Algunos casos particulares:

Una integral de Stieltjes según una función escalonada es una

suma.

Una integral de Stieltjes según una función diferenciable se

puede transformar en una integral de Riemann

Una integral de Stieltjes según una función diferenciable a tramos

se puede calcular como una suma después de transformarla en cada

tramo en una integral de Riemann.

La integral de Riemann-Stieltjes es una generalización de la

integral de Cauchy-Riemann.

Es una integral de una función según otra función; en la

construcción de sumas para distintas particiones se emplea, en

lugar de la amplitud de cada subintervalo, , la diferencia

de valor de la función según la cual se integra entre los extremos del

subintervalo . Cuando esta función es la identidad,

la integral de Stieltjes es una integral de Riemann.

1

Integral de Stieltjes.

,b b

a af d f x d x

1i ix x

1i ix x

si para todo existe una partición suficientemente fina tal que para

cualquier otra partición más fina que esta y para cualquier elección de

se cumple que

Integral de Riemann: En el proceso de integración de Riemann definimos

una partición del intervalo y una elección de puntos en

cada subintervalo. La suma asociada a estos elementos es

Integral de Stieltjes.

1

1

, , ,m

i i i

i

f P T f t x x

2

1

1

, , .m

i i i

i

f P T f t x x

si para todo existe una partición suficientemente fina tal que para

cualquier otra partición más fina que esta y para cualquier elección de

se cumple que , , .

b

af P T f x dx

La función es integrable según en y la integral es

, , , .b

af P T f x d x

Sean y dos funciones reales definidas y acotadas en un intervalo f , .a b

0 T

P 1 2, ,..., mT t t t

Integral de Stieltjes: En el proceso de integración de Stieltjes construimos

las sumas

amplitud (medida

de Lebesgue)

f

0 T

b

af x dxLa función es integrable Riemann en el intervalo y su integral es

P

P

b

af x d x ,a b

Integral de Stieltjes.

3

Proposición: Sean definida y acotada en y :f D R R ,a b

. Existe la integral de Riemann-Stieltjes según

en si y sólo si existe la integral de Riemann. En ese caso,

ambas integrales coinciden.

,a b ,x x x a b

La integral de Riemann-Stieltjes es una generalización de la integral de

Cauchy-Riemann.

Propiedades de la integral de Riemann-Stieltjes:

1) Linealidad: si y son integrables en según , entonces

también lo es y

f g ,a b f g

.b b b

a a af g x d x f x d x g x d x

Además, para cualquier real es integrable según y k k f

.b b

a ak f x d x k f x d x

2) Aditividad respecto al intervalo de integración: si y es

integrable según en , entonces también lo es en y

y se cumple que

a c b f ,a b ,a c ,c b

.b c b

a a cf x d x f x d x f x d x

Integral de Stieltjes.

4

Proposición: Sea definida y acotada en . Y

sea una función que toma sólo un número finito de valores en

:f D R R ,a b

La integral de Riemann-Stieltjes según una función escalonada es la

suma de los valores de en cada punto de discontinuidad de por el

salto de en el punto.

, .a b

El salto de en cada punto de discontinuidad es kx

lim lim .k

k k

xx x x x

S x x

f

Entonces toda función continua en las discontinuidades de es

integrable según y

Sean los puntos de discontinuidad de . 1 2, ,..., nx x x

f

1

.k

nb

k xa

k

f x d x f x S

Esta propiedad de debe a que las

diferencias son nulas

cuando ambos puntos pertenecen al mismo

tramo constante de , y coinciden con el

salto si los puntos pertenecen a dos tramos

distintos y consecutivos de .

1i ix x

x

1x 2xa b

1xS

2xS

Integral de Stieltjes.

5

Ejemplo:

2 3,

5 3 5,

1 5 9,

3 9 .

x

xx

x

x

2 ,f x x

11

2

03 3 4 5 2 9x d x f f f

11

0,f x d x

2 2 23 3 4 5 2 9 27 100 162 89.

5

3 0 5 9 11 x

1

2

3 3

-4 2

Integral de Stieltjes.

6

Proposición: Sean una función diferenciable y una función

continua en . Entonces es integrable según en y se

verifica ,a b

La integral de Riemann-Stieltjes según una función diferenciable se

puede reducir al cálculo de una integral de Riemann.

,a b

ff

' .b b

a af x d x f x x dx

Ejemplo: ln .x x 2 ,f x x 7

1,f x d x

7

27 7 7 7

2 2 2

1 1 1 11

1'

2

xx d x x x dx x dx xdx

x

2 27 1 4824.

2 2 2

Cuando es una función diferenciable a tramos la integral de Riemann-

Stieltjes se calcula como una suma de una integral de Riemann en cada

tramo más los valores correspondientes a los saltos.

Integral de Stieltjes.

7

Proposición: Sea definida y acotada en . Y

sean una función diferenciable a tramos en y

el conjunto de puntos dónde no es diferenciable.

:f D R R ,a b ,a b

Entonces toda función continua es integrable según y f

1 2

1

1

' '

... ' .k

n

b x x

a a x

nb

k xx

k

f x d x f x x dx f x x dx

f x x dx f x S

x

1x 2xa b

1xS

2xS

1 2, ,..., nx x x

Integral de Stieltjes.

8

Ejemplo:

2

2 1,

1 3,

7 3 4,

84 .

x x

x x

x x

xx

2 ,f x x

5 1 3 4 5

2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 1 3 4

82 7 1 1 3 2x d x x d x x d x x d x d

x

5

0,f x d x

1 0 3 4 5 x

1

2 -1

-5

-2

7

9

lim lim .k

k k

xx x x x

S x x

2

11 1

lim lim 2 1 2 1.x x

S x x

2

33 3

lim 7 lim 7 9 2.x x

S x

44 4

8lim lim 7 2 7 5.x x

Sx

1 3 4 4

2 2 3 2

0 1 3 34 5 2 2 0 8 1 18 80.x dx x dx x dx dx

Integral de Stieltjes.

9

Ejemplo:

2

2,

2 4,2

4 .2

x x

xx x

xx

2 ,f x x

6

0,f x d x

2 0 4 6 x

2

-6

8

lim lim .k

k k

xx x x x

S x x

2

22 2

lim lim 2 2 0.2x x

xS x

2

44 4

lim lim 2 8 6.2 2x x

x xS

2

6 2 4 62 2 2 2 2

0 0 2 44 6

2 2

x xx d x x dx x d x d

22 4 6

2 3

0 2 496.

2

xx dx x dx dx