An�alisis de Gran Uni� a i�on SUSY SU(5) onsiderando efe tos de umbralAlfredo Raya Monta~noFebrero de 1999

�Indi e General1 Introdu i�on 11.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 ANTECEDENTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1 PROS Y CONTRAS DE GRAN UNIFICACION 61.2.2 SUPERSIMETRIA COMO TEORIA DE GRANUNIFICACION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3 OSCILADOR SUPERSIMETRICO . . . . . . . . 161.2.4 LAS ECUACIONES DEL GRUPO DE RENOR-MALIZACION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 An�alisis 252.1 SU(5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2 SUSY-SU(5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Efe tos de Umbral 334 Con lusiones 37

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ii �INDICE GENERALTABLA DE ABREVIACIONESGUT. Teor�ia de Gran Uni� a i�on. Grand Uni�ed Theory.SUSY. Supersimetr��a.ME. Modelo Est�andar.MEMS. Modelo Est�andar M��nimo Supersim�etri o.EGR. E ua iones del Grupo de Renormaliza i�on.QED. Ele tridin�ami a Cu�anti a. Quantum Ele tro-Dymani s.QCD. Cromodin�ami a Cu�anti a. Quantum Chromo-Dynami s.Adem�as estamos usando unidades naturales �h = = 1.

Cap��tulo 1Introdu i�on1.1 INTRODUCCIONEn el presente trabajo se expone un an�alisis de uni� a i�on de las on-stantes de a oplamiento de las intera iones fundamentales a primer or-den en dos Teor��as de Gran Uni� a i�on (GUT's), SU(5) y SUSY SU(5), on la in lusi�on en esta �ultima de efe tos de umbral.El inter�es por efe tuar un estudio de Gran Uni� a i�on na i�o de lain lina i�on personal al estudio de la f��si a te�ori a de las part�� ulas ele-mentales, en parti ular de la f��si a m�as all�a del Modelo Est�andar, quees el modelo de los onstituyentes fundamentales de la materia y lasintera iones fundamentales entre ellos. Ya que el Modelo Est�andarno es una teor��a �nal. La f��si a m�as all�a de este modelo se estudia enel mundo a diferentes niveles, siempre en la b�usqueda de la Teor��a deTodo. Por los al an es del trabajo, la sele i�on de las GUT's se hizo enbase a la simpli idad de estas teor��as y la est�eti a de in orporar super-simetr��a, es de ir, una simetr��a en la que a ada bos�on le orrespondeun fermi�on y vi eversa.La importan ia del modelo radi a en la onsidera i�on de un espe -tro no degenerado de part�� ulas supersim�etri as o spart�� ulas, tal omolo vemos en el Modelo Est�andar, en lugar de ha erlo omo antes, esde ir, onsiderando que todas las spart�� ulas apare en en la misma re-1

2 CAP�ITULO 1. INTRODUCCI �ONgi�on de energ��a. El trabajo puede ser importante para la gente que sededi a a la f��si a de altas energ��as, tanto por el lado de part�� ulas ele-mentales omo en el de osmolog��a, debido a la dependen ia que tienenalgunos modelos en los par�ametros de uni� a i�on, el a oplamiento deuni� a i�on y la es ala de energ��a a la que esta o urre, as�� omo laspredi iones que de ella se deriven, omo el tiempo de vida del prot�on.A nivel mundial los trabajos de gran uni� a i�on han versado en in-tegrar las e ua iones de grupo de renormaliza i�on hasta las es alas derompimiento de la GUT y de aqu�� hasta la es ala de uni� a i�on y expre-sar los resultados de uni� a i�on en t�erminos de datos experimentales opar�ametros tales omo el n�umero de familias de fermiones y higgses delmodelo. Adem�as se han bus ado otros grupos de uni� a i�on y se handepurado modelos ha i�endolos m�as realistas on in lusiones de efe tosde umbral tanto ligeros omo a la es ala de uni� a i�on e in luso bus- ando simetr��as m�as altas.El inter�es prin ipal del trabajo onsisti�o en repetir un an�alisis t��pi oa primer orden, de manera que se pudieran obtener resultados anal��ti osy a ontinua i�on, repetir el an�alisis on la in lusi�on de los efe tos deumbral omo t�erminos de orre i�on. Originalmentemente se hab��a onsiderado trabajar en 3 GUT's: SU(5), SUSY-SU(5) y LR-SO(10),pero varias di� ultades fueron apare iendo, primeramente la literaturarevisada era en su mayor��a in ompatible on el proye to ini ial, y la queera ompatible fue muy dif�� il de lo alizar. No se sab��a on exa titud �omo introdu ir los efe tos de umbral para las GUTs, y adem�as por ladisposi i�on de tiempo, se de idi�o abandonar LR-SO(10) y enfo arse enSU(5) y SUSY-SU(5).Una vez determinados los modelos a analizar, se trat�o de in lu��r losefe tos de umbral omo originalmente se hab��a pensado, pero surgierondi� ultades para al ular los t�erminos de orre i�on, as�� que se de idi�oin orporar estos efe tos modi� ando los oe� ientes beta de las E ua- iones del Grupo de Renormaliza i�on a la apari i�on de ada part�� ulasupersim�etri a, en vez de evolu ionar las e ua iones hasta la es ala deuni� a i�on y agregar los t�erminos de orre i�on que, �nalmente, mez- laban esquemas de renormaliza i�on.

1.1. INTRODUCCION 3Para pro eder al an�alisis, se onsider�o un espe tro de masas depart�� ulas supersim�etri as de un modelo de supergravedad on t�erminosde ruptura suave de SUSY, on un onjunto de valores parti ularespara estos t�erminos, y la modi� a i�on de los oe� ientes beta para esteespe tro, datos que hab��an sido publi ados on anterioridad; se al- ular��a enton es una expresi�on para la evolu i�on de las onstantes dea oplamiento on este espe tro en parti ular.A �n de obtener la expresi�on para la evolu i�on de las onstantes dea oplamiento on la in lusi�on de efe tos de umbral, se integraron lasEGR on los oe� ientes beta del Modelo Est�andar desde la es ala ele -trod�ebil hasta la masa del higgsino, se modi� aron los oe� ientes betay se integraron de nuevo las e ua iones hasta la masa de los sleptonesdere hos, se volvieron a modi� ar los oe� ientes beta y se repiti�o elpro eso hasta la apari i�on del gluino ompletando as�� 9 etapas, que sonlas masas del higgsino, sleptones dere hos, wino, sleptones izquierdos,stop dere ho, stop izquierdo, primera y segunda genera i�on de squarksy gluino. A partir de esta �ultima etapa, se integraron las EGR on lasbetas supersim�etri as hasta la es ala de uni� a i�on.

4 CAP�ITULO 1. INTRODUCCI �ON1.2 ANTECEDENTESEl Modelo Est�andar est�a basado en el grupo de norma SU(3)C �SU(2)L � U(1)Y . En �el se tienen los onstituyentes fundamentales dela materia, y las intera iones entre ellos. Cuatro son las diferentesintera iones, Fuertes o de olor, las responsables de mantener los pro-tones dentro del n�u leo, D�ebiles, las responsables de la radia tividad,Ele tromagn�eti as y Gravita ionales que nos son omunes en la expe-rien ia otidiana. Estas �ultimas pueden ser despre iadas dentro de unrango de energ��as de hasta 1019GeV , o es ala de Plan k. El espe trode part�� ulas del ME onsta de fermiones, part�� ulas de esp��n 12 , queson tres familias de leptones y tres de quarks, los bosones de norma deesp��n 1, que son los uantos de las intera iones, 8 gluones para la in-tera i�on Fuerte, W� y Z0 para la D�ebil y para la Ele tromagm�eti a,as�� omo un Higgs de esp��n 0 que es responsable de la masa de todas laspart�� ulas. El ME es roto espont�aneamente al grupo SU(3)C�U(1)Q auna es ala del energ��a del orden de MZ o es ala Ele trod�ebil. A pesarde su apa idad para des ribir todos los datos experimentales que setienen, y su �exito al prede ir nuevos fen�omenos, el Modelo Est�andarno puede ser onsiderado omo una teor��a �nal. De he ho no es unaTeor��a de Uni� a i�on, pues hay tres diferentes intera iones, ada una on su onstante de a oplamiento.La idea es en ial de Gran Uni� a i�on es intentar meter al SU(3)C�SU(2)L�U(1)Y en alg�un grupo simple G que tenga una sola onstantede a oplamiento, y suponer que a altas energ��as, sobre alguna es alade uni� a i�on MX , todos los fen�omenos satisfa en la simetr��a de G.Las diferentes onstantes de a oplamiento observadas a bajas energ��aspodr��an resultar del rompimiento espont�aneo de G, primero a la es alaMX y luego a la es ala MZ . Alternativamente, el rompimiento de Gpuede ser un pro eso en varias etapas on diferentes es alas MX . Los andidatos para grupo de uni� a i�on G deben satisfa er iertos requi-sitos:

1.2. ANTECEDENTES 5� Debe ser al menos de rango 4, ya que G debe ontener al ModeloEst�andar.� G debe tener representa iones omplejas.� G debe tener una sola onstante de a oplamiento, para que todaslas intera iones est�en realmente uni� adas.� Los fermiones ono idos deber ajustarse a las representa iones deG, y, omo una teor��a de norma debe ser renormalizable, estedebe ser libre de anomal��as.El grupo m�as simple de rango 4 que satisfa e los requisitos anteri-ores es SU(5) y fue onsiderado mu ho tiempo omo el Grupo de Uni�- a i�on. Se ha observado que en realidad las onstantes de a oplamientoen este grupo se uni� an a pares, pero no las tres, de aqu�� la ne esidadde bus ar grupos m�as grandes, o onsiderar la posibilidad de in lu��rsupersimetr��a.Supersimetr��a es una idea que aso ia a ada part�� ula del ModeloEst�andar una spart�� ula on esp��n �12 de el de la part�� ula original. Altener m�as part�� ulas, la evolu i�on de las onstantes de a oplamiento alintegrar las EGR se modi� a. Al prin ipio uno supone que todas laspart�� ulas supersim�etri as apare en a ierta es ala, llamada es ala deSUSYMS, y que se tiene la uni� a i�on de las onstantes de a oplamien-to a ierta es ala MX .De esta forma, aunque se tiene la uni� a i�on de las onstantes dea oplamiento, el modelo no es muy realista, pues en la naturaleza se ob-serva que las part�� ulas elementales tienen diferente masa. Por esto sein luyen los efe tos de umbral, teniendo as�� que modi� ar la evolu i�onde las onstantes de a oplamiento ada vez que aparez a una spart�� ula,y una vez que apare i�o la �ultima, ontinuar la evolu i�on hasta la es alade uni� a i�on.Antes de ono er los par�ametros de uni� a i�on en los t�erminos denuestro inter�es, es ne esario presentar los ante edentes del estudio deGran Uni� a i�on, sus por qu�es y sus problemas.

6 CAP�ITULO 1. INTRODUCCI �ON1.2.1 PROS Y CONTRAS DE GRAN UNIFICA-CIONAunque Gran Uni� a i�on es una ontinua i�on natural del ModeloEst�andar, no es del todo inevitable. Algunos argumentos a favor deGran Uni� a i�on, que se subdividen en aquellos argumentos generalespara las Teor��as de Norma y aquellos basados en detalles del ModeloEst�andar, son listados a ontinua i�on:Para las Teor��as de Norma:� El �exito de la Teor��a Ele trod�ebil.� La universalidad del Prin ipio de Norma, omo se eviden ia en elME y en gravita i�on.� La probable trivialidad de Teor��as Es alares Puras.� Las buenas propiedades intr��nse as de las Teor��as de Norma, no-tablemente su origen geom�etri o, su libertad asint�oti a y su pre-sumible onexi�on on on�namientos.� La on ordan ia entre Gran Uni� a i�on y Cosmolog��a.Para los del ME son:� El �exito detallado (hasta nuestros d��as) del ME.� La posibilidad de que alguna GUT ofrez a solu i�on a la may-or debilidad del ME, que es la existen ia de tres onstantes dea oplamiento independientes.� La uantiza i�on de la arga el�e tri a para un G simple.� La existen ia de una es ala del #(1015GeV ) a la ual las tres on-stantes de a oplamiento se aproximan (in luso se logran uni� ar)a una sola.� El he ho de que esta es ala ae abruptamente en un onjuntoa otado por el de aimiento del prot�on y la masa de Plan k.

1.2. ANTECEDENTES 7� La existen ia de un me anismo previamente orroborado paraexpli ar el rompimiento de G al ME.� La forma natural en la que las familias ono idas de fermiones seajustan en las representa iones fundamentales de SU(5) sugiereUni� a i�on al menos al nivel de este grupo.Algunos argumentos en ontra de Gran Uni� a i�on son:� No se ha en ontrado alguna GUT ompletamente satisfa toria.� El rango de energ��a 102� 1015GeV es tan enorme que es dif�� il de reer que no hay nueva f��si a en tan vasta regi�on de energ��a.� La enormidad de este rango nos lleva al problema llamado dejerarqu��a, que es quiz�as el m�as serio respe to a Gran Uni� a i�on.� Es dif�� il de expli ar la existen ia de 3 � n genera iones id�enti asusando s�olo Grupos de Lie.� El gran n�umero de fermiones elementales requeridos sugiere queaunque la GUT sea orre ta, no es fundamental.� El se tor es alar en U(2) no ha sido observado dire tamente. Con-se uentemente el se tor es alar de la GUT es una extrapola i�onde un esquema que es en s�� solo tentativo.� Para mu has GUTs los ampos es alares pertene ientes a repre-senta iones redu ibles y/o grandes de grupos, y de aqu�� la uni�- a i�on en el se tor fermi�oni o es obtenida s�olo a expensas de in-trodu ir un gran n�umero de par�ametros libres en el se tor es alar.As�� pues, aunque existe un prin ipio independiente (p.e. SUSY)para determinarlo, el se tor es alar realmente no est�a uni� ado.Finalmente debe ser puntualizado que hay una gran di� ultad para omprobar GUTs experimentalmente. El de aimiento del prot�on es la�uni a predi i�on dire ta que es medible; pero mientras su observa i�onser��a eviden ia espe ta ular en favor de las GUTs, su no observa i�onno es eviden ia fuerte ontra ellas. A parte del de aimiento del prot�onsolo hay eviden ia indire ta de Cosmolog��a y experimentos futuros dea eleradores en la regi�on de TeV .

8 CAP�ITULO 1. INTRODUCCI �ON1.2.2 SUPERSIMETRIA COMOTEORIA DE GRANUNIFICACIONHay varias Teor��as de Gran Uni� a i�on que, omo su nombre lo indi- a, nos proveen la uni� a i�on de los a oplamientos de las intera ionesfundamentales en fun i�on de la informa i�on propor ionada por el on-tenido de part�� ulas de la GUT y su rompimiento al ME. Cada unade estas GUT's tiene tanto sus problemas propios omo los omunes atodas ellas; ada GUT representa alg�un inter�es parti ular uando in-tenta resolver alg�un problema que el ME no puede. En nuestro aso,nos enfo amos en SUSY-SU(5), que ha sido muy estudiada y lo siguesiendo, pues se onsidera la extensi�on m�as natural del ME, aunque seha e una dis u i�on de SU(5), que fue su ante esora hist�ori a.SUPERSIMETRIALa idea de que pueda haber una simetr��a llamada Supersimetr��a oSUSY que interrela iona bosones y fermiones es bastante atra tiva. Su-persimetr��a es una de las m�as auda es, originales y fu t��feras ideas quehan surgido en la f��si a en mu ho tiempo. Al igual que las Teor��asde Norma no Abelianas y Rompimiento Espont�aneo de Simetr��a, es degran profundidad y, al igual que �estas en su momento, se ha desarrol-lado sin un sustento experimental. Supersimetr��a no est�a onstru��dasobre una matem�ati a bien entendida, sino que tuvo que desarrollar lasuya propia.Supersimetr��a impli a que todas las part�� ulas del Modelo Est�andardeben poseer un ompa~nero supersim�etri o (spart�� ula) on estad��sti asopuestas. Esto se debe a que los multipletes supersim�etri os onsistende part�� ulas de masas iguales uyo spin di�ere por 12 . Aunque no seha des ubierto ninguna spart�� ula, y si SUSY existe, esta simetr��a nose ha roto a la es ala de energ��a que al anzan los a eleradores hoy end��a (ps = 1:8TeV ), pero se espera que lo haga a una es ala un po om�as grande. A�un as��, SUSY ontin�ua siendo atra tiva para te�ori os enpart�� ulas por varias razones.

1.2. ANTECEDENTES 9Primera, porque provee la �uni a solu i�on ono ida al problema dejerarqu��a. En segundo lugar, las teor��as supersim�etri as tienen un mejor omportamiento a altas energ��as que aquellas que no lo son. De he ho,algunas de estas teor��as son �nitas. La ter era y m�as re iente raz�onpor la ual SUSY ha sido tan bien onsiderada es que pare e ser uningrediente indispensable para las teor��as de super uerdas, que son lasmejores andidatas a ser Teor��as de Todo, es de ir, teor��as u�anti as delas intera iones fuertes, ele trod�ebiles y gravita ionales.En primera instan ia, se introdu e SUSY omo una simetr��a globaldel Lagrangiano, aunque es atra tivo pensar que puede ser una simetr��alo al. Es por ello que una teor��a de supersimetr��a lo al, al ontenertransforma iones generales de oordenadas del espa io-tiempo, entreotras osas ser�a una teor��a de gravedad (llamada supergravedad).El modelo de SUSY m�as simple es aquel donde solo hay N=1 gen-erador de Supersimetr��a. Este modelo se ha extendido y se ha podidodemostrar que el n�umero m�aximo de generadores de SUSY es N=8.Aunque son mu hos los aspe tos desde los uales supersimetr��aapare e omo la solu i�on a problemas profundos de la f��si a, algunos delos de m�as inter�es para nosotros son los rela ionados on Gran Uni�- a i�on, aunque hay algunos otros problemas que son resueltos on lain lusi�on de SUSY.

10 CAP�ITULO 1. INTRODUCCI �ONGran Uni� a i�onSe debe re al ar que las onstantes de a oplamiento de las intera - iones fundamentales renormalizadas dependen de la es ala de energ��a� usada en su de�ni i�on. Las e ua iones del grupo de renormaliza i�onson: ���i�� = � �i2��i2 + 18�2 3Xj=1�ij�i2�j + #(�i3) (1.1)donde �i son los a oplamientos de las intera iones fundamentalesy �i y �ij son unos oe� ientes que nos dan la raz�on de ambio delas onstantes de a oplamiento omo fun i�on de la es ala de energ��a aprimero y segundo orden. En el aso de SUSY, estos oe� ientes son:�1 = 0� 2F 0 � 310H 0�2 = 6� 2F 0 � 12H 0�3 = 9� 2F 0 � 0H 0�ij = 0B� 0 0 00 1362 00 0 102 1CA�F 00B� 3815 65 881525 14 81115 3 683 1CA�H 0 0B� 950 910 0310 72 00 0 0 1CA (1.2)Un resultado que puede verse omo la primera eviden ia dire ta desupersimetr��a se obtiene al evolu ionar las onstantes de a oplamientodesde sus valores medidos a bajas energ��as hasta altas energ��as. Cuan-do se ha e �esto, y del he ho de onsiderar un ontenido de part�� ulassupersim�etri o, es de ir, part�� ulas y spart�� ulas, las onstantes dea oplamiento del ME se uni� an a una es ala aproximada del #(1016GeV ),lo que no o urre on teor��as no supersim�etri as.

1.2. ANTECEDENTES 11Problema de jerarqu��aEl problema de jerarqu��a es inherente a todas las GUT's, ya que �estasrequieren al menos dos niveles de Ruptura Espont�anea de Simetr��a. Elprimero es romper le simetr��a de la GUT, lo que se ha e posibilitan-do que un ampo es alar � adquiera un valor de espe ta i�on del va ��o(V EV )h0j�j0i = V = #(1015)El segundo es el rompimiento ele trod�ebil, el ual es posible uandoel omponente neutro del doblete de Higgs adquiere un V EVh0j'j0i = v = #(102)El problema de jerarqu��a se deriva de la basta diferen ia entre lasdos es alas Vv = #(1013), pues no es muy razonable pensar que en 13ordenes de magnitud en la es ala de energ��a no haya f��si a nueva.Este problema se resuelve en una teor��a supersim�etri a por la an- ela i�on de diagramas de Feynman a nivel de �arbol que separadamentegenerar��an la es ala de masa indeseada. Di ha an ela i�on surge porel signo negativo aso iado on lazos de fermiones omparado on el delazos de bosones. La solu i�on se d�a, pues se sabe omo ha er que losfermiones permanez an sin masa, teniendo una teor��a quiral; se puedeasegurar que los ompa~neros bos�oni os se mantengan sin masa tambi�enha iendo que esta teor��a sea supersim�etri a.

12 CAP�ITULO 1. INTRODUCCI �ONDe aimiento del prot�onHay varias pruebas que se deben ha er a las GUT's a �n de onsid-erarlas buenos modelos de uni� a i�on, una de ellas es la predi i�on deltiempo de de aimiento del prot�on. La GUT no nebe ontrade ir las o-tas experimentales ono idas hasta nuestros d��as para este evento. Enel aso de SU(5), se tienen, omo se ver�a m�as delante, 12 bosones denormaX y Y , que adquieren una masaMX =MY = #(1015GeV ) uan-do es rota esta simetr��a de norma. As�� tenemos un n�umero restringi-do de anales de de aimiento del prot�on, siendo de los m�as om�unes(p! e+�0; ��e�+).Para el anal (p! e+�0) se tiene un an ho �(p! e+�0) = #(m4Xm5p �2X)y un tiempo de de aimiento ��1(p! e+�0) = #(1033a~nos)El onsiderar una teor��a supersim�etri a aumenta el n�umero de analesde de aimiento. As��, el anal dominante en una teor��a supersim�etri aes (p! K+��) on un tiempo de vida del #(1030a~nos).El problema Materia-FuerzaEinstein (1955) repetidamente enfatiz�o el desbalan e on eptual deambos lados de sus e ua iones gravita ionales. Del lado izquierdo setiene el tensor de Einstein G�� = R�� � 12g��R, una onstru i�on mera-mente geom�etri a, mientras del lado dere ho se tiene el tensor Energ��a-Momento totalmente no espe i� ado por la teor��a.Su arbitrariedad re eja la libertad que se tiene de postular todos lostipos de materia gravitante. Este problema se remonta hasta Newton ysuelen introdu irse independientemente dos ategor��as f��si as, materiay fuerza, sin onexi�on entre las varias fuerzas, ni entre los diferentestipos de materia y se toma ada aso por separado para su estudio. Enla teor��a u�anti a de ampos todas las formas de materia impli an laexisten ia de fuerzas orrespondientes al inter ambio del uanto de ma-teria orrespondiente. Pero a�un a este nivel el inter ambio de fermiones

1.2. ANTECEDENTES 13es ualitativamente diferente al de bosones. El punto de vista en el quelos fermiones son la forma b�asi a de materia ha ganado a epta i�on, porlo que la di otom��a newtoniana de materia-fuerza sobrevive. Para lasupersimetr��a N=1 en 4 dimensiones del espa io-tiempo nos presenta ierta rela i�on entre bosones y fermiones, pero �esto no resuelve el prob-lema. La situa i�on es radi almente diferente si N =8. Existe (Tabla1) un �uni o supermultiplete uyas heli idades son � 52 . Este supermul-tiplete ontiene todas las fuerzas orrespondientes a las intera ionesfundamentales, in luso gravedad. De esta forma, tal omo las transfor-ma iones de Lorentz onvierten ele tri idad en magnetismo y vi eversa,una transforma i�on supersim�etri a transforma fuerza en materia y al ontrario, disolviendo as�� la di otom��a newtoniana.heli idad degenera i�on2 132 81 2812 560 70�12 56�1 28�32 8�2 1Tabla1. Supermultiplete de Gravedad N=8

14 CAP�ITULO 1. INTRODUCCI �ONCon lusionesUn prin ipio f��si o puede ser evaluado en su vera idad de a uerdo alos siguientes riterios:(A) La eviden ia experimental que soporta el prin ipio.(B)Nuevos fen�omenos predi hos en base al prin ipio.(C)Los problemas te�ori os y experimentales resueltos por el prin i-pio.(D)La onsisten ia interna de teor��as que in orporan al prin ipio.(E)Las ventajas est�eti as y �los�o� as del prin ipio.Consideremos ada riterio apli �andolo a Supersimetr��a.Revisando (A) hasta ahora no hay fuerte eviden ia de Supersimetr��aen f��si a de part�� ulas, pero hay un equipo de gentes trabajando entratar de expli ar algunas dis repan ias en la medi i�on de la energ��aen varios experimentos omo eviden ia indire ta de la presen ia de lapart�� ula supersim�etri a m�as ligera en lugar de expli ar �esto omo al-guna u tua i�on estad��sti a. Tambi�en hay laboratorios omo el Su-perkamiokande monitoreando el posible de aimiento del prot�on.Puede estar uno tentado a de ir lo mismo respe to a (B) y (C),pero esto no es ierto!!. Como se vi�o en Gran Uni� a i�on, SUSY ha epredi iones respe to a los ompa~neros supersim�etri os de las part�� ulas ono idas. Se espera que �estas teor��as se puedan omprobar experimen-talmente en el futuro er ano, on la esperanza de ambiar el veredi tode (A). Se apli an onsidera iones similares a supergravedades en m�asdimensiones y super uerdas. As�� que para (B), las perspe tivas sonm�as laras.

1.2. ANTECEDENTES 15Para (C), SUSY no ha resuelto ning�un problema experimental,porque no los ha habido. Respe to a problemas te�ori os, SUSY seusa en el problema de jerarqu��a. Otros problemas tales omo el porqu�e el espa io-tiempo es 4-dimensional y el de materia-fuerza re ibenun primer tratamiento signi� ativo en el ontexto de Supersimetr��a.Bas�andonos en (C), Supersimetr��a ha e impa to.Respe to a (D), SUSY lo rebasa sin duda. Tras medio siglo deteor��as u�anti as de ampo, uno se en uentra on teor��as �nitas. Nohay duda de que tales teor��as tienen un grado de onsisten ia m�as all�adel de las teor��as renormalizables ordinarias. In luso gravedad pare eestar uantizada onsistentemente en �este ontexto.Para (E), SUSY es una lara ganadora. Han emergido nuevas es-tru turas matem�ati as: super�algebras, supergrupos, supervariedades.Es posible tener un panoramamu ho m�as uni� ado, fermiones y bosonesest�an signi� ativamente agrupados juntos. Es, despu�es de todo, debidoa los grandes m�eritos est�eti os, matem�ati os y �los�o� os que se re-alizaron mu hos de los primeros trabajos en Supersimetr��a.

16 CAP�ITULO 1. INTRODUCCI �ON1.2.3 OSCILADOR SUPERSIMETRICOEl os ilador supersim�etri o es el ejemplo m�as simple de teor��as su-persim�etri as. Enseguida se presenta una des rip i�on de este sistema.Sabemos que un os ilador bos�oni o unidimensional uya fre uen ia nat-ural es ! est�a des rito en unidades naturales por el Hamiltoniano:HB = !2 (aByaB + aBaBy) = !(aByaB + 12) (1.3)mientras que un os ilador fermi�oni o esta des rito por:HF = !2 (aF yaF + aFaF y) = !(aF yaF � 12) (1.4)Los operadores de rea i�on y aniquila i�on para el os ilador bos�oni osatisfa en: [aB; aBy℄ = 1 (1.5)y el onmutador se anula on ualquier otro operador. Para el a-so fermi�oni o, los operadores de rea i�on y aniquila i�on satisfa en lassiguientes rela iones de anti onmuta i�on:faF ; aFg = 0 = faF y; aF ygfaF ; aF yg = 1 (1.6)Notamos hasta aqu�� que la energ��a del estado base para un os iladorbos�oni o es !2 , mientras que para el os ilador fermi�oni o es �!2 .Consideremos ahora un sistema que onsiste de un os ilador bos�oni oy uno fermi�oni o on la misma fre uen ia natural !. Este sistema es ono ido omo el os ilador supersim�etri o. El hamiltoniano para estesistema es:H = HB +HF = w2 (aByaB + aBaBy + aF yaF � aFaF y)= !(aByaB + 12 + aF yaF � 12)= !(aByaB + aF yaF ) (1.7)

1.2. ANTECEDENTES 17Vemos en 1.7 que el t�ermino onstante para este Hamiltoniano se an ela. Si de�nimos los operadores de n�umero bos�oni o y fermi�oni o omo: NB = aByaBNF = aF yaF (1.8)podemos rees ribir el Hamiltoniano omo:H = !(NB +NF ) (1.9)Es laro que los eigenestados de la energ��a del sistema ser�an loseigenestados de los operadores NB y NF . Conse uentemente, de�-namos: jnB; nf i = jnBi jnF i (1.10)donde NBjnBi = nBjnBi nB = 0; 1; 2; : : :NF jnF i = nF jnF i nF = 0; 1 (1.11)Estos resultados son onsistentes on el Prin ipio de Ex lusi�on dePauli, pues los eigenvalores para el operador de n�umero fermi�oni o son0 y 1, mientras que para el operador de n�umero bos�oni o, los eigenval-ores pueden tomar ualquier valor entero semide�nido positivo. De lase ua iones 1.9, 1.10 y 1.11 vemos que los eigenvalores para la energ��adel os ilador supersim�etri o est�an dados por:HBjnB; nF i = EnB;nF jnB; nF i = !(nB + nF )jnB; nF i (1.12) on nB = 0; 1; 2 : : :, nF = 0; 1.Vemos de 1.12 que la energ��a del estado base del os ilador super-sim�etri o se anula, o sea: E0;0 = 0 (1.13)in identalmente, se asume que el estado base satisfa e:aBj0i = 0 = aF j0i (1.14)

18 CAP�ITULO 1. INTRODUCCI �ONEl he ho que la energ��a del estado base sea nula es una ara ter��sti ageneral de las teor��as supersim�etri as. Tambi�en observamos de 1.12que, on ex ep i�on del estado base, todos los otros eigenestados de laenerg��a son doblemente degenerados. O sea, para nB 6= 0, los estadosjnB; 1i y jnB +1; 0i tienen la misma energ��a. Le degenera i�on del valorde la energ��a para un estado bos�oni o y fermi�oni o, es onse uen ia dela supersimetr��a del sistema.Consideremos los siguientes dos operadores fermi�oni os en la teor��a:Q = aByaF�Q = aF yaB (1.15)Usando las rela iones de onmuta i�on 1.5 y 1.6 que:[Q;H℄ =[aByaF ; !(aByaB + ayFaF )℄= !(aBy[aBy; aB℄aF + aByfaF ; aF ygaF )= !(�aByaF + aByaF )= 0 (1.16)y similarmente,[ �Q;H℄ = [aF yaB; !(aByaB + aF yaF )℄ = 0 (1.17)Los operadores Q y �Q de�nen antidades onservadas de este sis-tema ( argas) y pueden orresponder a los generadores de simetr��a enla teor��a. Notamos tambi�en que: fQ; �Qg = faByaF ; aF yaBg= aByfaF ; aF ygaB � aF y[aBy; aB℄aF= aByaB + aF yaF= 1!H (1.18)As��, vemos de las e ua iones 1.16, 1.17 y 1.18 que los operadoresQ, �Q, y H de�nen un �algebra que involu ra onmutadores y anti on-mutadores. Un �algebra as�� se ono e omo un algebra de Lie graduada

1.2. ANTECEDENTES 19y de�ne la forma in�nitesimal de las transforma iones supersim�etri as.Una onse uen ia inmediata del �algebra de SUSY es que el estado basees invariante ante transforma iones supersim�etri as, o sea, siQj0i = 0 = �Qj0i (1.19)enton es se sigue de 1.18 queh0jHj0i = h0jQ �Q+ �QQj0i = 0 (1.20)Tal omo se hab��a di ho antes, la energ��a del estado base de unateor��a supersim�etri a se anula. Adi ionalmente, notamos de 1.15 que�Q es realmente el Hermitiano onjugado de Q. Conse uentemente sesigue de 1.18 que H es un operador positivo semide�nido, y por ello, suvalor de expe ta i�on en ualquier estado debe ser positivo semide�nido.El efe to de Q y �Q en los eigenestados de energ��a del sistema son lossiguientes: [Q;NB℄ = [aByaF ; aByaB℄= aBy[aBy; aB℄aF= �aByaF = �Q[Q;NF ℄ = [aByaF ; aF yaF ℄= aByaF ; aF yaF= aByaF = Q (1.21)y similarmente [ �Q;NB℄ = �Q h �Q;NF i = � �Q (1.22)En otras palabras, podemos ver Q omo el operador que aumentan�umero bos�oni o, nB, por una unidad, mientras disminuye el n�umerofermi�oni o, nF , y �Q ha e lo opuesto. Se sigue quejnB; nF i = (aBy)nBpnB! (aF y)nF j0i (1.23)

20 CAP�ITULO 1. INTRODUCCI �ONdonde re ono emos nF = 0; 1 y nB = 0; 1; 2; : : :, tenemos:QjnB; nF i = ( pnb + 1jnB + 1; nF � 1i si n 6= 00 si nF = 0 (1.24)y tambi�en�QjnB; nF i = ( 1pnB jnB � 1; nF + 1i si nB 6= 0 o nF 0si nB = 0 o nF = 1 (1.25)Vemos pues que al a tuar sobre ualquier estado que no sea el estadobase, los operadores Q y �Q llevan un estado bos�oni o ( on nF = 0) a unestado fermi�oni o ( on nF = 1) o vi eversa. Esto es la manifesta i�on desupersimetr��a en los estados en el espa io de Hilbert del Hamiltoniano,es de ir, los estados fermi�oni os y bos�oni os est�an en pares. Adem�as,ya que Q y �Q onmutan on el Hamiltoniano del sistema, se sigue queesos estados en pares estar�an degenerados en energ��a, o sea:H(QjnB; nF i) = Q(HjnB; nF i) = EnB;nF (QjnB; nF i)H( �QjnB; nF i) = �Q(HjnB; nF i) = EnB;nF ( �QjnB; nF i) (1.26)

1.2. ANTECEDENTES 211.2.4 LAS ECUACIONES DEL GRUPODE RENOR-MALIZACIONLas E ua iones del Grupo de Renormaliza i�on nos des riben la evolu- i�on de las onstantes de a oplamiento omo fun i�on de la es ala deenerg��a. Estas son:���i�� = � �i2��i2 + 18�2 3Xj=1�ij�i2�j + #(�i3) (1.27)Las onstantes de a oplamiento �1 y �2 se rela ionan de la siguientemanera on �em y sin2�W : �1 = �emsin2�W�2 = �em os2�Wmientras �3 orresponde a la onstante de a oplamiento de la inter-a i�on fuerte.Los Coe� ientes �i y �ij deben ser al ulados perturbativamentey de a uerdo al ontenido de part�� ulas de la GUT en estudio.Obten i�on de los oe� ientes �Los oe� ientes � nos dan la raz�on de ambio de las onstantes dea oplamiento renormalizadas on el in remento de la es ala de renor-maliza i�on �. Estos deben ser al ulados de los diagramas de Feynmana 1 o 2 lazos de pre isi�on, dependiendo de la aproxima i�on deseada.Enseguida se ilustra omo se ha e el �al ulo de � para QED en el MEy presentamos la forma que deben tener estos oe� ientes si onsider-amos una teor��a supersim�etri a, a un lazo de pre isi�on.

22 CAP�ITULO 1. INTRODUCCI �ONFigura 1.1: Diagramas que ontrubuyen a la autoenerg��a del bos�on denormaCoe� iente � de QEDEl Lagrangiano de una teor��a de norma no abeliana es renormalizable enel sentido de que las divergen ias pueden ser removidas por un n�umero�nito de ontrat�erminos. En QED s�olo hay uatro oe� ientes diver-gentes, que son sustra��dos por los ontrat�erminos del v�erti e ele tro-magn�eti o (Æ1), del ampo de fuerza del ele tr�on y el fot�on (Æ2 y Æ3) yde la masa del ele tr�on (Æm).Los oe� ientes � nos dan la raz�on de ambio de las onstantes dea oplamiento renormalizadas on el in remento de la es ala de renor-maliza i�on �. Ya que la fun i�on de Green depende de � a trav�es de los ontrat�erminos que sustraen las divergen ias ultravioleta, � puede ser al ulada de ellos. As��, al orden m�as bajo:�(g) = g� ���(�Æ1 + Æ2 + 12Æ3) (1.28)Para an elar las divergen ias de las ontribu iones a la autoenerg��adel bos�on de norma (�g. 1), Æ3 debe ser de la forma:Æ3 = g2(4�)2 �(2� d2)(�2)2�d=2 �53C2(G)� 43nfC(r)� (1.29)Æ2 an ela la divergen ia propor ional a k en el primer diagrama dela �gura 3, as�� que: Æ2 = � g2(4�)2 �(2� d2)(�2)2�d=2 � C2(r) (1.30)Para determinar Æ1 se deben al ular el segundo y ter er diagramade la �gura 3.

1.2. ANTECEDENTES 23

Figura 1.2: Contrat�erminos requeridosFigura 1.3: Diagramas uyas divergen ias son an eladas por Æ1 y Æ2El primero de ellos es � ig3(4�)2 [C2(r)� 12C2(G)℄ta �(�(2� d2))Mientras que el segundo es � ig3(4�)2 32C2(G)ta �(�(2� d2)).As�� que: Æ1 = � g2(4�)2 �(2� d2)(�2)2�d=2 [C2(r) + C2(G)℄ (1.31)Ahora, sustituyendo los ontrat�erminos, tenemos:�(g) = � g3(4�)2 �113 C2(G)� 43FC2(r)� (1.32)De esta forma, para el ME, los oe� ientes � a 1 lazo son:�1 = 0� 43F � 110H�2 = 223 � 43F � 16H�3 = 11� 43F � 0H

24 CAP�ITULO 1. INTRODUCCI �ONCoe� ientes � en SUSYPara el aso supersim�etri o, los oe� ientes � deben satisfa er lasiguiente rela i�on:� = 113 C1(G)� 23XR C2(R)� 13XS C2(S) (1.33) on : C1(G)Æab = fa df b d (1.34)donde las fab son las onstantes de estru tura de G que se de�nen omo [ta; tb℄ = ifab t , y ta son las matri es de representa i�on de G. Lasuma sobre R es para los fermiones de Weyl en las representa iones TRde G y C2(R)Æab = tr(TRaTRb): (1.35)La suma sobre S es para los es alares en las representa iones TS deG y C2(S) se de�ne en forma an�aloga a C2(R).En una teor��a supersim�etri a los bosones de norma est�an a om-pa~nados por gauginos, en la misma representa i�on (adjunta) de G. As��,el supermultiplete ve tor ontribuye a ��(V ) = 113 C1(G)� 23C1(G) = 3C1(G) (1.36)Similarmente, en ada supermultiplete quiral, ada fermi�on de Weylest�a a ompa~nado por un es alar en la misma representa i�on de G, as��que su ontribu i�on es�(�) = �23C2(R)� 13C2(R) = �C2(R) (1.37)as�� que: � = 3C1(G)�XR C2(R) (1.38)Finalmente vemos que estos oe� ientes son de la forma�3 = 9� 2F 0�2 = 6� 2F 0 � 12H 0�1 = �103 F 0 � 12H 0

Cap��tulo 2An�alisisRe ordemos que en una Teor��a de Gran Uni� a i�on, las onstantesde a oplamiento de las intera iones fundamentales onvergen a unaes ala del #(1015GeV ). Nos orresponde ahora analizar la estru turade los par�ametros de uni� a i�on, que son el valor del di has onstantesen el punto de onvergen ia (� = �X), la energ��a a la que �esta se da(� =MX) y la es ala de ruptura de la simetr��a interna de la GUT (MS) omo fun i�on del n�umero de familias de fermiones, F para el ModeloEst�andar o F 0 en el aso supersim�etri o, de dobletes de Higgs, H delME o H 0 en SUSY.Para ha er �esto, se mantienen F (o F 0 seg�un el aso), H y H 0 omo variables durante todo el an�alisis, trabajando expresiones para�X(F 0; H 0) y MX(F 0; H 0), en las uales se imponen restri iones prove-nientes del de aimiento del prot�on y del he ho de que 1=�X > 0. Seobtiene que di has restri iones no permiten ualquier valor de F 0 niH 0.Las E ua iones del Grupo de Renormaliza i�on (EGR) son���i�� = � �i2��i2 + 18�2 3Xj=1�ij�i2�j + #(�i3) (2.1)Estas e ua iones nos dan la evolu i�on de las onstantes de a oplamien-to (�i, i = 1; 2; 3) omo fun i�on de la variable dimensional � que seintrodu e on el esquema de renormaliza i�on. Aqu�� se trabaj�o on el25

26 CAP�ITULO 2. AN�ALISISesquema MS. Aunque � es una variable arbitraria, se onsidera omola es ala de energ��a t��pi a del pro eso involu rado.Al primer orden de aproxima i�on (i.e., in luyendo s�olo el t�erminopropor ional a �2 en las EGR) el sistema de e ua iones (una para ada onstante de a oplamiento) se desa opla y puede ser resueltoanal��ti amente.Las ondi iones de frontera utilizadas son �i�1(MX) = ��1X , mien-tras que las ondi iones ini iales para las onstantes de a oplamien-to extra��das experimentalmente son �1 = 0:017045 � 0:005, �2 =0:03365� 0:00022 y �3 = 0:110� 0:007 y la es ala ele trod�ebil se toma omo la masa del Z0, MZ = 91:176GeV .2.1 SU(5)Se dijo on anterioridad que uno de los requisitos para es oger algrupo de uni� a i�on, en �este, los fermiones ono idos deben ajustarsede una manera muy e on�omi a. En el aso de SU(5), los fermionesajustan perfe tamente en una de sus representa iones: = 0BBBBBB� d1d2d3e�1CCCCCCA (2.2)SU(5) es el grupo simple unitario, tiene 24 generadores, 12 de los uales son los bosones de norma del Modelo Est�andar, 8 gluones, W�,Z0 y , y los otros 12 orresponden a los bosones de norma superpe-sados o leptoquarks X y Y , que son los mediadores de la transi i�on deleptones a quarks.

2.1. SU(5) 27Una vez que se asume la uni� a i�on de las intera iones fundamen-tales, nos en ontramos on un sistema sobre onsistente de e ua iones.Ya que es �3 la que tiene mayor in ertidumbre experimental, se toma�esta omo otra variable, salvando as�� la situa i�on.� 1=�3Se obtiene la siguiente expresi�on:1�3 = 1�1 + (�11� 110H)(�223 + 115H) ( 1�2 � 1�1 ) (2.3)De esta expresi�on podemos notar que:{ 1=�3 depende linealmente en 1=�1 y 1=�2 y no depende deF . Esto se debe a que en este modelo, las ontribu ionesde fermiones son iguales en ada oe� iente �, as�� que alrestarse dos de ellos, esta ontribu i�on se an ela.{ Para el modelo Est�andar, se tiene un valor num�eri o 1=�3 =14:44560335 o bien �3 = 0:069225� MXTenemos la siguiente expresi�on:lnMXMZ = 2��1�1 � �2�1223 � 115H (2.4)De aqu�� vemos que:{ lnMX depende linealmente de 1=�1 y 1=�2 y, al igual que1=�3 no depende de F .{ Para SU(5), MX = 6:78� 1012.

28 CAP�ITULO 2. AN�ALISIS� 1=�XSe obtiene la siguiente expresi�on:1�X = 1�1 + (�43F � 110H)�1�1 � �2�1223 � 115H (2.5)De donde se observa que:{ 1=�X depende linealmente de 1=�1 y 1=�2 y tambi�en de-pende de F .{ Para el a oplamiento de uni� a ion tenemos 1�X = 42:34782.2 SUSY-SU(5)Anteriormente se ha he ho el an�alisis para SU(5) sin supersimetr��a, on los oe� ientes � respe tivos. La in lusi�on de SUSY en el an�alisismodi� a la evolu i�on de las onstantes de a oplamiento, pues los oe�- ientes � ambian dada su dependen ia del ontenido de part�� ulas delmodelo. Si asumimos que todo el ontenido de spart�� ulas apare e a ierta es ala (es ala de 'SUSY', MS) solo se introdu e una nueva vari-able. Esto nos lleva a un sistema desa oplado de tres e ua iones ontres in �ognitas: MX ; �X y MS.Los mismos valores ini iales para las onstantes de a oplamiento,as�� omo las restri iones para MX y �X son tomadas aqu��, y adem�asse pide que MS satisfaga MZ < MS < MX .Estamos interesados en en parti ular en el Modelo Est�andar M��nimoSupersim�etri o, que es la extensi�on m�as natural del Modelo Est�andar.En este modelo se tienen 3 familias de fermiones y dos dobletes deHiggs.

2.2. SUSY-SU(5) 29� MSResolviendo para MS se obtiene la siguiente expresi�on:ln MSMZ = ��6H + 22H 0 ��30f 1�1 � 30 1�2 + 2 1�3g+H 0f5 1�1 � 3 1�2 � 2 1�3g� (2.6)Algunas osas que remar ar son:{ lnMS depende linealmente en 1=�i y no depende de F . Es-to de debe a que todos los oe� ientes � tienen la misma ontribu i�on por fermiones, as��, al restar dos de ellos, estas ontribu iones se an elan.{ Para el MEMS esta e ua i�on es:lnMSMZ = 4�19 �5 1�1 � 12 1�2 + 7 1�3 � (2.7)lo ual nos di e que la simetr��a de esta GUT debe romperse auna es ala de energ��a de 116GeV , lo que no se ha observadoexperimentalmente.� MXLa expresi�on obtenida para MX es: lnMXMZ = ��18H + 66H 0 ��(90� 110)f 1�1 � 3 1�2 + 2 1�3g+ (3H 0 �H)f5 1�1 � 3 1�2 � 2 1�3g�(2.8)Algunas osas que se obtienen son:{ Al igual que MS, lnMX depende linearmente de 1=�i y nodepende de F .

30 CAP�ITULO 2. AN�ALISIS{ Para el MEMS tenemos:lnMXMZ = 5�114 � 1�1 + 9 1�2 � 10 1�3 � (2.9)o bien MX = 1:087� 1016GeV .� 1=�XSe obtiene para �X la siguiente expresi�on, en la ual los oe�- ientes �i y los � 0i son los del modelo no supersim�etri o y super-sim�etri o respe tivamente:1�X = 1�i + 12(�18H + 66H 0) (90�i � 110� 0i) � 1�1 � 3 1�2 + 2 1�3 �+(3�iH 0 � �i0H) �5 1�1 � 3 1�2 � 2 1�3 �(2.10)donde i puede tomar los valores de 1, 2 �o 3.De aqu�� notamos lo siguiente:{ Aunque la dependen ia en � en este aso es m�as ompli a-da, 1=�X depende linealmente en 1=�i al igual que lnMS ylnMX .{ Para el Modelo Est�andar M��nimo Supersim�etri o tenemos:1�X = 176 �165 1�1 � 339 1�2 + 250 1�3� (2.11)los ual nos di e que 1�X = 24:7.{ Contrariamente a MS y MX , 1=�X depende del n�umero defamilias de fermiones. Esto se debe a que la ontribu i�on delazos de fermiones es diferente en el aso no supersim�etri oy el supersim�etri o, y las restas de di has ontribu iones nose an elan.

2.2.SUSY-SU(5)310

10

20

30

40

50

60

70

5 10 15 20

1/ α

log10 (µ) [Gev]

SU(5)α−1

1

α−12

α−13

MZ <MG>

Figura2.1:Evolu i�ondelas onstantesdea oplamientoenSU(5)

32CAP �ITULO2.AN �ALISIS0

10

20

30

40

50

60

70

5 10 15 20

1/ α

log10 (µ) [Gev]

SUSY SU(5)α−1

1

α−12

α−13

MZ MSUSY <MG>

Figura2.2:Evolu i�ondelas onstantesdea oplamientoenSUSY-SU(5)

Cap��tulo 3Efe tos de UmbralLos Efe tos de Umbral son introdu idos a �n de ha er m�as realistanuestro modelo de Uni� a i�on. Es mu ho m�as est�eti o pensar en unespe tro de spart�� ulas no degenerado, tal omo lo observamos en elModelo Est�andar.El espe tro de masas de las spart�� ulas esperado en el modelo desupergravedad on ruptura suave de SUSY est�a ara terizado por 5par�ametros, m 12 ; m0; tan �;At; � que son:m 12 ; m0 son los t�erminos de ruptura suave de SUSY a la es ala deuni� a i�on y son los responsables de dar masas a los gauginos y loses alares respe tivamente. tan � es el o iente de los valores de ex-pe ta i�on del va ��o de los dobletes de Higgs. � es la masa del higgsino yAt es la orre i�on de rompimiento suave al a oplamiento de ~tL�~tR�H.Una vez obtenido el espe tro de masas de las spart�� ulas, hay quein luirlos omo efe tos de umbral de la siguiente manera: Se ha enevolu ionar las EGR on los oe� ientes � del Modelo Est�andar hastala apari i�on de la primera spart�� ula, a esta es ala son modi� adas las� y on �estas se evolu ionan las EGR hasta la apari i�on de la sigu-iente, se repite el pro eso hasta que apare e el gluino, ompletando as��9 etapas que son la apari i�on del higgsino, sleptones dere hos, wino,sleptones izquierdos (Higgs), stop dere ho, stop izquierdo, primera ysegunda genera i�on de squarks y gluino. A partir de esta �ultima eta-33

34 CAP�ITULO 3. EFECTOS DE UMBRALpa, se ha en evolu ionar las EGR on las �'s supersim�etri as hasta laes ala de Uni� a i�on.La expresi�on t��pi a para la evolu i�on de ada onstante de a oplamien-to bajo este es enario ser��a: 1�X =1� + �2� ln M~hMZ + �~h2� lnM~lRM~h + �~lR2� lnM ~WM~lR+� ~W2� ln M~lLM ~W + �~lL2� lnM~tRM~lL + �~tR2� lnM~tLM~tR+�~tL2� lnM~q1M~tL + �~q12� lnM~q2M~q1 + �~q22� ln M~gM~q2 + � 02� lnMXM~g (3.1)Dados valores a los par�ametros m0 = 120; � = 120 y m 12 = 230GeVse obtienen tanto el espe tro omo las ambios en los oe� ientes �resumidos en la siguiente tabla:spart�� ula masa �1 �2 �3~h 114 �4:46 2:46 n ~lR 170 �5 n n ~W 178 �5:46 1:166 n ~lL 200 �5:73 0:046 n ~tR 471 �6:1 n 6:73~tL 478 �6:26 �0:3 6:13~q1 500 �6:43 �0:64 5:45~q2 528 �33=5 �1 5~g 550 n n 3Tabla2. Esp�e tro supersim�etri o de masas para m0 = � = 120GeV ,m 12 = 230GeV y las orre iones que de �este se derivan

35La ompara i�on entre las tres GUT's se resume en las siguientetabla: GUT 1�X MS(GeV ) MX(GeV )SU(5) 42:3478 *** 6:78� 1012SUSY-SU(5) 24:7 116 1:087� 1016UMBRAL 25 354:3 1:273433� 1016Tabla3. Par�ametros de Uni� a i�on en SU(5), SUSY-SU(5) y onsiderando efe tos de umbral

36CAP �ITULO3.EFECTOSDEUMBRAL0

10

20

30

40

50

60

70

5 10 15 20

1/ α

log10 (µ) [Gev]

EFECTOS DE UMBRAL EN SUSY SU(5)α−1

1

α−12

α−13

MZ<MS> <MG>

Figura3.1:Evolu i�ondelas onstantesdea oplamiento onsiderandoefe tosdeumbral

Cap��tulo 4Con lusionesHa e bastante tiempo que se ha abandonado a SU(5) omo la posi-ble GUT, puesto que en este modelo no se obtiene la uni� a i�on delas onstantes de a oplamiento de las intera iones fundamentales, sinembargo, el he ho de in lu��rlo en este an�alisis nos propor iona una ref-eren ia para omparar las predi iones del MESM.Por otro lado, al in lu��r Supersimetr��a, o sea, al onsiderar SUSY -SU(5), se obtiene la uni� a i�on de los a oplamientos de las intera - iones fundamentales. La onsidera i�on de la extensi�on m�as inmediataal Modelo Est�andar, el MEMS, nos muestra un panorama del poten ialpredi tivo de SUSY omo Teor��a de Uni� a i�on in luso en los nivelesm��nimos, pero es prudente a larar que esta no es la �uni a forma en laque se puede obtener uni� a i�on.Las predi iones para �X y MX son las t��pi as en ontradas enTeor��as de Uni� a i�on, aunque por otro lado, la es ala de rompimientode SUSY, MS, est�a en una regi�on en la que ya deber��a haber eviden iaexperimental. Al no hallarse di ha eviden ia se pensaron dos osas, queSUSY no exist��a o que el modelo te�ori o no era realista.El he ho de in lu��r efe tos de Umbral en el an�alisis de Gran Uni�- a i�on, aparte de ser un modelo m�as realista, realmente modi� a lospar�ametros de uni� a i�on. Tanto el a oplamiento de uni� a i�on �X , omo las es alas MSeff y MX son orridas ha ia la es ala de Plan k,37

38 CAP�ITULO 4. CONCLUSIONESaunque se en uentren a los respe tivos �ordenes de energ��a, es de irmSeff / 102GeV y mX / 1015GeV .Esto puede onsiderarse omo una expli a i�on al por qu�e no se handete tado hasta ahora part�� ulas supersim�etri as, pues los a eleradoresa�un no al anzan la energ��a para produ irlas.Tomando en onsidera i�on los objetivos ini iales se obtuvo la e ua i�onde evolu i�on de las onstantes de a oplamiento on la in lusi�on de efe -tos de umbral y los resultados arrojados son t��pi os de an�alisis similares:los par�ametros de uni� a i�on, aunque siguen al mismo orden de energ��a,son orridos ha ia la es ala de Plan k, es ala a la ual los efe tos grav-ita ionales no pueden ser despre iados, adem�as de obtener una es alapara el rompimiento de supersimetr��a superior a la que al anzan losa eleradores de part�� ulas hoy en d��a, ofre iendo as�� una posible expli- a i�on al por qu�e no hay eviden ia experimental de part�� ulas super-sim�etri as. El inverso del a oplamiento de uni� a i�on obtiene valoresdel orden 25; la masa de uni� a i�on, aunque es del orden de 1016GeV ,tiende a in rementarse; lo mismo o urre on la masa de supersimetr��aefe tiva, que se aumenta de 100 a 300 GeV .Aunque se tenga nueva informa i�on sobre gran uni� a i�on, hayvarias osas que se pueden realizar, por ejemplo, ontinuar el an�alisis alsiguiente orden de aproxima i�on o in orporarlo a otras GUTs. Tambi�ense puede bus ar la forma anal��ti a en la que son modi� ados los oe�- ientes beta on la apari i�on de ada spart�� ula para ualquier espe trode masas supersim�etri as.

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