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Proyecto Nro. 5: Metodos Aproximados de

Diferenciacion e Integracion Numerica

Algoritmos Numericos

Jonathan Morocho Jimenez

Escuela Politecnica Nacional

Facultad de Ingeniera de Sistemas

23 de mayo de 2014

1. Integracion Numerica

El objetivo del presente trabajo consiste en la realizacion de un codigo de programacion que permitadeterminar el valor aproximado de ciertas integrales (definidas) que generalmente resultan complicadas(o inclusive imposibles) de calcular a traves de metodos analticos. Para esto se ha usado tres metodosnumericos: el metodo del rectangulo, el del trapecio y el de Simpson (regla compuesta).

Con el objetivo de calibrar el codigo (verificar si funciona correctamente) se ha seguido lossiguientes pasos:

1. Elegir una funcion cuya integral definida en un cierto intervalo sea sencilla de calcular. Como severa en el literal 4) los resultados de los diferentes metodos numericos aplicados se acercaran al valorreal de la integral si el numero de intervalos es grande, por tanto se puede utilizar este resultado paracalibrar el codigo (en Matlab) desarrollado . Es decir, si el valor numerico de la integral definidatiende a su valor exacto a medida que se incrementa N , significa que el codigo desarrollado es correc-to y se puede usar para determinar el valor de integrales mas complejas como se hara en el literal 6).

En este caso se ha escogido la integral definida

10

x2dx =1

3(1)

2. Graficar dicha funcion (solamente con el objetivo de ilustrar el area que se desea determinar)

1

1 INTEGRACION NUMERICA

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

y

f(x)=x2

Figura 1: Grafico de f(x) = x2 en el intervalo [0, 1]

3. Dividir sistematicamente y progresivamente el intervalo [a, b] en N = 1, 2, ..., n subintervalos (conn = 20, 50 o 100) y para cada valor de N determinar el valor aproximado de la integral con cadauno de estos tres metodos. Se ha considerado n = 100 para este trabajo.

N Rectangulos Trapecios Simpson1 1.00000000 0.500000002 0.62500000 0.37500000 0.333333333 0.51851852 0.351851854 0.46875000 0.34375000 0.333333335 0.44000000 0.340000006 0.42129630 0.33796296 0.333333337 0.40816327 0.336734698 0.39843750 0.33593750 0.333333339 0.39094650 0.3353909510 0.38500000 0.33500000 0.3333333311 0.38016529 0.3347107412 0.37615741 0.33449074 0.3333333313 0.37278107 0.3343195314 0.36989796 0.33418367 0.3333333315 0.36740741 0.3340740716 0.36523438 0.33398438 0.3333333317 0.36332180 0.3339100318 0.36162551 0.33384774 0.3333333319 0.36011080 0.3337950120 0.35875000 0.33375000 0.3333333321 0.35752079 0.33371126

2


22 0.35640496 0.33367769 0.3333333323 0.35538752 0.3336483924 0.35445602 0.33362269 0.3333333325 0.35360000 0.3336000026 0.35281065 0.33357988 0.3333333327 0.35208048 0.3335619628 0.35140306 0.33354592 0.3333333329 0.35077289 0.3335315130 0.35018519 0.33351852 0.3333333331 0.34963580 0.3335067632 0.34912109 0.33349609 0.3333333333 0.34863789 0.3334863834 0.34818339 0.33347751 0.3333333335 0.34775510 0.3334693936 0.34735082 0.33346193 0.3333333337 0.34696859 0.3334550838 0.34660665 0.33344875 0.3333333339 0.34626342 0.3334429140 0.34593750 0.33343750 0.3333333341 0.34562760 0.3334324842 0.34533258 0.33342782 0.3333333343 0.34505138 0.3334234744 0.34478306 0.33341942 0.3333333345 0.34452675 0.3334156446 0.34428166 0.33341210 0.3333333347 0.34404708 0.3334087848 0.34382234 0.33340567 0.3333333349 0.34360683 0.3334027550 0.34340000 0.33340000 0.3333333351 0.34320133 0.3333974152 0.34301036 0.33339497 0.3333333353 0.34282663 0.3333926754 0.34264975 0.33339049 0.3333333355 0.34247934 0.3333884356 0.34231505 0.33338648 0.3333333357 0.34215656 0.3333846358 0.34200357 0.33338288 0.3333333359 0.34185579 0.3333812160 0.34171296 0.33337963 0.3333333361 0.34157485 0.3333781262 0.34144121 0.33337669 0.3333333363 0.34131183 0.3333753364 0.34118652 0.33337402 0.3333333365 0.34106509 0.3333727866 0.34094735 0.33337159 0.3333333367 0.34083315 0.3333704668 0.34072232 0.33336938 0.3333333369 0.34061472 0.3333683470 0.34051020 0.33336735 0.3333333371 0.34040865 0.3333664072 0.34030993 0.33336548 0.3333333373 0.34021392 0.3333646174 0.34012053 0.33336377 0.3333333375 0.34002963 0.33336296

3


76 0.33994114 0.33336219 0.3333333377 0.33985495 0.3333614478 0.33977098 0.33336073 0.3333333379 0.33968915 0.3333600480 0.33960938 0.33335938 0.3333333381 0.33953158 0.3333587482 0.33945568 0.33335812 0.3333333383 0.33938162 0.3333575384 0.33930933 0.33335695 0.3333333385 0.33923875 0.3333564086 0.33916982 0.33335587 0.3333333387 0.33910248 0.3333553588 0.33903667 0.33335486 0.3333333389 0.33897235 0.3333543790 0.33890947 0.33335391 0.3333333391 0.33884797 0.3333534692 0.33878781 0.33335302 0.3333333393 0.33872895 0.3333526094 0.33867134 0.33335220 0.3333333395 0.33861496 0.3333518096 0.33855975 0.33335142 0.3333333397 0.33850569 0.3333510598 0.33845273 0.33335069 0.3333333399 0.33840084 0.33335034100 0.33835000 0.33335000 0.33333333

4. Graficar el valor de dicha integral como funcion del numero de intervalos. Esto se hace para cadametodo por separado.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Numero de intervalos

Valo

r de

la in

tegr

al d

efin

ida

Metodo de Rectangulos

Figura 2: Valor de la integral vs numero de intervalos, Metodo de los rectangulos

4


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.32

0.34

0.36

0.38

0.4

0.42

0.44

0.46

0.48

0.5


Valo

r de

la in

tegr

al d

efin

ida

Metodo de Trapecios

Figura 3: Valor de la integral vs numero de intervalos, Metodo de los trapecios

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.3333

0.3333

0.3333

0.3333

0.3333

0.3333

0.3333

0.3333

0.3333

0.3333


Valo

r de

la in

tegr

al d

efin

ida

Metodo de Simpson

Figura 4: Valor de la integral vs numero de intervalos, Metodo de Simpson

5. Graficar en una misma figura las tres curvas obtenidas en cada uno de los metodos y determinarcual metodo converge mas rapidamente.

5


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Valo

r de

la in

tegr

al d

efin

ida

Metodos de Integracion Numerica

Metodo de RectangulosMetodo de TrapeciosMetodo de Simpson

Figura 5: Convergencia de los tres metodos (Rectangulos, Trapecios y Simpson

6. Luego de determinar que el codigo funciona correctamente, se lo utiliza para determinar el valornumerico de la siguiente integral:

22

e1,5x+2 sin(x2 + 1) cos(x2 1)dx (2)

repitiendo el mismo analisis explicado en los literales 2), 3), 4) y 5).

En este ejercicio observaremos una aplicacion directa de los tres metodos numericos anteriormentemencionados, ya que generalmente en aplicaciones de la vida diaria, de acuerdo al entorno en elque una persona se maneje, puede llegar a ser bastante difcil encontrar una ecuacion cuya integraldefinida se pueda calcular analticamente y se debe recurrir a alguno de estos metodos (existen otrosmetodos numericos para hallar la integral definida) para poder encontrar la integral definida en unintervalo.

El ejercicio desarrollado con los respectivos analisis indicados en los literales solicitados, se muestraa continuacion:

a. Graficar f(x)

6


2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 22

0

2

4

6

8

10

12

x

y

f(x) =e1.5x+2cos(x2 1) sin(x2 + 1)

Figura 6: Grafico de f(x) en el intervalo [2, 2]

b. Dividir sistematicamente y progresivamente el intervalo [a, b] en N = 1, 2, ..., n subintervalos ypara cada valor de N determinar el valor aproximado de la integral con cada uno de los tresmetodos. Se ha considerado n = 100 para este trabajo.

N Rectangulos Trapecios Simpson1 48.56390831 24.281954152 26.75368083 14.61270375 11.389620283 23.07719930 14.983214594 19.77704683 13.70655829 13.404509805 16.13461983 11.278228996 13.78041780 9.73342544 7.983495727 12.48890325 9.020052658 11.75238878 8.71714451 7.054006599 11.28309337 8.5850984610 10.95129679 8.52310137 7.6047255011 10.69880855 8.4913581712 10.49721679 8.47372061 8.0538190113 10.33104392 8.4632013014 10.19096909 8.45654380 8.2687075115 10.07091442 8.4521174716 9.96667337 8.44905124 8.3596868117 9.87520296 8.4468527118 9.79422710 8.44522965 8.3986067119 9.72199872 8.4440011420 9.65714873 8.44305102 8.4163675721 9.59858584 8.4423023122 9.54542772 8.44170253 8.42515065

7


23 9.49695218 8.4412150524 9.45256179 8.44081370 8.4298447325 9.41175761 8.4404794426 9.37411949 8.44019817 8.4325304727 9.33929092 8.4399592828 9.30696732 8.43975467 8.4341582929 9.27688683 8.4395780630 9.24882304 8.43942457 8.4351936031 9.22257914 8.4392903032 9.19798323 8.43917216 8.4358791333 9.17488444 8.4390676534 9.15314986 8.43897473 8.4363487435 9.13266186 8.4388917436 9.11331603 8.43881730 8.4366798537 9.09501929 8.4387502638 9.07768845 8.43868966 8.4369191639 9.06124889 8.4386346940 9.04563352 8.43858466 8.4370958841 9.03078178 8.4385390042 9.01663897 8.43849720 8.4372288343 9.00315545 8.4384588444 8.99028613 8.43842354 8.4373305445 8.97798996 8.4383909746 8.96622944 8.43836087 8.4374094847 8.95497031 8.4383329948 8.94418114 8.43830710 8.4374715749 8.93383311 8.4382830250 8.92389967 8.43826059 8.4375209751 8.91435640 8.4382396552 8.90518073 8.43822007 8.4375607053 8.89635182 8.4382017454 8.88785036 8.43818455 8.4375929755 8.87965848 8.4381684056 8.87175954 8.43815322 8.4376194057 8.86413811 8.4381389258 8.85677982 8.43812544 8.4376412359 8.84967126 8.4381127160 8.84279992 8.43810069 8.4376593961 8.83615413 8.4380893162 8.82972295 8.43807853 8.4376746163 8.82349616 8.4380683164 8.81746415 8.43805862 8.4376874465 8.81161793 8.4380494166 8.80594904 8.43804065 8.4376983167 8.80044954 8.4380323168 8.79511194 8.43802438 8.4377075969 8.78992919 8.4380168170 8.78489465 8.43800959 8.4377155471 8.78000206 8.4380027072 8.77524548 8.43799612 8.4377223973 8.77061933 8.4379898274 8.76611831 8.43798380 8.4377283175 8.76173742 8.4379780376 8.75747191 8.43797251 8.43773346

8


77 8.75331727 8.4379672178 8.74926924 8.43796213 8.4377379579 8.74532376 8.4379572680 8.74147700 8.43795257 8.4377418881 8.73772529 8.4379480782 8.73406514 8.43794375 8.4377453383 8.73049325 8.4379395984 8.72700646 8.43793558 8.4377483785 8.72360177 8.4379317386 8.72027631 8.43792801 8.4377510787 8.71702735 8.4379244388 8.71385227 8.43792098 8.4377534689 8.71074859 8.4379176490 8.70771392 8.43791443 8.4377555891 8.70474598 8.4379113292 8.70184261 8.43790832 8.4377574793 8.69900171 8.4379054394 8.69622129 8.43790262 8.4377591795 8.69349943 8.4378999196 8.69083431 8.43789729 8.4377606997 8.68822418 8.4378947598 8.68566734 8.43789230 8.4377620699 8.68316218 8.43788992100 8.68070715 8.43788761 8.43776329

c. Graficar el valor de dicha integral como funcion del numero de intervalos. Esto se hace para cadametodo por separado.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1005

10

15

20

25

30

35

40

45

50


Valo

r de

la in

tegr

al d

efin

ida

Metodo de Rectangulos

Figura 7: Valor de la integral vs numero de intervalos, Metodo de los rectangulos

9


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1008

10

12

14

16

18

20

22

24

26


Valo

r de

la in

tegr

al d

efin

ida

Metodo de Trapecios

Figura 8: Valor de la integral vs numero de intervalos, Metodo de los trapecios

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1007

8

9

10

11

12

13

14


Valo

r de

la in

tegr

al d

efin

ida

Metodo de Simpson

Figura 9: Valor de la integral vs numero de intervalos, Metodo de Simpson

d. Graficar en una misma figura las tres curvas obtenidas en cada uno de los metodos y determinarcual metodo converge mas rapidamente.

10

2 DISCUSION Y CONCLUSIONES

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1005

10

15

20

25

30

35

40

45

50


Valo

r de

la in

tegr

al d

efin

ida

Metodos de Integracion Numerica

Metodo de RectangulosMetodo de TrapeciosMetodo de Simpson

Figura 10: Convergencia de los tres metodos (Rectangulos, Trapecios y Simpson

2. Discusion y Conclusiones

En la Figura 1 se puede observar la grafica de la funcion f(x) = x2 en el intervalo [0, 1], podemosver que debajo de la curva se encuentra el area, cuyo valor se desea calcular.

En la Figura 2 se puede observar como converge el metodo de los rectangulos hacia el valor real dela integral de la ecuacion(1) que es 0.333... Se observa que a partir de n = 70, el valor de la integralcalculada con este metodo se aproxima al valor real.

En la Figura 3 se puede observar como converge el metodo de los trapecios hacia el valor de laintegral de la ecuacion(1) que es 0.333... Se observa que a partir de n = 15, el valor de la integralcalculada con este metodo se aproxima al valor real.

En la Figura 4 se puede observar como converge el metodo de Simpson hacia el valor de la integralde la ecuacion(1) que es 0.333... Se observa que a partir de n = 1, el valor de la integral calculada coneste metodo se aproxima al valor real. A pesar de que en la grafica se aprecia en el eje y el valor 0.333en distintas posiciones, estos valores son realmente los distintos valores de la integral hallada con estemetodo numerico que no se pudo representar textualmente en su totalidad en la grafica.

En la Figura 5 se puede observar la convergencia de los tres metodos numericos para encontrar elvalor de una integral definida, el metodo de Simpson es el que converge practicamente desde el inicio,siendo el mas rapido.

11

REFERENCIAS REFERENCIAS

En la Figura 6 se puede observar la grafica de la funcion f(x) =e1,5x+2 sin(x2+1) cos(x21)dx

en el intervalo [2, 2], podemos ver que debajo de la curva se encuentra el area, cuyo valor se deseacalcular.

En la Figura 7 se puede observar como converge el metodo de los rectangulos hacia el valor real dela integral de la ecuacion(2) que es 0.333... Se observa que a partir de n = 45, el valor de la integralcalculada con este metodo se aproxima al valor real.

En la Figura 8 se puede observar como converge el metodo de los trapecios hacia el valor de laintegral de la ecuacion(2) que es 8.4377776... Se observa que a partir de n = 10, el valor de la integralcalculada con este metodo se aproxima al valor real.

En la Figura 9 se puede observar como converge el metodo de Simpson hacia el valor de la integralde la ecuacion(2) que es 8.4377776... Se observa que a partir de n = 20, el valor de la integral calculadacon este metodo se aproxima al valor real.

En la Figura 10 se puede observar la convergencia de los tres metodos numericos para encontrar elvalor de una integral definida, el metodo de los trapecios es el que converge rapidamente, sin embargoel metodo que nos da un valor de la integral definida de la ecuacion(2) que se aproxime al valor reales el metodo de Simpson (ver literal 6.b). Esta variacion de n en el metodo de los trapecios como enel metodo de Simpson se debe a la naturaleza de la funcion

Observando las funciones f(x) de las ecuaciones (1) y (2) y fijandonos en el resultado de cada unode los metodos para los diferentes valores de n en los literales 3 y 6.b, se puede concluir que el metodoque nos da un valor aproximado al valor real de la integral definida es el metodo de Simpson (reglacompuesta), por lo que es el metodo recomendado para todos los casos en los que se desee encontrarel valor de una integral definida.

Referencias

[1] Richard L. Burden - J. Douglas Faires, Analisis Numerico, 7ma edicion, 2009

[2] http://www.matworks.com

[3] http://www.sc.ehu.es

12

A. Anexos

A.1. Metodo de los Rectangulos

f unc t i on area=metodorectangulos ( fx , a , b , n )

% fx% a y b extremos de l i n t e r v a l o [ a , b ]%n n sub in t e r va l o s

f = inline ( fx ) ;syms x

%1) D iv id i r [ a , b ] en n sub in t e r va l o s de ancho :

h=(ba ) /n ;

%2) y 3) Trazar l o s r e c tangu l o s i n s c r i t o s o c i r c u n s c r i t o s a l a func ion% donde cada uno t i e n e por area Ai , e l area r e s u l t an t e es l a sumatoria% de l a s areas AiA=[ ] ;f o r i=0:n

A ( i+1)=h*f ( a+(i*h ) ) ;end

area=sum( A ) ;

%f p r i n t f ( '%.10 f \n ' , area )

A.2. Metodo de los Trapecios

f unc t i on area=metodotrapecios ( fx , a , b , n )

% fx% a y b extremos de l i n t e r v a l o [ a , b ]%n n sub in t e r va l o s

f = inline ( fx ) ;syms x

%1) D iv id i r [ a , b ] en n sub in t e r va l o s de ancho :

h=(ba ) /n ;

%2) Ca lcu lar e l area de l o s t r ap e c i o s y sumar d ichas areasA=[ ] ;f o r i=0:n1

A ( i+1)=(h /2) *( f ( a+(i*h ) )+f ( a+((i+1)*h ) ) ) ;end

area=sum( A ) ;

%f p r i n t f ( '%.10 f \n ' , area )

A.3. Metodo de Simpson

f unc t i on area=metodosimpson ( fx , a , b , n )

%r e g l a compuesta de simpson

% fx% a y b extremos de l i n t e r v a l o [ a , b ]%n n sub in t e rva l o s , n es PAR

f = inline ( fx ) ;

A.4 Calibracion (primera integral definida) A ANEXOS

syms x

h=(ba ) /n ;

S1=0; %suma de terminos paresS2=0; %suma de terminos impares

i f mod ( n , 2 )==0

f o r i=1:( n /2)1S1=S1+f ( a+2*i*h ) ;

end

f o r i=1:n/2S2=S2+f ( a+(2*i1)*h ) ;

end

area=(h /3) *( f ( a )+2*S1+4*S2+f ( b ) ) ;e l s e

d i sp ( 'n debe s e r PAR ' )end

%f p r i n t f ( '%.10 f \n ' , area )

A.4. Calibracion (primera integral definida)

%CALIBRACION DE CODIGO

%1) E l e g i r una func ion cuya i n t e g r a l d e f i n i d a en un c i e r t o i n t e r v a l o sea%s e n c i l l a de c a l c u l a r . Se escoge f ( x )= x2 de f i n i d o en [ 0 , 1 ]

%2) Gra f i ca r dicha func ion

fx= 'x2 ' ;

imagen = f i g u r e (11) ;g r id onhold on

z=0 : 0 . 0 1 : 1 ;y = subs ( fx , z ) ;p l o t ( z , y , 'b ' )

x l ab e l ( 'x ' )y l ab e l ( 'y ' )t i t l e ( ' f ( x )=x2 ' )p r i n t ( imagen , 'depsc ' , ' f i gu r a11 . eps ' )

%3) D iv id i r [ a , b ] en n sub in t e rva l o s , y para cada va lo r de n determine e l%va lo r aproximado de l a i n t e g r a l con cada uno de e so s metodos . Se e l i g e%n=100

ValorIntegralRectangulos =[ ] ;ValorIntegralTrapecios =[ ] ;ValorIntegralSimpson =[ ] ;

n=100; %nro de i n t e r v a l o s

f p r i n t f ( '\tN\ tRectangulos \ tTrapec ios \ tSimpson\n ' )f o r N=1:n

i f mod ( N , 2 )==0 %e l metodo de simpson so l o acepta N parValorIntegralRectangulos ( N )=metodorectangulos ( fx , 0 , 1 , N ) ;ValorIntegralTrapecios ( N )=metodotrapecios ( fx , 0 , 1 , N ) ;ValorIntegralSimpson ( N )=metodosimpson ( fx , 0 , 1 , N ) ;f p r i n t f ( '\ t %d\ t %.8 f \ t %.8 f \ t %.8 f \n ' , N , ValorIntegralRectangulos ( N ) ,

ValorIntegralTrapecios ( N ) , ValorIntegralSimpson ( N ) )e l s e

ValorIntegralRectangulos ( N )=metodorectangulos ( fx , 0 , 1 , N ) ;ValorIntegralTrapecios ( N )=metodotrapecios ( fx , 0 , 1 , N ) ;

f p r i n t f ( '\ t %d\ t %.8 f \ t %.8 f \n ' , N , ValorIntegralRectangulos ( N ) , ValorIntegralTrapecios ( N) )

14

A ANEXOS A.4 Calibracion (primera integral definida)

endend

%4) Gra f i ca r e l va l o r de dicha i n t e g r a l como func ion de l numero de%in t e r va l o s , e s to se hace para cada metodo

N=1:1: n ;

%METODO DE LOS RECTANGULOSimagen = f i g u r e (12) ;g r id onhold on

p lo t ( N , ValorIntegralRectangulos , ' r ' )

x l ab e l ( 'Numero de i n t e r v a l o s ' )y l ab e l ( 'Valor de l a i n t e g r a l d e f i n i d a ' )t i t l e ( 'Metodo de Rectangulos ' )p r i n t ( imagen , 'depsc ' , ' f i gu r a12 . eps ' )

%METODO DE LOS TRAPECIOSimagen = f i g u r e (13) ;g r id onhold on

p lo t ( N , ValorIntegralTrapecios , ' g ' )

x l ab e l ( 'Numero de i n t e r v a l o s ' )y l ab e l ( 'Valor de l a i n t e g r a l d e f i n i d a ' )t i t l e ( 'Metodo de Trapec ios ' )p r i n t ( imagen , 'depsc ' , ' f i gu r a13 . eps ' )

%METODO DE SIMPSONN=2:2: n ;imagen = f i g u r e (14) ;g r id onhold on

%ext ra e r l o s va l o r e s paresValorIntegralSimpson2 =[ ] ;

f o r i=1:ni f mod ( i , 2 )==0

ValorIntegralSimpson2 ( i /2)=ValorIntegralSimpson ( i ) ;end

endp lo t ( N , ValorIntegralSimpson2 , 'b ' )

x l ab e l ( 'Numero de i n t e r v a l o s ' )y l ab e l ( 'Valor de l a i n t e g r a l d e f i n i d a ' )t i t l e ( 'Metodo de Simpson ' )p r i n t ( imagen , 'depsc ' , ' f i gu r a14 . eps ' )

%5) Graf ique en una misma f i g u r a l a s 3 curvas obten idas en cada uno de l o s%metodos

N=1:1: n ;


%METODO DE LOS RECTANGULOSp lo t ( N , ValorIntegralRectangulos , ' r ' )

%METODO DE LOS TRAPECIOSp lo t ( N , ValorIntegralTrapecios , ' g ' )

%METODO DE SIMPSONN=2:2: n ;p l o t ( N , ValorIntegralSimpson2 , 'b ' )

x l ab e l ( 'Numero de i n t e r v a l o s ' )y l ab e l ( 'Valor de l a i n t e g r a l d e f i n i d a ' )t i t l e ( 'Metodos de In t eg ra c i on Numerica ' )legend ( 'Metodo de Rectangulos ' , 'Metodo de Trapec ios ' , 'Metodo de Simpson ' )p r i n t ( imagen , 'depsc ' , ' f i gu r a15 . eps ' )

15

A.5 Aplicacion de los tres metodos numericos(segunda integral definida) A ANEXOS

A.5. Aplicacion de los tres metodos numericos(segunda integral definida)

%SEGUNDA INTEGRAL

%2) Gra f i ca r dicha func ion

fx= ' s q r t ( exp (1.5*x+2) ) *( s i n (x2+1) ) *( cos ( x21) ) ' ;


z=2:0.01:2;y = subs ( fx , z ) ;p l o t ( z , y , 'b ' )

x l ab e l ( 'x ' )y l ab e l ( 'y ' )

s e t ( imagen , ' d e f a u l t t e x t i n t e r p r e t e r ' , ' l a t ex ' ) ;t i t l e ( ' $$ f ( x )=\s q r t {e {1.5x+2}}\ cos ( x2 1)\ s i n (x2 + 1) $$ ' ) ;p r i n t ( imagen , 'depsc ' , ' f i gu r a16 . eps ' )

%3) D iv id i r [ a , b ] en n sub in t e rva l o s , y para cada va lo r de n determine e l%va lo r aproximado de l a i n t e g r a l con cada uno de e so s metodos . Se e l i g e%n=100

ValorIntegralRectangulos =[ ] ;ValorIntegralTrapecios =[ ] ;ValorIntegralSimpson =[ ] ;

n=100; %nro de i n t e r v a l o s

f p r i n t f ( '\tN\ tRectangulos \ tTrapec ios \ tSimpson\n ' )f o r N=1:n

i f mod ( N , 2 )==0 %e l metodo de simpson so l o acepta N parValorIntegralRectangulos ( N )=metodorectangulos ( fx ,2 ,2 , N ) ;ValorIntegralTrapecios ( N )=metodotrapecios ( fx ,2 ,2 , N ) ;ValorIntegralSimpson ( N )=metodosimpson ( fx ,2 ,2 , N ) ;f p r i n t f ( '\ t %d\ t %.8 f \ t %.8 f \ t %.8 f \n ' , N , ValorIntegralRectangulos ( N ) ,

ValorIntegralTrapecios ( N ) , ValorIntegralSimpson ( N ) )e l s e

ValorIntegralRectangulos ( N )=metodorectangulos ( fx ,2 ,2 , N ) ;ValorIntegralTrapecios ( N )=metodotrapecios ( fx ,2 ,2 , N ) ;

f p r i n t f ( '\ t %d\ t %.8 f \ t %.8 f \n ' , N , ValorIntegralRectangulos ( N ) , ValorIntegralTrapecios ( N) )

endend

%4) Gra f i ca r e l va l o r de dicha i n t e g r a l como func ion de l numero de%in t e r va l o s , e s to se hace para cada metodo

N=1:1: n ;

%METODO DE LOS RECTANGULOSimagen = f i g u r e (17) ;g r id onhold on

p lo t ( N , ValorIntegralRectangulos , ' r ' )

x l ab e l ( 'Numero de i n t e r v a l o s ' )y l ab e l ( 'Valor de l a i n t e g r a l d e f i n i d a ' )t i t l e ( 'Metodo de Rectangulos ' )p r i n t ( imagen , 'depsc ' , ' f i gu r a17 . eps ' )

%METODO DE LOS TRAPECIOSimagen = f i g u r e (18) ;g r id onhold on

p lo t ( N , ValorIntegralTrapecios , ' g ' )

16

A ANEXOS A.5 Aplicacion de los tres metodos numericos(segunda integral definida)

x l ab e l ( 'Numero de i n t e r v a l o s ' )y l ab e l ( 'Valor de l a i n t e g r a l d e f i n i d a ' )t i t l e ( 'Metodo de Trapec ios ' )p r i n t ( imagen , 'depsc ' , ' f i gu r a18 . eps ' )

%METODO DE SIMPSONN=2:2: n ;imagen = f i g u r e (19) ;g r id onhold on

%ext ra e r l o s va l o r e s paresValorIntegralSimpson2 =[ ] ;

f o r i=1:ni f mod ( i , 2 )==0

ValorIntegralSimpson2 ( i /2)=ValorIntegralSimpson ( i ) ;end

endp lo t ( N , ValorIntegralSimpson2 , 'b ' )

x l ab e l ( 'Numero de i n t e r v a l o s ' )y l ab e l ( 'Valor de l a i n t e g r a l d e f i n i d a ' )t i t l e ( 'Metodo de Simpson ' )p r i n t ( imagen , 'depsc ' , ' f i gu r a19 . eps ' )

%5) Graf ique en una misma f i g u r a l a s 3 curvas obten idas en cada uno de l o s%metodos

N=1:1: n ;


%METODO DE LOS RECTANGULOSp lo t ( N , ValorIntegralRectangulos , ' r ' )

%METODO DE LOS TRAPECIOSp lo t ( N , ValorIntegralTrapecios , ' g ' )

%METODO DE SIMPSONN=2:2: n ;p l o t ( N , ValorIntegralSimpson2 , 'b ' )

x l ab e l ( 'Numero de i n t e r v a l o s ' )y l ab e l ( 'Valor de l a i n t e g r a l d e f i n i d a ' )t i t l e ( 'Metodos de In t eg ra c i on Numerica ' )legend ( 'Metodo de Rectangulos ' , 'Metodo de Trapec ios ' , 'Metodo de Simpson ' )p r i n t ( imagen , 'depsc ' , ' f i gu r a20 . eps ' )

17

Integracin NumricaDiscusin y ConclusionesAnexosMetodo de los RectangulosMetodo de los TrapeciosMetodo de SimpsonCalibracin (primera integral definida)Aplicacin de los tres mtodos numricos(segunda integral definida)

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