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Inecuaciones

Profesor: Javier Trigoso Página 1

INECUACIONES

Indicadores

Representa gráficamente el conjunto solución de inecuaciones de

primer y segundo grado, así como de inecuaciones fraccionarias.

Resuelve inecuaciones utilizando las propiedades de los números

reales, así como el método de

de puntos críticos.

Resuelve problemas con inecuaciones de primer y segundo grado.

Contenido

Inecuaciones

Lineales

Fraccionarias

Irracionales

Cuadráticas y de orden superior

Con valor absoluto

INECUACIONES

Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza

por tener los signos de desigualdad; Siendo una expresión algebraica

nos da como resultado un conjunto en el cual la variable

independiente puede tomar el valor cualesquiera de ese conjunto

cumpliendo esta desigualdad; a este conjunto se le conoce como

Intervalo.

INECUACIONES DE 1° GRADO

Para resolver una inecuación lineal o de primer grado debemos usar

las propiedades de las desigualdades además de tener en cuenta los

siguientes casos:

Caso 1

Resolver: 2x > 8

x > 4

x 4;

Caso 2

Resolver: –3x 15

3x –15

x –5

x ; 5

Caso 3

Resolver: –6x < –18

6x > 18

x 3;

SISTEMAS DE INECUACIONES

La solución de un sistema de inecuaciones supone la solución de cada

una de las inecuaciones dadas, siendo el conjunto solución, la

intersección de todas las soluciones obtenidas.

4 + –

–5 + –

3 + –

Inecuaciones


Ejemplo:

Resolver: 2x 1 x 2

3x 4 2x 9

2x 1 x 2 x 3

3x 4 2x 9 x 5

x 3;5

… PARA LA CLASE

01. Resolver: 2 2x 1 3 3x – 4 – 6 4 – 3x – 3

Rpta. x –, 1

02. Resolver: x 1 x 3 – x 8 x – 6 6 x 7 1

Rpta. x ;2

03. Resolver :

2x 6 x5

3 4

Rpta. 36

x ,5

04. Resolver: 2x 5x 7x

- 113 6 12

Rpta. x ;12

05. Indica el mayor valor entero que verifica la inecuación:

2x 1 3x 2 2x 1 2

5 6 2 3

Rpta. -18

06. La suma de los enteros que verifican simultáneamente las

inecuaciones:

4x 5x 3

73x 8

2x 54

, es:

Rpta. -21

07. Resuelve para valores enteros:

5x 3y 2

2x y 11

y 3

Rpta. x = 3; y = 4

08. El mayor valor entero de x que satisface al siguiente sistema

de inecuaciones es:

x y 76

x y 10

x 2y 112

Rpta. 43

09. Si J, R, T є Z+ . halla R.T en:

J R T 8

J R T 4

T R 1

R 4

Rpta. 15

3 5 + –

Inecuaciones


10. Si se duplica la edad de Carlos, está resulta menor que 84.

Pero si a la mitad de dicha edad se le resta 7 resulta mayor que 12.

Hallar la suma de las cifras de la edad de Carlos, si dicha suma es

mayor que 5.

Rpta. 12

11. Si al doble de un número entero se le disminuye 5, no resulta

más que 28 y si al triple del número se le aumenta 7, no resulta

menos que 53. Halla el número y da como respuesta la suma de sus

cifras.

Rpta. 7

12. Javier tenía cierto número de cigarrillos. Triplicó esta

cantidad, luego vendió 100 y le quedaron menos de 82. Luego, le

regalaron 13 y posteriormente vendió la tercera parte de los que

tenía, quedándose con más de 60. ¿Cuántos cigarrillos tenía

inicialmente?

Rpta. 60

… PARA LA CASA

01. Resolver: 2 1 – x +3 2 – 5x – 9

A. x ; 1 B. x ;1

C. x 1; D. x 1;

02. Resolver: 2

x – 2 x – 3 x – 5 x 7 2 x – 3

Y da como respuesta el mayor valor entero

A. 4 B. 5

C. 6 D. 7

03. Resolver : 2 2

4x – 3 3x – 2 x 7x – 13

A. x –5, + B. x –3, +

C. x [–5, + D. x [–3, +

04. Resolver: 5(x 7)x 2 7 x

3 4 2

A. x –11, + B. x –, 11

C. x [–11, + D. x [–, 11

05. Resolver: x 3 3 2x x 8

25 10 30

A. x ;59 B. x 59;

C. x ; 59 D. x 59;

06. Indica el mayor valor entero que verifica la inecuación:

2x 1 3x 2 2x 1 2

5 6 2 3

A. -18 B. -16

C. 16 D. 18

07. Resuelve: 5 7x 4 2x x

13 5 2

y señala el mayor valor entero que puede tomar “x”

A. 0 B. 1

C. 2 D. 3

08. Señala el mayor valor entero que satisface:

13x 5 1 8 5x4x

3 2 6

A. -2 B. -1

C. 0 D. 1

Inecuaciones


09. Señala el menor valor entero que se obtiene al resolver:

2x 3 3x 1 1 2x

3 2 4

A. -2 B. -1

C. 1 D. 2

10. Resolver:

2x 2 5 2x1

5 3x 2 2x 3 3

3 4 4

A. x ;84 B. x 84;

C. x 84; D. x 84;

11. La suma de los valores enteros de x que satisfacen el

siguiente sistema de inecuaciones:

13x 5 3x 8 2x 71

2 5 33x 1 x 1 x

15 2 7

, es:

A. 5 B. 9

C. 14 D. 20

12. ¿Cuántos números enteros mayores o iguales a -7 satisfacen

el siguiente sistema?

7x 5 3x

3 2x 6 x 2 1 5x

2 5

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4


2x 5y 30

x 3y 22

y 8

A. x = 2; y = -7 B. x = -2; y = 7

C. x = -7; y = 2 D. x = -2; y = -7

14. Resuelve en R+:

5x 3y 2

2x y 11

y 3

Y señala el valor de 2 2P x y

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4


x y z 8

x y z 4

z y 0

z 5

Y da como respuesta « x + y + z »

A. 8 B. 9

C. 10 D. 13

16. Siendo: x, y, z los valores enteros que satisfacen el sistema:

x y z 14

x y z 6

y z

z 7

Halla y.z

A. 5 B. 15

C. 25 D. 30

Inecuaciones


17. Tengo cierto número de cuadernos. Si regalara los 3/5 de mis

cuadernos, me quedarían más de 20, pero si regalara solo la mitad,

me quedarían menos de 30. ¿Cuántos valores podría tomar el número

de cuadernos que tengo?

A. 6 B. 8

C. 9 D. 10

18. El dinero de Juan es el triple del dinero del dinero de Pedro,

aumentado en 6; además, el quíntuplo del dinero de Pedro, más el

cuádruple del dinero de Juan es mayor que 500. ¿Cuánto tiene como

mínimo Pedro? (considera una cantidad entera de soles)

A. S/.26 B. S/.27

C. S/.28 D. S/.29

19. Después de un partido de futbol, un futbolista empezó

comiendo un cierto número de naranjas, después compró 3 más,

también se las comió, resultando que había comido menos de 10

naranjas. Compró 8 naranjas más y, al comérselas observó que había

comido en total, menos del triple de naranjas que comió la primera

vez. El número total de naranjas que comió fue:

A. 14 B. 16

C. 17 D. 18

20. Se tiene una fracción cuyo denominador es menor en una

unidad que el cuadrado del numerador. Si añadimos 2 unidades al

numerador y al denominador, el valor de la fracción será mayor que

1/3. Si del denominador y el numerador se restan 3 unidades, la

fracción sigue siendo positiva, pero será menor que 1/10. calcular la

suma del numerador y denominador de la fracción original.

A. 13 B. 15

C. 17 D. 19

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES POR "PUNTOS

CRÍTICOS"

Este método lo vamos a utilizar para cualquier desigualdad de

grado mayor o igual a 2, sea esta entera o fraccionaria.

Los pasos a seguir son los siguientes:

Factorizamos la expresión dada.

Igualamos cada uno de los factores a CERO y

hallando los valores de “x” determinamos los PUNTOS

CRÍTICOS (P.C)

Llevamos los P.C a la recta numérica, quedando esta

dividida en intervalos. Al primer intervalo (contado

desde la derecha) le asignamos el signo positivo (+), los

demás signos van alternados.

Cuando la desigualdad es > ó ≥ tomaremos todos los

intervalos POSITIVOS.

Cuando la desigualdad es < ó ≤ tomaremos todos los

intervalos NEGATIVOS.

El conjunto solución quedará determinado por la

UNIÓN de todas las zonas sombradas

a b + – c

+ - + -

Inecuaciones


Ejemplo 1:

Resuelve: 2x 5x 6 0

Solución:

Factorizando: x 2 x 3 0

Igualando cada factor a cero: x 2 0 x 2

x 3 0 x 3

Llevamos los P.C a la recta numérica:

Como la desigualdad es menor que cero, escogemos los

intervalos NEGATIVOS:

El conjunto solución es: x 2;3

Ejemplo 2:

Resuelve: 2x 1 x 3 x 2 0

Solución:

Como la expresión ya esta factorizada, solo nos queda

igualar cada factor a cero:

12x 1 0 x

2x 3 0 x 3

x 2 0 x 2


Como la desigualdad es mayor que cero, escogemos los

intervalos POSITIVOS:

El conjunto solución es: 1

x 3; 2;2

Ejemplo 3:

Resuelve: 3x 2

0x 5

Solución:

Sabemos que el denominador debe ser diferente de cero,

por lo tanto x ≠ 5.

Igualando cada factor a cero:

23x 2 0 x

3x 3 0 x 5


Como la desigualdad es mayor que cero, escogemos los

intervalos POSITIVOS:

2 3 + –

+ + -

2 3 + –

+ + -

1/2 2 + –

+ + -

-3

-

-2/3 5 + –

+ + -

1/2 2 + –

+ + -

-3

-

Inecuaciones


El conjunto solución es: 2

x ; 5;3

……… PARA LA CLASE

01. Resuelve: (x + 4)(x + 2) > 0

Rpta. x –, -4 -2, +

02. Resuelve: (x + 3)(x - 5) < 0

Rpta. x –3, 5

03. Resuelve: x 8

0x 2

Rpta. B. x –2, 8

04. Resuelve: x 9

0x 1

Rpta. x –, –9] 1, +

05. Resuelve: 3x2 – 10x – 3

Rpta. [1/3, 3]

06. Señala el mayor valor entero que satisface:

(x 2)(x 5)(x 2)0

(x 1)(x 7)

Rpta. 6

07. Resuelve: (3 x)(x 1)(x 5)

0(x 2)(x 2)

Rpta. x –, –2] [–1, 2] [3, 5]

08. Resuelve:

x 13

x

Rpta. x 0 < x < 1/2

09. Resuelve: x 8 x 2

x 3 x 1

Rpta. x [–3, –1] [–1/2, +[

10. Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: 2

2

3x 7x 2 0

x 3x 10 0

Rpta. x 12; 2;5

3

……… PARA LA CASA

01. Resuelve: (x + 6)(x + 6) 0

A. [–6, + [ B.]–, –6]

C. R - {–6} D. {–6}

02. Resuelve: x2 – 7x + 10 0

A. x –, 2 5, + B. x [2, 5]

C. x [5, + D. x , 2

03. Resuelve: x2 + 4x – 45 > 0

A. x –, –9 5, + B. x –, –15 3, +

C. x [–9, 5] D. x [–15, 3

-2/3

+

5 + –

+ -

Inecuaciones


04. Resuelve: 2x 1

0x 5

A.]1/2, + [ B.]–, 1/2[

C. x > 5 ó x < 1/2 D. ]1/2, 5[

05. Resuelve: x 6

0x(x 4)

A.]–6, 0[ B. ]–, –6] ]-4, 0[

C. [–6, –4[ ]0, +[ D.

06. Resuelve: (4 2x)(x 1)

0x

A. [–1, 0] [2, +[ B.]–1, 0[ ]2, +[

C.]–1, 0] [2, +[ D.

07. Resuelve: (x 3)(x 5)

0x(x 2)

A.] –, –3] [5, +[ B.] –, –3] ]–2, 0[ ]5, +[

C.] –, –3[ ]–2, 0[ ]5, +[ D.] –, –3] ]–2, 0[ [5, +[

08. Resuelve: x(x 2)

0(x 1)(x 3)

A.] –, –1[ ]0, 2[ ]3, +[ B.] –, –1] [0, 2] [3, +[

C.] –, –1[ ]0, 2[ [3, +[ D.] –, –1[ ]3, +[

09. Resuelve: (2 x)(x 1)

0(2 x)x

A. 0, –1 B. –1, 0

C. <–1, 0] D. [–1, 0]

10. Resuelve: 2

(5 x)(2 x)0

x 4x 5

A. <–, –2] [–1, +> B. <–, –2] [–1, +> – {5}

C. [–1, +> – {5} D. <–, –2> <–1, +> – {5}

11. Resuelve: 2

x 20

x x 6

A. –3, –2 2, + B. –, –1

C. 2, + D. 3, +

12. Resuelve: 2

2

x 5x 140

x 1

A. –7, –1 B. 1, 2

C. –7, –1 1, 2 D. [–7, –1 1, 2]

13. Resuelve: x 2

2x 1

A.]4, + [ B.]1, + [

C.]–, 1[ ]4, + [ D.] –, 4[

14. Resuelve: 3x 6

2x 1

A. x –, 3 4, + B. x [–4, –1

C. x –, 2 5, + D. x 5, 7

15. Resuelve: x 3 x

x 4 x 6

A. x 5, 6 8, + B. x –, 4 6, +

C. x –, 3 7, 9] D. x –, –6 18, 4

7

Inecuaciones


16. Resuelve: x 9 x 1

x 3 x 1

A. [–3, –1] [3, + B. [–3, –1] 3, +

C. R – {3, 1} D.

17. Resuelve: x 1 x

2 x 3 x

A. x –, –3 2, + B. x –, 3 5, +

C. x 3, 4 5, + D. x [–3, 2]

18. Resuelve: x 1 1 x

5 x 2 5

A.]–2, 3[ B.]3, +[

C.] –, –2[ D.]–, 3[

19. Resuelve

2 2

x x 3

x 4 x x 4

A. 2, B. 3, 10

C. 3, D. R

20. Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: 2

2

x 2x 15 0

x x 6 0

A. 2; 1 2;3 B. 2;3

B. 2; 1 D. 1;2

INECUACIONES IRRACIONALES:

Para resolver inecuaciones con radicales debemos tener muy

presente el sentido de la desigualdad, sobre todo cuando

eliminamos los radicales. Primero debemos analisar el campo de

variación de la variable contenida en el radical. Para una mejor

comprensión veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo:

Resuelve: 2x 16 3

Solución:

Analicemos el campo de variación de la variable contenida

en el radical:

2

1

x 16 0

x 4 x 4 0

S : x ; 4 4;

Eliminemos el radical:

2 2

2

2

x 16 3 x 16 9

x 25 0

x 5 x 5 0

S : x 5;5

Intersectamos S1 con S2

F 1 2S S S 5; 4 4;5

+

-5 -4 4 5

Inecuaciones



01. Resolver: 3x 2 5

Rpta. x [2/3; 9[

02. Resolver: 4x 3 7

Rpta. x > 23/2

03. Resolver: 3 x x 2

Rpta. x ≥ 1/2

04. Resolver: 5 2x x 3

Rpta. x [–3; 5/2]

05. Encuentra el mayor valor entero de: 2x x 6 16 x

Rpta. 3

06. Resolver: 2

2

9 x0

4x 25

e indicar el número de valores enteros

que asume “x”

Rpta. 2

07. Resolver: 224 2x x

1x

Rpta. x [–6; 0[ ]3; 4]


01. Calcula la suma de todos los valores enteros de "x" 2x 5 13

A. 13 B. 15

C. 18 D. 25

02. Resolver 2x 8 x e indica la suma de valores enteros que

satisfacen la inecuación A. -4 B. -1

C. 1 D. 4

03. Resolver: 2x 23 x 4

A. 1; 23/2 B. –3; 4

C. –1; 23/2 D. –23/2; 1

04. Calcula la suma de todos los valores enteros de "x" en: 2x 3 12x

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

05. Resolver: 4 x 2x 6

A. 10

, 43

B. 10

;3

C. 10

;3

D. R

06. Resolver: 4x 1 8 x 0

A. 9

;85

B. ;8

Inecuaciones


C. 1 9

;4 5

D. 1

;84

07. Resolver la inecuación: 3 3x 7 x 1

A. 1; 2 B. –2; 2

C. 0; 3 D. –1; 2

08. Resolver: 2x 2x 24 4

A. ] –; 4] B. ] –, -4] [6, + [

C. [ -6; [ D. ] -4; 6[

09. Resolver: 2x 2x 24 x 4

A. ] –; -6] B. ] –; -6] [8; + [

C. ]32/3; [ D. ] –; -6] ]32/3; + [

10. Resolver: x 3 x 3

A. [0; 1 B. [–1; 0

C. –; 1 D. 0; +

11. Calcula el conjunto de valores de “x” para los cuales el número: 2P x 5x 4 es real.

A. ] –; 4] B. ] –; 1 ] [ 4; [

C. [ 4; [ D. ] –; 3 [

12. Halla el mayor valor entero que satisface la inecuación:

1 x 1 3x 3 x 3 x

A. -1 B. 0

C. 1 D. 2

13. Determina la cantidad de valores enteros que asume “x” en la

siguiente inecuación: 2 9 x 1

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

14. Resolver 3 x 2 7 x

A. [2; 3[ B. ]2; 3[

C. [2; 7[ D. [2; 7]

15. Resolver 2 23 x 1 x 4x 5 0

A. [–2; 2] B. {-2; 2}

C. {-1; 1} D. [–1; 1]

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO:

Para resolver inecuaciones con valor absoluto debemos tener

presente la definición de valor absoluto, así como las

siguientes propiedades:

Propiedades :

P1. Si x a a 0 a x a

P2. Si x a x a x a

Propiedades Auxiliares:

P1. Si x y x y x y 0

P2. Si x y x y x y 0

Inecuaciones



Resuelve las siguientes inecuaciones:

01. |3x – 5| < 7

Rpta. ]–2/3; 4[

02. |4x – 3| > 5

Rpta. ]–; –1/2[ ]2; +[

03. |3x – 1| 5

Rpta. [–4/3; 2]

04. |5x + 2| ≥ 1

Rpta. ]–, –3/5] [-1/5, +[

05. |12 - x2 | 13

Rpta. ]–, –5] [5, +[

06. |x2 – 6x + 8| 4 – x

Rpta. [1,3] {4}

07. x 1 x 1 3x 1

3 2,52 4 3

Rpta. ]–7/3, 5/3[

08. |3x + 1| |x - 2|

Rpta. ]–, –3/2] [1/4, +[

09. |x2 – 2x – 5| < |x2 + 4x – 7|

Rpta. [–3, 1/3] [2, +[

10. 2

2

| x 4 | 5

| x 5x 6| 2

Rpta. {2; 3}


01. Resolver: |2x + 6| –4

A. { } B. R–

C. R D. R+

02. Resolver: |x – 3| < 1

A. x ]–, 2[ B. x [2, 4]

C. x ]2, 4[ D. x ]4, +[

03. Resolver: |3x – 6| < 9

A. x ]1, 5[ B. x [1, 5]

C. x ]–5, 1[ D. x ]–1, 5[

04. Resolver: |x – 4| 1

A. x ]3, 5[ B. x ]–, 3] [5, +[

C. x ]3, 5] D. x ]–, 3[ [5, +[

05. Resolver: |x + 2| 3

A. [–5, 1[ B. [–5, 1]

C. ]0, 5] D. [1, 5]

06. Resolver: |1 – 5x| < 1

A. [0, 2/5] B. [0, 1]

C. ]0, 5[ D. [0, 1[

Inecuaciones


07. Resolver: 1

0| x 3|

A. R B. R – {0}

C. R – {3} D. [–3, 3]

08. Resolver: |3x + 4| 3x + 8

A. [–2, +[ B. ]–8/3, +[

C. [2, +[ D. R

09. Resolver: |2x + 3| < x + 1

A. [–1, +[ B. ]–2, –4/3 [

C. ]–1, +[ D. ]–4/3, +[

10. Resolver: |2x + 6| 2x + 1

A. R B. R–

C. { } D. R+

11. Hallar el mayor entero que satisface: 5

1|2x 3|

A. 0 B. 1

C. 1 D. 3

12. La suma de las raíces enteras negativas que verifican:

x 5 x 3

A. –30 B. –32

C. –34 D. –36

13. Resolver:

x 5 2x 1

A. ]4, +∞] B. ]–8, –4[ ]2, +∞[

C. ]2, +∞[ D. [5, +∞[

14. Hallar la mayor solución de: 9 5x

4x 3

A. 18 B. 19

C. 20 D. 21

15. Resolver: 2x x 6

0x 1

A. ]– ∞, –2] B. [–3, 2] – {1}

B. [–3, 2] {3} D. [–2, 3] – {1}

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