Arturo Quirantes Sierra - Apuntes de Física 1

Arturo Quirantes Sierra - Apuntes de Física

HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL. EL TEOREMA PI.

Puesto que los entes observables se agrupan en conjuntos de una misma magnitud conel objeto de establecer relaciones de comparación (igualdad y suma), es evidente que no sepodrán comparar cantidades de magnitudes distintas. Se sigue, pues, que todos los sumandos deuna ecuación física son cantidades de una misma magnitud. Así, en una ecuación tal como e =s+vt+at2 se entiende que, si e representa una longitud, s y los productos vt y at2 tambiénrepresentan longitudes. En general, cualquier ecuación física ha de relacionar términos, enrelaciones de igualdad o de suma, que pertenezcan a la misma magnitud (o, como suele decirsepor abuso de lenguaje, que tengan las mismas dimensiones); esta propiedad recibe el nombre decondición de homogeneidad dimensional.

Una ecuación física ha de ser dimensionalmente homogénea, pero la inversa no essiempre cierto. La ecuación v = a2lt3 es homogénea, ya que ambos términos tienen dimensionesiguales:

[v] = [a2][l][t3]LT-1 = LT-22LT3

LT-1 = L2T-4LT-3

LT-1 = LT-1

Sin embargo, ello no significa que exista una situación física caracterizada por laecuación v = a2lt3. De hecho, la ecuación v = 2a2lt3 sería también homogénea, puesto que 2 esuna cantidad adimensional. En general, el principio de homogeneidad nos indica cuándo unaecuación puede o no representar una situación física real. la ecuación v = lt2 no es homogénea,LT-1 Ö LT-2, por lo que no puede representar un proceso físico bajo ninguna circunstancia.

El principio de homogeneidad dimensional permite averiguar qué dimensiones ha de teneruna constante para que una ecuación sea posible. Por ejemplo, la ley de Newton de gravitaciónF = GMm/d2 muestra la proporcionalidad (directa o inversa) entre fuerza, masas y distancia, perono es homogénea en tanto G no tenga dimensiones. ¿Cuáles? Despejando:

F'GMm

d 2Y [G]' Fd 2

Mm'

MLT &2L 2

M 2'[M &1L 3T &2]

Con ello, G ha de tener dimensiones de M-1L3T-2, y unidades de m3/(kg*s2) en el S.I.

Este principio de homogeneidad dimensional viene sistematizado en el teorema pi. Nose dará aquí el enunciado completo de dicho problema con objeto de no complicar inútilmenteel planteamiento. Bástenos saber que dicho teorema nos permite determinar la forma que ha detener una ecuación, conocidas las cantidades que ha de relacionar.

Homogeneidad dimensional. El teorema pi. 2

Supongamos un conjunto de cantidades [X1], [X2] ... [Xn] cuyas unidades pueden elegirsearbitrariamente (por lo general, se suelen tomar las que hemos definido como magnitudesfundamentales). Una ecuación entre cantidades [Y1], [Y2] ... [Yp], que pueden ser cantidades demagnitudes derivadas o constantes con dimensiones, tendrá la forma general:

[Ya1

1 ]@[Ya2

2 ]...@[Yap

p ]'1

A menudo este tipo de relaciones, por abuso de lenguaje, suele recibir el nombre de"ecuación entre magnitudes," aunque estrictamente hablando es una ecuación entre cantidades(recordemos que magnitud es la propiedad abstracta, cantidad un observable concreto; existenmuchos valores de cantidades de tiempo, pero sólo una magnitud tiempo). Si, a su vez,relacionamos cada cantidad derivada Yi con las cantidades de magnitudes fundamentales

[Yi]'[Xgi1

1 ]@[Xgi2

2 ]...[Xg0n ]

entonces la ecuación entre cantidades quedaría así:

[X1]g11[X2]

g12...[Xn]g1n @ [X1]

g21[X2]g22...[Xn]

g2n ... [X1]gp1...[Xn]

gpn'1

Reagrupando convenientemente, se obtiene un producto de cantidades de magnitudesfundamentales igual a la unidad:

[X1]g11a1%g21a2...%gp1ap[X2]

g12a1%...gp2ap...[Xn]g1na1%...gpnap'1

Como 1 = [X1]o[X2]

o...[Xn]o, obtenemos un conjunto de n ecuaciones con p incógnitas (a1...ap):

g11a1%g21a2%...%gp1ap'0g12a1%g22a2%...%gp2ap'0

............g1na1%g2na2%...%gpnap'0

Si las n ecuaciones son linealmente independientes y n = p, existe una única solución.En caso contrario, existe un conjunto infinito de soluciones que, en cualquier caso, nos da comomínino información parcial sobre la ecuación física, por ejemplo a3 = 0 ó a5 = a1/2. Estaaplicación del teorema pi difiere ligeramente de la definición dada por Palacios; sin embargo,resultan equivalentes en sus resultados finales.

Veamos un ejemplo. Supongamos que se tiene un péndulo simple cuyo período to sedesea relacionar con otras cantidades relevantes del sistema. Dichas cantidades, despreciandoefectos tales como rozamientos, podrían ser: la longitud l del hilo, la masa m del cuerposuspendido, la aceleración de la gravedad g y la amplitud de las oscilaciones 2o. Puesto que losángulos y cualesquiera funciones trigonométricas son adimensionales, el teorema pi no daráinformación sobre la dependencia de to con 2o. Sean las magnitudes fundamentales X1=L, X2=M,X3=T (longitud, masa, tiempo) y las cantidades de las magnitudes que aparecen en esta situaciónfísica [Y1]=[l], [Y2]=[m], [Y3]=[g], [Y4]=[to]. En la terminología antes expuesta, tenemos:

[Y1]'[X1]g11[X2]

g12[X3]g13

[l]'LY g11'1 g12'0 g13'0

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[Y2]'[X1]g21[X2]

g22[X3]g23

[m]'MY g21'0 g22'1 g23'0

[Y3]'[X1]g31[X2]

g32[X3]g33

[g]'LT &2Y g31'1 g32'0 g33'&2

[Y4]'[X1]g41[X2]

g42[X3]g43

[to]'TY g41'0 g42'0 g43'1

Supongamos una ecuación del tipo C[Y1]a1[Y2]

a2[Y3]a3[Y4]

a4 = 1. Cuando el objetivo eshallar la dependencia de una cantidad (en este caso to) con las otras, resulta conveniente hacer sucoeficiente ai igual a -1. Si hacemos [Y4] = to, a4 = -1, queda

to'[Y1]a1[Y2]

a2[Y3]a3

En nuestro ejemplo, [Y1]=[l]=L, [Y2]=[m]=M, [Y3]=[g]=LT-2, [Y4]=[to]=T. Así:

T'L a1M a2(LT &2)a3

T'M a2L a1%a3T &2a3

Lo que arroja las ecuaciones:

a2'0a1%a3'0&2a3'1

Este sistema de ecuaciones tiene la solución única a1 = ½, a2 = 0, a3 = -½. Por lo tanto,el período no depende de la masa del péndulo, ya que sería X2

a2 = mo, y la relación sería:

to'cte@l 1/2@g &1/2

to'C@ l/g

Se puede demostrar gracias a la dinámica de Newton que C = 2B para pequeñasoscilaciones; sin embargo, la forma general de la ecuación ha sido obtenida mediante análisisdimensional, sin ninguna teoría ni hipótesis previa sobre el movimiento de los cuerpos,solamente con el requisito de homogeneidad dimensional, sin el que ninguna ecuación físicatiene sentido. De haber supuesto una dependencia de to con, además, la velocidad v, unaecuación del tipo

to'cte@l a1@m a2@g a3@v a4

nos conduciría al sistema a2 = 0, a1+a3+a4 = 0, 2a3+a4 = 1, de tres ecuaciones y cuatro incógnitas.Esto da un conjunto infinito de soluciones posible, con lo que to sería, en el caso más general, unasuma infinita de términos. Pero aún así el teorema pi proporciona información valiosa sobre elsistema. Por ejemplo, que el período es independiente de la masa (a2=0) o que la ecuación to =6lg/v2 no es posible, puesto que 2a3+a4 Ö 1