Inecuaciones polinmicas, racionales, irracionales y con valor absolutoInecuacin: Es toda desigualdad condicional que se establece entre 2 expresiones matemticas,donde existe por lo menos una variable a la que le denominaremos incognita. Se representa de la siguiente manera:

A(x)>B(x) v A(x) 12La inecuacin nunca se verifica porque los valores del cosxestn comprendidos en el intervalo [-1; 1]

FORMA GENERAL DE UNA INECUACIONSea H(x) una expresinmatemtica de variable x, se tiene una de las siguientes desigualdades:

H(x)> 0 ; H(x)< 0H(x) 0 ; H(x) 0

..(1)SOLUCION PARTICULAR DE UNA INECUACIONDada una de las inecuaciones (1), se define como solucin particular de la inecuacin a aquel valor que toma la incgnita que, al ser reemplazado en la inecuacin original, convierte a esta inecuacin en una desigualdad verdadera.CONJUNTO SOLUCION DE UNA INECUACIONEl conjunto solucin (C.S.) de una inecuacin es el conjunto formado por las soluciones particulares de dicha inecuacin.Si una inecuacin no tiene solucin particular, su conjunto solucin se define como el conjunto vacio.RESOLUCION DE UNA INECUACIONResolver una inecuacin significa encontrar su conjunto solucin. La resolucin de una inecuacin se realiza efectuando pasos equivalentes.EjemploResolver: 4x + 13 > x+22Resolucin:4x + 13 > x + 22 4x + 13 + (-13) > x + 22 + (-13) 4x > x + 9 4x + (-x) > x + (-x) + 9 3x > 9 x> 3

-3 +

C.S. = 3; +

1) INECUACIONES POLINOMICAS Las Inecuaciones Polinomicas, llamadas tambin de orden superior, tienen la forma:P(x)=anxn+an-1xn-1++a1x+a0,ai R, i =0, 1, , n, a n 0.Los casos P(x)0 y P(x)0 son tratados especficamentesegn la naturaleza particular problema.Por el Teorema Fundamental del Algebra como vimos en el Captulos I anterior, para un polinomio P(x) de grado n con coeficientes reales, existen nnmeros reales (en general complejos) r1, r2, , rn (no necesariamente distintos), tales que:P(x) = an (x-r1)(x-r2) (x-rn).Asimismo, si uno de los factores de P(x) es (x-r), entonces r es un cero o valor critico de P(x).Si k de estos factores son precisamente (x-r), entonces, r es llamado cero o valor critico de multiplicidad k .si k = 1 es llamado cero o valor critico simple. Para resolver inecuaciones polinomicas se hace uso del mtodo de los valores crticos y se describe a travs de los siguientes casos que se presentan:1.1) Primer Caso:

Los ceros del polinomio P(x) son de multiplicidad simple, es decir, son reales y diferentes. En este caso:

P(x) = a(x r1)(x-r2) (x-rn), donde: r1 < r2 < r3 0, o la unin de los intervalos (-), si P(x) < 0.

1.2)Los ceros del polinomio P(x) son todos lineales y algunos casos son multiplicidad mltiple.Suponiendo que (x-ri) es el factor que se repite K veces. Entonces, ocurren dos posibilidades:a) Si k es par.- En este caso, los intervalos de variacin contiguos de valor critico ri , tienen el mismo signo.b) Si k es Impar.- En este caso, los intervalos de variacin contiguos al valor critiori , tienen signos diferentes.

Ejemplos:

1)Resolver la inecuacin: P(x)=(x+3)(x+1)2(x-2)3(x-4) > 0Solucin:Los puntos crticos de P(x),son -3,-1,2 y 4. Adems -1 es un punto crtico de multiplidad 2 y 2 es de multiplicidad 3.La ubicacin de los puntos criticos y la especificacin de los intervalos en la recta numrica, as como la distribucin de signos, es como sigue:

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 (-) (+) (+) (-) (+) Como P(x) > 0 el conjunto solucin de la inecuacin propuesta corresponde a la parte sombreada, es decir: X=(-3 , -1) U (-1 , -2 ) U (4 , + )

2)Resolver la inecuacin P(x) son: -4 ,-2 , -1 y 4 Resolucin:Los punto criticos de P(x) son: -4, -2 ,-1 y 4Adems -2 es de multiplicidad 3 y 4 de multiplicidad 2.La ubicacin de los puntos crticos y la especificacin de los intervalos en la Recta Numrica, as como la distribucin de signos, es como sigue:

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

(-) (+) (-) (+) (+)

1.3)TERCER CASO:Los factores P(x) son lineales y cuadrticas irreducibles (los ceros del factor cuadrtico son nmeros complejos).En este caso , se prescinde del factor o factores cuadrticos y el anlisis se hace para los factores lineales, usando las reglas ya conocidas.Ejemplos:

1)Resolver la inecuacin P(x) = X5 - X4 7X3 7X2+22X + 24 > 0Solucin:Factorizando, se tiene: P(x) = (x+1)(x-2)(x-3)(x2+3x+4) > 0El trinomio x2 +3x+4>0 , x R. Prescindiendo de este factor, el anlisis se reduce a: Q(x) = (x+1)(x-2)(x-3) > 0.Los ceros de este polinomio son -1,2 y 3.Siguiendo la regla ya conocida, se tiene:

-4 -3 -2 -1 0 1234 (-) (+) (-) (+)

Como Q(x)> 0, el conjunto solucin de esta inecuacin y el de la propuesta,correspondiente a la parte sombreada, es decir: X = (-1 , 2) U (3 , +)2)Resolver la inecuacin P(x) = X5-2X4-5X3-10X2-12X+16 0.Solucin:Factorizando, se tiene: P(x ) = (x+1)(x-1)(x-4)(x2-2x+4) 0.El trinomio X2-2x+4 es irreducible en los reales y sus ceros son nmeros complejos, es decir X2-2X+4> 0, XR. Entonces, prescindiendo de este factor, el anlisis se reduce a la inecuacin:Q(x) = (x+1)(x-1)(x-4) 0. Los ceros de Q(x), son -1, 1 ,4.Siguiendo la regla ya conocida, se tiene:R

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 (-) (+) (-) (+)

INECUACIN CUADRTICA

P ( x ) = ax2 + bx + c >< 0; a0La inecuacin cuadrtica en una variable presenta la siguiente forma general: . . . . .(*){a,b,c} RDe (*) se obtiene:ax2+bx+c>0;ax2+bx+c< 0Multiplicando por (4a) miembro a miembro 4a(ax2+bx+c) >0

(2ax)2 + 2(2ax)b + b2 b2 + 4ac >< 0

De (2ax+b)2- >< 0 se tienen los siguientes casos:I. Primer Caso =0 ; (a>0)

De (2ax+b)2- >< 0 se obtiene: (2x+b)2 >< 0Desdoblando para cada valor de los smbolos de la relacin de orden.a) (2ax+b)2 0Se verifica, x R . . . . . . . C.S.=Rb) (2ax+b)2 > 0

X=-b 2a Se verifica, x R , a excepcin de

C.S. =R-{-b2a}c) (2ax+b)2 0Se observa una inecuacin, la cual no se verifica para ningn valor de x R C.S.= d) (2ax+b)2 < 0La inecuacin slo se cumple si 2ax+b=0

De ah se obtiene x= b2a

NOTA :La inecuacin (2ax+b)2 0 presenta solucin nica.

Ejemplo 1

Resolver:4x2-12x+90

Resolucin:4x2-12x+90;completando cuadrados (2x)2-2(2x)(3)30(2x 3)20;se verifica x R C.S. = R = -; +

Ejemplo 2

Hallar todos los valores de a para que la inecuacin x2+(x+a)2+2x1 tenga solucin nica.

Resolucin:Efectuando en el primer miembro y, transponiendo trminos, se tiene:2x2+(2a+2)x+a2-10Para que exista solucin nica, el primer miembro debe ser un trinomio cuadrado perfecto; entonces, la discriminante =0, luego:(2a+2)2-8(a2-1)=0-4a2 + 8a + 12=0a2 2a - 3=0(a 3)(a + 1)=0a=3a=-1No olvidar que el primer coeficiente debe ser positivo.

II. Segundo Caso >0 ; (a>0)De (2ax+b)2- >< 0 se obtiene: (2x+b)2 2>< 0Se observa que el primer miembro siempre es factorizable, en el campo real y esto ocurre porque la discriminante es positiva ( >0).Para resolver utilizaremos el mtodo de los crticos.

Ejemplo 1Resolver:X2 13x +30>0

Resolucin:El primer miembro es factorizable por aspa simple; entonces:X2 13x +30>0 (x 3)(x 10) >0((x 3) > 0 ^(x 10) >0) ((x 3)10) (x