II.- TEORIA DE CONJUNTOS Y TECNICAS DE CONTAR

II.1 ELEMENTOS BASICOS DE LA TEORIA DE CONJUNTOS.

II.1.1 Definición.- Conjunto es una lista, colección o clase de objetos bien definidos que pueden ser personas, números, ríos, letras, etc. a los que se les llama miembros o elementos. Ejemplos:

Los números 1, 3, 7 y 10Las soluciones de la ecuación x² –3x + 2 = 0Las vocales del alfabeto: a, e, i, o, uLos estudiantes Tomás, Ricardo y EnriqueLos números 2, 4, 6, 8, . . . . Las ciudades capitales de EuropaEl conjunto de los números primos menores que 15

II.1.2 Expresión de conjunto.- Para expresar un conjunto es necesario definir:

)a Notación.- Las letras mayúsculas se emplean para denotar un conjunto, las letras minúsculas para los elementos del conjunto, la “coma” para separar cada elemento, el símbolo para encerrar los elementos y la pertenencia de un elemento a un conjunto se indica con

b) Forma constructiva (comprensión o descriptiva).- Es cuando se enuncian las propiedades que deben tener los elementos del conjunto. Generalmente se emplea la x en este tipo de expresión. Ejemplos:

A = todos los números pares = x x es un número par B = los habitantes de la tierra = x x es un habitante de la tierra C = Los números dígitos = x x es un número dígito D = Todos los números primos menores que 15 = x x es un número primo, x < 15

La expresión x x se lee “ x tal que x

c) Forma tabular (extensión o enumerativa).- Es cuando se escribe cada elemento del conjunto. Ejemplos:

A = 2, 4, 6, 8, . . .C = 0, 1, 2, 3, . . . . , 8, 9

d) Diagramas de Venn-Euler.- Es la representación gráfica de los conjuntos y sus relaciones mediante áreas planas (normalmente círculos y rectángulos). Ejemplo:

En la figura se dibujan el conjunto Universo y los conjuntos A y B.

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II.2 CLASES DE CONJUNTOS.

Los conjuntos se clasifican de la siguiente manera:

II.2.1Conjunto universal.- Es el conjunto de todos los elementos posibles para sustituir la x en un conjunto. Conjunto fijo del cual se consideran subconjuntos todos los conjuntos de una investigación. Se denota por U. Ejemplos:

En geometría plana, el conjunto universal será:

U = x x es cualquier punto del plano

En estudios sobre población:

U = x x es un ser humano

II.2.2Conjunto vacío.- Denotado por o por es el conjunto que carece de elementos. Se le llama también conjunto nulo. Ejemplos:

Si A es el conjunto de personas vivas mayores de 200 años, entonces

A = =

Si B es la solución de x2 = 4 y es impar, entonces

B = x x² = 4, x es impar =

II.2.3Subconjunto.- A es subconjunto de B denotado por A B cuando todo elemento de A es elemento de B ( a A; a B ). Si un subconjunto tiene por lo menos un elemento menos que el otro conjunto entonces se le llama subconjunto propio. Algunos libros denotan “ A subconjunto de B “ con A B y “A subconjunto propio de B “ con A B. Ejemplos:

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El conjunto A = 1, 3, 5 , B = 5, 4, 3, 2, 1 y C = 5, 1, 3 , como todo número 1, 3, 5, de A pertenece a B, entonces:

A B “ A subconjunto propio de B” ; y A C “ A subconjunto de C”

Sean F = x x es potencia entera positiva de 2 y G = x x es par , entonces

F G

II.2.4Conjuntos iguales.- El conjunto A es igual al conjunto B denotado por A = B, si todo elemento de A es elemento de B y si todo elemento de B es elemento de A ( a A; a B y b B; b A ); esto es A B y B A. Ejemplos:

Sean A = 1, 2, 3, 4 y B = 3, 1, 4, 2 , entonces

A = B; es decir 1, 2, 3, 4 = 3, 1, 4, 2

Sean E = x x² - 3x = - 2 ; F = 2, 1 y G = 1, 2, 2, 1 , entonces

E = F = G

II.2.5Conjuntos comparables.- Dos conjuntos A y B se dicen comparables si A B o B A; son no comparables si A B y B A ( A no es subconjunto de B y B no es subconjunto de A). Nótese que si A no es comparable con B, entonces hay en A un elemento que no esta en B y hay también en B un elemento que no esta en A. Ejemplos:

Sean A = a, b y B = a, b, c ; puesto que A B, entonces

A es comparable con B

Sean C = a, b y D = b, c, d ; puesto que a C y a D; c D y c C, entonces

C D y D C y por lo tanto, C y D no son comparables

II.2.6Conjuntos disjuntos.- Si dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes, es decir, si ningún elemento de A esta en B y ningún elemento de B esta en A, se dice que A y B son disjuntos. Ejemplos:

Sean A = x x es número par y B = x x es número impar , entonces

A y B son conjuntos disjuntos, pues no existe número que sea par e impar a la vez.

Sean E = x, y, z y F = r, s, t , entonces

E y F son conjuntos disjuntos

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II.2.7Conjuntos finitos.- Intuitivamente, si un conjunto tiene un número de elementos tal que el proceso de contarlos puede terminar, entonces el conjunto es finito. Si no, es infinito. Ejemplos:

Sean A = x x es un día de la semana , entonces A es finito.

Sea R = x x es un río de la tierra , entonces R es finito

Sea P = 2, 4, 6, 8, ....., entonces P es infinito

II.2.8Conjunto potencia.- La familia de todos los subconjuntos de un conjunto S se llama conjunto potencia de S. Se designa por 2S. Ejemplo:

Sea M = a, b , entonces: 2M = a, b , a , b ,

Sea P = 4, 7, 8 , entonces: 2P = P, 4, 7 , 4, 8 , 7, 8 , 4 , 7 , 8 ,

Si un conjunto es finito, si tiene n elementos, entonces el conjunto potencia tendrá 2n elementos

II.3 OPERACIONES CON CONJUNTOS

En aritmética se suma, resta multiplica y divide, es decir, a cada par o mas números que intervienen en las operaciones mencionadas, se les asigna otro número que es el resultado de la operación efectuada; a continuación se habrán de definir las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento con conjuntos.

II.3.1UNION

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B o tanto a A como a B. Se denota la unión de A y B por

A B que se lee “ A unión B”

Ejemplo: En el diagrama de Venn, la figura A B aparece sombreada

Sean A= a, b, c, d y

B = f, b, d, g ; entonces:

A B = a, b, c, d, f, g

La unión se puede definir también:

A B = x x A o x B A B

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Se puede afirmar que: A B = B A

El conjunto A es subconjunto de A B; el conjunto B también es subconjunto de A B:

A (A B) y B (A B)

En algunos libros, la unión de A y B se denota por A + B y se le llama suma conjuntista de A y B o simplemente A + B.

II.3.2INTERSECCION

La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que son comunes a A y a B, esto es, de aquellos elementos que pertenecen a A y que también pertenecen a B. Se denota la intersección de A y B por

A B que se lee “A intersección B”

En el diagrama de Venn, la figura A B aparece sombreada

Sean A= a, b, c, d y

B = f, b, d, g ; entonces:

A B = b, d

La intersección se puede definir también:

A B = x x A, x B

La coma tiene el significado de “y”

A BSean V = 2, 4, 6, ..., es decir, múltiplos de 2: y sea W = 3, 6, 9, ... , o sean los múltiplos de 3:

V W = 6, 12, 18, ... = x x es múltiplo de 6

De la definición de intersección se sigue que:

A B = B A

Cada uno de los conjuntos A y B contiene al conjunto A B

(A B) A y (A B) B

44

Si dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes, es decir, A y B son disjuntos, entonces la intersección de A y B es el conjunto vacío

A B =

En algunos libros, la intersección de A y B se denota por AB y se llama producto conjuntista de A y B o simplemente A por B.

II.3.3DIFERENCIA

La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que pertenecen a A, pero no a B, se denota la diferencia de A y B por

A B o A \ B

Que se lee “ A diferencia de B “ o simplemente “ A menos B “

En el diagrama de Venn, la figura A \ B aparece sombreada

Sean A= a, b, c, d y

B = f, b, d, g ; entonces:

A \ B = a, c

La diferencia se puede definir también:

A \ B = x x A, x B

La coma tiene el significado de “y”

A BEl conjunto A contiene al conjunto A \ B como subconjunto, esto es:

(A \ B) A

Los conjuntos (A \ B), A B y (B \ A) son mutuamente disjuntos, es decir, la intersección de dos cualesquiera es vacía.

II.3.4COMPLEMENTO

El complemento de un conjunto A es el conjunto de todos los elementos que no pertenecen a A, es decir, la diferencia del conjunto universal U y del conjunto A. Se denota el complemento de A por:

A o Ac 45

En el diagrama de Venn, la figura Ac aparece sombreada, siendo

A= a, b, c, d , B = f, b, g, d y

U = x x es una letra del alfabeto

El complemento de A se puede definir también:

Ac = x x U, x A

O simplemente como

Ac = x x A

De la definición de complemento se tiene que: Ac

1. La unión de cualquier conjunto A y su complemento es el conjunto universal

A Ac = U

2. El conjunto A y su complemento son conjuntos disjuntos

A Ac =

3. El complemento del conjunto universal es el conjunto vacío y viceversa

Uc = c = U

4. El complemento del complemento de un conjunto es el mismo conjunto

(Ac)c = A

5. La diferencia de A y B es igual a la intersección de A y el complemento de B

A \ B = A Bc

EJERCICIOS IV.

46

1.-Sean: U = a, b, c, d, e , A= a, b, d y B = b, d, e ; Hallar:

a) A B, b) B A, c) Bc, d) B A, e) Ac B,f) A Bc, g) Ac Bc, h)B Ac, i) (A B)c, j) (A B)c,

2.-En el diagrama de Venn-Euler

que se proporciona, rayar:

a) A ( B C )

b) (A B) (A C)

c) A ( B C)

d) (A B) (A C)

3.-Sean: U = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, A=1, 2, 3, 4, 5, B=1, 3, 5, 7; y C=2, 5, 6, 7; hallar:

a) A C, b) B A, c) C \ B, d) Bc C, e) Cc A,f) (A \ C)c, g) (A\ Bc )c, h) (A Ac )c , i) C Bc , j) (A B)c,

4.-En los diagramas de Venn-Euler que se proporcionan, rayar:

a) W \ V b)Vc W c) V Wc d) Vc \ Wc

5.-En forma tabular, determinar los conjuntos N, Z y R ( enteros positivos, enteros y reales).

6.-En forma constructiva, define los intervalos abierto, cerrado, abierto-cerrado y cerrado-abierto: estos son: (a, b); [a, b]; (a, b] y [a, b).

II.4 TECNICAS DE CONTAR

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II.4.1 PRINCIPIOS DE LA MULTIPLICACION Y LA ADICION

a) Principio de la multiplicación.- Si los sucesos P1, P2, P3,. . . ., Pr ocurren de n1, n2, n3, . . . ., nr maneras diferentes respectivamente, entonces el suceso (P1 y P2 y P3 y . . . Pr ) ocurre de ( n1 n2 n3 . . nr

) formas diferentes. Este es el llamado principio de la multiplicación o principio fundamental del análisis combinatorio.

Ejemplo: Una persona ha de realizar un viaje con gastos pagados a cualquiera de los tres lugares señalados (Acapulco, Puerto Vallarta o Cozumel), en cualquiera de los dos medios de transporte (avión o tren) y acompañado por alguna de las tres personas indicadas (papá, padrino o hermano); ¿De cuántas maneras es posible que realice el viaje?

P1 = Destinos; P2 = Transporte y P3 = Acompañantes

n1 =3 maneras; n2 = 2 maneras y

n3 =3 maneras

Las formas en que pueden ocurrir los sucesos P1 y P2 y P3 de las n1 y n2 y n3

maneras diferentes son: n1 n2 n3 = (3) (2) (3) = 18 maneras diferentes tal como se esquematiza en el diagrama.

1. Determinar la cantidad de números telefónicos que pueden existir en la ciudad de Torreón, Coah. Si constan de 6 dígitos y el primero puede ser 1 o 2 o 3 o 5.

2. Determinar la cantidad de placas para automóvil en el estado de Durango si la primera letra es F ( alfabeto de 25 letras ) y tiene 7 caracteres ( 3 letras y 4 números ).

3. Determinar las formas de seleccionar un automóvil si hay tres maneras de pago con cuatro colores y dos modelos.

b) Principio de la adición.- Si los sucesos P1, P2, P3,. . . ., Pr ocurren de n1, n2, n3, . . . ., nr formas diferentes, entonces el suceso (P1 o P2 o P3 o . . . Pr ) ocurre de ( n1 + n2+ n3 + . . + nr ) maneras diferentes.

Ejemplo: Una pareja que cuenta con el dinero del enganche de una casa, tiene las siguientes alternativas

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En el primer fraccionamiento le ofrecen tres opciones diferentes y en el segundo dos, de tal manera que tiene

3 + 2 OPCIONES

La opción que elija será o bien del primer fraccionamiento o del segundo.

1. Calcular las alternativas de un estudiante para seleccionar su carrera, si en la Facultad de Ciencias le interesan tres carreras, en la de Ingeniería cinco y en la de Ciencias Químicas seis.

2. Una persona presentó su solicitud de trabajo en tres empresas distintas. En la primera existen tres puestos diferentes, en la segunda cuatro y en la tercera uno. Su hermano solicitó empleo en dos compañías que le ofrecen cinco puestos en una y tres en la otra. ¿Quién tiene mas posibilidades de selección?.

3. En una familia el papá tiene tres sacos, cuatro pantalones, dos pares de zapatos y cinco corbatas. La mamá tiene dos vestidos, tres trajes, cinco sombreros, tres pares de zapatos y tres bolsas. El hijo dispone de cuatro pantalones, seis camisas y dos pares de zapatos. ¿De cuántas maneras puede ir vestida la familia a una fiesta?. Aplicar los dos principios estudiados.

II.4.2 ORDENACION CON REPETICION.

Los arreglos con repetición de “k” elementos de un conjunto original con “n” elementos son las ordenaciones con repetición de los “n” elementos de un conjunto tomándolos de “k” en “k”. Se simbolizan con:

( OR ) kn = nk con k >=< n

Ejemplo: En el lanzamiento de una moneda al aire, los posibles resultados son {A, S}, (conjunto original de dos elementos);

si se lanza dos veces: {AA, SA, AS, SS};si se lanza tres veces: {AAA, SAA, ASA, SSA, AAS, SAS, ASS, SSS };

Para todos los casos, sería:

2 arreglos con un elemento2 (2) = 22 arreglos con 2 elementos22 (2) = 23 arreglos con 3 elementos23 (2) = 24 arreglos con 4 elementos24 (2) = 25 arreglos con 5 elementos

( OR ) 52 = 25 = 32 arreglos con cinco elementos

49

Considerando ahora un conjunto original de tres elementos y sus posibles arreglos, sucede:

de los que se tienen tres arreglos de un elemento:

3 arreglos

A partir de estos se generan los arreglos de dos elementos:

3 (3) = 9 arreglos.

Los arreglos de tres elementos deben ser:

9 (3) = 27 arreglos

Generalizando, se tiene:

n arreglos de 1 elementon (n) = n2 arreglos de 2 elementosn2 (n) = n3 arreglos de 3 elementosn3 (n) = n4 arreglos de 4 elementos

. .

. .

. .

. .nk-2 (n) = nk-1 arreglos de k-1 elementosnk-1 (n) = nk arreglos de k elementos

50

Lo que nos lleva a: ( OR ) kn = nk con k >=< n

1. Cuántos números se pueden formar con los dígitos 3, 4, 5 y 6

a) de dos o más dígitos; ( OR ) 24 = 42 = 16; ( OR ) 3

4 = 43 = 64; ( OR ) 44 = 44 = 256;

b) de tres dígitos y que sean pares; ( OR ) 34 = 43 = 64; 64 2 = 32

2. Dadas las letras A, B y C:

a) ¿Cuántas claves se pueden formar con cuatro letras?; ( OR ) 43 = 34 = 81

b) ¿Cuántas claves se pueden formar con tres letras?; ( OR ) 33 = 33 = 27

c) ¿ Cuántas claves se pueden formar con dos letras?; ( OR ) 23 = 32 = 9

II.4.3 ORDENACION SIN REPETICION.

Los arreglos sin repetición de “k” elementos de un conjunto original de “n” elementos, son las ordenaciones sin repetición de “n” elementos de un conjunto tomados de “k” en “k” y se simbolizan por:

O nk = n (n-1) (n-2) (n-3) . . . . . . [ n- (k-1)] con k n

Se desea nombrar una directiva integrada por tres miembros (presidente, secretario y tesorero) seleccionados de un total de cinco personas.

El puesto de presidente lo puede ocupar cualquiera de las cinco personas

Para el siguiente puesto (secretario), sólo se dispone de cuatro del total de cinco

Las pareja S1S1, S2S2, S3S3, S4S4 y S5S5 no se consideran porque una misma persona no debe ocupar dos puestos al mismo tiempo.

Para el puesto de tesorero, sólo se dispone de las tres personas restantes.

51

Las tercias como S1S2S1 quedan excluidas por la razón ya expuesta

Analizando lo expuesto:

Arreglos de un solo elemento del conjunto igual al número de ellos.

5 arreglos

Si a los arreglos de un solo elemento, se les asignan las cuatro personas restantes, se generan

5 (4) = 20 arreglos

Si a los arreglos de dos elementos, se les asignan los tres restantes, se generan

20 (3) = 60 arreglos

Si en lugar de tres, se tratara de cuatro integrantes en la directiva, serían

60 (2) = 120 arreglos

Por último (no podría existir un sexto puesto), una directiva con cinco puestos

120 (1) = 120 arreglos

Generalizando, para un conjunto de n elementos, se obtiene:

n arreglos sin repetición de un elemento

n (n - 1) arreglos sin repetición de dos elementos

n (n - 1) (n –2) arreglos sin repetición de tres elementos. .

n (n - 1) (n –2) . . . . . . [ n- (k-1)] arreglos sin repetición de k elementos

Que nos conduce a:

O nk = n (n-1) (n-2) (n-3) . . . . . . [ n- (k-1)] conk n

Para el caso del planteamiento inicial:

Como n = 5, k = 3: y [ n- (k-1)] = [ 5- (3-1)] = 3

O nk = O 5

3 = 5 (5-1) (5-2) = 5 (4) (3) = 60;

52

O 53 = 60

1. De cuantas maneras se pueden ordenar 15 libros en 10 lugares diferentes.

Como n = 15 y k = 10; [ n- (k-1)] = [ 15- (10-1)] = 6

O nk = O 15

10 = 15 (14) (13) (12) (11) (10) (9) (8) (7) (6) = 10 897 286 400

2. De cuantas maneras se pueden estacionar 5 coches en 8 lugares de un estacionamiento.

Como n = 8 y k = 5; [ n- (k-1)] = [ 8- (5-1)] = 4

O nk = O 8

5 = 8 (7) (6) (5) (4) = 6 720

3. De cuantas maneras pueden sentarse 12 personas en una fila con 20 lugares.

Como n = 20 y k = 12; [ n- (k-1)] = [ 20- (12-1)] = 9

O nk = O 20

12 = 20 (19) (18) (17) (16) (15) (14) (13) (12) (11) (10) (9) = 6.0339831552 1013

II.4.4 NOTACION FACTORIAL.

Al producto de los primeros n números enteros positivos desde 1 hasta n se le llama factorial de n, se denota por n y se lee “ n factorial ”. Por definición 0 = 1.

n = 1 2 3 ( n – 2 ) ( n – 1 ) n

2 = 1 2 = 2; 5 = 1 2 3 4 5 = 120; 8 6 = 8 7 6 6 = 8 7 = 56

3 = 1 2 3 = 6; 12 11 10 = 12 11 10 9 9 = 12 9

II.4.5 PERMUTACIONES.

Una ordenación de un conjunto de n objetos en un orden dado se llama una permutación de los objetos (tomados todos a la vez). Una ordenación de un número r de dichos objetos, r n, en un orden dado se llama permutación r o una permutación de los n objetos tomados r a la vez. En el primer caso, las permutaciones se denotan por nPn o por P(n,n) o por Pn; en el segundo, nPr o P(n,r). El cálculo de los arreglos indicados se determina por:

nPr = P(n,r) = n (n – r)

Cuando r = n (es decir, tomados todos a la vez), se tiene:

nPn = P(n,n) = n (n – n) = n (0) = n 1 = n; entonces resulta:

53

nPn = P(n,n) = Pn = n

Cuando se desea calcular el número de permutaciones en que en los n objetos hay n 1 objetos iguales, n2

objetos iguales, n3 objetos iguales .....donde n1 + n2 +n3 + ....= n; entonces:

Pn = n [(n1 )( n2 )( n3 ) ...... ( nr)]; permutaciones con repetición.

Ejemplos:

1. Con el conjunto {a, b, c, d, e, f}, encontrar el número de permutaciones tomadas tres a la vez:

P(n,r) = n (n – r) = P(6,3) = 6 (6 – 3) = 6 3 = (6 5 4 3 ) 3 = 6 5 4 = 120;

se forman 120 arreglos tomadas tres a la vez

2. ¿Cuántos números de tres dígitos se pueden formar con 2, 3, 5, 6, 7 y 9 ?

P(n,r) = n (n – r) = P(6,3) = 6 (6 – 3) = 6 3 = (6 5 4 3 ) 3 = 6 5 4 = 120;

a) ¿Cuántos de estos son menores de 400 ?

2 5 4 = 2 5 4 = 40

b) ¿Cuántos de estos son pares ?

5 4 2 = 5 4 2 = 40

c) ¿Cuántos impares ?

5 4 4 = 5 4 4 = 80

d) ¿Cuántos de estos son múltiplos de 5 ?

5 4 1 = 5 4 1 = 20

3. Con las letras de la palabra “ col “ se forman

nPn = P(n,n) = P(3,3) = 3 = 1 2 3 = 6; { col, loc, clo, lco, ocl, olc } arreglos

4. Con el conjunto de letras { a, b, c, d } se forman

54

nPn = 4P4 = 4 = 1 2 3 4 = 24 arreglos de cuatro letras tomadas cuatro a la vez;

5. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar en una reunión 7 personas en una fila con 7 sillas ? ¿y en mesa redonda ?

nPn = 7P7 = 7 = 7 6 5 4 3 2 1 = 5 040 maneras de acomodarse en 7 sillas6 = 6 5 4 3 2 1 = 720 maneras de acomodarse en mesa redonda

Esto es una permutación circular. En general, n objetos se pueden distribuir en un círculo de (n–1) maneras.

6. ¿De cuántas maneras pueden sentarse en una fila tres hombres y dos mujeres?

P(n,n) = P(5,5) = 5 = 5 4 3 2 1 = 120 maneras de sentarse en una fila

a) ¿Y si los hombres se sientan juntos y las mujeres también?

las mujeres: 2 = 2 1 = 2los hombres: 3 = 3 2 1 = 6

hombres juntos, mujeres juntas:

H H H M M M M H H H

Total de maneras = 2 6 2 = 24

b) ¿Y si las mujeres se sientan juntas ?

M M H H H H M M H H H H M M H H H H M M

Total de maneras 4 2 3 = 4 2 6 = 48

7. ¿De cuántas maneras se pueden colocar en una fila 2 italianos, 3 americanos, 4 franceses y 4 alemanes y que queden por nacionalidades?. ¿Y en forma circular?

Por nacionalidades hay 4 maneras de colocarse y en cada nacionalidad 2 3 4 4 ; en total4 2 3 4 4 = 165 888 maneras de colocarse.

3 2 3 4 4 = 41 472 maneras de colocarse circularmente.

8. Determinar las palabras que se pueden formar con las letras de “ala”:

Pn = n [ (n1)(+ n2 )( n3 ) ......( nr ) ]= 3 2 = 3; { ala, aal, laa }

9. Determinar las palabras que se pueden formar con las letras de “estadísticas”:

55

Pn = n [ (n1 )( n2 )( n3 ) ...... ( nr ) ] = 12 [(3 )( 2 )( 2 )( 2 ) ]= 9 979 200

12 (doce letras de la palabra), 3 ( tres “s”), 2 (dos “t”), 2 (dos “i”), 2 (dos “a”).

II.4.6 COMBINACIONES.

Una combinación de n objetos diferentes tomados de r en r es una selección de r de los n objetos en donde el orden no se tiene en cuenta. El número de combinaciones de n objetos tomados de r en r se representa con nCr o C(n,r) o Cn,r o (n

r ) y viene dado por:

nCr = n r (n – r) = nPr r Ejemplo:

1. Encontrar las combinaciones de las letras { a, b, c, d }tomadas tres a la vez.

Estas son : { a, b, c } { a, b, d } { a, c, d } y { b, c, d }

{ a, b, c } { a, c, b } { b, a, c } { b, c, a } { c, a, b } { c, b, a } son la misma combinación, cada una representa el mismo conjunto.

Cada una de las cuatro combinaciones encontradas produce 3 permutaciones. El número de combinaciones multiplicado por 3 nos da el total de permutaciones del caso.

Combinaciones Permutacionesabc abc acb bac bca cab cbaabd abd adb bad bda dab dbaacd acd adc cda cad dac dcabcd bcd bdc cbd cdb dcb dbc

4C3 3 = 4P3 o 4C3 = 4P3 3

3 = 3 2 1 = 6

4P3 = 4 (4 – 3) = (4 3 2 1) 1 = 244C3 = 24 6 = 3; o seanCr = n r (n – r) = nPr r

2. ¿Cuántos comités de tres integrantes se pueden formar si hay ocho personas?

8C3 = 8 3 (8 – 3) = 8 3 5 = (8 7 6 5) 3 5 = (8 7 6 )(3 2 1 )= 56 comités

3. Un equipo consta de nueve hombres y tres mujeres:a) ¿De cuántas maneras se puede escoger un grupo de cuatro?

56

12C4 = 12 4 (12 – 4) = 12 8 4 = (12 11 10 9 8) 8 4 = (12 11 10 9) (4 3 2 1 )= 495 maneras

b) ¿Cuántos grupos tendrán por lo menos una mujer?

12C4 - 9C4 = 495 - [ 9 4 (9 – 4) ] = 495 – [ 9 5 4 ] = = 495 – [ (9 8 7 6) (4 3 2 1) ] = 495 – 126 = 369 grupos

c) ¿Cuántos tendrán exactamente una mujer?

3 [ 9C3 ] = 3 [ 9 3 (9 – 3) ] = 3 [ 9 6 3 ] = 3 [(9 8 7 ) (3 2 1) ] == 3 3 4 7 = 252 grupos

4. Un estudiante tiene que resolver 10 preguntas de 13 en un examen.

a) ¿Cuántas maneras de escoger tiene?

13C10 = 13 10 (13 – 10) = 13 10 3 = (13 12 11) 6 = 286 maneras

b) ¿Cuántas, si las dos primeras son obligatorias?

11C8 = 11 8 (11 – 8) = 11 8 3 = (11 10 9) 6 = 165 maneras

c) ¿Cuántas, si una de las dos primeras es obligatoria?

2 [ 11C9 ] = 2 [ 11 9 (11 – 9) ] = 2 [ (11 10 ) 2 ] = 110 maneras

d) ¿Cuántas, si tiene que contestar exactamente tres de las cinco primeras?

5C3 8C7 = [ 5 3 (5 – 3) ] [ 8 7 ( 8 – 7 ) ] = [ (5 4) 2 ] [ 8 1 ] =

=[ 10 ] [ 8 ] = 80 manerase) ¿Cuántas, si tiene que contestar por lo menos tres de las cinco primeras?

5C3 8C7 + 5C4 8C6 + 5C5 8C5 = 276 maneras

PROPIEDADES DE LAS COMBINACIONES.

Algunas propiedades de las combinaciones son las siguientes:

I ( n0 ) = 1 II ( n

n ) = 1

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III ( nr ) = ( n

n-r ) ; propiedad de simetría IV ( nr ) = ( n-1

r-1 ) + ( n-1r )

II.4.7 TEOREMA DEL BINOMIO.

Una combinación C (n,r) o nCr , como se indicó anteriormente, también puede denotarse por (nr ) donde

n y r son enteros positivos y r n. A (nr ) también se le llama coeficiente del binomio. De lo anterior,

resulta una forma de desarrollar el binomio ( a + b ) n mediante el teorema del binomio; este teorema, se resume en la siguiente expresión:

Analicemos ahora el comportamiento del binomio ( a + b )n para algunos valores positivos de n en relación con las combinaciones:

En el desarrollo de ( a + b ) n debe observarse que:A. Hay n + 1 términos.

B. La suma de los exponentes de a y b en cada término es n.

C. Los exponentes de a decrecen en una unidad desde n hasta 0; los de b crecen de 0 a n.

D. El coeficiente de cualquier término es ( nr ) donde r es el exponente de a o de b.

E. Los coeficientes de términos equidistantes de los extremos son iguales.

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F. ( nr ) tiene exactamente r factores tanto en el numerador como en el denominador.

Ejemplos:

1. ( 64 ) = [ (6 5 4 3 ) (1 2 3 4) ] = ( 6

2 ) = [ (6 5 ) (1 2 ) ] = 15

2. ( 1210 ) = [ (12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 ) (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10) ]

= 66

= ( 122 ) = [ (12 11 ) (1 2 ) ] = 66

3. ( 3x + y )4 = 81 x4 + 108 x3y + 54 x2 y2 +12 x y3 + y4

n = 4

para r = 0; ( 40 ) ( 3x ) 4-0 y0 = [ 1 ] (3x )4 ( 1 ) = 81 x4

para r = 1; ( 41 ) ( 3x ) 4-1 y1 = [ (4 ) (1 ) ] (3x )3 ( y ) = 108 x3y

para r = 2; ( 42 ) ( 3x ) 4-2 y2 = [ (4 3 ) (1 2 ) ] (3x )2 ( y2 ) = 54 x2 y2

para r = 3; ( 43 ) ( 3x ) 4-3 y3 = [ (4 3 2 ) (1 2 3 ) ] (3x )1 ( y3 ) = 12 x y3

para r = 4; ( 44 ) ( 3x ) 4-4 y4 = [ 1 ] (3x )0 ( y4 ) = y4

5. (3 + x )5 =(50)(3)5-0 x0 +(5

1)(3)5-1 x1 +(52)(3)5-2 x2 +(5

3)(3)5-3 x3 +(54)(3)5-4 x4 +(5

5)(3)5-5 x5 =

= [1] (3)5 (1) + [5](3 )4 (x) + [10](3)3(x)2 + [10](3)2 (x)3 + [5](3) (x )4 + [1](1) (x )5 =

= 243 + 405 x + 270 x2 + 90 x3 + 15 x4 + x 5

EJERCICIOS V.

1. ¿ De cuántas maneras pueden ser colocadas en una fila con cinco posiciones 5 esferas de diferentes colores?

2. ¿ De cuántas formas pueden 10 personas sentarse en un banco con capacidad para 4 personas?

3. ¿ Cuántos números de 4 cifras pueden formarse con los dígitos 0, 1, 2, ............, 9 si:

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a) los dígitos pueden repetirse?b) los dígitos no pueden repetirse?c) el último dígito ha de ser cero y estos no pueden repetirse?

4. 4 libros distintos de matemáticas, 6 diferentes de física y 2 diferentes de química se colocan en un estante. ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar si:

a) los libros de cada asignatura deben estar todos juntos?b) solamente los de matemáticas deben estar juntos?

5. ¿De cuántas maneras 10 objetos pueden dividirse en dos grupos de 4 y 6 objetos respectivamente?

6. ¿Cuántas señales diferentes se pueden formar con 8 banderas colocadas en línea vertical, si 4 son rojas, 2 azules y 2 verdes?

7. Una señora tiene 11 amigos de confianza. ¿De cuántas maneras puede

a) invitara 5 de ellos a comer?b) invitar a 5 de ellos si 2 son casados y no asiste uno sin el otro?c) invitar a 5 de ellos si 2 no la llevan bien y no asisten juntos?

8. ¿ De cuántas maneras se puede elegir un comité de 5 integrantes de entre 9 personas?

9. De un total de 5 matemáticos y 7 físicos se forma un equipo con 2 matemáticos y 3 físicos. ¿De cuántas maneras puede formarse si:

a) puede pertenecer a él cualquier matemático y físico?b) un físico determinado debe pertenecer al equipo?c) dos matemáticos determinados no deben pertenecer al equipo?

10. Resolver, aplicando el teorema del binomio:

a) ( 2x + 6 )6

b) ( 3x + y )5

c) ( 2x + 3y )4

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