Integral definida aplicada a Presion hidrostatica
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Facultad de mecánica
Escuela de Ingeniería Industria
Tema:
Nombre:
Objetivo general.
Usar la integración definida en aplicaciones físicas,
Objetivos específicos.
Aplicar las integrales definidas en el cálculo de fuerza y presión
hidrostática
Conocer cómo se aplica las integrales en otras ramas de la ciencia en
este caso en la presión hidrostática.
Presión en un fluido
Hasta ahora hemos visto el cálculo de las integrales definidas.
La presión en un fluido es la presión termodinámica que interviene en
la ecuación constitutiva y en la ecuación de movimiento del fluido, en
algunos casos especiales esta presión coincide con la presión media o
incluso con la presión hidrostática.
Todas las presiones representan una medida de la energía potencial por
unidad de volumen en un fluido. Para definir con mayor propiedad el
concepto de presión en un fluido se distinguen habitualmente varias
formas de medir la presión
La presión media, o promedio de las presiones según diferentes direcciones en un fluido, cuando el fluido está en reposo esta
presión media coincide con la presión hidrostática.
La presión hidrostática es la parte de la presión debida al peso de un fluido en reposo. En un fluido en reposo la única presión
existente es la presión hidrostática, Se define por la
fórmula Ph=γh donde Ph es la presión hidrostática, γ=ρg es el peso
específico y h profundidad bajo la superficie del fluido.
La presión hidrodinámica es la presión termodinámica dependiente
de la dirección considerada alrededor de un punto que
dependerá además del peso del fluido, el estado de movimiento
del mismo.
Tipos de presiones
Presión hidrostática
Donde, usando unidades del SI,•P es la presión hidrostática (en pascales)•ρ es la densidad del líquido (en kilogramos sobre metro cúbico)•g es la aceleración de la gravedad (en metros sobre segundo al cuadrado•h es la altura del fluido (en metros). Un líquido en equilibrio ejerce fuerzas perpendiculares sobre cualquier superficie sumergida en su interior.
Aplicación de la integral definida
F=PxA P =𝐹
𝐴
la presión del líquido sobre el área seria = ɣxyΔx
la presión sobre el rectángulo EP en su posición vertical. Por tanto, la suma
𝑖=1
𝑛
ɣ𝑥𝑖𝑦𝑖𝛥𝑥
Luego, según el teorema fundamental,
lim𝑛−𝑥
𝑖=1
𝑛
ϒ𝑥𝑖𝑦𝑖𝛥𝑥 = ϒ𝑥𝑦 𝑑𝑥
Por tanto, la presión de un líquido sobre la superficie vertical sumergida limitada por una curva, el eje de las x y las dos rectas horizontales x=a y x=b se da por la fórmula
𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 = ϒ 𝑎
𝑏
𝑦𝑥 𝑑𝑥
•Una cañería circular de 2 m de diámetro esta media llena de agua. Hallar la presión sobre la compuerta que cierra la cañería.
La ecuación de circulo es: 1Por tanto: y= 1-x2Y los límites son x=0 y x=1. Sustituyendo en (D), encontramos que la presión a la derecha del eje de las x es
Ejemplos
Tenemos un tanque lleno de agua tal y como lo muestra la imagen, de
altura de 4m, en la cual sumergimos verticalmente una placa la cual tiene
una forma de triángulo isósceles de base 4m y altura 2m. Calcular la
presión ejercida sobre la placa.
0,4
0,2
,2.0−2.0
y
𝐴 =𝑏𝑥ℎ
2 𝐹 = 𝜌𝑔ℎ𝐴ℎ = 4 − 𝑦𝑑𝐴 = 2𝑥𝑑𝑦