Transformacin de Coordenadas (Jacobiano)

La idea general ser cambiar las variables x, y, z de la funcin f en la integral triple

la cual se hace sobre la regin de (donde los puntos se localizan con las coordenadas (x, y, z); diremos que es una regin del espacio xyz) por tres nuevas variables, que llamaremos , de modo que se calcule la integral anterior integrando una nueva funcin ahora sobre una nueva regin (del espacio en donde los puntos se localizan con sus coordenadas que llamaremos espacio ).

Consideremos entonces una funcin del tipo

(llamada funcin de Transformacin de coordenadas) que manda a los puntos

de la regin del espacio u, v, w en los puntos de una regin del espacio xyz. Esta funcin debe de ser continua, Inyectiva y que su jacobiano no se anule en . En este caso el jacobiano de esta funcin es:

Con tales condiciones se tiene la frmula de cambio de variables en integrales triples:

Hay dos casos particulares de cambio de variables en las integrales triples, que estudiaremos con detalle, en los que se trata de cambiar nuestro sistema coordenado cartesiano xyz por el sistema de coordenadas cilndricas o el sistema de coordenadas esfricas. Antes de estudiar estos sistemas, veamos dos ejemplos de aplicacin de la frmula anterior.

Ejemplo 1:

Se quiere calcular la integral triple de la funcin f(x, y, z) = xyz sobre la regin que se encuentra en el primer octante limitada por los paraboloides por los cilindros xy = 1; xy = 4, y por los planos y = x; y = 5x.

Solucin:

Es claro que la proyeccin de esta regin en el plano xy es la regin del primer cuadrante limitada por las dos hiprbolas xy = 1; xy = 4, y por las rectas y = x; y = 5x

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERA INDUSTRIAL

ANLISIS MATEMTICO II

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