Hurwics

TEMA 6: Introducción a la teoría de la decisión (I)

1. Las decisiones en la empresa 2. Problemas de decisión estáticos

E.P.S. La Rábida Administración de Empresas I.T. Informática de Gestión Universidad de Huelva __________________________________________________________________________________________

2

1. Las decisiones en la empresa

La característica principal de la gestión económica de la empresa es la del proceso de convertir información en acción, a este proceso lo llamamos toma de decisiones.

Decisión: Es una elección entre dos o mas líneas de acción diferentes. El objeto de la teoría de la decisión es racionalizar dicha elección. Para ello hay que proceder de modo sistemático, evaluando todas las posibilidades de elección como las consecuencias que puedan derivarse de cada opción.

El estudio de la teoría de la decisión provee de herramientas para la toma de decisiones importantes. La teoría de la decisión adopta un enfoque científico, contrapuesto a la intuición y experiencia como únicos criterios que se utilizaban anteriormente.

El método científico utilizado por la teoría de la decisión presenta un esquema lógico de actuaciones a la hora de plantear la solución de un problema. Este esquema cumple las siguientes fases:

1) Definición del problema

2) Enumeración de posibles alternativas (Ai: Alternativas o estrategias)

3) Identificación de los posibles escenarios o estados de la naturaleza en la que las diferentes alternativas pueden desarrollarse. Variable o no controlables por el sujeto decisor : temperatura, actuaciones de la competencia ect. (Ej: Estados de la naturaleza)

4) Obtención de resultados y valoración de los mismos: Desenlaces asociados a una alternativa concreta dado un estado específico de la naturaleza. (Xij: Resultados)

5) Predicción de probabilidad sobre la ocurrencia de cada estado de la naturaleza.(Pj: Probabilidad)

6) Fijación de criterios de decisión que permitan la elección de una estrategia o alternativa. Es una forma de utilizar la información para seleccionar una alternativa concreta.

7) Identificación del tipo de decisión: Para ello clasificamos las decisiones en estáticas y en decisiones secuenciales.

Decisiones estáticas Son aquellos problemas de decisión en los que sólo se adopta una decisión y no se analizan las posibles alternativas/decisiones posteriores a una alternativa/decisión previa.

Decisiones secuenciales: Problema de decisión en el que se consideran una secuencia de decisiones, es decir, decisiones posteriores dependientes de una decisión inicial.

8) Identificación del contexto en el que se toma la decisión: A su vez, el problema de decisión, tanto en la perspectiva estática como secuencial, puede ser de tres tipos, en función del grado de conocimiento que se tenga sobre la ocurrencia de los estados de la naturaleza (incertidumbre, riesgo, certeza)

- Certeza: Cuando conocemos con seguridad el estado de la naturaleza que se va a producir. En un problema estático se traduce en una matriz de una sola columna con un sólo estado de la naturaleza, en un problema secuencial se refleja en un sólo estado de la naturaleza para cada una de las decisiones adoptadas.

- Situaciones de riesgo: cuando no conocemos el estado de la naturaleza que se va a producir, pero si conocemos las probabilidades de ocurrencia de cada uno de ellos.

- Situaciones de incertidumbre: Cuando desconocemos qué estado de la naturaleza se va a producir y la probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos.

2. Problemas de decisión estáticos

El proceso de decisión se sintetiza en una matriz de decisión, matriz de consecuencias o matriz de ganancias.. Es una matriz que consta de tantas filas como alternativas o estrategias se contemplen, y de tantas columnas como estados de naturaleza sean posibles, siendo sus elementos los resultados correspondientes a cada alternativa en un estado de naturaleza específico.

Ai= {a1, a2, ………..an}

Ej= { e1, e2, ………..em }


3

mnmatrizxxxxxxxxx

X

nmnn

m

m

ij ∗⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

21

22221

11211 ...

Ejemplo: Jhon Pérez ha heredado $1.000. El ha decidido invertir su dinero por un año. Un inversionista

le ha sugerido cinco inversiones posibles: oro, bonos, negocio en desarrollo, certificado de depósito, acciones. Jhon debe decidir cuanto invertir en cada opción. La siguiente tabla representa las ganancias que obtendría para cada escenario posible de comportamiento del mercado.

MATRIZ DE GANANCIAS ESTADOS DE LA NATURALEZA ALTERNATIVAS Gran alza pequeña

alza sin cambios

pequeña baja

gran baja

Oro -100 100 200 300 0 Bonos 250 200 150 -100 -150 Negocio 500 250 100 -200 -600 Cert. de depósito 60 60 60 60 60 Acciones 200 150 150 -200 -150

2.1. Elección del criterio de decisión en condiciones de incertidumbre:

Situación en la que podemos descubrir los estados posibles de la naturaleza pero desconocemos la probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos. Los criterios de decisión más empleados en estos casos son un reflejo de la actitud hacia el riesgo que tienen los responsables en la toma de decisiones. El criterio de decisión se toma basándose en la experiencia de quien toma la decisión, este incluye un punto de vista optimista o pesimista, agresivo o conservador.

Los criterios aplicados son: Maximin o de Wald, Minimax o Savage, Maximax, Principio de razonamiento insuficiente o criterio de Laplace, Criterio de Hurwics

2.1.1. Criterio maximin o de Wald: Perfil pesimista (el decisor cree que el peor caso ocurrira) o conservador

( el decisor quiere asegurar una ganancia mínima posible). Se llama máximo porque elige el máximo resultado entre los mínimos resultados. Se elige lo mejor dentro de lo peor. Para encontrar una solución óptima: se marca la ganancía mínima de todos los estados de la naturaleza posible y se identifica la decisión que tiene el máximo de las ganancias mínimas.

EL CRITERIO MAXIMIN ESTADOS DE LA NATURALEZA ALTERNATIVAS Gran alza pequeña

alza sin cambios

pequeñabaja

gran baja

Mínimas Ganancias

Oro -100 100 200 300 0 -100 Bonos 250 200 150 -100 -150 -150 Negocio 500 250 100 -200 -600 -600 Cert. de depósito 60 60 60 60 60 60 Acciones 200 150 150 -200 -150 -200

La decisión óptima con este criterio sería invertir en certificados de depósito. 2.1.2. Criterio mínimax o Savage: Este criterio se ajusta también a criterio pesimista o conservador. La matriz de ganancias es basada en el coste de oportunidad. El decisor incurre en una pérdida por no escoger la mejor decisión. Para encontrar la solución óptima se determina la mejor ganancia de todas las alternativas en cada


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estado de la naturaleza (mejor ganancia por columna) y se calcula el costo de oportunidad para cada alternativa de decisión (como la mejor ganancia por columna menos la ganancia de cada una de las celdas de la columna), posteriormente se encuentra el máximo costo de oportunidad para todos los estados de la naturaleza y se selecciona la alternativa de decisión que tiene el mínimo coste de oportunidad.

MATRIZ DE GANANCIAS ESTADOS DE LA NATURALEZA ALTERNATIVAS Gran alza pequeña

alza sin cambios

pequeña baja

gran baja

Oro -100 100 200 300 0 Bonos 250 200 150 -100 -150 Negocio 500 250 100 -200 -600 Cert. de depósito 60 60 60 60 60 Acciones 200 150 150 -200 -150

MATRIZ DE COSTE DE OPORTUNIDAD ESTADOS DE LA NATURALEZA ALTERNATIVAS Gran alza pequeña

alza sin cambios

pequeñabaja

gran baja

Máximo coste de oportunidad

Oro 600 150 0 0 60 600 Bonos 250 50 50 400 210 400 Negocio 0 0 100 500 660 660 Cert. de depósito 440 190 140 240 0 440 Acciones 300 100 50 500 210 500

La decisión óptima con este criterio invertir en bonos por tener el menor coste de oportunidad

2.1.3. El criterio maximax: este criterio se basa en el mejor de los casos. Considera los puntos de vista optimista y agresivo. Un decisor optimista cree que siempre obtendrá el mejor resultado sin importar la desición tomada. Un decisor agresivo escoge la decisión que le proporcionará una mayor ganancia. Para encontrar la desición óptima se marca la máxima ganancia para cada alternativa de decisión y se selecciona la desición que tiene la máxima de las máximas ganancias.

EL CRITERIO MAXIMAX ESTADOS DE LA NATURALEZA ALTERNATIVAS Gran alza pequeña

alza sin cambios

pequeñabaja

gran baja

Máximas Ganancias

Oro -100 100 200 300 0 300 Bonos 250 200 150 -100 -150 250 Negocio 500 250 100 -200 -600 500 Cert. de depósito 60 60 60 60 60 60 Acciones 200 150 150 -200 -150 200

La decisión óptima sería invertir en un negocio en desarrollo por presentar la máxima ganancia posible.

2.1.4. Criterio de razonamiento insuficiente o criterio Laplace: puede ser tomado por un tomador de decisiones que no sea optimista ni pesimista. El decisor asume que todos los estados de la naturaleza son equiprobables. Para encontrar la decisión óptima se selecciona la decisión con el mayor valor esperado.

∑=

∗=m

jjiji PXXE

1)(


5

11

=∑=

n

jjP

1002,0*02,03002,02002,01002,0100)()( 1 =+∗+∗+∗+∗−== OroEXE

2( ) ( ) 250 0, 2 200 0, 2 150 0, 2 100 0, 2 150 0, 2 70E X E Bonos= = ∗ + ∗ + ∗ − ∗ − ∗ =

3( ) ( ) 500 0,2 250 0,2 100 0,2 200 0,2 600 0,2 10E X E Negocio= = ∗ + ∗ + ∗ − ∗ − ∗ =

4( ) ( .) 60 0, 2 60 0, 2 60 0, 2 60 0, 2 60 0, 2 60E X E Certif= = ∗ + ∗ + ∗ + ∗ + ∗ =

5( ) ( ) 200 0,2 150 0,2 150 0,2 200 0,2 150 0,2 30E X E Acciones= = ∗ + ∗ + ∗ − ∗ − ∗ =

La decisión óptima sería invertir en Oro.

2.1.5. Criterio de Hurwicz: Es un criterio intermedio entre maximin y el maximax: Supone la combinación de ponderaciones de optimismo y pesimismo. Sugiere la definición del llamado coeficiente de optimismo (α), y propone que se utilice como criterio de decisión una media ponderada entre el máximo resultado asociado a cada alternativa, y el mínimo resultado asociado a la misma.

optimismoelesmayoracercanomáscuanto 110 →≤≤α

( ) (1 )i ij ijT X Max Minxα α= ∗ + −

Para hallar la solución óptima se marca el máximo y el mínimo de cada alternativa. Según el coeficiente de optimismo del decidor (α), se multiplica el máximo por éste y el mínimo se multiplica por (1-α). Luego se suman los dos. Luego elegimos el máximo entre todas las alternativas. En nuestro ejemplo, si suponemos que el empresario es neutral α=0,5

EL CRITERIO HURWICS ESTADOS DE LA NATURALEZA ALTERNATIVAS Gran alza pequeña

alza sin cambios

pequeñabaja

gran baja

Máximas Ganancias Conα =0,5

Oro -100 100 200 300 0 100 Bonos 250 200 150 -100 -150 50 Negocio 500 250 100 -200 -600 -50 Cert. de depósito 60 60 60 60 60 60 Acciones 200 150 150 -200 -150 0

1( ) ( ) 0.5 300 0.5 ( 100) 100T X T Oro Se elige= = ∗ + ∗ − = →

2.2. En situación Riesgo. Conocemos la lista de estados de la naturaleza y su probabilidad de ocurrencia. Como los eventos son excluyentes tenemos: La suma de probabilidades de todos los estados de la naturaleza debe ser iguales a la unidad.

El criterio que se utiliza para comparar los resultados correspondientes a cada línea de actuación es la

mayor “esperanza matemática”.


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EL CRITERIO DE LA GANACIA ESPERADA ESTADOS DE LA NATURALEZA ALTERNATIVAS Gran alza pequeña

alza sin cambios

pequeñabaja

gran baja

Ganancias Esperada

Oro -100 100 200 300 0 100 Bonos 250 200 150 -100 -150 130 Negocio 500 250 100 -200 -600 125 Cert. de depósito 60 60 60 60 60 60 Acciones 200 150 150 -200 -150 95 Probabilidad 0,2 0,3 0,3 0,1 0,1

El utilizar como único criterio de decisión la esperanza matemática supone asumir ciertas hipótesis:

- Que al sujeto decisor no le importe la dispersión del resultado (no tiene en cuenta la desviación típica) - Que no exista riesgo de ruina: Es el riesgo que el desenlace de una estrategia pueda suponer un

quebranto económico tal que no pueda ser superado por la empresa. En dicho caso el decisor pasaría a elegir sólo entre aquellas alternativas cuyos resultados más desfavorables puedan ser asumidos por la empresa. Tiene que ver con la capacidad de asumir pérdidas.

Para solucionar estas limitaciones se construyen unas funciones de utilidad.

a) Consideración de la variabilidad de los resultados: Penalizar la esperanza económica por una medida que dé idea de la variabilidad de los datos, considerando la multiplicación de dicha medida de variabilidad por un coeficiente indicativo de temor al riesgo (a) del sujeto decisor. La función de utilidad se halla restando al valor esperado de cada alternativa el coeficiente de aversión por la desviación típica.

Si a→1 Mayor aversión al riesgo. El inversor presenta un perfila más conservador

Si a→0 Poca aversión al riesgo. El inversor presenta un perfill más arriesgado.

( ) ( )i i XFuncion de utilidad U X E X a σ= = − ∗

Observemos que cuando a tiende a 1 la cantidad a restar es mayor, por tanto la utilidad esperada es menor lo que corresponde a un perfil conservador.

2 var varX ianza como medida de iabilidad de los resultadosσ =

2 2

1

: ( ( ))m

X ij i jj

Varianza X E X Pσ=

= − ∗∑

2:X XDesviación típicaσ σ=

En nuestro ejemplo: Si Jhon Pérez tiene una aversión al riesgo del 15%: a=0,15

2 2 2 2 2

1( ) ( ) ( ) 100 0,15 ( 100 100) 0, 2 (100 100) 0.3 (200 100) 0.3 (300 100) 0,1 (0 100) 0,1 52,56U X E Oro a V Oro= − ∗ = − − − ∗ + − ∗ + − ∗ + − ∗ + − ∗ =

2 2 2 2 2

2( ) ( ) ( ) 130 0,15 (250 130) 0, 2 (200 130) 0.3 (150 130) 0.3 ( 100 130) 0,1 ( 150 130) 0,1 71,71U X E Bonos a V Bonos= − ∗ = − − ∗ + − ∗ + − ∗ + − − ∗ + − − ∗ =

2 2 2 2 2

3( ) ( ) ( ) 125 0,15 (500 125) 0,2 (250 125) 0.3 (100 125) 0.3 ( 200 125) 0,1 ( 600 125) 0,1 8,16U X E Negocio a V Negocio= − ∗ = − − ∗ + − ∗ + − ∗ + − − ∗ + − − ∗ = −


7

4( ) ( ) ( ) 60 0,15*0 60U X E certificado a V certificado= − ∗ = − =

2 2 2 2 25( ) ( ) ( ) 65 0,15 (200 65) 0, 2 (150 65) 0.3 (150 65) 0.3 ( 200 65) 0,1 ( 100 65) 0,1 34, 23U X E accion a V accion= − ∗ = − − ∗ + − ∗ + − ∗ + − − ∗ + − − ∗ =

Se elige la alternativa que maximiza la función de utilidad: En nuestro ejemplo sería:

X2 = Bonos =71,71→Máximo beneficio teniendo en cuenta la aversión al riesgo

b) Consideración del riesgo de ruina: La probabilidad de ruina es la probabilidad de que un resultado Xij sea menor que un cierto ingreso (si la matriz que estamos analizando es de costes) o beneficio crítico que como mínimo ha de obtener la empresa. Es decir, en el peor de los casos, cuáles serían las pérdidas que se estaría dispuesto a asumir, o beneficio que cómo mínimo se exige a la inversión.

En nuestro ejemplo, si estamos dispuestos a asumir pérdidas hasta 180 unidades monetarias, se rechazan las inversiones en negocio y en acciones ya que podrían generar pérdidas que no se podrían asumir (-600; 200). Se tendría que elegir entre el oro, bonos o certificados de depósito a través de la esperanza matemática o bien considerando la función de utilidad que penalice la dispersión de resultados ( a través de la desviación típica).

2.3. Problemas de decisiones estáticas

Problema 1:

Un empresario agricultor se plantea escoger entre tres alternativas de cultivo (trigo, remolacha o patata) con tres estados de la naturaleza (tiempo lluvioso, tiempo normal o tiempo seco) y la probabilidad de tiempo respectivamente (30% lluvioso, 50% normal y 20% seco). Y una aversión al riesgo del 20% y un beneficio crítico de 100 u.m. Para el criterio Hurwicz se considera un coeficiente de optimismo del 50%

P1= 0,3 P1= 0,5 P1= 0,2 lluvia normal seco Trigo 250 290 200 Remolacha -100 450 350 Patata 150 200 250

a) Situación de riesgo:

2602,02005,02903,0250)()( 1 =∗+∗+∗== trigoEXE

2652,03505,04503,0100)()( 2 =∗+∗+∗−== remolachaEXE

1952,02505,02003,0150)()( 3 =∗+∗+∗== patataEXE

Para solucionar estas limitaciones se construyen unas funciones de utilidad.

Consideración de la variabilidad de los resultados

)()()( iii XVaXEXU ∗−=

En nuestro ejemplo: Si el empresario agricultor tiene una aversión al riesgo del 20%: a=20%:

2532.0)260200(5.0)260290(3,0)260250(2,0260)()()( 222111 =∗−+∗−+∗−−=∗−= XVaXEXU

5,2162.0)265350(5.0)265450(3,0)265100(2,0265)( 2222 =∗−+∗−+∗−−−=XU


8

1882.0)195250(5.0)195200(3,0)195150(2,0195)( 2223 =∗−+∗−+∗−−=XU

Se elige la alternativa que maximiza la función de utilidad: En nuestro ejemplo sería:

X1 = trigo = 253→Máximo beneficio teniendo en cuenta la aversión al riesgo

Consideración del riesgo de ruina:

Si fijamos un ingreso típico de 100 unidades monetarias: Se rechaza el cultivo de remolacha ya que puede llegar a presentar un ingreso inferior (-100 u.m.) al ingreso crítico. Se tendría que elegir entre el trigo y la patata a través de la esperanza matemática o bien considerando la función de utilidad que penalice la varianza.

b) En situación de incertidumbre

b1) Criterio Laplace

∑=

=m

jiji XXT

1)(

740200290250)( 1 =++=XT →Se elige el trigo

700350450100)( 2 =++−=XT

600250200150)( 3 =++=XT

b2) Criterio pesimista, de Wald ó Maximin: Se elige lo mejor dentro de lo peor.

trigo = 200→Se elige remolacha = -100 patata = 150 b3) Criterio optimista o maximax: se elige el máximo de los máximos. trigo = 290 remolacha = 450→Se elige patata = 250 b4) Criterio de Hurwicz: Es un criterio intermedio entre maximin y el maximax: Supone la combinación de ponderaciones de optimismo y pesimismo. Sugiere la definición del llamado coeficiente de optimismo (α), comprendido entre cero y uno:

optimismoelesmayoracercanomáscuanto 110 →≤≤α

( ) (1 )i ij ijT X Max Minxα α= ∗ + − En nuestro ejemplo, si suponemos que el empresario es neutral α=0,5

eligeSeXT →=∗+∗= 2452005.02905.0)( 1

175)100(5.04505.0)( 2 =−∗+∗=XT

200)150(5.02505.0)( 3 =∗+∗=XT


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b5) Criterio de Savage Se construye una matriz de perjuicios o de coste de oportunidad

matriz de consecuencias E1 E2 E3 Trigo 250 290 200 Remolacha -100 450 350 Patata 150 200 250

matriz de arrepentimientos o coste de oportinidad E1 E2 E3 Trigo 0 160 150 Remolacha 350 0 0 Patata 100 250 100

Arrepentimiento máximo para la opción trigo = 160→ Se escoge el trigo Arrepentimiento máximo para la opción remolacha = 350 Arrepentimiento máximo para la opción patata = 250 2.3. La utilización de la información perfecta y el concepto de valor esperado en contexto de riesgo. Como es lógico, en un contexto de riesgo se debe decidir con el máximo valor esperado. La Ganancia que se espera obtener al conocer con certeza la ocurrencia de ciertos estados de la naturaleza se le denomina: Ganancia Esperada de la Información Perfecta (GEIP). Este concepto corresponde al coste de oportunidad de la decisión seleccionada usando el criterio de la ganancia esperada. Esta decisión es la que genera una menor pérdida para quien tiene que tomar la decisión. En este caso nos aseguran con toda probabilidad la ocurrencia de cierto estado de la naturaleza, por eso la llamamos información perfecta. El GEIP se calcula como el producto de la máxima ganancia para cada estado de la naturaleza por su respectiva probabilidad, y a este resultado le restamos el máximo valor esperado.

1 1

( ) ( ) ( )m m

i j ij jj j

GEIP Max X P E Max X P= =

= ∗ − ∗∑ ∑

En nuestro ejemplo de Jhon Pérez, podríamos calcular, por ejemplo, el valor máximo que podemos pagar por un estudio donde nos aseguren la ocurrencia de cierto estado de la naturaleza. Podemos entonces calcular la ganancia esperada de la información perfecta (GEIP)


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EL CRITERIO DE LA GANACIA ESPERADA ESTADOS DE LA NATURALEZA ALTERNATIVAS Gran alza pequeña

alza sin cambios

pequeñabaja

gran baja

Ganancias Esperada

Oro -100 100 200 300 0 100 Bonos 250 200 150 -100 -150 130 Negocio 500 250 100 -200 -600 125 Cert. de depósito 60 60 60 60 60 60 Acciones 200 150 150 -200 -150 95 Probabilidad 0,2 0,3 0,3 0,1 0,1

(500*0,2 0,30*250 0,3*200 300*0,1 60*0,1) 130 141GEIP = + + + + − =

Quiere decir esto, que si puedo obtener información, que me asegure la ocurrencia de cierto estado de la naturaleza, puedo pagar por ella un máximo de 141 unidades monetarias. 2.4. La utilización de la información imperfecta y el concepto de valor esperado en contexto de riesgo. La información adicional, no siempre es perfecta, muchas veces los estudios adicionales que se encargan tienen cierto margen de error. La información adicional mejora la probabilidad obtenida de la ocurrencia de un determinado estado de la naturaleza y ayuda al tomador de decisiones a escoger la mejor opción. La estadística Bayesiana construye un modelo a partir de información adicional obtenida a partir de diversas fuentes. El teorema de Bayes:

1

( )* ( / )( / )

( )* ( / )

j i jj i n

j i ji

P E P A EP E A

P E P A E=

=

∑

donde

1

( / )

( )

( / )

( )* ( / )

j i

j

i j

n

j i ji

P E A probabilidad revisada

P E probabilidad a priori

P A E probabilidad condicionada

P E P A E sumatoria probabilidad conjunta=

=

=

=

=∑

A partir del teorema de Bayes podemos calcular la Ganancia esperada con la Información adicional (GECIA): La expresión matemática para su cálculo es la siguiente: donde:

1 1

[ ( ) * ( )* ( / )n m

ij a posteriori j i ji j

GECIA Max E X P E P A E= =

⎡ ⎤= ⎣ ⎦∑ ∑

1

[ ( ) ]

( )* ( / )

ij a posteriori

m

j i jj

Max E X Maximo valor esperado a posteriori

P E P A E Sumatoria de probabilidades conjuntas=

=

=∑


11

Para su cálculo seguimos los siguientes pasos:

1) Clasificamos la información adicional obtenida como probabilidad condicionada distinguiendo cada uno de los escenarios planteados.

2) Calculamos la probabilidad conjunta con la fórmula de Bayes para cada alternativa en cada escenario planteado.

3) Calculamos la sumatoria de probabilidades conjuntas para cada escenario planteado. 4) Calculamos la probabilidad revisada para cada alternativa en cada escenario. 5) Calculamos la ganancia esperada con la probabilidad revisada para cada uno de los escenarios

planteados. 6) Calculamos el GECIA

También podemos calcular el valor esperado de la información adicional, es decir, el mayor valor esperado por contar con una mejor información. Se calcula como la diferencia entre el GECIA y el mayor valor esperado con la información a priori. Ejemplo: Retomemos el ejemplo de Jhon Pérez. Supongamos que hemos contratado un informe adicional que nos indica la probabilidad de ocurrecia de una gran alza, pequeña alza, etc. condicionada a que el crecimiento económico sea positivo o negativo. Los resultados se pueden ver en la siguiente tabla.

ESTADOS DE LA NATURALEZAALTERNATIVAS Gran pequeña sin pequeña Gran

alza alza cambios baja bajaProbabilidad Crec. Positivo 0,800 0,700 0,500 0,400 0,000Condicionada Crec, Negat. 0,200 0,300 0,500 0,600 1,000 Solución: Pasos:

1) Clasificamos la información adicional obtenida como probabilidad condicionada distinguiendo cada uno de los escenarios planteados. En este caso viene ya en la tabla.

2) Calculamos la probabilidad conjunta con la fórmula de Bayes para cada alternativa en cada escenario planteado. En caso de crecimiento positivo la probabilidad conjunta que se produzca una gran alza sería

( )* ( / ) 0,80*0, 20 0,16j i jprobabilidad conjunta P E P A E= = =

En caso de crecimiento positivo la probabilidad conjunta que se produzca una pequeña alza sería:

( )* ( / ) 0,70*0,30 0,21j i jprobabilidad conjunta P E P A E= = =

Y así vamos completando para cada escenario (crecimiento positivo, crecimiento negativo), la probabilidad de ocurrencia de cada alternativa. De esta forma vamos completando una tabla que nos permita recoger toda la información de forma ordenada como la que se presenta más adelante. 3) Calculamos la sumatoria de probabilidades conjuntas para cada escenario planteado.

Para el caso de crecimiento positivo la sumatoria sería:

[ ( ) ]ij a prioriGEIA GECIA Max E X= −


12

1( )* ( / ) 0,16 0,21 0,15 0,04 0 0,56

n

j i ji

sumatoria probabilidad conjunta P E P A E=

= = + + + + =∑

Para el caso de crecimiento negativo la sumatoria sería:

1( )* ( / ) 0,04 0,09 0,15 0,06 0,10 0,44

n

j i ji

sumatoria probabilidad conjunta P E P A E=

= = + + + + =∑

4) Calculamos la probabilidad revisada para cada alternativa en cada escenario.

En caso de crecimiento positivo la probabilidad revisada que se produzca una gran alza sería

1

( )* ( / ) 0,16( / ) 0,2860,56( )* ( / )

j i jj i n

j i ji

P E P A EP E A

P E P A E=

= = =

∑

5) Calculamos la ganancia esperada con la probabilidad revisada para cada uno de los escenarios planteados. En caso de crecimiento positivo la probabilidad revisada que se produzca una gran alza para la alternativa del oro sería:

8400071,0300268,0200375,0100286,0100

)(1

=∗+∗+∗+∗+∗−=

∗= ∑=

m

jjijrevisadaoposterioriaij PXXE

6) Calculamos el GECIA: para ello marcamos el mayor valor esperado para cada uno de los escenarios

planteados 7) Calculamos GEIA

1 1

[ ( ) * ( )* ( / ) 249 0,56 120 0, 44 193n m



⎡ ⎤= = ∗ + ∗ =⎣ ⎦∑ ∑

[ ( ) ] 193 130 63ij a prioriGEIA GECIA Max E X= − = − =


EL CRITERIO DE LA GANACIA ESPERADA CON INFORMACIÓN ADICIONAL

ESTADOS DE LA NATURALEZA Gan. Esp. Gan. Esp.ALTERNATIVAS Gran pequeña sin pequeña Gran a priori Revisada

alza alza cambios baja baja Cre. Posi. Crec. Neg.Oro -100 100 200 300 0 100 84 120Bonos 250 200 150 -100 -150 130 179 67Negocio 500 250 100 -200 -600 125 249 -33Cert. de depósito 60 60 60 60 60 60 60 60Acciones 200 150 150 -200 -150 95 139 39Probabilidad 0,2 0,3 0,3 0,1 0,1 ∑=1Probabilidad Crec. Positivo 0,800 0,700 0,500 0,400 0,000Condicionada Crec, Negat. 0,200 0,300 0,500 0,600 1,000Probabilidad Crec. Positivo 0,160 0,210 0,150 0,040 0,000 0,560Conjunta Crec. Negat. 0,040 0,090 0,150 0,060 0,100 0,440Probabilidad Crec. Positivo 0,286 0,375 0,268 0,071 0,000 1,000Revisada Crec. Negat. 0,091 0,205 0,341 0,136 0,227 1,000

GECIA=GANACIA ESPERADA CON LA INFORMACIÓN GEIA=GANACIA ESPERADA DE LA INFORMACIÓN ADICIONAL ADICIONAL

GECIA= 249*0,56+120*0,44= 193 GEIA= 193-130=63

CONCLUSIÓN:Cantidad máxima que puede pagar por un informe externo es de 63 u.m.

1 1[ ( ) * ( )* ( / )

n m



⎡ ⎤= ⎣ ⎦∑ ∑ ( )ij a prioriGEIA GECIA E X= −


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