Interacción Gravitatoria

Curso Multimedia de Física. 2º Bachillerato.© Antonio Moya Ansón Nº. Reg.:V-1272-04

Antecedentes de la Teoría de la Gravitación

Filolao de Tarento(480 a. de C.)

Aristóteles de Estagira(384-322 a. de C.)

Eratóstenes de Cirene(276-196 a. de C.)

Aristarco de Samos(320-250 a. de C.)

Hiparco de Nicea(200 a. de C.)

Claudio Ptolomeo(130 d. de C.)

Antecedentes de la Teoría de la Gravitación

Claudio Ptolomeo(130 d. de C.)

Modelo Geocéntrico

Antecedentes de la Teoría de la Gravitación

Nicolás Copérnico(1473-1543)

Modelo Heliocéntrico

Galileo Galilei(1546-1642)

Johannes Kepler(1571-1630)

Modelo experimental

exacto

Leyes de Kepler

Leyes de Kepler

Johannes Kepler(1571-1630)

Ley de las Órbitas

Ley de las Áreas

cteL Ley de los Períodos

SolKT

RK

T

R

2

32

3

cteva

Ley de Newton de la Gravitación UniversalIsaac Newton(1642-1727)

Leyes de Kepler

Principios de la Dinámica

Ley de la Gravitación Universal

rg ur

mmGF ·

·2

0

Constante de Gravitación Universal2

21110·67.6

Kg

NmG

21 FFFg 1·

·2

1

1ru

r

mmG

2·

·2

2

2ru

r

mmG

ir

N

i i

ig u

r

mGmF ·

12

Ejercicio 3Ejercicio 2Ejercicio 1

Aplicaciones: Las mareas

Movimiento de rotación Tierra-Luna

Atracción gravitatoria de la Luna 2 mareas cada

24 horas

Aplicaciones: Las mareas

Aplicaciones: La forma de la Tierra

Movimiento de rotación de la Tierra

Atracción gravitatoria de la Tierra sobre sí misma

Geoide

Aplicaciones: Descubrimiento de nuevos planetas

Atracción gravitatoria del Sol

Atracción gravitatoria de los planetas más cercanos Movimiento real de

los planetas

¿Fluctuaciones en Urano?Le Verrier propone, en

1830, la existencia de un nuevo planeta...

¡Neptuno!

Aplicaciones: Determinación de la masa de la Tierra

La ley es válida para todos los cuerpos

¡Pesar la Tierra!

Henry Cavendish(1731-1810)

Determinó el valor de la constante G

El Campo Gravitatorio

r

Fgrg u

r

mMGF ·

·2

ur

¡La Interacción Gravitatoria es una fuerza de acción a distancia!

P

Concepto de Campo

La masa M deforma su entorno, creando un campo gravitatorio

La masa m, puesta en el punto P, siente el efecto

de este campo

m M

Intensidad de Campo Gravitatorio

P m M

La masa m, puesta en el punto P, siente el efecto

de este campo

rur

mMGF ·

·2

Pero el campo existe,

independientemente de la masa m...

Intensidad del Campo Gravitatorio

m

FE g

g

r

puntualesmasas

g ur

MGE ··

2

F

Intensidad de Campo Gravitatorio

P M

La masa m, puesta en el punto P, siente el efecto

de este campo

Eg

rur

mMGF ·

·2

Pero el campo existe,

independientemente de la masa m...

Intensidad del Campo Gravitatorio

m

FE g

g

r

puntualesmasas

g ur

MGE ··

2

Ejercicio 5Ejercicio 4

El Campo Gravitatorio Terrestre

Ejercicio 7

Ejercicio 6

r

rT u

r

MGg ·

2

ur Fg= P

La fuerza con que la Tierra atrae a los cuerpos ya la

conocemos...

Es el Peso del cuerpo

m

P

m

FE g

g gm

gmEg

·¡La intensidad del campo gravitatorio es la aceleración de

la gravedad!

La aceleración de la gravedad varía con la altitud

R h 2hR

MGg

T

T

20

T

T

R

MGg

2

2

0·hR

Rgg

T

T

Ejercicio 8 Ejercicio 9 Ejercicio 10 Ejercicio 11

Trabajo y EnergíaEl Concepto de Trabajo es necesario para estudiar

cinemáticamente interacciones función de la posición

I. gravitatoria

I. elástica

I. eléctrica

cos··· B

A

B

AdsFdrFW

El trabajo es una integral de línea

rg ur

mMGF ·

·2

r

Fgur

eKFe ·

r

+1q

+2q

re ur

qqKF ·

·2

21ru

r Fe

Ejercicio 12

Trabajo y Energía

B

A g drFW ·

rg ur

mMGF ·

·2

donde

por lo que

B

A

r

r

druGMmW

2

·

pero drdurudr

urdudru

rr

rrr

·

···

B

A r

drGMmW

2

BA rGMm

rGMmW

¡El trabajo sólo depende del puntoinicial y final, NO del camino recorrido

entre A y B!

El Campo Gravitatorio es conservativo

Trabajo que hace el campo para trasladar una masa m desde un punto A a otro punto B

Trabajo y Energía

El trabajo realizado por la fuerza resultante sobre un móvil, entre dos puntos A y B, es igual a la variación de la Energía Cinética del

móvil

Energía Capacidad de un cuerpo de realizar trabajo...

en función de su estado de movimiento Energía Cinéticaen función de su posición Energía Potencial

2

2

1·

2

1vmvpEC

Teorema de las Fuerzas Vivas

22

2

1

2

1ABC

BA vmvmEW

Ejercicio 13 Ejercicio 14

Energía Potencial Gravitatoria

)(AEgp

)(BEgp

Por definición, el Trabajo que hacen las fuerzas del campo para trasladar la masa m entre dos puntos A y B es...

pppB

A EBEAEWgg

)()(

por lo que

pero

)()( BEr

MmG

r

MmGAE

gg pBA

p

Ap r

MmGAE

g)( si elegimos el siguiente

origen de E. potencial 0)(

BE

B

gp

BA rGMm

rGMmW Ejercicio 1

5

Ejercicio 16

Energía Potencial GravitatoriaPuntos cercanos a la corteza terrestre

R

R

hA

hB

B

A

hR

hR

pppB

A EBEAEWgg

)()(

BA hRGMm

hRGMmB

AW

BA

hhRB

A hhgmWBA

·· 0

,

hgmEgp ·· 0

Ejercicio 17

Teorema de Conservación de la Energía MecánicaEnergía Mecánica

PCM EEE

Ejercicio 18

El trabajo de las fuerzas no conservativas es igual a la variación de la Energía Mecánica de la partícula

AEAEBEBEEW PCPCMB

consnoA ,

La Energía Mecánica permanece constante bajo fuerzas conservativas

Ejercicio 19 Ejercicio 20

-Campo de fuerzas conservativo

Potencial en un punto es la Energía Potencial por unidad de masa

m

EV gp

g r

MG

puntualesmasas

Mm

¡el potencial se define en todos los puntos del espacio, aunque no haya

masa!

También sirve para definir el campo

El Potencial Gravitatorio

M

r

mGVg

Las masas se mueven espontáneamente hacia zonasde potencial decreciente

m m m m m m

Relación Campo-Potencial

El Potencial Gravitatorio

drFdEdrFBEAEE P

B

Appp ··

drEdVdrEBVAVVB

A··

V decreciente

Ejercicio 21 Ejercicio 22

1 2

12

Líneas de fuerza Líneas tangentes al vector intensidadde campo, en cada punto, y orientadas

Dirección

Sentido Módulo

Flujo Gravitatorio:

Nº de líneas que atraviesanuna superficie cualquiera

Representación Espacial de los campos de fuerzas

Supg dSE ·

Superficies Equipotenciales El potencial es constanteen todos sus puntos

r

MGVg

r

Relación entre las superficiesequipotenciales y las líneas de fuerza

Representación Espacial de los campos de fuerzas

Ejercicio 23

Las superficies equipotenciales y las líneas de Fuerza son perpendiculares entre sí

Basta comprobar que los vectores y son perpendiculares entre sí,

E

rd

pero

Y como V es constante en todos los puntos de la superficie...

Relación entre las superficies equipotenciales y las líneas de fuerza

drEdV ·

drEdrEdV ·0

Paso Previo: Flujo Gravitatorio de una masa puntual

¡superficie esférica!

r

Sup

M

pero E es cte

Supg dSr

MG

2 GMr

r

MG 44 2

2

M

Teorema de GaussÚtil para el cálculo de la intensidad de campo generada por una

distribución no puntual

Sup gSup gg dSEdSE ··

Ejercicio 24

R

M

Teorema de Gauss para el Campo Gravitatorio

Casos particulares

Esfera en un punto exterior Esfera en un punto interior

Sup.cerrada

rR

M24·4 rEGM

2r

MGEg

¡Masa puntual!

R

Mr

24·4 rEGmenc

2r

mGE enc

g

3

3

4rmenc

rGEg 3

4

RM

Teorema de Gauss

encerradaS gg GMdSE 4·

24·· rEdSEcteE

Sup gg

Ejercicio 25

Velocidad de escape de un coheteMínima velocidad que hemos de darle a un objeto, en reposo sobre la

superficie del planeta, para que lo abandone

B

)(AEAEAEgpCM 0)( BEBEBE

gpCM

RgR

MGvescape 022

Ejercicio 26

Energía de enlace de un satéliteEnergía que debe tener un satélite para mantenerse en órbita circular

estacionaria, a una altura h de la superficie del planeta

h

vM.C.U. hR

vmma

hR

MmGF Ng

2

2

hR

MGv

hR

MmGEC

2

1

hR

MmGEEE PCenlace

2

1

Velocidad del satélite en órbita circular

Energía de enlace

Energía de enlace de un satélite

Ejercicio 27

GM

hR

v

hRT

2

3

22

h

v Período de Revolución

Satélite GeoestacionariohT 24

Ejercicio 28 Ejercicio 29

Ejercicio 30

Ejercicio 31

¿Y si la velocidad es mayor que v?...

2 CAP íTULO 4 INTERACCIÓN GRAV ITATOR IA

Ejercicio 1.-Calcular la fuerza resultante que ejercen sobre una masa de 3Kg,situada en el punto de coordenadas (3,0), las masas m2 = 5K g, situada en(0,4), y m3 =2K g, situada en (0,0).

Ejercicio 2.-*Existe un punto sobre la línea que une el centro de la Tierracon el centro de la Luna en el que las dos fuerzas gravitacionales se anulan.Calcular la distancia de este punto al centro de la Tierra, sabiendo que la dis-tancia entre los centros de la Tierra y la Luna es D = 3:8¢105K m y queMT ier ra =81¢ML una:

E jercicio 3.-*Para los planetas del Sistema Solar, según expresa la terceraley deKepler, la relación R 3

T 2 es constante, y su valor es 3:35¢1018m2=s2, dondeR es el radio de las órbitas y T el período de rotación. Suponiendo las órbitascirculares, calcular lamasa del Sol. Dato G = 6:67¢10¡ 11N m2

K g2 :E jercicio 4.-Dos masas de 2K g cada una están situadas en los extremos

de la hipotenusa deun triángulo rectángulo isósceles de 3m de lado. Determinael módulo del campo gravitatorio creado por las dosmasas en el vértice libreasícomo la fuerza que ejercerían sobre una masa de 10K g colocada en ese punto.(Dato: G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2):

E jercicio 5.-*Calcular el campo gravitatorio (módulo, dirección y senti-do) que resulta de los campos gravitatorios individuales de la Tierra y el Sol,a una distancia de 4¢105K m del centro de la Tierra. (Datos: G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2, MT ier ra =5:98¢1024K g, MSol =1:99¢1030K g, DT ier ra¡ Sol =15¢107K m.)

2 CAP íTULO 4 INTERACCIÓN GRAV ITATOR IA

Ejercicio 1.-Calcular la fuerza resultante que ejercen sobre una masa de 3Kg,situada en el punto de coordenadas (3,0), las masas m2 = 5K g, situada en(0,4), y m3 =2K g, situada en (0,0).

Ejercicio 2.-*Existe un punto sobre la línea que une el centro de la Tierracon el centro de la Luna en el que las dos fuerzas gravitacionales se anulan.Calcular la distancia de este punto al centro de la Tierra, sabiendo que la dis-tancia entre los centros de la Tierra y la Luna es D = 3:8¢105K m y queMT ier ra =81¢ML una:

E jercicio 3.-*Para los planetas del Sistema Solar, según expresa la terceraley deKepler, la relación R 3

T 2 es constante, y su valor es 3:35¢1018m2=s2, dondeR es el radio de las órbitas y T el período de rotación. Suponiendo las órbitascirculares, calcular lamasa del Sol. Dato G = 6:67¢10¡ 11N m2

K g2 :E jercicio 4.-Dos masas de 2K g cada una están situadas en los extremos

de la hipotenusa deun triángulo rectángulo isósceles de 3m de lado. Determinael módulo del campo gravitatorio creado por las dosmasas en el vértice libreasícomo la fuerza que ejercerían sobre una masa de 10K g colocada en ese punto.(Dato: G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2):

E jercicio 5.-*Calcular el campo gravitatorio (módulo, dirección y senti-do) que resulta de los campos gravitatorios individuales de la Tierra y el Sol,a una distancia de 4¢105K m del centro de la Tierra. (Datos: G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2, MT ier ra =5:98¢1024K g, MSol =1:99¢1030K g, DT ier ra¡ Sol =15¢107K m.)

2 CAP íTULO 4 INTERACCIÓN GRAV ITATOR IA

Ejercicio 1.-Calcular la fuerza resultante que ejercen sobre una masa de 3Kg,situada en el punto de coordenadas (3,0), las masas m2 = 5K g, situada en(0,4), y m3 =2K g, situada en (0,0).

Ejercicio 2.-*Existe un punto sobre la línea que une el centro de la Tierracon el centro de la Luna en el que las dos fuerzas gravitacionales se anulan.Calcular la distancia de este punto al centro de la Tierra, sabiendo que la dis-tancia entre los centros de la Tierra y la Luna es D = 3:8¢105K m y queMT ier ra =81¢ML una:

E jercicio 3.-*Para los planetas del Sistema Solar, según expresa la terceraley deKepler, la relación R 3

T 2 es constante, y su valor es 3:35¢1018m2=s2, dondeR es el radio de las órbitas y T el período de rotación. Suponiendo las órbitascirculares, calcular lamasa del Sol. Dato G = 6:67¢10¡ 11N m2

K g2 :E jercicio 4.-Dos masas de 2K g cada una están situadas en los extremos

de la hipotenusa deun triángulo rectángulo isósceles de 3m de lado. Determinael módulo del campo gravitatorio creado por las dosmasas en el vértice libreasícomo la fuerza que ejercerían sobre una masa de 10K g colocada en ese punto.(Dato: G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2):

E jercicio 5.-*Calcular el campo gravitatorio (módulo, dirección y senti-do) que resulta de los campos gravitatorios individuales de la Tierra y el Sol,a una distancia de 4¢105K m del centro de la Tierra. (Datos: G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2, MT ier ra =5:98¢1024K g, MSol =1:99¢1030K g, DT ier ra¡ Sol =15¢107K m.)

2 CAP íTULO 4 INTERACCIÓN GRAV ITATOR IA

Ejercicio 1.-Calcular la fuerza resultante que ejercen sobre una masa de 3Kg,situada en el punto de coordenadas (3,0), las masas m2 = 5K g, situada en(0,4), y m3 =2K g, situada en (0,0).

Ejercicio 2.-*Existe un punto sobre la línea que une el centro de la Tierracon el centro de la Luna en el que las dos fuerzas gravitacionales se anulan.Calcular la distancia de este punto al centro de la Tierra, sabiendo que la dis-tancia entre los centros de la Tierra y la Luna es D = 3:8¢105K m y queMT ier ra =81¢ML una:

E jercicio 3.-*Para los planetas del Sistema Solar, según expresa la terceraley deKepler, la relación R 3

T 2 es constante, y su valor es 3:35¢1018m2=s2, dondeR es el radio de las órbitas y T el período de rotación. Suponiendo las órbitascirculares, calcular lamasa del Sol. Dato G = 6:67¢10¡ 11N m2

K g2 :E jercicio 4.-Dos masas de 2K g cada una están situadas en los extremos

de la hipotenusa deun triángulo rectángulo isósceles de 3m de lado. Determinael módulo del campo gravitatorio creado por las dosmasas en el vértice libreasícomo la fuerza que ejercerían sobre una masa de 10K g colocada en ese punto.(Dato: G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2):

E jercicio 5.-*Calcular el campo gravitatorio (módulo, dirección y senti-do) que resulta de los campos gravitatorios individuales de la Tierra y el Sol,a una distancia de 4¢105K m del centro de la Tierra. (Datos: G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2, MT ier ra =5:98¢1024K g, MSol =1:99¢1030K g, DT ier ra¡ Sol =15¢107K m.)

2 CAP íTULO 4 INTERACCIÓN GRAV ITATOR IA

Ejercicio 1.-Calcular la fuerza resultante que ejercen sobre una masa de 3Kg,situada en el punto de coordenadas (3,0), las masas m2 = 5K g, situada en(0,4), y m3 =2K g, situada en (0,0).

Ejercicio 2.-*Existe un punto sobre la línea que une el centro de la Tierracon el centro de la Luna en el que las dos fuerzas gravitacionales se anulan.Calcular la distancia de este punto al centro de la Tierra, sabiendo que la dis-tancia entre los centros de la Tierra y la Luna es D = 3:8¢105K m y queMT ier ra =81¢ML una:

E jercicio 3.-*Para los planetas del Sistema Solar, según expresa la terceraley deKepler, la relación R 3

T 2 es constante, y su valor es 3:35¢1018m2=s2, dondeR es el radio de las órbitas y T el período de rotación. Suponiendo las órbitascirculares, calcular lamasa del Sol. Dato G = 6:67¢10¡ 11N m2

K g2 :E jercicio 4.-Dos masas de 2K g cada una están situadas en los extremos

de la hipotenusa deun triángulo rectángulo isósceles de 3m de lado. Determinael módulo del campo gravitatorio creado por las dosmasas en el vértice libreasícomo la fuerza que ejercerían sobre una masa de 10K g colocada en ese punto.(Dato: G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2):

E jercicio 5.-*Calcular el campo gravitatorio (módulo, dirección y senti-do) que resulta de los campos gravitatorios individuales de la Tierra y el Sol,a una distancia de 4¢105K m del centro de la Tierra. (Datos: G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2, MT ier ra =5:98¢1024K g, MSol =1:99¢1030K g, DT ier ra¡ Sol =15¢107K m.)

4.1 ANTECEDENTES DE LA TEOR ÍA DE LA GRAV ITACIÓN 3

Ejercicio 6.-Calcula el valor numérico de la intensidad del campo gravita-torio terrestre en un punto del Ecuador y en un punto del Polo Norte. (Datos:MT ier ra = 5:98¢1024K g; RT ier ra (E cuador) = 6378:2K m; RT ier ra (P olo) =6356:8K m).

Ejercicio 7.-Comenta la veracidad de la siguientea…rmación: ” Los astro-nautas queorbitan alrededor de la Tierra ‡otan debido a la ingravidez, es decir,debido a que a esa altura la gravedad es prácticamente nula”.

Ejercicio 8.-Consideremos un hipotético planeta demasa M y radio R, ¿Aquéaltura sobre la super…ciedel planeta el valor de la aceleración de la gravedadse reduce a la mitad del valor en la super…cie?.

Ejercicio 9.-*Calcular a qué altura sobre la super…cie terrestre la intensi-dad del campo gravitatorio se reduce a la cuarta parte de su valor sobre dichasuper…cie. (Dato: RT =6370K m).

Ejercicio 10.-*Si un cuerpo tiene un peso de 100N sobre la super…cie te-rrestre, calcular su peso en la super…cie de otro planeta cuya masa sea el dobleque la de la Tierra y su radio el triple que el de la Tierra.

Ejercicio 11.- *¿A qué distancia de la super…cie terrestre un objeto, de2Kg de masa, tendrá un peso de 10N?. (Datos: G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2;MT =5:98¢1024K g; RT =6370K m):

4.1 ANTECEDENTES DE LA TEOR ÍA DE LA GRAV ITACIÓN 3

Ejercicio 6.-Calcula el valor numérico de la intensidad del campo gravita-torio terrestre en un punto del Ecuador y en un punto del Polo Norte. (Datos:MT ier ra = 5:98¢1024K g; RT ier ra (E cuador) = 6378:2K m; RT ier ra (P olo) =6356:8K m).

Ejercicio 7.-Comenta la veracidad de la siguientea…rmación: ” Los astro-nautas queorbitan alrededor de la Tierra ‡otan debido a la ingravidez, es decir,debido a que a esa altura la gravedad es prácticamente nula”.

Ejercicio 8.-Consideremos un hipotético planeta demasa M y radio R, ¿Aquéaltura sobre la super…ciedel planeta el valor de la aceleración de la gravedadse reduce a la mitad del valor en la super…cie?.

Ejercicio 9.-*Calcular a qué altura sobre la super…cie terrestre la intensi-dad del campo gravitatorio se reduce a la cuarta parte de su valor sobre dichasuper…cie. (Dato: RT =6370K m).

Ejercicio 10.-*Si un cuerpo tiene un peso de 100N sobre la super…cie te-rrestre, calcular su peso en la super…cie de otro planeta cuya masa sea el dobleque la de la Tierra y su radio el triple que el de la Tierra.

Ejercicio 11.- *¿A qué distancia de la super…cie terrestre un objeto, de2Kg de masa, tendrá un peso de 10N?. (Datos: G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2;MT =5:98¢1024K g; RT =6370K m):

4.1 ANTECEDENTES DE LA TEOR ÍA DE LA GRAV ITACIÓN 3

Ejercicio 6.-Calcula el valor numérico de la intensidad del campo gravita-torio terrestre en un punto del Ecuador y en un punto del Polo Norte. (Datos:MT ier ra = 5:98¢1024K g; RT ier ra (E cuador) = 6378:2K m; RT ier ra (P olo) =6356:8K m).

Ejercicio 7.-Comenta la veracidad de la siguientea…rmación: ” Los astro-nautas queorbitan alrededor de la Tierra ‡otan debido a la ingravidez, es decir,debido a que a esa altura la gravedad es prácticamente nula”.

Ejercicio 8.-Consideremos un hipotético planeta demasa M y radio R, ¿Aquéaltura sobre la super…ciedel planeta el valor de la aceleración de la gravedadse reduce a la mitad del valor en la super…cie?.

Ejercicio 9.-*Calcular a qué altura sobre la super…cie terrestre la intensi-dad del campo gravitatorio se reduce a la cuarta parte de su valor sobre dichasuper…cie. (Dato: RT =6370K m).

Ejercicio 10.-*Si un cuerpo tiene un peso de 100N sobre la super…cie te-rrestre, calcular su peso en la super…cie de otro planeta cuya masa sea el dobleque la de la Tierra y su radio el triple que el de la Tierra.

Ejercicio 11.- *¿A qué distancia de la super…cie terrestre un objeto, de2Kg de masa, tendrá un peso de 10N?. (Datos: G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2;MT =5:98¢1024K g; RT =6370K m):

4.1 ANTECEDENTES DE LA TEOR ÍA DE LA GRAV ITACIÓN 3

Ejercicio 6.-Calcula el valor numérico de la intensidad del campo gravita-torio terrestre en un punto del Ecuador y en un punto del Polo Norte. (Datos:MT ier ra = 5:98¢1024K g; RT ier ra (E cuador) = 6378:2K m; RT ier ra (P olo) =6356:8K m).

Ejercicio 7.-Comenta la veracidad de la siguientea…rmación: ” Los astro-nautas queorbitan alrededor de la Tierra ‡otan debido a la ingravidez, es decir,debido a que a esa altura la gravedad es prácticamente nula”.

Ejercicio 8.-Consideremos un hipotético planeta demasa M y radio R, ¿Aquéaltura sobre la super…ciedel planeta el valor de la aceleración de la gravedadse reduce a la mitad del valor en la super…cie?.

Ejercicio 9.-*Calcular a qué altura sobre la super…cie terrestre la intensi-dad del campo gravitatorio se reduce a la cuarta parte de su valor sobre dichasuper…cie. (Dato: RT =6370K m).

Ejercicio 10.-*Si un cuerpo tiene un peso de 100N sobre la super…cie te-rrestre, calcular su peso en la super…cie de otro planeta cuya masa sea el dobleque la de la Tierra y su radio el triple que el de la Tierra.

Ejercicio 11.- *¿A qué distancia de la super…cie terrestre un objeto, de2Kg de masa, tendrá un peso de 10N?. (Datos: G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2;MT =5:98¢1024K g; RT =6370K m):

4.1 ANTECEDENTES DE LA TEOR ÍA DE LA GRAV ITACIÓN 3

Ejercicio 6.-Calcula el valor numérico de la intensidad del campo gravita-torio terrestre en un punto del Ecuador y en un punto del Polo Norte. (Datos:MT ier ra = 5:98¢1024K g; RT ier ra (E cuador) = 6378:2K m; RT ier ra (P olo) =6356:8K m).

Ejercicio 7.-Comenta la veracidad de la siguientea…rmación: ” Los astro-nautas queorbitan alrededor de la Tierra ‡otan debido a la ingravidez, es decir,debido a que a esa altura la gravedad es prácticamente nula”.

Ejercicio 8.-Consideremos un hipotético planeta demasa M y radio R, ¿Aquéaltura sobre la super…ciedel planeta el valor de la aceleración de la gravedadse reduce a la mitad del valor en la super…cie?.

Ejercicio 9.-*Calcular a qué altura sobre la super…cie terrestre la intensi-dad del campo gravitatorio se reduce a la cuarta parte de su valor sobre dichasuper…cie. (Dato: RT =6370K m).

Ejercicio 10.-*Si un cuerpo tiene un peso de 100N sobre la super…cie te-rrestre, calcular su peso en la super…cie de otro planeta cuya masa sea el dobleque la de la Tierra y su radio el triple que el de la Tierra.

Ejercicio 11.- *¿A qué distancia de la super…cie terrestre un objeto, de2Kg de masa, tendrá un peso de 10N?. (Datos: G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2;MT =5:98¢1024K g; RT =6370K m):

4.1 ANTECEDENTES DE LA TEOR ÍA DE LA GRAV ITACIÓN 3

Ejercicio 6.-Calcula el valor numérico de la intensidad del campo gravita-torio terrestre en un punto del Ecuador y en un punto del Polo Norte. (Datos:MT ier ra = 5:98¢1024K g; RT ier ra (E cuador) = 6378:2K m; RT ier ra (P olo) =6356:8K m).

Ejercicio 7.-Comenta la veracidad de la siguientea…rmación: ” Los astro-nautas queorbitan alrededor de la Tierra ‡otan debido a la ingravidez, es decir,debido a que a esa altura la gravedad es prácticamente nula”.

Ejercicio 8.-Consideremos un hipotético planeta demasa M y radio R, ¿Aquéaltura sobre la super…ciedel planeta el valor de la aceleración de la gravedadse reduce a la mitad del valor en la super…cie?.

Ejercicio 9.-*Calcular a qué altura sobre la super…cie terrestre la intensi-dad del campo gravitatorio se reduce a la cuarta parte de su valor sobre dichasuper…cie. (Dato: RT =6370K m).

Ejercicio 10.-*Si un cuerpo tiene un peso de 100N sobre la super…cie te-rrestre, calcular su peso en la super…cie de otro planeta cuya masa sea el dobleque la de la Tierra y su radio el triple que el de la Tierra.

Ejercicio 11.- *¿A qué distancia de la super…cie terrestre un objeto, de2Kg de masa, tendrá un peso de 10N?. (Datos: G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2;MT =5:98¢1024K g; RT =6370K m):

4 CAP íTULO 4 INTERACCIÓN GRAV ITATOR IA

Ejercicio 12.-Dada una fuerza,¡!F = xy

¡!i +x2y

¡!j (N ) Calcular el trabajo

realizado por la misma para trasladar una partícula desde el origen de coorde-nadas hasta el punto (2,4)m(a) a lo largo de la recta queuneestos dos puntos,(b) a lo largo del eje OX desde x=0 hasta x=2, y la línea x=2 desde y=0 hastay=4.

Ejercicio 13.-Suponiendo que la masa de un cuerpo puntual sea m =1020K g y que a 106K m soltamos un objeto de masa m1 = 1K g, calcula lavelocidad que tendrá cuando se encuentre a 103K m del mismo. (Dato: G =6:67¢10¡ 11S:I ):

E jercicio 14.-En lo alto de un plano inclinado 30o se deposita un cuerpomasam, y sedeja caer para quebaje deslizando por el mismo. Calcula, usandoel teorema de las fuerzas vivas, la velocidad que tendrá al …nal del plano si elrozamiento es despreciable y la longitud del plano es de 10m.

Ejercicio 15.-Calculael trabajoquehaceel pesosobreun cuerpode1K gquees lanzado verticalmente, alcanza la altura de 5m y vuelve al punto de partida.

Ejercicio 16.-*Considérense dos masas puntuales de 100 y 150K g, cu-yas posiciones respectivas son A(¡ 2;0)m y B(3;0)m. Calcular: (a) el campogravitatorio en el punto C(0;4)m; (b) el trabajo necesario para desplazar unapartícula de 10K g demasa desde el punto C(0;4)m hasta el punto O(0;0)m.(Dato: G = 6:67¢10¡ 11S:I :):

4 CAP íTULO 4 INTERACCIÓN GRAV ITATOR IA

Ejercicio 12.-Dada una fuerza,¡!F = xy

¡!i +x2y

¡!j (N ) Calcular el trabajo

realizado por la misma para trasladar una partícula desde el origen de coorde-nadas hasta el punto (2,4)m(a) a lo largo de la recta queuneestos dos puntos,(b) a lo largo del eje OX desde x=0 hasta x=2, y la línea x=2 desde y=0 hastay=4.

Ejercicio 13.-Suponiendo que la masa de un cuerpo puntual sea m =1020K g y que a 106K m soltamos un objeto de masa m1 = 1K g, calcula lavelocidad que tendrá cuando se encuentre a 103K m del mismo. (Dato: G =6:67¢10¡ 11S:I ):

E jercicio 14.-En lo alto de un plano inclinado 30o se deposita un cuerpomasam, y sedeja caer para quebaje deslizando por el mismo. Calcula, usandoel teorema de las fuerzas vivas, la velocidad que tendrá al …nal del plano si elrozamiento es despreciable y la longitud del plano es de 10m.

Ejercicio 15.-Calculael trabajoquehaceel pesosobreun cuerpode1K gquees lanzado verticalmente, alcanza la altura de 5m y vuelve al punto de partida.

Ejercicio 16.-*Considérense dos masas puntuales de 100 y 150K g, cu-yas posiciones respectivas son A(¡ 2;0)m y B(3;0)m. Calcular: (a) el campogravitatorio en el punto C(0;4)m; (b) el trabajo necesario para desplazar unapartícula de 10K g demasa desde el punto C(0;4)m hasta el punto O(0;0)m.(Dato: G = 6:67¢10¡ 11S:I :):

4 CAP íTULO 4 INTERACCIÓN GRAV ITATOR IA

Ejercicio 12.-Dada una fuerza,¡!F = xy

¡!i +x2y

¡!j (N ) Calcular el trabajo

realizado por la misma para trasladar una partícula desde el origen de coorde-nadas hasta el punto (2,4)m(a) a lo largo de la recta queuneestos dos puntos,(b) a lo largo del eje OX desde x=0 hasta x=2, y la línea x=2 desde y=0 hastay=4.

Ejercicio 13.-Suponiendo que la masa de un cuerpo puntual sea m =1020K g y que a 106K m soltamos un objeto de masa m1 = 1K g, calcula lavelocidad que tendrá cuando se encuentre a 103K m del mismo. (Dato: G =6:67¢10¡ 11S:I ):

E jercicio 14.-En lo alto de un plano inclinado 30o se deposita un cuerpomasam, y sedeja caer para quebaje deslizando por el mismo. Calcula, usandoel teorema de las fuerzas vivas, la velocidad que tendrá al …nal del plano si elrozamiento es despreciable y la longitud del plano es de 10m.

Ejercicio 15.-Calculael trabajoquehaceel pesosobreun cuerpode1K gquees lanzado verticalmente, alcanza la altura de 5m y vuelve al punto de partida.

Ejercicio 16.-*Considérense dos masas puntuales de 100 y 150K g, cu-yas posiciones respectivas son A(¡ 2;0)m y B(3;0)m. Calcular: (a) el campogravitatorio en el punto C(0;4)m; (b) el trabajo necesario para desplazar unapartícula de 10K g demasa desde el punto C(0;4)m hasta el punto O(0;0)m.(Dato: G = 6:67¢10¡ 11S:I :):

4 CAP íTULO 4 INTERACCIÓN GRAV ITATOR IA

Ejercicio 12.-Dada una fuerza,¡!F = xy

¡!i +x2y

¡!j (N ) Calcular el trabajo

realizado por la misma para trasladar una partícula desde el origen de coorde-nadas hasta el punto (2,4)m(a) a lo largo de la recta queuneestos dos puntos,(b) a lo largo del eje OX desde x=0 hasta x=2, y la línea x=2 desde y=0 hastay=4.

Ejercicio 13.-Suponiendo que la masa de un cuerpo puntual sea m =1020K g y que a 106K m soltamos un objeto de masa m1 = 1K g, calcula lavelocidad que tendrá cuando se encuentre a 103K m del mismo. (Dato: G =6:67¢10¡ 11S:I ):

E jercicio 14.-En lo alto de un plano inclinado 30o se deposita un cuerpomasam, y sedeja caer para quebaje deslizando por el mismo. Calcula, usandoel teorema de las fuerzas vivas, la velocidad que tendrá al …nal del plano si elrozamiento es despreciable y la longitud del plano es de 10m.

Ejercicio 15.-Calculael trabajoquehaceel pesosobreun cuerpode1K gquees lanzado verticalmente, alcanza la altura de 5m y vuelve al punto de partida.

Ejercicio 16.-*Considérense dos masas puntuales de 100 y 150K g, cu-yas posiciones respectivas son A(¡ 2;0)m y B(3;0)m. Calcular: (a) el campogravitatorio en el punto C(0;4)m; (b) el trabajo necesario para desplazar unapartícula de 10K g demasa desde el punto C(0;4)m hasta el punto O(0;0)m.(Dato: G = 6:67¢10¡ 11S:I :):

4 CAP íTULO 4 INTERACCIÓN GRAV ITATOR IA

Ejercicio 12.-Dada una fuerza,¡!F = xy

¡!i +x2y

¡!j (N ) Calcular el trabajo

realizado por la misma para trasladar una partícula desde el origen de coorde-nadas hasta el punto (2,4)m(a) a lo largo de la recta queuneestos dos puntos,(b) a lo largo del eje OX desde x=0 hasta x=2, y la línea x=2 desde y=0 hastay=4.

Ejercicio 13.-Suponiendo que la masa de un cuerpo puntual sea m =1020K g y que a 106K m soltamos un objeto de masa m1 = 1K g, calcula lavelocidad que tendrá cuando se encuentre a 103K m del mismo. (Dato: G =6:67¢10¡ 11S:I ):

E jercicio 14.-En lo alto de un plano inclinado 30o se deposita un cuerpomasam, y sedeja caer para quebaje deslizando por el mismo. Calcula, usandoel teorema de las fuerzas vivas, la velocidad que tendrá al …nal del plano si elrozamiento es despreciable y la longitud del plano es de 10m.

Ejercicio 15.-Calculael trabajoquehaceel pesosobreun cuerpode1K gquees lanzado verticalmente, alcanza la altura de 5m y vuelve al punto de partida.

Ejercicio 16.-*Considérense dos masas puntuales de 100 y 150K g, cu-yas posiciones respectivas son A(¡ 2;0)m y B(3;0)m. Calcular: (a) el campogravitatorio en el punto C(0;4)m; (b) el trabajo necesario para desplazar unapartícula de 10K g demasa desde el punto C(0;4)m hasta el punto O(0;0)m.(Dato: G = 6:67¢10¡ 11S:I :):

4.1 ANTECEDENTES DE LA TEOR ÍA DE LA GRAV ITACIÓN 5

Ejercicio 17.-* Calcular el trabajo necesario para trasladar una masa de40Kg, desde la super…cie de la Luna hasta una altura de 25m. Comparar elresultado obtenido con el trabajo quehabría querealizar si el proceso se llevaseacaboen laTierra

¡g= 9:8ms¡ 2

¢. (Datos: G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2; ML una =

7:3¢1022K g; RL una =1740K m):Ejercicio 18.-Calcula la velocidad con que llegará un cuerpo a la super…cie

de la Tierra, al soltarlo desde una altura h de la super…cie de la Tierra: (a)h=100m; (b) h=10000Km. (Datos: g0 =9:8m=s2; RT ier ra =6370K m):

Ejercicio 19.-Un péndulo de 1m de longitud, atado del techo, tiene atadaen su extremo una bolita demasa m. Desplazamos la bolita 30o de la verticaly la dejamos en libertad. Calcula su velocidad cuando forma un ángulo de 10o

con la vertical.E jercicio 20.-Se aplica sobre un cuerpo de 2Kg, situado en la parte más

baja de un plano inclinado 30o sin rozamiento, una fuerza paralela al plano de50N, y el cuerpo asciende 10m sobre el plano. Calcula, usando el Teorema deConservación de la Energía, la velocidad del cuerpo en el punto más alto delplano, si su velocidad inicial era nula. (Dato:g0 =9:8m=s2):

E jercicio 21.-Una masa de 1000Kg se traslada desde un punto de poten-cial -5J / Kg, a otro punto de potencial -7J / Kg. Calcular: (a) el trabajo de lasfuerzas gravitatorias e indicar si se trata de una transformación espontánea oforzada. (b) repetir el apartado anterior si el cuerpo se aleja desde el punto depotencial -5J / Kghasta una distancia en quedicho potencial puedeconsiderarseprácticamente nulo.

4.1 ANTECEDENTES DE LA TEOR ÍA DE LA GRAV ITACIÓN 5

Ejercicio 17.-* Calcular el trabajo necesario para trasladar una masa de40Kg, desde la super…cie de la Luna hasta una altura de 25m. Comparar elresultado obtenido con el trabajo quehabría querealizar si el proceso se llevaseacaboen laTierra

¡g= 9:8ms¡ 2

¢. (Datos: G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2; ML una =

7:3¢1022K g; RL una =1740K m):Ejercicio 18.-Calcula la velocidad con que llegará un cuerpo a la super…cie

de la Tierra, al soltarlo desde una altura h de la super…cie de la Tierra: (a)h=100m; (b) h=10000Km. (Datos: g0 =9:8m=s2; RT ier ra =6370K m):

Ejercicio 19.-Un péndulo de 1m de longitud, atado del techo, tiene atadaen su extremo una bolita demasa m. Desplazamos la bolita 30o de la verticaly la dejamos en libertad. Calcula su velocidad cuando forma un ángulo de 10o

con la vertical.E jercicio 20.-Se aplica sobre un cuerpo de 2Kg, situado en la parte más

baja de un plano inclinado 30o sin rozamiento, una fuerza paralela al plano de50N, y el cuerpo asciende 10m sobre el plano. Calcula, usando el Teorema deConservación de la Energía, la velocidad del cuerpo en el punto más alto delplano, si su velocidad inicial era nula. (Dato:g0 =9:8m=s2):

E jercicio 21.-Una masa de 1000Kg se traslada desde un punto de poten-cial -5J / Kg, a otro punto de potencial -7J / Kg. Calcular: (a) el trabajo de lasfuerzas gravitatorias e indicar si se trata de una transformación espontánea oforzada. (b) repetir el apartado anterior si el cuerpo se aleja desde el punto depotencial -5J / Kghasta una distancia en quedicho potencial puedeconsiderarseprácticamente nulo.

4.1 ANTECEDENTES DE LA TEOR ÍA DE LA GRAV ITACIÓN 5

Ejercicio 17.-* Calcular el trabajo necesario para trasladar una masa de40Kg, desde la super…cie de la Luna hasta una altura de 25m. Comparar elresultado obtenido con el trabajo quehabría querealizar si el proceso se llevaseacaboen laTierra

¡g= 9:8ms¡ 2

¢. (Datos: G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2; ML una =

7:3¢1022K g; RL una =1740K m):Ejercicio 18.-Calcula la velocidad con que llegará un cuerpo a la super…cie

de la Tierra, al soltarlo desde una altura h de la super…cie de la Tierra: (a)h=100m; (b) h=10000Km. (Datos: g0 =9:8m=s2; RT ier ra =6370K m):

Ejercicio 19.-Un péndulo de 1m de longitud, atado del techo, tiene atadaen su extremo una bolita demasa m. Desplazamos la bolita 30o de la verticaly la dejamos en libertad. Calcula su velocidad cuando forma un ángulo de 10o

con la vertical.E jercicio 20.-Se aplica sobre un cuerpo de 2Kg, situado en la parte más

baja de un plano inclinado 30o sin rozamiento, una fuerza paralela al plano de50N, y el cuerpo asciende 10m sobre el plano. Calcula, usando el Teorema deConservación de la Energía, la velocidad del cuerpo en el punto más alto delplano, si su velocidad inicial era nula. (Dato:g0 =9:8m=s2):

E jercicio 21.-Una masa de 1000Kg se traslada desde un punto de poten-cial -5J / Kg, a otro punto de potencial -7J / Kg. Calcular: (a) el trabajo de lasfuerzas gravitatorias e indicar si se trata de una transformación espontánea oforzada. (b) repetir el apartado anterior si el cuerpo se aleja desde el punto depotencial -5J / Kghasta una distancia en quedicho potencial puedeconsiderarseprácticamente nulo.

4.1 ANTECEDENTES DE LA TEOR ÍA DE LA GRAV ITACIÓN 5

Ejercicio 17.-* Calcular el trabajo necesario para trasladar una masa de40Kg, desde la super…cie de la Luna hasta una altura de 25m. Comparar elresultado obtenido con el trabajo quehabría querealizar si el proceso se llevaseacaboen laTierra

¡g= 9:8ms¡ 2

¢. (Datos: G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2; ML una =

7:3¢1022K g; RL una =1740K m):Ejercicio 18.-Calcula la velocidad con que llegará un cuerpo a la super…cie

de la Tierra, al soltarlo desde una altura h de la super…cie de la Tierra: (a)h=100m; (b) h=10000Km. (Datos: g0 =9:8m=s2; RT ier ra =6370K m):

Ejercicio 19.-Un péndulo de 1m de longitud, atado del techo, tiene atadaen su extremo una bolita demasa m. Desplazamos la bolita 30o de la verticaly la dejamos en libertad. Calcula su velocidad cuando forma un ángulo de 10o

con la vertical.E jercicio 20.-Se aplica sobre un cuerpo de 2Kg, situado en la parte más

baja de un plano inclinado 30o sin rozamiento, una fuerza paralela al plano de50N, y el cuerpo asciende 10m sobre el plano. Calcula, usando el Teorema deConservación de la Energía, la velocidad del cuerpo en el punto más alto delplano, si su velocidad inicial era nula. (Dato:g0 =9:8m=s2):

E jercicio 21.-Una masa de 1000Kg se traslada desde un punto de poten-cial -5J / Kg, a otro punto de potencial -7J / Kg. Calcular: (a) el trabajo de lasfuerzas gravitatorias e indicar si se trata de una transformación espontánea oforzada. (b) repetir el apartado anterior si el cuerpo se aleja desde el punto depotencial -5J / Kghasta una distancia en quedicho potencial puedeconsiderarseprácticamente nulo.

4.1 ANTECEDENTES DE LA TEOR ÍA DE LA GRAV ITACIÓN 5

Ejercicio 17.-* Calcular el trabajo necesario para trasladar una masa de40Kg, desde la super…cie de la Luna hasta una altura de 25m. Comparar elresultado obtenido con el trabajo quehabría querealizar si el proceso se llevaseacaboen laTierra

¡g= 9:8ms¡ 2

¢. (Datos: G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2; ML una =

7:3¢1022K g; RL una =1740K m):Ejercicio 18.-Calcula la velocidad con que llegará un cuerpo a la super…cie

de la Tierra, al soltarlo desde una altura h de la super…cie de la Tierra: (a)h=100m; (b) h=10000Km. (Datos: g0 =9:8m=s2; RT ier ra =6370K m):

Ejercicio 19.-Un péndulo de 1m de longitud, atado del techo, tiene atadaen su extremo una bolita demasa m. Desplazamos la bolita 30o de la verticaly la dejamos en libertad. Calcula su velocidad cuando forma un ángulo de 10o

con la vertical.E jercicio 20.-Se aplica sobre un cuerpo de 2Kg, situado en la parte más

baja de un plano inclinado 30o sin rozamiento, una fuerza paralela al plano de50N, y el cuerpo asciende 10m sobre el plano. Calcula, usando el Teorema deConservación de la Energía, la velocidad del cuerpo en el punto más alto delplano, si su velocidad inicial era nula. (Dato:g0 =9:8m=s2):

E jercicio 21.-Una masa de 1000Kg se traslada desde un punto de poten-cial -5J / Kg, a otro punto de potencial -7J / Kg. Calcular: (a) el trabajo de lasfuerzas gravitatorias e indicar si se trata de una transformación espontánea oforzada. (b) repetir el apartado anterior si el cuerpo se aleja desde el punto depotencial -5J / Kghasta una distancia en quedicho potencial puedeconsiderarseprácticamente nulo.

6 CAP íTULO 4 INTERACCIÓN GRAV ITATOR IA

Ejercicio 22.-Calcula el potencial gravitatorio en un punto A situado a5800K m de la super…cie terrestre y en un punto B situado a 4200K m de lasuper…cie terrestre. Determina el trabajo que realiza el campo gravitatorio paratrasladar un cohete de 7500K g del punto A al punto B: (Datos: G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2; RT ier ra =6370K m; MT ier ra =5:98¢1024K g):

Ejercicio 23.-Razona por qué las líneas de fuerza no se pueden cortar.Ejercicio 24.-Calcula el ‡ujo gravitatorio deunamasade 5¢105K ga través

de una super…cie esférica de 10K m de radio cuyo centro coincide con la masa.(Dato: G = 6:67¢10¡ 11S:I :).

E jercicio 25.-Haz una grá…ca que indiquecómo varía la intensidaddecam-pogravitatorio con ladistanciaal centro, deunadistribución esféricahomogéneademasa. ¿En qué punto pesaríamos más?.

Ejercicio 26.-Calcula, con los datos relativos a la Tierra, la velocidad deescape del campo gravitatorio terrestre.

Ejercicio 27.-Dos satélites idénticos están en órbita alrededor de la Tierra,de radio distinto. Razonar cuál de los dos semoverá con mayor velocidad.

Ejercicio 28.-El planeta J úpiter, cuyo radio es de 71056Km, posee variossatélites; el más próximo al planeta, Io, gira en una órbita de 419000Km deradio, con un período de 1día, 18h y 28min. Calcula con estos datos la ma-sa de J úpiter y la aceleración de la gravedad en su super…cie. ¿Qué veloci-dad mínima sería necesario comunicar a una nave en reposo sobre el suelodel planeta para que se escapara de su atracción?. Calcula, …nalmente, el pe-ríodo de Europa, satélite que gira a 667000Km del centro de J úpiter. (Dato:G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2).

6 CAP íTULO 4 INTERACCIÓN GRAV ITATOR IA

Ejercicio 22.-Calcula el potencial gravitatorio en un punto A situado a5800K m de la super…cie terrestre y en un punto B situado a 4200K m de lasuper…cie terrestre. Determina el trabajo que realiza el campo gravitatorio paratrasladar un cohete de 7500K g del punto A al punto B: (Datos: G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2; RT ier ra =6370K m; MT ier ra =5:98¢1024K g):

Ejercicio 23.-Razona por qué las líneas de fuerza no se pueden cortar.Ejercicio 24.-Calcula el ‡ujo gravitatorio deunamasade 5¢105K ga través

de una super…cie esférica de 10K m de radio cuyo centro coincide con la masa.(Dato: G = 6:67¢10¡ 11S:I :).

E jercicio 25.-Haz una grá…ca que indiquecómo varía la intensidaddecam-pogravitatorio con ladistanciaal centro, deunadistribución esféricahomogéneademasa. ¿En qué punto pesaríamos más?.

Ejercicio 26.-Calcula, con los datos relativos a la Tierra, la velocidad deescape del campo gravitatorio terrestre.

Ejercicio 27.-Dos satélites idénticos están en órbita alrededor de la Tierra,de radio distinto. Razonar cuál de los dos semoverá con mayor velocidad.

Ejercicio 28.-El planeta J úpiter, cuyo radio es de 71056Km, posee variossatélites; el más próximo al planeta, Io, gira en una órbita de 419000Km deradio, con un período de 1día, 18h y 28min. Calcula con estos datos la ma-sa de J úpiter y la aceleración de la gravedad en su super…cie. ¿Qué veloci-dad mínima sería necesario comunicar a una nave en reposo sobre el suelodel planeta para que se escapara de su atracción?. Calcula, …nalmente, el pe-ríodo de Europa, satélite que gira a 667000Km del centro de J úpiter. (Dato:G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2).

6 CAP íTULO 4 INTERACCIÓN GRAV ITATOR IA

Ejercicio 22.-Calcula el potencial gravitatorio en un punto A situado a5800K m de la super…cie terrestre y en un punto B situado a 4200K m de lasuper…cie terrestre. Determina el trabajo que realiza el campo gravitatorio paratrasladar un cohete de 7500K g del punto A al punto B: (Datos: G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2; RT ier ra =6370K m; MT ier ra =5:98¢1024K g):

Ejercicio 23.-Razona por qué las líneas de fuerza no se pueden cortar.Ejercicio 24.-Calcula el ‡ujo gravitatorio deunamasade 5¢105K ga través

de una super…cie esférica de 10K m de radio cuyo centro coincide con la masa.(Dato: G = 6:67¢10¡ 11S:I :).

E jercicio 25.-Haz una grá…ca que indiquecómo varía la intensidaddecam-pogravitatorio con ladistanciaal centro, deunadistribución esféricahomogéneademasa. ¿En qué punto pesaríamos más?.

Ejercicio 26.-Calcula, con los datos relativos a la Tierra, la velocidad deescape del campo gravitatorio terrestre.

Ejercicio 27.-Dos satélites idénticos están en órbita alrededor de la Tierra,de radio distinto. Razonar cuál de los dos semoverá con mayor velocidad.

Ejercicio 28.-El planeta J úpiter, cuyo radio es de 71056Km, posee variossatélites; el más próximo al planeta, Io, gira en una órbita de 419000Km deradio, con un período de 1día, 18h y 28min. Calcula con estos datos la ma-sa de J úpiter y la aceleración de la gravedad en su super…cie. ¿Qué veloci-dad mínima sería necesario comunicar a una nave en reposo sobre el suelodel planeta para que se escapara de su atracción?. Calcula, …nalmente, el pe-ríodo de Europa, satélite que gira a 667000Km del centro de J úpiter. (Dato:G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2).

6 CAP íTULO 4 INTERACCIÓN GRAV ITATOR IA

Ejercicio 22.-Calcula el potencial gravitatorio en un punto A situado a5800K m de la super…cie terrestre y en un punto B situado a 4200K m de lasuper…cie terrestre. Determina el trabajo que realiza el campo gravitatorio paratrasladar un cohete de 7500K g del punto A al punto B: (Datos: G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2; RT ier ra =6370K m; MT ier ra =5:98¢1024K g):

Ejercicio 23.-Razona por qué las líneas de fuerza no se pueden cortar.Ejercicio 24.-Calcula el ‡ujo gravitatorio deunamasade 5¢105K ga través

de una super…cie esférica de 10K m de radio cuyo centro coincide con la masa.(Dato: G = 6:67¢10¡ 11S:I :).

E jercicio 25.-Haz una grá…ca que indiquecómo varía la intensidaddecam-pogravitatorio con ladistanciaal centro, deunadistribución esféricahomogéneademasa. ¿En qué punto pesaríamos más?.

Ejercicio 26.-Calcula, con los datos relativos a la Tierra, la velocidad deescape del campo gravitatorio terrestre.

Ejercicio 27.-Dos satélites idénticos están en órbita alrededor de la Tierra,de radio distinto. Razonar cuál de los dos semoverá con mayor velocidad.

Ejercicio 28.-El planeta J úpiter, cuyo radio es de 71056Km, posee variossatélites; el más próximo al planeta, Io, gira en una órbita de 419000Km deradio, con un período de 1día, 18h y 28min. Calcula con estos datos la ma-sa de J úpiter y la aceleración de la gravedad en su super…cie. ¿Qué veloci-dad mínima sería necesario comunicar a una nave en reposo sobre el suelodel planeta para que se escapara de su atracción?. Calcula, …nalmente, el pe-ríodo de Europa, satélite que gira a 667000Km del centro de J úpiter. (Dato:G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2).

6 CAP íTULO 4 INTERACCIÓN GRAV ITATOR IA

Ejercicio 22.-Calcula el potencial gravitatorio en un punto A situado a5800K m de la super…cie terrestre y en un punto B situado a 4200K m de lasuper…cie terrestre. Determina el trabajo que realiza el campo gravitatorio paratrasladar un cohete de 7500K g del punto A al punto B: (Datos: G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2; RT ier ra =6370K m; MT ier ra =5:98¢1024K g):

Ejercicio 23.-Razona por qué las líneas de fuerza no se pueden cortar.Ejercicio 24.-Calcula el ‡ujo gravitatorio deunamasade 5¢105K ga través

de una super…cie esférica de 10K m de radio cuyo centro coincide con la masa.(Dato: G = 6:67¢10¡ 11S:I :).

E jercicio 25.-Haz una grá…ca que indiquecómo varía la intensidaddecam-pogravitatorio con ladistanciaal centro, deunadistribución esféricahomogéneademasa. ¿En qué punto pesaríamos más?.

Ejercicio 26.-Calcula, con los datos relativos a la Tierra, la velocidad deescape del campo gravitatorio terrestre.

Ejercicio 27.-Dos satélites idénticos están en órbita alrededor de la Tierra,de radio distinto. Razonar cuál de los dos semoverá con mayor velocidad.

Ejercicio 28.-El planeta J úpiter, cuyo radio es de 71056Km, posee variossatélites; el más próximo al planeta, Io, gira en una órbita de 419000Km deradio, con un período de 1día, 18h y 28min. Calcula con estos datos la ma-sa de J úpiter y la aceleración de la gravedad en su super…cie. ¿Qué veloci-dad mínima sería necesario comunicar a una nave en reposo sobre el suelodel planeta para que se escapara de su atracción?. Calcula, …nalmente, el pe-ríodo de Europa, satélite que gira a 667000Km del centro de J úpiter. (Dato:G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2).

6 CAP íTULO 4 INTERACCIÓN GRAV ITATOR IA

Ejercicio 22.-Calcula el potencial gravitatorio en un punto A situado a5800K m de la super…cie terrestre y en un punto B situado a 4200K m de lasuper…cie terrestre. Determina el trabajo que realiza el campo gravitatorio paratrasladar un cohete de 7500K g del punto A al punto B: (Datos: G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2; RT ier ra =6370K m; MT ier ra =5:98¢1024K g):

Ejercicio 23.-Razona por qué las líneas de fuerza no se pueden cortar.Ejercicio 24.-Calcula el ‡ujo gravitatorio deunamasade 5¢105K ga través

de una super…cie esférica de 10K m de radio cuyo centro coincide con la masa.(Dato: G = 6:67¢10¡ 11S:I :).

E jercicio 25.-Haz una grá…ca que indiquecómo varía la intensidaddecam-pogravitatorio con ladistanciaal centro, deunadistribución esféricahomogéneademasa. ¿En qué punto pesaríamos más?.

Ejercicio 26.-Calcula, con los datos relativos a la Tierra, la velocidad deescape del campo gravitatorio terrestre.

Ejercicio 27.-Dos satélites idénticos están en órbita alrededor de la Tierra,de radio distinto. Razonar cuál de los dos semoverá con mayor velocidad.

Ejercicio 28.-El planeta J úpiter, cuyo radio es de 71056Km, posee variossatélites; el más próximo al planeta, Io, gira en una órbita de 419000Km deradio, con un período de 1día, 18h y 28min. Calcula con estos datos la ma-sa de J úpiter y la aceleración de la gravedad en su super…cie. ¿Qué veloci-dad mínima sería necesario comunicar a una nave en reposo sobre el suelodel planeta para que se escapara de su atracción?. Calcula, …nalmente, el pe-ríodo de Europa, satélite que gira a 667000Km del centro de J úpiter. (Dato:G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2).

6 CAP íTULO 4 INTERACCIÓN GRAV ITATOR IA

Ejercicio 22.-Calcula el potencial gravitatorio en un punto A situado a5800K m de la super…cie terrestre y en un punto B situado a 4200K m de lasuper…cie terrestre. Determina el trabajo que realiza el campo gravitatorio paratrasladar un cohete de 7500K g del punto A al punto B: (Datos: G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2; RT ier ra =6370K m; MT ier ra =5:98¢1024K g):

Ejercicio 23.-Razona por qué las líneas de fuerza no se pueden cortar.Ejercicio 24.-Calcula el ‡ujo gravitatorio deunamasade 5¢105K ga través

de una super…cie esférica de 10K m de radio cuyo centro coincide con la masa.(Dato: G = 6:67¢10¡ 11S:I :).

E jercicio 25.-Haz una grá…ca que indiquecómo varía la intensidaddecam-pogravitatorio con ladistanciaal centro, deunadistribución esféricahomogéneademasa. ¿En qué punto pesaríamos más?.

Ejercicio 26.-Calcula, con los datos relativos a la Tierra, la velocidad deescape del campo gravitatorio terrestre.

Ejercicio 27.-Dos satélites idénticos están en órbita alrededor de la Tierra,de radio distinto. Razonar cuál de los dos semoverá con mayor velocidad.

Ejercicio 28.-El planeta J úpiter, cuyo radio es de 71056Km, posee variossatélites; el más próximo al planeta, Io, gira en una órbita de 419000Km deradio, con un período de 1día, 18h y 28min. Calcula con estos datos la ma-sa de J úpiter y la aceleración de la gravedad en su super…cie. ¿Qué veloci-dad mínima sería necesario comunicar a una nave en reposo sobre el suelodel planeta para que se escapara de su atracción?. Calcula, …nalmente, el pe-ríodo de Europa, satélite que gira a 667000Km del centro de J úpiter. (Dato:G = 6:67¢10¡ 11Nm2K g¡ 2).

4.1 ANTECEDENTES DE LA TEOR ÍA DE LA GRAV ITACIÓN 7

Ejercicio 29.-Calcula el valor de la aceleración de la gravedad en la super-…cie deMercurio, sabiendo queel radio deMercurio es tres vecesmenor que elradio de la Tierra, y que la densidad deMercurio es 3/ 5 de la densidad mediade la Tierra. (Dato: g0 =9:8m=s2):

E jercicio 30.-Se desea colocar en órbita circular un satélite arti…cial de2Tm a una altura de 300Km sobre la super…cie de la Tierra. Calcula: (a) suvelocidad orbital; (b) el trabajo necesario para elevar el satélitea lamencionadaaltura; (c) la fuerza que ejerce el satélite sobre la tierra cuando está en órbita;(d) la velocidad que debería llevar, una vez en órbita, para que escapase delcampo gravitatorio terrestre. (Datos: Rt =6370K m; g0 =9:8m=s2)

Ejercicio 31.-Un satélite arti…cal de 100Kg está girando alrededor de laTierra a una altura de 400Km sobre la super…cie terrestre. Calcula: (a) la ve-locidad orbital del satélite; (b) supuesto que no existen rozamientos, el trabajorealizado para situarlo en órbita, desde la super…cie terrestre; (c) indicar, ra-zonándolo, si la energía potencial se ha incrementado o ha disminuído en laposición que ocupa. (Datos: g0 =10m=s2; Rt =6400K m).

4.1 ANTECEDENTES DE LA TEOR ÍA DE LA GRAV ITACIÓN 7

Ejercicio 29.-Calcula el valor de la aceleración de la gravedad en la super-…cie deMercurio, sabiendo queel radio deMercurio es tres vecesmenor que elradio de la Tierra, y que la densidad deMercurio es 3/ 5 de la densidad mediade la Tierra. (Dato: g0 =9:8m=s2):

E jercicio 30.-Se desea colocar en órbita circular un satélite arti…cial de2Tm a una altura de 300Km sobre la super…cie de la Tierra. Calcula: (a) suvelocidad orbital; (b) el trabajo necesario para elevar el satélitea lamencionadaaltura; (c) la fuerza que ejerce el satélite sobre la tierra cuando está en órbita;(d) la velocidad que debería llevar, una vez en órbita, para que escapase delcampo gravitatorio terrestre. (Datos: Rt =6370K m; g0 =9:8m=s2)

Ejercicio 31.-Un satélite arti…cal de 100Kg está girando alrededor de laTierra a una altura de 400Km sobre la super…cie terrestre. Calcula: (a) la ve-locidad orbital del satélite; (b) supuesto que no existen rozamientos, el trabajorealizado para situarlo en órbita, desde la super…cie terrestre; (c) indicar, ra-zonándolo, si la energía potencial se ha incrementado o ha disminuído en laposición que ocupa. (Datos: g0 =10m=s2; Rt =6400K m).

4.1 ANTECEDENTES DE LA TEOR ÍA DE LA GRAV ITACIÓN 7

Ejercicio 29.-Calcula el valor de la aceleración de la gravedad en la super-…cie deMercurio, sabiendo queel radio deMercurio es tres vecesmenor que elradio de la Tierra, y que la densidad deMercurio es 3/ 5 de la densidad mediade la Tierra. (Dato: g0 =9:8m=s2):

E jercicio 30.-Se desea colocar en órbita circular un satélite arti…cial de2Tm a una altura de 300Km sobre la super…cie de la Tierra. Calcula: (a) suvelocidad orbital; (b) el trabajo necesario para elevar el satélitea lamencionadaaltura; (c) la fuerza que ejerce el satélite sobre la tierra cuando está en órbita;(d) la velocidad que debería llevar, una vez en órbita, para que escapase delcampo gravitatorio terrestre. (Datos: Rt =6370K m; g0 =9:8m=s2)

Ejercicio 31.-Un satélite arti…cal de 100Kg está girando alrededor de laTierra a una altura de 400Km sobre la super…cie terrestre. Calcula: (a) la ve-locidad orbital del satélite; (b) supuesto que no existen rozamientos, el trabajorealizado para situarlo en órbita, desde la super…cie terrestre; (c) indicar, ra-zonándolo, si la energía potencial se ha incrementado o ha disminuído en laposición que ocupa. (Datos: g0 =10m=s2; Rt =6400K m).