OLIMPIADAS MATEMÁTICAS DE PUERTO RICO .

Prueba de selección de delegación IBERO 2009

15 de agosto de 2009

1. Un número entero positivo se llama bueno si se puede escribir como la suma de los cuadrados de dos enteros diferentes. Un número entero positivo se llama mejor si se puede escribir de por lo menos dos formas diferentes como la suma de cuadrados de dos enteros diferentes. Un número entero positivo se llama buenérrimo si puede escribirse en por lo menos cuatro formas diferentes como la suma de cuadrados de dos enteros diferentes.

a. Probar que el producto de números buenos es bueno. b. Probar que 5 es bueno, 2005 es mejor y 2005² es buenérrimo.

2. En cada casilla de un tablero 1 2009× se coloca un 0 ó un 1 de modo que la suma de cualesquiera 90 casillas consecutivas sea igual a 65. Determine los posibles valores de la suma de los 2009 números en el tablero.

3. Demuestre que si Ah , Bh y Ch son las alturas del triángulo ABC y r es el radio de su incírculo,

entonces 9A B Ch h h r+ + ≥ .

4. El punto M se elige dentro del paralelogramo ABCD . Demuestre que los ángulos MAB y

MCB son congruentes si y solo si los ángulos MBA y MDA son congruentes.

5. La media rara de dos números a y b se define como 2 22 3

5

a b+. 2009 números enteros

positivos se escriben alrededor de un círculo de tal forma que cada número es igual la media rara de sus dos vecinos (calculados en el sentido de las manecillas del reloj). Demuestre que los 2009 números tienen que ser iguales.

Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez