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Proyecto Nro. 1: Races de Funciones

Algoritmos Numricos

Jonathan Morocho Jimnez

Escuela Politcnica Nacional

Facultad de Ingeniera de Sistemas

07 de marzo de 2014

1. Mtodos de Biseccin, Iteracin de Punto Fijo y de Newton

Se pretende resolver el siguiente problema:

Dada una funcin continua, encontrar los valores de x para los cuales f(x) = 0. Los mtodos numricoscon los que se va a trabajar permitirn obtener aproximaciones numricas al problema de la bsqueda

de races de una funcin.

1.1. Criterios de Parada

Se debe tener un nmero de iteraciones para evitar que el programa se siga ejecutando en caso

de que la sucesin (pn)Nn diverge. En algunos casos se puede especicar el numero de iteraciones y en

otras se puede calcular, dependiendo del mtodo. En caso de que la sucesin converga, se utilizar un

criterio de parada basado en propiedades o teoremas de cada mtodo.

1.1.1. Criterio de Parada para el Mtodo de Biseccin

El nmero de iteraciones se puede encontrar basndonos en el siguiente teorema:

Teorema 1. (Error en el mtodo de biseccin). Si f es continua en [a, b] y f(a).f(b) < 0, el mtodode biseccin genera una sucesin (pn)

Nn que aproxima un cero p de f con la propiedad de que:

|p pn| b a2n

;n 1 (1)Como el valor |ppn| va disminuyendo en cada iteracin, se aproxima a una toleracia t seleccionaday se tiene que

|p pn| b a2n

< t (2)

Tomando los dos ltimos miembros de esta inecuacin y despejando n se tiene que el nmero deiteraciones necesarias n para llegar a la tolerancia t es:

n >

log

(b at

)log(2)(3)

Con esto se evita que se ejecute innitas iteraciones si la sucesin (pn)Nn diverge.

El criterio de parada a usar si la sucesin sea convergente, es

|bn an|2

< t (4)

1

2 CLCULO DE RACES DE ALGUNAS FUNCIONES

1.1.2. Criterio de Parada para el Mtodo de Iteracin de Punto Fijo

El nmero de iteraciones se puede encontrar basndonos en el corolario del siguiente teorema:

Teorema 2. Sea g una funcin continua en [a, b] tal que g(p)[a, b] para toda p en [a, b]. Ademssuponga que existe g' en [a, b] y una constante positiva K < 1 tal que |g(p)| K, para toda p[a, b],entonces para cualquier nmero p0 en [a, b], la sucesin denida por pn+1 = g(pn), converge al nicopunto jo p en [a, b].

Corolario 1. Si g satisface las hiptesis del Teorema 2, una cota para el error al aproximar el punto

jo p de g por pn es:

|p pn| Knmax {p0 a, b p0} (5)Como el valor |ppn| va disminuyendo en cada iteracin, se aproxima a una toleracia t seleccionada,si se inicia con un valor p0 se tiene que |g(p0)| K, por lo que se puede llegar a

|g(p0)|nmax {p0 a, b p0} < t (6)

Tomando los dos ltimos miembros de esta inecuacin y despejando n se tiene que el nmero deiteraciones necesarias n para llegar a la tolerancia t es:

n >

log

(t

max {p0 a, b p0})

log (|g(p0)|) (7)

si p[a, b].

Con esto se evita que se ejecute innitas iteraciones si la sucesin (pn)Nn diverge. Si |g(p0)| < 1,la funcin converge, caso contrario diverge, lo cual se puede aprovechar para optimizar el programa.

El criterio de parada a usar si la sucesin sea convergente, es

|pn pn1| < t (8)

Se debe tener en cuenta que el mtodo necesita una aproximacin p0, este se calcula como el puntomedio de a y b, por facilidad de implementacin del mtodo en Matlab, aunque existen otras formasde obtener p0.

1.1.3. Criterio de Parada para el Mtodo de Newton

El nmero de iteraciones se puede asignar de forma manual ya que la sucesin (pn)Nn converge

rpidamente. Para este proyecto se ha utilizado un limite de 15 iteraciones.

El criterio de parada a usar si la sucesin es convergente, es

|pn pn1| < t (9)

2. Clculo de races de algunas funciones

1. Dada la funcin

f(x) = 3x3 39x2 135x+ 675 (10)Utilice los mtodos de Biseccin, Iteracin de Punto Fijo y de Newton para determinar las tres

races de dicha funcin y presente los siguientes resultados (para cada una de las races):

a) Grca de la funcin.

2


5 0 5 10 15 202000

1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

x

f(x)

Grafico de f(x)

Figura 1: Grca de f(x)

b) En una misma grca: las sucesiones (pn)Nn generadas por cada mtodo como funcin de n (elnumero de iteraciones).

0 5 10 155.5

5

4.5

4

3.5

3

n

p n

Grafico de pn vs n

BiseccionPto. FijoNewton

Figura 2: Grca de (pn)Nn como funcin de n para x1 = 5

3


0 5 10 152.5

2.6

2.7

2.8

2.9

3

3.1

3.2

3.3

n

p n

Grafico de pn vs n



0 2 4 6 8 10 12 14 16 1814.6

14.7

14.8

14.9

15

15.1

15.2

15.3

15.4

15.5

15.6

n

p n

Grafico de pn vs n



c) Las sucesiones (f(pn))Nn generadas por cada mtodo como funcin de n.

4


0 5 10 15300

200

100

0

100

200

300

400

500

600

n

f n

Grafico de f(pn) vs n


Figura 5: Grca de (f(pn))Nn como funcin de n para x1 = 5

0 5 10 15100

50

0

50

100

150

n

f n




5


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18200

100

0

100

200

300

400

n

f n




d) Las sucesiones de errores (n)Nn generados (en cada mtodo) como funcin de n. n es el errorabsoluto entre pn y el valor exacto de la raz correspondiente.

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

n

E n

Grafico de En vs n


Figura 8: Grca de (n)Nn como funcin de n para x1 = 5

6


0 5 10 150

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

n

E n

Grafico de En vs n



0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

n

E n

Grafico de En vs n



e) Las sucesiones de errores relativos (rn)Nn generados (en cada mtodo) como funcin de n.

7


0 5 10 150

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

n

E r

Grafico de Er vs n


Figura 11: Grca de (rn)Nn como funcin de n para x1 = 5

0 5 10 150

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

n

E r

Grafico de Er vs n



8


0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

n

E r

Grafico de Er vs n



f) Para la raz x1 = 5, la grca de la funcin y las sucesiones (f(pn))Nn como funcin de (pn)Nngeneradas a travs del mtodo de biseccin.

10 5 0 5 10 15 206000

4000

2000

0

2000

4000

6000

8000

x

f(x)

Grafico de f(x) y f(pn) vs p

n

f(x)f(p

n) vs p

n

Figura 14: Grca de f(x) y (f(pn))Nn como funcin de n para x1 = 5

g) Para la raz x2 = 3, la grca de la funcin y las sucesiones (f(pn))Nn como funcin de (pn)

Nn

generadas a travs del mtodo de punto jo.

9


10 5 0 5 10 15 206000

4000

2000

0

2000

4000

6000

8000Grafico de f(x) y f(p

n) vs p

n

f(x)f(p

n) vs p

n


h) Para la raz x3 = 15, la grca de la funcin y las sucesiones (f(pn))Nn como funcin de (pn)

Nn

generadas a travs del mtodo de Newton.

10 5 0 5 10 15 206000

4000

2000

0

2000

4000

6000


n) vs p

n

f(x)f(p

n) vs p

n


i) Exprese f(x) = 0 como un problema de punto jo g(x) = x de al menos 3 formas diferentes(ed.g1(x) = x, g2(x) = x, g3(x) = x) y en una misma grca presente las sucesiones (pn)

Nn

10


generadas por cada g(x) como funcin de n. Sea:

g1(x) =

3x3 135x+ 67539(11)

g2(x) = 6753x2 39x 135 (12)

g3(x) =

(39x2 + 135x 675

3

)1/3(13)

Se usan los p0 con los que se encontraron las races de la funcin f(x).

1 2 3 4 5 6 7 8 96

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

n

p n

Grafico de pn vs n

pn de g1(p)

pn de g2(p)

Figura 17: Grca de las sucesiones (pn)Nn generadas por g1(x), g2(x) y g3(x) como funcin de n para

p0 = 1,5.

11


1 2 3 4 5 6 7 86

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

n

p n

Grafico de pn vs n

pn de g1(p)

pn de g2(p)


p0 = 2,5.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 1815

15.05

15.1

15.15

15.2

15.25

15.3

15.35

n

p n

Grafico de pn vs n

pn de g3(p)

Figura 19: Grca de las sucesiones (pn)Nn generadas por (g1(x), g2(x) y g3(x) como funcin de n para

p0 = 15,5.

j) Las sucesiones (f(pn))Nn generadas por cada mtodo como funcin de n.

12


0 5 10 15300

200

100

0

100

200

300

400

500

600

n

f n



Figura 20: Grca de (f(pn))Nn como funcin de n para x1 = 3,14159

2. Dada la funcin

f(x) =2x2 sinx

x2 + 3(14)

Elegir un mtodo para determinar la raz de dicha funcin en el intervalo [1,5] y presente los mismos

resultados del ejercicio anterior.

El mtodo elegido es el mtodo de newton.

La ejecucin del programa muestra la siguiente salida:

Figura 21: Raiz en el intervalo [1, 5]

a) Grca de la funcin.

13


10 5 0 5 10 15 202

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

f(x)

Grafico de f(x)

Figura 22: Grca de f(x)

b) En una misma grca: las sucesiones (pn)Nn generadas por cada mtodo como funcin de n (elnumero de iteraciones).

0 2 4 6 8 10 12 143.1

3.15

3.2

3.25

3.3

3.35

3.4

3.45

3.5

n

p n

Grafico de pn vs n

BiseccionNewton

Figura 23: Grca de (pn)Nn como funcin de n para x1 = 3,14159

c) Las sucesiones (f(pn))Nn generadas por cada mtodo como funcin de n.

14


0 2 4 6 8 10 12 140.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

n

f n


BiseccionNewton

Figura 24: Grca de (f(pn))Nn como funcin de n para x1 = 3,14159

d) Las sucesiones de errores (n)Nn generados (en cada mtodo) como funcin de n. n es el errorabsoluto entre pn y el valor exacto de la raz correspondiente.

0 2 4 6 8 10 12 140

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

n

E n

Grafico de En vs n

BiseccionNewton

Figura 25: Grca de (n)Nn como funcin de n para x1 = 3,14159

e) Las sucesiones de errores relativos (rn)Nn generados (en cada mtodo) como funcin de n.

15


0 2 4 6 8 10 12 140

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

n

E r

Grafico de Er vs n

BiseccionNewton

Figura 26: Grca de (rn)Nn como funcin de n para x1 = 3,14159

f) Para la raz x1 = 3,14159, la grca de la funcin y las sucesiones (f(pn))Nn como funcin de

(pn)Nn generadas a travs del mtodo de biseccin.

10 5 0 5 10 15 202

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

f(x)

Grafico de f(x) y f(pn) vs p

n

f(x)f(p

n) vs p

n

Figura 27: Grca de f(x) y (f(pn))Nn como funcin de n para x1 = 3,14159

g) Para la raz x1 = 3,14159, la grca de la funcin y las sucesiones (f(pn))Nn como funcin de

(pn)Nn generadas a travs del mtodo de Newton.

16


10 5 0 5 10 15 202

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5


n) vs p

n

f(x)f(p

n) vs p

n

Figura 28: Grca de f(x) y (f(pn))Nn como funcin de n para x1 = 3,14159

h) Exprese f(x) = 0 como un problema de punto jo g(x) = x de al menos 3 formas diferentes(ed.g1(x) = x, g2(x) = x, g3(x) = x) y en una misma grca presente las sucesiones (pn)

Nn

generadas por cada g(x) como funcin de n. Sea:

g1(x) = x 2x2 sinx

x2 + 3(15)

g2(x) = arcsin

((x2 + 3) sin(x)

3

)(16)

g3(x) = arcsin

(3 sin(x)

x2 + 3

)(17)

Se usan los p0 con los que se encontraron las races de la funcin f(x).

17

3 DISCUSIN Y CONCLUSIONES

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1801

0.5

0

0.5

1

1.5

2

n

p n

Grafico de pn vs n

pn de g1(p)

pn de g2(p)


p0 = 2,5.

3. Discusin y Conclusiones

Cuando se observa los grcos de las sucesiones (pn)Nn generadas por cada mtodo como funcin

de n se puede apreciar que el mtodo de newton es el que converge mas rpido.

Cuando se observa los grcos de las sucesiones (f(pn))Nn generadas por cada mtodo como funcin

de n se aprecia que el mtodo que realiza mas operaciones es el de punto jo, seguido por el de bisecciny el de newton. Esto se debe a que, como se debe aproximar a la raz con un valor, la sucesin puede

diverger o converger, en caso de converger, se aproxima a la raz real.

Cuando se observa los grcos de las sucesiones de errores (n)Nn y las sucesiones de errores relativos

(rn)Nn generados (en cada mtodo) como funcin de n, se aprecia que el mtodo que genera menoserrores en menos iteraciones es el mtodo de newton.

Cuando se observa los grcos de la grca de la funcin y las sucesiones (f(pn))Nn como funcin

de (pn)Nn generadas a travs de los tres mtodos, se observa que todos se aproximan a la raz real de

forma grca.

Cuando las funciones f(x) = 0 se expresan como un problema de punto jo g(x) = x, se observaque para diferentes races, las sucesiones convergen o divergen, por eso no aparecen los tres mtodos en

un mismo grco, por lo que es necesario, para cada raz, tener un g(x) = x y una buena aproximacininicial. Una funcin g(x) = x no necesariamente debe servir para hallar varias races.

18

REFERENCIAS REFERENCIAS

Referencias

[1] Richard L. Burden - J. Douglas Faires, Analisis Numerico, 7ma edicin, 2009

[2] http://www.matworks.com

[3] http://www.wolfram.com

[4] http://portales.puj.edu.co/objetosdeaprendizaje/Online/OA10/AnimacionesFlash/indicecap5.html

[5] http://noosfera.indivia.net/metodos/

[6] http://www.youtube.com/watch?v=idnu2cz1kTo&list=PLzSFZWTjelbLW1xL0pG1HmT6alKFJexhA

19

REFERENCIAS REFERENCIAS

20

A. Anexos

A.1. Mtodo de Biseccin

1 %Metodo de b i s e c c i o n

2 f unc t i on [ Sn Spn Sfpn SEn SEr ] = b i s e c c i o n ( fx , a , b , ra i z , t o l )

3

4

5 f = i n l i n e ( fx ) ;

6 l i m i t e I t e r a c i o n e s = int16 ( log10 ( ( ba ) / t o l ) / log10 (2 ) ) ;7 n = 1 ;

8

9 %datos para g r a f i c o s

10 Sn = [ ] ;

11 Spn = [ ] ;

12 Sfpn = [ ] ;

13 SEn = [ ] ;

14 SEr = [ ] ;

15

16 %metodo

17 f p r i n t f ( ' \ tn\ ta \ t \ tp\ t \ tb\ t \ t f ( a ) \ t \ t f (p) \ t \ t f (b) \n ' )

18

19 whi le (n 0)42 a = p ;

43 e l s e

44 b = p ;

45 end

46

47 n = n + 1 ;

A.2 Mtodo de Punto Fijo A ANEXOS

48 end

49

50 i f (n > l im i t e I t e r a c i o n e s ) %se e j e cu ta ron todas l a s i t e r a c i o n e s

51 f p r i n t f ( ' \nSe l l e g o a l maximo de i t e r a c i o n e s . Ajuste e l i n t e r v a l o o

l a t o l e r a n c i a . \ nPos ib l e s o l u c i on aproximada ( s i e l i n t e r v a l o es

aduecuado ) : %f \n ' ,p )

52 Sn = 1 : n1;53 e l s e %no se e j e cu ta ron todas l a s i t e r a c i o n e s

54 f p r i n t f ( ' \nLa r a i z en e l i n t e r v a l o dado es aproximadamente %.8 f \n ' ,p )

55 Sn = 1 : n ;

56 end

57

58 %GRAFICOS

59 %Graf i co de l a func ion

60 x = 10 :0 . 5 : 20 ;61 y = f (x ) ;

62 f i g u r e (1 ) ;

63 p lo t (x , y , 'b ' )

64 x l ab e l ( ' x ' )

65 y l ab e l ( ' f ( x ) ' )

66 t i t l e ( ' Gra f i co de f ( x ) ' )

67 ax i s square

68 g r id on

69

70 %Graf i co de l a func ion y f (pn) vs pn

71 f i g u r e (2 )

72 hold on

73 g r id on

74 ax i s square

75 p lo t (x , y , 'b ' )

76 p lo t (Spn , Sfpn , 'm. ' )

77 l egend ( ' f ( x ) ' , ' f (p_n) vs p_n ' )

78 t i t l e ( ' Gra f i co de f ( x ) y f (p_n) vs p_n ' )

79 x l ab e l ( ' x ' )

80 y l ab e l ( ' f ( x ) ' )

A.2. Mtodo de Punto Fijo

1 %Metodo de punto f i j o

2 f unc t i on [ Sn Spn Sfpn SEn SEr ] = pun to f i j o ( fx , gx , a , b , r a i z , t o l )

3

4 f = i n l i n e ( fx ) ;

5 g = i n l i n e ( gx ) ;

6 syms x

7 dg = d i f f ( gx , x ) ;

8

9 e r r o r = 1 ;

10 x = a + ( ( b a ) / 2) ;11 l i m i t e I t e r a c i o n e s = int16 ( c e i l ( log10 ( t o l /max ( [ xa bx ] ) ) / log10 ( abs ( eva l (dg ) ) ) ) ) ;

12

13 n = 1 ;

14

22

A ANEXOS A.2 Mtodo de Punto Fijo


16 Sn = [ ] ;

17 Spn = [ ] ;

18 Sfpn = [ ] ;

19 SEn = [ ] ;

20 SEr = [ ] ;

21

22 %metodo

23

24 i f ( abs ( eva l ( dg ) )

A.3 Mtodo de Newton A ANEXOS

64 %GRAFICOS


66 z = 10 :0 . 5 : 20 ;67 y = f ( z ) ;

68 f i g u r e (1 ) ;

69 p lo t ( z , y , 'b ' )

70 x l ab e l ( ' x ' )

71 y l ab e l ( ' f ( x ) ' )


73 ax i s square

74 g r id on

75


77 f i g u r e (2 )

78 hold on

79 g r id on

80 ax i s square

81 p lo t ( z , y , 'b ' )

82 p lo t (Spn , Sfpn , 'm. ' )



85

86 e l s e

87 di sp ( ' \ng (x ) d iverge , e l i j a ot ra func ion \n ' )

88 end

A.3. Mtodo de Newton

1 %Metodo de newton

2 f unc t i on [ Sn Spn Sfpn SEn SEr ] = newton ( fx , a , b , ra i z , t o l )

3

4 f = i n l i n e ( fx ) ;

5 syms x

6 d = d i f f ( fx , x ) ;

7 df = i n l i n e (d) ;

8

9 e r r o r = 1 ;

10 x = a + ( ( b a ) / 2) ;11 l i m i t e I t e r a c i o n e s = 15 ;

12 n = 1 ;

13


15 Sn = [ ] ;

16 Spn = [ ] ;

17 Sfpn = [ ] ;

18 SEn = [ ] ;

19 SEr = [ ] ;

20

21 %metodo

22 f p r i n t f ( ' \ tn\tpn\n ' )

23

24 whi le (n

A ANEXOS A.3 Mtodo de Newton

26 xant = x ;

27 x = x ( f ( x ) / df ( x ) ) ;28 e r r o r = abs (xxant ) ;29

30 Fp = f (x ) ;

31 En = abs (xr a i z ) ;32 Er = abs (En/ r a i z ) ;

33


35 Spn(n) = x ;

36 Sfpn (n) = Fp ;

37 SEn(n) = En ;

38 SEr (n) = Er ;

39

40 f p r i n t f ( ' \ t %d\ t %.8 f \n ' ,n , x )

41

42 i f ( e r r o r < t o l )

43 break

44 end

45

46 n = n+1;

47

48 end

49

50 i f (n > l im i t e I t e r a c i o n e s ) %se e j e cu ta ron todas l a s i t e r a c i o n e s

51 f p r i n t f ( ' \nSe l l e g o a l maximo de i t e r a c i o n e s . Ajuste e l i n t e r v a l o o

l a t o l e r a n c i a . \ nPos ib l e s o l u c i on aproximada ( s i e l i n t e r v a l o es

aduecuado ) : %f \n ' , x )

52 Sn = 1 : n1;53 e l s e %no se e j e cu ta ron todas l a s i t e r a c i o n e s

54 f p r i n t f ( ' \nLa r a i z en e l i n t e r v a l o dado es aproximadamente %.8 f \n ' , x )

55 Sn = 1 : n ;

56 end

57

58 %GRAFICOS


60 z = 10 :0 . 5 : 20 ;61 y = subs ( fx , z ) ;

62 f i g u r e (1 ) ;

63 p lo t ( z , y , 'b ' )

64 x l ab e l ( ' x ' )

65 y l ab e l ( ' f ( x ) ' )


67 ax i s square

68 g r id on

69


71 f i g u r e (2 )

72 hold on

73 g r id on

74 ax i s square

75 p lo t ( z , y , 'b ' )

25

A.4 Gracas A ANEXOS

76 p lo t (Spn , Sfpn , 'm. ' )



A.4. Gracas

1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

2 %Pn vs n

3 f i g u r e (11) ;

4 hold on

5 g r id on

6 x l ab e l ( 'n ' )

7 y l ab e l ( 'p_n ' )

8

9 %Suces ion Pn vs n Metodo de B i s e c c i on

10 p lo t (bSn , bSpn , 'b. ' )11

12 %Suces ion Pn vs n Metodo de Punto f i j o

13 p lo t (pSn , pSpn , ' r . ' )14

15 %Suces ion Pn vs n Metodo de Newton

16 p lo t (nSn , nSpn , ' . ' , ' c o l o r ' , [ 0 . 0 3 5 0 .8 0 . 2 3 9 ] )17 t i t l e ( ' Gra f i co de p_n vs n ' )

18 l egend ( ' B i s e c c i on ' , ' Pto . F i j o ' , 'Newton ' )

19

20 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

21 %fn vs n

22 f i g u r e (22) ;

23 hold on

24 g r id on

25 x l ab e l ( 'n ' )

26 y l ab e l ( ' f_n ' )

27

28 %Suces ion fn vs n Metodo de B i s e c c i on

29 p lo t (bSn , bSfpn , 'b. ' )30

31 %Suces ion fn vs n Metodo de Punto f i j o

32 p lo t (pSn , pSfpn , ' r . ' )33

34 %Suces ion fn vs n Metodo de Newton

35 p lo t (nSn , nSfpn , ' . ' , ' c o l o r ' , [ 0 . 0 3 5 0 .8 0 . 2 3 9 ] )36 t i t l e ( ' Gra f i co de f (p_n) vs n ' )


38

39 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

40 %En vs n

41 f i g u r e (33) ;

42 hold on

43 g r id on

44 x l ab e l ( 'n ' )

45 y l ab e l ( 'E_n ' )

46

47 %Suces ion En vs n Metodo de B i s e c c i on

26

A ANEXOS A.5 Problema punto jo 1

48 p lo t (bSn , bSEn , 'b. ' )49

50 %Suces ion En vs n Metodo de Punto f i j o

51 p lo t (pSn , pSEn , ' r . ' )52

53 %Suces ion En vs n Metodo de Newton

54 p lo t (nSn , nSEn , ' . ' , ' c o l o r ' , [ 0 . 0 3 5 0 .8 0 . 2 3 9 ] )55 t i t l e ( ' Gra f i co de E_n vs n ' )


57

58 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

59 %Er vs n

60 f i g u r e (44) ;

61 hold on

62 g r id on

63 x l ab e l ( 'n ' )

64 y l ab e l ( 'E_r ' )

65

66 %Suces ion Er vs n Metodo de B i s e c c i on

67 p lo t (bSn , bSEr , 'b. ' )68

69 %Suces ion Er vs n Metodo de Punto f i j o

70 p lo t (pSn , pSEr , ' r . ' )71

72 %Suces ion Er vs n Metodo de Newton

73 p lo t (nSn , nSEr , ' . ' , ' c o l o r ' , [ 0 . 0 3 5 0 .8 0 . 2 3 9 ] )74 t i t l e ( ' Gra f i co de E_r vs n ' )


A.5. Problema punto jo 1

1 %Se deben co l o c a r l o s va l o r e s r e s p e c t i v o s para cada r a i z antes de

e j e cu t a r

2 %es t e s c r i p t

3

4 %a = i n i c i o de l i n t e r v a l o

5 %b = f i n de l i n t e r v a l o

6 %ra i z = r a i z exacta en e l i n t e r v a l o

7 %t = t o l e r a n c i a

8 c l e a r v a r s

9 [ p1Sn p1Spn ] = pun to f i j o ( ' 3x.^339x.^2135x+675 ' , ' (((3x^3135x+675) /39) ) ^(1/2) ' , a , b , ra i z , t )

10 [ p2Sn p2Spn ] = pun to f i j o ( ' 3x.^339x.^2135x+675 ' , ' 675/(3x^239x135) ' , a , b , ra i z , t )11 [ p3Sn p3Spn ] = pun to f i j o ( ' 3x.^339x.^2135x+675 ' , ' ( (39x^2+135x675)/3) ^(1/3) ' , a , b , ra i z , t )

12

13 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

14 %Pn vs n

15 f i g u r e (10) ;

16 hold on

17 g r id on

18 x l ab e l ( 'n ' )

27

A.6 Problema punto jo 2 A ANEXOS

19 y l ab e l ( 'p_n ' )

20 %Suces ion pn vs n g1 (p)

21 p lo t (p1Sn , p1Spn , 'b. ' )22


24 p lo t (p2Sn , p2Spn , ' r . ' )25


27 p lo t (p3Sn , p3Spn , ' . ' , ' c o l o r ' , [ 0 . 0 3 5 0 .8 0 . 2 3 9 ] )28 t i t l e ( ' Gra f i co de p_n vs n ' )

29 l egend ( 'p_n de g_1(p) ' , 'p_n de g_2(p) ' , 'p_n de g_3(p) ' )

A.6. Problema punto jo 2

1 %Se deben co l o c a r l o s va l o r e s r e s p e c t i v o s para cada r a i z

2 %a = i n i c i o de l i n t e r v a l o

3 %b = f i n de l i n t e r v a l o

4 %ra i z = r a i z exacta en e l i n t e r v a l o

5 %t = t o l e r a n c i a

6 c l e a r v a r s

7 [ p1Sn p1Spn ] = pun to f i j o ( ' (2x .^2 . s i n (x ) ) . / ( x .^2+3) ' , ' x((2x^2 s i n (x ) )/(x^2+3) ) ' , 2 , 3 , 3 . 14159265 ,0 . 0001 )

8 [ p2Sn p2Spn ] = pun to f i j o ( ' (2x .^2 . s i n (x ) ) . / ( x .^2+3) ' , ' a s i n ( ( ( x^2+3) s i n( x ) ) /(3) ) ' , 2 , 3 , 3 . 14159265 , 0 . 0001 )

9 [ p3Sn p3Spn ] = pun to f i j o ( ' (2x .^2 . s i n (x ) ) . / ( x .^2+3) ' , ' a s i n ( (3 s i n (x ) ) /(x^2+3) ) ' , 2 , 3 , 3 . 14159265 , 0 . 0001 )

10

11 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

12 %Pn vs n

13 f i g u r e (10) ;

14 hold on

15 g r id on

16 x l ab e l ( 'n ' )

17 y l ab e l ( 'p_n ' )


19 p lo t (p1Sn , p1Spn , 'b. ' )20


22 p lo t (p2Sn , p2Spn , ' r . ' )23


25 p lo t (p3Sn , p3Spn , ' . ' , ' c o l o r ' , [ 0 . 0 3 5 0 .8 0 . 2 3 9 ] )26 t i t l e ( ' Gra f i co de p_n vs n ' )

27 l egend ( 'p_n de g_1(p) ' , 'p_n de g_2(p) ' , 'p_n de g_3(p) ' )

28

Mtodos de Biseccin, Iteracin de Punto Fijo y de NewtonCriterios de ParadaCriterio de Parada para el Mtodo de BiseccinCriterio de Parada para el Mtodo de Iteracin de Punto FijoCriterio de Parada para el Mtodo de Newton

Clculo de races de algunas funcionesDiscusin y ConclusionesAnexosMtodo de BiseccinMtodo de Punto FijoMtodo de NewtonGraficasProblema punto fijo 1Problema punto fijo 2

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