IMII_GUIA_EJERCICIOS_14_2

FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERA CIVIL

ASIGNATURA: INGENIERA MATEMTICA II

TEMA: UNIDADES 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7

DOCENTE: Dr. LUIS PAIHUA MONTES Ms. FIDEL JARA HUANCA

GUA DE EJERCICIOS

SEMESTRE ACADMICO 2014-II

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1

Este material de enseanza se hace en concordancia con lo dispuesto por la legislacin sobre derechos de autor:

Ley 13714 Art 69.- Pueden ser reproducidos y difundidos breves fragmentos de obras literarias, cientficas y artsticas, y an la obra entera, si su breve extensin y naturaleza lo justifican siempre que la reproduccin se haga con fines culturales y no comerciales, y que ella no entrae competencia desleal para el autor en cuanto a aprovechamiento pecuniario de la obra, debiendo indicarse, en todo caso, el nombre del autor, el ttulo de la obra y la fuente de donde se hubieren tomado.


3

GUA DE EJERCICOS

INGENIERA MATEMTICA II

UNIDAD 1: VARIABLE COMPLEJA En la presente unidad realizaremos un estudio de las funciones analticas complejas, as como el estudio del potencial complejo 1.- Identificar en el plano complejo la regin que verifica la relacin dada:

a) 12

izz b) 21

iz c) 1

11

zz

d) 2 2| 1| | 1| 4z z e) 2Re( 2 ) 1z z f) 2Im( 2 ) 1z z

2.- Determinar el dominio natural de la funcin compleja

a) iz

zw

21 b)

1|1|2 2

z

izw c) zz

w4

12

3.- Calcular el mdulo y el argumento principal del complejo z (valor principal de z) a) )1ln( iz 1)1( iiz b) 1)1( iiz c) )1()1( iiz d) iiz )1( 4.- Hallar la parte real e imaginaria de las siguientes funciones. a) 14)( 2 zzzf b) zzzf 32)( 3 c) )1/(11)( zzf d) ( ) ( )f z i z z e) 2( ) ( 2)if z e z f) 2( ) 1 1/ (1 1/ )f z z 5.- Ver si la funcin dada es continua en el origen, si suponemos que f(0)=0. a) ||/)Re()( zzizf b) ||/)Re()( 22 zzzf c) |)|1/()Im()( zzzf 6.- Encuentre la derivada de la funcin f(z), en el caso de existir. a) 32 )4()( zzf b) zzf )( c) 2/1)( zzf

d) 2||)( zzf e) zzzf /1)( f) z

zf

1

1)(

7.- Analizar la analiticidad de las siguientes funciones. a) zzzf )( b) )Im()( zzf c) zzf /1)(


4

d) 2||)( zzf e) zzzf /1)( f) z

zf

1

1)(

8.- Dado el mapeo 3)21( ziw , hallar y trazar las grficas de las imgenes de las curvas o regiones dadas. a) x=-1, 0, 1, 2 b) y=0, 1, 2, 3 c) |z|=1 d) 0x e) 0y f) |x|+|y|=1 9.- En el mapeo zw /1 , determinar las rectas que se mapean sobre: a) Rectas b) Circunferencias. 10.- Representar las curvas siguientes en el plano complejo (z=x+yi), en la forma z=z(t). a) 22xy b) 122 yx c) 922 yx d) 44 22 yx e) xy /1 11.- Determinar los puntos donde el mapeo w=f(z) deja de ser conforme, siendo: a) zzw 55 b) 6zw c) zzw /1

12.- Simplificar 2

53 (1 )81

i iw i ii i

13.- Describir geomtricamente la regin 2/ Re 01

izR z Ciz

14.- Analizar la diferenciabilidad de la funcin compleja: 3 2 2 2 2 3( ) 2 3 2 5 3 4f x iy x x xy y y x yi xyi y i xi 15.- Determine la imagen de la regin limitada por las curvas y=x+2 , y=x2 cuando

aplicamos la funcin: a) f(z)=(3+4i)z-2 b) ( )f z z 16.- Determine la imagen del tringulo de vrtices P=3+4i , Q=-4+2i y R=i cuando

aplicamos la funcin compleja:

a) ( ) 2f z iz b) 1( ) if zz z

17.- Dada la funcin compleja f(z) que explica el comportamiento del flujo de cierto fluido, determine las lneas de corriente y las curvas equipotenciales, describa la naturaleza del flujo.

a. ( )f z z d. 2 2( ) ( )f z xy i x y b. ( )f z z i z e. 2( ) (f z x i x x y c. ( ) 2f z z z f. ( ) ( )f z x y ix


5

18.- Dada la funcin compleja F(z) potencial complejo de flujo de cierto fluido, identifique la forma que tienen las lneas de corriente y describa la naturaleza del flujo.

a. ( ) iF zz

d. ( ) ln( )F z z

b. 3( )F z iz e. 1( )F z zz

c. 2( )F z z iz f. ( ) ln(1/ )F z z 19.- Para cada flujo del ejercicio 17 y 18 calcular la circulacin y la velocidad media del

flujo a lo largo de C orientado positivamente, siendo:

a. 20,4: 22 xyxC b. 4: 22 yxC

UNIDAD 2: ERRORES Y PROPAGACIN En la presente unidad determinaremos la propagacin de errores a travs de conCeptos y propiedades concernientes a esta unidad. 1.- Si los valores numricos estn correctamente redondeados, determinar el rango en el que se encuentra el calor A.

a) 04.0

46.0354.2 A b)

41.1452.175.2256.3

A

2.- En la ecuacin 02ln2 xx queremos hallar la solucin con una tolerancia de la milsima. Halle el peor valor aproximado de ln2 que se emplea en la ecuacin para hallar la solucin mencionada. 3.- Para cada caso discutir la manera adecuada de calcular f(x+h)-f(x) con el objeto de tener la menor propagacin de error.

a) f(x)=x3 x=6789.1245786 h=10 8 b) f(x)=cos(x) x=13.61356817 h=10 8

UNIDAD 3: RESOLUCIN DE UNA ECUACIN DIFERENCIAL Encontraremos una tabla de valores las cuales nos ayudaran a construir curvas muy prximas al de la solucin exacta. 1.- Resolver con paso 0.1 las ecuaciones diferenciales dadas.

a) 5.0)1(

'

yyx

xyy

x=1.1, , 2 b) 5.0)1(

'

yyxy x=1.1,, 2


6

c) 0)0(

)(1'

yxyxseny

x=0.1,,1 d) 5.0)0(

' 22

yyyxy

x=0.1,,2

2.- Dados los problemas de valor inicial

a)

2)0(;2)0(03

yyyyyx

halle 10..1;1,0 jjy e 10..1;1,0 jjy .

b)

0)1(;2)1(3yyxxyy

halle 10..1;1,01 jjy e 10..1;1,01 jjy .

3.- Dado los problemas de valores en la frontera.

a)

2)2(;2)0(03

yyyyyx

, encuentre 4..0);5,0( jjy por medio de las diferencias

finitas

b)

0)1(;2)1(3yyxxyy

, encuentre 4..0);5,01( jjy por medio de las diferencias

finitas 3.- La funcin compleja f(z) modela el comportamiento del flujo de cierto fluido, halle y grafique las 5 lneas de corriente que contienen en forma respectiva a los puntos (0 ; -1), (0 ; -0.5) , (0; 0) , (0; 0.5) , (0 ; 1) si: a) iyxyxzf )1()1()( 22 b) 1)( zzizf

c) zzizf )(

UNIDAD 4: ECUACIONES NO LINEALES En esta unidad localizaremos los ceros de las funciones y emplearemos mtodos adecuados para la determinacin de dichos ceros bajo cierta precisin. 1.- Localizar las races de las funciones dadas. a) 32 667.09.321.61.2)( xxxzf b) )2cos()10()( xxsenxf c) 4|)(|)( 2 xsenxxf d) 1)tan()( xxxf 2.- Empleando cada mtodo estudiado en clase hallar la solucin ms pequea en mdulo de la ecuacin dada, con una tolerancia de la milsima. a) 0667.09.321.61.2 32 xxx b) 0)2cos()10( xxsen


7

c) 4|)(|2 xsenx d) 1)tan( xx 3.- Un cuadro de 2m. de altura est colocado en una pared vertical a 3m. del piso. A qu distancia de la pared deber colocarse un hombre cuyos ojos se encuentran a 1,70 del piso para contemplar el cuadro bajo un ngulo de 20. Use el mtodo numrico, para obtener la respuesta con un error menor que 1mm.

UNIDAD 5: APROXIMACIN En la presente unidad realizaremos aproximaciones as como la de predecir valores a travs de valores observados. 1.- Dada la siguiente informacin:

X -1 0 1 2 3 F(X) 2 1 2 -7 10

a) Aproximar F(0.5) empleando una cuadrtica y estime el error. b) Aproximar F(0.5) empleando una cbica y estime el error. c) Entre los valores aproximado en la parte (a) y (b) .Cul considera mejor?

3.- Para la informacin dada, proponer una curva de ajuste de mnimos cuadrados, y estimar el valor de la funcin en x = a. a) a=0.5

X -1 0 1 2 3 F(X) 2 1 2 -7 10

b) a=1.5

X 0 1 2 3 4 F(X) 0.15 3.32 4.5 3.15 10.5

2 m

3 m

1.70 m


8

4. En cierto contexto experimental se obtuvieron los siguientes datos: Volumen V

54,3 61,8 72,4 88,7 118,6 194,0

Presin P

61,2 49,5 37,6 28,4 19,2 10,1

De acuerdo con los principios de la termodinmica la presin P de una gas con el volumen V estn relacionados como bPV a donde bya son constantes. Se desea estimar P cuando V = 100. Adems se cuentan con los siguientes datos:

6953,11)log(6

1

iiV , 7975,8)log(

6

1

iiP , 0059,23)log(

6

1

2 i

iV y

8543,16)log()log(6

1

iii VP

5. Cuando un cuerpo es calentado su densidad cambia. La densidad a la temperatura t viene dada por la frmula:

00

1 ttt

donde :0 densidad (gr/cm

3) a la temperatura t0 de referencia. : coeficiente de expansin volumtrica(1/C)

Para determinar y0 para el cido ntrico a la temperatura de 20C, se midio la densidad a diferentes temperaturas y se obtuvo:

TC t 19 1,5102 21 1,5098 24 1,5093 25 1,5091 28 1,5085 30 1,5081 32 1,5077 35 1,5072

Determine los parmetros 6.- Determinar si el spline cbico natural que interpola la tabla X 0 1 2 3 Y 1 1 0 10

Coincide o no con la funcin

3;2,2-x3-2-92-4

2;1,1-41-3-1-x2-1

1;0,x-1

32

32

3

xxx

xxx

xx

xf


9

7. Determinar a,b,c para que

3;1,1-1-1-21

1;0,23

3

xcxbxax

xxxf

sea un spline cbico. Es un spline cbico natural? UNIDAD 6 APROXIMACIN DE LA INTEGRAL (CUADRATURA-CUBICACIN) Realizaremos aproximaciones de la integral bajo cierto mtodos de integracin numrica teniendo en cuenta cierta precisin. 1.- Para la informacin dada, calcular el rea debajo la curva f(x) en el intervalo [a,b] y estimar el error. a) a=-2 b=4

.x -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 .f(x) 1.9 0.7 0.2 0.1 0.1 2.7 4.9 8.4 13.6 22.1 35.6

b) a=0 b=5

X 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 F(X) 0.15 1.91 3.32 3.5 4.5 3.8 3.15 2.5 10.5 11.5

2.- Aproximar con una tolerancia de la milsima las siguientes integrales

a) dxx

1

0 311

b) 1

0

)sen( dxx

x

c) 30

0

15/

4250 dze

zz z d) dx

xxsene x

3

0 21)(

UNIDAD 7: SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES En la presente unidad emplearemos los mtodos directos e iterativos para la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales. 1. - Resuelva el sistema de ecuaciones:

27x8x10x927x10x9x8

24x9x8x7

321

321

321

=++=++

=++

Ahora resulvalo otra vez, pero cambiando el nmero 24 de la primera ecuacin por 23,9 y el nmero 27 de la segunda ecuacin por 27,1, Cmo se llam en el primer laboratorio a este tipo de problemas.


10

2.- En los siguientes sistemas de ecuaciones:

a. Determine si las matrices de coeficientes de los sistemas son diagonales predominantes.

b. Halle la matriz CMXX/M += . c. Calcule los parmetros de convergencia y .

d. De cumplirse las condiciones suficientes de convergencia, establezca el criterio

de parada para obtener la solucin con cuatro cifras decimales exactas, segn los mtodos iterativos de Jacobi y de Seidel.

13=x10+x2-x3-x413=-xx10+x3+x5

4=x2+x4-x10-x315=x2+x3+x2-x10

4321

4321

4321

4321

+ 7=x12+x2x2-x10=-xx9+x2+x3

3=+xx4-x1-x1=x2++xx2-x1

4321

4321

4321

4321

2-=x10+x4-x3-x47-=-xx10+x3+x54=x2+x4-x10-x312=x2+x3+x2-x10

4321

4321

4321

4321

+++

++

6=x10+x2x3x41=xx10+x3+x52=x2+x4x10-x33=x4+x4+x5x10

4321

4321

4321

4321

PROYECTOS APLICADOS A INGENIERA CIVIL Proyecto 1: Dada la siguiente informacin: Z=f(x,y) x \ y

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0 1.5 2.5 4.2 6.5 9.2 14.5 16.0 10.5 7.5 4.6 2.5 5 3.0 5.1 6.5 8.1 9.7 11.5 12.5 10.2 8.5 6.5 3.7

10 4.5 6.9 7.3 9.5 10.5 8.7 9.5 7.5 6.2 5.6 4.2 15 7.2 8.3 8.5 8.9 11.1 9.2 10.5 10.9 8.6 4.5 7.5 20 8.0 9.6 10.5 13.2 12.3 13.7 14.0 11.0 9.5 3.5 6.5 25 9.5 10.5 12.5 14.2 15.0 16.5 15.0 12.1 10.1 5.5 6.2 30 7.6 9.0 10.5 11.5 12.0 12.5 13.5 11.5 8.6 6.8 5.5 35 5.5 7.6 9.2 10.3 11.1 9.7 8.9 11.0 7.5 6.2 3.5 40 4.2 5.5 7.5 8.5 9.6 8.6 7.0 8.6 6.5 5.5 4.0 45 3.5 4.5 6.3 8.0 9.0 8.0 6.7 6.5 6.0 5.0 3.6 50 3 4.0 5.6 7.6 8.5 7.2 6.1 5.2 4.5 3.0 2.5

a) Empleando la base de soporte finito de grado 1, 2 y 3 y un asistente adecuado aproximar z=f(x,y) y graficar dicha superficie.


11

b) Empleando la base de soporte finita lineal y el trazados spline cbico trazar las curvas de nivel correspondiente a z= 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15

c) Hay variacin en las curvas de nivel si empleamos la base de soporte finito cbico?

Proyecto 2: La siguiente informacin corresponde a puntos P(x,y,z) del espacio que corresponden a la superficie z=f(x,y): (0 , 0, 2) (5, 4, 8.5) (7, 10, 10.5) (2, 6, 13.5) (3, 12, 11.4) (10, 5, 9.5) (0, 8, 9.5)

a) Considerando R la regin poligonal formada por los puntos dados, calcular

R

dAyxf ),( (cubicar) empleando la interpolacin lineal .

b) Hacer la misma cubicacin empleando base de grado mayor a 1 de soporte finita.

c) Trazar las curvas de nivel z=3, 5, 7, 9, 11 empleando el trazador spline.


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UNIVERSIDAD RICARDO PALMA Facultad de Ingeniera

Escuela de Ingeniera Civil Ingeniera Matemtica II

Examen Parcial Ciclo 2011_01

Profesores : Fidel Jara _Luis Paihua Secciones : Todas Tiempo : 120 minutos. Nota.

Lea bien las preguntas y responda adecuadamente. Recuerde que parte de la pregunta es el entendimiento e interpretacin del

problema. Justifique todas sus repuestas, pues ello se tomar en cuenta en la

calificacin de su prueba. Puede hacer uso de su calculadora cientfica. 1. Considerando la ecuacin no lineal: 3cos2 xx

a. Pruebe que la raz se encuentra en el intervalo 2;1 . (1 pto) b. Teniendo en cuenta el tem (a), Cuntas iteraciones debo realizar segn el

mtodo de Biseccin para obtener una raz aproximada con tres cifras decimales exactas?

(2 ptos) c. Teniendo en cuenta el mtodo de Newton, realice cuatro iteraciones prximas

a la raz y luego estime el error correspondiente a la ltima iteracin. (2 ptos)

2. Dado la funcin zizzf )1;1(2)( 2

a. Es

0;

0;1;1)(

_______

zi

zz

zfzh continua en 0z ? (2 ptos)

b. Es zfzzg Re)(__

derivable en (0,0)? (2 ptos) c. Es analtica f en 0z ? (1 pto)

3. Dado el potencial complejo de un flujo: 1;12 zzzF a. Grafique dos lneas equipotenciales. (1 pto) b. Grafique dos lneas de corriente, indicando el sentido del flujo. (2 ptos) c. Encuentre el vector velocidad, as como la velocidad del flujo. (2 ptos)


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4. Un ingeniero desea determinar la distancia d desde la lnea de mira hasta la torre

Si en las medidas lineales h y H se han cometido errores mximos del orden de 0,04 y 0.03 respectivamente. Y en la medida angular 23,27 se ha cometido un error mximo del orden 0.01.

a. Encontrar la cota de error mximo cometido al determinar el valor numrico

de la distancia d. (3 ptos)

b. Encuentre el intervalo donde se encontrara el valor exacto de la distancia d. (2 ptos) Surco 09 de Mayo de 2011.

= 27,23

d

H = 50,58 m

h =1,72


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Examen final Ciclo 2011_01


Lea bien las preguntas y responda adecuadamente. Recuerde que parte de la pregunta es el entendimiento e interpretacin del problema. Justifique todas sus repuestas, pues ello se tomar en cuenta en la calificacin de su

prueba. Puede hacer uso de su calculadora cientfica.

1) Sea claro y concreto en su respuesta: (2 ptos) a. Qu es un proceso iterativo lineal? b. Qu es Interpolacin de una funcin?

2) Dado la aplicacin izzizf )(

a. Determine la parte real e imaginaria de f . (1 pto) b. Grafique la regin del plano complejo

2/1 Re Im( ) 1 ReD z C z z z (2 ptos) c. Determine el mapeo de la regin D del item (b) mediante izzfzg )( . (2 ptos)

3) En cierto experimento se obtuvieron los siguientes datos:

x 3 5 8 9 f(x) 5 7 10 15

a. Halle la tabla de diferencias segn el mtodo de Newton. (2 ptos) b. Halle aproximadamente f (5.3) mediante un polinomio de segundo grado indicando su

error respectivo. (3 ptos)

4) Dado el problema de valor inicial 32 , (1) 0tdut u t e udt

Empleando el mtodo de Euler con h=0,1 halle el valor aproximado de y(1,1), y(1,2), y(1,3), y(1,4), y(1,5) y determine los errores respectivos si la solucin exacta es eettu t 2 (3 ptos)

5) La superficie del techo de una residencia est dada por yxyxf exp2; . a. Halle el volumen de una columna prismtica cuya base es:

4,22;5,21/; yxyxR mediante el mtodo del trapecio con pasos 5.0x y 2.0y . (2.5 ptos)

b. Mediante elementos triangulares encuentre el volumen de una columna prismtica que involucre los siguientes puntos 4,2;5,2,2,2;2,4,2;5,0;2,2;5,0,2;5,0 (2.5 ptos)

Entrega de notas: Prof. Luis Paihua Martes 5, hora 8 a.m. Aula G21 (Lab. Hidraulica) Prof. Fidel Jara


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UNIVERSIDAD RICARDO PALMA

Facultad de Ingeniera Escuela de Ingeniera Civil

Ingeniera Matemtica II Prctica Calificada N 1

Ciclo 2012_01 Profesores : Fidel Jara _Luis Paihua Secciones : Todas Tiempo : 90 minutos. Fecha : 13/04/12 Nota.



1. Responda adecuadamente a los siguientes tems.

a. Simplifique 21 (1 )

( 1;1) 4i iw

y exprselo en forma polar (2 ptos)

b. Describa geomtricamente el cociente de dos nmeros complejos (2 ptos)

c. Dada la funcin de transferencia de un sistema 4

2

( 1)( )8 4)( 2)

z zH zz z

describa en

el plano complejo los ceros y polos de H(z) (Nota: Los polos son los ceros del denominador)

(2 ptos) 2. Describa en el plano complejo la siguiente regin .

2{ / Im( 2 ) 2; Im( ) 4 Re( )}R z C z z z z (4 ptos)

3. Dada las funciones complejas

2 2

2| |( ) z zf z

z

y

22( )

zg z

z .

a. Halle si existe 0

lim ( ) ( )z

f z g z

(3 ptos)

b. Es ( ) 0

( )

(1;0) 0

z zf z zz zh z

z

, continua en z=(1;0) (2 ptos)

4. Dada la funcin compleja 3 2( ) 4f z z jz jz .

a. Describa la parte real e imaginaria de 1( ) ( )g z f zz

(2 ptos)

b. Si R es la regin acotada por el tringulo de vrtices A(1;1), B(3;4), C(5;6) y 3( ) 4( ) f z zh z

z

, grafique ( )h R . (3 ptos)


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Escuela de Ingeniera Civil Ingeniera Matemtica II Prctica Calificada N 2

Ciclo 2012_01 Profesores : Fidel Jara _Luis Paihua Secciones : Todas Tiempo : 90 minutos. Fecha : 18/05/12 Nota.



1. Responda adecuadamente a los siguientes tems.

a. Es

2 1 (0;1)( )

2 (0;1)

z zg z z j

j z

continua en z=(0;1)? (1.5ptos)

b. Describa en el plano complejo la siguiente regin: 2{ / Im( ) 0; Re( ) Im( )}R z C jz z z (1.5 ptos)

2. Dado el potencial complejo 2( ) 2f z jz z a. Describa geomtricamente las lneas equipotenciales asociadas a las curvas de nivel

correspondiente c=0 y c=1 (2 ptos) b. Describa el comportamiento del flujo. (4 ptos)

3. Dada la funcin ( , ) cos( ) 2xu x y e y xy a. Es u una funcin armnica? (2 ptos) b. Encontrar todas las funciones armnicas conjugadas de u tal que f u vj sea

analtica. (3 ptos) 4. La figura muestra el piso de la entrada principal a un parque de diversiones cuyo

espesor es constante e igual a 0.60 m; dicha estructura es de concreto armado y su ingreso est limitado por un arco parablico cuya ecuacin se indica y el piso terminado correspondiente. Teniendo en cuenta que en las medidas se cometi un error de 0.02 m. a. Halle la cota mxima al calcular el rea de la regin sombreada. b. Determine en que rango se encuentra el valor exacto del rea sombreada.

(6 ptos)

5.12 244 ( 4.11)9

y x

8.22 m


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Escuela de Ingeniera Civil Ingeniera Matemtica II Prctica Calificada N 3

Ciclo 2012_01 Profesores : Fidel Jara _Luis Paihua Secciones : Todas Tiempo : 90 minutos. Nota.


problema. Justifique todas sus repuestas, pues ello se tomar en cuenta en la calificacin de

su prueba. Puede hacer uso de su calculadora cientfica.

1. Sea claro y justifique su respuesta.

a. Si un cero de la funcin f(x) se encuentra en el intervalo [356 , 358], cuntas iteraciones se deben realizar como mnimo para determinar este cero con error de una diezmilsima? (1 pto)

b. Explique geomtricamente el mtodo de la secante (2 ptos) c. Qu entiende por propagacin de error? (1 pto)

2.

3.

4. Dada la funcin 2( ) 1xf x x xe

a. Halle el cero de f(x) que se encuentra en el intervalo [ 1 , 2] empleando el

mtodo de Newton. (3.5 ptos)

b. Proponga dos algoritmos de Aproximacin sucesiva que permita hallar el cero que reencuentra en el intervalo [-1 , 0] (3.5 ptos)

c. Con uno de los algoritmos propuestos en el item (a) calcule con dos decimales exactos dicho cero. (1 pto)

Dada la funcin ( ) (3 4 )( )f z i z i , determine la imagen de la figura dada (justifique su respuesta)

(4 ptos)

2 2 2 4x y 2

Si las medidas lineales son los nicos valores que tienen un error mximo del 1%, determine el rango en que se encuentra el rea del tringulo ABC (4 ptos)

A 25 30 m B 40 m C


18


Escuela de Ingeniera Civil

Ingeniera Matemtica II Practica Calificada No.4

Ciclo 2012_01

Profesore : Fidel Jara, Luis Paihua Tiempo : 90 minutos. Nota.

Lea bien las preguntas y responda adecuadamente. Recuerde que parte de la pregunta es el entendimiento e interpretacin del problema. Justifique todas sus repuestas, pues ello se tomar en cuenta en la calificacin de su prueba. Puede hacer uso de su calculadora cientfica.

1) Describa el flujo cuyo potencial complejo es zzjzF 2)( (3 ptos) 2) Conteste adecuadamente a los siguientes tems (Justifique):

d. D una interpretacin geomtrica del Mtodo de Euler. (1 ptos) e. D una diferencia y una semejanza entre los mtodos de interpolacin e

integracin numrica . (2 pto) f. En qu consiste la interpolacin numrica? (2 ptos)

3) En cierto experimento se encontraron los siguientes datos: X 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 2,3 2,5 Y 10 7 4 3 1 4 5 6 4 7 5 3

a. Describa el sistema normal asociado al modelo xbay , teniendo en cuenta

slo los cinco primeros datos. (2 ptos)

b. Halle la mejor aproximadamente de la integral 5,2

1,0

)( dxxy , estime el error

(5 ptos)

4) Dado el problema de valor inicial

3)2(8

23

y

yxydxdyy

Halle el valor aproximado de (1,9) , (1,8) , 1,7 , (1,6) (1,5)y y y y e y mediante el mtodo de Euler y estime el error en el valor y(1,6) hallado. (5 ptos)


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Ingeniera Matemtica II Examen Parcial Ciclo 2012_01



problema. Justifique todas sus repuestas, pues ello se tomar en cuenta en la calificacin de

su prueba. Puede hacer uso de su calculadora cientfica. 5. Sea claro y justifique su respuesta.

a. D una diferencia y una semejanza entre los conceptos de error y un error relativo. Ejemplifique. (2 ptos)

b. Qu es propagacin de error? Ejemplifique (2 ptos)

c. Halle el mdulo y argumento principal del valor principal (3 4 )( 1 ) ii

(1 pto)

6. Dada la funcin real 2( , ) (2 )xu x y e sen y x , determine el armnico conjugado respectivo de modo que la funcin ( , ) ( , ) ( , )f x y u x u i v x y sea analtica.

(3 ptos) 7. Dado la funcin 2( ) 3 (2;1)f z iz z

a. Es

_______

2; 1; 0( ) 6

; 0

f zzh z z

i z

continua en 0z ? (2 ptos)

b. Es analtica ( ) ( ) zg z f z e en 0z ? (1 pto)

c. Grafique las lneas equipotenciales para los niveles k=-1, 0 (1 pto)

d. Describa la naturaleza del flujo (3 ptos)


20

8. Un ingeniero desea determinar la altura H de la torre

Si en las medidas y d se han cometido errores mximos del 0.1%.

c. Encontrar la cota de error mximo cometido al determinar el valor numrico de la altura H. (4 ptos)

d. Encuentre el intervalo donde se encontrara el valor exacto de la altura H. (1 ptos)

Surco 07 de Mayo de 2012.

= 25,3

d = 120,58 m

H

h =1,72


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UNIVERSIDAD RICARDO PALMA

Facultad de Ingeniera Escuela de Ingeniera Civil

Ingeniera Matemtica II

Examen Final Ciclo 2012_01




9. Sea claro y justifique su respuesta.

a. Dar una semejanza y una diferencia entre Interpolacin y Ajuste, en el contexto de la aproximacin de una funcin. (2ptos)

b. Mencionar al menos 3 diferencias existentes entre el mtodo del Trapecio y Simpson, en el contexto de la integracin numrica. (2ptos)

10. La fuerza del viento distribuida sobre el lado de un rascacielos se registra como: Alturs (m)/10 0 3 6 9 12 15 18 21 24 Fuerza (N/m)/100 0 3.5 10 15 30 33 35 36

a. Empleando una cbica, halle el valor que falta, estime el error. (3ptos) b. Empleando el valor hallado en la parte (a), calcule la fuerza total sobre la

lnea de accin debida a esta distribucin del viento, estime el error. (3ptos) 11. La ecuacin que permite explica mejor la velocidad de cada de un objeto

teniendo en cuenta la resistencia del viento es:

max

, (0) 0b

dv c vg v a vdt m v

, resolver para t=1, 2, 3, 4, 5 s, siendo

g=9.8m/s2, c=12.5 kg/s , m=68.1 kg, a=8.3, b=2.2, vmax=46 (4ptos) 12. Dada la funcin compleja ( ) 1f z iz z , determine la ecuacin de la imagen

que se obtiene al aplicar la funcin f(z) sobre la parbola 2 1x y . (3ptos)

13. Si el potencial complejo de flujo es 2F z i z z i a. Grafique las lneas de corriente de nivel k= -1, 0 (1.5ptos) b. Teniendo en cuenta el resultado anterior describa el flujo. (1.5ptos)

Surco 02 de Julio de 2012.


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Ciclo 2013_02 Profesores : Fidel Jara _Luis Paihua Secciones : Todas Duracin : 90 minutos. Fecha : 13/09/13 Indicaciones:

Apague todo dispositivo electrnico de comunicacin, caso contrario se anular la evaluacin. Recuerde que parte de la pregunta es el entendimiento e interpretacin del problema. Los temas desarrollados con lpiz no tienen lugar a reclamo, use bolgrafo.

--------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Responda adecuadamente a los siguientes tems:

a. Describa en forma polar el nmero 15)33(

73391

j

jjW

(2 ptos)

b. Halle el mdulo y argumento principal de: )43()22( jjz (1 pto)

c. Calcular

jjW

31ln (1 pto)

d. Describa geomtricamente la siguiente regin:

411ImRe/

zzjCzR

(2 ptos) e. La funcin zzzf ||)( 2 , en qu puntos del plano complejo tiene derivada? En

el caso de existir halle dicha derivada. (2 ptos)

f. En el caso de existir calcular )(0

zfLimz

, siendo zzzzf

22 ||)(

(2 ptos)

2. Dada la funcin compleja ziz

zf 1)( . (5 ptos)

a. Determine )(Rf , donde R es una circunferencia de radio r = 2. b. Si D es la regin triangular de vrtices A(1;1), B(3;4) y C(5;3), explique la forma

que tiene Dg , siendo zizfzg .

3. Sea la funcin real yxseneyeyxv yx )()cos(),( . (5 ptos) a. Verificar que es armnica. b. Halle la funcin real ),( yxu de modo que ),(),()( yxviyxuzf sea una

funcin analtica.


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Ingeniera Matemtica II PC2

Ciclo 2013_02 Profesores : Fidel Jara _Luis Paihua Secciones : Todas Tiempo : 90 minutos. Nota.



1. Responda adecuadamente a los siguientes tems(Justifique):

a. D dos diferencias entre el estudio de los dos casos en el contexto de flujo de fluidos a partir de funciones complejas.

(1 pto) b. En qu consiste el error sistemtico? Ejemplifique. (1 pto) c. En qu consiste la propagacin de errores? (1 pto) d. Es cierto que dc

cd

1 ? (1 pto)

2. Dada la funcin compleja zzjzf 1;12

2 .

Describa geomtricamente Rf donde R es regin acotada por las curvas: 62 xy ; xy . (3 ptos)

3. Para la siguiente funcin compleja que representa el campo de velocidad de un flujo de fluido 2;1 zjzf . a. Encuentre y grafique dos lneas de corriente. (2 ptos) b. Describa la naturaleza del flujo de fluido. (3 ptos) c. Halle la circulacin a lo largo de la curva 0,04: 22 yxyxC ,

desde el punto (2;0) al punto (0;1). (2 ptos)

4. Se tiene un recipiente cilndrico para almacenar granos de cierto cereal, cuyo uno de sus extremos esta coronado por un cono. La longitud de la parte cilndrica tiene una medida de 12m. con una confiabilidad de

.003.0 m mientras que el radio y la altura del cono miden 4,50m y 6m respectivamente, con una confiabilidad de m015.0 y

m018.0 respectivamente. a. Halle la confiabilidad en la medicin de su volumen. (4 ptos)

b. En qu rango se encuentra el valor de su volumen respectivo?

(2 ptos) Surco, 27 Setiembre 3013


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Ingeniera Matemtica II Practica Calificada No.3

Ciclo 2013_02

Profesores: Fidel Jara Luis Paihua Tiempo : 90 minutos. Nota.

Lea bien las preguntas y responda adecuadamente. Recuerde que parte de la pregunta es el entendimiento e interpretacin del problema. Justifique todas sus repuestas, pues ello se tomar en cuenta en la calificacin de su prueba. Puede hacer uso de su calculadora cientfica pero no programable.

6) Conteste adecuadamente a los siguientes tems (Justifique):

g. Describa geomtricamente el mtodo de Euler (2 ptos)

h. De una diferencia y una semejanza entre los mtodos de Euler y Runge-Kutta2. (2 ptos)

i. Describa geomtricamente el mtodo de aproximacin sucesiva en el contexto de ecuaciones no lineales. (1 pto)

j. De una diferencia y una semejanza entre los mtodos de Biseccin y Newton en el contexto de ecuaciones no lineales. (2 ptos)

7) Dado el potencial complejo de una flujo de fluido jzzzF 22

a. Describa las lineales equipotenciales asociadas a las constantes k = 1 y k = 2. (1 pto)

b. Describa la naturaleza del flujo de fluido. (3 ptos)

8) Dado el problema de valor en la frontera

50)4(;102

200)(1)(22

TTdr

rdTrdr

rTd. Usando

aproximaciones de las derivadas por medio de diferencias finitas encuentre un sistema de ecuaciones que permita encontrar los valores aproximados de 5.3;3;5.2 TTT .

(4 ptos)

9) Dado el problema de valor inicial

2)1(4

23

y

xyxdxdyx

a. Halle el valor aproximado de )4,1(3,1,)2,1(,)1,1( yeyyy mediante el mtodo de Euler. (3 ptos)

b. Halle el valor aproximado de )2,1(y mediante el mtodo de RK-2. (1 pto)

c. Halle el error del valor y(1,4) encontrado en la parte (a). (1 pto)


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Ciclo 2013_02 Profesores : Fidel Jara _Luis Paihua Secciones : Todas Duracin : 90 minutos. Fecha : 22/11/13 Indicaciones:

Apague todo dispositivo electrnico de comunicacin, caso contrario se anular la evaluacin. Recuerde que parte de la pregunta es el entendimiento e interpretacin del problema. Los temas desarrollados con lpiz no tienen lugar a reclamo, use bolgrafo.

--------------------------------------------------------------------------------------------- 4. Responda adecuadamente a los siguientes tems:

a. Indicar una diferencia fundamental entre Interpolacin y Ajuste (1 pto)

b. Indicar la diferencia ms importante entre el mtodo del Trapecio y Simpson

(1 pto)

5. Justificando su procedimiento determine la forma que tiene la imagen de la regin dada en la figura al aplicar la funcin )(zf siendo: (3 ptos)

6. Dado el potencial complejo 1)( 2 jzzzF de cierto flujo de fluido, grafique

dos lneas de corriente indicando el nivel respectivo oriente y explique el comportamiento de este flujo. (3 ptos)

7. Dada la tabla siguiente:

x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

f(x) 1.2 2.5 5.8 3.5 2.2 1 3.1 4.5 5.6

a) Calcular el valor aproximado de 4

0)( dxxf , con el menor error posible, indicar

cual es ese error. (4 ptos)

2 -2

zzf 1)(


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b) Con lo aprendido en clase, si es posible halle el valor aproximado de 4.5

0( )f x dx

estimando su error. (4 ptos)

8. En cierto experimento se encontraron los siguientes datos:

X 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 2,5 Y 5 6 4 7 5 3

Describa el sistema normal asociado al modelo xbay , teniendo en cuenta la

informacin dada y determine los valores de a y b. (4 ptos)


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Examen Parcial Ciclo 2013_02

Profesores : Fidel Jara _Luis Paihua Secciones : Todas Fecha:07/10/2013 Duracin: 120 minutos. Indicaciones:

Apague y guarde todo medio de comunicacin electrnico, en caso contrario se anula el examen.

Puede emplear calculadora que no sea programable ni tenga capacidad de graficar. Examen desarrollado con lpiz no tiene lugar a reclamo. Recuerde que parte de la pregunta es el entendimiento e interpretacin del problema. Justifique todas sus repuestas, pues ello se tomar en cuenta en la calificacin de su prueba. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

9. Responder adecuadamente a los siguientes tems:

a. De una diferencia y una semejanza entre el estudio de los dos casos en el contexto

de flujo de fluidos a partir de funciones complejas. (1 pto)

b. De una diferencia y una semejanza entre los conceptos de error absoluto y relativo. (1 pto)

c. La funcin zzzf 2||)( , en qu puntos del plano complejo tiene derivada? (2 ptos)


411ReRe/

zzjCzR .

(2 ptos)

10. La funcin compleja jyx

yyx

xzf

222222)( , donde jyxz , representa el

campo de velocidad de cierto flujo de fluido. a. Determine las lneas de corriente y diga que forma tienen. (2 ptos)

b. Grafique y explique la orientacin de la lnea de corriente que pasa por el punto

(-1 ; 2). (1.5 ptos) c. Determine la circulacin a lo largo de la curva de ecuacin 122 yx en el

sentido antihorario. (1.5 ptos)

11. Dada la funcin compleja zjzzf )3,1()( 2 , describa geomtricamente )(Rf , siendo R la regin acotada por la siguientes curvas 8;22 yxyx . (2.5 ptos)

12. La velocidad del flujo de salida de un fluido ideal por un orificio en el lado de un

tanque est dada por: Pv 2 .


28

Si los errores relativos mximo cometidos en la medicin de Pyv son del orden del 0.1% y 0.3% respectivamente, determine una cota mxima de error relativo en la medicin de . (2.5 ptos)

13. La siguiente funcin )(2010)( 75,02,0 xx eexf mide el nivel de oxgeno a x

kilmetros aguas abajo del punto de descarga de aguas residuales. La lectura de 2 unidades del nivel de oxgeno es a una distancia x* que est en el intervalo [0 ; 3,2] a. Cuntas iteraciones como mnimo son necesarias para hallar el valor x*con tres

decimales exactos si aplicara el mtodo de biseccin? (1 pto)

b. Haga dos iteraciones empleando el mtodo de biseccin. (1 pto) c. Tomando el intervalo que se obtiene en el tem (b) en la segunda iteracin, haga 3

iteraciones con el mtodo de Newton y determine la precisin de este ltimo valor hallado. (2 ptos)


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Ingeniera Matemtica II Examen final Ciclo 2013_02

Profesores : Fidel Jara _Luis Paihua Secciones : Todas Fecha:07/10/2013 Duracin: 120 minutos. --------------------------------------------------------------------------------------------------------- NOTA: Apellidos y nombres: Cdigo: ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Indicaciones: Apague y guarde todo medio de comunicacin electrnico, en caso contrario se anula el examen. Puede emplear calculadora que no sea programable ni tenga capacidad de graficar. Examen desarrollado con lpiz no tiene lugar a reclamo. Recuerde que parte de la pregunta es el entendimiento e interpretacin del problema. Justifique todas sus repuestas, pues ello se tomar en cuenta en la calificacin de su prueba. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Responder adecuadamente a los siguientes tems: a. De una diferencia y una semejanza entre el estudio de los dos casos en el contexto de flujo de fluidos a partir de funciones complejas. (1 pto) b. De una diferencia y una semejanza entre los conceptos de error absoluto y relativo. (1 pto) c. La funcin zzzf 2||)( , en qu puntos del plano complejo tiene derivada? (2 ptos)


411ReRe/

zzjCzR .

(2 ptos)

2. La funcin compleja jyx

yyx

xzf

222222)( , donde jyxz , representa el

campo de velocidad de cierto flujo de fluido.

a. Determine las lneas de corriente y diga que forma tienen. (2 ptos) b. Grafique y explique la orientacin de la lnea de corriente que pasa por el punto (-1

; 2). (1.5 ptos) c. Determine la circulacin a lo largo de la curva de ecuacin 122 yx en el

sentido antihorario. (1.5 ptos)


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3. Dada la funcin compleja zjzzf )3,1()( 2 , describa geomtricamente )(Rf , siendo R la regin acotada por la siguientes curvas 8;22 yxyx . (2.5 ptos) 4. La velocidad del flujo de salida de un fluido ideal por un orificio en el lado de un

tanque est dada por: Pv 2 .

Si los errores relativos mximo cometidos en la medicin de Pyv son del orden del 0.1% y 0.3% respectivamente, determine una cota mxima de error relativo en la medicin de . (2.5 ptos) 5. La siguiente funcin )(2010)( 75,02,0 xx eexf mide el nivel de oxgeno a x kilmetros aguas abajo del punto de descarga de aguas residuales. La lectura de 2 unidades del nivel de oxgeno es a una distancia x* que est en el intervalo [0 ; 3,2] d. Cuntas iteraciones como mnimo son necesarias para hallar el valor x*con tres decimales exactos si aplicara el mtodo de biseccin? (1 pto) e. Haga dos iteraciones empleando el mtodo de biseccin. (1 pto) f. Tomando el intervalo que se obtiene en el tem (b) en la segunda iteracin, haga 3 iteraciones con el mtodo de Newton y determine la precisin de este ltimo valor hallado. (2 ptos)


IMII_GUIA_EJERCICIOS_14_2

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