio de posición que experimentan unos cuerpos se des-cribe con respecto a los sistemas de referencia.

Un sistema de referencia es un sistema coordenado en tres dimensiones, de tal manera que la posición de un punto cualquiera P en cierto instante de tiempo está determinada por sus tres coordenadas cartesianas (x, y, z).

Definición

Para medir el tiempo es necesario un reloj, por ende este instrumento también forma parte de un sistema de referencia.

Al realizar el análisis del movimiento de un cuerpo consideramos que los sistemas de referencia se encuentran en reposo. Como por ejemplo, una de las señales de tránsito que indica un determinado kilometraje. Sin embargo, si el sistema de referencia fuera el Sol, tendríamos que tener en cuenta que esta señal acompaña a la Tierra en sus movimientos de rotación y de traslación.

Cuerpos puntualesPara el estudio del movimiento, muchas veces es suficiente con conside-rar los cuerpos como si fueran puntos geométricos, sin prestar atención a cómo se mueven las partes que los componen. Por ejemplo, una pelota pateada “con efecto” gira sobre su eje a medida que avanza; sin embargo, la podemos considerar como un punto.

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Componente: Entorno físicoEntorno físico

Para considerar un cuerpo como puntual no se necesita que sea pequeño. Más aún, un mismo cuerpo puede ser considerado como puntual o no, si su tamaño es relevante para explicar el fenómeno que se está estudiando. Así, por ejemplo, el tamaño de la Tierra es fundamental para describir su movimiento de rotación, mientras que, a pesar de su tamaño, podemos considerar la Tierra como un punto si queremos estudiar la órbita que describe alrededor del Sol, el cual a su vez, también puede ser conside-rado como un cuerpo puntual.Para entender de manera simple los conceptos fundamentales de la cine-mática, primero limitaremos nuestro estudio al movimiento de cuerpos puntuales.

1.1.1 La trayectoria y la distancia recorridaCuando un objeto se mueve, ocupa diferentes posiciones sucesivas mien-tras transcurre el tiempo, es decir, que durante su movimiento describe una línea.

Un cuerpo puntual o partícula material es un objeto que consideramos sin tamaño, el cual puede tener movimiento.

Definición

La trayectoria es la línea que un móvil describe durante su movimiento.

Considerando la trayectoria descrita por el objeto, el movimiento puede ser:n Rectilíneo, cuando su trayectoria describe una línea recta.n Curvilíneo, cuando su trayectoria describe una línea curva.El movimiento curvilíneo puede ser:n Circular, si la trayectoria es una circunferencia, como ocurre con el

extremo de las manecillas del reloj.n Elíptico, si la trayectoria es una elipse, como ocurre con el movimiento

planetario.n Parabólico, si la trayectoria es una parábola, como ocurre con el mo-

vimiento de los proyectiles.

1.1.2 El desplazamientoEn la figura se representa la trayectoria de un objeto que pasa de la posi-ción P1 a la posición P2, describiendo un movimiento curvilíneo. Al unir las posiciones P1 y P2 mediante un segmento dirigido, representado por una flecha, este indicará el cambio neto o variación, de la posición del objeto, es decir, su desplazamiento.

Trayectoria

Desplazamientoy

z

x

P1

P2

Definición

La distancia recorrida por el objeto es la medida de la trayectoria.

Definición

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El movimiento rectilíneo

�1 0 1 2 3 4 x(m) x � 1

Figura 2. Posición del móvil en la recta.

Figura 3. Carrera automovilística.

Para describir el desplazamiento de un objeto se requiere especificar su medida e indicar su dirección. Por esta razón, se representa por medio de un segmento de recta dirigido denominado vector.Por ejemplo, para el caso del movimiento representado en la figura de la página anterior.n La distancia recorrida es la medida de la línea curva descrita por el

objeto en su movimiento. n El desplazamiento es el segmento dirigido que va desde la posición

inicial P1 hasta la posición final P2.La distancia recorrida y la medida del desplazamiento coinciden úni-camente cuando el movimiento se produce en línea recta y en un solo sentido, por ejemplo, hacia la derecha.En esta unidad nos referiremos únicamente a movimientos rectilíneos; estos movimientos se representan sobre el eje x, de tal manera que la posición de un objeto queda especificada por un valor de x (figura 2).

1.1.3 La rapidez y la velocidadLos términos rapidez y velocidad se usan indistintamente en la vida diaria pero en física es necesario hacer distinción entre ellos. El tér-mino velocidad se usa para representar tanto la medida (valor numé-rico y unidad) como la dirección en la que se mueve el objeto. Por otro lado, la rapidez hace referencia sólo a la medida de la velocidad con que se mueve el objeto.

Rapidez

El desplazamiento de un móvil es un segmento dirigido que une dos posiciones diferentes de su trayectoria.

Definición

Supongamos que, con dos amigos, presencias una carrera automovi-lística y que cada uno se ubica al borde de la vía de tal manera que el primero se encuentra a 40 metros de la salida (x 5 40 m) y los demás se ubican separados entre sí 40 metros, como se observa en la figura 3. Imagina también que cada uno cronometra el tiempo que emplea un vehículo en recorrer la distancia que existe entre el punto de salida y su posición. En la tabla se registran los valores indicados.

La rapidez es la distancia recorrida en la unidad de tiempo.Definición

Es posible calcular las variaciones de las posiciones y de los tiempos y registrarlas en la tabla 2.2, como se observa en la siguiente página.

Tabla 2.1

Trayecto 1 Trayecto 2 Trayecto 3

x (m) 40 80 120

t (s) 5,0 9,9 13,9


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Tabla 2.2

Al calcular el cociente entre la distancia recorrida por el móvil y el tiempo transcurrido, se obtiene un valor denominado rapidez media (v), es decir:

Rapidez media v Distancia recorridaTiempo emple5 5 aado

Con la rapidez media nos referimos a la relación entre la distancia re-corrida y el tiempo empleado en un intervalo de tiempo determinado. Sin embargo, para el movimiento de un objeto, podemos describir la rapidez con la que se mueve en un instante determinado. Por ejemplo, en la carrera de autos se ha calculado la rapidez media en tres intervalos de tiempo distintos, pero es muy probable que la rapidez de los autos haya variado instante a instante. A la rapidez que el objeto presenta en cada instante de tiempo se le llama rapidez instantánea.

VelocidadCuando ves un cuerpo primero en un lugar y después en otro, sabes que se movió; pero si no lo seguiste en ese cambio de posición es difícil que puedas saber qué tan rápido lo hizo. Para describir un movimiento, no basta medir el desplazamiento del cuerpo ni trazar su trayectoria; debe-mos describir su velocidad. La velocidad nos dice qué tan rápido se movió el cuerpo y hacia dónde lo hizo.

Para el ejemplo anterior, la rapidez media se registra en la tabla 2.3.

La rapidez media es el cociente entre la distancia recorrida por el móvil y el tiempo empleado en recorrerla.

La velocidad es la razón de cambio de la posición con respecto al tiempo.

n Siunmóvilestáenunaposiciónx1ypasaaunaposiciónx2,lavariacióndeposiciónserepresentacomo:

Dx5x22x1.De igualmanera, laexpresiónDt indicalavariacióndeltiempo,Dt5t22t1.

n La razóndecambio involucradoscanti-dadeseindicaquétanrápidovaríaunadeellasconrespectoalaotra.


x1(m) 0 40 80

xx(m) 40 80 120

t1(s) 0 5,0 9,9

t2(s) 5,0 9,9 13,9

Dx 5 x2 2 x1 40 2 0 5 40 80 2 40 5 40 120 2 80 5 40

Dt 5 t2 2 t1 5,0 2 0 5 5,0 9,9 2 5,0 5 4,9 13,9 2 9,9 5 4,0


Tabla 2.3

Dx 5 x2 2 x1 40 2 0 5 40 80 2 40 5 40 120 2 80 5 40

Dt 5 t2 2 t1 5,0 2 0 5 5,0 9,9 2 5,0 5 4,9 13,9 2 9,9 5 4,0

Rapidez media(m/s) 8 8,2 10


Definición

Definición

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Como lo hemos dicho, el desplazamiento se representa por la expresión Dx 5 x2 2 x1. Si el desplazamiento ocurre durante el intervalo de tiempo transcurrido entre t1 y t2 (Dt 5 t2 2 t1), podemos expresar la velocidad media como:

v xt� �

�

La rapidez y la medida de la velocidad en el SI se expresan en metros por segundo (m/s), pero frecuentemente se usa el kilómetro por hora (km/h).Los automóviles disponen de un velocímetro cuya función es registrar la medida de la velocidad en cada instante, es decir, la rapidez instantánea. La velocidad instantánea se especifica mediante la medida de su veloci-dad y su dirección en cada instante. La rapidez instantánea coincide con la medida de la velocidad instantánea.

La velocidad media es el cociente entre el desplazamiento y el tiempo transcurrido.

Al calcular el cociente entre el desplazamiento total y el tiempo que tarda en recorrerlo, se obtiene la velocidad media (v), es decir:

Velocidad media v DesplazamientoTiempotran5 5 sscurrido

EJEMPLO

Un vehículo viaja, en una sola dirección, con una rapidez media de 40 km/h durante los primeros 15 mi-nutos de su recorrido y de 30 km/h durante los siguientes 20 minutos. Calcular:a. La distancia total recorrida.b. La rapidez media.Solución:a. La distancia total recorrida es la suma de las distancias recorridas. Como:

v Distancia recorridaTiempo empleado

dt� �

Para el primer recorrido, d1 5 v ? t d1 5 40 km/h ? 0,25 h 5 10 km

Para el segundo recorrido, d2 5 v ? t d2 5 30 km/h ? 0,33 h 5 10 km

Distancia total recorrida 5 d1 1 d2

Distancia total recorrida 5 10 km 1 10 km 5 20 km

La distancia total recorrida por el vehículo es 20 km.b. Para calcular la rapidez media tenemos:

v Distancia recorridaTiempo empleado5

v 20 km0,58 h 34,5 km/h5 5

La rapidez media del vehículo durante el recorrido es 34,5 km/h.

Definición

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1.1.4 La aceleraciónLos objetos en movimiento pueden aumentar su velocidad o disminuirla. En realidad en la mayoría de movimientos la velocidad no permanece constante. Por ejemplo, cuando estás dentro de un ascensor y este empieza a subir o cuando frena repentinamente experimentas algo en el estómago. Esa sensa-ción solo se presenta cuando la velocidad aumenta o disminuye y no se siente en el resto del trayecto del ascensor, es decir, cuando su velocidad no varía. Los cambios de velocidad se describen mediante la magnitud denominada aceleración.

La aceleración (a) es la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo.

Al calcular el cociente entre el cambio de velocidad y el intervalo de tiempo en el que se produce, se obtiene la aceleración media (a), es decir:

a vt

v vt t� �

��

�2 1

2 1

Puesto que en el SI la velocidad se mide en m/s y el tiempo se mide en segun-

dos, la aceleración se expresa en m ss

, lo que es equivalente a la unidad m/s2.Es decir, que la unidad de aceleración en el SI es el metro sobre segundo al cuadrado (m/s2).Puesto que la aceleración de un objeto puede variar, nos referimos a la acelera-ción de un cuerpo en un instante determinado como aceleración instantánea.En la figura se muestran los valores de la velocidad de un automóvil para dife-rentes instantes de tiempo. En el velocímetro los registros de la rapidez en cada uno de los tiempos indicados muestran que la velocidad aumenta progresiva-mente. La tabla muestra cálculos del cambio de la velocidad en los intervalos de tiempo indicados y el valor de la aceleración en los mismos intervalos.

Tabla 2.4

0 4,0 6,7 8,5 10,7

Definición

0m/s 7,7m/s 8,5m/s 10,0m/s 13,8m/s

Trayecto1 Trayecto2 Trayecto3 Trayecto4

v1(m/s) 0 7,7 8,5 10,0

v2(m/s) 7,7 8,5 10,0 13,8

t1(s) 0 4,0 6,7 8,5

t2(s) 4,0 6,7 8,5 10,7

Dv 5 v2 2 v1 7,7 2 0 5 7,7 8,5 2 7,7 5 0,8 10,0 2 8,5 5 1,5 13,8 2 10,0 5 3,8

Dt = t2 2 t1 4,0 2 0 5 4,0 6,7 2 4,0 5 2,7 8,8 2 6,7 5 1,8 10,7 2 8,5 5 2,2

Aceleración media (m/s2) 1,9 0,3 0,8 1,7

Trayecto 1 Trayecto 2 Trayecto 3 Trayecto 4

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1.2 El movimiento rectilíneo uniforme

Consideremos la situación que se representa en la figura 4, en la cual una niña se desplaza en línea recta con respecto a varios puntos de referencia que están marcados por cuatro objetos a lo largo del recorrido.Al cronometrar el tiempo que la niña tarda en pasar por los puntos señalados, se obtienen los valores que se muestran en la tabla. Estos valores sugieren que la velocidad de la niña ha per-manecido constante durante todo el recorrido, siendo esta de 0,20 m/s.Todo movimiento que presenta esta condición se denomina uniforme.

Figura 4. Desplazamiento de la niña, teniendo en cuenta varios puntos de referencia.

EJEMPLO

1. Una motocicleta parte de la línea de salida y aumenta repentinamente su velocidad a 72 km/h en 20 s. Determinar su aceleración media.Solución:Se debe expresar la velocidad en unidades del SI

72 kmh 72 km

h1.000 m1 km

1 h3.600 s 205 5� � m/s

Ahora se calcula la aceleración media:

a 20 m/s 0 m/s20 s 1 m/s2 1

2 1� �

��

�� v

tv vt t

22

La aceleración media de la motocicleta es 1 m/s2.2. Determinar la aceleración media de un automóvil que, inicialmente, se mueve a 36 km/h y que se

detiene en 5 s.Solución:Se expresa la medida de la velocidad en m/s.

36 kmh 36 km

h1.000 m1 km

1 h3.600 s 10 m� � � � //s Al utilizar factores de conversión

Ahora, se calcula la aceleración media:

a vt� �

��

�� v v

t t2 1

2 1

20 m/s 10 m/s10 s 1 m/s Al remplazar y calcular

La aceleración media es 21 m/s2. La aceleración y la velocidad tienen signos diferentes, lo cual se interpreta como una disminución de la rapidez.

Un cuerpo describe un movimiento rectilíneo uniforme cuando su trayectoria es recta y su velocidad instantánea es constante.

Definición

t5os t51s t52s t53s

t(s) 0 1 2 3

x(m) 0 0,20 0,40 0,60

Dx(m) 0,20 0,20 0,20 0,20

Dt(s) 1 1 1 1

v(m/s) 0,20 0,20 0,20 0,20

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1.2.1 Ecuaciones del movimiento rectilíneo uniforme

Si en un movimiento, la velocidad instantánea v siempre es la misma, su medida debe coincidir con la medida de la velocidad media v. Si la velocidad media se expresa como:

v xt� �

�

para el movimiento uniforme la velocidad instantánea en cualquier instante de tiempo es:

v xt� �

�

Entre t 5 0 s y un tiempo posterior t, el intervalo de tiempo es Dt 5 t 2 0 s.

Así, el desplazamiento en dicho intervalo igual a:Dx 5 v ? t

Por lo tanto, la posición de un cuerpo en un instante cualquiera se ex-presa como:

x 5 v ? t 1 x0

Donde x0 es la posición inicial del objeto. A esta ecuación se le denomina ecuación de la posición del movimiento rectilíneo uniforme.

1.2.2 Análisis gráfico del movimiento rectilíneo uniforme

A partir del análisis gráfico es posible interpretar el movimiento rectilí-neo de los objetos. A continuación presentamos el análisis de las gráficas posición-tiempo (x-t) y velocidad-tiempo (v-t).

Gráficas posición-tiempo (x-t)La gráfica posición-tiempo (x-t) de la figura 5 corresponde a un movi-miento rectilíneo uniforme, puesto que:En t 5 0 s, el cuerpo se encuentra en x 5 0 m,En t 5 1 s, el cuerpo se encuentra en x 5 11,1 m,En t 5 2 s, el cuerpo se encuentra en x 5 22,2 m, así sucesivamente.Se observa que en cada segundo el objeto se desplaza 11,1 m, lo cual indica que su velocidad es igual a 11,1 m/s.Para comprobar que la constante de proporcionalidad de la grafica x-t coincide con la velocidad del móvil, calculamos la pendiente de la recta eligiendo dos puntos arbitrarios, por ejemplo,P1 (1,0 s; 11,1 m) y P2 (3,0 s; 33,3 m), por lo tanto tenemos que:

Pendiente x xt t

Pendiente 33,3 m 11,1

2 1

2 1� �

�

�� m

3,0 s 1,0 s 11,1 m/s�

�

Supongamos que en t 5 0 el objeto se encuentra en x0 5 11,1 m mo-viéndose con velocidad constante e igual a 11,1 m/s, la gráfica x-t, en este caso, es un segmento de recta, que no pasa por el origen del plano cartesiano (figura 6).

x(m)

0

11,1

22,2

33,3

44,4

1 2 3 4 t(s)

x(m)

0

11,1

22,2

33,3

44,5

55,5

1 2 3 4 t(s)

Figura 5. Gráfica de posición–tiempo que pasa por el origen, de un movimiento rectilíneo uniforme.

Figura 6. Gráfica de posición–tiempo que no pasa por el origen, de un movimiento rectilíneo uniforme.

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La aceleración en un movimiento rectilíneo uniforme es igual a cero, puesto que la velocidad no experimenta variación.Si suponemos que el movimiento se realiza por tramos con velocidad cons-tante entonces, en la gráfica v-t, se pueden trazar rectángulos de base muy pequeña; la suma de las áreas de estos rectángulos se aproxima al despla-zamiento del móvil. A continuación, mostramos gráficamente este hecho:

Cuanto más pequeña sea la base de los rectángulos, mayor será la aproxi-mación de la suma de sus áreas al valor del desplazamiento del móvil.

Al calcular la pendiente de la recta de la figura 6, se obtiene de nuevo el valor 11,1 m/s, pues el movimiento ocurre con velocidad constante. La ecuación de posición para este caso es:

x 5 11,1 m/s ? t 1 11,1 m

Gráficas velocidad-tiempo (v-t)Cuando un objeto describe un movimiento uniforme, su velocidad es cons-tante, por lo cual la gráfica v-t es un segmento de recta horizontal como se muestra en la siguiente grafica:

A partir de la gráfica y de la ecuación Dx 5 v ? t podemos determinar el desplazamiento (Dx) del objeto que se mueve durante 4 s con velocidad de 11,1 m/s. Así,

Dx 5 v ? t 5 11,1 m/s ? 4,0 s 5 44,4 mUn aspecto interesante es que el área del rectángulo determinado por el eje horizontal entre 0 s y 4,0 s, y el segmento que representa la velocidad de 11,1 m/s es 44,4 m. Dicha área es igual al desplazamiento.

v

t

v

t

v

t

v

t

2

4

6

8

10

1211,1

v(m/s)

2 4 6 8 t(s)

�x

En una gráfica v-t, el área comprendida entre la gráfica y el eje horizontal representa el desplazamiento del móvil.

Definición

EJERCICIO ¿Es cierto que en un movimiento

rectilíneo uniforme la posiciónes directamente proporcional altiempo?¿Es el desplazamiento directa-mente proporcional al tiempotranscurrido?

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0,0 s 0,2 s 0,5 s 1,5 s

Figura 7. Registro del velocímetro de un automóvil en diferentes instantes de tiempo.

1.3 El movimiento rectilíneo uniformemente variado

Cuando los carros toman la partida en una competencia de piques expe-rimentan aceleración. En la figura 7 se muestra el registro del velocímetro de un carro en diferentes instantes de tiempo. Se puede observar que la rapidez experimenta cambios iguales en iguales intervalos de tiempo, por lo tanto, al calcular la aceleración del automóvil en cada uno de los tres intervalos de tiempo, se obtiene el mismo valor. Este hecho sugiere que la aceleración es constante.

Cuando un cuerpo describe un movimiento rectilíneo uniformemente variado, puede suceder que:n Su rapidez aumente, si la aceleración y la velocidad tienen el mismo

signo.n Su rapidez disminuya, si la aceleración y la velocidad tienen signos

contrarios.

1.3.1 La velocidad en un movimiento uniformemente variado

Como el movimiento que describe el carro se produce con aceleración instantánea y constante (a), el cociente entre cualquier cambio de veloci-dad y el tiempo empleado en producirse será siempre el mismo e igual a a. Esto quiere decir que, si la velocidad del móvil cuando el cronómetro indica t 5 0 s es v0 y al cabo de determinado tiempo t, la velocidad es v, se tiene que:

a � ��

� ��

vt

v vt 0

0

Por lo tanto,

a � �v vt

0

A partir de esta ecuación se puede deducir la dependencia de la velocidad con respecto al tiempo cuando la aceleración es constante y el móvil se mueve inicialmente con velocidad v0, es decir:

v 5 v0 1 a ? t

1.3.2 El desplazamiento en un movimiento uniformemente variado

Si el automóvil se mueve con determinada velocidad v0 en t 5 0 s, y acelera uniformemente hasta alcanzar una velocidad v en un tiempo t, en cada unidad de tiempo, la velocidad aumenta en la misma cantidad. Como el desplazamiento Dx se representa por el área comprendida entre la gráfica y el eje horizontal, entonces se tiene que este desplazamiento es el mismo que si el móvil se hubiera movido durante el mismo intervalo de tiempo con velocidad igual al promedio entre v0 y v.

v(m/s)

t(s)t0

v0

v

v � v 02

x�

Un cuerpo describe un movimiento rectilíneo uniformemente variado cuando su trayectoria es una recta y, a la vez, su aceleración es constante y no nula.

Definición

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El desplazamiento en un movimiento rectilíneo uniformemente variado, en el cual la velocidad inicial es v0 y la velocidad final es v, describe un mo-vimiento uniforme con velocidad igual al promedio de dichas velocidades.

Velocidad promedio v v� �02

Puesto que en un movimiento uniforme el desplazamiento es Dx 5 vt, podemos escribir:

� � � � �x v v t v v a t, donde002 ? ?

Por lo tanto,

� � � �x v v a t t0 0 ?2

Luego,

� � �x v t a t0

2

??2

Como Dx 5 x 2 x0 se tiene,

x x v t a t0 0

2� � ��

2

Es decir,

x x v t a t� � �0 02

? ?2

Esta ecuación muestra la dependencia del desplazamiento con respecto al tiempo cuando la aceleración es constante y el móvil se mueve inicialmente con velocidad v0. Esta expresión se conoce como ecuación para la posición en un movimiento uniformemente variado.A partir de la ecuación v 5 v0 1 at y el desplazamiento � � �x v v t0

2 ? , se

puede obtener una expresión para la velocidad en un movimiento acelerado en función del desplazamiento.

A partir de: v 5 v0 1 a ? t,

Despejamos el valor de t:

t v va

0� �

y remplazamos en la expresión para el desplazamiento:

� � � � �� x ( ) ( )

20 0 0 0v v v v

av v v v

a2( )( )Ahora, resolvemos el producto que aparece en el numerador:

(v0 1 v) (v 2 v0) 5 v2 2 v20

Por tanto:

� ��x v va

202

2

Despejamos la velocidad v: v2 5 v20 1 2a ? Dx

EJERCICIO

Establecediferenciasentrevelocidadmediayvelocidadpromedio.

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v(m/s)

t(s)t0

v0

v

Figura 8. Gráfica de velocidad – tiempo, de un cuerpo que se mueve con aceleración constante.

1.3.3 Análisis gráfico del movimiento uniformemente variado

En este apartado vamos a analizar las gráficas posición-tiempo (x-t), velocidad-tiempo (v-t) y aceleración-tiempo (a-t) para el movimiento uniformemente variado.

Gráfica de velocidad-tiempo (v-t)En la figura 8 se aprecia la gráfica v-t del movimiento de un cuerpo que experimenta aceleración constante. Es decir, que en cada unidad de tiempo su velocidad cambia en la misma cantidad. La pendiente de la recta se expresa como:

Pendiente v vt t

v vt

0

0

0� ��

� �

lo cual coincide con la aceleración.

La ecuación para el desplazamiento Dx también se puede deducir a partir del cálculo del área comprendida entre la gráfica velocidad-tiempo y el eje horizontal.En la siguiente gráfica se observa que el área sombreada es igual al área del triángulo de base t y altura v 2 v0 más el área del rectángulo de base t y altura v0.

� � �

� �

x

x

Área rectángulo Área triángulo

0v ? tt v v t( ) ,0� �12

Puesto que v 2 v0 5 a ? t, se tiene:

� � �x 0v t a t t? ? ?12

Luego,

02� � �x v t a t? ?1

2

En una gráfica de velocidad-tiempo para un movimiento rectilíneo uni-formemente variado la pendiente de la recta coincide con el valor de la aceleración.

v(m/s)

t(s)t0

v0

v

v � v0 � at

Definición

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El movimiento rectilíneoPo

sici

ón (

m)

0 tiempo (s)

Pendiente �

x�

t��x�t

a(m/s)2

a

0 t t(s)

v�

Figura 9. Recta tangente a un punto de una gráfica de posición–tiempo.

Figura 10. Variación de la velocidad.

Gráfica del desplazamiento-tiempo (x-t)Como la relación entre el desplazamiento y el tiempo tiene un término cuyo factor es t2, entonces la gráfica x-t para el movimiento uniforme-mente variado es una parábola.

A continuación, se muestran las gráficas x-t para un movimiento uni-formemente variado con aceleración positiva (izquierda) y con acele-ración negativa (derecha).

Se observa que si la aceleración es positiva, los cambios de posición son cada vez mayores en los mismos intervalos de tiempo; mientras que si la aceleración es negativa, los cambios de posición son cada vez menores.

En el movimiento rectilíneo uniforme la gráfica x-t es una recta, cuya pendiente representa la velocidad del objeto; sin embargo, cuando la velocidad no es constante, la representación x-t no es una recta y en-tonces debemos establecer un método para determinar la pendiente de la curva en cada punto.

Para ello trazamos la recta tangente a la curva en cada punto y la pen-diente de esta recta representa la velocidad del objeto en cada instante de tiempo (figura 9).

Gráfica de aceleración-tiempo (a-t)De la misma manera como representamos gráficamente en el plano cartesiano la velocidad y la posición en función del tiempo, podemos representar la aceleración en una gráfica a-t, para lo cual escribimos en el eje vertical la aceleración y en el horizontal el tiempo.

Puesto que el movimiento uniformemente variado se produce con aceleración constante, la gráfica que representa este movimiento es un segmento de recta horizontal, como el que se observa en la figura 10.

A partir de la ecuación v 5 v0 1 a ? t, equivalente a v 2 v0 5 at, se ob-tiene la variación de la velocidad Dv 5 at, que corresponde al área del rectángulo que se forma entre la recta y el eje horizontal en la gráfica de a-t (figura 10).

El área comprendida entre la gráfica de a-t y el eje horizontal representa el cambio de velocidad de un objeto.

0 0,5 1 1,5 2 t(s)

1

2

3

4

5

x(m)

2,5 0 0,5 1 1,5 2 t(s)

1

2

3

4

5

x(m)

Definición

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EJEMPLOS

1. Un automóvil, que se ha detenido en un semáforo, se pone en movimiento y aumenta uniformemente su rapidez hasta los 20 m/s al cabo de 10 s. A partir de ese instante, la rapidez se mantiene constante durante 15 s, después de los cuales el conductor observa otro semáforo que se pone en rojo, por lo que dismi-nuye uniformemente la velocidad hasta detenerse a los 5 s de haber comenzado a frenar. Determinar la aceleración del auto y el desplazamiento entre los dos semáforos, en cada intervalo de tiempo.

Solución:

Intervalo 1: se calcula la aceleración.

a v vt

0� �

a 20 m/s 010 s 2 m/s2� � � Al remplazar y calcular

La aceleración es de 2 m/s2.Se calcula el desplazamiento.

� � �x v t a t02? ?1

2

� � �x 12 2 m/s (10 s) 100 m2 2? ? Al remplazar y calcular

El desplazamiento en el primer intervalo es 100 m.Intervalo 2: la velocidad se mantiene constante y por lo tanto la aceleración es nula.Se determina el desplazamiento para el movimiento uniforme: Dx 5 v ? t Dx 5 20 m/s ? 15 s 5 300 m Al remplazar y calcularEl desplazamiento en el segundo intervalo es 300 m.Intervalo 3: se calcula la aceleración:

a v vt� � 0

a � � � �0 20 m/s5 s 4 m/s2 Al remplazar y calcular

La aceleración es 24 m/s2, lo cual indica que la velocidad y la aceleración tienen signos contrarios y se interpreta como una disminución de la velocidad.Se calcula el desplazamiento:

� � �x v t a t02? ?1

2

� � � � �x (20 m/s)(5 s) ( 4 m/s ) (5 s) 50 m2 212 Al remplazar y calcular

El desplazamiento en el tercer intervalo es 50 m.En consecuencia, el desplazamiento total es: 100 m 1 300 m 1 50 m 5 450 m.

Intervalo1 Intervalo2 Intervalo3

Procesos físicos

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EJEMPLOS

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3. En la figura se muestra la gráfica x-t para el movimiento de un objeto atado a un resorte que oscila entre los valores 220 cm y 20 cm. Analizar los cambios de posición y velocidad.

Solución:

A la posición en la cual el resorte no está ni estirado ni comprimido se le conoce con el nombre de posición de equilibrio. Una vez el objeto, sujeto al resorte, se aleja 20 cm hacia abajo de la posición de equilibrio, se suelta y se mueve de tal manera que:

n A los 0,2 s pasa por la posición de equilibrio,

n A los 0,4 s está a 20 cm por encima de la posición de equilibrio,

n A los 0,6 segundos regresa a la posición de equilibrio,

n A los 0,8 s vuelve al punto de partida.

Analicemos la velocidad del objeto. En los instantes 0,4 s y 0,8 s, el objeto cambia la dirección del movimiento; esto implica que, en dichos instantes, tiene velocidad igual a cero.

Para determinar la velocidad para algunos valores del tiempo, trazamos rectas tangentes a la gráfica x-t y determinamos su pendiente, pues el valor de la pendiente es la medida de la velocidad instantánea.

En el instante de tiempo correspondiente al punto A, la velocidad es mayor que en el instante correspondiente al punto B. Esto quiere decir que entre 0,2 s y 0,4 s la velocidad disminuye hasta tomar el valor de 0 en t 5 0,4 s.

Al analizar el movimiento entre los tiempos 0,4 s y 0,6 s encontramos que aunque la velocidad tiene signo menos, la posición cambia más rápidamente en el instante de tiempo correspondiente al punto D que en el instante de tiempo correspondiente al punto C. Esto quiere decir que entre 0,4 s y 0,6 s la rapidez aumenta.

Del análisis en los tiempos comprendidos entre 0,6 s y 0,8 s, concluimos que la posición cambia cada vez más lentamente, hasta tener rapidez igual a cero en el instante t 5 0,8 s. En los instantes de tiempo t 5 0,2 s y t 5 0,6 s el objeto se mueve más rápidamente.

Posición (m)

5 10 15 20 25 30Tiempo (t)

100

200

300

400450

0

Velocidad (m/s)

5 10 15 20 25 30Tiempo (s)

5

10

15

20

Aceleración (m/s2)

2

1

0

�1

�2

�3

�4

5 10 15 20 25 30

Tiempo(s)

20

10

x (cm)

�10

�20

0,2 0,4 0,6 0,8 t(s)

AB C

D

2. Construir las gráficas x-t, v-t y a-t para el ejemplo 1.

Solución:

Las gráficas se muestran a continuación.

Gráfica x-t Gráfica v-t Gráfica a-t

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Figura 11. Torre inclinada de Pisa.

2. Caída libre2.1. Cómo caen los cuerposEn el siglo IV a.C., Aristóteles estableció que la rapidez con la que un cuerpo caía, dependía del peso del mismo puesto que, según el filósofo, los cuerpos pesados caían con más velocidad que los cuerpos livianos, idea que fue aceptada durante casi 200 años como una verdad absoluta.Galileo Galilei (1564-1642) encontraba grandes contradicciones con sus observaciones y, en 1589, realizó una serie de experiencias para refutar la teoría aristotélica de la caída de los cuerpos. Al no disponer de instrumen-tos precisos que pudieran medir pequeños intervalos de tiempo, realizó sus estudios utilizando planos inclinados de pequeña pendiente, por los cuales hacia rodar esferas de distinto peso. Para medir el tiempo de des-plazamiento, contaba el número de gotas de agua que caían de un barril.El revolucionario investigador comprobó que cuando las esferas eran lo suficientemente pesadas, todas empleaban exactamente el mismo tiempo en recorrer el plano, y que la velocidad de las mismas aumentaba de ma-nera uniforme. De esta forma afirmó: “Está claro que si una bola liviana tarda más tiempo en recorrer el plano que otra más pesada es debido a la resistencia que presenta el aire a su avance. Por eso, cuando las bolas rebasan un cierto peso, la resistencia del aire es despreciable para ellas, y todas caen con idéntica rapidez”. Según cuenta la leyenda, Galileo llevó a sus alumnos de la Universidad de Pisa a la torre inclinada de esta ciudad y dejó caer desde el último piso dos objetos de pesos diferentes, demos-trando ante los estudiantes que la teoría de Aristóteles estaba equivocada.La última obra de Galileo, Consideraciones y demostraciones matemáticas sobre dos ciencias nuevas, donde revisa y afina sus primeros estudios sobre el movimiento, abrió el camino que llevó a Newton a formular sus prin-cipios de la dinámica.

2.2 La caída de los cuerposUn caso particular del movimiento uniformemente variado es el de un objeto al cual se le permite caer libremente cerca de la superficie terrestre. Un cuerpo que se deja caer en el vacío, se desplaza verticalmente con una aceleración constante, lo que hace que su velocidad aumente uniforme-mente en el transcurso de la caída.La Tierra ejerce una fuerza de atracción, dirigida hacia su centro, sobre todo cuerpo que se encuentra cerca de la superficie terrestre, imprimién-dole cierta aceleración, denominada aceleración debida a la gravedad y denotada con la letra g. Se ha determinado experimentalmente que un cuerpo en caída libre, aumenta su velocidad en unos 9,8 metros por segundo cada segundo, es decir que la aceleración producida por la Tierra es constante y tiene un valor aproximado de 9,8 m/s2.Un cuerpo en caída libre se mueve bajo la influencia de la gravedad, sin importar su movimiento inicial. Todos aquellos objetos que se lanzan hacia arriba o hacia abajo y los que se dejan caer a partir del reposo, experimentan una aceleración dirigida hacia abajo cuyo valor es 9,8 m/s2.

Aristóteles. En el siglo IV a. C. estableció que la rapidez con que un cuerpo caía, dependia de su mismo peso.

Procesos físicos

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Caída libre

En síntesis, un cuerpo que es lanzado verticalmente hacia arriba o hacia abajo experimenta una aceleración una vez liberado. Un cuerpo en caída libre experimenta una aceleración hacia abajo igual a la aceleración debida a la gravedad.

2.3 Las ecuaciones del movimiento de caída libre

Al despreciar la resistencia del aire y suponiendo que la aceleración de la gravedad no varía con la altitud, el movimiento de un cuerpo en caída libre se presenta bajo una aceleración constante. Por ende, las ecuaciones que describen el movimiento de los cuerpos que se mueven en el vacío en dirección vertical son las que corresponden a cualquier movimiento uniformemente variado, con un valor de aceleración, hacia abajo, cuyo valor es a 9,8 m/s2. El signo de la aceleración depende del sistema de referencia que se elija. De esta manera, las ecuaciones que rigen el movimiento de caída libre de los objetos son: v 5 v0 1 gt

y v t gt02

0� � �12 y

La letra y indica la posición con respecto al punto desde el cual se considera el movimiento, debido a que cotidianamente esta letra representa el eje vertical en un sistema coordenado, que corresponde a la dirección de caída de los cuerpos.Para el manejo de estas ecuaciones, si la parte positiva del eje y se considera hacia arriba, la aceleración g es igual a 29,8 m/s2, mientras que si consideramos la parte positiva del eje y hacia abajo la aceleración de la gravedad g es igual a 9,8 m/s2.

EJEMPLOS

1. Un objeto se deja caer desde una altura de 5 m. Determinar:a. Las ecuaciones de movimiento.b. El tiempo que tarda en caer el objeto.c. La velocidad antes de tocar el suelo.

Solución:a. Para determinar las ecuaciones de movimiento tenemos:

Velocidad: v 5 v0 1 gt v 5(29,8 m/s2) t2

Posición: y v t� � 021

2 gt

y t t� � � � �12 ( 9,8 m/s ) ( 4,9 m/s ) 5 m2 2 2 2

b. El tiempo que tarda en caer se calcula mediante la ecuación: y 5 (24,9 m/s2) t2 1 5 mPor tanto: 25 m 5 (24,9 m/s2)t2 Al remplazar y 5 0 pues la altura al caer es 0 m.Luego, t 5 1,0 s Al despejar t y calcular. El tiempo que el objeto tarda en caer es 1,0 s.

Al remplazar el valor de g, v0 5 0 ya que el objeto parte del reposo.

Al remplazar el valor de g, v05 0 ya que el objeto parte del reposo a una altura inicial de 5 m.

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c. La velocidad inmediatamente antes de caer se calcula mediante:v 5 (29,8 m/s2) ? tv 5 29,8 m/s2 ? (1,0 s) Al remplazarv 5 29,8 m/s Al calcular

La velocidad inmediatamente antes de caer es 9,8 m/s hacia abajo, pues tiene signo menos.

2. Una persona arroja una pelota hacia arriba, con una velocidad inicial de 15 m/s. Determinar:a. Las ecuaciones de movimiento.b. El tiempo en el cual el objeto alcanza el punto más alto de la trayectoria.c. La altura máxima.d. Las gráficas x-t, v-t, a-t

Solución:a. Las ecuaciones de movimiento son:

Velocidad: v 5 v0 1 gt v 5 (15 m/s) 1 (29,8 m/s2)t Al remplazar

Posición: y v t gt� �021

2

y t t� � �15 / ( 9,8 / )2 2m s m s? 12 Al remplazar

b. Cuando el cuerpo alcanza la altura máxima la velocidad es igual a cero, entonces: v 5 15 m/s 2 (9,8 m/s2)tcomo v 5 0, tenemos 0 5 15 m/s 2 (9,8 m/s2)tLuego, t 5 1,5 s Al despejar t y calcular

c. Remplazamos el valor del tiempo en:

y t t� �15 m s 9,8 m s 2? ? ?12

y � �15 m/s 1,5 s 9,8 m/s (1,5)2 2? ?12

y 5 11,48 m Al calcular

La altura máxima que alcanza la pelota es de 11,48 m.d. Las gráficas se muestran a continuación:

x-t a-tv-tv(m/s)

2015105

�5�10

�15

0,5 1 1,5 2 2,5 3t(s)

11,48

0 1,5 3,0

t(s)

y(m)

1,5 3,0

�9,8

a(m/s2)

t(s)

Procesos físicos

v0 5 15 m/s

g 5 9,5 m/s2

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1 La siguiente es la gráfi ca de x�t, correspon-diente al movimiento de un cuerpo que describe una trayectoría rectílinea.

3 Un automóvil parte del reposo y se mueve con una aceleración constante durante 5 s. Deter-mina si las siguientes afi rmaciones son ciertas o no son ciertas y explica por qué.

a. Durante los dos últimos segundos la velocidad aumenta más rápidamente.

b. La distancia recorrida en los dos primeros se-gundos es menor que la distancia recorrida en los 2 últimos segundos.

5 Después de explicar que en caída libre todos los cuerpos experimentan la misma aceleración, un profesor pregunta a su clase, ¿si suelto desde una altura de 1,8 m un libro y una hoja de papel, caen los dos al mismo tiempo?

a. ¿Qué dirías tú al respecto?

b. Si se hace el experimento, ¿qué sucede cuando se dejan caer los dos cuerpos?

c. ¿Qué propondrías para que se cumpliera lo explicado por el docente con el libro y la hoja?

6 Da un ejemplo de las siguientes situaciones:

a. Un cuerpo que se mueva disminuyendo su aceleración pero aumentando su velocidad.

b. Un cuerpo que instantáneamente esté en re-poso pero su aceleración sea diferente de cero.

a. ¿Cuál es la distancia total recorrida y el despla-zamiento total realizado por el cuerpo durante el movimiento?

b. ¿Cómo es el movimiento del cuerpo entre los 4 y los 6 segundos?

c. ¿Cuál es la rapidez media y la velocidad media del cuerpo entre los 4 y los 14 segundos?

d. ¿En qué intervalos de tiempo la velocidad es negativa? ¿Qué signifi cado tiene?

2 De las siguientes gráficas cuál representa la posición en función del tiempo para un cuerpo que se mueve verticalmente hacia arriba con velocidad inicial v0 y regresa al punto de partida.

c. La gráfi ca de la velocidad en función del tiempo es una recta ascendente que pasa por el origen.

4 La gráfi ca representa la velocidad de un cuerpo que se lanza verticalmente hacia arriba con una determinada velocidad inicial, desde una altura de 29,4 m con respecto al suelo.

Responde:a. ¿Con qué velocidad fue lanzado el cuerpo?

b. ¿En cuánto tiempo alcanzó su altura máxima con respecto al suelo?

c. ¿Cuál es su altura máxima con respecto al suelo?

d. ¿Cuánto tiempo después de iniciar el descenso su rapidez es nuevamente 9,8 m/s? Justifi ca tu respuesta.

e. ¿Con qué velocidad el cuerpo toca el suelo?

2 4 6 8 10 12 14 t (s)

4060

120160

x (m)

�40�80

�120�160

1 2 3

9,8

�9,8

�19,6

v (m/s)

t (s)

y

t

y

t

y

t

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1 Responde. ¿Por qué es importante, para analizar el movimiento de un cuerpo, defi nir primero un sistema de referencia?

2 Responde. ¿Puede un cuerpo moverse y tener una velocidad igual a 0 m/s? Da un ejemplo.

3 Da un ejemplo de un movimiento en el que la velocidad y la rapidez tengan el mismo valor.


Cuando un cuerpo se mueve, el valor de la distancia recorrida es diferente de cero.

El desplazamiento de un cuerpo no puede ser negativo.

En el movimiento rectilíneo uniforme el cuerpo recorre distancias diferentes en inter-valos de tiempos iguales.

Un cuerpo que se mueve cambiando su velo-cidad experimenta una aceleración.

En una gráfi ca de velocidad-tiempo en un movimiento uniforme acelerado, la pen-diente representa la aceleración del movi-miento.

5 Un cuerpo inicia su movimiento para t � 0 s en la posición x � 5 cm, luego alcanza la posición x � 23 cm y fi nalmente se devuelve a la posición x � 17 cm. Si emplea 15 s en todo el recorrido, ¿cuál es su velocidad media?

6 Determina en cuál de las siguientes situaciones la aceleración es 0 m/s2.a. Un paquete en el asiento posterior de un auto-

móvil que parte del reposo.b. Una persona que se ejercita en un caminador a

una velocidad de 4 m/s.c. Un niño que se lanza por un rodadero.d. Unas llaves lanzadas hacia abajo desde la ven-

tana de un apartamento.7 Responde. ¿Qué signifi ca que un cuerpo acelera

a razón de 3 m/s2?8 Un colibrí suspendido en el aire, succiona el

néctar de una fl or durante 5 segundos. ¿Cuál de las siguientes gráfi cas representa su posición en función del tiempo?

11 Plantea un ejemplo en el que un cuerpo esté en movimiento con respecto a un observador y en reposo con respecto a otro.

Explica tu respuesta.

Tema 1. El movimiento rectilíneo

9 Para un objeto que parte del reposo y se mueve con aceleración constante, se cumple que:

a. La distancia recorrida es directamente propor-cional al tiempo.

b. La velocidad en cada instante es directamente proporcional al tiempo transcurrido.

c. La velocidad en cada punto es directamente proporcional a la distancia recorrida.

d. La velocidad en cada instante es directamente proporcional al cuadrado del tiempo transcu-rrido.

10 La gráfi ca de la v�t, para un automóvil que parte del reposo y se mueve con aceleración constante es:

a.

a.

b.

b.

c.

c.

d.

d.

x

t

v

t

x

t

x

t

x

t

v

t

v

t

v

t

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60

0

�60

0,5 1,0 1,5 t(h)

v (km/h)

5 10 15 20 25 30 40

200

100

�100

x (m)

t (s

14 Una patinadora se mueve durante 30 min con velocidad constante de 10 m/s. ¿Qué distancia recorre?

15 Un atleta recorre una pista de un cuarto de milla en 2 minutos. ¿Cuál es la velocidad del atleta en metros por segundo?

16 Una ruta escolar realiza un recorrido de 9 km, a una velocidad constante de 21,6 m/s. ¿Cuántas horas emplea en el recorrido?

12 De los siguientes movimientos observados du-rante un mismo intervalo de tiempo, ¿cuál tiene mayor aceleración y por qué?a. Un ciclista cuya rapidez pasa de 25 m/s a

45 m/s.b. Un automóvil que parte del reposo y alcanza

una velocidad de 72 km/h.13 La gráfi ca de v�t corresponde al movimiento de

un automóvil que se desplaza por una carretera recta.

Responde las siguientes preguntas y justifi ca tus respuestas.a. ¿En qué intervalo o intervalos de tiempo está el

automóvil detenido?b. ¿Cuál es la distancia total recorrida por el auto-

móvil?c. ¿En qué intervalo de tiempo está el automóvil

regresándose y cuántos metros se devuelve?d. En el intervalo de tiempo de t � 0,5 h a t � 1 h,

¿se encuentra el auto a una distancia de 60 km de su posición inicial?

17 Un camión parte del reposo y acelera a razón de 5 m/s2 durante 10 s. ¿Qué distancia recorre?

18 Un automóvil parte del reposo y después de re-correr 1,5 km su velocidad es 45 km/h. ¿Cuántos minutos empleó en recorrer los 1,5 km?

19 Responde. ¿Qué velocidad inicial debe tener un niño en un monopatín para alcanzar una velo-cidad de 15 km/h en 5 s, si acelera a razón de 0,8 m/s2?

20 La gráfi ca de posición-tiempo corresponde a un cuerpo que se desplaza en una trayectoria recti-línea.

a. ¿En algún intervalo de tiempo el cuerpo está quieto? Explique.

b. ¿Cuál es la distancia total recorrida?

c. ¿En qué intervalos la velocidad es negativa?

d. ¿En qué intervalos la velocidad es cero?

e. ¿Cuál es la velocidad media entre 0 y 40 segun-dos?

21 La siguiente tabla registra la variación de la velocidad en el tiempo de una persona en movi-miento.

a. ¿Cuál es la variación de la velocidad en cada intervalo?

b. ¿Cuál es la aceleración media en cada inter-valo?

c. ¿Es el movimiento uniformemente acelerado? ¿Por qué?

t(s) 4 8 12 16 20

v(m/s) 5 10 15 20 25

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0

10

20

30

10 20 30 36 t (s)

v (m/s)

1,5

0

�3,0

4 8 12 16 t (s)

a (cm/s )2

6

22 La gráfi ca de velocidad-tiempo corresponde al movimiento de un automóvil que viaja por un camino recto.

a. ¿Cuál es la distancia total recorrida por el auto-móvil?

b. Construye la gráfi ca de aceleración-tiempo para el movimiento.

23 Un peatón que va a cruzar la calle, viene co-rriendo a 4 m/s cuando observa que el semáforo que está a 2 m, cambia a rojo, entonces dismi-nuye su velocidad y se detiene justo al lado del semáforo.

a. ¿Cuál es su aceleración media?

b. ¿En cuánto tiempo se detuvo?

24 Un ciclista en una competencia corre con velo-cidad de 12 m/s, cuando llega a la parte fi nal de la etapa de la carrera y observa la meta a una distancia de 800 m, entonces, acelera a razón de 0,4 m/s2, cruzando la meta en primer lugar; levanta sus brazos y se detiene 20 s después.

a. ¿A qué velocidad cruzó la meta?

b. ¿Qué distancia recorre después de cruzar la meta?

26 Dos trenes parten simultáneamente desde una estación A hacia una estación B, con velocidades de 65 km/h y 80 km/h, respectivamente, y uno llega 30 minutos antes que el otro. ¿Qué distan-cia hay entre A y B?

27 En una carrera de relevos de 4 � 400 m hombres, el equipo ganador empleó un tiempo de 3 minu-tos 40 segundos.• El primer atleta empleó un minuto y 10 segun-

dos.• El segundo atleta empleó 1 minuto.• El tercero y cuarto emplearon 45 minutos res-

pectivamente.¿Cuál fue la velocidad de cada uno de los atletas?

28 La gráfi ca de aceleración-tiempo corresponde al movimiento de una esfera que parte del reposo y se mueve por un plano horizontal.

a. Construye la gráfi ca de velocidad-tiempo para el movimiento.

b. ¿Cuál es la velocidad máxima que alcanza la esfera y en qué instante de tiempo la alcanza?

c. ¿Cómo es el movimiento de la esfera en los in-tervalos de 0 s a 6 s; 6 s a 12 s y 12 s a 16 s?

d. ¿Cuál es la distancia total recorrida por la es-fera en los 16 s?

29 Un joven en una camioneta viaja a 80 km/h cuando ve a una persona que cruza la calle sin mirar. Tarda 0,5 s en reaccionar, aplica los frenos y se detiene 2 s después. Si la persona se encon-traba a 30 m de la camioneta cuando el joven la vio, ¿alcanzó a ser atropellada?

30 Un motociclista se mueve con aceleración cons-tante de 2 m/s2 y recorre 200 m alcanzando una velocidad de 30 m/s.a. ¿Con qué velocidad inicia el recorrido el moto-

ciclista?b. ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer los 200 m?

25 Se dice que un cuerpo que se mueve a la veloci-dad del sonido tiene una velocidad de 1 match. Un avión supersónico que viaja a 3 match du-rante 45 minutos, ¿qué distancia recorre?

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Tema 2. Caída libre

11 Desde un edifi cio de 15 m se deja caer una pie-dra.

a. ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo?

b. ¿Cuál es su velocidad un instante antes de tocar el suelo?

12 Responde. ¿De qué altura se deja caer un cuerpo que tarda 6 s en tocar el suelo?

13 Un niño, de pie en el rodadero de un parque de 2,5 m de altura, deja caer una pelota de caucho, que al rebotar alcanza una velocidad igual al 20% de la que alcanzó al llegar al suelo. ¿Qué altura alcanza la pelota después del rebote?

1 Responde. ¿Puede afi rmarse que un cuerpo en caída libre, describe un movimiento uniforme-mente variado? ¿Por qué?

2 Responde. ¿El lanzamiento en paracaídas puede considerarse como un movimiento en caída libre? ¿Por qué?

3 Desde una altura h se dejan caer 1 kg de hierro y 1 kg de algodón. ¿Gastan los dos el mismo tiempo en recorrer la altura h? Justifi ca tu res-puesta.


Todos los cuerpos en caída libre experi-mentan la misma aceleración independien-temente de su masa.

Cuando un cuerpo cae libremente solo la fuerza de atracción gravitacional actúa sobre él.

La velocidad que alcanza un cuerpo en caída libre solo depende de la aceleración de la gravedad.

La velocidad fi nal de un cuerpo que cae libre-mente es cero.

5 Un objeto se suelta desde determinada altura y emplea un tiempo t en caer al suelo. Si se cua-druplica la altura desde la cual se suelta:a. el tiempo en caer se duplica.b. el tiempo en caer se cuadriplica.c. la velocidad al caer se cuadriplica.d. la velocidad al caer se reduce a la mitad.

6 Una moneda es lanzada verticalmente hacia arriba. Determina cuál de las siguientes afi rma-ciones es correcta.a. La velocidad en el punto más alto de la trayec-

toria es diferente de cero.b. La aceleración que experimenta es mayor de

subida que de bajada.c. La velocidad inicial con la que se lanza es la

máxima durante el movimiento de subida.d. El tiempo de subida es mayor que el de bajada.

7 La aceleración de la gravedad en la Luna es la sexta parte la de aceleración de la gravedad de la Tierra (g/6). En la Luna se deja caer un cuerpo desde una altura de 5 m.

a. ¿Cuánto tiempo tarda en tocar la superfi cie lunar?

b. ¿Es este tiempo seis veces mayor que el tiempo que tardaría en caer en la Tierra? ¿Por qué?

8 Un estudiante en una práctica de laboratorio, deja caer un cuerpo desde una altura determi-nada y utilizando un cronómetro electrónico, mide la distancia recorrida en cada segundo que transcurre. Si en su tabla de datos aparece que en un segundo recorre 5 m y lleva una velocidad de 10 m/s:

a. ¿se están tomando correctamente los datos? ¿Por qué?

b. ¿cuál es el error relativo para la medición reali-zada de la distancia recorrida en un segundo?

9 Responde. ¿Cómo infl uye la resistencia del aire en la velocidad de regreso al punto de partida de un objeto que inicialmente se lanza hacia arriba?

10 Plantea un ejemplo de un caso en el que sea conveniente considerar la aceleración de la gra-vedad positiva. Indica los signos de la velocidad cuando ha transcurrido determinado tiempo.

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Tema 2. Caída libre

16 Al salir de su apartamento Juan olvida su bille-tera y su celular, le timbra a su mamá para que se los lance por la ventana que se encuentra a 15 m de altura. La mamá deja caer primero el celular y 1 segundo después lanza la billetera. Si los dos caen al mismo tiempo en las manos de Juan, que están a 1,5 m del suelo, ¿con qué velocidad lanzó su mamá la billetera?

17 Camilo avanza con rapidez constante de 3 m/s hacia su casa y antes de llegar silba, para que su hermana María, desde la ventana ubicada en el segundo piso le lance las llaves. Ella saca la mano y deja caer las llaves. Si de la ventana a la altura de la mano de Camilo hay 2,8 m,

a. ¿cuánto tiempo antes de que Camilo llegue debajo de la ventana, debe dejar caer las llaves María para que no se caigan al suelo?

b. ¿a qué distancia máxima puede estar Camilo de la ventana?

18 Desde la parte superior de un edifi cio en llamas, de 15 m de altura, se lanza una persona a una colchoneta de espuma colocada por los bombe-ros al pie del edifi cio. Si la colchoneta se sume 35 cm después de que la persona cae sobre ella,

a. ¿con qué velocidad toca la persona la colcho-neta?

b. ¿qué aceleración experimenta la persona mien-tras está en contacto con la colchoneta?

c. ¿cuánto tiempo dura toda la travesía de la per-sona?

19 En el pozo de los deseos una pareja lanza hacia abajo una moneda con una velocidad de 1,5 m/s y 2 segundos después escucha el impacto de la moneda en el agua. La rapidez de propagación del sonido es de 340 m/s.

a. ¿Qué tiempo emplea la moneda en llegar a la superfi cie del agua?

b. ¿Qué profundidad tiene el pozo hasta la super-fi cie del agua?

20 María está en la terraza de su casa que se encuen-tra a 9 m del suelo y Pedro abajo en el andén de la calle. Si María le deja caer a Pedro una pelota y simultáneamente él desde una altura de 1 m sobre el suelo, lanza a María otra hacia arriba con una velocidad de 8 m/s:

a. ¿en cuánto tiempo las dos pelotas estarán a la misma altura?

b. ¿cuál es el valor de dicha altura?

21 En un ascensor que se mueve hacia arriba con rapidez constante de 6 m/s, una persona deja caer una moneda de su mano a una altura de 1,2 m con respecto al piso del ascensor. ¿Cuánto tiempo tarda la moneda en llegar al piso del as-censor?

2,8 m

1 m

15 m

14 Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba y alcanza una altura de 2,5 m.

a. ¿Con qué velocidad fue lanzada?

b. ¿Cuánto tiempo tarda en regresar al punto de donde fue lanzada?

15 Desde la terraza de un edifi cio se lanza vertical-mente hacia arriba una moneda con una veloci-dad de 5 m/s. Si llega al suelo 4 s después de ser lanzada:

a. ¿a qué altura con respecto al suelo está la te-rraza del edifi cio?

b. ¿qué altura por encima de la terraza del edifi cio alcanza la moneda?

c. ¿con qué velocidad llega la moneda el suelo?

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1. Representa gráfi camente los dardos en papel milimetrado. Escribe la distancia recorrida en el eje vertical y el tiempo em-pleado en el eje horizontal. Luego, traza la gráfi ca correspon-diente.

2. ¿Cuál es la velocidad que alcanza la esfera?3. ¿La canica se mueve durante todo el intervalo con la misma

velocidad? Explica.


1. Construye un plano inclinado con la regla de un metro y el bloque de madera.

2. Desde el borde inferior del plano inclinado hasta el extremo de la mesa, dibuja marcas separadas a 20 cm.

3. Deja rodar libremente, desde el borde superior del plano incli-nado, la canica.

4. Con el cronómetro, toma el tiempo que la esfera emplea en re-correr 20 cm, 40 cm, 60 cm, etc. Para cada distancia, realiza tres veces la medición.

5. Calcula el tiempo promedio entre las tres mediciones.6. Registra los datos obtenidos en la siguiente tabla.

ProcedimientoMateriales■ Regla de un metro.■ Un bloque de madera de

5 cm de lado y 10 cm de alto.■ Mesa horizontal.■ Metro.■ Canicas.■ Cronómetro.■ 1 hoja de papel milimetrado.■ Regla de 30 cm.

En la naturaleza observamos diferentes tipos de movimientos pero nunca nos detenemos a cuestionar las características de estos.Para reconocer la diferencia entre un movimiento y otro, es indispensable medir tiempos y distancias recorridas por un objeto y analizar los cambios de estas magnitudes. En esta práctica medirás tiempos y distancias para reconocer si es un movimiento rectilíneo uniforme.

Conocimientos previosGrafi car coordenadas, distancia recorrida, velocidad y tiempo.


Distancia (cm) Tiempo (s)

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Responde:1. ¿Qué sucedió con la hoja y con el libro?2. ¿Hay alguna diferencia en los dos lanzamientos de las pelotas?

¿Por qué? Analiza lo que sucede con cada experimento.


1. Extiende tus brazos sosteniendo una pelota de tenis en cada mano y suéltalas. Observa qué pasa con ellas.

2. Corta un pedazo de cuerda de unos 15 cm y usa cinta adhesiva para fi jar un extremo a cada pelota. Así formas un sistema doble.

3. Extiende de nuevo tus manos y sostén con una de ellas la pelota de tenis restante y con la otra, el sistema doble.

Procedimiento

Experimento 2: Gravedad.

1. Pon la hoja sobre el libro.2. Sostén el libro horizontalmente a un metro de altura, con una

hoja sobre su cara superior.3. Coloca la almohada en el piso para que proteja la caída del libro.4. Antes de soltar el libro, trata de adivinar qué pasará con la hoja.

Procedimiento

Experimento 1: Caída libre.Materiales■ Una hoja de papel.■ Almohada.■ Libro.■ Tres pelotas de tenis.■ Cuerda.■ Cinta adhesiva.■ Tijeras.

Cuando un cuerpo se deja caer y se desplaza verticalmente con una aceleración constante, hace que su rapidez aumente uniformemente en la medida que transcurre el tiempo de caída. Si se desprecia la resistencia del aire y suponiendo que actúa la aceleración gravitacional de forma constante, entonces, el movimiento es de caída libre.En esta práctica vas a observar los efectos producidos por la gravedad en algunos objetos.

Conocimientos previosMovimiento uniforme variado, aceleración gravitacional y velocidad.

Movimiento vertical

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CIENCIA TECNOLOGÍA

El Rover Sojourner es el primer vehículo robótico que fue enviado al planeta Marte en la misión Mars Pathfi nder.El vehículo cuenta con 6 ruedas y sus dimensiones son: 65 cm de largo, 45 cm de ancho y 30 cm de altura. Su peso es de 10,6 kg, la máxima velocidad que alcanza es de 1 cm/s y puede desplazarse hasta 500 m desde el Lander.

Fue una misión a Marte apoyada por Estados Unidos con el fi n de explorar el planeta rojo a bajo costo.Entre la misión se pretendía analizar la atmósfera, el clima y la composición de rocas y el suelo. La misión fue dirigida por el Caltech, Instituto de Tecnología de California.

El contenedor de instrumentos electrónicos cuenta con procesador Intel 80C85 de 8 bits. El contenedor está asistido térmicamente para que el sistema eléctrico resista las extremas condiciones climáticas de Marte.

El Rover estaba dotado de un espectrómetro de rayos X alfa protón que fue utilizado para el análisis de la roca Marciana.

Mars Pathfi nder

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La antena permite la recepción de señales de su Lander.

En la superfi cie superior tiene un panel solar que suministra energía necesaria para su movimiento.

El Lander hace las veces de torre de control y es a donde llega

y se envía la información al Rover Sojourner.

En esta parte cuenta con cámaras y lásers que permiten capturar imágenes de la distribución de los suelos y rocas.

Las ruedas tienen un diámetro de 13 cm y fueron fabricadas con aluminio. Todas las ruedas tienen un movimiento independiente. Se puede observar el trayecto

recorrido por el Rover y las rocas estudiadas.

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3UNIDAD

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1. Magnitudes vectoriales2. Movimiento de proyectiles

Temas de la unidad

Movimiento en el plano

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ENTORNO VIVO

© Santillana 69

Para responder…

■ ¿Cuál será la instrucción que da un operador en una torre de control de un aeropuerto para orientar un aviador?

■ ¿En qué punto consideras que un balón lanzado hacia la cesta de baloncesto tiene velocidad mínima?

■ ¿Cuál es la trayectoria que sigue una persona que intenta atravesar un río nadando en forma perpendicular a la orilla cuando el río corre en cierta dirección?

La mayoría de los objetos que se encuentran en movimiento no siempre descri-ben trayectorias rectilíneas. Es muy común que se produzcan cambios de direc-ción al caminar o al movilizarnos en cualquier medio de transporte.

Muchos movimientos se pueden describir con bastante exactitud, a partir del estudio de los movimientos en el plano, como el disparo de proyectiles o el lan-zamiento de satélites, cuya trayectoria descrita resulta de la composición de dos movimientos: uno vertical y uno horizontal.

Sin embargo, en el estudio de estos fenómenos, algunas magnitudes no quedan bien defi nidas si no se conoce hacia dónde están orientadas. Por ejemplo, no es lo mismo dirigirse a 80 km/h hacia la derecha que hacerlo, con la misma rapidez, hacia la izquierda. Por tal razón, es necesario defi nir su magnitud vectorial, la cual se describe mediante vectores.

En esta unidad, estudiaremos el movimiento de los cuerpos en el plano, su rela-ción con los vectores y la defi nición vectorial de las magnitudes posición, veloci-dad y aceleración.

Para pensar…

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70


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z

A

P

O

x

y

1. Magnitudes vectorialesEn la unidad anterior vimos que, para describir el movimiento de un ob-jeto, es necesario indicar la posición, el desplazamiento, la velocidad y la aceleración en diferentes instantes. Cuando el movimiento de un objeto se produce en el plano o en el espacio, estas magnitudes se expresan por medio de vectores.

1.1 Los vectoresAlgunas de las magnitudes que utilizamos para describir los fenóme-nos sólo requieren un número y una unidad para quedar definidas. Por ejemplo, para indicar la temperatura del cuerpo humano basta con escribir 37 °C. En este caso, se requiere el número 37 y la unidad °C. A estas magnitudes, como la masa, la densidad y el tiempo, entre otras, se les llama magnitudes escalares.Otras magnitudes no se pueden representar solamente con un número seguido de una unidad. Por ejemplo, para indicar la velocidad de un avión se debe conocer la rapidez con que se mueve, la cual se describe mediante un número y una unidad, pero también se necesita indicar la dirección del movimiento.Así, es posible describir la velocidad de un avión como 800 km/h en di-rección 65° hacia el noreste, caso en el cual la dirección del movimiento forma un ángulo de 65° con la línea oeste-este. De la misma manera, resultaría imposible localizar un punto a partir de otro sin conocer la dirección que se debe seguir. Es muy poco lo que se puede decir de un movimiento sin describir la dirección en que se produce, por esta razón usaremos el concepto de vector para tales descripciones.

Figura 1. Vector A, que representa la posición del punto P con respecto a O.

La posición de un objeto con respecto a un punto es una magnitud vec-torial. En la figura 1 se ha trazado un vector A para indicar la posición del punto P con respecto al punto O.La aceleración es una magnitud vectorial pues por ejemplo, la acelera-ción de la gravedad mide 9,8 m/s2 y está dirigida hacia abajo. La fuerza, de la cual nos ocuparemos en la siguiente unidad, también es un ejemplo de magnitud vectorial, pues hay diferencia entre aplicar sobre un cuerpo una fuerza hacia la derecha o ejercerla hacia la izquierda.Todo vector tiene una norma y una dirección.n La norma siempre es un número positivo que se expresa en las uni-

dades de la magnitud que representa. Por ejemplo, la norma de la velocidad en el Sistema Internacional de Unidades, se expresa en m/s y corresponde a lo que hemos llamado rapidez.

n La dirección de un vector está determinada por la dirección de la recta que lo contiene. Por ejemplo, la velocidad en un movimiento rectilíneo, coincide con la dirección de la recta sobre la cual se pro-duce este movimiento.

Un vector es un segmento dirigido cuya longitud es proporcional al valor numérico de la medida que representa. Las magnitudes vectoriales se re-presentan por medio de vectores.

Definición

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Componente: Entorno físicoEntorno físico

La dirección está representada por el ángulo que forma el vector con alguna dirección tomada como referencia. En la siguiente gráfi ca mos-tramos los elementos mencionados:

n La norma es la longitud del vector.

n La dirección es el ángulo que el vector forma con la parte positiva del eje x.

Los vectores se denotan simbólicamente con una letra y una fl echa sobre la letra. Por ejemplo, la ace-leración a , la velocidad v , la posición r . La norma de un vector se representa con la misma letra pero sin fl echa o entre barras. Por ejemplo, la norma del vector v , se representa por v o por � v �.

El proceso de medición de una magnitud exige poder compararla con otra de la misma naturaleza. Para ello, se defi ne la igualdad entre vec-tores.

1.2 El vector desplazamientoConsideremos que un cuerpo puntual describe una tra-yectoria y que este cuerpo en su recorrido pasa por los puntos P1 y P2 como se muestra en la gráfi ca.

Las posiciones en los puntos P1 y P2 se representan por los vectores r1 y r2 , respectivamente.

Esta descripción signifi ca que en el tiempo t:

n el móvil se encuentra en el punto P2.

n ha recorrido una distancia a lo largo de la trayectoria descrita desde P1 hasta P2.

n se ha desplazado a partir de la posición inicial P1 hasta P2 según el vector d .

1.3 El vector velocidad

1.3.1 Velocidad mediaPara el movimiento rectilíneo hemos defi nido la velocidad media adqui-

rida por un objeto como v x

t� ��

Dos vectores son iguales, si al trasladar uno de ellos manteniendo, cons-tante la norma y la dirección, se puede hacer coincidir con el otro.

Se llama vector desplazamiento d 5 Dr 5 r2 2 r1 desde P1 hasta P2, al vector que tiene su origen en la posición inicial P1 y su punto fi nal coincide con la posición fi nal P2 del móvil.

Norma

dirección

origen x

y

punto final

t � 0

r1

0 x

y

d � r � rPt

d

r

P

12

1

2

2

Defi nición

Defi nición

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Magnitudes vectoriales

r1

0 x

y

P

d

r

P1

2

2

v

P

y

x

P3

P2P1

vr3

r2r1

d1

B

O

A

d 1 � d

2

d1

d 2

Figura 2. Vector velocidad media entre los puntos P1 y P2.

Figura 3. Vector desplazamiento d1 entre los puntos P y P1.

Figura 4. Vector suma, representa el desplazamiento desde O hasta B.

De manera análoga, como el desplazamiento en el plano se representa por el vector D r , definimos la velocidad media como:

v rt� �

�

La dirección del vector velocidad media coincide con la dirección del vector desplazamiento (figura 2).

1.3.2 Velocidad instantáneaSupongamos que un cuerpo se traslada desde el punto P hasta el punto P1, en un intervalo de tiempo Dt1; en este caso, el vector desplazamiento es d1 (figura 3). Si tomamos intervalos de tiempo cada vez más cortos, los vectores desplazamiento se van “ciñendo” a la trayectoria. Como la velocidad tiene la misma dirección del desplazamiento, para intervalos de tiempo cada vez más cortos, la velocidad media se aproxima a la ve-locidad instantánea, cuya dirección es tangente a la trayectoria.El vector velocidad instantánea tiene las siguientes características:n Norma. Medida de la velocidad, también llamada rapidez.n Dirección. La dirección de la velocidad instantánea está determinada

por la tangente a la trayectoria en cada punto. La flecha del vector indica la dirección en la cual se produce el movimiento.

Para cada punto de la trayectoria, el vector velocidad instantánea se re-presenta con origen en dicho punto.

1.4 Suma gráfica de vectoresEs posible definir operaciones entre vectores. Por ejemplo, la figura 4.Para ilustrar el significado de la suma de dos vectores, supongamos que un objeto parte del punto O y se desplaza hasta el punto A (d1). Una vez se encuentra en el punto A, se desplaza hasta el punto B (d2). Para determinar el desplazamiento desde el punto O hasta el punto B, trazamos un vector con origen en el punto O y punto final en B. El vector con punto de partida en O y punto final en B es el vector suma d1 1 d2 (figura 4).Para determinar gráficamente la suma de dos vectores se hace coincidir en el punto final de uno de ellos el origen del otro vector, como se mues-tra en la figura de la izquierda, sin cambiar ni la norma ni la dirección de cada uno; el vector suma se obtiene al unir el origen del primero con el punto final del segundo.

b

a

a �

b

a

b

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Figura 5. Vector suma de dos vectores con origen común.

Es posible sumar dos vectores que tienen un origen común, por ejemplo, las fuerzas que actúan sobre un objeto. Para aplicar el método que hemos descrito, podemos construir un paralelogramo (figura 5). El vector suma es la diago-nal del paralelogramo cuyo origen coincide con el de los dos vectores. A este procedimiento para obtener gráficamente la suma de dos vectores se le llama regla del paralelogramo.

EJEMPLO

Cuando no corre viento, un avión se mueve con velocidad va como muestra la figura. Si corre viento con velocidad vb

, el movimiento del avión cambia de dirección. Determinar gráficamente la dirección del avión con respecto a la Tierra cuando hay viento con velocidad vv.

Solución:La velocidad con la cual se mueve el avión con respecto a la Tierra cuando hay viento con velocidad vv se obtiene sumando los vectores va y vv .La velocidad v del avión con respecto a la Tierra es v 5 va 1 vv

Gráficamente se construye el parale-logramo como se muestra en la figura.

1.5 Composición de movimientosEn la naturaleza es posible observar que los cuerpos se mueven por acción de dos mo-vimientos, tal es el caso de los barcos que navegan en contra de la corriente. Cuando el movimiento de un móvil es el resultado de dos o más movimientos simultáneos, se dice que está sujeto a una composición de movimientos.El estudio de este fenómeno se fundamenta en el principio de independencia, enun-ciado por Galileo.

Esto significa que si, debido a un movimiento la velocidad es v1 y debido a otro mo-vimiento la velocidad es v2 , la velocidad v del objeto, resultado de la composición de los dos primeros es:v 5 v1 1 v2

vva

vv

N

EO

S

O

a

B

a � b

b

Principio de independenciaSi un móvil está sometido a dos movimientos, su cambio de posición es independiente de si la ocurrencia de los movimientos se produce de forma sucesiva o de forma simultánea.

Definición

EJERCICIO Unaviónviajaa800km/henausencia

de viento. En el caso de que hubieraviento que viaja a 100 km/h en lamismadirección,¿aquévelocidadsemueveelaviónconrespectoalaTierra?¿A qué velocidad viaja el avión conrespectoalaTierrasielvientocorreencontradeél?

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Figura 6. Velocidad de un movimiento que es resultado de la composición de dos movimientos.

En los movimientos uniformes se pueden presentar los siguientes casos:

Caso 1. Movimientos en el mismo sentidoConsideremos una persona que se encuentra sobre una rampa que se mueve con velocidad v1. Si la persona se mueve en el mismo sentido, y con velocidad v2 , con respecto a la rampa es posible determinar la velo-cidad de la persona con respecto a un observador en reposo fuera de la rampa. Por ejemplo, si la velocidad de la rampa es 12 m/s y la velocidad de la persona con respecto a la rampa es 2 m/s, con respecto al observa-dor situado fuera de esta, la velocidad que lleva la persona es

12 m/s 1 2 m/s 5 14 m/s.

Caso 2. Movimientos en sentido contrarioConsideremos que la persona se mueve sobre la rampa en sentido con-trario al movimiento de esta. Por ejemplo, si la velocidad de la rampa es 12 m/s y la velocidad de la persona con respecto a la rampa es 2 m/s, la velocidad de la persona es 12 m/s 2 2 m/s 5 10 m/s.

Caso 3. Composición de movimientos perpendicularesSi una persona se mueve en dirección perpendicular a la dirección en que se mueve la rampa, el movimiento de la persona con respecto a un observador en la vía resulta de la composición del movimiento de la rampa con velocidad vp y del movimiento de la persona con respecto a la rampa con velocidad v0 . A la vez que la persona atraviesa la rampa, se mueve lateralmente por la acción del movimiento de esta. La compo-sición de los dos movimientos da lugar al movimiento cuya velocidad v se representa en la figura 6.La velocidad v que resulta de la composición de los dos movimientos se expresa v 5 vp 1 v0

v � 2 m/s

v � 12 m/s

2

1

v � 12 m/s

v � 2 m/s

Figura 7. La velocidad v es el resultado de sumar la velocidad vp de la plataforma y la velocidad v0 de la persona.

v

vp

vp

vv

v0

v0

Cuandodosvectoresestáncontenidosen lamismarecta,paradeterminarlanormadelasumasepuedenpresentardoscasos:• Silosdosindicanenelmismosentido,se

sumanlasnormasyladireccióndelvectorsumacoincideconladelosdosvectores.

• Si los dos vectores indican en sentidoscontrarios,serestanlasnormasyladirec-cióndelasumacoincideconladireccióndelvectorconmayornorma.


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Caso 4. Composición de movimientos uniformes cuyas direcciones forman un ángulo determinadoEn la figura 8 (vista superior) se muestra la dirección del movimiento de una persona sobre la plataforma sometida a dos efectos. En primer lugar, se mueve con respecto a la plataforma y, en segundo lugar, la plataforma se mueve con respecto a la vía con velocidad vp. La persona avanza con respecto a la plataforma, con velocidad v0, en la dirección señalada. Por medio de la suma de vectores combinamos estos dos efectos. La velo-cidad v de la persona con respecto a la vía se determina gráficamente, como se muestra en la figura 8.

1.6 Componentes de un vectorSupongamos que un avión se mueve en la dirección mostrada en la figura 10 de la página siguiente. Su velocidad es el resultado de la composición de dos movimientos, uno en la dirección del eje x y otro en la dirección del eje y.En este caso decimos que la velocidad tiene dos componentes rectangu-lares, una en cada eje. A la componente sobre el eje x la llamamos vx y a la componente sobre el eje y la llamamos vy.A partir de las componentes expresamos el vector v como:v 5 (vx, vy)La norma del vector v se relaciona con las componentes por medio del teorema de Pitágoras así:

� � v vx y� �2 2v

v0

vp

v

Figura 8. Dirección del movimiento de una persona sometida a dos velocidades (vista superior).

Figura 9. La velocidad v es el resultado de sumar la velocidad vp de la plataforma y la velocidad v0 de la persona.

EJEMPLO

Una persona se mueve sobre una plataforma en dirección perpendicular a la dirección de esta. Si la veloci-dad de la plataforma es 12 km/h y la velocidad de la persona es de 2 m/s, determinar la velocidad (norma y dirección) con que la persona se mueve con respecto a la vía.Solución:Primero se deben expresar todas las magnitudes en las mismas unidades de medida. Así:

12 12km h kmh

1.000m1km

1h3.600 s5 5? ? 3,3m s Factoresde conversión

La dirección del movimiento de la plataforma es perpendicular a la dirección del movimiento de la persona. Por tanto, de la gráfica de la situación se puede ver que v es la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Así

v m/s m/s 3,9 m/s2 2� � �(3,3 ) (2 )

Para determinar la medida del ángulo a, tenemos

tan m sm s Pv

vp�� 0 2

3,9 0,513 uues tan catetoopuestocatetoadyacente��

Luego a 5 tan21 0,513 5 27,1°En conclusión, la persona se desplaza respecto a la vía con una velocidad de 3,9 m/s, en la dirección determinada por el ángulo de 27,1° con respecto a la dirección de movimiento de la plataforma.

v0

vp

v

�

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Figura 10. Vector velocidad de un avión que se mueve bajo la acción de dos velocidades, una horizontal y una vertical.

1.7 Suma analítica de vectoresPara sumar dos vectores, primero se hallan sus componentes rectangulares y luego, se suman.

Paso 1. Descomposición de los vectoresConsideremos un avión que se mueve cuando hay viento. Para determinar la ve-locidad v del avión con respecto a la Tierra, sumamos la velocidad que tendría el avión cuando no corre viento va con la velocidad del viento vv. Ahora resolveremos la situación a partir de las componentes de los vectores velocidad va y vv formando como referencia el plano cartesiano.

EJEMPLO

Determinar las componentes del vector v cuya norma es 10 cm y forma, con la parte positiva del eje x, un ángulo de 60°.

Solución:

La gráfica de la derecha es una representación de la situación.

Las componentes del vector v son:

vx 5 v cos a 5 10 cm ? cos 60° 5 5 cm

vy 5 v sen a 5 10 cm ? sen 60° 5 8,7 cmPor tanto, el vector v se expresa como v 5 (5; 8,7) con sus componentes medidas en centímetros.

60º

v � 10

v

y

xvx

vy

Las componentes del vector v se relacionan con la norma de v y con el ángulo a mediante las siguientes expresiones trigonométricas:

cos sen� � � �vv

vy

x y

De donde:vx 5 v ? cos avy 5 v ? sen a

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La velocidad del avión va tiene dos componentes, una sobre el eje x, a la que llamamos vax y otra sobre el eje y, a la que llamamos vay.Por ende, escribimos el vector velocidad del avión como:

va 5 (vax, vay)

La velocidad del viento vv tiene dos componentes vvx y vvy, por ende, escribimos el vector velocidad del viento como:

vv 5 (vvx, vvy)

P?aso 2. Suma de las componentesA continuación se muestra el vector velocidad, v 5 va 1 vv, del avión con respecto a la Tierra.

Este vector tiene dos componentes una sobre el eje x, vx, y otra sobre el eje y, vy. Por ende, escribimos el vector velocidad del avión con respecto a la Tierra como: v 5 (vx, vy)Tenemos que las componentes del vector suma v 5 va 1 vv son: vx 5 vax 1 vvx y vy 5 vay 1 vvy

La componente en el eje x del vector suma es igual a la suma de las com-ponentes en el eje x.La componente en y del vector suma es igual a la suma de las componen-tes en y de los vectores.

EJEMPLO

Carlos se mueve en línea recta de esquina a esquina de una plataforma en movimiento con velocidad constante de 2 m/s. La velocidad con que se mueve la plataforma es de 5 m/s hacia el este. En la gráfi ca se representa la situación.

Determinar:a. Las componentes del vector velocidad de la plataforma.b. Las componentes del vector velocidad de Carlos con respecto a la plataforma.c. La suma de los vectores velocidad de la plataforma y velocidad de Carlos con respecto a la plataforma.d. La norma y la dirección de la velocidad de Carlos con respecto a la vía.

Sumaanalíticadevectores


va5 (vax , vay )vb5 (vbx , vby )va1 vb5 (vax1 vbx , vay1 vby )

Procesos físicos

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2. Movimiento de proyectilesLa trayectoria seguida por un proyectil en su lanzamiento resulta de la composición de dos movimientos, uno vertical y otro horizontal.

2.1 El principio de inerciaCuando damos un empujón repentino a un objeto que está sobre una superficie plana horizontal hecha de cemento, este empieza a moverse y, en algún momento se detiene. Si ahora damos el empujón al mismo objeto sobre una superficie de hielo, podemos observar que antes de detenerse su desplazamiento es mayor con relación al despla-zamiento anterior. Cabe preguntarnos, ¿un objeto se puede mover indefinidamente con sólo darle un empujón inicial?

EJEMPLO

Solución:Antes de iniciar con la solución, resulta bastante útil hacer una representación de la situación sobre el plano cartesiano.

a. Sea vp el vector velocidad de la plataforma.Las componentes de vp se escriben como:vpx 5 5 m/s y vpy 5 0Por lo tanto, vp 5 (5, 0), con sus componentes medidas en m/s.

b. Sea vc el vector velocidad de Carlos. Las componentes del vector vc se escriben así: vcx 5 2vc ? cos 37° vcx 5 22 m/s ? 0,8 5 21,6 m/s vcy 5 vc ? sen 37° vcy 5 2 m/s ? 0,6 5 1,2 m/sObserva que a la componente en x de la velocidad le asignamos un signo menos, pues este indica la dirección negativa del eje x.Así, vc 5 (21,6; 1,2), con las componentes medidas en m/s.

c. La suma de los vectores vp y vc, que se representa vp 1 vc , se determina sumando las respectivas componen-tes en x y en y. Así:vp 5 (5; 0)

vc 5 (21,6; 1,2) Las componentes del vector v están medidas en m/s.

v 5 (3,4; 1,2)El vector v 5 (3,4; 1,2) obtenido representa la velocidad de Carlos con respecto a la vía.

d. La norma del vector v es:

v (3,4 m/s) (1,2 m/s) 3,6 m/s2 2� � �

La dirección está dada por el ángulo a y se determina por la función tangente. Así:

tan� � �1,2 0,3533 4, Por tanto, a 5 tan21 0,353 5 19,4°

En conclusión la persona se mueve con respecto a la vía a 3,6 m/s en dirección 19,4° hacia el noreste.

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Figura 11. Movimiento de un cuerpo por dos planos con la misma inclinación.

Figura 12. Movimiento de un cuerpo por dos planos con diferente inclinación.

Figura 13. Movimiento de un cuerpo por dos planos, uno inclinado y otro horizontal.

Según la física aristotélica de la antigüedad, se pensaba que en ningún caso, el movimiento de los objetos en la Tierra podría continuar indefi -nidamente pues este se consideraba de carácter transitorio. En la época de Galileo, se aceptó la tendencia natural del movimiento de un objeto, a menos que fuera interrumpido por la presencia de asperezas en las superfi cies con las que tuviera contacto, era continuar indefi nidamente.

Consideremos el siguiente experimento con dos planos inclinados que se unen por sus extremos como lo muestra la fi gura 11. Si una esfera se suelta desde cierta altura en uno de los planos, su velocidad se in-crementa con aceleración constante hasta llegar a la base del plano y, posteriormente, subirá por el otro plano hasta detenerse en un punto de altura ligeramente menor con respecto a la altura inicial desde la cual se ha soltado en el primer plano.

Al disminuir la inclinación del segundo plano, como muestra la fi gura 12, el resultado del experimento sigue siendo el mismo. La esfera llega a una altura un poco menor que la altura del punto desde el cual se ha soltado en el primer plano, aún cuando recorre mayor distancia.

Ahora supongamos que el segundo plano se dispone horizontalmente como lo muestra la fi gura 13 y que su superfi cie es perfectamente lisa, libre de asperezas, cabe esperar que la bola ruede indefi nidamente man-teniendo su velocidad constante.A partir de razonamientos como los presentados en los párrafos prece-dentes, Galileo enunció el principio de inercia:

Supongamos que una persona se transporta en un bus que se mueve con velocidad constante. Si lanza una moneda hacia arriba, ¿esta cae de nuevo a sus manos?, ¿cae detrás de ella? o ¿delante de ella?

A continuación se muestra la trayectoria que describiría un observador dentro del bus.

El movimiento descrito por quien lanza la moneda en el bus es el de un objeto que se mueve inicialmente hacia arriba con determinada veloci-dad hasta que alcanza velocidad cero y entonces, cae.

Un cuerpo que se mueve por una superfi cie plana permanecerá en movi-miento en la misma dirección con velocidad constante si nada lo perturba.

Defi nición

Procesos físicos

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Movimiento de proyectiles

En la situación planteada en el ejemplo, si el bus está en reposo o se mueve con velocidad constante, la moneda cae en manos de quien la lanzó. El principio de inercia modificó las orientaciones que había acerca del movimiento y entonces se hizo necesario reconocer cierta afinidad entre un objeto en reposo y otro moviéndose en línea recta con velocidad constante.

Para analizar lo que vería un observador en la vía, aplicamos el principio de independencia y el principio de inercia. El movimiento de la moneda está compuesto por dos movimientos indepen-dientes.n Uno de ellos corresponde al movimiento vertical de un objeto lanzado hacia arriba que regresa

al punto de partida.n El otro movimiento corresponde al movimiento horizontal con velocidad constante.

EJEMPLO

Resuelve la siguiente situación.Andrés lanza una moneda con velocidad de 2,45 m/s dentro de un bus que se mueve con velocidad de 10 m/s. Determinar:a. El tiempo que emplea la moneda en alcanzar el punto más

alto.b. La altura máxima que alcanza la moneda.c. La distancia que recorre el bus mientras la moneda está en

el aire.Solución:Para analizar lo que vería un observador en la vía, aplicamos el principio de independencia y el principio de inercia.El movimiento de la moneda se compone de dos movimientos independientes.• Uno corresponde al movimiento vertical de un objeto lanzado hacia arriba que regresa al

punto de partida.• El otro corresponde al movimiento horizontal con velocidad constante.

a. Para determinar el tiempo en que la moneda alcanza el punto más alto, consideremos las características de la situación dentro del bus.En el punto más alto de la trayectoria, la velocidad de la moneda es cero. Por ende,v 5 v0 2 gt0 5 2,45 m/s 2 9,8 m/s2 tt 5 0,25 s Se despeja el tiempoEl tiempo en que la moneda alcanza la altura máxima es t 5 0,25 s.

b. La altura que alcanza la moneda se determina mediante la ecuación:

y v t gt� � � �02 22,45 /s 0,25 9,8 /s1

212m s m? ? ? ((0,25)2

y 5 0,30 m

La altura que alcanza la moneda es 0,30 m.

c. La distancia que recorre el bus mientras la moneda alcanza la altura de 0,30 m, se determina con la ecuación para el movimiento uniforme: Dx 5 v ? t 5 10 m/s ? 0,25 s 5 2,5 mLa moneda regresa a las manos de Andrés 0,5 segundos después; entre tanto, el bus se desplaza 5 m. Esta medida corresponde al doble de la distancia recorrida por él mientras la moneda asciende.

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Figura 14. Disparo horizontal de un proyectil.

2.2 Lanzamiento horizontalLlamamos lanzamiento horizontal al movimiento que describe un proyectil cuando se dispara horizontalmente desde cierta altura con velocidad inicial v0. Es decir, perpendicularmente a la aceleración de la gravedad g (figura 14).Analicemos ahora cuál es la diferencia entre este movimiento de lan-zamiento horizontal y el de caída libre que estudiamos en la unidad anterior.Para analizar este movimiento, supongamos que se lanza una pelota desde la superficie de una mesa en forma horizontal con velocidad v0 como se muestra a la derecha.En el caso del lanzamiento horizontal la pelota, al caer, se desplaza hori-zontalmente. El movimiento se produce en el plano, en dos direcciones: una en el eje x y la otra en el eje y. Si bien, a primera vista, la trayectoria de la pelota puede parecer complicada, veremos que el hecho de descom-poner el movimiento en estas dos direcciones simplificar notablemente el problema.

El movimiento horizontalLa figura ilustra que en la dirección horizontal la pelota experimenta desplazamientos iguales en tiempos iguales, es decir, que el movimiento horizontal ocurre con velocidad constante.Más aún la velocidad con la que avanza la pelota en dirección horizontal coincide con la velocidad con la cual la pelota abandonó la superficie de la mesa. Así, en la dirección horizontal la pelota se mueve siempre con la misma velocidad, es decir, que no hay aceleración, por tanto, el movi-miento horizontal es uniforme.

El movimiento verticalLa figura ilustra que la pelota experimenta desplazamientos cada vez mayores en intervalos iguales de tiempo, es decir, que el movimiento vertical de la pelota se realiza con velocidad variable. El movimiento vertical de la pelota es igual que el movimiento que des-cribe un objeto en caída libre que se suelta desde el borde de la mesa. Es decir que el movimiento vertical de la pelota es uniformemente acelerado con una aceleración igual a la aceleración de la gravedad.En la figura hemos proyectado el movimiento de la pelota para cinco intervalos iguales de tiempo.

v0

g

vo

EJERCICIO Imagina que desde el borde de la

mesa se lanza horizontalmente unapelota y al tiempo se deja caer otradesde la misma altura. ¿Cuál caeprimero al piso? ¿Cuál llega conmayorvelocidad?

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y

0

y

x

xP vx

vvy

Figura 15. Composición de un movimiento que tiene como sistema de referencia los ejes de coordenadas cartesianas.

Figura 16. Forma parabólica de la trayectoria del movimiento.

En conclusión, el movimiento descrito por un objeto que se lanza hori-zontalmente, está compuesto por dos movimientos: uno rectilíneo uni-forme (en el eje x); y otro, rectilíneo uniformemente acelerado (en el eje y). La combinación de estos dos movimientos determina la trayectoria que describe el cuerpo.

Para estudiar esta composición de movimientos rectilíneos, elijamos como sistema de referencia el que se forma por dos ejes de coordenadas cartesianas x-y cuyo origen (0, 0) se sitúa en el punto de disparo (figura 15).

En cualquier punto de la trayectoria, la velocidad del objeto tiene por componentes vx y vy, es decir, que la velocidad es v 5 (vx, vy) y su direc-ción es tangente a la trayectoria.

Analicemos los dos movimientos, en el eje x y en el eje y, para un objeto que se lanza horizontalmente con velocidad v0 cuando se desprecia la resistencia del aire.

Movimiento horizontalEn cualquier posición, la componente vx de la velocidad del proyectil coincide con la velocidad inicial v0.

Es decir,

vx 5 v0

La coordenada de la posición en el eje x se expresa como:

x 5 v0 t

Movimiento verticalEs un movimiento de caída libre, con velocidad inicial cero.

Para cualquier posición, la componente vy de la velocidad del proyectil coincide con la velocidad de caída de un cuerpo que se suelta desde la misma altura.

Por tanto, vy 5 v0y 2 gt donde v0y

5 0, luego,

vy 5 2g ? t

La coordenada de la posición en el eje y se expresa como:

y v t gt02

y� � 12

como v0y 5 0, tenemos que

y gt 2� � 12

Para determinar la forma de la trayectoria seguida por el proyectil, a

partir de la expresión x 5 v0 ? t obtenemos que t 5 xv0

Al sustituir esta expresión del tiempo se obtiene

y gt g xv y gx

v, luego 22

2

� � � � � �12

12 0

2

02? ( )

lo cual corresponde a la parábola como se muestra en la figura 16.

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83


2.3 Movimiento de proyectilesSupongamos que se lanza un objeto, con velocidad v0, que forma con la horizontal un ángulo a0 (figura 17). La velocidad inicial tiene dos com-ponentes: v0x y v0y, las cuales se determinan por:

v0x 5 v0 ? cos a0

v0y 5 v0 ? sen a0

Al igual que en el lanzamiento horizontal, este movimiento resulta de la composición de dos movimientos: uno vertical, con velocidad v0y

, que corresponde al de un objeto lanzado hacia arriba y que regresa a la tierra, y otro horizontal con velocidad constante v0x (figura 18).La aceleración en el movimiento vertical hacia arriba es igual aceleración cuando se dirige hacia abajo. El cuerpo al ascender disminuye la veloci-dad hasta que por un instante, su velocidad vertical es cero, en el punto más alto, y luego desciende empleando en regresar al nivel desde el que fue lanzado, el mismo tiempo que cuando subió.

Figura 17. Vector velocidad inicial.

Figura 18. Movimiento parabólico.

© Santillana

EJEMPLO

Desde la superficie de una mesa de 1,2 m de alto se lanza horizontalmente una pelota, con velocidad inicial de 5 m/s. Determinar:a. La posición de la pelota 0,2 segundos después del lanzamiento.b. La posición de la pelota al chocar con el piso.c. La velocidad de la pelota inmediatamente antes de chocar

con el piso.Solución:La situación se puede representar con el dibujo de la derecha.a. Al cabo de 0,2 segundos, las coordenadas de la posición P

son:x 5 v0t 5 5 m/s ? 0,2 s 5 1 m

y gt� � � � � �12

12

2 2 29,8 / 0,2 0,2m s s m( )( )La posición a los 0,2 segundos se representa por el vector (1, 20,2), con las componentes medidas en metros.

b. Al chocar con el piso, la pelota ha empleado un tiempo equivalente al de descenso en caída libre desde la altura de 1,2 m. Así, a partir de la ecuación para y se obtiene:

� � �1,2 9,8 /s2 2m m12 ? ? t luego t 5 0,5 s.

La posición A al caer al piso, en la dirección de y es y 5 2 1,2 m y la posición en la dirección de x se deter-mina mediante la expresión:x 5 v0 ? t 5 5 m/s ? 0,5 s 5 2,5 mEl impacto con el piso ocurre en el punto de coordenadas (2,5; 21,2), con las componentes medidas en metros.

c. La velocidad en el eje x, en todos los puntos es vx 5 5 m/s y la velocidad en el eje y se determina mediante la ecuación.vy 5 g ? t 5 29,8 m/s2 ? 0,5 s 5 24,9 m/s2

La velocidad al llegar al piso es v 5 (5, 24,9), con las componentes medidas en m/s.

La norma de la velocidad es v (5 / ) ( 4,9 / ) 7,0 /2 2� � � �m s m s m s

y

x

v0

�0

v0 y

v0 x

x

y

v0 y v0

v0 x

Movimiento vertical

Movimiento combinado

Movimiento horizontal

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Figura 19. La aceleración solo tiene valor en el eje y, y es igual a g.

El movimiento del proyectil es la composición de un movimiento vertical bajo la acción de la aceleración de la gravedad y un movimiento hori-zontal en el que se realizan desplazamientos iguales en tiempos iguales.Si se considera el origen, es decir el punto (0, 0), en el punto de partida del proyectil, al cabo de determinado tiempo el objeto ocupa la posición (x, y) y su velocidad es v 5 (vx , vy), donde:

x 5 vx ? t

y v g ty� � �021

2vx 5 v0x 5 constante

vy 5 v0y 1 g ? tPuesto que la componente de la velocidad en el eje x es constante, su valor en cualquier instante es el mismo que en el momento del lanza-miento, v0x

.La aceleración solo tiene componente en el eje y que es la aceleración de la gravedad (figura 19).Como lo hemos dicho, la velocidad de un objeto en cualquier punto de la trayectoria es un vector tangente a la misma.A partir de las expresiones para x y para y es posible determinar la posi-ción del objeto en cualquier instante de tiempo.Por ejemplo, si se toma el sentido positivo del eje y hacia arriba, a una posición por debajo del nivel desde el cual se ha lanzado un objeto le corresponde un valor y negativo.

EJEMPLOS

Un balón se dispara con velocidad de 15 m/s formando, con la horizontal, un ángulo de 37°.a. Determinar las componentes v0x y v0y de la velocidad inicial.b. Calcular los valores de las componentes de la velocidad a los 0,5 s y a los 1,2 s.c. Calcular los valores de las componentes de la posición a los 0,5 s y a los 1,2 s.d. Calcular el tiempo en alcanzar la altura máxima.e. Determinar la altura máxima.f. Calcular la distancia horizontal que alcanza al caer al piso.g. Dibujar la trayectoria y representar el vector velocidad y sus componentes para estos tres casos:

• en el punto de partida• en el punto más alto• al cabo de 1,2 s

Solución:La gráfica muestra una representación de la velocidad inicial.a. Las componentes de la velocidad inicial se calculan me-

diante:v0x 5 v0 ? cos a0 5 15 m/s ? cos 37° 5 15 m/s ? 0,8 5 12 m/sv0y 5 v0 ? sen a0 5 15 m/s ? sen 37° 5 15 m/s ? 0,6 5 9 m/s

El vector velocidad inicial es v0 5 (12; 9), cuyas componen-tes están medidas en m/s.

x0

y

vv0

v

g

g

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b. Al cabo de 0,5 s, la velocidad en el eje x es constante y su valor es vx 5 12 m/s. La velocidad en la dirección del eje y es:

vy 5 v0y 1 g ? t 5 9 m/s 1 (29,8 m/s2) ? 0,5 s 5 4,1 m/sLuego a los 0,5 s la velocidad es v 5 (12; 4,1) con las componentes en m/s.Al cabo de 1,2 s, la velocidad en el eje x es vx 5 12 m/s y la velocidad en la dirección del eje y se calcula mediante:

vy 5 v0y 1 g ? t 5 9 m/s 1 (29,8 m/s2) ? 1,2 s 5 22,8 m/sLuego a los 1,2 s la velocidad es v 5 (12; 22,8) con las componentes en m/s.

c. La posición al cabo de 0,5 s, se determina mediante:• En el eje x: x 5 vx ? t 5 12 m/s ? 0,5 s 5 6,0 m

• En el eje y: y 5 v0y ? t 1 12

g ? t2 5 9 m/s ? 0,5 s 1 12

? (29,8 m/s2) ? (0,5 s)2 5 3,3 m

Es decir que a los 0,5 s, ocupa la posición (6; 3,3), con las componentes medidas en metros.La posición al cabo de 1,2 s, se calcula mediante:• En el eje x: x 5 vx ? t 5 12 m/s ? 1,2 s 5 14,4 m

• En el eje y: y 5 v0y ? t 1 12

g ? t2 5 9 m/s ? 1,2 s 1 12

? (29,8 m/s2) ? (1,2 s)2 5 3,7 m

Es decir que a los 1,2 s, ocupa la posición (14,4; 3,7) con las componentes medidas en metros.

d. Para calcular el tiempo en alcanzar la altura máxima, sabemos que en el punto más alto, la componente vertical de la velocidad, vy , es cero, por tanto: vy 5 v0y 1 g ? t

0 5 9 m/s 1 (9,8 m/s2) ? t, de donde, t 5 0,9 sEl tiempo en alcanzar la altura máxima es 0,9 segundos.

e. Sabemos que alcanzó la altura máxima en 0,9 s, por tanto, para la altura máxima se tiene:

y 5 v0y ? t 1 12

g ? t2 5 9 m/s ? 0,9 s 1 12

? (29,8 m/s2) ? (0,9 s)2 5 4,1 m

La altura máxima alcanzada por el objeto es 4,1 m.

f. Como el objeto empleó 0,9 s en alcanzar la altura máxima, podemos concluir que tardó 1,8 s en regresar al nivel desde el cual fue lanzado, por tanto, la distancia horizontal que alcanza al llegar al piso es:

x 5 vx ? t 5 12 m/s ? 1,8 s 5 21,6 m.La posición en el punto más alto es (10,8; 4,1) y en el punto en el cual cayó es (21,6; 0). En ambos casos las componentes se miden en metros.

g. La trayectoria descrita por el objeto se muestra a continuación:

Procesos físicos

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10 Da un ejemplo en el que dos cuerpos describan la misma trayectoria pero realicen diferente desplazamiento.

11 Un cuerpo se somete al mismo tiempo a la acción de dos velocidades de diferente norma. ¿Cómo deben ser las direcciones de estas dos velocidades para que el cuerpo se mueva con la máxima velocidad resultante posible? ¿Por qué?

12 Responde. ¿Qué debe hacer el timonel de un barco para que la corriente del río no desvíe su embarcación cuando quiere moverlo en direc-ción perpendicular a la corriente?

13 Dos automóviles, A y B, se mueven con la misma rapidez en un camino largo y recto, ¿con qué ve-locidad se mueve al auto B con respecto al auto A?, si:a. se dirigen el uno hacia el otro.b. se alejan el uno del otro.c. se mueven en la misma dirección.

14 Plantea un ejemplo en el que la composición de dos movimientos no dé como resultado un movimiento con trayectoria parabólica.

5 Un profesor de física explica a sus estudiantes que la luz se propaga en línea recta. Uno de ellos le pregunta si la luz emitida por el Sol es una magnitud física de carácter vectorial. ¿Qué crees que responderá el profesor? ¿Por qué?

1 Representa el vector velocidad resultante en cada uno de los siguientes casos:

a. Un atleta que cruza un río nadando hacia la otra orilla a 8 m/s cuando el río corre con una velocidad perpendicular a él de 6 m/s.

b. Una golondrina que vuela horizontalmente a 6 m/s mientras que el viento sopla a 2,5 m/s, formándose entre las dos velocidades un án-gulo de 50°.

2 La posición que ocupa un cuerpo en diferentes instantes de tiempo se representa por medio de los vectores:

t � 0 s r

( , )� �5 0t � 1 s r

( , )� �3 4

t � 2 s r

( , )� 0 5t � 3 s r

( , )� 3 4

t � 3 s r

( , )� 5 0a. Ubica cada vector en el plano cartesiano.

b. Grafi ca una posible trayectoria del cuerpo.

3 Dibuja la trayectoria de un proyectil que es lan-zado con una velocidad que forma un ángulo con la horizontal de 35°. Sobre ella, dibuja el vec-tor velocidad y el vector aceleración en el punto de salida, en el más alto y, en el punto más bajo de la trayectoria.

4 Un jugador patea una pelota con una velocidad que forma un ángulo con la horizontal. Si la pelota lleva una velocidad horizontal de 2 m/s y cae a 16 m de donde fue lanzada, ¿cuál es la com-ponente vertical de la velocidad de lanzamiento?

6 Examina las siguientes magnitudes físicas y establece si ellas son vectoriales o escalares; lon-gitud, velocidad, aceleración, temperatura, área y densidad. Justifi ca tu respuesta.

7 Responde. ¿Puede la componente de un vector ser mayor o igual que su norma? ¿Por qué?

8 Un automóvil parte del reposo hasta alcanzar una velocidad v, con la que se mueve durante un tiempo t y fi nalmente se detiene después de aplicar los frenos. ¿Puede afi rmarse que durante todo el movimiento la velocidad y la aceleración tienen la misma dirección?

9 Un proyectil se lanza con velocidad de 10 m/s. Dibuja las trayectorias seguidas si el ángulo de lanzamiento es de 30° y si el ángulo de lanza-miento es de 60°. Realiza los cálculos que consi-deres pertinentes.

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7 Un avión vuela una distancia de 620 km, a una velocidad de 800 km/h, con un viento de 65 km/h. Determina el tiempo que emplea el avión en recorrer los 620 km si vuela:

a. con el viento a favor.

b. con el viento en contra.

8 Un barco se mueve en un río a favor de la co-rriente. ¿Puede afi rmarse que se mueve a una velocidad mayor que la del río? ¿Por qué?

9 Responde. ¿Puede la suma de dos vectores con normas diferentes dar como resultado cero? ¿Por qué?

10 Para un atleta que nada en contra de la corriente de un río, ¿puede suceder que en algún caso su velocidad resultante con respecto a la orilla sea cero? ¿Por qué?

11 Un orgulloso nadador acostumbrado a atravesar un río, es desafi ado a una carrera atravesando una piscina olímpica, reto ante el cual él res-ponde: “He cruzado en tantas oportunidades el río Magdalena con su brioso caudal, que una piscina olímpica no representa un gran reto para mí, tengo confi anza en que ganaré”. ¿Por qué piensas que el nadador está tan seguro de ganar el reto?

12 Un perro que persigue un automóvil recorre 20 m al norte y 30 m al oeste, ¿cuál es la posición fi nal del perro con respecto al punto donde co-menzó?

13 La mamá de Stella la envía al supermercado con las siguientes indicaciones: caminas 3 cuadras hacia el sur y luego 5 cuadras al este. ¿Cuáles son la norma y la dirección del desplazamiento de Stella?

14 Camilo jugando golfi to, introduce la pelota en el hoyo en dos lanzamientos. El primero 2 m al sur y el segundo 3,5 m al suroeste a 45°. ¿Qué norma y qué dirección debe tener su lanzamiento para que Camilo haga hoyo en un solo lanzamiento?

1 Explica por qué el tiempo transcurrido para un evento determinado no es una magnitud vecto-rial.


Toda magnitud vectorial tiene norma y di-rección.

La norma de un vector representa la longitud del vector.

La distancia recorrida por un cuerpo es una magnitud vectorial.

Dos vectores con la misma norma no necesa-riamente son iguales.

Todo vector tiene dos componentes que son perpendiculares entre sí.

3 Determina cuál de los siguientes valores no puede representar la norma de un vector.

a. 14 m

b. 0 km

c. �8 m/s

d. 250 N

4 De las siguientes magnitudes cuál es escalar.

a. El desplazamiento

b. La velocidad

c. El área

d. La aceleración

5 La velocidad de un cuerpo es de 25 m/s a 40° hacia el noroeste, dicho vector se representa mediante:

a. v

( , ; , )� �16 05 19 15b. v

( , ; , )� �19 15 16 05

c. v

( , ; , )� �16 05 19 15d. v

( , ; , )� �19 15 16 05

6 Responde. ¿Por qué cuando dos automóviles transitan con la misma rapidez paralelos uno del otro en una avenida se dice que sus velocida-des son equivalentes?

Tema 1 Magnitudes vectoriales

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Tema 1 Magnitudes vectoriales

Ciudad A Ciudad B

Ciudad C

20 El piloto de una avioneta debe mantener el rumbo de 18° al noreste para que el avión viaje hacia el este con respecto a la Tierra. La veloci-dad de la avioneta es 320 km/h y su velocidad con respecto al suelo es de 350 km/h. Determina la velocidad del viento.

21 Unos niños en una excursión deciden hacer un concurso del tesoro escondido, para lo cual primero deben dibujar el mapa, que tiene las si-guientes instrucciones: desde la palmera camine 40 pasos al sur, luego 60 pasos a 30° suroeste, después 50 pasos al norte y fi nalmente, 30 pasos a 45° al noreste.a. Dibuja el mapa del tesoro.b. Determina las componentes horizontal y verti-

cal de cada uno de los desplazamientos.c. Halla gráfi camente la posición en la que se

encuentra el tesoro con respecto a la palmera.

22 Una ruta escolar realiza solo dos paradas en su recorrido después de salir de la estación. La primera a 6 km y 60° al noroeste, donde suben los niños, y la segunda en el colegio que es su destino a 9,5 km y 40° al noreste de la estación. ¿Qué desplazamiento realiza la ruta desde el punto donde se suben los niños hasta el colegio donde estudian?

23 Dos atletas parten del mismo punto y se mueven con rapidez de 25 km/h formando entre ellos un ángulo de 120°. Después de 1,5 h:a. ¿a qué distancia está cada uno del punto de

partida?b. ¿qué distancia hay entre los dos?

24 Un policía persigue a un ladrón y cuando está a punto de alcanzarlo, este escapa por un atajo recorriendo 300 m hacia el sur y luego 450 m a 45° al sureste. Si el policía se desplaza desde el mismo punto del ladrón 695,3 m, a un ángulo de 63° al sureste, ¿podrá coincidir la posición del policía con la del ladrón?

25 Luis rema desde el punto A hasta el punto B en la orilla de un río en el que la velocidad de la corriente es 1 km/h con la corriente a favor y emplea un tiempo de 1 h. Cuando se mueve en contra de la corriente emplea 2 h para ir del punto B al punto A. Determina la velocidad con la cual se mueve el bote en aguas tranquilas.

15 Cuando un pescador rema en su canoa se mueve a una velocidad de 3 m/s. Si va a cruzar el río cuya corriente tiene una velocidad de 1 m/s, ¿con qué velocidad se mueve el pescador con respecto a la orilla del río?

16 Un patinador recorre 2,5 km al oeste y luego 4 km al sur. Si el recorrido total lo realiza 45 min:

a. ¿con qué rapidez media se mueve el patinador?

b. ¿cuáles son la norma y dirección de su veloci-dad media?

17 Un avión parte de una ciudad A hacia una ciu-dad B recorriendo 350 km hacia el este. Luego, desde la ciudad B, va a la ciudad C recorriendo 420 km al norte. ¿Qué ubicación debe progra-mar el piloto de la ciudad A, para poder viajar a ella desde la ciudad C?

18 Una avioneta se dirige hacia el aeropuerto por el oeste con una velocidad de 200 km/h. Si se pre-senta un fuerte viento que tiene una velocidad de 48 km/h a 30° al noroeste:

a. ¿cuál es la velocidad de la avioneta?

b. ¿hacia qué dirección debe orientarse la avio-neta para llegar al aeropuerto y no desviarse?

19 Un ciclista recorre 8 km hacia el oeste, luego cambia de dirección. Al fi nal del recorrido se encuentra a 12 km a 35° al noreste. ¿Cuál es la norma y dirección de su segundo desplaza-miento?

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Tema 2. Movimiento de proyectiles

9 Dos niños juegan con dos canicas en una mesa, si uno deja caer la canica desde la altura de la mesa y al mismo tiempo el otro niño empuja su canica horizontalmente desde el borde de la mesa,

a. ¿cuál de las dos canicas llega primero al suelo? ¿Por qué?

b. ¿cuál llega con mayor velocidad al suelo? ¿Por qué?

10 Responde. ¿Por qué en un partido de fútbol, cuando se cobra un tiro de esquina, suele co-brarse por el aire y no por el suelo?

1 Responde. ¿En qué se diferencia el plantea-miento hecho por Aristóteles y Galileo con res-pecto al movimiento de un cuerpo en un plano horizontal?

2 Un niño va en su bicicleta y choca contra una piedra. ¿Cómo es su movimiento después del choque? ¿Por qué?

3 La trayectoria seguida por un proyectil en su lanzamiento resulta de la composición de dos movimientos, uno vertical y otro horizontal, estos movimientos son respectivamente:

a. Rectilíneos uniformes.

b. Rectilíneo uniforme y uniformemente acele-rado, con aceleración igual a la de la gravedad.

c. Uniformemente acelerados.

d. Uniformemente acelerado, con aceleración igual a la de la gravedad y rectilíneo uniforme.


En un lanzamiento horizontal, el movi-miento a lo largo del eje x del cuerpo es rec-tilíneo uniforme, porque no hay nada que lo perturbe.

La posición que ocupa un proyectil durante su movimiento tiene una sola componente que está sobre el eje y.

Para calcular la altura alcanzada por un pro-yectil en la Tierra es sufi ciente conocer la velocidad de lanzamiento.

La aceleración de un proyectil en el punto más alto de su trayectoria es cero.

Las preguntas 5, 6, 7 y 8 se refi eren a la siguiente gráfi ca, que muestra la trayectoria seguida por un balón que es pateado por un niño, con velocidad vo que forma un ángulo � con la horizontal.

5 Responde. ¿Puede afi rmarse que el tiempo que tarda el cuerpo en ir del punto A hasta el punto B es el mismo que tarda en ir de B hasta C? ¿Por qué?

6 Con respecto a la norma de la aceleración en los puntos A y B es cierto que:

a. aA � aB c. aA � aB � gb. aA . aB d. aA � aB � 0

7 En los puntos A, B y C el vector que representa la aceleración es:

8 En el punto C de la trayectoria la velocidad está representada por el vector:

a. (v0 � cos �; 0) c. (v0 � cos �; v0 � sen �)

b. (0; v0 � sen �) d. (0; 0)

a.

b.

c.

d.

A

B

C

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Tema 2. Movimiento de proyectiles

17 Desde la terraza de una casa se lanza una pelota con una velocidad horizontal de 2 m/s. Si cae al suelo a 3,5 m de la base de la casa,

a. ¿cuánto tiempo tarda la pelota en tocar el suelo?

b. ¿a qué altura está la terraza?

18 Un bebé lanza el tetero con una velocidad ho-rizontal de 1,5 m/s, desde su silla-comedor de 1,2 m alto.

a. ¿Cuánto tiempo tarda el tetero en llegar al suelo?

b. ¿A qué distancia horizontal de la silla-comedor cae el tetero al suelo?

19 Un helicóptero, que lleva medicamentos, vuela a una velocidad de 450 km/h y a una altura de 1.200 m. ¿A qué distancia horizontal, antes de llegar al campamento, donde debe entregar los medicamentos, deberá soltarlos para que caigan justo en el campamento?

20 Tratando de bajar de un estante de 1,8 m de alto una caja de cereal que contiene un premio, Carlos la empuja horizontalmente haciendo que caiga a 0,95 m del estante.

a. ¿Con qué velocidad empujó la caja Carlos?

b. ¿Cuánto tiempo tardó la caja de cereal en caer al suelo?

21 Un niño parado en la ventana de su casa a 3,8 m de altura lanza, con una velocidad horizontal de 2,2 m/s, un trompo a su amigo que se encuentra al frente a 3 m al pie de su casa.

a. ¿Alcanza a caer el trompo a la distancia donde está el amigo?

b. ¿Con qué velocidad debe lanzar el trompo para que llegue hasta su amigo?

22 Un arquero lanza desde el suelo una pelota con una velocidad de 20 m/s a una elevación de 50°. ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en llegar al suelo?

16 Responde. ¿Qué diferencia existe entre los mo-vimientos hechos por un deportista en una com-petencia si utiliza el trampolín ajustable o el de cemento que es rígido? Explica tu respuesta.11 Un jugador de baloncesto debe hacer un pase a

un compañero que se encuentra al otro lado de la cancha. Si lanza el balón con una velocidad v formando un ángulo de 60° con la horizontal, ¿obtendrá mayor alcance horizontal que lanzán-dolo a la misma velocidad v pero a un ángulo de 30° sobre la horizontal? ¿Por qué?

12 Si se desprecia la resistencia del aire, son iguales los alcances de los proyectiles cuyos ángulos de salida son mayores o menores de 45°. ¿Es cierta esta afi rmación? ¿Por qué?

13 ¿Es correcta la afi rmación: “Para que un pro-yectil tenga su alcance máximo las componentes horizontal y vertical de su velocidad deben ser iguales”? ¿Por qué?

14 Para una esfera que rueda por una rampa in-clinada y luego se separa de ella, es correcto afi rmar que:

a. el movimiento durante el tiempo que la esfera está en contacto con la rampa es rectilíneo uniforme.

b. el movimiento de la esfera al separarse de la rampa es una caída libre.

c. la esfera al separarse de la rampa tiene el movi-miento de los proyectiles.

d. el movimiento de la esfera al salir de la rampa es un lanzamiento horizontal.

15 En el interior de un tren, que se mueve con velocidad constante, una persona lanza verti-calmente hacia arriba una manzana. Dibuja la trayectoria que describe la manzana:

a. Para la persona que la lanza.

b. Para una persona que está fuera del tren.¿Son las dos trayectorias iguales o diferentes? ¿Por qué?

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24 Un jugador de tejo lanza el hierro con un án-gulo de 45° sobre la horizontal y cae a un punto situado a 30 del lanzador. ¿Qué velocidad inicial le proporcionó el jugador al tejo?

25 Se lanza una moneda al aire formando un án-gulo con la horizontal. Cuando se encuentra a 1,5 m del sitio que se lanzó, las componentes de su velocidad son 2,6 m/s en el eje x y 1,82 m/s en el eje y.a. ¿Con qué velocidad fue lanzada?b. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza?

26 María se encuentra sentada en el andén a 6 m de distancia al frente de la casa de su amigo Juan, quien le pide le lance la pelota con la que está ju-gando. Si María lanza la pelota desde el suelo con una velocidad de 6 m/s y una elevación de 25° y Juan se encuentra en su ventana a 3,5 m de altura,a. ¿cuántos metros por encima o por debajo de la

ventana de Juan pega la pelota?b. ¿con qué velocidad debe lanzar la pelota a la

misma elevación de la ventana para que llegue justo allí?

28 Juan lanza horizontalmente desde la ventana de su apartamento que se encuentra a 15 m del suelo, unas llaves a su vecino Camilo que vive en el apartamento del frente a una distancia hori-zontal de 10 m. Si las llaves alcanzan una altura de 16 m,

a. ¿cuánto tiempo están las llaves en el aire?

b. ¿cuáles son las componentes horizontal y ver-tical de la velocidad con que recibe las llaves Camilo?

29 En un partido de béisbol el bateador golpea la pelota a 15 m/s formando un ángulo de 35° sobre la horizontal. Si esta viaja en dirección hacia un jugador que se encuentra a 26 m del ba-teador, ¿a qué velocidad debe correr el jugador para capturar la pelota justo a la misma altura a la que fue bateada, si inicia su carrera cuando la pelota empieza a caer?

30 Desde un acantilado de 15 m de altura se lanza un nadador con una velocidad de 9 m/s for-mando un ángulo 15° sobre la horizontal.

a. ¿Cuánto tiempo dura el nadador en el aire?

b. ¿Cuáles son las componentes horizontal y ver-tical de su velocidad en el momento de tocar el agua?

c. ¿A qué distancia horizontal de la base del acan-tilado toca el nadador el agua?

31 En un circo, se dispara una bala humana de un cañón con una velocidad de 35 km/h con un ángulo de 40° sobre la horizontal. Si la bala humana abandona el cañón a un metro de dis-tancia del suelo y cae en una red a 2 m sobre la superfi cie del suelo, ¿qué tiempo permanece en el aire la bala humana?

3,5 m

15 m

23 Desde la cima de una montaña a 45 m del suelo se dispara un proyectil con una velocidad de 110 m/s y un ángulo de elevación de 25°. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bala por encima del suelo?

27 Desde un restaurante ubicado en la parte supe-rior de un edifi cio de 25 m de altura, un cliente accidentalmente empuja una mata con una velo-cidad horizontal de 3 m/s. Después de 1segundo de caída:

a. ¿cuáles son las componentes horizontal y ver-tical de la velocidad de la mata?

b. ¿cuál es la posición de la mata con respecto al punto de caída?

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1. Representa a escala, en papel milimetrado los vectores registrados en la tabla, trazando la resultante y la equilibrante. A continuación compara los resultados con los obtenidos en las columnas “experimental” y “analítica”.

2. Determina el porcentaje de diferencia entre cada uno de los métodos utilizados.3. Responde. ¿Podrías mencionar posibles causas de error experimental presentes en esta práctica? ¿Cuáles?

1. Ubica dos de los poleas, con sus porta pesas, en las posiciones 0° y 90°, respectiva-mente.

2. Pon en cada porta pesas una masa de 20 g. Observa que el anillo se desliza debido a la acción de las fuerzas.

3. Añade masas a la polea restante y deslízala hasta lograr que el anillo quede centrado sobre la mesa.

4. Escribe los datos obtenidos en la columna “experimental” de la tabla de registro y repite el procedimiento para cada caso.

Los vectores nos ayudan a describir cantidades que no solo tienen magnitud si no también dirección y sentido. Existen varias cantidades vectoriales como la fuerza, la velocidad o el desplazamiento. En esta práctica vas a descomponer un vector en sus componentes rectangulares utilizando la mesa de fuerzas.

Conocimientos previosÁngulos, masa, polea, fuerza, descomposición vectorial y porcentajes.

Materiales■ Mesa de fuerzas ■ Masas de 100 g, 50 g, 20 g y 10 g. ■ 3 porta pesas.



Procedimiento

Caso Vector (fuerza)Resultante (magnitud y dirección)

Experimental Analítica

1 f1 � 20 g; �1 � 0° f2 � 20 g; �2 � 90° f � � �

f � � �

2 f1 � 50 g; �1 � 0° f2 � 40 g; �2 � 70° f � � �

f � � �

3 f1 � 20 g; �1 � 20° f2 � 70 g; �2 � 60° f � � �

f � � �

4 f1 � 50 g; �1 � 90° f2 � 100 g; �2 � 130° f � � �

f � � �

5 f1 � 200 g; �1 � 60° f2 � 50 g; �2 � 120° f � � �

f � � �

6 f1 � 300 g; �1 � 124° f2 � 190 g; �2 � 97° f � � �

f � � �

5. Determina analíticamente la resultante y escribe los datos obtenidos en la columna “analítica” de la tabla de registro. Ten presente que la resultante es opuesta 180° a la equilibrante.

Tabla de registro

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1. Describe las trayectorias seguidas por las esferas.2. Responde. ¿Encuentras alguna diferencia entre las trayectorias seguidas por las dos esferas?3. Con las coordenadas del punto en el que una de las esferas cae al suelo, determina la velocidad con la cual

esta abandonó el extremo inferior de la rampa.4. Considera que una de las esferas se suelta desde el borde inferior de la rampa para que caiga verticalmente.

¿Emplearía más, igual o menos tiempo en caer que la esfera del experimento?

1. Fija la rampa de tal manera que su extremo inferior quede a ras con el borde de una mesa.

2. Cubre la tabla con papel carbón y sobre este coloca papel blanco para registrar en él cada impacto de la esfera sobre la tabla.

3. Coloca la tabla en posición vertical, valiéndote de la plomada, justo contra el extremo inferior de la rampa.

4. Suelta la esfera desde el punto más alto de la rampa y deja que golpee la tabla. A este primer punto le asignaremos la posición (0, 0) del plano cartesiano en el que se dibujará la trayectoria.

5. Desplaza la base de la tabla una distancia de 5 cm, colócala nueva-mente en posición vertical y suelta la esfera desde el punto más alto de la rampa para registrar en el papel su impacto contra la tabla.

6. Repite el procedimiento desplazando la tabla 5 cm cada vez, hasta que encuentres que la esfera no golpee contra ella. Siempre debes soltar la esfera desde el mismo punto de la rampa.

7. Registra los datos en una tabla como la que se muestra a continuación y represéntalos en un plano cartesiano.

En el lanzamiento horizontal, el movimiento de los objetos se caracteriza porque la componente verti-cal de la velocidad inicial es igual a cero. Como resultado de la composición del movimiento horizontal, con velocidad constante, y del vertical con aceleración constante e igual a la aceleración de la gravedad, g, el objeto describe una trayectoria parabólica. En esta práctica nos proponemos describir la trayectoria seguida por un objeto que se lanza horizontalmente y determinar la velocidad con la cual el objeto es lanzado. Además comparamos los resultados obtenidos cuando se lanzan dos esferas de diferente masa.

Conocimientos previosMovimiento uniforme, movimiento uniformemente acelerado, trayectoria y velocidad.

Materiales■ Rampa inclinada con un

último tramo horizontal.■ Tapa plana.■ Dos esfera metálicas

(una más liviana que la otra).

■ Regla.■ Plomada.■ Papel.■ Papel carbón.

Descripción de una trayectoria semiparabólica


Procedimiento

x (cm) y (cm)

x

y

0

8. Repite la experiencia con la otra esfera y traza la trayectoria, con otro color, en el mismo plano cartesiano.

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1. La fuerza - Primera ley de Newton2. Ley fundamental de la dinámica -

Segunda ley de Newton3. Acción y reacción - Tercera ley de Newton

Temas de la unidad

Las leyes de la dinámica 4UNIDAD

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Para responder…

n ¿Creesqueuncuerpopuedepermanecerenmovimientosinquesobreélactúenfuerzas?Explica.

n ¿Quéfuerzascreesqueactúansobreuncohetecuandosemueveatravésdelespacio?

n Cuandosedaunempujónaunacajayestasemuevealolargodeunasuperficieplana,finalmentesedetiene.¿Cómoexplicasesto?

Para pensar…

Seguramente alguna vez te habrás preguntado, qué mantiene un edificio en equilibrio, qué hace que un objeto acelere o desacelere, o, cómo es el movimiento de una nave espacial cuando se desplaza por el espacio inter-planetario.

Todas las situaciones anteriormente mencionadas nos sugieren la idea de movimiento, cambio de posición o cambio de velocidad de los cuerpos, lo cual puede suceder debido a la acción de factores externos.

Entre estos factores se encuentra la fuerza, la cual no sólo produce cambios en el movimiento de los cuerpos sino que también puede llegar a deformar-los, como ocurre cuando se aplasta una esponja.

A lo largo de esta unidad consideraremos la dinámica, que estudia la relación entre fuerza y movimiento, apoyados en tres grandes principios que fueron enunciados por Isaac Newton y revolucionaron el pensamiento científico de la época en el siglo XVII.

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Figura 1. El montacarga ejerce fuerza sobre la caja.

1. La fuerza - Primera ley de Newton

1.1 Características de las fuerzas1.1.1 Cambios de movimientoCuando se empuja un automóvil descompuesto, este se pone en mo-vimiento debido a la acción ejercida sobre él. De igual manera ocurre, cuando un montacargas sube un objeto (figura 1), cuando se empuja el carrito de mercado, cuando se golpea un clavo con un martillo, cuando un jugador de fútbol detiene, patea, o cambia la dirección de la trayec-toria de un balón.Todas estas situaciones nos permiten relacionar la fuerza con una acción que ejerce un cuerpo sobre otro. Sin embargo, la fuerza no está en los objetos en sí, sino en la capacidad que tienen estos de modificar el estado de reposo o de movimiento de otro cuerpo con el cual interactúan.Las fuerzas pueden causar deformación sobre los objetos o cambiar su estado de movimiento, es decir, aumentar o disminuir su rapidez o cam-biar la dirección del movimiento.

1.1.2 Fuerza netaTodo lo que nos rodea está afectado por alguna fuerza. Por ejemplo, la fuerza de la gravedad actúa en todo instante sobre nuestro cuerpo, sobre nuestros objetos personales, sobre todo lo que está a nuestro alrededor.Es importante identificar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo. En ocasiones, las fuerzas que actúan sobre un cuerpo se contrarrestan entre sí, dando la impresión de no estar presentes. En estos casos se dice que las fuerzas se anulan entre sí.Para que un cuerpo inicialmente en reposo se ponga en movimiento, se requiere que las fuerzas no se anulen entre sí. Por ejemplo, cuando un automóvil se encuentra estacionado, las fuerzas que actúan sobre él se anulan entre sí, pero cuando el vehículo experimenta la fuerza ejercida por el motor, se pone en movimiento. Al igual que el desplazamiento, la velocidad y la aceleración, las fuerzas son vectores. Por esta razón, se pueden sumar como se muestra en la figura. A la suma de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo se le llama fuerza neta.

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Figura 2. La fuerza ejercida por el resorte produce deformación sobre él.

1.1.3 Efectos de las fuerzasAdemás del efecto que tienen las fuerzas de ocasionar cambios en el estado de movimiento o de reposo de los cuerpos, existe otro efecto que también se atribuye a las fuerzas, denominado deformación. Por ejem-plo, al aplicar una fuerza a un resorte en uno de sus extremos, se puede observar que el resorte se deforma, de modo que aumenta su longitud natural (figura 2).La deformación depende del punto en el cual se aplica la fuerza, por ejemplo en el caso del resorte, la longitud de la deformación no será la misma si dicha deformación no se produce en uno de sus extremos sino en el punto medio del resorte.

Las fuerzas tienen orígenes muy distintos: la atracción de la Tierra, la fricción entre dos superficies, un fenómeno electromagnético, la fuerza humana, la tensión de una cuerda, entre otras.Sobre todo cuerpo u objeto, actúan simultáneamente varias fuerzas. La suma de las fuerzas que actúan sobre un objeto recibe el nombre de fuerza neta.Cuando la fuerza neta es cero o nula, el objeto se encuentra en equilibrio. Si la fuerza neta es distinta de cero, no existe equilibrio y por consiguiente la velocidad del objeto cambia.

1.1.4 Las unidades de la fuerzaEn el Sistema Internacional de Unidades la fuerza se mide en newtons (N). Un newton equivale a la fuerza necesaria para sostener un cuerpo de 102 gramos en la Tierra. Por esta razón, se dice que una fuerza de 1 N equivale a una fuerza de 102,0 gramos-fuerza (g-f).Como lo estudiaremos en el tema 2, un newton también equivale a la medida de la fuerza que se debe ejercer sobre un kilogramo de masa, para ocasionar una aceleración de 1 m/s2 en la Tierra.

1.1.5 Fuerzas de contacto y a distanciaCuando se empuja un mueble, cuando se impulsa una bola de tenis por medio de una raqueta, cuando, se patea una pelota, cuando se hala una cuerda, o cuando se deforma un objeto, existe un contacto entre el cuerpo que ejerce la fuerza y el cuerpo sobre el cual se le aplica dicha fuerza. Estas fuerzas que presentan este tipo de condición se denominan de fuerzas de contacto.Una fuerza de acción a distancia ocurre cuando no existe contacto directo entre los cuerpos, como es el caso de la fuerza de atracción producida por la Tierra sobre cualquier cuerpo. Por ejemplo, un objeto que se suelta desde cierta altura o se lanza hacia arriba, a lo largo de su recorrido experimenta la fuerza que la Tierra le ejerce, aun sin estar en contacto con ella.

Una fuerza es toda acción que puede variar el estado de reposo o de movi-miento de un cuerpo o bien, producir deformación sobre él.

Definición

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La fuerza - Primera ley de Newton

1.2 Fuerzas fundamentalesLos nuevos descubrimientos en física han revolucionado la forma de comprender la materia y las fuerzas que determinan su comportamiento. En la búsqueda por encontrar una única fuerza que explique todas las interacciones que ocurren en la naturaleza, se han encontrado cuatro fuerzas fundamentales. Dichas fuerzas expli-can los fenómenos que no pueden ser atribuidos a otras fuerzas. En la actualidad se consideran como fuerzas fundamentales: la fuerza gravitacional, la fuerza electro-magnética, la fuerza nuclear fuerte y la fuerza nuclear débil.La fuerza gravitacional es la fuerza de atracción que se ejercen mutuamente dos ob-jetos y que afecta a todos los cuerpos. Newton fue el primero en plantear que debido a la fuerza gravitacional los objetos en las cercanías de la Tierra caen con aceleración constante hacia esta y, además, esta fuerza mantiene en movimiento a los planetas alrededor del Sol.La fuerza electromagnética afecta a los cuerpos eléctricamente cargados, está aplicada en las transformaciones físicas y químicas de átomos y moléculas. Por ejemplo, un electrón cuya carga eléctrica es negativa ejerce fuerza eléctrica de atracción sobre un protón cuya carga es positiva. La fuerza nuclear fuerte es la fuerza que mantiene unidos los protones con los neu-trones para formar los núcleos atómicos. Sin esta fuerza el núcleo no podría existir, ya que la repulsión entre los protones generaría la dispersión de estos.La fuerza nuclear débil actúa entre partículas elementales. Esta fuerza es la responsa-ble de algunas reacciones nucleares y de una desintegración radiactiva denominada desintegración beta. La vida media del Sol está determinada por las características de esta fuerza.En la teoría del todo iniciada por Einstein, se desarrollan las ecuaciones preten-diendo describir las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza en términos de una sola, esta fuerza tiene todas las propiedades necesarias para que todo sea en efecto como es.

1.3 Medición de las fuerzas - Ley de HookePara determinar la intensidad de una fuerza aplicada sobre un cuerpo, se utiliza un instrumento denominado dinamómetro, que consiste en un resorte graduado que al deformarse permite medir el valor de dicha fuerza.Para explicar el funcionamiento de un dinamómetro, nos basaremos en las propieda-des elásticas que tienen algunos materiales. Por ejemplo, si se cuelgan sucesivamente varias pesas del extremo libre de un resorte, se obtienen diferentes variaciones de su longitud con respecto a la longitud natural del resorte, como se observa en la figura.

EJERCICIO ¿Cuálcreesqueesmásintensa

alinteriordelnúcleoatómico,la fuerza nuclear entre pro-tones o la fuerza eléctricaentrelosmismos?

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EJERCICIO

Justificaporqué10N/cm 51.000N/m.

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En la siguiente tabla se presentan los datos obtenidos en un experimento como el descrito anteriormente.

Al calcular el cociente entre cada fuerza aplicada y el respectivo alarga-miento del resorte, se observa que el valor obtenido es constante.

Al representar gráficamente los resultados obtenidos, la gráfica es una recta cuya pendiente es igual al valor de los cocientes.

A partir de los datos de la tabla y de la gráfica se concluye que la fuerza, F, es directamente proporcional con el alargamiento, x, del resorte. Esta relación se expresa como:

Fx k5

donde k recibe el nombre de constante elástica del resorte. En el ejemplo anterior, la constante elástica corresponde al cociente entre cada fuerza y el respectivo alargamiento calculado, es decir:

k 5 10 N/cm 5 1.000 N/mAl realizar la misma experiencia con resortes diferentes, se obtiene una relación como la anterior, sin embargo, el valor de la constante elástica k es distinto para cada uno, ya que esta constante depende de las caracte-rísticas del resorte utilizado.

A partir de los resultados anteriormente descritos, se puede enunciar la ley que rige las deformaciones elásticas:

La longitud de la deformación producida por una fuerza es proporcional a la intensidad de dicha fuerza.

Esta ley publicada por el físico inglés Robert Hooke en el siglo XVII, se conoce como Ley de Hooke y su expresión matemática es:

F 5 k ? x

Fuerza (N) Alargamiento (cm) Cociente (N/cm)

20,0 2,0 10,0

30,0 3,0 10,0

40,0 4,0 10,0

50,0 5,0 10,0

60,0 6,0 10,0

70,0 7,0 10,0

80,0 8,0 10,0

2 3 4 5 6 7 8

Alargamiento (cm)

Fuerza( N )

20304050607080

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EJEMPLOS

1. Se ejerce una fuerza de 200 N sobre un resorte cuya longitud es 20 cm y se observa que la lon-gitud del resorte alcanza un valor de 25 cm. Determinar:

a. La constante elástica del resorte.

b. El alargamiento si se aplica una fuerza de 300 N.

c. La fuerza que se debe aplicar para que el alar-gamiento sea de 8 cm.

d. El valor de la constante del resorte si sobre el mismo resorte se aplica una fuerza de 300 N.

Solución:

a. El alargamiento del resorte es:

x 5 0,25 m 2 0,20 m 5 0,05 m

Para determinar k, utilizamos la ecuación:

F 5 k ? x

k Fx

k Nm

5

5 2000 05,

Al despejark Fx

k Nm

5

5 2000 05, Al remplazar

k 5 4.000 N/mLa constante elástica del resorte es 4.000 N/m.

b. Para calcular el alargamiento despejamos x de la ecuación F 5 k ? x, así:

x Fk

x m

5

5 53004 000

NN/m 0,075.

Al remplazar y calcular

Cuando se aplica una fuerza de 300 N, el alarga-miento es 7,5 cm.

c. Si el alargamiento es de 8 cm, se tiene que:

F 5 k ? xF 5 4.000 N/m ? 0,08 m Al remplazar F 5 320 N Al calcular

La fuerza aplicada sobre el resorte para que el alargamiento sea 8 cm es 320 N.

d. El valor de la constante del resorte es 4.000 N/m, puesto que este valor es propio del resorte.

2. Tres pasajeros, con una masa total de 210 kg, suben a un vehículo de 1.100 kg comprimiendo los muelles de este 3,0 cm. Considerando que los muelles actúan como un solo resorte, calcu-lar:

a. La constante elástica de los muelles del vehícu-lo, si la fuerza aplicada por los tres pasajeros es 2.058 N.

b. La longitud, x, que baja el vehículo si la fuerza aplicada es de 2.744 N.

c. La fuerza que se debe aplicar al vehículo para que descienda 6 cm.

Solución:

a. Para determinar k, utilizamos la ecuación:F 5 k ? x

k Fx

k Nm

�

� 2 0580 03.,

Al despejar kk Fx

k Nm

�

� 2 0580 03., Al remplazar

k 5 68.600 N/m Al calcular

La constante elástica de los muelles del vehículo es 68.600 N/m.

b. Para calcular la longitud que baja del vehículo despejamos x de la ecuación F 5 k ? x, así:

x Fk5

x 2.744 N68.600 N/m5 Al remplazar

x 5 0,04 Al calcular

Cuando se aplica una fuerza de 2.744 N al vehícu-lo, este desciende 4 cm.

c. Para que el vehículo descienda 6 cm, se tiene que:

F 5 k ? x

F 5 68.600 N/m ? 0,06 m Al remplazar

F 5 4.116 N Al calcular

La fuerza aplicada sobre el vehículo para que des-cienda 6 cm, es 4.116 N.

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1.4 La primera ley de Newton1.4.1 El principio de inerciaTodos los cuerpos que nos rodean están sometidos a la acción de una o varias fuerzas, algunas de ellas a distancia y otras de contacto. Sin embargo, existen situaciones en las cuales un cuerpo se encuentra aislado del efecto de otros cuerpos o fuerzas. Por ejemplo, las naves Voyager, enviadas al espacio para explorar otros planetas, en de-terminados tramos de su trayectoria se encuentran fuera de la influencia de cualquier otro cuerpo y, por lo tanto, se mueven con velocidad constante. También, si en algún momento un cuerpo se encuentra en reposo, fuera de la influencia de cualquier otro cuerpo, debe permanecer en reposo. El movimiento con velocidad constante y el reposo se consideran estados equivalentes. En la primera ley, denominada el principio de inercia, Newton establece la relación entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo y el tipo de movimiento que dicho cuerpo describe. El principio de inercia establece que: Todo cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme si no actúa ninguna fuerza sobre él o si la fuerza neta que actúa sobre él es nula.Observemos que la primera parte del principio de inercia se refiere a los cuerpos que se encuentran en reposo, y establece que sobre ellos no actúa fuerza alguna o que la suma de las fuerzas que actúan sobre ellos es nula. La segunda parte del principio de inercia establece que, si un cuerpo se mueve con velocidad constante en línea recta, entonces no actúan fuerzas sobre él o la fuerza neta es igual a cero.La experiencia cotidiana muestra que un cuerpo que describe un movimiento recti-líneo se detiene luego de recorrer cierta distancia. Este hecho se debe a la interacción con el medio material sobre el cual se mueve, el cual se opone al deslizamiento del ob-jeto. Si esto no existiera, un objeto que describe un movimiento rectilíneo continuaría moviéndose indefinidamente con velocidad constante. Por ejemplo, en las mesas de aire, se pone un disco sobre una superficie con agujeros por los que se expulsa aire, con lo cual se disminuye la fuerza de contacto y se permite un libre desplazamiento del disco sobre la mesa.Los ejemplos, que hemos considerado, ilustran cómo los cuerpos tienen la tendencia a conservar su estado de movimiento o de reposo: un cuerpo en reposo parece oponer resistencia a ponerse en movimiento y un cuerpo en movimiento opone resistencia a detenerse. Esta tendencia a no cambiar su estado de movimiento se conoce con el nombre de inercia.

Isaac Newton. Físico inglés, realizó estudios sobre el movimiento de los cuerpos, y planteó las leyes del movimiento.

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Figura 3. El piloto de un avión experimenta fuerzas ficticias.


1.4.2 Sistemas de referencia inercialesConsideremos un piloto de avión de acrobacias que se desplaza con velocidad constante describiendo una trayectoria rectilínea. Si no hay turbulencia, el pi-loto tiene la impresión de estar en reposo, y de hecho lo está con respecto a los asientos o las paredes del avión.

Ahora bien, si el avión disminuye su velocidad o toma una curva, el piloto siente la tendencia a moverse hacia delante o hacia un lado, respectivamente. En ambos casos el piloto ve modificado su estado de reposo sin que aparentemente se haya ejercido sobre él una fuerza externa que explique el fenómeno. Desde la inter-pretación del piloto, debe actuar una fuerza y de hecho parece experimentarla.

La fuerza extraña, que experimenta el piloto cuando el avión disminuye su ve-locidad o toma una curva es consecuencia del cambio en la velocidad del avión. Estas fuerzas, denominadas fuerzas ficticias, aparecen en sistemas de referencia que no mantienen la velocidad constante y suelen manifestarse con sensaciones estomacales como las que tenemos en un ascensor cuando arranca o se detiene.

Mientras el piloto del avión tiene la impresión de haber sido empujado, hacia delante o hacia un lado, respectivamente sin que pueda identificar el agente que le ejerce la fuerza externa, un observador externo al avión, situado en Tierra realiza una descripción diferente. Para dicho observador, el piloto describe un movimiento rectilíneo uniforme mientras no actúan fuerzas externas sobre él.

Para el observador externo, cuando el avión disminuye la rapidez o gira, el piloto tiende a continuar en línea recta con la velocidad con la cual se movía inicial-mente, es decir, que tiende a mantenerse con movimiento rectilíneo uniforme.

El observador externo se encuentra en un sistema de referencia diferente al sis-tema de referencia del avión, el sistema de referencia del observador externo es un sistema de referencia inercial.

Así mismo, cualquier sistema que se mueva con velocidad constante con res-pecto a un sistema de referencia inercial, es considerado también como un sistema inercial.

Los sistemas de referencia inerciales son abstracciones cuyo propósito es facilitar la interpretación y explicación de fenómenos. Por ejemplo, nuestro sistema de referencia habitual es la superficie de la Tierra, la cual gira alrededor del Sol y también en torno a su eje, por ende, no mantiene su velocidad constante con respecto al Sol.

Así mismo, el Sol gira en torno a su eje y alrededor de nuestra galaxia, lo que genera una variación en la velocidad y así sucesivamente.

En la práctica, un sistema de referencia determinado se podrá considerar como inercial si los efectos de la variación de su velocidad no son detectables, podemos considerar la superficie terrestre como sistema de referencia inercial, a menos que sus efectos de rotación sean como de cambios en los movimientos.

Algunos ejemplos de sistemas de referencia no inerciales son los que se encuen-tran en rotación como un carrusel o los que describen un movimiento acelerado como un ascensor en caída libre. En estos sistemas de referencia la primera ley de Newton no tiene validez y por esta razón se experimentan fuerzas para las cuales no podemos identificar el agente que las ejerce.

Un sistema de referencia inercial es aquel en el que es válido el principio de inercia.

Definición

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1.4.3 Masa inercialConsidera tres esferas de igual radio pero de diferente material (de hierro, de madera y de icopor) que se encuentran inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal. Si a cada una de ellas le damos un ligero empujón, por medio de un sistema de resorte que a las tres les ejerce la misma fuerza du-rante el mismo tiempo, la esfera más difícil de mover es la que opone mayor resistencia al cambio de su estado de movimiento (mayor inercia), lo cual detectamos porque es la esfera que menor cambio en la rapidez experimenta a partir del empujón. La masa inercial es una medida de la resistencia de una masa al cambio de su velocidad con relación a un sistema de referencia inercial.Para el caso de las esferas de igual radio y diferente material, encontramos que la esfera de hierro experimenta menor cambio en la rapidez por efecto del empujón, razón por la cual le asignamos mayor masa inercial.

1.5 Algunas fuerzas comunes1.5.1 El peso de los cuerposUna de las fuerzas básicas de la naturaleza es la interacción gravitacional. Todo cuerpo que se encuentre en la proximidad de la Tierra experimenta una fuerza de atracción gravitacional. Esta fuerza ejercida por la Tierra sobre los objetos se denomina peso y el vector que la representa se considera dirigido hacia el centro de la Tierra. Para los objetos que se encuentran cerca de la superficie de la Tierra representamos el vector peso hacia abajo.Puesto que los cuerpos están formados por una gran cantidad de peque-ñas partículas, donde cada una de ellas tiene un peso determinado, el peso total del cuerpo corresponde a la suma de los pesos de dichas partículas. El punto de aplicación del vector peso es el centro de gravedad del cuerpo. Dependiendo de la forma del cuerpo y de cómo estén distribuidas las par-tículas que lo conforman, el centro de gravedad se ubica a mayor o menor distancia con respecto al centro geométrico de dicho cuerpo. Por ejemplo, el centro geométrico de un recipiente cilíndrico de aluminio completamente lleno con agua coincide con su centro geométrico, mientras que el centro de gravedad del recipiente parcialmente lleno de agua se ubica por debajo del centro geométrico del recipiente. En la siguiente figura se representan el centro de gravedad (c.g.) de algunos cuerpos macizos, por ejemplo, de hierro.

c.g. c.g.c.g.

c.g. c.g.c.g.

EJERCICIO Sobredosobjetosqueseencuentran

inicialmente en reposo se aplicanfuerzas igualesyambosalcanzan lamismarapidezenelmismotiempo.¿Cómosonsusmasas?

Procesos físicos

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EJERCICIO ¿Cómo sería la situ-

ación planteada en elejemplo,silalanchasemantieneenreposo?

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1.5.2 La fuerza normalTodo cuerpo situado sobre una superficie experimenta una fuerza que esta le ejerce. Esta fuerza se denomina fuerza normal o simplemente normal. La fuerza normal (FN ) es perpendicular a la superficie que la ejerce.Cuando el plano sobre el cual está situado el cuerpo es horizontal, la normal es opuesta al peso, pero no ocurre así cuando el plano es inclinado. En la si-guiente figura se observan algunas representaciones de la fuerza normal.

EJEMPLO

Una lancha se mueve en línea recta, en un lago, con rapidez constante. Determinar:a. Un diagrama en el que se representen las fuerzas que actúan sobre la lancha.b. Las relaciones existentes entre las fuerzas que actúan sobre la lancha.

Solución:a. Como la trayectoria de la lancha

es rectilínea, sobre ella actúan las cuatro fuerzas que se muestran en la figura.• La fuerza ejercida por el motor,

Fmot .• La fuerza ascensional, Fas, debida

a la acción que el agua ejerce hacia arriba sobre la lancha.

• El peso, w, de la lancha.• La fuerza de resistencia, Fres, que el agua ofrece y es opuesta al movimiento de la

lancha.

b. Puesto que la lancha se desplaza con velocidad constante, de acuerdo con el princi-pio de inercia, la fuerza neta debe ser igual a cero. Fneta 5 Fmot 1 Fres 1 w 1 Fres 5 0Como la fuerza neta es cero, sus componentes deben ser iguales a cero, por tanto:En dirección horizontal En dirección verticalFmot 1 Fres 5 0 Fas 1 w 5 0Lo cual significa que:Fmot 5 2 Fres Fas 5 2 wDe donde, en este caso, la norma de la fuerza que ejerce el motor es igual a la norma de la fuerza de resistencia y la norma del peso es igual a la norma de la fuerza as-censional.

FN

FNFN

FN

Fas

FresFmot

w

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1.5.3 La fuerza de rozamientoUn cuerpo que se desplaza sobre una superficie o sobre otro cuerpo, experimenta una fuerza opuesta al sentido de su movimiento, dicha fuerza es ejercida por la superficie de contacto y se denomina fuerza de rozamiento o fuerza de fricción (Fr), la cual se representa opuesta a la velocidad.Este fenómeno se debe a que las superficies de contacto no son perfecta-mente lisas, sino que presentan rugosidades que encajan aleatoriamente entre sí, produciendo esta fuerza que se opone al movimiento (figura 4).Aunque el rozamiento disminuye notablemente el rendimiento de ciertos mecanismos como el de los pistones de un motor, en algunas ocasiones es útil pues si no existiera la fricción varios sistemas no funcionarían, como, por ejemplo, los frenos de los automóviles.

Figura 4. Rugosidades en las superficies producen fuerza de rozamiento.

EJEMPLO

El peso de una caja es 400,0 N. Si un hombre le ejerce una fuerza de 200,0 N con una cuerda que forma con la horizontal un ángulo de 30°, determinar: a. Las fuerzas que actúan sobre la caja.b. La fuerza normal y la fuerza de rozamiento, si la caja

se mueve con velocidad constante.Solución:a. En la figura se muestran las fuerzas que actúan sobre

la caja: El peso w, la fuerza de rozamiento Fr, la fuerza normal FN y la fuerza F que ejerce el hombre.

b. Las componentes de la fuerza F son:Fx 5 F ? cos uFy 5 F ? sen uAl remplazar y calcular tenemos que:Fx 5 200,0 N cos 30° 5 173,2 NFy 5 200,0 N sen 30° 5 100,0 NPuesto que la caja se mueve con velocidad constante, la fuerza neta es igual a cero. Por lo tanto, F 5 (173,2; 100,0)w 5 (0; 2400,0)FN 5 (0; FN)Fr 5 (2Fr; 0)

Fneta 5 (0; 0)Como la suma de las fuerzas verticales y horizontales es cero, entonces:173,2 N 2 Fr 5 0, luego, Fr 5 173,2 N100,0 2 400 N 1 FN 5 0, luego, FN 5 300 NLa fuerza normal mide 300 N y la fuerza de roza-miento mide 173,2 N.

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1.5.4 La tensiónCon frecuencia, se ejercen fuerzas por medio de cuerdas o hilos. Si con-sideramos que estos son inextensibles, las fuerzas aplicadas sobre ellos se transmiten a los cuerpos a los cuales están unidos. La fuerza que se transmite por medio de un hilo recibe el nombre de tensión y la dirección del hilo determina la dirección de la tensión, T .

EJEMPLO

Para la situación de la figura, determinar la tensión de las cuerdas si la cuerda 1 se tensiona 80,0 N.

Solución:Dibujemos las fuerzas que actúan sobre el punto de unión de las tres cuerdas: T1, T2 y T3. Además dibujemos las fuerzas que actúan sobre el objeto que cuelga, es decir, el peso w dirigido hacia abajo y la tensión T3. La tensión T3 actúa sobre el objeto hacia arriba y sobre el punto de unión de las tres cuerdas hacia abajo.

Puesto que el objeto se encuentra en reposo, la suma de las fuerzas es cero, por tanto el peso w y la tensión T3 tienen la misma norma.

Primer método de soluciónConsideremos el punto de unión de las tres cuerdas y escribamos sus componentes. Las componentes de la tensión T1 son: T1x 5 2T1 ? cos 60° 5 280,0 ? cos 60° 5 240,0 NT1y 5 T1 ? sen 60° 5 80,0 ? sen 60° 5 69,3 N

La componente en x de T2 llamada T2x mide igual a la norma de T2 que denominamos T2, pues la tensión T2 no tiene componente en y, es decir que T2y 5 0.A la componente en y de la tensión T3, le antepone-mos un signo menos pues está dirigida hacia abajo y mide igual que la norma de T3. La componente en x de la tensión T3 es igual a cero.Como el sistema está en reposo, la fuerza neta debe ser cero es decir Fneta 5 (0, 0), así tenemos:T1 5 (240,0, 69,3)T2 5 (T2, 0)T3 5 (0, 2T3)Fneta 5 (0, 0)A partir de las componentes en el eje x se tiene que: 240 N 1 T2 5 0, luego T2 5 40 N.A partir de las componentes en el eje y se tiene que: 69,3 N 2 T3 5 0, luego T3 5 69,3 N.Por ende, las tensiones miden: T1 5 80,0 N, T2 5 40,0 N y T3 5 69,3 N.Segundo método de soluciónSe puede resolver la misma situación por medio de ecuaciones. Para ello, planteamos ecuaciones para las componentes en el eje x y en el eje y.En el eje x: 280,0 cos 60° 1 T2 5 0De donde, 240 N 1 T2 5 0, luego T2 5 40 N.En el eje y: 80,0 ? sen 60° 2 T3 5 0De donde, 69,3 N 2 T3 5 0, luego T3 5 69,3 N.Obtenemos los mismos resultados, es decir,T1 5 80,0 N, T2 5 40,0 N y T3 5 69,3 N.

60º

1

80 N

60º

T1 T2

T3T3

w

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2. Ley fundamental de la dinámica - Segunda ley de Newton

2.1 La segunda ley de NewtonCuando sobre un cuerpo actúa una fuerza constante, este experimenta cam-bios de velocidad iguales en tiempos iguales. Una fuerza neta constante pro-duce una aceleración constante. Los vectores aceleración y fuerza neta tienen la misma dirección como se observa en la siguiente figura.

Cuando cambia el valor de la fuerza neta aplicada sobre el objeto, la acele-ración también cambia. Si sobre un mismo cuerpo se ejercen sucesivamente diferentes fuerzas netas cuyas intensidades son F1, F2, F3, …, y como conse-cuencia, los valores de la aceleración son, respectivamente, a1, a2, a3, …, se tiene que:

Fa

Fa

Fa

1

2

2

2

3

3…5 5 5

La segunda ley de Newton, también llamada ley fundamental de la dinámica, establece la relación entre la fuerza neta que se ejerce sobre un cuerpo y la aceleración que este experimenta.La aceleración, a , de cualquier partícula material tiene en todo momento la misma dirección de la fuerza neta Fneta que actúa sobre ella, en donde, el cociente entre las normas del vector fuerza y del vector aceleración, es igual a una constante que depende de la partícula. Es decir:

Faneta constante5

Esta expresión muestra que la fuerza neta y la aceleración son directamente proporcionales. A la constante de proporcionalidad se le llama masa inercial del cuerpo. Recuerda que en el Sistema Internacional de Unidades, la masa se mide en kilogramos (kg). En consecuencia, la fuerza neta se puede expresar como:

Fneta 5 m ? aEsta expresión se constituye en la ley fundamental de la dinámica conocida como la segunda ley de Newton la cual se expresa como:La fuerza neta que se ejerce sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración que dicha fuerza produce, donde la constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo.

F

a1

F � F � Fneta 1 2

F2

Sisemultiplicaunvectorporunescalarposi-tivo,seobtieneunvectorconlamismadirec-cióndelprimero.


Procesos físicos

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Ley fundamental de la dinámica - Segunda ley de Newton

A partir de la expresión Fneta 5 m ? a podemos ver que cuando sobre dos cuerpos se les aplica la misma fuerza, el de menor masa experimenta mayor aceleración. Esto significa que la masa inercial es una medida de la inercia de un cuerpo, es decir, de la resistencia que dicho cuerpo opone a la variación de su estado de reposo o de movimiento. Para una fuerza neta dada, cuanto mayor es la masa del cuerpo sobre el cual se aplica, menor es la aceleración que produce sobre él, como se observa en la figura.

Puesto que la dirección de la fuerza neta coincide con la dirección de la ace-leración que dicha fuerza produce, cuando la rapidez se dirige en el sentido del movimiento del cuerpo, la rapidez aumenta. Cuando la fuerza neta se dirige en sentido contrario al movimiento del cuerpo, la rapidez disminuye. Por ejemplo, podemos observar que a partir de la expresión Fneta 5 m ? a se tiene el caso particular en el que Fneta 5 0, que equivale a afirmar que a 5 0, es decir que si la fuerza neta es igual a cero, el cuerpo permanece en reposo o permanece con velocidad constante, como lo establece el principio de inercia.

EJEMPLO

Un automóvil cuya masa es 1.000 kg se mueve inicialmente con velocidad de 54 km/h y se detiene después de 10 segundos de avanzar por una vía recta. Determinar la fuerza neta que actúa sobre él.

Solución:Para determinar la fuerza neta, primero se expresa la velocidad en m/s, para lo cual se tiene:

54 kmh

54 kmh

1.000 m1 km

1 h3.600 s 15 m5 5? ? //s

Si el automóvil frena con aceleración constante, podemos determinar el valor de dicha aceleración a partir de la expresión:

v 5 v0 1 at0 5 15 m/s 1 a (10 s) Al remplazar

a � �15 m/s10 s Al despejar a

a 5 21,5 m/s2 Al calcularLa fuerza neta se calcula mediante la ecuación:

F 5 m ? aF 5 21.000 kg ? 1,5 m/s2 Al remplazarF 5 21.500 N Al calcular

El signo menos indica que la fuerza actúa en dirección contraria al movimiento y, en consecuencia, la velocidad del automóvil disminuye, pues la velocidad inicial era 15 m/s y la velocidad final, 0 m/s.

F

a

F

a12

menormasa

mayormasa a2a1�

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2.2 El peso de los cuerposEl peso de un cuerpo se relaciona con su masa, sin embargo, masa y peso son dos conceptos diferentes. Un cuerpo tiene la misma masa en la Tierra que en la Luna, pero su peso es seis veces menor en la Luna que en la Tierra. Por ejemplo, a un jugador de fútbol americano le resultaría más difícil levantar un contendor de juego en la Tierra que en la Luna, pero requeriría la misma intensidad de fuerza, tanto en la Tierra como en la Luna para detenerlo cuando se mueve con determinada rapidez, pues en ambos sitios tiene la misma masa. Por otra parte, a diferencia del peso, la masa no es una cantidad de carácter vectorial.El peso de los objetos también varía con la altura, un cuerpo situado sobre la superficie terrestre pesa más que uno ubicado a una determinada altura con respecto a dicha superficie. No obstante, para las alturas en las que nos movemos con respecto a la superficie de la Tierra esta variación es pequeña y puede despreciarse, por tanto podemos considerar que cerca de la superficie de la Tierra, el peso no varía.Puesto que el peso, w, es una fuerza podemos relacionar el peso y la aceleración de un objeto que cae a partir de la ecuación F 5 m ? a . Si la única fuerza que actúa sobre un cuerpo es el peso y la aceleración es la aceleración de la gravedad, g, tenemos que:

w 5 m ? g

EJEMPLOS

1. Encontrar:a. El peso de un bloque de 72 kg.b. La masa de una persona cuyo peso es de 150 N.

Solución:Los resultados se determinan a partir de la ecuación w 5 mga. w 5 m ? g

w 5 72 kg ? 9,8 m/s2 5 705,6 N Al remplazar y calcular

El peso de un cuerpo de 72 kg es 705,6 N.

b. m wg5 Al despejar m

m 5 1509 8

Nm/s2,


La masa de la persona es 15,3 kg.

2. El peso de una persona en la Tierra es 600 N. Determinar:a. La masa de la persona.

b. El peso de la persona en la Luna, donde la aceleración de la gravedad es 1,6 m/s2.

Solución:a. Puesto que el peso es 600 N, se tiene que:

w 5 m ? g

m wg5 Al despejar m

m 5 5600 N9,8 m/s 61,2 kg2 Al remplazar

y calcular

La masa de la persona es 61,2 kg.

b. Puesto que la aceleración de la gravedad en la Luna es 1,6 m/s2 y la masa de la persona en la Luna es igual que en la Tierra, es decir, 61,2 kg, se tiene que el peso de la persona en la Luna wluna es:w 5 m ? gwluna 5 61,2 kg ? 1,6 m/s2 Al remplazarwluna 5 97,9 N Al calcularEl peso de la persona en la Luna es 97,9 N.

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Figura 5. El automóvil no se mueve, por tanto, la suma de las fuerzas que actúan sobre él es igual a cero.

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EJEMPLOS

3. Un objeto de 10,0 kg de masa se encuentra sus-pendido del techo de un ascensor por medio de un dinamómetro. Determinar la lectura del dina-mómetro (esta es la fuerza que él ejerce sobre el cuerpo) si:a. El ascensor asciende con aceleración de 2 m/s2.b. El ascensor desciende con aceleración de 2 m/s2.

Solución:a. En la figura se muestran las fuerzas que actúan

sobre el objeto.Si el ascensor sube con aceleración constante de 2 m/s2, la fuerza neta se expresa como:Fneta 5 m ? a 5 10,0 kg ? 2 m/s2 5 20,0 NEl peso del objeto es:w 5 m ? g 5 10,0 kg ? 9,8 m/s2 5 98 NPor tanto,Fneta 5 T 2 (m ? g)T 5 Fneta 1 (m ? g) Al despejar TT 5 20 N 1 98 N Al remplazarT 5 118 N Al calcularEsto muestra que cuando el ascensor acelera hacia arriba, aparentemente el objeto pesa 118 N.

2.3 La fuerza de rozamientoComo lo hemos descrito, las superficies, en general, no son perfectamente lisas y presentan una serie de rugosidades que en ocasiones encajan con las de otra superficie cuando se encuentran en contacto. Así, cuando se intenta desplazar un cuerpo sobre una superficie o cuando un cuerpo se desliza sobre ella, aparece la fuerza de rozamiento, opuesta a la dirección del movimiento.

2.3.1 Fuerza de rozamiento estáticoSi al intentar mover un vehículo, empujándolo, este permanece inmóvil, se puede afirmar que la aceleración del vehículo es igual a cero, debido a que la suma de las fuerzas que actúan sobre él es igual a cero. La fuerza, F , que se ejerce sobre él se equilibra con la fuerza de ro-zamiento, Fr , puesto que el objeto permanece inmóvil. A este tipo de rozamiento se le denomina fuerza de rozamiento estático.Puede ocurrir que aunque se aumente la fuerza con la cual se empuja el vehículo, este permanezca inmóvil; lo que indica que la fuerza de rozamiento estático también aumenta, es decir F 5 Fr .

a

TT

mg mg

a

b. Si el ascensor baja con aceleración constante de 2 m/s2, la fuerza neta se expresa como:Fneta 5 m ? a 5 210,0 kg ? 2 m/s2 5 220,0 N.El peso del objeto es:w 5 m ? g 5 10,0 kg ? 9,8 m/s2 5 98 NPor ende,Fneta 5 T 2 (m ? g)T 5 Fneta 1 (m ? g) Al despejar TT 5 2 20 N 1 98 N Al remplazarT 5 78 N Al calcularEsto muestra que cuando el ascensor acelera hacia abajo, aparentemente el objeto pesa 78 N.

F

Fr

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Figura 6. Fuerza de rozamiento.

F

Fr

a

Si dos personas empujan a la vez el vehículo, la fuerza aplicada es mayor y eventualmente puede lograr que el vehículo se ponga en movimiento. El valor de la fuerza de rozamiento estático alcanza un valor máximo que se conoce como fuerza de rozamiento es-tático máxima, siendo este el valor alcanzado en el momento en que el automóvil empieza a moverse.Para analizar más a fondo lo que sucede con las irregularida-des de dos superficies en contacto al ser presionadas, podemos considerar cada superficie como una lija, cuyo material abrasivo corresponde a las irregularidades. Si se presiona un trozo de lija contra el otro, los granos se entre-lazan y, al aplicarse una fuerza paralela a la superficie, dificultan el desplazamiento, lo cual da origen a la fuerza de rozamiento. La cantidad de material abrasivo (granos) de cada lija hace evidente fuerza de rozamiento que actúa sobre cada superficie.Cuanto más se presionan los trozos de lija, más se incrustan los granos del uno en la superficie del otro y en consecuencia, mayor resulta la fuerza necesaria para desplazar las superficies hasta al-canzar un valor máximo, es decir, hasta el momento en el cual un trozo de lija comienza a moverse con respecto al otro.La fuerza de rozamiento estático máxima es proporcional a la fuerza que se ejercen mutuamente las superficies en la dirección perpendicular a ellas. Cuando un objeto se encuentra sobre una superficie, la fuerza perpendicular que la superficie le ejerce es la fuerza normal FN .Por ende,

Frestático 5 me ? FN

La constante de proporcionalidad me se denomina coeficiente de rozamiento estático y su valor, que por lo general es menor que 1, depende de la textura de las superficies en contacto.La fuerza de rozamiento depende de la naturaleza de las super-ficies que se ponen en contacto, por ejemplo me es diferente si las superficies en contacto son asfalto y caucho que si se trata de hielo y metal. Por otra parte, por depender de la fuerza normal, la fuerza de rozamiento no depende del área de las superficies en contacto de los cuerpos, siempre que la naturaleza de las caras sea la misma como se muestra en la siguiente figura.

w w

FN

FN

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Figura 7. La fuerza de rozamiento cinético se presenta cuando los cuerpos están en movimiento.

2.3.2 La fuerza de rozamiento cinéticoUna vez que la fuerza aplicada sobre un objeto supera en intensidad a la fuerza de rozamiento estático, el objeto se mueve. Cuando el objeto se encuentra en movimiento, la fuerza de rozamiento es menor que la fuerza de rozamiento estático máxima. A la fuerza de rozamiento cuando los cuerpos se encuentran en movimiento se le denomina fuerza de ro-zamiento cinético y se representa opuesta a la dirección del movimiento.La fuerza de rozamiento cinético es directamente proporcional a la fuerza normal. La constante de proporcionalidad que, como en el caso del rozamiento estático, depende de la naturaleza de las superficies en contacto, se llama coeficiente de rozamiento cinético mc. En este caso tenemos:

Fr cinético 5 mc ? FN

EJEMPLO

F

Dirección

del movimiento

r

F

30º

Fx

Fx

Fr

FN

mg

y

x

30º

80 N

F

Sobre una caja de masa 8,0 kg se aplica una fuerza de 80,0 N que forma con la horizontal un ángulo de 30° y este se desliza sobre una superficie plana. El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la super-ficie es de 0,20. Determinar la aceleración con la cual se mueve el objeto.


Solución:En la siguiente figura se representa el diagrama de fuerzas correspondiente.

Las componentes de la fuerza F, se calculan así:Fx 5 F ? cos 30°Fx 5 80,0 N ? cos 30° 5 69,3 NFy 5 2F ? sen 30°Fy 5 280,0 N ? sen 30° 5 240,0 N.El peso de la caja es:w 5 m ? gw 5 8,0 kg ? 9,8 m/s2 5 78,4 N.No conocemos la componente en x de la fuerza de ro-zamiento ni la componente en y de la fuerza normal. Además, como el objeto permanece en contacto con la superficie sobre la cual se desliza, la componente en y de la fuerza neta es igual a cero. Escribimos las componentes de las fuerzas, expresadas en N.

F 5 (69,3; 240,0)mg 5 (0, 278,4)Fr 5 (2Fr, 0)FN 5 (0, FN)

Fneta 5 (Fneta, 0)Podemos plantear las siguientes ecuaciones para las componentes:Para y: 240,0 N 2 78,4 N 1 FN 5 0De la cual podemos deducir que FN 5 118,4 NPara calcular la fuerza de rozamiento, tenemos que:Fr 5 mc ? FN

Fr 5 0,20 ? 118,4 N 5 23,68 N Al remplazar y calcularPara x: 69,3 ? N 2 Fr 5 Fneta

De la cual podemos deducir que:Fneta 5 69,3 N 2 23,68 N 5 45,62 N.Para calcular la aceleración, tenemos que:

Fneta 5 m ? a

a Fmneta5 5 5

45,62 N8,0 kg 5,7 m/s2

La aceleración del objeto es de 5,7 m/s2

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2.4 El plano inclinadoLas superficies inclinadas como las rampas son ejemplos de planos inclinados. Un plano inclinado es una superficie plana que forma un determinado ángulo a con la horizontal.Considera que sobre un plano inclinado liso (de rozamiento desprecia-ble) se coloca un cuerpo sujeto por un dinamómetro a la parte superior del plano tal como se muestra en la siguiente figura.

Se observa que sobre el cuerpo actúan tres fuerzas: su peso (mg), la fuerza normal (FN ) y la fuerza que ejerce el resorte del dinamómetro (F ). Como el cuerpo se encuentra en equilibrio bajo la acción de las tres fuerzas, se cumple que:

mg 1 FN 1 F 5 0El peso, mg , del cuerpo puede descomponerse en otras dos fuerzas: una en el eje x (mgx), y la otra en el eje y (mgy), así:

Podemos escribir entonces:mg 5 (2mgx, 2mgy)FN 5 (0 , FN)FD 5 (F, 0)

Fneta 5 (0 , 0)Por tanto,

mgx 5 F y mgy 5 FN

Esto muestra que la componente sobre el eje y del peso, mgy y la fuerza normal son fuerzas de igual norma pero con direcciones contrarias. De la misma manera, la fuerza F que ejerce el dinamómetro y la componente del peso en el eje x, mgx, son de igual norma pero opuestas.

w

N

mg

mg

mg

x

y

EJERCICIO ¿Es cierto que siempre se cumple

quelanormadelafuerzanormalesigualalanormadelpeso?Explicapormediodeejemplos.

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EJEMPLO

Sobre un plano inclinado que forma 37° con la ho-rizontal, se encuentra un bloque A de madera, de masa 8,0 kg, unido por medio de una cuerda a otro bloque B, de masa 4,0 kg que cuelga de la cuerda, la cual pasa por una polea situada en la parte inferior del plano. Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0,20, calcular la aceleración del sistema y la tensión del hilo.

Solución:La fuerza de rozamiento que actúa sobre A se dirige hacia arriba por el plano. Para escribir las relaciones entre las fuerzas, tomemos las direcciones positivas que se indican en la siguiente figura para cada objeto respectivamente.

Bloque B:Sobre el bloque B, únicamente actúan el peso, que es mB ? g 5 39,2 N, y la tensión del hilo, T. El peso, mB ? g, está orientado en la dirección del movimiento, mientras que T se dirige en sentido contrario, por lo cual, al aplicar la ecuación Fneta 5 m ? a, tenemos:

FnetaB 5 39,2 N 2 T

es decir, 39,2 N 2 T 5 4,0 kg ? a

Bloque A:Puesto que actúan la fuerza de rozamiento, la fuerza normal, la tensión de la cuerda y el peso, debemos

considerar lo que sucede en la dirección del mo-vimiento y en la dirección perpendicular al movi-miento.En dirección perpendicular a la dirección del movi-miento actúan la fuerza normal FN y la componente del peso,

2mA ? g ? cos 37° 5 262,6 NEn la dirección del movimiento, actúan la tensión, T, la fuerza de rozamiento, Fr y la componente del peso, m ? g

m ? g ? sen 37° 5 47,2 N.La componente de la fuerza neta en el eje y es igual a cero, pues en esta dirección no hay movimiento para el bloque A. Si suponemos que la cuerda no tiene masa, la tensión en los dos extremos de la cuerda es T y, por tanto, al escribir las componentes de los vectores tenemos:

T 5 (T , 0)

FN 5 (0 , FN)

Fr 5 (2Fr, 0)

mg 5 (47,2; 262,6)

Fneta A 5 (8,0 kg ? a, 0)

A partir de las componentes en el eje y, la fuerza normal es:

FN 5 62,6 NCon el valor de la fuerza normal podemos calcular la fuerza de rozamiento:

Fr 5 0,20 ? 62,6 N 5 12,5 NA partir de las componentes en el eje x:

T 2 12,5 N 1 47,2 N 5 8,0 kg ? aTenemos entonces las siguientes dos ecuaciones:

39,2 N 2 T 5 4,0 kg ? aT 1 34,7 N 5 8,0 kg ? a

Sumándolas, obtenemos:73,9 N 5 12,0 kg ? aLuego, a 5 6,15 m/s2

Calculamos la tensión a partir de cualquiera de las ecuaciones anteriores y obtenemos que:T 5 14,6 N.La aceleración del sistema es 6,15 m/s2 y la tensión de la cuerda es 14,6 N.

Dirección del movimiento

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F pared a niñoF niño a pared

Para explicar situaciones como la descrita enunciamos la tercera ley de Newton o principio de acción y reacción.

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3. Acción y reacción - Tercera ley de Newton

3.1 La tercera ley de NewtonEn la naturaleza, las fuerzas no se presentan solas, sino que forman parte de un sistema de pares de fuerzas que actúan simultáneamente. Por ejemplo, un niño que se desliza sobre unos patines, ejerce una fuerza con sus manos sobre una pared y como consecuencia de ello, el niño se separa de la pared. Esto sucede debido a que la fuerza aplicada por el niño, genera otra fuerza contraria a la que aplicó sobre la pared, como se observa en la siguiente figura.

Si un cuerpo ejerce una fuerza (acción) sobre otro, este produce otra fuerza de la misma intensidad (reacción), pero opuesta sobre el primero.

Es importante tener en cuenta que las fuerzas de acción y reacción se aplican sobre cuerpos distintos. Así, en el ejemplo del niño sobre patines, si conside-ramos que la acción es la fuerza ejercida por el niño sobre la pared, la reacción es la fuerza ejercida por la pared sobre el niño, lo cual ocasiona que este se desplace.Las fuerzas de acción y reacción se manifiestan en la naturaleza, por ejemplo algunos animales como los calamares se desplazan cuando lanzan desde el interior de su cuerpo un líquido (tinta). El animal al expulsar la tinta ejerce fuerza sobre el líquido y, en consecuencia, por el principio de acción y reac-ción, el líquido ejerce fuerza sobre el animal, lo cual genera que este se des-place.Cualquier cuerpo que se encuentre en las proximidades de la Tierra expe-rimenta la fuerza de atracción que esta le ejerce, el peso. De acuerdo con el principio de acción y reacción, también el cuerpo ejerce una fuerza de igual intensidad y opuesta sobre la Tierra. Esto significa que debido a la fuerza ejercida por el cuerpo, la Tierra experimenta aceleración, sin embargo no se percibe, puesto que de acuerdo con la segunda ley de Newton, un objeto de mayor masa experimenta menor aceleración que uno de menor masa cuando se les ejerce la misma fuerza. Puesto que la masa de la Tierra es muy grande (6,0 ? 1024 kg), la aceleración que esta experimenta es mínima. EJERCICIO Siuncuerposeencuentrasobreuna

superficie horizontal, ¿qué cuerpoejercelareacciónalafuerzanormal?

Definición

Procesos físicos

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Acción y reacción - Tercera ley de Newton

Figura 8. Las fuerzas que se ejercen la locomotora y el vagón constituyen un par acción-reacción.

En síntesis, dos cuerpos que interactúan mutuamente ejercen fuerzas de igual intensidad pero opuestas, una de ellas la acción y la otra la reacción. Cualquiera de las dos corresponde a la acción o a la reacción. Por ejemplo, cuando una locomotora hala un vagón le ejerce fuerza y, en consecuencia, el vagón le ejerce una fuerza de igual intensidad y opuesta (figura 8). En este caso no podemos determinar cuál de las fuerzas es la acción y cuál es la reacción, ya que si consideramos que la fuerza que ejerce la locomotora es la acción, entonces la fuerza que ejerce el vagón es la reacción y si la fuerza que ejerce el vagón se consi-dera como la acción, la fuerza que ejerce la locomotora es la reacción.Aunque las fuerzas de acción y reacción entre pares de cuerpos, son de igual intensidad y opuestas, no ocasionan que el conjunto esté en reposo o que se mueva con velocidad constante, ya que, cada una actúa sobre un cuerpo distinto y por tanto ninguno de los dos puede estar en reposo, a menos que existan otras fuerzas que contrarresten a las ante-riores. Por ejemplo, es claro que cuando la locomotora hala el vagón lo pone en movimiento. De acuerdo con el principio de acción y reacción la fuerza que ejerce la locomotora sobre el vagón es de igual intensidad y opuesta a la que ejerce el vagón sobre la locomotora, sin embargo, las fuerzas no se anulan entre sí porque actúan sobre cuerpos diferentes y entonces no podemos esperar que el sistema locomotora-vagón nece-sariamente se encuentre en reposo o se mueva con velocidad constante.

EJEMPLO

Solución:En la figura se representan las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.

Si consideramos que el peso es la acción, entonces, la reacción es la fuerza que ejerce el objeto sobre la Tierra.

Si consideramos la fuerza normal como la acción, entonces, la reacción es la fuerza que ejerce el cuerpo sobre la superficie del plano inclinado.

La reacción a la fuerza de rozamiento es una fuerza que ejerce el cuerpo sobre la superficie como lo muestra la figura.

Un cuerpo se coloca sobre un plano inclinado.a. Dibujar las fuerzas que actúan sobre el cuerpo e indicar qué cuerpo las ejerce.b. Determinar la fuerza de reacción a cada una de las fuerzas y representarlas gráficamente.

Fuerzadelobjetosobrelatierra

Fuerzadelcuerposobreelplano

Fuerzasobreelplano

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3.2 La cantidad de movimiento linealAlguna vez te has preguntado ¿cómo puede un karateca romper una fila de ladrillos sin romper su mano? ¿Por qué es más difícil detener una pelota cuando se mueve rápido que cuando se mueve despacio? Como ya lo hemos dicho, para detener un objeto es necesario aplicarle una fuerza y efectivamente la experiencia nos muestra que tenemos mayor dificultad cuanto mayor es la rapidez con la que se mueve el ob-jeto. La experiencia también nos muestra que si dos cuerpos de diferente masa se mueven con la misma rapidez, tenemos mayor dificultad para detener el cuerpo con mayor masa. Lo anterior sugiere que para describir este tipo de situaciones debemos tener en cuenta dos factores, la masa y la velocidad de los objetos. Estas dos magnitudes se relacionan con la magnitud llamada cantidad de movimiento lineal o momentum lineal.Newton, en su obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, defi-nió la cantidad de movimiento como: La cantidad de movimiento es la medida del mismo, que nace de la velocidad y de la cantidad de materia conjuntamente.En la definición propuesta, Newton menciona la cantidad de materia, sin embargo, cuando definimos masa en el tema anterior, establecimos que esta es una medida de la resistencia que presenta un objeto al que se le cambia su estado de movimiento, definición de masa que es más precisa que la de cantidad de materia.

La expresión que describe la cantidad de movimiento lineal es:p 5 mv

Como el producto de una magnitud escalar positiva (la masa) por un vector (la velocidad), es un vector con la misma dirección, tenemos que la dirección del vector cantidad de movimiento coincide con la dirección del vector velocidad.Para la norma de la cantidad de movimiento se cumple que p 5 mvLa unidad de medida de la cantidad de movimiento en el SI es el kg ? m/sPor ejemplo, si un automóvil de masa 1.000 kg se mueve con velocidad de 72 km/h hacia el norte y un camión de masa 8.000 kg se mueve con velocidad 9 km/h hacia el norte, podemos verificar que la cantidad de movimiento de los dos vehículos es la misma.

pautomóvil 5 mautomóvil ? vautomóvil

pautomóvil 5 1.000 kg ? 20 m/spautomóvil 5 20.000 kg ? m/spcamión5 mcamión ? vcamión

pcamión 5 8.000 kg ? 2,5 m/spcamión 5 20.000 kg ? m/s

Observemos que la cantidad de movimiento de un sistema aumenta cuando aumenta su rapidez y la masa permanece constante o cuando aumenta la masa y la rapidez permanece constante.

El momentum lineal o cantidad de movimiento lineal, p, de un cuerpo se define como el producto de la masa del cuerpo por la velocidad.

EJERCICIO Planteaunejemplodeunautomóvil

cuya masa es 1.000 kg y cuya can-tidad de movimiento lineal es igualalatuyaenunasituaciónenlacualcorres.

Definición

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Figura 9. Fuerzas no tan intensas aplicadas durante largos períodos de tiempo (a) pueden producir igual impulso que fuerzas muy intensas aplicadas durante intervalos de tiempo muy cortos (b).

3.3 Impulso mecánicoAl cambiar la cantidad de movimiento de un cuerpo, cambia su masa o cambia su velocidad o cambian la masa y la velocidad. La experiencia diaria nos indica que, la masa de los objetos permanece constante y, por lo general, varía la velocidad, es decir, se produce una aceleración. Dicha aceleración se produce como resultado de una fuerza que actúa sobre el cuerpo durante un tiempo determinado.Como sabemos, un factor importante en el movimiento de los cuerpos es el tiempo durante el cual se ejerce la fuerza. Si se aplica una fuerza durante un intervalo de tiempo corto, el cambio en la cantidad de movi-miento es pequeño, y si se aplica la misma fuerza durante un intervalo de tiempo mayor, el cambio en la cantidad de movimiento es mayor.Si suponemos que un cuerpo se mueve en línea recta con aceleración constante y su velocidad cambia de v0 a v durante un intervalo de tiempo Dt, entonces se tiene que:

a vt

v vt� �

��

�0

Como Fneta 5 m ? aTenemos,

F m v vt

m v m vtneta � �

��

�� 0 0

Si la cantidad de movimiento inicial es p0 5 m ? v0 y la cantidad de mo-vimiento cuando ha transcurrido el intervalo de tiempo Dt es p 5 m ? v, entonces:

F p pt

ptneta

0�

��

��

Lo cual significa que la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo. Esta expresión muestra que cuanto más intensa es una fuerza, más rápido cambia la cantidad de movimiento del objeto; de la misma manera, si la fuerza no es tan intensa, la cantidad de movimiento del objeto cambia lentamente.El producto de la fuerza que actúa sobre un cuerpo por el tiempo durante el cual esta actúa recibe el nombre de impulso mecánico, I. Es decir,

I 5 Fneta ? DtComo Fneta ? Dt 5 p 2 p0, tenemos

I 5 p 2 p0

Es decir, que la variación de la cantidad de movimiento de un cuerpo es igual al impulso que actúa sobre el cuerpo. Esta relación permite explicar por qué fuerzas no tan intensas como la que ejerce el lanzador en béisbol, que actúan durante un intervalo de tiempo largo (figura a), producen efectos comparables con los de fuerzas intensas, como la que ejerce el bateador de béisbol con el bate, que actúan durante intervalos de tiempo cortos (figura b).La unidad de medida del impulso en el SI es el N ? s.

a

b

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1 19© Santillana


3.4 La conservación de la cantidad de movimiento

Consideremos un sistema formado por dos esferas. Se dice que este sis-tema es aislado porque las únicas fuerzas que actúan sobre ellas son las que se ejercen mutuamente (figura 10).

De acuerdo con el principio de acción y reacción, la fuerza que ejerce la esfera 1 sobre la esfera 2 (F12) es de igual intensidad y opuesta a la fuerza que ejerce la esfera 2 sobre la esfera 1 (F21). Es decir, F12 5 2 F21

Como la segunda ley de Newton, expresada en términos de la cantidad de movimiento p, establece que la fuerza es igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo, tenemos que las fuerzas que experimentan la esfera 1 y la esfera 2 son respectivamente:

F pt F p

t211

122y�

��

� ��

Por tanto, ��

� ��

pt

pt

2 1

El tiempo durante el cual la esfera 1 ejerce fuerza sobre la esfera 2 es igual al tiempo durante el cual la esfera 2 ejerce fuerza sobre la esfera 1, por ende, los cambios de cantidad de movimiento se relacionan mediante la expresión:

Dp2 5 2Dp1

es decir,

p2 2 p20 5 2(p1 2 p10

)

F21

F12

1

2

Figura 10. F12 y F21 constituyen un par acción-reacción.

EJEMPLO

La masa de un balón de fútbol es 450 g. Si el tiempo de contacto entre el pie y un balón en reposo, durante un puntapié, para que este adquiera una velocidad de 20 m/s, es de 8 ? 1023 s, determinar:a. El impulso producido por el puntapié.b. La fuerza ejercida sobre el balón.

Solución:a. La cantidad de movimiento inicial es 0 y la canti-

dad de movimiento final se calcula mediante: p 5m ? v p 5 0,450 kg ? 20 m/s Al remplazar p 5 9 kg ? m/s Al calcular

Para determinar el impulso, tenemos: I 5 p 2 p0

I 5 9 kg ? m/s 2 0 Al remplazar I 5 9 kg ? m/s Al calcular

El impulso producido por el puntapié es 9 kg ? m/sb. Para calcular la fuerza ejercida sobre el balón,

tenemos que:I 5 Fneta ? Dt

F Itneta �

� Al despejar Fneta

Fneta � �

9 kg m/s8 10 s3

??

Al remplazar

Fneta 5 1.125 N Al calcularLa fuerza ejercida sobre el balón es 1.125 N.

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La expresión anterior significa que una disminución en la cantidad de movimiento de la esfera 1 se manifiesta como un aumento de la cantidad de movimiento de la esfera 2.Esta relación se expresa como:p1 1 p2 5 p10

1 p20 5 constante

Observemos la siguiente figura:

Se concluye que la suma de las cantidades de movimiento de dos objetos que conforman un sistema aislado, antes de que interactúen, es igual a la suma de las cantidades de movimiento de los dos objetos después de la interacción, es decir:

pantes 5 pdespués

En consecuencia la cantidad de movimiento de un sistema aislado per-manece constante.El principio de conservación de la cantidad de movimiento lineal es equi-valente a la tercera ley de Newton. Este principio se aplica a un sistema aislado que contenga dos o más partículas. En un sistema conformado por tres partículas que interactúan, cada una experimenta como fuerza la suma de las fuerzas que le ejercen las otras dos.

EJEMPLO

Después de una explosión interna un objeto de masa 4,0 kg, inicialmente en reposo, se divide en dos fragmentos, uno de los cuales, de masa 2,5 kg, sale proyectado hacia la derecha con velocidad de 40 m/s. Determinar la velocidad del otro fragmento después de la explosión.

Solución:Cantidad de movimiento inicial del objeto antes de la explosión es pantes 5 0. La cantidad de movimiento final del sistema conformado por los dos fragmentos es:

pdespués 5 p1 1 p2 5 m1 ? v1 1 m2 ? v2

pdespués 5 2,5 kg ? 40 m/s 1 1,5 kg ? v2

pdespúés 5 100 kg ? m/s 1 1,5 kg ? v2

De acuerdo con el principio de conservación de la cantidad de movimiento,

Pantes 5 Pdespués

0 5 100 kg m/s 1 1,5 kg ? v2 Al remplazar

v2 5 266,6 m/s Al calcularLa velocidad del segundo fragmento, después de la explosión es 266,6 m/s. El signo menos indica que el se-gundo fragmento se mueve en sentido opuesto al primer fragmento.

p � mv1 1 p � mv2 2

p � mv1 1

p � mv2 2

0 0 0 0

pdespués5p1 1p2

pantes5p101p20

FI10-U4(94-123).indd 120 4/10/10 10:46

EJEMPLO

Un pequeño carro provisto de un cañón cuya masa total es 20,0 kg se mueve con velocidad de 5,0 m/s hacia la derecha. En determinado instante dispara un proyectil de 1,0 kg con una velocidad de 1,0 m/s, con respecto a la vía. Determinar la velocidad del carro con respecto a la vía después del disparo.

Solución:Antes del disparo, la cantidad de movimiento del sistema es:

pantes 5 minicial carro ? vinicial carro

pantes 5 20,0 kg ? 5,0 m/s 5 100 kg ? m/sDespués del disparo, la cantidad de movimiento del sistema carro proyectil es:

pdespués 5 mproyectil ? vproyectil 1 mrestante carro ? vcarro

pdespués 5 21,0 kg ? 1,0 m/s 1 19,0 kg ? vcarro

Como:Pantes 5 pdespués

100 kg ? m/s 5 21,0 kg ? 1,0 m/s 1 19,0 kg ? vcarro Al remplazarvcarro 5 5,3 m/s Al calcular

La velocidad del carro después del disparo es 5,3 m/s.

12 1© Santillana


Figura 11. Cohete impulsado por un sistema de propulsión.

3.5 Los sistemas de propulsiónLos sistemas de propulsión como el empleado para producir el mo-vimiento de los cohetes son una aplicación del principio de acción y reacción (figura 11). En este caso, los gases que escapan del combustible quemado son expulsados por la parte posterior del cohete y, en conse-cuencia, el cohete experimenta aceleración hacia adelante debida a la fuerza que ejercen los gases expulsados.Pero, ¿por qué un cohete se puede mover sin la interacción de cuerpo alguno? Supongamos que el cohete inicialmente se encuentra en reposo, entonces la cantidad de movimiento total del sistema es igual a cero. Una vez en movimiento, la cantidad de movimiento de los gases que escapan es igual a la cantidad de movimiento del cohete, aunque opuesta. Cuando el cohete expulsa los gases, además de recibir aceleración por efecto de la fuerza que le ejercen los gases, disminuye su masa, lo cual contribuye a que experimente un aumento en la rapidez.En síntesis, en el movimiento de los cohetes se conjugan dos factores: el primero es la fuerza que ejercen los gases expulsados, la cual es reacción a la fuerza que la nave les ejerce al expulsarlos. El segundo factor es la continua disminución de la masa, lo cual aumenta su rapidez. En el despegue de un cohete, los gases son expulsados a miles de me-tros por segundo. Algunos cohetes se denominan cohetes de múltiples etapas, debido a que en su trayecto, se despojan de algunas partes. En consecuencia, su masa disminuye significativamente aumentando de esta manera su rapidez.

5 m

1 m/s

vcarro

Fgasessobrecohete

Fcohetesobregases

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EJEMPLOS

1. Dos bolas de pool A y B de masa m se dirigen una hacia la otra, chocando frontalmente. La bola A se mueve con velocidad de 2 m/s y la bola B con velocidad de 1 m/s.a. Determinar la velocidad de la bola A, si después del choque la bola B se mueve con velocidad de 0,6 m/s

en dirección contraria a la inicial.b. Construir un diagrama de vectores que ilustre el movimiento de las bolas antes y después de la colisión.

Solución:Determinamos la cantidad de movimiento de las bolas antes y después de la colisión. A la velocidad de la esfera B antes de la colisión le asignamos signo menos puesto que se mueve en dirección contraria a la esfera A.pantes 5 pAantes

1 pBantes 5 m ? vAantes

1 m ? vBantes 5 m ? (2 m/s 2 1 m/s)

pdespués 5 pAdespués 1 pBdespués

5 m ? vAdespués 1 m ? vBdespués

5 m ? (vAdespués 1 0,6 m/s)

Como,pantes 5 pdespués

m ? (2 m/s 2 1 m/s) 5 m (vAdespués 1 0,6 m/s)

De donde:2 m/s 2 1 m/s 5 vAdespués

1 0,6 m/s

vAdespués 5 0,4 m/s

La velocidad de la esfera A después de la colisión es 0,4 m/s. La esfera A disminuyó su rapidez pero no cambió de dirección.

122 © Santillana


3.6 ColisionesEn muchas situaciones cotidianas observamos que se producen coli-siones entre objetos, por ejemplo, lo que sucede con las bolas de billar, o el comportamiento de las partículas de un gas. Una colisión es una interacción entre objetos en la que se produce transferencia de cantidad de movimiento, en ausencia de fuerzas externas. La cantidad de movi-miento del sistema conformado por los objetos que interactúan antes de la colisión es igual a la cantidad de movimiento después de la colisión. Para la cantidad de movimiento total de un sistema en una colisión se cumple que:

pantes 5 pdespués

Cuando se produce una colisión entre dos objetos que se encuentran sobre una superficie es posible que la fuerza de rozamiento actúe sobre ellas, la cual es una fuerza externa. Sin embargo, la presencia de esta fuerza no le resta precisión a los cálculos que hacemos a partir de la con-servación de la cantidad de movimiento, ya que la fuerza de rozamiento es muy pequeña comparada con la fuerza que se ejercen los objetos entre sí.Puesto que la cantidad de movimiento es un vector, cuando considera-mos colisiones que ocurren en el plano, como es el caso de dos objetos que colisionan pero no frontalmente, representamos la situación en el plano cartesiano y por ende, debemos tener en cuenta las componentes de la cantidad de movimiento tanto en el eje x como en el eje y.

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2. Una esfera A de masa 0,5 kg se mueve con velo-cidad de 2 m/s y choca de manera no frontal con otra esfera B de masa 0,8 kg que se encuentra en reposo. Después de la colisión la esfera A se desvía 30° con respecto a su dirección inicial y se mueve con velocidad de 1 m/s. Determinar la velocidad de la esfera B después del choque.

Solución:Analizamos la cantidad de movimiento del sistema antes y después de la colisión. Puesto que el proceso ocurre en el plano debemos considerar las compo-nentes en el eje x y en el eje y.

Antes de la colisión tenemos

• Para la esfera A:

PAantes x 5 0,5 kg ? 2 m/s 5 1 kg ? m/s

PAantes y 5 0

pAantes 5 (1, 0) Componentes medidas en kg ? m/s

• Para la esfera B:

pBantes x 5 0 y pBantes y

5 0

pBantes 5 (0, 0)

Por tanto,

pantes 5 pAantes 1 pBantes

pantes 5 (1, 0) 1 (0, 0) 5 (1, 0)

Componentes medidas en kg ? m/s.Después de la colisión tenemos:

• Para la esfera A:

vAx 5 1 m/s ? cos 30° 5 0,87 m/s

vAy 5 1 m/s ? sen 30° 5 0,5 m/s.

Por tanto,

pAdespués x 5 0,5 kg ? 0,87 m/s 5 0,43 kg ? m/s

pAdespués y 5 0,5 kg ? 0,5 m/s 5 0,25 kg ? m/s

pAdespués 5 (0,43; 0,25)

Componentes medidas en kg ? m/s

• Para la esfera B:

pBdespués 5 (pBx, pBy)

pdespués 5 (0,43; 0,25) 1 (pBx, pBy)

pdespués 5 (0,43 1 pBx; 0,25 1 pBy)

Componentes medidas en kg ? m/s

Puesto que:

pantes 5 pdespués

(1, 0) 5 (0,43 1 pBx; 0,25 1 pBy)

Luego,

15 0,43 1 pBx

0 5 0,25 1 pBy

Por tanto,pBx 5 0,57 kg ? m/s

pBy 5 20,25 kg ? m/s

De donde,0,8 kg ? vBxdespués

5 0,57 kg ? m/s

0,8 kg ? vBydespués 5 20,25 kg ? m/s

Luego,vBx

5 0,71 m/s y

vBy 5 20,31 m/s

La velocidad de la esfera B después de la colisión se representa por el vector:vBdespués 5 (0,71, 20,31)

Componentes medidas en m/s.

La norma del vector velocidad de la esfera B después de la colisión es:

vBdespués (0,71 m/s) (0,31 m/s) 0,77 m/s2 2� � �

El ángulo que forma la velocidad de B con la direc-ción inicial de la esfera A se calcula mediante:

tan� � � � �0,310,71 0,4

Luego,

a 5 tan21 (20,4).

a 5 221,8°

La esfera B, se mueve con velocidad de 0,77 m/s for-mando un ángulo de 221,8° con la dirección inicial de la esfera A, como muestra la figura.

Procesos físicos

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124124 © Santillana

13 Responde. ¿Es posible encontrar un ejemplo de un cuerpo que se mueva en sentido diferente a la fuerza neta que actúa sobre él? ¿Cuál?

14 Un cuerpo de masa m, cae a lo largo de un plano inclinado. El coefi ciente de rozamiento es μc.

a. Construye el diagrama de fuerzas que actúan sobre m.

b. Demuestra que la aceleración del cuerpo es a � g (sen � � �c cos �).

6 Responde. ¿Puede un cuerpo sobre el cual la fuerza neta sea cero estar en movimiento? Da un ejemplo.

7 Responde. ¿Cómo debe ser el valor de FN en la fi gura para que el sistema esté en equilibrio? ¿Por qué?

1 Construye el diagrama de fuerzas que actúan sobre tu cuerpo cuando estás de pie sobre el suelo.

2 Responde. ¿En cuál de los siguientes casos la fuerza de rozamiento es mayor, si las masas de los dos cuerpos son iguales y entre la superfi cie y el cuerpo hay el mismo coefi ciente de roza-miento?

3 Una esfera de 6 kg de masa inicialmente en re-poso explota dividiéndose en tres fragmentos. Dos de ellos con igual masa de 1,5 kg salen con velocidades perpendiculares entre sí de 8 m/s. ¿Cuál es la norma y dirección de la velocidad del tercer fragmento?

4 Dos esferas de masas iguales que se mueven a 2 m/s en direcciones que forman entre sí un ángulo de 90°, chocan y después de la colisión, quedan unidas. Determina la velocidad del con-junto.

5 Responde. ¿En qué se basa el funcionamiento de un dinamómetro?

8 Responde. ¿Por qué razón las fuerzas de acción y reacción no se anulan si son de la misma mag-nitud y direcciones contrarias?

9 Explica por qué si la fuerza neta sobre un cuerpo es cero, su cantidad de movimiento permanece constante.

10 Observa el dibujo.

a. b.

FT

W

N

Fr

m

�

¿Qué condiciones se deben dar para que se mueva el objeto que se encuentra sobre la superfi cie ho-rizontal?

11 Sobre un carrito que inicialmente se mueve a una velocidad v, se colocan suavemente dos blo-ques, uno por uno. ¿Qué sucede con la velocidad v, cada vez que se coloca un bloque?

12 Imagina que colocas un cartón sobre un par de rodillos y sobre él un soporte liviano que sostiene un péndulo como muestra la fi gura. Si se coloca a oscilar el péndulo, ¿cómo es el movi-miento del carrito? ¿Por qué?

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7 Responde. ¿Qué fuerza ocasiona que un jugador de hockey pueda detenerse sobre la pista cuando se desliza?

8 Un automóvil a gran velocidad llega a una esquina y al intentar dar el giro el conductor pierde el control. Describe cómo puede ser el movimiento del carro. Justifi ca tu respuesta.

12 Se tienen dos resortes y la constante elástica de uno es igual a la mitad de la constante elástica del otro. Si el de mayor constante requiere de una fuerza de 25 N para elongarse 5 cm, ¿cuánto se elongará el otro al aplicarle una fuerza de 50 N?

13 A un resorte que pende verticalmente se le apli-can fuerzas en uno de sus extremos, y se mide el alargamiento generado por la acción de cada fuerza. Los datos se muestran en la siguiente tabla:

1 Responde. ¿Qué es un sistema de referencia iner-cial?

2 Responde. ¿Qué instrumento se utiliza para medir la fuerza? Explica cómo funciona.


Para que un cuerpo se mueva con velocidad constante, es necesario que los efectos de los fuerzas que actúan sobre él, se anulen entre sí.

La suma de todas las fuerzas que actúan simultáneamente sobre un cuerpo recibe el nombre de fuerza neta.

La fuerza que ejerce el Sol sobre los planetas es una fuerza de contacto.

En el sistema británico la unidad de medida de la fuerza es la libra (lb).

Se la suma de las fuerzas que actúan sobre un objeto es igual a cero, el cuerpo se encuentra en reposo.

4 La fuerza que actúa entre los protones y los neu-trones para formar los núcleos atómicos, recibe el nombre de:

a. nuclear fuerte c. gravitacionalb. electromagnética d. nuclear débil.

5 Responde. ¿Qué representa k, en la expresión matemática que describe la ley de Hooke?

6 Determina cuál de las siguientes fuerzas ex-perimenta un cuerpo que descansa sobre una superfi cie:

a. Peso c. Fricciónb. Normal d. Tensión

Tema 1 La fuerza - Primera Ley de Newton

9 Responde. ¿Qué condiciones deben cumplir dos fuerzas para que al ser aplicadas sobre un mismo cuerpo, este se mueva con velocidad constante?

10 Responde. ¿Por qué hay que aplicar más fuerza para empujar un carro cuando está quieto que cuando se mueve con velocidad constante?

11 Dibuja la fuerza normal que experimenta el cuerpo en cada una de las siguientes posiciones mostradas.

Fuerza (N) Alargamiento (cm)

0 0

4 2

8 4

12 6

16 8

20 10

24 12

28 14

32 16

36 18

a. Construye la gráfi ca de fuerza en función del alargamiento del resorte.

b. Determina el valor de la constante elástica del resorte.

c. Responde. ¿Cuánto se estira el resorte al aplicar una fuerza de 40 N?

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Tema 1 La fuerza - Primera Ley de Newton

50º 30º

15 N A

32 N

50º

W = 80 N

60º 25º

W = 100 N

23 Un resorte de constante elástica k1, se estira una distancia d1, al suspender de él un objeto de peso w. Otro resorte se estira también una longitud d1 cuando soporta un peso de 3w. ¿Cómo debe ser el valor de su constante elástica con respecto a k1?

24 Un cuerpo está sometido a la acción de tres fuer-zas f1

� 200 N 50° al suroeste, f2

� 320 N al no-

reste y f3

� 410 N 30° al sureste. ¿Qué magnitud

y dirección debe tener una cuarta fuerza para que el cuerpo se mueva con velocidad constante?

25 Se suspenden tres objetos de peso 120 N cada uno, como se muestra en la fi gura. ¿Cuál es el valor de las tensiones T1, T2 y T3?

20 El repartidor de un camión de leche empuja con velocidad constante una canasta con bolsas cuyo peso es de 705,6 N por un piso horizontal, me-diante una fuerza de 450 N que forma un ángulo de 30° bajo la horizontal.a. Dibuja el diagrama de las fuerzas que actúan

sobre el cuerpo.b. ¿Cuál es el valor de la fuerza de fricción?c. ¿Cuál es el valor de la fuerza normal?

21 Dos fuerzas perpendiculares entre sí de 200 N y 350 N actúan sobre un cuerpo. ¿Qué norma y qué dirección debe tener una tercera fuerza para que el cuerpo se mantenga en equilibrio?

22 Una fuerza de 400 N actúa sobre un objeto en dirección 45° noreste.

a. ¿En qué dirección se debe ejercer una fuerza de 500 N para que la fuerza neta esté dirigida al este?

b. ¿Qué fuerza se debe aplicar para que la fuerza neta sea cero?

14 Un niño juega con una pelota unida a un hilo elástico. Si se estira 50 cm cuando el niño le ejerce una fuerza de 4 N, ¿cuánta fuerza deberá ejercer el niño para que el hilo se estire 65 cm?

15 Responde. ¿Cuál es el valor de la fuerza normal que experimenta el cuerpo, si su peso es de 45 N?

a. 53,6 N c. 45 Nb. 41,4 N d. 36,6 N

16 Para el ejercicio anterior, ¿qué valor debe tener la fuerza de fricción para que el cuerpo se mueva con velocidad constante?

17 Realiza el diagrama de las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo y determina el valor de la tensión en cada cuerda para que el cuerpo se mantenga en equilibrio.

18 Dos niños halan una caja de revistas, aplicando fuerzas perpendiculares entre sí de 100 N y 120 N. ¿Cuál es la fuerza neta que aplican los niños sobre la caja?

19 Responde. ¿Qué peso debe tener el bloque A para que el sistema esté en equilibrio?

35º

15N

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Tema 2. Ley fundamental de la dinámica

a.

a.

a.

b.

b.b.

c.

c.

c.

d.

d.d.

F

a

N

mg

Fr

F(N)

t1 t2 t3

F

a

N

mg

Fr

F(N)

t1 t2 t3

F

a

N

mg

FFr F(N)

t1 t2 t3

F

a

N

mg

Fr

FF(N)

t1 t2 t3

2 Escribe V, si el enunciado es verdadero y F, si es falso.

Para determinado cuerpo, cuando la fuerza se duplica, la aceleración se reduce a la mitad.

La masa de un cuerpo es seis veces menor en la Tierra que en la Luna.

La fuerza de rozamiento estático toma un valor que varía.

Una bomba que fl ota en el aire no experi-menta fuerza de atracción gravitacional.

El coefi ciente de rozamiento entre dos super-fi cies es generalmente mayor que 1.

3 Julián da un empujón a su carrito de juguete sobre una mesa horizontal con fricción. El diagrama que representa las fuerzas que actúan sobre él es:

7 Pedro y su hermanita hacen una apuesta de quién lanza más lejos una canica aplicándole aproximadamente la misma fuerza. Pedro da a su hermanita la canica más pequeña que tiene y él, utiliza su canica más grande. ¿Crees que Pedro ganará? ¿Por qué?

8 Comenta con tus compañeros la precisión de las siguientes expresiones.

a. El pateó con mucha fuerza.

b. Para el arquero fue muy difícil detener el balón porque se movía con mucha fuerza.

c. El pesista tiene mucha fuerza.

d. La velocidad realiza fuerza sobre los objetos.

9 Un camión parte del reposo y al cabo de un tiempo t1, alcanza una velocidad v, con la que se mueve hasta un tiempo t2, luego aplica los fre-nos y se detiene en el instante t3. La gráfi ca que muestra el comportamiento de la fuerza neta sobre el camión es:

4 Tres personas tienen los siguientes pesos wA � 568 4 N, wB � 539 N y wC � 607,6 N. ¿Cuáles son sus masas?

5 El coefi ciente de rozamiento entre dos superfi -cies depende de:

a. el área en contacto.

b. la masa de cada cuerpo.

c. el tipo de superfi cies en contacto.

d. la fuerza aplicada sobre el cuerpo para desli-zarlo sobre la superfi cie.

6 La fuerza de rozamiento puede ser estática o cinética; ¿cuál de las dos es mayor y por qué?

1 Responde. ¿Cuál de las siguientes gráfi cas repre-senta la relación entre la fuerza y la aceleración planteada en la segunda ley de Newton?

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Tema 2 Ley fundamental de la dinámica

10 Responde. ¿Por qué razón una persona no puede empujar un vehículo en el desierto?

11 Sobre un sistema se aplica una fuerza constante que genera una aceleración a0, si la masa se reduce en un 50%, bajo la acción de la misma fuerza, la aceleración será:

a. 2a0 c. a0/4b. a0/2 d. 4a0

12 En el supermercado el joven que organiza los productos en los estantes levanta verticalmente hacia arriba una bolsa de arroz de 3.100 g. ¿Qué fuerza realiza el joven?

13 Una pelota de 5 g de masa es golpeada con una fuerza de 2 N. ¿Qué aceleración alcanza?

14 Un saltamontes puede saltar entre 20 y 30 veces su propio peso, si salta con una aceleración de 1,2 km/s2 y ejerce sobre el piso una fuerza de 4,5 N. ¿Qué masa tiene el saltamontes?

15 Un alambre de acero resiste una carga máxima de 5.500 N. ¿Cuál es la aceleración máxima con que puede elevar un cuerpo de 250 kg atado a él?

16 Un carro de control remoto de 1,5 kg de masa, parte del reposo y recorre una distancia de 6 m en 25 s. ¿Qué fuerza ejerce el motor para poder mover el carro?

17 Representa gráfi camente las fuerzas en cada caso:a. En el punto que se suelta un objeto desde cierta

altura.b. En el punto más alto de un objeto que describe

una trayectoria parabólica.c. En el punto en el que pierde contacto con la

mano un objeto que se le da un empujón para que se mueva sobre una superfi cie horizontal.

18 Si sobre un cuerpo actúa una fuerza de 20 N y alcanza una aceleración de 2,5 m/s2.

a. ¿Qué masa tiene el cuerpo?

b. ¿Qué aceleración alcanzará otro cuerpo con la mitad de la masa del primero bajo la acción de la misma fuerza?

19 Un automóvil parte del reposo y al cabo de 6 s alcanza una velocidad de 72 km/h, si tiene una masa de 1.200 kg,a. ¿qué fuerza neta actúa sobre él?b. ¿qué distancia recorre el automóvil durante los

6 s?

20 Una patinadora de 50 kg de masa, parte del reposo y después de recorrer 3 km alcanza una velocidad de 15 m/s.a. ¿Qué fuerza neta experimenta la patinadora?b. ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer los 3 km?

21 Una bola de 5,44 kg de masa se mueve con velo-cidad de 20 m/s, y 6 s después se mueve a 11 m/s.¿Qué valor tiene la fuerza de fricción ejercida sobre la bola?

22 Una caja de 8 kg se mueve inicialmente con velo-cidad de 2 m/s sobre una superfi cie horizontal y se detiene después de recorrer 1 m. Determina:a. La aceleración de la caja.b. La fuerza que experimenta la caja.c. El coefi ciente de rozamiento.d. La distancia que recorrería hasta detenerse

si sobre la caja se coloca una igual a esta y se mueve inicialmente con la misma velocidad.

23 Una automóvil de 1.000 kg, es halado por dos motocicletas que le aplican fuerzas perpendicu-lares entre sí de 950 N y 840 N. Si el automóvil se mueve con velocidad constante,a. ¿cuál es el valor de la fuerza de fricción entre el

automóvil y el suelo?b. ¿cuál es el valor del coefi ciente de rozamiento

cinético?

1 m

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24 Un nadador de 55 kg de masa, se lanza desde el borde de un acantilado de 30 m de altura. Si toca el agua 3 s después de lanzarse, ¿cuál es el valor de la fuerza de rozamiento que ejerce el aire sobre el nadador?

25 Una caja de 8 kg de masa es empujada sobre un piso horizontal, mediante una fuerza de 90 N que forma un ángulo de 40° bajo la horizontal. Si el coefi ciente de rozamiento cinético es 0,25, determina si la caja se mueve con velocidad constante, y en caso contrario, determina la aceleración que experimenta.

26 Para los siguientes sistemas determina el valor de la aceleración y la tensión en la cuerda si mA � 8 kg, mB � 12 kg y mc � 0,15.

30 Un avión de 10.000 kg toca la pista de aterrizaje a una velocidad de 600 km/h y el sistema de frenado experimenta una fuerza de 110.000 N. Determina:

a. La aceleración del avión.

b. La longitud mínima de la pista para que el avión pueda aterrizar.

31 ¿Qué fuerza horizontal se debe aplicar a un cubo de madera de 4 kg de masa, para que al ser empujado en un plano horizontal rugoso con un coefi ciente de rozamiento cinético �c � 0,3 al-cance una aceleración de 3 m/s2? ¿Qué distancia recorre y qué velocidad alcanza al cabo de 7 s?

32 Un niño hala su camión de madera sobre una superfi cie horizontal, mediante una cuerda a la que le aplica una fuerza de 35 N. Si el camión tiene una masa de 5,5 kg y la fuerza de fricción es de 21 N, ¿qué ángulo forma la cuerda con la horizontal para que el cuerpo se mueva con velocidad constante? ¿Cuál es el valor del coefi -ciente de rozamiento cinético entre el camión y la superfi cie?

33 Determina la aceleración del sistema y la tensión en las cuerdas si la masa m1 � 16 kg, la masa m2 � 8 kg, la masa m3 � 4 kg y el coefi ciente de rozamiento cinético entre la masa m2 y el plano es �c � 0,25.

27 Se tiene un cajón de madera de 50 kg sobre una superfi cie horizontal rugosa; si se requiere una fuerza paralela al plano de 90 N para que apenas comience a moverse y una fuerza de 70 N para que se mueva con velocidad constante,

a. ¿cuál es el valor del coefi ciente de rozamiento estático?

b. ¿cuál es el valor del coefi ciente de rozamiento cinético?

28 Una ambulancia de 1.800 kg, desciende por una calle empinada de 800 m de longitud que forma un ángulo de 28° con la horizontal. Si la ambu-lancia lleva una aceleración de 1,5 m/s2, y parte del reposo,

a. ¿cuál es el valor de la fuerza de rozamiento?

b. ¿en cuánto tiempo llega la ambulancia al fi nal de la calle?

c. ¿cuál es su velocidad en ese instante?

29 Un niño baja en su monopatín por una pen-diente de 20° de inclinación; con un coefi ciente de rozamiento cinético �c � 0,2.

a. ¿Qué aceleración alcanza el niño?

b. ¿Necesitas conocer la masa del niño y su mo-nopatín? ¿Por qué?

m1

m2

m3

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Tema 3 Acción y reacción

5 Si la fuerza que ejercen los gases expulsados sobre un cohete es constante, ¿por qué la acele-ración del cohete puede ser cada vez mayor?

6 Explique por qué al disparar un rifl e este puede golpear a la persona con la culata.

7 Responde. ¿Es posible clavar de un solo golpe una puntilla en la pared? ¿Por qué?

1 Marca V, si la afi rmación es verdadera o F, si la afi rmación es falsa. Justifi ca tu respuesta.

Toda fuerza en la naturaleza tiene su par que actúa simultáneamente con ella.

El impulso es la relación entre la masa, la velocidad y el movimiento del cuerpo.

La cantidad de movimiento en un sistema aislado se mantiene constante.

La cantidad de movimiento de un sistema, en una colisión, es la misma antes y después de la colisión.

2 Responde. Cuál de los siguientes pares de fuer-zas indicados no representa un par de fuerzas de acción y acción?a.

b.

c.

d.

1 kg

3 kg

5 kg

3 El choque de dos bolas de billar es una colisión elástica o inelástica? ¿Por qué?

4 Responde. ¿Qué es un sistema aislado?

8 Responde. ¿Qué diferencia existe entre los vehí-culos diseñados para desplazarse en el asfalto, el hielo y la arena? ¿A qué se deben estas diferen-cias?

9 En una granja, al abrir la puerta del establo salen corriendo, con la misma cantidad de mo-vimiento, una oveja y una gallina. Si la oveja tiene mayor cantidad de masa que la gallina, determina cuál de las siguientes afi rmaciones es verdadera.

a. La oveja se mueve con menor velocidad que la gallina.

b. La gallina se mueve con menor velocidad que la oveja.

c. La gallina y la oveja tienen la misma velocidad.

d. Es más fácil detener a la gallina.

10 Una granada, inicialmente en reposo, estalla en dos trozos. Si uno de ellos sale hacia el este, ¿hacia dónde saldrá el otro? ¿Por qué?

11 Un patinador se encuentra en reposo sobre una pista de hielo. Otro patinador viene hacia él y lo golpea. Si los dos patinadores tienen el mismo peso, ¿qué ocurre con el segundo patinador des-pués del golpe?

12 En un partido de fútbol el arquero se estira y tapa con sus manos un lanzamiento a portería, golpeando el balón con una fuerza de 18 N. ¿Qué fuerza ejerce el balón sobre sus manos?

13 Un tenista golpea la pelota con una fuerza de 12 N. ¿Qué fuerza ejerce la pelota sobre la raqueta?

14 En un supermercado, para organizar un mos-trador de promoción de un producto se colocan tres cajas grandes de cartón una sobre otra como muestra la fi gura. Dibuja y describe todos los pares de fuerzas de acción y reacción.

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13 1© Santillana 13 1© Santillana


23 Un automóvil viaja a una velocidad de 20 m/s por una avenida y una moto viaja a 14 m/s por una calle perpendicular a la avenida; los dos se aproximan al mismo tiempo al cruce del se-máforo que se encuentra dañado. La moto y el automóvil siguen su camino estrellándose de tal manera que la moto queda incrustada en el carro. ¿Cuál es la magnitud y dirección de la velocidad con la que se mueven después del choque?

24 Un cuerpo de 11 kg de masa, inicialmente en reposo, estalla dividiéndose en tres fragmentos. Dos de los trozos, cada uno con 4 kg de masa, se mueven con una velocidad de 10 m/s, y for-mando entre sí un ángulo de 70°. ¿Qué velocidad tiene el tercer fragmento?

25 Una ballesta dispara una fl echa de 15 g de masa que se mueve con una velocidad de 115 m/s y se dirige hacia un objeto de madera de 15 g, que se encuentra en reposo sobre una mesa. El coefi -ciente de rozamiento entre la caja de madera y la superfi cie de la mesa es de 0,4. Si la fl echa se incrusta en la caja, determina:

a. La velocidad con que se mueve el conjunto después del choque.

b. El espacio recorrido por el conjunto hasta que-dar en reposo.

26 Un niño juega con un trozo de plastilina de masa m y lo lanza horizontalmente contra una lám-para de masa M que pende del techo. Después del golpe la plastilina queda pegada a la lámpara y hace que se eleve una altura h, con respecto al punto donde estaba. ¿Cuál sería la expresión de la velocidad de la plastilina en términos de las masas y la altura h?

15 Una señora empuja el coche con su bebé con una fuerza de 15 N formando un ángulo de 35° bajo la horizontal.a. ¿Qué fuerza ejerce el coche sobre ella? b. Dibuja la dirección de la fuerza que realiza el

coche sobre ella.16 Una silla de 4 kg de masa se coloca sobre el suelo,

luego una persona de 45 kg se sienta en la silla. a. ¿Cuál es el módulo y la dirección de la fuerza

de acción que ejerce la silla sobre el piso, antes de que se siente la persona?

b. ¿Con qué módulo y en qué dirección ejerce el suelo la fuerza de reacción cuando la persona se sienta en la silla?

17 Un niño le pega con sus dedos a una canica de 4 g de masa que inicialmente se encuentra en re-poso, sometiéndola a un impulso de 7 N/s. ¿Qué velocidad adquiere la canica?

18 En un juego de fútbol americano un jugador de 85 kg que corre a 10 m/s, embiste frontalmente a otro jugador de 70 kg, que viene corriendo a 8 m/s, llevándoselo con él agarrado por la cin-tura. ¿A qué velocidad se mueven los dos mien-tras uno lleva al otro por la cintura?

19 El mejor tiempo alcanzado en una carrera de 100 m planos es 9,2 s. ¿Cuál es la cantidad de movimiento promedio de un corredor de 60 kg que termina la carrera en dicho tiempo?

20 Un balón de voleibol de 280 g de masa, llega a los brazos de una jugadora a una velocidad de 22 m/s, quien lo golpea y devuelve en la misma dirección con una velocidad de 14 m/s. Si el tiempo de contacto del balón con la jugadora es de 0,03 s, ¿con qué fuerza golpeó la jugadora el balón?

21 Una bala de 0,8 g, está en la recámara de un rifl e cuando se genera la explosión que la pone en movimiento. Si el cañón del rifl e mide 56 cm y la bala sale con una velocidad de 120 m/s, responde.a. ¿qué fuerza experimenta la bala?b. ¿cuál es el impulso generado por la explosión

sobre la bala?22 En una práctica de polígono una persona dis-

para una pistola de 4 kg de masa. Si el proyectil sale con una velocidad de 180 m/s y tiene una masa de 5 g, ¿cuál es la velocidad de retroceso de la pistola?

mM

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1. Con ayuda de tu profesor calibra el dinamómetro por medio de una balanza. Luego, establece en la hoja una escala en gramos y fíjala sobre la tabla.

2. Coloca monedas sobre el plato y realiza cinco mediciones di-ferentes. Luego, grafi ca la fuerza en newtons en función de la distancia que se elonga la banda de caucho.

1. Atornilla el bloque de madera al centro de la tabla.2. Clava la armella o alcayata en una de las caras del bloque para

suspender de ella la banda de caucho.3. Con el fondo del vaso de icopor, realiza un plato que vas a uti-

lizar para colocar los objetos que vas a pesar.4. Amarra tres pedazos de cuerda al plato.5. Fija los extremos de la cuerda al clip con cinta adhesiva.6. Con el clip, cuelga el plato de la banda de caucho.

El dinamómetro es un instrumento de medida que se utiliza para medir la intensidad de las fuerzas. Su funcionamiento se basa en las propiedades elásticas que tienen algunos materiales al ser deformados por la acción de la fuerza.En la siguiente práctica aprenderás a construir y calibrar un dinamómetro.

Conocimientos previosFuerzas elásticas, características de las fuerzas y tipos de fuerza.

Materiales■ 1 tabla cuadrada de

30 cm � 40 cm.■ Un bloque de madera de

5 cm de lado y 10 cm de alto.■ 1 tornillo.■ 1 armella o alcayata.■ 1 clip.■ 1 banda de caucho.■ 1 vaso de icopor.■ Cuerda.■ Cinta adhesiva.■ Hoja de papel.■ Monedas de la misma

denominación.


Procedimiento

El dinamómetro

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1. ¿En qué caso es mayor la fuerza de rozamiento?2. ¿Cómo es el coefi ciente de rozamiento, m, en los diferentes casos?3. ¿Qué puedes decir de la medida registrada en el dinamómetro una vez que el objeto se ha puesto en

movimiento?4. ¿A qué atribuye que se obtengan diferentes medidas para la fuerza F cuando se hala el bloque, apoyado

por la misma cara?

1. Cubre con el papel de lija una de las caras del bloque.2. Coloca el bloque en la superfi cie horizontal de tal manera que quede

apoyado sobre una de las caras que no están cubiertas por lija.3. Ata el dinamómetro al bloque y, manteniendo una dirección horizon-

tal, hala de él con una fuerza tan pequeña que el borde no se mueva.4. Aumenta poco a poco la fuerza, de manera que, para algún valor

de esta, el bloque empiece a moverse. Registra este valor en la tabla. Repite dos veces más la medición de la fuerza necesaria para que el objeto empiece a moverse y registra los dos datos en la tabla 1. En la última casilla anota el promedio de las tres medidas.

5. Coloca el bloque de manera que quede apoyado sobre otra de las caras que no tiene lija y cuya área sea diferente a la de la cara considerada en los pasos anteriores. Repite el procedimiento anterior y registra los datos en la tabla 2:

6. Coloca el bloque sobre la cara cubierta por lija y repite el experimento (tabla 3).

7. Con base en los datos, completa la tabla 4.

Cuando un objeto se encuentra en reposo sobre una superfi cie e intentamos deslizarlo a lo largo de esta, aplicándole una fuerza, encontramos que podemos aumentar la fuerza aplicada hasta cierto valor sin lograr que el objeto se mueva. Mientras el objeto no se mueve, la fuerza que aplicamos es de igual o menor valor que la fuerza de rozamiento estático ejercida sobre el cuerpo. Al aumentar la fuerza aplicada, la fuerza de rozamiento estático aumenta justo un instante antes de que el objeto empiece a moverse, la fuerza de rozamiento estático alcanza su máximo valor. En esta práctica vas a medir la fuerza de rozamiento estático máxima y a describir los factores de los cuales depende dicha fuerza.

Conocimientos previosFuerzas de la naturaleza, principio de inercia y fuerzas comunes.

Materiales■ Bloque de caras

rectangulares, las cuales deben tener una textura similar y W conocido.

■ Trozo de papel de lija.■ Cuerda.■ Dinamómetro.■ Superfi cie sobre la cual

deslizarás el bloque, por ejemplo vidrio.

La fuerza de rozamiento


Procedimiento

Sobre una cara del bloque

sin lija1 medida

2 medida

3 medida

F

Sobre otra cara del bloque

sin lija1 medida

2 medida

3 medida

F

Sobre la cara del bloque

con lija1 medida

2 medida

3 medida

F

Tabla 1 Tabla 2 Tabla 3 Tabla 4 w F Fr FN m

Sobre una cara del bloque sin lija

Sobre otra cara del bloque sin lija

Sobre la cara del bloque con lija

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CIENCIA TECNOLOGÍA

La idea de construir un puente que una dos continentes va más allá de lo pensado y es construir autopistas que permitan unir a África, Europa, Asía y América desde el Cabo de Buena Esperanza en Suráfrica hasta la Patagonia en Argentina.

ESTRECHO DE BERING

Asia

África

OcéanoÍndico

OcéanoPacífi co

Oceanía

OcéanoAtlántico

América del Norte

América del Sur

América Central

La construcción del puente del Estrecho de Bering es un proyecto muy ambicioso por la magnitud de la construcción que permitiría comunicar a Siberia y Alaska. En total se deben construir 85 km de autopista que traerían facilidad en el transporte de mercancía, pasajeros y hasta combustibles fósiles como el petróleo y el gas natural.

Para la base del puente se necesitarían 220 pilares de 50.000 toneladas y 40 pisos de altura para soportar el peso de toda la estructura y generar mayor estabilidad. Deben ser fabricadas en un material especial que soporte temperaturas de hasta 50 °C bajo cero.

En la planta baja se encontrarán tubos que transportan durante el año petróleo y gas hacia Norte América.

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La construcción del puente del Estrecho de Bering es un proyecto muy ambicioso por la magnitud de la construcción que permitiría comunicar a Siberia y Alaska. En total se deben construir 85 km de autopista que traerían facilidad en el transporte de mercancía, pasajeros y hasta combustibles fósiles como el petróleo y el gas natural.

Para soportar cada parte del puente, también son necesarios cables cubiertos por concreto para lograr mayor resistencia y durabilidad.

Contará con una autopista para carros y camiones que funcionará solamente 4 meses al año durante el verano ártico.

El proyecto también tiene aspectos negativos como una catástrofe ecológica en esta parte de la Tierra considerada como reserva natural.

Los trenes son de alta velocidad y tienen una forma especial que les permite menor fricción con el aire y así aprovechar la energía en velocidad.

Cada pilar debe tener la forma de la proa de un barco para eliminar la fricción con los bloques de hielo que chocarían constantemente con la estructura del puente.

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UN

IDA

D 5 1. El movimiento circular2. La mecánica celeste3. Rotación de sólidos

Temas de la unidad

El movimiento de rotación

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Para responder…

n ¿CómodeterminaríaslarapidezdelaTierraalrededordelSol?

n ¿Quésistemasconocesquefuncionenpormediodeengranajes?

n ¿Quéfuerzashacenqueunaescalerarecargadacontraunaparednosedeslice?

Para pensar…

El estudio del movimiento de los objetos celestes ha sido del interés de físi-cos, filósofos, matemáticos, astrónomos y de muchas personas que desean desentrañar sus misterios. Las leyes de la dinámica y la ley de gravitación universal propuestas por Newton proporcionaron un modelo de explicación del comportamiento del universo.

Los movimientos de rotación, muy frecuentes en la naturaleza, no sólo son descritos por los objetos celestes, muchos mecanismos como motores y máquinas basan su funcionamiento en este movimiento.

Hasta el momento hemos considerado los objetos como partículas puntua-les, sin embargo, cuando consideramos que los objetos tienen dimensiones, debemos ampliar nuestro estudio al movimiento de los cuerpos sólidos, los cuales no se pueden considerar como cuerpos puntuales ya que pueden experimentar movimiento de rotación.

En esta unidad, estudiaremos el movimiento de rotación y estableceremos relación con el movimiento de los objetos celestes.

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21

O

Figura 1. La esfera 2 recorre mayor distancia que la esfera 1 en el mismo tiempo, lo cual significa que se mueve con mayor rapidez.

1. El movimiento circular1.1 La velocidad

en el movimiento circular1.1.1 La velocidad angularConsideremos dos esferas sujetas a una varilla que gira alrededor del punto O (figura 1). En consecuencia las esferas describen circunferencias con centro en dicho punto. Si el radio de la circunferencia que describe la esfera 1 es de 2 m, la distancia recorrida mientras da una vuelta es:

s 5 2p ? rs 5 2 ? 3,14 ? 2 m 5 12,6 m

Ahora, si la esfera da una vuelta en 3 segundos, tenemos que la rapidez media es:

Rapidez media camino recorridotiempo empleado

R

�

aapidez media 126 m3 s 4,2 m/s� �

El radio de la trayectoria de la esfera 2 es mayor que el radio de la esfera 1. Puesto que la varilla es rígida, mientras esta gira, las dos esferas permanecen una al lado de la otra. La rapidez de la esfera 2 debe ser mayor que la rapidez de la esfera 1. Durante un intervalo de tiempo, la varilla describe determinado ángulo el cual corresponde a lo que se conoce como desplazamiento angular.

Se puede observar que el objeto en el instante t1 ocupa la posición determinada por el ángulo u1 y en un instante posterior t2 ocupa la posición determinada por el ángulo u2. La velocidad angular media, v, que describe el movimiento del objeto, es el cociente entre el ángulo de barrido Du y el tiempo empleado Dt. Es decir,

� � ��

� � � ��

2 1

2 1t t t

En el SI, la velocidad angular se mide en radianes por segundo (rad/s).

En la siguiente figura, se ilustra el desplazamiento angular de un objeto que se mueve desde del punto A al punto B.

El desplazamiento angular, Du, se define como el ángulo determinado por la línea que une el centro de la trayectoria con el objeto. La unidad de medida del desplazamiento angular es el radián (rad).

Definición

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Componente: Procesos físicosProcesos físicos

Figura 2. Velocidad instantánea para un objeto que describe una trayectoria circular.

Para el ejemplo de la introducción, se puede decir que las esferas no se mue-ven con la misma rapidez; sin embargo, la velocidad angular para las dos es la misma, puesto que, en el mismo intervalo de tiempo, los ángulos barridos por las dos son iguales.La expresión para la velocidad angular media es análoga a la definición de velocidad media definida en la unidad 2. Sabemos que cuando el intervalo de tiempo se hace muy pequeño, la velocidad media se aproxima a la velocidad instantánea. Así mismo, cuando el intervalo de tiempo para un objeto que describe un movimiento circular se hace muy pequeño, la velocidad angular media se aproxima al valor de la velocidad angular instantánea.

1.1.2 Relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular

Para un objeto que describe una trayectoria circular, como la representada en la figura 2, el vector velocidad instantánea v es tangente a la trayectoria, cuya norma corresponde a la rapidez v del objeto en determinado instante. La velocidad en un movimiento circular se denomina velocidad lineal.En algunas situaciones, por ejemplo en el movimiento de traslación de la Tierra, a velocidades angulares muy pequeñas le pueden corresponder velo-cidades lineales de valor grande, lo cual nos indica que la velocidad angular no siempre determina la velocidad lineal con la que un móvil describe un movimiento circular. Por tal razón, en un movimiento circular, es conveniente conocer los valores de las dos velocidades, angular y lineal, y establecer una relación entre estas.

EJEMPLO

La distancia media de la Tierra al Sol es 1,5 ? 1011 m. Si se considera que la trayectoria que describe la Tierra alrededor del Sol es circular. Determinar:a. La velocidad angular de la Tierra alrededor del Sol.b. La rapidez de la Tierra alrededor del Sol.Solución:Para determinar la velocidad angular, sabemos que la Tierra da una vuelta alrededor del Sol en 365 días, es decir, en 3,2 ? 107 segundos. Por tanto,

� � ��

� � � � �

t2

3,2 10 2,0 10 /77rad

s rad?

? ss

La velocidad angular de la Tierra en su movimiento alrededor del Sol es2,0 ? 1027 rad/s.Para determinar la rapidez, tenemos que:

Rapidez media distancia recorridatiempo emple� aado

2 1,5 103,2 10 2,9 10

11

74�

��

? ??

?m

s /m s

La rapidez de la Tierra es 2,9 ? 104 m/s, lo cual equivale a 104.400 km/h

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El movimiento circular

Cuando un objeto describe una trayectoria circular de radio r, al desplazamiento angular, Du le corresponde una distancia recorrida, Ds, tal como se observa en la siguiente figura.

Puesto que se cumple que Ds 5 r ? Du, tenemos, �� sr

.

Ahora, como � � ��

�t

, tenemos que:

� � ��

� ��

s rt r

st

/ 1( )( )Siendo D

Dst la rapidez media v del objeto, es decir:

� � � 1r v v

r( )( )

Por lo tanto, la relación entre la norma de la velocidad lineal y la velocidad angular es:

v 5 v ? r

EJEMPLO

El segundero de un reloj mide 1 cm. Para el movimiento del extremo y del punto medio del segundero determinar:a. La velocidad angular. b. La velocidad lineal.Solución:a. Como la velocidad angular es igual para todos los puntos del segundero, tenemos que:

� � ��t

� � �260 srad Al remplazar

v 5 0,1 rad/s Al calcularLa velocidad angular de cualquier punto del segundero es 0,1 rad/s, lo cual equivale a 6° en cada segundo.

b. La velocidad lineal se calcula por medio de la ecuación v 5 v ? r.• Para el extremo del segundero, v 5 0,1 s21 ? 1 cm 5 0,1 cm/s• Para el punto medio del segundero, tenemos: v 5 0,1 s21 ? 0,5 cm 5 0,05 cm/s

La velocidad lineal del punto medio del segundero es 0,05 cm/s y la de su extremo es 0,1 cm/s. Aunque la velocidad angular es igual en todos los puntos del segundero, el extremo del segundero se mueve con mayor rapidez.

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1.2 Movimiento circular uniformeCuando la norma de la velocidad lineal, es decir, la rapidez de un objeto que describe un movimiento circular permanece constante a lo largo de la trayectoria, se dice que dicho movimiento es circular uniforme. Dado que en este movimiento, la norma de la velocidad lineal, v, y el radio de la trayectoria, r, son constantes, se puede concluir a partir de la expresión v 5 v ? r, que la velocidad angular, v, también es constante. En conse-cuencia, el valor de la velocidad angular media coincide con el valor de la velocidad angular en cualquier instante. Por lo tanto,

� � ��t

En la siguiente figura se representa el movimiento circular uniforme que describe un cuerpo.

Se puede observar que:n En el instante t 5 0 s, el objeto se encuentra en la posición P0 cuyo

vector posición, con respecto al centro de trayectoria, forma un án-gulo u0 con el semieje horizontal positivo.

n En el instante posterior t, el objeto se encuentra en la posición P, cuyo vector posición, con respecto al centro de trayectoria, forma un ángulo u con el semieje horizontal positivo.

Por ende, tenemos que el desplazamiento angular en el tiempo t es Du, es decir:

Du 5 v ? tEn la siguiente tabla, se establece una analogía entre el movimiento rec-tilíneo uniforme y el movimiento circular uniforme.

Se puede verificar que en ambos casos la forma de las ecuaciones es la misma, solo que, para el movimiento rectilíneo el desplazamiento Dx, y la velocidad, v, se miden metros y m/s, respectivamente. Mientras que, para el movimiento circular uniforme, el desplazamiento angular, Du, se mide en radianes y la velocidad angular, v, en rad/s.

v 5 Constante v 5 Constante

Dx 5 v ? t Du 5 v ? t


Movimiento circular uniforme

EJERCICIO Unaruedadebicicletaemplea2se-

gundos en dar una vuelta. ¿Cuál esla velocidad angular de uno de losrayos?

Tabla 5.1

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Todo objeto que describe un movimiento circular uniforme emplea siempre el mismo tiempo en realizar una vuelta o revolución. Este tiempo se denomina período y la cantidad de revoluciones que realiza el objeto en cada unidad de tiempo, frecuencia.

Si un cuerpo describe un movimiento circular uniforme y en un tiempo t realiza n revoluciones, el período y la frecuencia se expresan como:

T tn f n

t5 5 y

Por ende, el período T y la frecuencia f se relacionan mediante la expre-sión:

f T5 1

EJEMPLO

Un satélite geoestacionario siempre se encuentra sobre el mismo punto del Ecuador de la Tierra a una distancia de 36.000 km sobre la superficie terrestre. Para un satélite geostacionario determinar:a. El período de revolución.b. La frecuencia del satélite.c. La distancia recorrida por el satélite en 1 día.d. La velocidad angular.e. La rapidez del movimiento.

Solución:a. Puesto que el satélite siempre se encuentra sobre

el mismo punto de la Tierra, su período de revo-lución coincide con el período de revolución de la Tierra, es decir, T 5 24 horas.

b. Para determinar la frecuencia tenemos que:

f T5 5

524 h0,04 rev/h

1 1

La frecuencia del satélite es 0,04 rev/h.

c. Como el radio de la Tierra es 6.400 km, tenemos que el radio de la trayectoria del satélite, es:r 5 6.400 km 1 36.000 km 5 42.400 kmPor tanto, la distancia recorrida por el satélite en un día es:2p ? r 5 2p ? 42.400 km 5 266.407 km

d. Para determinar la velocidad angular tenemos:

� � ��

� � � �224 h 0,26 rad/h

t

El valor de la velocidad angular del satélite es igual al de la velocidad angular de un punto de la Tierra.

e. Para la medida de la velocidad lineal:

Rapidez distancia recorridatiempo empleado

Ra

5

ppidez 266.407 km24 h 11.100 km/h5 5

La rapidez del satélite es 11.100 km/h, la cual es mayor que la rapidez de un punto del Ecuador.

El período se define como el tiempo que tarda un objeto que describe un movimiento circular uniforme, en realizar una revolución. Se denota con la letra T y se expresa en unidades de tiempo.

La frecuencia (f) es el número de revoluciones que realiza un objeto en cada unidad de tiempo. Se expresa en revoluciones por segundo (rev/s), lo cual, usualmente, se escribe como s21. En ocasiones, la frecuencia se expresa en revoluciones por minuto (r.p.m.).

Definición

Definición

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1.3 Aceleración centrípetaCuando un objeto describe un movimiento circular uniforme su rapidez permanece constante; sin embargo, su velocidad cambia de dirección, de lo cual se deduce que experimenta aceleración. Para determinar dicha aceleración considera que el movimiento circular es la composición de dos movimientos, uno en línea recta con velocidad constante y otro hacia el centro O de la trayectoria, como se muestra en la figura 3.Se observa que para un tiempo t, el objeto describe un movimiento circu-lar con velocidad lineal, v , y su trayectoria es el arco AB de longitud s. En el movimiento a través de este arco se puede considerar que el objeto se desplaza en línea recta una distancia aproximada a s y, al mismo tiempo, se dirige hacia el centro de la circunferencia una distancia h. Al aplicar el teorema de Pitágoras, al triángulo OAC cuyos lados miden r, s y r 1 h, tenemos que:

(r 1 h)2 5 r2 1 s2

por tanto,

r2 1 2 ? r ?h 1 h2 5 r2 1 s2

es decir,

2 ? r ? h 1 h2 5 s2

Si el intervalo de tiempo es muy pequeño, el segmento AB se aproxima a la trayectoria curva. En este caso, la cantidad h2 se hace extremadamente pequeña en comparación con 2 ? r ? h, por tanto,2 ? r ? h 5 s2, luego:

h sr2

25

?

Como la distancia s recorrida con rapidez constante se expresa como s 5 v ? t, entonces:

h v tr2

2 25 ?

?

Es decir, para el movimiento en dirección hacia el centro de la circunfe-rencia, tenemos:

h vr t2

25 12 ( )

Al comparar esta expresión con la obtenida para un objeto que describe un movimiento acelerado:

� �x ta 2?2

Tenemos que la aceleración en la dirección hacia el centro es:

a vrc 2

5

Esta aceleración se denomina aceleración centrípeta y es experimentada por los cuerpos que describen un movimiento circular. Por ende, cuando un cuerpo describe un movimiento circular está sometido a una acele-ración centrípeta representada por un vector dirigido hacia el centro de la circunferencia (figura 4).

Figura 3. El movimiento circular uniforme se puede considerar como la composición de un movimiento rectilíneo tangente a la trayectoria y otro dirigido hacia el centro.

ac

ac

ac

ac

ac

v

v

vv

v

Figura 4. El vector dirigido hacia el centro representa la aceleración centrípeta.

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FC V

Figura 5. El vector fuerza centrípeta está dirigido radialmente hacia el centro y es perpendicular al vector velocidad.

1.4 Fuerza centrípetaComo lo establece la primera ley de Newton, si sobre un cuerpo en mo-vimiento no actúa fuerza alguna o la fuerza neta es cero, el cuerpo des-cribe un movimiento rectilíneo uniforme. Pero, si el cuerpo describe un movimiento circular, su trayectoria no es rectilínea y, en consecuencia, su velocidad cambia de dirección constantemente, lo cual significa que debe actuar alguna fuerza sobre él. A la fuerza que ocasiona dicho cambio en la dirección se le conoce como fuerza centrípeta.El vector fuerza centrípeta Fc se representa en dirección radial hacia el centro de la trayectoria y es perpendicular al vector velocidad (figura 5). En el movimiento circular uniforme aunque la norma de la velocidad permanece constante, se presenta una aceleración centrípeta, ac, en la misma dirección de la fuerza centrípeta, Fc .De acuerdo con la segunda ley de Newton, para un cuerpo de masa m, que gira con rapidez v y describe una circunferencia de radio r, la fuerza centrípeta, Fc se expresa como:

Fc 5 m ? ac

Como, a vrc2

5 , tenemos:

F m vrc2

5 ?

Es importante aclarar que la fuerza centrípeta que actúa sobre un cuerpo es ejercida por otros cuerpos y actúa en la dirección radial hacia el centro de la trayectoria. Es decir, la fuerza centrípeta puede ser según el caso, elástica, de rozamiento, gravitacional, eléctrica, entre otras.

EJEMPLOS

1. Un automóvil de masa 1.000 kg toma una curva de 200 m de radio con rapidez de 108 km/h (30 m/s). Determinar la fuerza de rozamiento necesaria para que el automóvil continúe su trayectoria sobre la vía circular.

Solución:Como, el automóvil describe un arco de circunferencia, debe actuar sobre él una fuerza centrípeta, Fc , que en este caso es la fuerza de rozamiento, Fr , ejercida por el piso de la carretera sobre las ruedas, ocasionando que el automóvil siga sobre la vía y no se salga en la dirección tangencial.Por tanto, Fr 5 FcLuego,

Fr m vr2

5 �

Fr

Fr

5

5

1.000 kg (30 m/s)200 m

4.500 N

?2


La fuerza de rozamiento que actúa sobre el automóvil es 4.500 N.

F1

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