Introducción a la Modelación de Máquinas Eléctricas...

Introducción a la Modelaciónde Máquinas Eléctricas Rotativas

mediante Transformaciones Vectoriales

Ing. José Manuel Aller, Dr.Universidad Politécnica Salesiana

Cuenca, Octubre 2014

Resumen

El presente curso es una introducción a la modelación de máquinas rotati-

vas utilizando técnicas vectoriales y matriciales. Se desarrollan los princi-

pios básicos de conversión que permiten determinar las ecuaciones internas

de las máquinas eléctricas. Utilizando las simetrías de la máquina se obtie-

nen las transformaciones de coordenadas que simplifican el análisis mate-

mático del convertidor tanto en vectores espaciales como mediante el uso

de matrices. Se obtienen los modelos de la máquina de inducción y sincró-

nica en régimen dinámico y estático utilizando estas transformaciones. Se

desarrollan algoritmos en Matlab que permiten analizar el comportamiento

de estas máquinas en diferentes regímenes de operación.

Índice general

1. Conversión de Energía Eléctrica 3

1.1. Energía y coenergía en el campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Ecuaciones internas del convertidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3. Ecuaciones de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4. Generalización de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. Modelo de la Máquina de Inducción 22

3. Transformación de Coordenadas 26

3.1. Componentes simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2. Transformación a vectores espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3. Modelo de Régimen Permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4. Modelo de la Máquina Sincrónica 42

4.1. Descripción de la máquina sincrónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2. Ecuaciones en coordenadas primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3. Transformación a vectores espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.4. Transformación a coordenadas rotóricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.5. Transformación de Park . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.6. Régimen permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.7. Diagrama fasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.8. Potencia y par eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5. Evaluación Numérica de Modelos 69

5.1. Máquina de inducción - Coordenadas primitivas . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2. Máquina de inducción - Coordenadas vectoriales . . . . . . . . . . . . . 69

5.3. Máquina Sincrónica - Coordenadas d-q . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2

Capítulo 1

Conversión de Energía Eléctrica

1.1. Energía y coenergía en el campo

Un convertidor electromecánico de energía es una máquina eléctrica. En general unamáquina eléctrica posee varios ejes o puertos por los cuales fluye la energía. Estos ejespueden ser de dos tipos: eléctricos o mecánicos. Esquemáticamente se representan en lafigura 1.1.

En los ejes eléctricos de la máquina, las interacciones se analizan conociendo las co-rrientes y tensiones. En los ejes mecánicos las variables que determinan la condición deoperación de la máquina son las velocidades y fuerzas, si el movimiento es lineal, o elpar1 y la velocidad angular, si el movimiento es rotativo.

La máquina eléctrica más simple requeriría al menos un eje eléctrico y un eje mecánico.

1En algunos textos se utiliza la palabra torque, pero este vocablo no se ha incorporado aún al idiomaespañol.

Figura 1.1: Máquina eléctrica y algunos de sus posibles ejes

3

4 CAPÍTULO 1. CONVERSIÓN DE ENERGÍA ELÉCTRICA

Figura 1.2: Máquina eléctrica con un eje eléctrico y un eje mecánico

El esquema básico de esta máquina se ilustra en la figura 1.2: dWe es el diferencial deenergía eléctrica que entra en el convertidor por el eje eléctrico, dWm es el diferencial deenergía mecánica que sale por el eje mecánico y dWc es el diferencial de energía que sealmacena en los campos eléctrico y magnético de la máquina.

En las máquinas eléctricas, no toda la energía introducida en los ejes eléctricos se entregaen los ejes mecánicos o viceversa. Es necesario que parte de la energía eléctrica se al-macene en los campos electromagnéticos del convertidor. En un balance de la energía enla máquina eléctrica es necesario tener en cuenta la parte de la energía que fluye hacia ydesde los campos eléctricos y magnéticos. En la figura 1.2 esta energía se representa pordWc.

Del principio de conservación de la energía se determina:

dWe = dWc +dWm (1.1)

La energía acumulada en el campo no puede ser medida, pero es posible calcularla por ladiferencia entre la energía eléctrica y la mecánica:

dWc = dWe−dWm (1.2)

La energía eléctrica se determina a partir de la integral de la potencia eléctrica en eltiempo. Esta energía puede ser calculada directamente en el eje eléctrico de la máquina apartir de las medidas de tensión y corriente instantánea:

∆We =

ˆ t

0Pe(τ)dτ =

ˆ t

0v(τ) · i(τ)dτ =

ˆ t

0v(τ) · i(τ)dτ (1.3)

Transformando las variables de la expresión anterior se puede reescribir esta ecuación en

1.1. ENERGÍA Y COENERGÍA EN EL CAMPO 5

una forma más conveniente. Considerando que el sistema es conservativo, es decir, noexisten pérdidas en elementos resistivos, la tensión v(t) aplicada a la máquina y la fuerzaelectromotriz inducida son iguales, y por lo tanto:

v(t) = e(t) =dλ

dt(1.4)

En este caso, a partir de 1.3 y 1.4 se determina que:

∆We =

ˆ t

0v(τ) · i(τ)dτ =

ˆ t

0

dλ

dt· i(τ)dτ =

ˆλ (t)

λ (0)i(x,λ )dλ =

ˆλ (t)

λ (0)dWe (1.5)

De la expresión 1.5 se determina que el diferencial de energía eléctrica es dWe = idλ .

La ecuación 1.5 indica que para obtener la energía eléctrica que fluye por la máquina esnecesario conocer solamente la dependencia de la corriente i(x,λ ) con respecto al flujo λ

y a la posición x del convertidor.

Para determinar la variación de la energía mecánica es necesario conocer la velocidad yla fuerza en función del tiempo:

∆Wm =

ˆ t

0Pm(τ)dτ =

ˆ t

0F(τ) · x(τ)dτ (1.6)

Realizando cambio de variables sobre la ecuación 1.6, se obtiene:

∆Wm =

ˆ t

0F(τ) · dx

dτdτ =

ˆ x(t)

x(0)F(x,λ )dx =

ˆ x(t)

x(0)dWm (1.7)

Para analizar las relaciones anteriores se puede utilizar como ejemplo el electro-imán quese ilustra en la figura 1.3. Allí se ha representado un gráfico de la relación existente entrelos enlaces de flujo λ y la corriente i, para dos condiciones extremas de la posición relativadel yugo del electro-imán. Para la misma corriente i, al disminuir la distancia x, disminuyela reluctancia y se incrementan los enlaces de flujo λ .

En el gráfico λ − i, la región sombreada representa la integral de la corriente i(λ ) conrespecto a λ para una posición x fija. Como se ha determinado en la ecuación 1.5, estaregión representa la variación de la energía eléctrica en un circuito magnético que seenergiza manteniendo constante la posición del yugo (x).

En un sistema conservativo, la energía es una función de estado. Esto quiere decir que enestos sistemas el incremento de energía acumulada no depende de la trayectoria utilizadapara alcanzar un determinado estado, sino del valor de las variables en los estados inicialesy finales del proceso.


Figura 1.3: Diagrama λ − i de un electro-imán elemental

Para determinar la energía acumulada en el campo, es necesario calcular la diferenciaentre las energías eléctrica y mecánica del sistema después del proceso. Si el sistemamecánico está detenido, no existe variación en la energía mecánica del convertidor y por lotanto toda la energía eléctrica que entra en la máquina se convierte en energía acumuladaen el campo, entonces:

∆We =

ˆλ (t)

λ (0)i(x,λ )dλ = ∆Wc, si x = cte (1.8)

La ecuación 1.8 se puede integrar por partes y se obtiene:

∆Wc = i(x,λ ) ·λ |λ (t)λ (0)−

ˆ i(t)

i(0)λ (x, i)di (1.9)

En la ecuación 1.9, el término integral de define como coenergía en el campo y se expresacomo ∆W

′c . En la figura 1.4 se observa que la coenergía es el área bajo la característica

λ − i.

En la figura 1.4 se observa que un sistema electromecánico donde la posición x es cons-tante cumple la siguiente relación:

λ · i = ∆Wc +∆W′c (1.10)

De las definiciones anteriores de energía y coenergía en el campo magnético se destacanlas siguientes observaciones:

1. Para la energía, el enlace de flujo λ es la variable independiente, y la corriente i esla variable dependiente.


Figura 1.4: Energía y coenergía en el campo

2. Para la coenergía, la corriente i es la variable independiente y el enlace de flujo λ

es la variable dependiente.

Para calcular la fuerza Fe, se reducen los incrementos de energía mecánica y de energíaen el campo a valores diferenciales. Recordando que la energía acumulada en el campode la máquina depende de los enlaces de flujo y de la posición de la pieza móvil:

Wc =Wc(x,λ ) (1.11)

El trabajo mecánico se define en su forma diferencial como:

dWm = Fe ·dx (1.12)

A partir de las ecuaciones 3.27 y 3.29 se obtiene:

dWm = Fe ·dx =−dWc(x,λ ) , si λ = cte. (1.13)

El diferencial total de la energía en el campo es:

dWc(x,λ ) =∂Wc

∂xdx+

∂Wc

∂λdλ (1.14)

Como el enlace se considera constante, el segundo término de la sumatoria de la ecuación1.14 es nulo y por lo tanto se deduce de 1.13 y de 1.14 que:

Fe ·dx =∂Wc(x,λ )

∂xdx , si λ = cte. (1.15)

Por identificación de términos en la ecuación 1.15 se puede calcular la fuerza sobre la


pieza móvil en un proceso a enlace de flujo constante como:

Fe =−∂Wc(x,λ )

∂x, si λ = cte. (1.16)

La ecuación anterior, también denominada principio de los trabajos virtuales, indica quepara calcular la fuerza Fe sobre la pieza móvil, es necesario conocer la variación de laenergía del campo en función del desplazamiento, cuando se mantiene constante el enlacede flujo λ . Cuando en el convertidor, la energía acumulada en el campo es independientede la posición, la fuerza eléctrica es cero.

Si el convertidor electromecánico analizado anteriormente, mantiene una característicalineal entre el enlace de flujo y la corriente, la energía en el campo se puede evaluarmediante la siguiente expresión:

Wc =12

λ · i = 12

L(x) · i2 = 12

λ 2

L(x)(1.17)

En la ecuación anterior, L(x) representa la inductancia en función de la posición de lapieza móvil. La inductancia de una bobina se determina a partir del número de vueltas N

y de la permeanza del circuito magnético ℘ como:

L(x) = N2 ·℘(x) (1.18)

Para el electro-imán en análisis, la permeanza del circuito magnético es:

℘(x) =µo ·A

2(x+d)(1.19)

Donde:

µ0 es la permeabilidad del vacío 4π×10−7 Hm

A es el área efectiva del magneto

x es la separación del yugo

d es la distancia entre el yugo y el circuito electro-imán

Sustituyendo la expresión 1.19 en 1.18 y este resultado en 1.17 se obtiene:

Wc(x) =12

2(x+d)µ0A ·N2 λ

2 (1.20)


Figura 1.5: Cálculo de la energía con desplazamientos muy lentos del yugo

y aplicando 1.16 a 1.20:

Fe =−∂Wc(x,λ )

∂x=− λ 2

µ0A ·N2 (1.21)

El mismo electro-imán permite analizar lo que sucede si el movimiento se realiza muylentamente. Si el yugo se desplaza a una velocidad prácticamente cero, la corriente semantiene constante porque no se induce fuerza electromotriz debido a que los enlacesde flujo cambian muy lentamente y su derivada con respecto al tiempo es prácticamentenula. En la figura 1.5 se muestra la situación anterior. En este caso, la energía mecánicase puede evaluar mediante las diferencias de la coenergía en el campo entre la posición x1

y la posición x2. En la figura 1.5 se observa que para la condición descrita:

∆Wm = ∆W′c , si i = cte. (1.22)

La coenergía en el campo se calcula de la siguiente forma:

W′c =

ˆ i(t)

i(0)λ (x, i)di (1.23)

La coenergía en el campo depende de la posición de la pieza móvil y de la corriente, porlo tanto:

dWm = Fe ·dx = dW′c =

∂W′c(x, i)∂x

dx+∂W

′c(x, i)∂ i

di (1.24)

Durante el proceso, la corriente i no varía y por esta razón se puede determinar a partir de1.24 que:

Fe =∂W

′c(x, i)∂x

si i = cte. (1.25)


La fuerza eléctrica originada en el convertidor electromagnético depende de la variaciónde la energía en el campo en función del desplazamiento cuando el movimiento se reali-za manteniendo constantes los enlaces de flujo. Si el movimiento se realiza manteniendoconstante la corriente, la fuerza eléctrica depende de la variación de la coenergía en fun-ción de la posición.

Para calcular o medir una fuerza se utiliza el principio de los trabajos virtuales. Estemétodo consiste en evaluar las variaciones de la energía o coenergía en el campo anteun desplazamiento diferencial. Cualquiera de los dos métodos analizados anteriormente,permite calcular las fuerzas que aparecen sobre el sistema. Sin embargo, dependiendode la forma como se presenten los datos del convertidor, es más fácil para determinar lafuerza utilizar los conceptos de energía o de coenergía. En los sistemas lineales el cálculopuede ser realizado con igual facilidad por ambos métodos. Cuando el sistema no es lineal,la facilidad o dificultad del cálculo de fuerzas por uno u otro método depende de cuálessean las variables independientes y cuáles las dependientes. Si se conoce el enlace de flujoen función de las corrientes, el cálculo por medio de la coenergía simplifica el problema.Si la corriente se expresa como función de los enlaces, la energía es el mejor método paradeterminar la fuerza que aparece en la máquina.

1.2. Ecuaciones internas del convertidor

En la figura 1.6 se representa una máquina eléctrica constituida por un electro-imán ali-mentado por una bobina y una pieza móvil sobre la que actúan dos fuerzas, la fuerzaeléctrica Fe producida por la interacción electromagnética del dispositivo y una fuerzaexterna Fm de naturaleza mecánica.

En general la fuerza eléctrica no tiene por qué ser igual a la fuerza mecánica. En el sistemamecánico ilustrado en la figura 1.7, las tensiones de las cuerdas no están necesariamenteequilibradas.

En el ejemplo de la figura 1.7, la fuerza F1 es diferente a la fuerza F2, ya que:

F1 = (m+M) ·a (1.26)

F2 = m ·a (1.27)

El razonamiento anterior es válido también para el electro-imán de la figura 1.6. La fuerza

1.2. ECUACIONES INTERNAS DEL CONVERTIDOR 11

Figura 1.6: Electro-imán sometido a fuerzas internas y externas

Figura 1.7: Sistema mecánico elemental sin equilibrio de fuerzas


mecánica en el extremo del yugo se determina mediante la segunda ley de Newton:

Fm =−Fe +M · x+α · x (1.28)

Donde:

Fe es la fuerza eléctrica

M · x es la fuerza producida por la aceleración de la pieza móvil

α · x es la fuerza producida por el rozamiento de la pieza

α es el coeficiente de roce

La ecuación 1.28 se puede escribir mediante la expresión 1.25 como:

Fm =−∂W′c(x, i)∂x

+M · x+α · x (1.29)

La ecuación del equilibrio eléctrico en la máquina es:

v = R · i+ e = R · i+ dλ (x, i)dt

(1.30)

Si se conoce la relación entre los enlaces de flujo λ (x, i) o la corriente i(λ ,x), el sistemaqueda completamente definido ya que se puede evaluar la energía o la coenergía en elcampo:

Wc =

ˆλ

0i(λ ,x)dλ (1.31)

W′c =

ˆ i

0λ (i,x)di (1.32)

La expresión 1.29 determina el comportamiento dinámico del sistema ilustrado en la fi-gura 1.6 si se conoce la fuerza mecánica Fm.

Si el sistema es lineal, la relación entre los enlaces de flujo y la corriente viene expresadamediante la ecuación λ (i,x) = L(x) i. En esa ecuación, la inductancia L depende de laposición del yugo, es decir L = L(x). Por esta razón:

i = i(λ ,x) =1

L(x)·λ (i,x) = Γ(x) ·λ (i,x) (1.33)

Donde:

Γ(x) es la inductancia inversa L−1.

1.2. ECUACIONES INTERNAS DEL CONVERTIDOR 13

Mediante la ecuación 1.33, la dinámica del electro-imán queda completamente determi-nada. Como el sistema es lineal:

W′c =

ˆ i

0λ (i,x)di =

ˆ i

0L(x) · i ·di =

12

L(x) · i2 (1.34)

Sustituyendo la ecuación 1.34 en la ecuación 1.29 se obtiene:

Fm =−∂W′c

∂x+Mx+α x =−1

2dL(x)

dx· i2 +Mx+α x (1.35)

La ecuación 1.35 representa el equilibrio de fuerzas sobre la pieza móvil. La ecuación querepresenta el circuito eléctrico del sistema es:

v = R · i+ ddt

(L(x) · i) = R · i+ dL(x)dt· dx

dt· i+L(x) · di

dt(1.36)

Definiendo τ(x) como:

τ(x)≡ dL(x)dt

(1.37)

la ecuación eléctrica de la máquina, a partir de 1.36 y 1.37, es:

v = R · i+ τ(x) · x · i+L(x) · didt

(1.38)

En la expresión anterior, el primer sumando representa la caída de tensión en la resistenciade la bobina, el segundo representa la fuerza electromotriz inducida en la bobina por elmovimiento del yugo y el tercer sumando representa la fuerza electromotriz inducida porvariación de la corriente en la bobina. De forma compacta, la ecuación 1.38 se puedeescribir como:

v = R · i+ eG + eT (1.39)

Donde:

e es la fuerza electromotriz total compuesta por eG y eT

eG es el término que depende de la velocidad de la pieza móvil dela máquina, denominado término de generación

eT es el término que depende de la variación de la corriente en lamáquina, denominado término de transformación

Cuando la corriente es cero, puede existir fuerza electromotriz de transformación, pero node generación como se observa en la ecuación 1.38.


En conclusión, las ecuaciones internas de la máquina se pueden escribir, en función de lacoenergía:

Fm =−12

τ(x) · i2 +M · x+α · x (1.40)

o, en función de la energía:

Fm =12

dΓ(x)dx·λ 2 +M · x+α · x (1.41)

y la ecuación eléctrica 1.38.

Las variables que definen el estado del sistema en las ecuaciones 1.40, 1.41 y 1.38 sonla corriente i, la posición x y la velocidad x. Realizando el cambio de variables ˙x = u, lasecuaciones anteriores se pueden expresar de la siguiente forma:

Fm =−12τ(x) · i2 +M · u+α ·u

v = R · i+ τ(x) · ˙u · i+L(x) · didt

x = u

(1.42)

Representando el sistema de ecuaciones diferenciales 1.42 en la forma canónica x =

A(x)x+Bu, se obtiene:didt =−

1L(x) [R · i+ τ(x) · i ·u]+ 1

L(x)v(t)

u = 1M

[12τ(x) · i2−α ·u

]+ 1

M Fm(t)

x = u

(1.43)

Para determinar la solución de este sistema de ecuaciones diferenciales no lineales, esnecesario conocer:

1. Las condiciones iniciales de las variables de estado i(0), u(0) y x(0).

2. Las condiciones de borde o ligazones externas. En el presente caso definidas por lasexcitaciones en el tiempo de la fuerza mecánica Fm(t) aplicada al yugo y la tensiónv(t) aplicada a la bobina del electro-imán.

1.3. Ecuaciones de potencia

La potencia utilizada por el convertidor electromecánico en el eje mecánico de la máquinade la figura 1.6 se puede calcular a partir de la fuerza mecánica y de la velocidad del yugo:

Pm = Fm · x =−12

τ(x) · i2 · x+M · x · x+α · x2 (1.44)

1.3. ECUACIONES DE POTENCIA 15

Figura 1.8: Balance energético de una máquina eléctrica en régimen continuo

La potencia absorbida por el eje eléctrico es:

Pe = v · i = R · i2 + τ(x) · x · i+L(x) · didt· i = R · i2 + eG · i+ eT · i (1.45)

Para que la máquina anterior pueda trabajar en un régimen continuo, con corriente yvelocidad constante, despreciando las pérdidas de fricción (α = 0), y las pérdidas porefecto Joule en los conductores (R = 0), mediante las ecuaciones 1.44 y 1.45 se observaque:

Pm =12

eG · i (1.46)

Pe = eG · i (1.47)

Las expresiones 1.44 y 1.45 indican que en las condiciones anteriores, la máquina absorbepermanentemente por el eje eléctrico el doble de la potencia mecánica que está utilizando.La diferencia entre estas dos potencias sólo puede ser almacenada en el campo. En lafigura 1.8 se representa esta situación. De toda la potencia que es inyectada en el ejeeléctrico, el 50% se convierte en energía mecánica y el otro 50% se almacena en elcampo. Como la corriente es constante, el término de transformación (eT · i) es cero y elcampo no puede devolver al sistema la energía que le ha sido entregada en el proceso deconversión.

Si una máquina eléctrica se mantiene todo el tiempo operando en esta situación, acumulade forma indefinida energía en el campo. Esto no es factible para un sistema físico real.La solución del problema planteado consiste en permitir la variación de la corriente. Conla variación de la corriente aparece el término de transformación (eT · i) que compensael término de generación (1

2eG · i). Por esta razón no es posible construir un máquina quefuncione sólo con corriente continua. En todas las máquinas eléctricas es necesaria lavariación de las corrientes para permitir una operación en régimen permanente.

La argumentación anterior se puede cuestionar debido a que son muy frecuentes en laindustria las «Máquinas de corriente continua». Sin embargo en este caso el término co-


(a) Convertidor homopolar (b) Bomba magnetohidrodinámica

Figura 1.9: Máquinas de corriente continua

rriente continua se aplica a la fuente utilizada para alimentar el convertidor. Las máquinasde corriente continua requieren de un dispositivo inversor electromecánico –las escobillasy el colector– que permite la variación de las corrientes en los devanados de la máquina.

También parecen contradecir esta argumentación los principios de funcionamiento de lasmáquinas homopolares y los convertidores magneto-hidrodinámicos2. En ambos casos,estas máquinas funcionan con corriente continua, pero la corriente no siempre circulapor el mismo material. Si un observador se mueve solidario con el medio conductor, eldisco en el caso homopolar y el fluido en la máquina magnetohidrodinámica, puede medirla variación de las corrientes al aproximarse y alejarse del punto de inyección. En otraspalabras, estas máquinas son equivalentes a las de corriente continua, pero si en ellas elproceso de variación de las corrientes se realiza de forma discreta mediante el colector ylas escobillas, en las homopolares y magnetohidrodinámicas el proceso de variación delas corrientes se lleva a cabo de forma continua mediante un proceso de acercamiento yalejamiento del punto de inyección de la corriente.

Por lo tanto en ningún caso conocido, la experiencia contradice la necesidad teórica de va-riación de la corriente para el funcionamiento en régimen permanente de los convertidoreselectromecánicos de energía.

1.4. Generalización de las ecuaciones

En una máquina con dos ejes eléctricos y un eje mecánico, como la ilustrada en la figura1.10, se satisface la siguiente relación para la evaluación de la fuerza eléctrica sobre lapieza móvil:

Fe =−∂Wc(x,λ1,λ2)

∂x(1.48)

2Ver figura 1.9.

1.4. GENERALIZACIÓN DE LAS ECUACIONES 17

Figura 1.10: Máquina con dos ejes eléctricos y un eje mecánico

Para demostrar la validez de la ecuación 1.48 se debe recordar que en un sistema mecá-nico de este tipo, si se varía la posición x, el intercambio energético se produce entre losejes eléctricos y el eje mecánico. Si la posición permanece fija, el intercambio energéticose realiza entre los ejes eléctricos únicamente. La ecuación 1.48 mantiene la validez enel cálculo de la fuerza en un sistema con dos ejes eléctricos, ya que la ecuación 1.17 sedemostró para el caso en el que los enlaces de flujo se mantienen constantes. Si el enla-ce de flujo es constante, las fuerzas electromotrices son cero y no puede entrar energíahacia el campo desde ninguno de los ejes eléctricos. Por esta razón se cumplen las mis-mas condiciones en la expresión 1.48 que en la 1.17. De todo esto se concluye que escompletamente general su aplicación.

Cualquiera que sea el número de ejes eléctricos o mecánicos de un convertidor electro-mecánico, para calcular la fuerza eléctrica se puede utilizar una expresión similar a laecuación 1.48, siempre y cuando el movimiento se realice sólo en uno de los ejes me-cánicos y se mantengan constantes todos los enlaces de flujo en los ejes eléctricos. Laexpresión generalizada para el cálculo de la fuerza eléctrica es:

Fer =−∂Wc(x1,x2, ...,xr, ...,xn,λ1,λ2, ...,λm)

∂xr(1.49)

La ecuación 1.49 determina la fuerza eléctrica que aparece sobre el eje mecánico r. Paraeste fin, se calcula la derivada parcial de la energía en el campo con respecto a la posicióndel eje r, manteniendo constantes las posiciones de los otros ejes mecánicos y los enlacesde flujo de todos los ejes eléctricos.

En el sistema de la figura 1.10, si la posición x se mantiene constante, la energía acumu-lada en el campo es igual a la energía eléctrica:

dWc = dWe , si x = cte. (1.50)


La energía eléctrica se puede calcular como:

dWc = dWe = i1dλ1 + i2dλ2 , si x = cte. (1.51)

Si se conoce cómo varían las corrientes con los enlaces de flujo y con la posición, elproblema queda resuelto, es decir:{

i1 = f1(x,λ1,λ2)

i2 = f2(x,λ1,λ2)(1.52)

En los casos lineales se puede establecer:{λ1 = L11i1 +L12i2λ2 = L21i1 +L22i2

(1.53)

Matricialmente la expresión 1.51 se puede escribir como:

[λ ] = [L] [i] (1.54)

Donde:

[λ ] =

[λ1

λ2

]; [i] =

[i1i2

]; [L] =

[L11 L12

L21 L22

]Empleando álgebra matricial, se puede determinar la corriente [i] en función de los enlaces[λ ]:

[i] = [L]−1 [λ ] = [Γ] [λ ] (1.55)

La expresión 1.55 en forma explícita es:[i1i2

]=

[Γ11(x) Γ12(x)

Γ21(x) Γ22(x)

][λ1

λ2

](1.56)

Para calcular la energía en el campo, es necesario variar cada uno de los parámetros enforma sucesiva, desde su valor inicial a su valor final, mientras todas las otras variables deestado se mantienen constantes. Para evaluar la energía acumulada en el campo, se realizael siguiente procedimiento:

∆Wc =

ˆ (x,λ1,λ2)

(0,0,0)dWc =

ˆ (x,0,0)

(0,0,0)dWc +

ˆ (x,λ1,0)

(x,0,0)dWc +

ˆ (x,λ1,λ2)

(x,λ1,0)dWc (1.57)

La primera integral de la sumatoria de la ecuación 1.57 es cero, debido a que los enlacesde flujo son cero mientras se mueve el yugo de la máquina. Como no existe variación


de los enlaces, no existen fuerzas electromotrices y por lo tanto no se inyecta potenciaeléctrica desde los ejes eléctricos hacia el campo. Al no existir enlaces de flujo, pararealizar el desplazamiento mecánico x no es necesario consumir ni suministrar energía.Para la evaluación de los dos términos restantes de la ecuación 1.57, se sustituyen lasecuaciones 1.51 y 1.56:

∆Wc =

ˆ (x,λ1,0)

(x,0,0)(Γ11λ1 +Γ12λ2)dλ1 +(Γ21λ1 +Γ22λ2)dλ2 +

+

ˆ (x,λ1,λ2)

(x,λ1,0)(Γ11λ1 +Γ12λ2)dλ1 +(Γ21λ1 +Γ22λ2)dλ2 =

=12

Γ11λ21 +Γ21λ1λ2 +

12

Γ22λ22 (1.58)

En el cálculo de las integrales de la ecuación 1.58 se asume que Γ12 es igual a Γ21,condición de simetría siempre válida para los sistemas físicos.

Generalizando el cálculo anterior mediante el álgebra de matrices, se tiene:

dWc = dWe = [i]t [dλ ] , si x = cte. (1.59)

De la ecuación 1.56 y recordando la propiedad sobre la traspuesta de un producto dematrices:

[i]t = [λ ]t [Γ]t (1.60)

Se obtiene la energía acumulada en el campo como:

∆Wc =

ˆ (x,λ1,λ2)

(0,0,0)[λ ]t [Γ(x)]t [dλ ] =

12[λ ]t [Γ(x)]t [λ ] (1.61)

Si se deriva parcialmente la ecuación 1.61 con respecto a la posición x, se encuentra lafuerza eléctrica Fe que actúa sobre la pieza móvil:

Fe =−∂Wc(x, [λ ])

∂x=−1

2[λ ]t

ddx

([Γ(x)]t

)[λ ] (1.62)

Por un razonamiento semejante, pero aplicado a la coenergía, se puede deducir que:

∆W′c =

12[i]t [L(x)]t [i] (1.63)

La fuerza eléctrica sobre la pieza se puede calcular como:

Fe =∂W

′c(x, [i])∂x

=12[i]t

ddx

([L(x)]t

)[i] =

12[i]t [τ(x)]t [i] (1.64)


Figura 1.11: Electro-imán con yugo rotativo

Las ecuaciones 1.62 y 1.64 son válidas para un número cualquiera de ejes eléctricos, peropara un eje mecánico solamente. La mayoría de las máquinas eléctricas poseen un solo ejemecánico, pero si existen más, es necesario calcular las derivadas parciales de la energíao de la coenergía, según sea el caso, con respecto a cada una de las variables que definenla posición de cada eje mecánico (x1,x2,x3, ...,xn).

Si el eje mecánico es rotativo o giratorio, como se representa en la figura 1.11, la matrizde inductancia se define en función del ángulo θ y no se calculan fuerzas sino pareseléctricos y mecánicos.

Las ecuaciones del convertidor en este caso son:

Te =12[i]t [τ(θ)]t [i] (1.65)

Donde:[τ(θ)] =

ddθ

[L(θ)]

Las ecuaciones de equilibrio eléctrico y mecánico de un convertidor electromecánico li-neal con múltiples ejes eléctricos y un eje mecánico son:

[i] = [R] [i]+ [e] =

= [R] [i]+ddt

[λ ] =

= [R] [i]+ddx

[L(x)] x [i]+ [L(x)]d [i]dt

=

= [R] [i]+ [τ(x)] x [i]+ [L(x)]d [i]dt

(1.66)

Fm =−12[i]t [τ(x)]t [i]+Mx+α x (1.67)

En las ecuaciones 1.66 y 1.67 se observa que la información que determina la dinámica y


el comportamiento de la máquina eléctrica está contenida en la matriz [L(x)]. A partir deesta matriz, se obtiene la matriz [τ(x)], y con estas dos matrices y los elementos de ligazóncon los sistemas eléctricos y mecánicos externos, se formulan las ecuaciones completasdel convertidor.

Capítulo 2

Modelo de la Máquina de Inducción

En la figura 2.1 se presenta el esquema básico de las bobinas de una máquina de induccióncuyo rotor y estator son trifásicos. En general el modelo se puede establecer para unnúmero general de fases en el estator y otro en el rotor. Como la mayoría de los motores deinducción de uso industrial son trifásicos en el estator, se realizará el modelo para un casoparticular donde el rotor y el estator son trifásicos1. Normalmente las bobinas rotóricasse encuentran en cortocircuito y en el estator se aplica un sistema trifásico y balanceadode tensiones sinusoidales. En los modelos convencionales de la máquina de inducciónse desprecian los efectos que produce el ranurado, la distribución de los devanados, lasexcentricidades estáticas y dinámicas y en ciertos casos las pérdidas en el hierro y laspérdidas mecánicas.

Las ecuaciones diferenciales que rigen el comportamiento de la máquina de inducción enel sistema de coordenadas indicado en la figura 2.1 son:

[v] = [R] [i]+ p [λ ] = [R] [i]+ [L(θ)] p [i]+ θ [τ(θ)] [i] (2.1)

Te−Tm =12[i]t [τ] [i]−Tm = Jθ +ρθ (2.2)

Donde:

[v] =

[[ve]

[vr]

]=

[ vea ve

b vec

]t[vr

a vrb vr

c

]t

; [i] =

[[ie][ir]

]=

[ iea ieb iec]t[

ira irb irc]t

;

1El caso general puede ser analizado mediante la misma técnica.

22

23

Figura 2.1: Diagrama esquemático de las bobinas de una máquina de inducción trifásicaen el rotor y estator

[λ ] =

[[λe]

[λr]

]=

[ λ ea λ e

b λ ec

]t[λ r

a λ rb λ r

c

]t

[R] =

[[Ree] [Rer]

[Rre] [Rrr]

]=

[Re [I] [0][0] Rr [I]

]

[L(θ)] =

[[Lee] [Ler(θ)]

[Lre(θ)] [Lrr]

]=

[Lσe [I]+Lme [S] Ler [C(θ)]

Ler [C(θ)]t Lσr [I]+Lmr [S]

]

[τ(θ)] =

[d

dθ[Lee]

ddθ

[Ler(θ)]d

dθ[Lre(θ)]

ddθ

[Lrr]

]=

[[0] Ler

ddθ

[C(θ)]

Lerd

dθ[C(θ)]t [0]

]

24 CAPÍTULO 2. MODELO DE LA MÁQUINA DE INDUCCIÓN

[I] =

1 0 00 1 00 0 1

; [S] =

1 −12 −1

2

−12 1 −1

2

−12 −1

2 1

; [0] =

0 0 00 0 00 0 0

[C(θ)] =

cosθ cos(θ + 2π

3 ) cos(θ + 4π

3 )

cos(θ + 4π

3 ) cosθ cos(θ + 2π

3 )

cos(θ + 2π

3 ) cos(θ + 4π

3 ) cosθ

ddθ

[C(θ)] =

−senθ −sen(θ + 2π

3 ) −sen(θ + 4π

3 )

−sen(θ + 4π

3 ) −senθ −sen(θ + 2π

3 )

−sen(θ + 2π

3 ) −sen(θ + 4π

3 ) −senθ

Los parámetros que definen el comportamiento del modelo de la máquina de inducciónen el sistema de coordenadas primitivas son:

Re es la resistencia de cada una de las bobinas del estatorRr es la resistencia de cada una de las bobinas del rotorLσe es la inductancia de dispersión del estatorLσr es la inductancia de dispersión del rotorLme es la inductancia de magnetización del estatorLmr es la inductancia de magnetización del rotorLer es la inductancia mutua de acoplamiento estator-rotor

La matriz [S] representa los acoplamientos simétricos entre bobinas del estator o rotor, lostérminos 1 en la diagonal corresponden a las magnetizaciones de la bobina propia2 y eltérmino −1

2 representa las mutuas entre fases que se encuentran separadas espacialmente2π

3 o 4π

3 ,3 cuyo acoplamiento depende entonces del cos 2π

3 = cos 4π

3 =−12 .

La matriz [C(θ)] determina el comportamiento cíclico de los acoplamientos mutuos entrebobinas del rotor y del estator, por esta razón aparece el ángulo θ como argumento de lafunción coseno. El acoplamiento entre la fase ae del estator y la fase ar del rotor dependedirectamente del cosθ ; el acoplamiento entre la fase ae del estator y la br del rotor, ademásde estar separada en el ángulo θ entre las referencias de ambos sistemas, tiene una faseadicional de 2π

3 que corresponde a la separación espacial entre fases y explica de esta

2Las fases a con a, b con b y c con c del sistema rotórico o estatórico respectivamente.3Lo cual incluye los acoplamientos mutuos entre a y b, a y c, así como b con c.

25

forma la aparición del término cos(θ + 2π

3 ). De igual forma se puede explicar el términocos(θ + 4π

3 ), correspondiente al acoplamiento entre la fase ae del estator y la cr del rotor.

El sistema conformado por las seis ecuaciones de tensión planteadas en 2.1 y el balan-ce de par expresado en la ecuación 2.2, representan el comportamiento dinámico de lamáquina de inducción4, pero la dependencia de la posición angular θ complica notable-mente la solución práctica de este modelo y la técnica de transformación de coordenadases conveniente.

4Dentro del rango de las hipótesis simplificadoras supuestas inicialmente.

Capítulo 3

Transformación de Coordenadas

3.1. Componentes simétricas

Un análisis de los acoplamientos observados en el modelo de la máquina de inducción encoordenadas primitivas permite destacar que éstos están definidos por matrices simétricas[S] o cíclicas [C(θ)]. Estas matrices pueden ser diagonalizadas utilizando el método deautovalores y autovectores. Con esta técnica se puede demostrar que la transformación decomponentes simétricas1 es capaz de realizar el desacoplamiento de ambas matrices. Latransformación de componentes simétricas hermitiana2 se define como: x0

x+x−

=1√3

1 1 1

1 e j 2π

3 e j 4π

3

1 e j 4π

3 e j 2π

3

xa

xb

xc

=1√3

1 1 11 α α2

1 α2 α

xa

xb

xc

(3.1)

xa

xb

xc

=1√3

1 1 1

1 e j 4π

3 e j 2π

3

1 e j 2π

3 e j 4π

3

xa

xb

xc

=1√3

1 1 11 α2 α

1 α α2

xa

xb

xc

(3.2)

Al aplicar la transformación 3.2 a un sistema cíclico se obtiene el siguiente resultado: ya

yb

yc

=

a b c

c a b

b c a

xa

xb

xc

⇒

1Propuesta por Fortescue y ampliamente utilizada para el análisis de fallas en sistemas desequilibrados.2Conservativa en potencia.

26

3.2. TRANSFORMACIÓN A VECTORES ESPACIALES 27

1√3

1 1 11 α2 α

1 α α2

y0

y+y−

=

a b c

c a b

b c a

1√3

1 1 11 α2 α

1 α α2

x0

x+x−

⇒

y0

y+y−

=1√3

1 1 11 α α2

1 α2 α

a b c

c a b

b c a

1√3

1 1 11 α2 α

1 α α2

x0

x+x−

⇒ y0

y+y−

=

a+b+ c 0 00 a+bα + cα2 00 0 a+bα2 + cα

x0

x+x−

(3.3)

El desacoplamiento de las matrices simétricas se obtiene como caso particular de lasmatrices cíclicas donde b = c: ya

yb

yc

=

a b b

b a b

b b a

xa

xb

xc

⇒ y0

y+y−

=

a+2b 0 00 a−b 00 0 a−b

x0

x+x−

(3.4)

3.2. Transformación a vectores espaciales

Esta propiedad característica de transformación de componentes simétricas permite con-vertir un sistema acoplado en tres sistemas independientes. El sistema de secuencia cero

solamente se puede excitar cuando la sumatoria instantánea de las tensiones o de las co-rrientes es diferente de cero3. El sistema de secuencia negativa y de secuencia positiva

son similares y uno es el conjugado del otro. Por estos motivos es posible representar elmodelo de la máquina utilizando solamente la transformación de secuencia positiva4 y sedenominó transformación a vectores espaciales. Para conservar la potencia activa en la

3En los sistemas trifásicos, esto requiere la presencia de un cuarto hilo por donde pueda circular estacomponente. En las máquinas eléctricas industriales es poco habitual la conexión del neutro.

4Es equivalente utilizar la componente de secuencia negativa. La componente de secuencia cero tieneescasa utilidad en el análisis de las máquinas debido a que no puede producir par. Sin embargo, algunosdesequilibrios dependen notoriamente de esta componente.

28 CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS

Figura 3.1: Representación gráfica del vector espacial de un sistema trifásico

transformación se debe definir la siguiente transformación:

x(t)=√

23

[1 e j 2π

3 e j 4π

3

]·

xa(t)

xb(t)

xc(t)

=

√23

[1 α α2

]·

xa(t)

xb(t)

xc(t)

(3.5)

La transformación a vectores espaciales permite representar un sistema de tensiones, co-rrientes o flujos trifásicos mediante un vector en el espacio, cuya posición y magnituddependen del tiempo. En la figura 3.1 se muestra una representación gráfica con la in-terpretación geométrica de la transformación a vectores espaciales para un instante detiempo dado.

Transformando las ecuaciones 2.1 y 2.2 al dominio de los vectores espaciales se obtieneel siguiente resultado:[

ve

vr

]=

[Re 00 Rr

][ieir

]+ p

[[Le Mere jθ

Mere− jθ Lr

][ieir

]](3.6)

Donde:

ve =

√23

[1 α α2

]·[

vea ve

b vec

]t


vr =

√23

[1 α α2

]·[

vra vr

b vrc

]t

ie =

√23

[1 α α2

]·[

iea ieb iec]t

ir =

√23

[1 α α2

]·[

ira irb irc]t

Le = Lσe +32

Lme ; Lr = Lσr +32

Lmr , Mer =32

Ler

Los términos que aparecen en la expresión 3.6 se pueden obtener realizando la transfor-mación a vectores espaciales de la matrices que representan el modelo de la máquina encoordenadas primitivas, tales como:

1. La transformación de vectores espaciales aplicada a la matriz identidad [I]:

√23

[1 α α2

] ya

yb

yc

=

√23

[1 α α2

] 1 0 00 1 00 0 1

xa

xb

xc

y =

√23

[1 α α2

] xa

xb

xc

= x (3.7)

2. La transformación aplicada a la matriz simétrica [S]:

√23

[1 α α2

] ya

yb

yc

=

√23

[1 α α2

] 1 −12 −1

2

−12 1 −1

2

−12 −1

2 1

xa

xb

xc

y =

√23

[1 α α2

]32xa32xb32xc

=32

x (3.8)

3. La misma transformación aplicada a la matriz cíclica [C(θ)], recordando que cosθ =e jθ+e− jθ

2 :

y =

√23

[1 α α2

] cosθ cos(θ + 2π

3 ) cos(θ + 4π

3 )

cos(θ + 4π

3 ) cosθ cos(θ + 2π

3 )

cos(θ + 2π

3 ) cos(θ + 4π

3 ) cosθ

xa

xb

xc

=


=

√23

[1 α α2

]e jθ

2

1 α α2

α2 1 α

α α2 1

+ e− jθ

2

1 α2 α

α 1 α2

α2 α 1

xa

xb

xc

y =

√23

12

{e jθ[

3 3α 3α2]+ e− jθ

[0 0 0

]} xa

xb

xc

=32

e jθ x (3.9)

La transformación a vectores espaciales de la expresión del par eléctrico expresado en elbalance de la ecuación 2.2 queda:

Te =12[i]t [τ] [i] =

12

[[ie][ir]

][[0] Ler

ddθ

[C(θ)]

Lerd

dθ[C(θ)]t [0]

]t [[ie][ir]

]=

= Ler [ie]td

dθ[C(θ)] [ir] =

= Ler [ie]t

e− jθ

2 j

1 α2 α

α 1 α2

α2 α 1

− e jθ

2 j

1 α α2

α2 1 α

α α2 1

[ir] =

=

√32

Ler

{e− jθ

2 jie[

1 α2 α

]− e jθ

2 ji∗e[

1 α α2]}

[ir] =

=32

Ler

{e− jθ

2 jiei∗r −

e jθ

2 ji∗e ir}= Merℑm

{iei∗r e− jθ

}= Merℑm

{ie(

ire jθ)∗}

(3.10)

El sistema de ecuaciones diferenciales que definen el comportamiento de la máquina deinducción en el sistema de coordenadas correspondiente a los vectores espaciales es:

[ve

vr

]=

[Re 00 Rr

][ieir

]+ p

[[Le Mere jθ

Mere− jθ Lr

][ieir

]]


Merℑm{

ie(

ire jθ)∗}−Tm(θ) = Jθ +ρθ (3.11)

El modelo 3.11 simplifica notablemente las expresiones 2.1 y 2.2, al representar las mag-nitudes trifásicas mediante vectores espaciales. Por una parte el sistema se ha reducido delas siete ecuaciones diferenciales iniciales a tres5 y la dependencia en la posición angularθ se ha simplificado a su aparición en matrices cuya dimensión es 2× 2.6 Sin embargo,la dependencia en la posición angular θ puede ser eliminada, si las variables del rotor serefieren al estator utilizando la siguiente transformación7:

xer ≡ xr · e jθ (3.12)

Para aplicar la transformación 3.12 al modelo de la máquina en vectores espaciales 3.11,se requiere desarrollar la derivada correspondiente de esta transformación:

pxer = pxr · e jθ + jθxr · e jθ = pxr · e jθ + jθxe

r ⇒

pxr · e jθ = pxer− jθxe

r (3.13)

Utilizando las expresiones 3.12 y 3.13 en el modelo 3.11, se obtiene el siguiente modelode la máquina de inducción en vectores espaciales referidos al estator:[

ve

ver

]=

[Re 00 Rr

][ieier

]+

[Le Mer

Mer Lr

]p

[ieier

]− jθ

[0 0

Mer Lr

][ieier

]

Merℑm{

ie (ier)∗}−Tm(θ) = Jθ +ρθ (3.14)

El modelo 3.14 es independiente de la posición angular θ , que es variable en el tiempoaun en el caso particular de la operación en régimen permanente y esta dependencia esreemplazada por la velocidad angular θ cuyo comportamiento temporal varía más len-tamente8. Este modelo puede ser representado mediante el circuito equivalente que se

5Esta apariencia más simple no debe hacer olvidar el hecho de que las nuevas variables son vectoresespaciales variables en el tiempo y no simples variables instantáneas, como era en el caso del modelo de lamáquina de inducción en coordenadas primitivas.

6Y que pueden ser invertidas analíticamente con relativa sencillez.7Recordemos que el sistema de referencia del estator es independiente del sistema de referencia del

estator, pero ambas referencias se encuentran separadas en el ángulo θ , por esta razón cuando se multiplicauna vector espacial en el sistema de referencia rotórico por e jθ , el nuevo vector resultante posee la mismamagnitud y su fase ahora se mide desde el sistema de referencia estatórico.

8En efecto, en régimen permanente la velocidad angular es una constante, mientras que el ángulo cambiaconstantemente.


Figura 3.2: Circuito equivalente de la máquina de inducción en vectores espaciales refe-ridos al sistema de referencia estatórico

muestra en la figura 3.2. Este circuito reproduce el comportamiento eléctrico de la má-quina en régimen transitorio y es capaz de calcular el par eléctrico evaluando la potenciaactiva transferida a la fuente dependiente de corriente del circuito rotórico, tema que seráanalizado con mayor profundidad en el capítulo 7.

En la sección 3.2 se obtuvo el modelo dinámico de la máquina de inducción expresado enel sistema de coordenadas de los vectores espaciales referidos al sistema de referencia delestator9. Esta representación tiene las ventajas de ser independiente de la posición angularθ 10 y reducir la dimensión del sistema de ecuaciones diferenciales. Por otra parte, lasvariables de estado en este modelo están acopladas.

Un nivel de simplificación y desacoplamiento mayor se obtiene en el modelo al proyectarlos diversos fasores espaciales con respecto a una referencia determinada. Estas proyec-ciones son equivalentes a realizar una rotación de los vectores espaciales a las coordenadasdq analizada en el capítulo 4. En la transformación clásica a coordenadas dq el ángulo derotación se define entre la referencia del estator11 y la posición del rotor. En general, sepueden seleccionar infinitas referencias de rotación completamente arbitrarias tales comola posición del fasor espacial de la corriente del estator, la corriente del rotor o la corrientede magnetización y la selección de cualquiera de estos patrones depende del análisis o laaplicación que se está realizando:

1. El vector espacial de la corriente del estator puede ser medido directamente.

2. El vector espacial de la corriente de magnetización está asociado directamente conel flujo resultante en el entrehierro y con la producción del par eléctrico.

3. El vector espacial de la corriente del rotor tiene incidencia sobre el rendimiento dela máquina y la transferencia de potencia al eje mecánico.

9Sistema de ecuaciones 3.23 y figura 3.2.10Aun cuando se mantiene la dependencia con la velocidad angular ωr.11Generalmente el eje magnético de la fase a.


4. Posición arbitraria δ , permite acelerar la integración numérica de las variables deestado del modelo cuando se sintoniza esta referencia con las fluctuaciones de lasfuentes o de la velocidad de rotación.

5. El vector espacial de la corriente de magnetización modificada puede desacoplarlas derivadas de los vectores espaciales de las corrientes del estator y rotor pro-porcionando un modelo de la máquina de inducción donde se puede independizarla generación del flujo y la producción del par.12 Es una de las referencias másutilizada en la literatura y se conoce como modelo de campo orientado.

La corriente de magnetización modificada que determina la referencia del modelo de cam-po orientado se define como:

im ≡ ie +Lr

Merier = im(t) · e jδ (t) (3.15)

El término LrMer

refiere al sistema de referencia del estator todo el campo magnético produ-cido por las corrientes del rotor que atraviesa el entrehierro de la máquina. En la figura 3.3se presenta un diagrama de los vectores espaciales correspondientes a las corrientes de lamáquina. El vector espacial de la corriente del estator se puede representar mediante doscomponentes ortogonales, una paralela al fasor espacial de la corriente de magnetizaciónim y la otra en cuadratura, denominadas ide e iqe respectivamente. De acuerdo con la figura3.3 se tiene:

ide(t)+ jiqe(t) = iee− jδ (t) = (iαe + jiβe) · (cosδ − j senδ )⇒ (3.16)

[ide

iqe

]=

[cosδ −senδ

senδ cosδ

][iαe

iβe

](3.17)

[iαe

iβe

]=

[cosδ senδ

−senδ cosδ

][ide

iqe

](3.18)

Donde:

ie = iαe + jiβe =

√23(iae + e j 2π

3 ibe + e j 4π

3 ice)⇒ (3.19)

[iαe

iβe

]=

√32 0

1√2

2√2

[ iae

ibe

](3.20)

12La difusión de este modelo se debe a la posibilidad de utilizar los esquemas de control de las máquinasde corriente continua para regular la velocidad de las máquinas de inducción.


Figura 3.3: Vectores espaciales de las corrientes del modelo de la máquina de inducción

[iae

ibe

]=

√23 0

− 1√6

1√2

[ iαe

iβe

](3.21)

iae =

√23

ℜe(ie) ; ibe =

√23

ℜe(iee− j 2π

3 ) ; ice =

√23

ℜe(iee− j 4π

3 ) (3.22)

Reemplazando la corriente ier de la definición 3.15 de la corriente de magnetización mo-dificada im en el modelo de la máquina de inducción en coordenadas vectoriales referidasa las corrientes del estator 3.23, se obtiene:

[ve

ver

]=

[Re 00 Rr

][ie

MerLr

(im− ie)

]+

[Le Mer

Mer Lr

]p

[ie

MerLr

(im− ie)

]+

= · · ·− jθ

[0 0

Mer Lr

][ie

MerLr

(im− ie)

]

Merℑm{

ie(

Mer

Lr(im− ie)

)∗}−Tm(θ) = Jθ +ρθ (3.23)

Reagrupando las variables de estado del sistema 3.23 se obtiene el modelo de la máquinade inducción expresado en coordenadas de campo orientado:

[ve

1Mer

ver

]=

[Re 0− 1

Tr1Tr

][ieim

]+

[Le− M2

erLr

M2er

Lr

0 1

]p

[ieim

]+ · · ·


· · ·− jθ

[0 00 1

][ieim

]

M2er

Lrℑm{ie · i∗m}−Tm(θ) = Jθ +ρθ (3.24)

Donde:Tr =

Lr

Rr(3.25)

La expresión del par eléctrico en el modelo de la máquina de inducción en coordenadas decampo orientado se simplifica si se incluye la definición de la corriente de magnetización3.15 y la transformación de la corriente del estator a coordenadas dq 3.16:

Te =M2

erLr

ℑm{ie · i∗m}=M2

erLr

ℑm{

ie · ime− jδ}=

M2er

Lrim · iqe (3.26)

La ecuación de la tensión del rotor referida al sistema de referencia del estator en elmodelo de campo orientado es independiente de la derivada de las corrientes del estator.Por otra parte, es frecuente que la tensión del rotor es cero ve

r = 0. Multiplicando por e− jδ

la ecuación de tensión del rotor y separando esta expresión en parte real e imaginaria seobtienen las dos ecuaciones diferenciales escalares siguientes:

Tr pim + im = ide (3.27)

Tr im(δ − θ) = iqe (3.28)

Las expresiones 3.26, 3.27 y 3.28 tienen un paralelismo con el modelo dinámico de la má-quina de corriente continua. La ecuación 3.27 determina el comportamiento del campo13

de la máquina de inducción y se puede controlar ajustando la componente directa de lacorriente del estator ide. La componente cuadratura iqe por otra parte determina mediantela expresión 3.28 el deslizamiento (δ − θ) existente entre la velocidad angular del campoy la velocidad angular del rotor14. El par eléctrico 3.26 queda determinado por el produc-to de la magnitud de la corriente de campo im y la componente cuadratura de la corrientedel estator15. Una de las ventajas más importantes de este modelo reside en la posibilidadde regular el par y la velocidad de la máquina mediante el control de las corrientes del

13Esta ecuación es similar a la ecuación del campo de una máquina de corriente continua L f pi f +R f i f =v f .

14Esta ecuación es comparable directamente con el modelo de la armadura de la máquina de corrientecontinua Va−Gωmi f = Raia.

15En la máquina de corriente continua el par queda determinado por el producto de la corriente de campoy la corriente de armadura Te = Gi f ia.


estator. Con el uso de fuentes de corriente controladas, es posible accionar la máquina avelocidad variable sin utilizar la ecuación de las tensiones del estator.

El modelo escalar completo en coordenadas de campo orientado es:

pide = (Le− M2er

Lr)−1{

vde− (Re +RrM2

erL2

r)ide

}+ωmiqe +

i2qeTrim

+RrM2

erL2

rim

piqe =−ωmide−ideiqeTrim− (Le− M2

erLr

)−1{(Re +Rr

M2er

L2r)iqe− M2

erLr

ωmim− vqe

}pim = ide−im

Tr

pδ = ωm +iqe

Trim

pωm = 1J

{M2

erLr

im · iqe−Tm(ωm)}

(3.29)

El modelo de campo orientado 3.29, requiere que la corriente de magnetización sea dife-rente de cero im 6= 0. Si este requisito no se cumple, se pierde la referencia δ , debido a quepδ → ∞. En algunos casos es posible asumir que en las condiciones iniciales la corrienteim tiene un valor de remanencia que permita iniciar la integración numérica, pero aun asísi durante el proceso en algún instante esta corriente se anula, el sistema de ecuacionesdiferenciales pierde la referencia y debe encontrarse algún modelo alterno que permitacontinuar la integración. El sistema de coordenadas referidas a una posición angular ar-bitraria δ permite resolver este problema y plantea una generalización del modelo que enmuchos casos acelera el cálculo de las variables de estado.

En el modelo de referencia arbitraria se refieren todos los vectores espaciales del sistema3.30 a una posición angular δ , que gira a la velocidad δ . Para esto, se multiplican todoslos vectores espaciales por e− jδ obteniéndose el siguiente resultado:

[vδ

e

vδr

]=

[Re 00 Rr

][iδeiδr

]+

[Le Mer

Mer Lr

]p

[iδeiδr

]+ · · ·

· · ·+ j

[δLe δMer

(δ − θ)Mer (δ − θ)Lr

][iδeiδr

]

Merℑm{

iδe(

iδr)∗}−Tm(θ) = Jθ +ρθ (3.30)

El par eléctrico calculado a partir de la integración de las ecuaciones diferenciales, quemodelan el comportamiento de la máquina, presenta fuertes oscilaciones durante el arran-que porque la fuente debe incrementar el flujo en el entrehierro para producir el par. Estasoscilaciones son semejantes al fenómeno de energización de un transformador. La velo-cidad también es afectada por las fuertes perturbaciones del par eléctrico, pero en menor

3.3. MODELO DE RÉGIMEN PERMANENTE 37

medida debido al retardo que introduce la inercia.

3.3. Modelo de Régimen Permanente

Se puede obtener un modelo de la máquina de inducción operando en condiciones derégimen permanente a partir del modelo transitorio, particularizando las variables corres-pondientes en este estado. En régimen permanente equilibrado, las bobinas del estator dela máquina de inducción se alimentan con un sistema balanceado de tensiones trifásicasde secuencia positiva y las bobinas del rotor se encuentran en cortocircuito:

vae(t) =√

2Ve cosωet

vbe(t) =√

2Ve cos(

ωet−2π

3

)vce(t) =

√2Ve cos

(ωet−

4π

3

)(3.31)

var(t) = vbr(t) = vcr(t) = 0 (3.32)

Las tensiones 3.31 y 3.32 expresadas como vectores espaciales son:

ve =

√23

[1 α α2

]·

√

2Ve cosωet√2Ve cos

(ωet− 2π

3

)√

2Ve cos(ωet− 4π

3

)⇒

ve =√

2

√23

Ve

[1 α α2

] 12

e jωet + e− jωet

α2e jωet +αe− jωet

αe jωet +α2e− jωet

=√

3Vee jωet (3.33)

vr =

√23

[1 α α2

]·

000

= 0 = ver (3.34)

Al excitar las bobinas con tensiones trifásicas balanceadas, las corrientes del estator ylas del rotor referidas al estator también resultarán balanceadas y los correspondientesvectores espaciales serán:

ie =√

3Iee j(ωet+φe) (3.35)

ier =√

3Ire j(ωet+φr) (3.36)


Por otra parte, la velocidad del rotor en régimen permanente será constante θ = ωm = cte.Reemplazando las condiciones 3.33, 3.34, 3.35 y 3.36 en el modelo de la máquina deinducción descrito en vectores espaciales se obtiene:[ √

3Vee jωet

0

]=

[Re 00 Rr

][ √3Iee j(ωet+φe)

√3Ire j(ωet+φr)

]+ · · ·

· · ·+

[Le Mer

Mer Lr

]jωe

[ √3Iee j(ωet+φe)

√3Ire j(ωet+φr)

]+ · · ·

· · ·− jωm

[0 0

Mer Lr

][ √3Iee j(ωet+φe)

√3Ire j(ωet+φr)

]

[Ve

0

]=

[[Re 00 Rr

]+ jωe

[Le Mer

Mer Lr

]− jωm

[0 0

Mer Lr

]][Iee jφe

Ire jφr

]⇒

[Ve

0

]=

[[Re + jωeLe jωeMer

j(ωe−ωm)Mer Rr + j(ωe−ωm)Lr

]][Ie

Ir

](3.37)

Para determinar un circuito equivalente de la máquina de inducción en régimen perma-nente a partir del sistema de ecuaciones 3.37, es necesario dividir la segunda ecuación porel deslizamiento16:

s≡ ωe−ωm

ωe(3.38)

[Ve

0

]=

[[Re + jωeLe jωeMer

jωeMerRrs + jωeLr

]][Ie

Ir

](3.39)

En la figura 3.4 se presenta el circuito equivalente de la máquina de inducción en régimenpermanente.

El par eléctrico en régimen permanente se calcula sustituyendo en la expresión 13.23 losfasores espaciales obtenidos en 13.29 y 13.30:

Te = Merℑm{√

3Iee j(ωet+φe)(√

3Ire j(ωet+φr))∗}

= 3MerIeIr sen(φe−φr) (3.40)

La ecuación correspondiente al circuito rotórico en el sistema 3.39 relaciona directamente16El deslizamiento s es una variable de gran importancia en la modelación de la máquina de inducción y

representa la velocidad relativa entre el campo producido en el estator y la posición del rotor, en por unidadde la velocidad de este campo.


Figura 3.4: Circuito equivalente de la máquina de inducción en régimen permanente

las corrientes del estator y del rotor:

0 = jωeMerIe +

(Rr

s+ jωeLr

)Ir⇒

Ie = j

(Rrs + jωeLr

)ωeMer

Ir⇒ Iee jφe = j

(Rrs + jωeLr

)ωeMer

Ire jφr

Iee j(φe−φr) = j

(Rrs + jωeLr

)ωeMer

Ir ⇒ Ie sen(φe−φr) =Rr

sωeMerIr (3.41)

Al sustituir la expresión 3.41 en la ecuación del par eléctrico 3.40, se obtiene el par eléc-trico en función de la corriente del rotor Ir, el deslizamiento s, la resistencia del rotor Rr

y la velocidad sincrónica ωs:

Te = 3Rr

ωesI2r (3.42)

La expresión 3.42 se puede obtener directamente del circuito equivalente de la figura 3.4,cuando se calcula tres veces17 la potencia entregada a la resistencia Rr

s y se divide por lavelocidad sincrónica ωe.

Dentro de las hipótesis del modelo se han despreciado la pérdidas en el hierro de la má-quina. Es posible considerar estas pérdidas colocando una resistencia en paralelo con lafuerza electromotriz producida por el flujo de magnetización. También se puede recordarque las inductancias Le y Lr están compuestas de dos partes, dispersión y magnetización.Por esta razón, haciendo uso de sus respectivas definiciones planteadas en el modelo 3.6,

17Por estar representando un modelo unifilar de la máquina aparece el coeficiente 3 en los cálculos depotencia y par.


Figura 3.5: Modelo clásico de la máquina de inducción

se puede establecer lo siguiente:

Le−Mer = Lσe +32

Ler−32

Ler = Lσe

Lr−Mer = Lσr +32

Ler−32

Ler = Lσr (3.43)

Al definir Xσe ≡ ωeLσe, Xσr ≡ ωeLσr y Xm = ωeMer, incluir la resistencia de magneti-zación en paralelo con la reactancia de magnetización y separar la resistencia Rr

s en doscomponentes, una Rr que representa las pérdidas óhmicas del circuito rotórico y 1−s

s Rr

que representa la potencia transferida al rotor que no se consume en pérdidas, se puedeobtener el modelo clásico de la máquina de inducción en régimen permanente, tal comose muestra en la figura 3.5.

Desde el punto de vista eléctrico, el comportamiento de la máquina de inducción en ré-gimen permanente depende del deslizamiento s, de la tensión aplicada en el estator Ve yde los parámetros del circuito equivalente (Re, Rr, Rm, Xσe, Xσr, Xm). Una vez que seconocen los parámetros del modelo, el deslizamiento del rotor y la fuente de alimenta-ción, se pueden determinar las corrientes que circulan por la máquina. El análisis circuitalde la máquina de inducción es semejante al de un transformador con una carga resistivavariable. Esta carga depende exclusivamente del deslizamiento del rotor.

Aun cuando el modelo clásico de la máquina de inducción es similar al modelo de untransformador, existen algunas diferencias importantes:

1. La reluctancia del circuito magnético de la máquina de inducción es mucho mayorque la reluctancia de magnetización de un transformador. Esto se debe principal-mente a la presencia de entrehierro en la máquina. La corriente de excitación de unamáquina es considerablemente mayor que la de un transformador de igual potencia.Esta corriente puede alcanzar entre un 30% y un 50% de la corriente nominal de la


máquina, contrastando con el 0,5% a 1,0% en un transformador convencional.

2. Al ser tan grande la reluctancia de magnetización, se incrementan considerable-mente los enlaces de dispersión. Por esta razón las reactancias de dispersión de lamáquina son mayores que estas reactancias para un transformador de similar po-tencia. Cada una de las reactancias de dispersión de la máquina pueden superar el10%, en comparación con un transformador donde se encuentran entre el 1% y el6% aproximadamente.

Capítulo 4

Modelo de la Máquina Sincrónica

4.1. Descripción de la máquina sincrónica

La máquina sincrónica es un convertidor electromecánico de energía con una pieza gi-ratoria denominada rotor o campo, cuya bobina se excita mediante la inyección de unacorriente continua, y una pieza fija denominada estator o armadura, por cuyas bobinascircula corriente alterna. Las corrientes alternas que circulan por los enrollados del esta-tor producen un campo magnético rotatorio que gira en el entrehierro de la máquina conla frecuencia angular de las corrientes de armadura. El rotor debe girar a la misma veloci-dad del campo magnético rotatorio producido en el estator para que el par eléctrico mediopueda ser diferente de cero. Si las velocidades angulares del campo magnético rotatorioy del rotor de la máquina sincrónica son diferentes, el par eléctrico medio es nulo. Poresta razón a esta máquina se la denomina sincrónica; el rotor gira mecánicamente a lamisma frecuencia del campo magnético rotatorio del estator durante la operación en régi-men permanente. En la figura 4.1 (a) y (b), se observa el estator y rotor de una máquinasincrónica de polos salientes.

Durante la operación de la máquina sincrónica en régimen permanente, la velocidad me-cánica del rotor es igual a la velocidad angular del campo magnético rotatorio producidopor el estator. En estas condiciones, sobre los conductores o bobinas del campo no seinduce fuerza electromotriz. Para producir fuerza magnetomotriz en el rotor es necesarioinyectar corriente en esta bobina mediante una fuente externa. De esta forma se obtienendos campo magnéticos rotatorios que giran a la misma velocidad, uno producido por elestator y otro por el rotor. Estos campos interactúan produciendo par eléctrico medio y serealiza el proceso de conversión electromecánica de energía. La condición necesaria, pero

42

4.1. DESCRIPCIÓN DE LA MÁQUINA SINCRÓNICA 43

(a) Estator de la máquina sincrónica (b) Rotor de polos salientes

Figura 4.1: Partes de las máquinas sincrónicas

no suficiente, para que el par medio de la máquina sea diferente de cero es:

ωe = p ·ωm (4.1)

Donde:

p es el número de pares de polos de la máquina sincrónica.

La bobina del rotor o campo de la máquina sincrónica se alimenta mediante la inyecciónde corriente continua, como se mencionó anteriormente, con la finalidad de producir uncampo magnético de magnitud constante, semejante al de un imán permanente, pero deuna intensidad mucho mayor. Debido a que el rotor de la máquina gira en régimen perma-nente a la velocidad sincrónica, el campo magnético constante producido en este sistemase comporta, desde el punto de vista del estator, como un campo magnético rotatorio. Enla figura 4.2 se ha representado el esquema básico de una máquina sincrónica trifásica depolos salientes.

Para evaluar la magnitud del par en una máquina sincrónica se puede recordar la expre-sión:

Te = k ·FrFe sinδ (4.2)

Donde:

k es una constante de proporcionalidad que depende de la geome-tría de la máquina y de la disposición física de las bobinas

44 CAPÍTULO 4. MODELO DE LA MÁQUINA SINCRÓNICA

(a) Modelo elemental demostrativo

(b) Esquema básico

Figura 4.2: Esquema básico de una máquina sincrónica trifásica de polos salientes

4.2. ECUACIONES EN COORDENADAS PRIMITIVAS 45

Fe es la amplitud de la distribución sinusoidal de la fuerza magne-tomotriz del estator

Fr es la amplitud de la distribución sinusoidal de la fuerza magne-tomotriz del rotor

δ es el ángulo entre las amplitudes de las dos fuerzas magnetomo-trices, conocido generalmente como ángulo de carga

Las fuerzas magnetomotrices del estator Fe y del rotor Fr tienen una amplitud constantey para que en la expresión 4.2 el par medio resulte constante, es necesario que el ánguloδ entre las dos fuerzas magnetomotrices sea constante en el tiempo durante la operaciónen régimen permanente. Para lograr esto, las dos fuerzas magnetomotrices deben girar ala misma velocidad angular.

Cuando la máquina sincrónica se encuentra desequilibrada, el campo magnético rotatorioproducido por las bobinas del estator es elíptico. Este campo se puede descomponer a suvez en dos campos magnéticos rotatorios circulares de sentidos contrarrotativos. Para quesea posible la producción de par eléctrico medio en estas condiciones, es necesario quela velocidad del rotor esté sincronizada con uno de los dos campos magnéticos contrarro-tativos. El campo que está fuera de sincronismo y gira en el sentido contrario del rotor,produce par eléctrico transitorio, pero su valor medio es cero.

Si se cortocircuita la bobina de campo en el rotor de la máquina sincrónica, es posibleen ciertos casos acelerar el rotor como si fuera un motor de inducción con rotor devana-do. En el campo se inducen fuerzas electromotrices con la frecuencia del deslizamientocuando el campo magnético rotatorio del estator corta a los conductores del campo. Lafuerza electromotriz inducida en el rotor fuerza la circulación de corrientes por este de-vanado. Aun cuando el par eléctrico puede ser muy reducido, en algunas ocasiones estemétodo puede ser utilizado para arrancar en la máquina sincrónica sin cargas mecánicasacopladas.

4.2. Ecuaciones en coordenadas primitivas

Analizando el comportamiento de los ejes eléctricos de la máquina sincrónica en el siste-ma de coordenadas correspondiente a las bobinas reales o físicas, se satisface el siguientesistema de ecuaciones:

[vabc, f

]=[Rabc, f

][iabc, f

]+

ddt

[λabc, f

](4.3)


En los sistemas lineales, la relación entre las corrientes que circulan por las bobinas y losenlaces de flujo que las enlazan vienen dados por la relación:

[λabc, f (θ , i)

]=[Labc, f (θ)

][iabc, f

](4.4)

Sustituyendo esta relación en la expresión 4.3 se obtiene el resultado siguiente:

[vabc, f

]=

[Rabc, f

][iabc, f

]+[Labc, f

] ddt

[iabc, f

]+

dθ

dtddt

[Labc, f

][iabc, f

]=

=[Rabc, f

][iabc, f

]+[Labc, f

]p[iabc, f

]+ θ ·

[τabc, f

][iabc, f

](4.5)

El sistema de ecuaciones diferenciales 4.5 representa el comportamiento dinámico de lasbobinas de la máquina sincrónica en coordenadas primitivas. Este sistema se expresa enforma canónica como:

p[iabc, f

]=[Labc, f

]−1{[vabc, f]−[[

Rabc, f]+ θ ·

[τabc, f

]][iabc, f

]}(4.6)

La matriz de inductancia[Labc, f

]depende de la posición relativa θ del rotor con respecto

al estator, por esta razón la matriz de transición de estado también depende de la posiciónangular del rotor. Si la velocidad de la máquina es constante, la posición angular del rotores:

θ = θ0 +ωmt (4.7)

La solución del sistema 4.6 puede obtenerse mediante métodos numéricos de integración,utilizando algoritmos tales como Euler, Runge-Kutta o Adams, entre muchos otros. Elprincipal inconveniente que se presenta es la necesidad de evaluar e invertir la matriz deinductancias de la máquina en cada paso de integración, debido a la dependencia de estamatriz con la posición angular del rotor. Los computadores personales actuales son ca-paces de resolver este problema, aun cuando en el pasado estos cálculos representabangrandes dificultades. Por este motivo durante varias décadas se desarrollaron transforma-ciones de coordenadas que simplifican el problema, aceleran notablemente los cálculos ypermiten interpretar más fácilmente el comportamiento dinámico y estático de la máquinasincrónica.

Durante los períodos transitorios, la velocidad angular de la máquina cambia y la posiciónangular del rotor es una nueva variable de estado que debe ser evaluada para determinarsu dependencia temporal. En este caso es necesario incorporar una ecuación adicional al


sistema 4.6 para representar el comportamiento dinámico del eje mecánico de la máquina:

12[iabc, f

]t [τabc, f

][iabc, f

]−Tm = J θ +αθ (4.8)

La ecuación 4.8 representa el balance del par eléctrico y mecánico en el eje del rotor. Elpar acelerante es igual al par eléctrico del convertidor, menos el par resistente opuestopor la carga y por las pérdidas mecánicas. La ecuación diferencial de segundo orden 4.8puede expresarse mediante dos ecuaciones diferenciales de primer orden:{

ωm = 1J

(12

[iabc, f

]t [τabc, f

][iabc, f

]−Tm−αθ

)θ = ωm

(4.9)

Donde:

J es el momento de inercia del rotor

Tm es el par mecánico resistente

α es el coeficiente de fricción dinámica

El sistema de seis ecuaciones diferenciales formado por las cuatro ecuaciones del sistema4.6 y las dos ecuaciones mecánicas representadas por la expresión 4.9, definen el com-portamiento dinámico y transitorio completo de la máquina sincrónica de la figura 4.2.Este sistema de ecuaciones diferenciales es no lineal y los coeficientes son variables en eltiempo, por este motivo hay que recurrir a técnicas numéricas para evaluar el comporta-miento de la máquina o simplificar el problema mediante la técnica de transformación decoordenadas.

En la matriz de inductancia de la máquina sincrónica, se encuentra toda la informaciónnecesaria para determinar su comportamiento. En la matriz de inductancias se resume lainformación sobre la disposición geométrica de las bobinas, sus acoplamientos, númerode vueltas y reluctancias de los diferentes caminos magnéticos. Una vez conocida la ma-triz de inductancias, se puede evaluar la matriz de par calculando la derivada parcial deesta matriz con respecto a la posición angular del rotor. La matriz de inductancias de lamáquina sincrónica esquematizada en la figura 4.2 posee la siguiente estructura:

[Labc, f (θ)

]=

[[Lee(θ)] [Ler(θ)]

[Lre(θ)] L f

](4.10)

[Lee(θ)] =

Laa(θ) Mab(θ) Mac(θ)

Mba(θ) Lbb(θ) Mbc(θ)

Mca(θ) Mcb(θ) Mcc(θ)

;[Le f (θ)

]=[L f e(θ)

]t=

Ma f (θ)

Mb f (θ)

Mc f (θ)


Donde:

e es el subíndice referido a las bobinas del estator

f es el subíndice referido a las bobinas del campo

a,b,c son los subíndices de las tres bobinas físicas del estator

Cada una de las inductancias de la máquina sincrónica se puede representar como unafunción del ángulo θ , que es periódica porque se repite nuevamente cada vez que el rotorrealiza un giro completo. Esta propiedad permite representar estas funciones medianteexpansiones en series de Fourier, con el ángulo θ como variable. Si la pieza polar sediseña convenientemente1, es posible representar las inductancias de la máquina con unnúmero reducido de los términos de la serie. La expresión de la matriz de inductancias mássimple consiste en considerar términos dependientes hasta en 2θ , para las inductanciasestator-estator, y términos en θ para las inductancias estator-rotor.

La inductancia del rotor L f es independiente de la posición θ del rotor, debido a que elestator de la máquina es aproximadamente liso2. El resto de las inductancias propias ymutuas depende de la posición angular θ , si el rotor de la máquina es de polos salientes.Las permeanzas de los caminos magnéticos de las bobinas del estator y de los acopla-mientos estator-rotor son dependientes de la posición angular θ . Cuando la pieza polardel rotor se encuentra alineada con una de las bobinas del estator, el camino magnéticoposee la máxima permeanza. Si la pieza polar se encuentra en cuadratura con la bobina,el entrehierro es muy grande y disminuye la permeanza. La variación de la permeanza de-pende del ángulo 2θ porque una bobina alineada con el polo norte del rotor tiene el mismocamino magnético cuando el alineamiento ocurre con el polo sur. Estas inductancias sepueden representar aproximadamente mediante las siguientes funciones:

Laa(θ) = L1e +M2e cos2θ + · · · (4.11)

Lbb(θ) = L1e +M2e cos2(θ − 2π

3)+ · · · (4.12)

Lcc(θ) = L1e +M2e cos2(θ − 4π

3)+ · · · (4.13)

Mab(θ) = Mba(θ) =−M1e−M2e cos2(θ +π

6)+ · · · (4.14)

1Variando el entrehierro para producir una densidad de campo magnético distribuido sinusoidalmente.2Para esta consideración es necesario despreciar el efecto de las ranuras del estator.


Mac(θ) = Mca(θ) =−M1e−M2e cos2(θ − π

6)+ · · · (4.15)

Mbc(θ) = Mcb(θ) =−M1e−M2e cos2(θ − π

2)+ · · · (4.16)

Donde3:

Ld ≡32(L1e +M2e) ; Lq ≡

32(L1e−M2e) ; Ld f ≡

√32

Me f (4.17)

L1e =Ld +Lq

3; M2e =

Ld−Lq

3(4.18)

M1e 'L1e

2(4.19)

En lo que se refiere a los acoplamientos mutuos estator-rotor, la funcionalidad de lasinductancias es diferente porque al girar el rotor 180◦, la bobina del campo invierte su po-laridad. Las inductancias del estator varían entre un valor máximo y un mínimo, siemprepositivo respecto a la posición angular del rotor. Sin embargo, los acoplamientos mutuosestator-rotor varían entre un valor máximo positivo hasta un valor máximo negativo, queen valor absoluto son idénticos cuando el rotor de la máquina gira 180◦. Las inductan-cias mutuas entre el estator y el rotor pueden ser aproximadas mediante las siguientesfunciones:

Ma f (θ) = M f a(θ) = Me f cosθ + · · · (4.20)

Mb f (θ) = M f b(θ) = Me f cos(θ − 2π

3)+ · · · (4.21)

Mc f (θ) = M f c(θ) = Me f cos(θ − 4π

3)+ · · · (4.22)

Si el rotor de la máquina sincrónica es liso, todas las inductancias del estator son indepen-dientes de la posición del rotor. En esta situación la matriz de inductancias

[Labc, f (θ)

]se

3En este caso la aproximación se debe a que la dispersión de la bobina no está siendo considerada. Ladispersión puede ser considerada en el modelo como si estuviese conectada externamente a los bornes de lamáquina.


expresa de la siguiente forma:

[Labc, f (θ)

]=

L1e M1e M1e Me f cosθ

M1e L1e M1e Me f cos(θ − 2π

3 )

M1e M1e L1e Me f cos(θ − 4π

3 )

Me f cosθ Me f cos(θ − 2π

3 ) Me f cos(θ − 4π

3 ) L f

(4.23)

Aún para el caso de una máquina sincrónica de rotor liso, la solución del sistema de ecua-ciones diferenciales que determina el comportamiento de la máquina sincrónica requiereel uso de métodos numéricos, debido a la dependencia de las inductancias mutuas entreel estator y el campo, con la posición θ del rotor. El modelo de la máquina sincrónicade rotor liso o de polos salientes se puede obtener mediante transformaciones del sistemade coordenadas. La transformación a vectores espaciales y a coordenadas dq0, permitensimplificar notablemente estos modelos.

4.3. Transformación a vectores espaciales

Para aplicar la transformación de vectores espaciales a las ecuaciones 4.5 y 4.8 que repre-sentan el comportamiento de la máquina sincrónica en coordenadas primitivas, es conve-niente expresar por separado las ecuaciones del estator y del rotor:

[ve] = [Re] [ie]+ p{[Lee] [ie]+

[Le f]

i f}

(4.24)

v f = R f i f + p{[

L f e][ie]+L f i f

}(4.25)

Aplicando esta transformación de vectores espaciales a la expresión 4.24, se obtienen elsiguiente resultado:

ve = Reie + p

{(L1e +M1e) ie +

32

M2ee j2θ i∗e +√

32

Me f e jθ i f

}(4.26)

Donde:

ve =

√23(va +αvb +α

2vc)

(4.27)

√23

[1 α α2

][Re] [ie] = Reie (4.28)


√23

[1 α α2

][Lee] [ie] =

=

√23

[1 α α2

]· · · ·

· · · ·

L1e −M1e −M1e

−M1e L1e −M1e

−M1e −M1e L1e

+M2e

cos2θ −cos2(θ + π

6 ) −cos2(θ − π

6 )

−cos2(θ + π

6 ) cos2(θ − 2π

3 ) −cos2(θ − π

2 )

−cos2(θ − π

6 ) −cos2(θ − π

2 ) cos2(θ − 4π

3 )

[ie] =

(L1e +M1e) ie +32

M2ee j2θ i∗e =

=12(Ld +Lq) ie +

12(Ld−Lq)e j2θ i∗e (4.29)

√23

[1 α α2

][Le f]

i f =

√32

Me f e jθ i f = Ld f e jθ i f (4.30)

Reemplazando las definiciones de los vectores espaciales en la ecuación 4.25 se obtiene:

v f = R f i f + p{

Ld f

[e jθ i∗e + e− jθ ie

2

]+L f i f

}(4.31)

El par eléctrico es:

Te =12[iabc, f

]t [τabc, f

][iabc, f

]=

12[ie]

t [τee] [ie]+ [ie]t [

τe f]

i f =

= jM2e

2[ie]

t

e j2θ

−1 e− j π

3 e j π

3

e− j π

3 −e− j 4π

3 e− jπ

e j π

3 e− jπ −e− j 8π

3

− e− j2θ

−1 e j π

3 e− j π

3

e j π

3 −e j 4π

3 e jπ

e− j π

3 e jπ −e j 8π

3

[ie]+· · ·

· · ·+ jMe f

2[ie]

t

e jθ

1

e− j 2π

3

e− j 4π

3

− e− jθ

1

e j 2π

3

e j 4π

3

i f =


=34 j

M2e

{(e− jθ ie)2− (e jθ i∗e)

2}+ j

Me f

2

√32

{e jθ i∗e− e− jθ ie

}i f =

=12(Ld−Lq)ℑm

{(e− jθ ie)2

}+Ld f ℑm

{e− jθ ie

}i f (4.32)

Las expresiones 4.26, 4.31 y 4.32 modelan la máquina sincrónica utilizando vectores es-paciales. La principal ventaja de esta transformación consiste en la reducción de las tresecuaciones del estator a una sola en variable compleja. Por otra parte, aun cuando la de-pendencia angular en θ se mantiene en este sistema de coordenadas, las correspondientesexpresiones han sido simplificadas convenientemente al utilizar los términos e± jθ . En laexpresión 4.32 correspondiente al par eléctrico pueden observarse dos componentes: elpar de reluctancia y el par producido entre las fuerzas magnetomotrices del estator y delcampo.

4.4. Transformación a coordenadas rotóricas

Para eliminar la dependencia en θ existente en el modelo de la máquina sincrónica envectores espaciales, es posible referir las variables del estator al sistema de referencia delrotor, el cual se encuentra exactamente en la posición θ con respecto al sistema solidariocon el estator. Por esta razón es posible multiplicar la ecuación del estator por e− jθ parareferir estas ecuaciones a un sistema de coordenadas sincronizado con el eje del cam-po. Este nuevo sistema de coordenadas es conocido como ejes d y q. El eje directo d

apunta en la misma dirección que el eje del campo f . El eje cuadratura q se encuentra a90◦ de adelanto con respecto al eje d. De esta forma se pueden introducir las siguientesdefiniciones:

vdqe = vd + jvq = vee− jθ (4.33)

idqe = id + jiq = iee− jθ (4.34)

Derivando la expresión 4.34 se obtiene la relación siguiente:

e− jθ pie = pid + jpiq + jθ idqe (4.35)

4.4. TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS ROTÓRICAS 53

Al multiplicar la ecuación 4.26 por el término de rotación e− jθ se obtiene:

e− jθ ve = Reiee− jθ + e− jθ p{

12(Ld +Lq) ie +

12(Ld−Lq)e j2θ i∗e +Ld f e jθ i f

}⇒

vdqe =Reidq

e +12(Ld+Lq)

(pidq

e + jθ idqe

)+

12(Ld−Lq)

(pidq∗

e + jθ idq∗e

)+Ld f

(pi f + jθ i f

)(4.36)

Descomponiendo la expresión 4.36 en parte real y parte imaginaria resulta:

vd = Reid + p(Ldid +Ld f i f

)− θLqiq = Reid + pλd− θλq (4.37)

vq = Reiq + p(Lqiq

)+ θ

(Ldid +Ld f i f

)= Reiq + pλq + θλd (4.38)

Realizando transformaciones semejantes en la ecuación 4.31 se obtiene el resultado si-guiente:

v f = R f i f + p{

Ld f

2

[idqe +

(idqe

)∗]+L f i f

}=

v f = R f i f + p(L f i f +Ld f id

)= R f i f + pλ f (4.39)

Finalmente, transformando las variables espaciales de la expresión 4.32 correspondienteal par eléctrico, se obtiene:

Te =12(Ld−Lq)ℑm

{(idq

e )2}+Ld f ℑm

{e− jθ ie

}i f =

=(Ld−Lq

)idiq +Ld f iqi f = λdiq−λqid = λ

dqe × idq

e (4.40)

El sistema de ecuaciones diferenciales que determina el comportamiento dinámico de lamáquina sincrónica se puede expresar de la siguiente forma:

vd = Reid + pλd−ωλq

vq = Reiq + pλq +ωλd

v f = R f i f + pλ f

J ω = λdqe × idq

e −Tm(ω)

(4.41)

Donde:

λd = Ldid +Ld f i f


λq = Lqiq

λ f = L f i f +Ld f id

λdqe = λd + jλq

4.5. Transformación de Park

En la máquina sincrónica, el campo magnético rotatorio producido por las fuerzas mag-netomotrices de los devanados estatóricos, gira a la velocidad sincrónica ωe. El rotor dela máquina también gira a la velocidad sincrónica ωr = ωe. Por esta razón es convenientereferir las ecuaciones diferenciales que definen el comportamiento de la máquina a un sis-tema de coordenadas solidario con el rotor. De acuerdo con estos lineamientos se definenlos siguientes ejes magnéticos:

Eje d : Gira con respecto al estator a la velocidad del rotor y en todo momento seencuentra colineal con el eje magnético del campo.

Eje q : Rota con respecto al estator a la velocidad del rotor y en todo momento seencuentra en cuadratura con el eje magnético del campo.

Eje 0 : Fijo en el estator y se encuentra desacoplado magnéticamente del resto de losejes de la máquina.

Eje f : Solidario con el sistema rotórico y colineal con el eje magnético de la bobinade campo.

Aun cuando los ejes d y q giran a igual velocidad que el rotor, ambos representan variablesdel estator. El eje 0 es necesario para permitir que la transformación de coordenadas seabidireccional, es decir, se pueda transformar de variables primitivas a variables dq0 yviceversa. El eje 0 tiene una estrecha relación con las variables de secuencia cero de latransformación de componentes simétricas. En la práctica el eje 0 permite representarflujos de dispersión que no están acoplados con otras bobina de la máquina. En la figura4.3(b) se ha representado el sistema de coordenadas dq0− f .

La matriz de transformación de coordenadas dq0− f a coordenadas primitivas se definemediante la relación: [

iabc, f]= [A]

[idq0, f

](4.42)

Si la transformación anterior se escoge de tal forma que la matriz [A] sea hermitiana4,la transformación es conservativa en potencia. Cuando la matriz es hermitiana y real, se

4Inversa de la matriz de transformación [A] igual a su traspuesta conjugada.

4.5. TRANSFORMACIÓN DE PARK 55

obtiene: [idq0, f

]= [A]−1 [iabc, f

]= [A]t

[iabc, f

](4.43)

La matriz de transformación [A] se puede obtener multiplicando la transformación decoordenadas primitivas a coordenadas ortogonales αβ0,5 por la transformación de coor-denadas αβ0 a coordenadas dq0:6

iaibic

=

√23

1 0 1√

2

−12

√3

21√2

−12 −

√3

21√2

iα

iβi0

(4.44)

iαiβi0

=

cosθ −sinθ 0sinθ cosθ 0

0 0 1

id

iqi0

(4.45)

iaibic

=

√23

cosθ −sinθ

1√2

cos(θ − 2π

3

)−sin

(θ − 2π

3

) 1√2

cos(θ − 4π

3

)−sin

(θ − 4π

3

) 1√2

id

iqi0

(4.46)

La matriz de la expresión 4.46 se conoce como transformación de Park. La transformaciónde coordenadas primitivas abc, f a coordenadas dq0, f es:

idiqi0i f

=

√23

cosθ cos

(θ − 2π

3

)cos(θ − 4π

3

)0

−sinθ −sin(θ − 2π

3

)−sin

(θ − 4π

3

)0

1√2

1√2

1√2

0

0 0 0√

32

iaibici f

(4.47)

La transformación de Park utilizada es hermitiana y por tanto es invariante en potencia:

p(t) =[vabc, f

]t [iabc, f]=[[A][vdq0, f

]]t [[A][idq0, f

]]=

=[vdq0, f

]t[A]t [A]

[idq0, f

]=[vdq0, f

]t [idq0, f]= p(t) (4.48)

Aplicando la transformación 4.47 al sistema de ecuaciones 4.5 se obtiene:

[vdq0, f

]=[Rdq0, f

][idq0, f

]+[Ldq0, f

]p[idq0, f

]+ θ ·

[Gdq0, f

][idq0, f

](4.49)

5Transformación de Clark.6Rotación en θ introducida en el capítulo 4.


Donde: [Rdq0, f

]= [A]t

[Rabc, f

][A] (4.50)

[Ldq0, f

]= [A]t

[Labc, f

][A] (4.51)

[Gdq0, f

]=[τdq0, f

]+[Hdq0, f

]= [A]t

[τabc, f

][A]+ [A]t

[Rabc, f

] ddθ

[A] (4.52)

Por otra parte, la ecuación dinámica del movimiento se puede expresar de la siguienteforma:

Jθ +ρθ =12[idq0, f

]t [τdq0, f

][idq0, f

]−Tm (4.53)

Evaluando explícitamente las expresiones 4.50 a 4.52 y sustituyendo el resultado en lasecuaciones diferenciales 4.49 y 4.53 se obtiene:

vd

vq

v0

v f

=

Re +Ld p −ωLq 0 Ld f p

ωLd Re +Lq p 0 ωLd f

0 0 R0 +L0 p 0Ld f p 0 0 R f +L f p

idiqi0i f

Jpω =

(Ld−Lq

)idiq +Ld f iqi f −ρω−Tm (4.54)

El modelo de la máquina sincrónica obtenido a partir de la transformación de vectores es-paciales referidos a las coordenadas del rotor 4.41 coincide con el modelo 4.54, obtenidoaplicando la transformación de Park 4.51. La transformación a vectores espaciales 4.27 yla transformación de Clark 4.44 están íntimamente relacionadas. Lo mismo sucede entrela rotación 4.45 y referir las variables espaciales del estator al sistema de coordenadas delrotor multiplicándolas por el término e− jθ .

En un sistema trifásico sin neutro no circula corriente de secuencia cero, pero cuandolas tres corrientes de fase encuentran un camino de retorno, es necesario considerar es-ta componente. La componente de secuencia cero representa la circulación de corrientesiguales y en fase por las bobinas de la máquina. Estas corrientes no producen magnetiza-ción debido a que la suma de las fuerzas magnetomotrices de las tres bobinas es cero. Sinembargo, los flujos de dispersión sí poseen componente de secuencia cero. En el modelode la máquina no existe acoplamiento magnético de esta secuencia con el resto de lasbobinas. Esta componente no puede producir par eléctrico, pero influye en las pérdidasde la máquina y en las fuerzas electromotrices sobre las bobinas. En la expresión 4.54 noaparecen fuerzas electromotrices de generación sobre la bobina de campo. Esto se debea que el sistema de coordenadas dq0 es solidario al eje f del campo. Los flujos de las


Figura 4.3: Modelo en coordenadas dq0− f de la máquina sincrónica

bobinas d y q no cruzan tangencialmente a los conductores del campo. Sin embargo, eneste eje pueden aparecer fuerzas electromotrices por transformación, debido a que el flu-jo de la bobina del eje directo atraviesa el devanado de campo. Por el contrario, el ejecuadratura no puede producir ningún efecto sobre el campo debido a que se encuentrapermanentemente en una posición ortogonal.

La máquina sincrónica puede ser representada mediante un modelo físico en coordenadasdq0− f , similar al obtenido en el capítulo 4 para la máquina generalizada. En la figurase presenta el modelo en coordenadas dq0− f que satisface las ecuaciones 4.54. En lamáquina real, las corrientes id e iq no circulan por ningún devanado físico, para determinarlas corrientes reales es necesario aplicar la transformación inversa de coordenadas dq0− f

a coordenadas primitivas.

Cada pareja de escobillas separa las capas de corriente de las bobinas equivalentes. Lafuerza electromotriz de todos los conductores que forman cada una de las bobina se ob-tiene en bornes de las escobillas. Cuando por un par de escobillas se inyecta una corriente,ésta circula entrando a los conductores a la derecha del eje que define la posición de es-tas escobillas y saliendo en los conductores a la izquierda. Esta configuración produceuna fuerza magnetomotriz orientada en el eje de las escobillas, tal como se muestra en lafigura 4.4.

Las fuerzas electromotrices de generación que aparecen sobre los conductores se recolec-tan en los circuitos que se encuentran en cuadratura con el flujo que las produce. El campoy la bobina del eje d producen generación sobre la bobina del eje q, y la bobina del eje q


produce generación sobre el eje d, pero sobre la bobina de campo no se produce genera-ción porque este devanado no es cortado por el flujo de los demás ejes. En el sistema dereferencia utilizado, las fuerzas electromotrices de generación aparecen adelantadas 90ºcon respecto a los flujos que las producen. Si en las bobinas primitivas se inyecta un siste-ma balanceado de corrientes trifásicas, se obtienen las siguientes corrientes en el sistemade coordenadas dq0:

idiqi0

=

√23

cosθ cos

(θ − 2π

3

)cos(θ − 4π

3

)−sinθ −sin

(θ − 2π

3

)−sin

(θ − 4π

3

)1√2

1√2

1√2

√2Ie

cos(ωt +α)

cos(ωt +α− 2π

3 )

cos(ωt +α− 4π

3 )

=

idiqi0

=√

3Ie

cos(θ −ωt−α)

−sin(θ −ωt−α)

0

(4.55)

Si la posición angular θ del rotor se sincroniza7 con la variación angular de las corrientesen la expresión 4.55, las corrientes en las coordenadas dq0 son independientes del tiempo.En esta condición, los términos que dependen de las derivadas de las corrientes se anulan.En este sistema de coordenadas, corrientes constantes en el tiempo producen fuerzas mag-netomotrices constantes en las bobinas dq0 transformadas. Como la transformación estásincronizada con la velocidad angular de las corrientes durante el régimen permanente, elcampo magnético producido por las bobinas d y q gira con la misma velocidad y comoresultado se obtiene el mismo campo magnético rotatorio de la máquina sincrónica encoordenadas primitivas, excitada mediante un sistema trifásico balanceado de corrientes.

El par electromagnético de la máquina está determinado por la interacción entre fuerzasmagnetomotrices no alineadas. Por una parte la fuerza magnetomotriz del campo producepar al interactuar con el flujo de la bobina que representa al eje q. La fuerza magneto-motriz del eje d produce par en su interacción con la fuerza magnetomotriz del enrolladocuadratura. Exactamente igual pero con sentido contrario, la fuerza magnetomotriz deleje q produce par con la fuerza magnetomotriz del eje d. Si la reluctancia de los caminosmagnéticos d y q son iguales, estos dos pares se neutralizan. Cuando la reluctancia deleje d es menor que la del eje q, el par que produce la fuerza magnetomotriz del eje d

sobre el eje q es mayor que en la dirección contraria y se produce un par neto resultantedebido a la variación de reluctancia entre los dos ejes. Desde otro punto de vista se puedeinterpretar que la pieza polar intenta alinearse con la fuerza electromotriz resultante en lamáquina. Si la máquina posee un rotor cilíndrico, este par es nulo. En la ecuación 4.40,

7θ(t) = ωt +θ0.


el par eléctrico se divide en dos componentes: la primera es proporcional al producto dela corriente de campo i f por la corriente de la bobina cuadratura iq y la segunda dependedel producto de las corrientes id e iq. Esta última componente se anula si la inductanciaLd es igual a la inductancia Lq. La inductancia Ld está definida por la permeanza del ejedirecto, mientras que Lq se define por la permeanza del eje cuadratura.

En la figura 4.3 se han representado las fuerzas magnetomotrices en coordenadas dq0.Se observa que sobre la pieza polar aparecerá un par eléctrico que intentará alinear elrotor con la fuerza magnetomotriz total. Cuando se analizan las fuerzas electromotricesde generación en el sistema de ecuaciones 4.54 se observan dos términos similares: elprimero depende de la inductancia Lq, que es proporcional a la permeanza del caminocuadratura y determina la generación sobre el eje directo; el segundo término depende deLd , es proporcional a la permeanza del camino directo y determina parte de la generaciónsobre el eje cuadratura.

Incluyendo el efecto de los devanados amortiguadores el sistema de ecuaciones diferen-ciales se puede expresar como:

vd

vq

vad

vaq

v f

=

Re +Ld p −ωLq Ldad p −ωLdaq Ld f p

ωLd Re +Lq p ωLqad Lqaq p ωLd f

Ldad p 0 Ra +Lad p 0 Lad f p

0 Lqaq p 0 Ra +Laq p 0Ld f p 0 Lad f p 0 R f +L f p

idiqiad

iaq

i f

(4.56)

2HωB pω =(Ld−Lq

)idiq +Ld f iqi f +Ldadiadiq−Lqaqiaqid−Tm (4.57)

También se puede expresar estas ecuaciones con enlaces de flujo como variable de estado:

vd = Reid + pλd−ωλq

vq = Reiq + pλq +ωλd

vad = Raiad + pλad

vaq = Raiaq + pλaq

v f = R f i f + pλ f

J ω = λdqe × idq

e −Tm(ω)

(4.58)

donde:


λd = Ldid +Ld f i f +Lad−diad

λq = Lqiq +Laq−qiaq

λad = Ladiad +Lad− f i f +Lad−didλaq = Laqiaq +Laq−qiqλ f = L f i f +Ld f idλ

dqe = λd + jλq

(4.59)

4.6. Régimen permanente

Para analizar el comportamiento de la máquina sincrónica en régimen permanente es ne-cesario excitar los circuitos de armadura con un sistema equilibrado y simétrico de co-rrientes. Además, en estas condiciones el rotor de la máquina debe girar a la velocidadsincrónica. La posición relativa del rotor con respecto al sistema de referencia solidario alestator es:

θ = ωt +θ0 (4.60)

Sustituyendo la expresión 4.60, en la transformación a coordenadas dq0 definida mediantela relación 4.55, se obtiene el siguiente resultado:

id =√

3Ie cos(θ0−α) ; iq =−√

3Ie sin(θ0−α) ; id = 0 (4.61)

Las corrientes de régimen permanente en coordenadas primitivas, transformadas al siste-ma de coordenadas dq0, son independientes del tiempo. El argumento de las funcionestrigonométricas (θ0−α) proyecta la fuerza magnetomotriz producida por el sistema ba-lanceado de corrientes primitivas, según las direcciones de los nuevos ejes coordenados.En la figura 4.3 se representa el efecto de la transformación para un sistema en régimenpermanente y equilibrado. Como las corrientes id , iq e i0 son independientes del tiempo,los términos de transformación son nulos en el nuevo sistema de coordenadas y en estascondiciones, las ecuaciones del modelo 4.54 se reducen a:

vd = Reid−ωLqiq = Reid−Xqiq (4.62)

vq = Reiq +ωLdid +ωLd f i f = Reiq +Xdid + e f (4.63)

v f = R f i f (4.64)

4.7. DIAGRAMA FASORIAL 61

Te = (Ld−Lq)idiq +Ld f iqi f (4.65)

4.7. Diagrama fasorial

Mediante la transformación inversa de Park 4.46 se puede obtener la tensión de la fase a:

va(t) =

√23(vd cosθ − vq sinθ +

1√2

v0) (4.66)

La tensión v0 es nula debido a que no existe corriente de secuencia cero en el sistematrifásico balanceado8. Por otra parte, la transformación de coordenadas gira a velocidadsincrónica según se describe en la expresión 4.60. En estas condiciones se determina latensión en bornes de la fase a de la máquina como:

va(t) =

√23

vd[cos(ωt +θ0)− vq sin(ωt +θ0)

]=

√23

ℜe[(

vd + jvq)

e j(ωt+θ0)]=

= ℜe[√

2(Vd + jVq

)e j(ωt+θ0)

]= ℜe

[√2Vee j(ωt+θ0)

](4.67)

De acuerdo con esta expresión, el fasor que representa el valor efectivo de la tensión en lafase a del estator de la máquina sincrónica en régimen permanente es:

Ve = Vd +Vq =Vd + jVq =vd√

3+ j

vq√3

(4.68)

Con un razonamiento similar para las corrientes en régimen permanente se obtiene lasiguiente expresión:

Ie = Id + Iq = Id + jIq =id√

3+ j

iq√3

(4.69)

Reemplazando las expresiones 4.68 y 4.69 en las ecuaciones 4.62 y 4.63, se obtienen lassiguientes relaciones fasorales:

Vd = ReId + jXqIq (4.70)

Vq = ReIq + jXdId + j1√3

e f = ReIq + jXdId +E f (4.71)

8En el sistema trifásico balanceado se tiene: v0 = va + vb + vc = 0.


Ve = Vd +Vq = Re(Id + Iq

)+ jXdId + jXqIq +E f ⇒

Ve = ReIe + jXdId + jXqIq +E f (4.72)

En las expresiones 4.70 a 4.72, los fasores con subíndice d están orientados según la di-rección del eje directo, y los fasores con subíndice q apuntan en la dirección del eje cua-dratura. El fasor E f se orienta en la dirección del eje q debido a que representa la fuerzaelectromotriz producida por la corriente del campo i f sobre el eje q. En la ecuación 4.71se observa que el fasor E f se obtiene multiplicando por j9 la fuerza electromotriz e f pro-ducida por el campo y dividiendo este resultado por el factor 1√

3. Todas las magnitudes de

los fasores de las expresiones anteriores se han definido en términos de valores efectivos,por esta razón no aparece en la definición de cada uno de los términos el coeficiente

√2.

En la ecuación fasorial 4.72 aparecen los términos jXdId y jXqIq, los cuales aun cuandoaparentan ser caídas de tensión reactivas, en realidad representan fuerzas electromotricesde generación. Es necesario recordar que el operador imaginario j produce una rotaciónde 90◦. Como el fasor XdId está dirigido según el eje directo, el fasor jXdId se orientasegún la dirección del eje cuadratura. En otras palabras, el flujo producido por la bobinadel eje directo de la máquina, corta a los conductores fijos del estator e induce fuerzaelectromotriz de generación en el eje cuadratura. De forma semejante el término XqIq re-presenta un fasor con dirección cuadratura, jXqIq rota 90º y el fasor resultante apunta enla dirección negativa del eje directo. En la figura 4.4 se representa el diagrama fasorial dela máquina sincrónica en régimen permanente.

Si el rotor de la máquina sincrónica es liso, las reactancias directa y cuadratura son iguales,en este caso se define una sola reactancia denominada reactancia sincrónica Xs. Para lamáquina sincrónica de rotor liso la ecuación fasorial 4.72 se simplifica cuando se agrupanlos términos de generación:

Ve = (Re + jXs)Ie +E f (4.73)

Las relaciones anteriores están escritas en la convención motor. En otras palabras, lascorrientes que circulan por las bobinas de la máquina entran por su punto de polaridadrelativa. En la convención motor una potencia positiva indica que la máquina consumepotencia eléctrica. Si la potencia es negativa, la máquina genera potencia eléctrica. Lasmáquinas sincrónicas son empleadas con mucha frecuencia como generadores y es ven-

9Dirección del eje cuadratura.

4.7. DIAGRAMA FASORIAL 63

Figura 4.4: Diagrama fasorial de la máquina sincrónica de polos salientes en convenciónmotor

tajoso en estos casos utilizar la convención generador en lugar de la convención motorpara describir su comportamiento. En la convención generador las corrientes de armadurasalen por el punto de polaridad de cada bobina. En ambas convenciones, la dirección dereferencia de la corriente de campo se define entrando por el punto de polaridad relativa,porque este eje eléctrico es pasivo y en general consume potencia eléctrica. El cambiode convención se realiza invirtiendo el sentido de circulación de las corrientes de los ejesdirecto y cuadratura; para este fin se cambia el signo de las corrientes Ie, Id e Iq, en lasecuaciones 4.70, 4.71 y 4.72. La fuerza electromotriz que produce el campo no cambia designo en la nueva convención, debido a que la corriente de campo i f mantiene la mismareferencia en las dos convenciones. De esta forma, la ecuación de la máquina sincrónicade polos salientes en régimen permanente y en convención generador se puede expresarcomo:

E f = Ve +ReIe + jXdId + jXqIq (4.74)

En la figura 4.5 el triángulo 4ABC es semejante al triángulo 4DEF , por esta razón sepuede establecer la siguiente relación:

EFAC

=DFAB⇒ Vz

Ie=

jXqIq

Iq⇒ Vz = jXqIe (4.75)

La tensión Vz, aun cuando no posee una interpretación física concreta, es una herramientamuy útil en la construcción del diagrama fasorial de la máquina sincrónica de polos salien-tes. Cuando se suma fasorialmente la tensión de armadura en bornes de la máquina Ve, lacaída resistiva ReIe en el circuito de armadura y el fasor Vz, el fasor resultante está orien-tado en la dirección del eje cuadratura tal como se observa en la figura 4.5. Conociendo la


Figura 4.5: Diagrama fasorial de la máquina sincrónica de polos salientes en la convencióngenerador

posición del eje cuadratura de la máquina, es posible proyectar la corriente Ie en sus doscomponentes, Id e Iq. Conocido el fasor Id se determina la fuerza electromotriz producidapor el campo, sumando el término j(Xd−Xq)Id al extremo del fasor que representa la ten-sión Vz en el diagrama fasorial. Expresando matemáticamente el planteamiento anterior,se tiene:

AE = D∠δ = Ve +ReIe + jXqIe (4.76)

δ = arctan[

XqIe cosφe−ReIe sinφe

Ve +ReIe cosφe +XqIe sinφe

](4.77)

D =√(Ve +ReIe cosφe +XqIe sinφe)2 +(XqIe cosφe−ReIe sinφe)2 (4.78)

|Id|= Id = |Ie|sin(φe +δ ) (4.79)

E f = AE + j(Xd−Xq)Id = D∠δ + j(Xd−Xq)Id (4.80)

E f = D+(Xd−Xq)Ie sin(φe +δ ) (4.81)

Mediante las expresiones anteriores se determina el diagrama fasorial de la máquina sin-crónica de polos salientes, conocida la resistencia del estator Re, las reactancias directaXd y cuadratura Xq, la tensión de armadura Ve, la corriente de armadura Ie y el ángulo delfactor de potencia en el punto de operación φe.

4.8. POTENCIA Y PAR ELÉCTRICO 65

4.8. Potencia y par eléctrico

Para calcular del par eléctrico se pueden utilizar las expresiones 4.40 o 4.65. Sin embargo,las variables independientes de esta ecuación son ficticias y por esta razón es convenienteexpresar el par y la potencia eléctrica mediante variables asociadas con el diagrama fa-sorial. Las máquinas sincrónicas tienen rendimientos muy altos, particularmente cuandoson de gran potencia. En una máquina sincrónica típica, la potencia mecánica en el eje esprácticamente igual a la potencia eléctrica en bornes de la máquina. Empleando esta apro-ximación es posible desarrollar expresiones del par y de la potencia eléctrica dependientesde variables mesurables en la práctica. Con estas condiciones se tiene:

Pm = Tm ·ωm ≈ Pe = Te ·ωe (4.82)

La potencia eléctrica se determina de la siguiente forma:

Pe(t) = vaia + vbib + vcic = vdid + vqiq + v0i0 (4.83)

En régimen permanente equilibrado, las corrientes y las tensiones en coordenadas trans-formadas son independientes del tiempo. La corriente y la tensión de secuencia cero sonnulas. La potencia eléctrica se calcula como:

Pe(t) = vdid + vqiq =√

3Vd√

3Id +√

3Vq√

3Iq = 3(VdId +VqIq) (4.84)

Despreciando la caída de tensión en la resistencia Re en el diagrama fasorial representadoen la figura 4.5, se deducen las siguientes relaciones:

Ve cosδ +XdId = E f ⇒ Id =E f −Ve cosδ

Xd(4.85)

Ve sinδ = XqIq ⇒ Iq =Ve sinδ

Xq(4.86)

Vd =Ve sinδ (4.87)

Vq =Ve cosδ (4.88)

Reemplazando las ecuaciones 4.85 a 4.88 en la expresión 4.84 se obtiene el siguienteresultado:

Pe = 3E fVe

Xdsinδ +3

Xd−Xq

2XdXqV 2

e sin2δ (4.89)


(a) Potencia activa (b) Potencia reactiva

Figura 4.6: Potencia eléctrica de la máquina sincrónica de polos salientes

El segundo término de la expresión anterior depende de la diferencia entre las reactanciasdel eje directo y cuadratura. En otras palabras, depende de la variación de reluctancia delcircuito magnético. El primer término depende de la fuerza electromotriz E f producidapor la corriente de campo. En una máquina de rotor liso, éste es el único término de lapotencia eléctrica que interviene en el proceso de conversión de energía. El par eléctri-co se calcula dividiendo la expresión 4.89 por la velocidad angular sincrónica mecánicaωm = ωe

p , donde p es el número de pares de polos de la máquina. El ángulo δ se denominaángulo de carga de la máquina y representa la diferencia de fase entre la fuerza electromo-triz producida por el flujo del campo y la tensión de armadura. El ángulo de carga defineel estado o punto de operación de la máquina, es análogo a la variable deslizamiento enel caso de la máquina de inducción. En la figura 4.6(a) se presenta el gráfico potenciaeléctrica con respecto al ángulo de carga para una máquina sincrónica típica, indicandolas dos componentes de la potencia eléctrica y la potencia eléctrica total.

La potencia aparente en el estator de la máquina sincrónica se calcula de la siguienteforma:

Se = 3Ve · I∗e = 3(Vd + jVq)(Id− jIq) =

= 3[(VdId +VqIq)+ j(VqId−VdIq)

]= Pe + jQe (4.90)

La ecuación anterior determina la potencia activa y reactiva de la máquina sincrónica. Lapotencia reactiva expresada en función de las variables del diagrama fasorial se obtienereemplazando en la expresión 4.89, las relaciones 4.85 a 4.88:

Qe = 3(VqId−VdIq) = 3E fVe

Xdcosδ −3

V 2e

XdXq(Xq cos2

δ +Xd sin2δ ) (4.91)

En la figura 4.6(b) se representa la potencia reactiva en función del ángulo de carga para

4.8. POTENCIA Y PAR ELÉCTRICO 67

Figura 4.7: Variación de la potencia eléctrica con el ángulo de carga y punto de máximapotencia

una máquina sincrónica típica de polos salientes.

El punto de operación de la máquina sincrónica queda definido al conocer el valor delángulo de carga δ . En la figura 4.7 se observa que a medida que aumenta la potenciaentregada por la máquina al sistema eléctrico, se incrementa el valor del ángulo de carga.Sin embargo, la característica potencia eléctrica en función del ángulo de carga tiene unvalor de potencia máxima que puede entregar la máquina. Si por el sistema mecánico seentrega una potencia mayor, no es posible realizar la conversión de toda la potencia yel exceso o diferencia acelerará el rotor. Si el rotor de la máquina se acelera, el ángulode carga aumentará continuamente y la máquina perderá el sincronismo con el sistemaeléctrico de potencia. Cuando ocurre este fenómeno es necesario desconectar la máquinasincrónica de la red para evitar las fuertes oscilaciones de potencia y la aceleración de lamáquina, que es capaz de alcanzar el nivel de embalamiento del rotor.

Para determinar el ángulo de carga correspondiente a la máxima potencia que puede en-tregar la máquina, se deriva la expresión 4.89 con respecto a este ángulo. En el valor δmax

la derivada de la potencia con respecto al ángulo de carga es nula:

∂Pe

∂δ=

E fVe

Xdcosδ +

Xd−Xq

XdXqV 2

e cos2δ (4.92)

∂Pe

∂δ(δmax) =

E fVe

Xdcosδmax +

Xd−Xq

XdXqV 2

e cos2δmax = 0 (4.93)

Recordando la identidad trigonométrica cos2α ≡ 2cos2 α−1, se puede expresar la ecua-


ción 4.93 como una ecuación cuadrática:

2Xd−Xq

XdXqV 2

e cos2δmax +

E fVe

Xdcosδmax−

Xd−Xq

XdXqV 2

e = 0 (4.94)

Simplificando la expresión anterior se puede obtener:

cos2δmax +

12

Xq

Xd−Xq

E f

Vecosδmax−

12= 0 (4.95)

Cuya solución es:

δmax = arccos

√ X2q E2

f

16(Xd−Xq)2V 2e+

12−

XqE f

4(Xd−Xq)Ve

(4.96)

Para las máquinas sincrónicas de rotor liso, las reactancias directa y cuadratura son igua-les, y en este caso se obtiene a partir de la expresión 4.93:

δmax = arccos(0) =π

2⇒ Pemax =

E fVe

Xs(4.97)

Capítulo 5

Evaluación Numérica de Modelos

5.1. Máquina de inducción - Coordenadas primitivas

En este ejemplo de presenta el modelo en Matlab de una máquina de inducción trifásica encoordenadas primitivas. Los datos de la máquina en el sistema adimensional de unidades,son los siguientes:

Re Rr Lσe Lσr Lme Lmr Ler 2HωB

0,02 0,02 0,1 0,1 2,0 2,0 2,0 800

Las tensiones de alimentación son el siguiente sistema equilibrado:

vae(t) =√

2sen(t)vbe(t) =

√2sen

(t− 2π

3

)vce(t) =

√2sen

(t− 4π

3

)ó el siguiente sistema desequilibrado:

vae(t) =√

2sen(t)vbe(t) =

√2sen

(t− π

2

)vce(t) =

√2(−sen(t)− sen

(t− π

2

))

5.2. Máquina de inducción - Coordenadas vectoriales

En la figura 5.3 se muestra la posición angular, la velocidad angular, las corrientes tan-to del estator como del rotor y el par eléctrico, la velocidad angular producida por unamáquina de inducción excitada mediante un sistema de tensiones trifásicas balanceadas

69

70 CAPÍTULO 5. EVALUACIÓN NUMÉRICA DE MODELOS

Algoritmo 5.1 Modelo de la máquina de inducción en coordenadas primitivas - ProgramaPrincipal (Matlab)

% Modelo de l a Máquina de I n d u c c i ó n en coordenadas p r i m i t i v a s% Programa p r i n c i p a lg l o b a l Re Rr Loe Lor Lme Lmr Ler J t b wb Idem Sim Cero Lee L r r Cose Sen L e r tg l o b a l Rt Lt DerLt Ve Vae Vbe Vce Var Vbr Vcr Tm t f k Vent% Párametros y v a r i a b l e s de e n t r a d aRe = 0 . 0 2 ; Rr = 0 . 0 2 ; Loe = 0 . 1 ; Lor = 0 . 1 ; Lme = 2 . 0 ; Lmr = 2 . 0 ; Ler = 2 . 0 ; J =800; wb=377;Tm=0; t b =1/

wb ; t f =5 ;% V a r i a b l e para d e f i n i r l a s t e n s i o n e s de e n t r a d aVent =1;%c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s de l a s v a r i a b l e syo =[0 0 0 0 0 0 0 0 ] ;% D e f i n i c i o n de M a t r i c e sIdem = [ 1 , 0 , 0 ; 0 , 1 , 0 ; 0 , 0 , 1 ] ;Sim =[1 , −0 .5 , −0 .5 ; −0 .5 ,1 , −0 .5 ; −0 .5 , −0 .5 ,1 ] ;Cero = [ 0 , 0 , 0 ; 0 , 0 , 0 ; 0 , 0 , 0 ] ;Rt =[ Re*Idem , Cero ; Cero , Rr*Idem ] ;Lee=Loe*Idem+Lme*Sim ;L r r =Lor *Idem+Lmr*Sim ;Ta =0: t f / t b ; % Tiempo de i n t e g r a c i ó n% I n t e g r a c i o n de l a s v a r i a b l e s de e s t a d o por Runge−K u t t a con pasos v a r i a b l e s[ T , x ]= ode23 ( ’ i n d u c c i o n ’ , Ta , yo ) ;% C á l c u l o d e l par e l é c t r i c o como s a l i d am=max ( s i z e ( x ( : , 1 ) ) ) ;f o r k =1:m;

I t =[ x ( k , 3 ) ; x ( k , 4 ) ; x ( k , 5 ) ; x ( k , 6 ) ; x ( k , 7 ) ; x ( k , 8 ) ] ;t h e t a =x ( k , 1 ) ;

Seno =[ s i n ( t h e t a ) , s i n ( t h e t a +2* pi / 3 ) , s i n ( t h e t a +4* pi / 3 ) ; s i n ( t h e t a +4* pi / 3 ) , s i n ( t h e t a ) , s i n (t h e t a +2* pi / 3 ) ; s i n ( t h e t a +2* pi / 3 ) , s i n ( t h e t a +4* pi / 3 ) , s i n ( t h e t a ) ] ;

DLt =[ Cero ,−Ler * Seno ;−Ler *Seno ’ , Cero ] ;Te ( k ) =0 .5* I t ’* DLt* I t ;

end% G r á f i c o de l a s v a r i a b l e s de e s t a d of i g u r es u b p l o t ( 2 , 1 , 1 )p l o t ( T* tb , x ( : , 1 ) , ’ b ’ ) , x l a b e l ( ’ Tiempo ( s ) ’ , ’ Fontname ’ , ’ t i m e s ’ ) , y l a b e l ( ’ D e s p l a z a m i e n t o (

r a d ) ) ’ )gr ids u b p l o t ( 2 , 1 , 2 )p l o t ( T* tb , x ( : , 2 ) , ’ b ’ ) , x l a b e l ( ’ Tiempo ( s ) ’ , ’ Fontname ’ , ’ t i m e s ’ ) , y l a b e l ( ’ V e l o c i d a d

a n g u l a r ( p . u . ) ’ )gr idf i g u r es u b p l o t ( 2 , 1 , 1 )p l o t ( T* tb , x ( : , 3 ) , ’ b ’ ) , x l a b e l ( ’ Tiempo ( s ) ’ , ’ Fontname ’ , ’ t i m e s ’ ) , y l a b e l ( ’ C o r r i e n t e en e l

e s t a t o r −f a s e a ( p . u . ) ’ )gr ids u b p l o t ( 2 , 1 , 2 )p l o t ( T* tb , x ( : , 6 ) , ’ b ’ ) , x l a b e l ( ’ Tiempo ( s ) ’ , ’ Fontname ’ , ’ t i m e s ’ ) , y l a b e l ( ’ C o r r i e n t e en e l

r o t o r−f a s e a ( p . u . ) ’ )gr id% G r á f i c o s d e l par e l é c t r i c of i g u r es u b p l o t ( 2 , 1 , 1 )p l o t ( T* tb , Te , ’ b ’ ) , x l a b e l ( ’ Tiempo ( s ) ’ , ’ Fontname ’ , ’ t i m e s ’ ) , y l a b e l ( ’ Pa r e l é c t r i c o ( p . u . )

’ )gr ids u b p l o t ( 2 , 1 , 2 )p l o t ( x ( : , 2 ) , Te , ’ b ’ ) , x l a b e l ( ’ V e l o c i d a d a n g u l a r ( p . u ) ’ , ’ Fontname ’ , ’ t i m e s ’ ) , y l a b e l ( ’ Pa r

e l é c t r i c o ( p . u . ) ’ )gr id

5.2. MÁQUINA DE INDUCCIÓN - COORDENADAS VECTORIALES 71

Algoritmo 5.2 Modelo de la máquina de inducción en coordenadas primitivas - Cálculode derivadas (Matlab)

f u n c t i o n dx= i n d u c c i o n ( t , x )% Traspaso de v a r i a b l e s a l a f u n c i o n i n d u c c i o ng l o b a l Re Rr Loe Lor Lme Lmr Ler J t b wb Idem Sim Cero Lee L r r Cose Sen L e r tg l o b a l Rt Lt DerLt Ve Vae Vbe Vce Var Vbr Vcr Tm Te Vent% C o n v e r s i o n de l a s v a r i a b l e s de e s t a d o a d e f i n i c i o n e s n e m o t é c n i c a st h e t a =x ( 1 ) ; w=x ( 2 ) ; i a e =x ( 3 ) ; i b e =x ( 4 ) ; i c e =x ( 5 ) ; i a r =x ( 6 ) ; i b r =x ( 7 ) ; i c r =x ( 8 ) ;% T e n s i o n e s de e n t r a d ai f Vent ==0;

Vae =(2^ ( −0 .5 ) ) * s i n ( t ) ;Vbe =(2^ ( −0 .5 ) ) * s i n ( t−2* pi / 3 ) ;Vce =(2^ ( −0 .5 ) ) * s i n ( t−4* pi / 3 ) ;

endi f Vent ==1;

Vae =(2^ ( −0 .5 ) ) * s i n ( t ) ;Vbe =(2^ ( −0 .5 ) ) * s i n ( t−pi / 2 ) ;Vce =−(2^(−0.5) ) * ( s i n ( t ) + s i n ( t−pi / 2 ) ) ;Var =0; Vbr =0; Vcr =0;

endVt =[ Vae ; Vbe ; Vce ; 0 ; 0 ; 0 ] ;i t =[ i a e ; i b e ; i c e ; i a r ; i b r ; i c r ] ;% D e f i n i c i ó n de m a t r i c e sCose =[ cos ( t h e t a ) , cos ( t h e t a +2* pi / 3 ) , cos ( t h e t a +4* pi / 3 ) ; cos ( t h e t a +4* pi / 3 ) , cos ( t h e t a ) , cos (

t h e t a +2* pi / 3 ) ; cos ( t h e t a +2* pi / 3 ) , cos ( t h e t a +4* pi / 3 ) , cos ( t h e t a ) ] ;Sen =[ s i n ( t h e t a ) , s i n ( t h e t a +2* pi / 3 ) , s i n ( t h e t a +4* pi / 3 ) ; s i n ( t h e t a +4* pi / 3 ) , s i n ( t h e t a ) , s i n (

t h e t a +2* pi / 3 ) ; s i n ( t h e t a +2* pi / 3 ) , s i n ( t h e t a +4* pi / 3 ) , s i n ( t h e t a ) ] ;L e r t =Ler * Cose ;Lt =[ Lee , L e r t ; Le r t ’ , L r r ] ;DerLt =[ Cero ,−Ler *Sen;−Ler *Sen ’ , Cero ] ;% C á l c u l o de l a s d e r i v a d a s de l a s v a r i a b l e s de e s t a d od i t = inv ( Lt ) * ( Vt−Rt * i t −w* DerLt * i t ) ;dw = ( 0 . 5 * i t ’* DerLt * i t −Tm) / J ;d t h e t a =w;% A s i g n a c i ó n de l a s v a r i a b l e s de e s t a d o a l v e c t o r de s a l i d a de l a f u n c i ó ndx =[ d t h e t a ; dw ; d i t ] ;


(a) Velocidad y posición angular (b) Corrientes estatórica y rotórica

(c) Par eléctrico

Figura 5.1: Gráficos del modelo de la máquina de inducción en coordenadas primitivas -Sistema Equilibrado

5.2. MÁQUINA DE INDUCCIÓN - COORDENADAS VECTORIALES 73


(c) Par eléctrico

Figura 5.2: Gráficos del modelo de la máquina de inducción en coordenadas primitivas -Sistema Desequilibrado


utilizando el modelo 3.23 definido en el sistema de coordenadas de las corrientes del esta-tor. El código fuente 5.3 y 5.4 desarrolla el modelo numérico de la máquina de inducciónen este sistema de coordenadas.

5.3. Máquina Sincrónica - Coordenadas d-q

Los datos y parámetros de un motor síncrono que alimenta a una bomba son los siguientes:

VB SB IB f nB ZB

13,2kV 18MVA 0,439 1,54 1,4

ZBF ZB−BF VBF IBF TB

1,3864 1,3864 1,2464 1,3864 2,3151s

Re Ra R f Ld Lq Lad Laq

0,0211 0,01∼ 0,03 0,439 1,54 1,4 1,54 1,4

Ld f Ldad Lqaq Lad f H ωB

1,3864 1,3864 1,2464 1,3864 2,3151s 377rad

La característica par-velocidad de la bomba suministrada por el fabricante se puede ob-servar en la figura 5.4. El polinomio de sexto orden que reproduce el comportamiento deesta característica es el siguiente:

Tm = 6,01x10−12n6r −1,706x10−8n5

r +1,953x10−5n4r −1,147x10−2n3

r +3,808n2r −569,26x10−12nr +33758 [Nm]

En la figura 5.5 se muestra el modelo de la carga mecánica obtenido a partir de la digi-talización de los datos del fabricante, el par eléctrico y mecánico con respecto al tiempo,las corrientes en la armadura id e iq, las corrientes en los devanados amortiguadores, lavelocidad y posición angular y la corriente de rotor, utilizando el modelo desarrollado enlas ecuaciones 4.56 y 4.57. El código fuente 5.5, 5.6 y 5.7 desarrolla el modelo numéricode la máquina de inducción en este sistema de coordenadas.

5.3. MÁQUINA SINCRÓNICA - COORDENADAS D-Q 75


(c) Par eléctrico

Figura 5.3: Gráficos del modelo de la máquina de inducción en coordenadas primitivas -Sistema Equilibrado


Algoritmo 5.3 Modelo dinámico de la máquina de inducción en variables vectoriales -Programa Principal

% Modelo de l a Máquina de I n d u c c i ó n en coordenadas p r i m i t i v a s% Programa p r i n c i p a lg l o b a l R L G Linv Lerg l o b a l Tm t f k Vent J% Párametros y v a r i a b l e s de e n t r a d aRe = 0 . 0 2 ; Rr = 0 . 0 2 ; Loe = 0 . 1 ; Lor = 0 . 1 ; Lme = 2 . 0 ; Lmr = 2 . 0 ; Ler = 2 . 0 ;J =800; wb=377; Tm=0; t b =1/wb ; t f =5 ;% V a r i a b l e para d e f i n i r l a s t e n s i o n e s de e n t r a d aVent =0;% C o n d i c i o n e s i n i c i a l e s de l a s v a r i a b l e syo =[0 0 0 0 ] ;%D e f i n i c i o n de M a t r i c e sR=[Re , 0 ; 0 , Rr ] ; L=[ Loe +1 .5* Ler , 1 . 5 * Lme ; 1 . 5 * Ler , Lor +1 .5* Ler ] ;G= [ 0 , 0 ; 1 . 5 * Ler , Lor +1 .5* Ler ] ; Linv= inv ( L ) ;Ta =0: t f / t b ; % Tiempo de i n t e g r a c i ó n% I n t e g r a c i o n de l a s v a r i a b l e s de e s t a d o por Runge−K u t t a con pasos v a r i a b l e s[ T , x ]= ode23 ( ’ i n d u c c i o n 2 ’ , Ta , yo ) ;% C á l c u l o d e l par e l é c t r i c o como s a l i d am=max ( s i z e ( x ( : , 1 ) ) ) ;f o r k =1:m;

Te ( k ) =1 .5* Ler * imag ( x ( k , 3 ) * conj ( x ( k , 4 ) ) ) ;end% G r á f i c o de l a s v a r i a b l e s de e s t a d of i g u r e ( 1 )s u b p l o t ( 2 , 1 , 1 )p l o t ( T* tb , x ( : , 1 ) , ’ b ’ ) , x l a b e l ( ’ Tiempo ( s ) ’ , ’ Fontname ’ , ’ t i m e s ’ ) , y l a b e l ( ’ D e s p l a z a m i e n t o (

r a d ) ) ’ )gr ids u b p l o t ( 2 , 1 , 2 )p l o t ( T* tb , x ( : , 2 ) , ’ b ’ ) , x l a b e l ( ’ Tiempo ( s ) ’ , ’ Fontname ’ , ’ t i m e s ’ ) , y l a b e l ( ’ V e l o c i d a d

a n g u l a r ( p . u . ) ’ )gr idf i g u r e ( 2 )s u b p l o t ( 2 , 1 , 1 )p l o t ( T* tb , s q r t ( 2 / 3 ) * r e a l ( x ( : , 3 ) ) , ’ b ’ ) , x l a b e l ( ’ Tiempo ( s ) ’ , ’ Fontname ’ , ’ t i m e s ’ ) , y l a b e l ( ’

C o r r i e n t e en e l e s t a t o r −f a s e a ( p . u . ) ’ )gr ids u b p l o t ( 2 , 1 , 2 )p l o t ( T* tb , s q r t ( 2 / 3 ) * r e a l ( x ( : , 4 ) ) , ’ b ’ ) , x l a b e l ( ’ Tiempo ( s ) ’ , ’ Fontname ’ , ’ t i m e s ’ ) , y l a b e l ( ’

C o r r i e n t e en e l r o t o r−f a s e a ( p . u . ) ’ )gr id% G r á f i c o s d e l par e l é c t r i c of i g u r e ( 3 )s u b p l o t ( 2 , 1 , 1 )p l o t ( T* tb , Te , ’ b ’ ) , x l a b e l ( ’ Tiempo ( s ) ’ , ’ Fontname ’ , ’ t i m e s ’ ) , y l a b e l ( ’ Pa r e l é c t r i c o ( p . u . )

’ )gr ids u b p l o t ( 2 , 1 , 2 )p l o t ( x ( : , 2 ) , Te , ’ b ’ ) , x l a b e l ( ’ V e l o c i d a d a n g u l a r ( p . u ) ’ , ’ Fontname ’ , ’ t i m e s ’ ) , y l a b e l ( ’ Pa r

e l é c t r i c o ( p . u . ) ’ )gr id


Algoritmo 5.4 Cálculo de las derivadas de las variables de estado de la máquina de in-ducción en variables vectoriales

1 f u n c t i o n dx= i n d u c c i o n 2 ( t , x )2 % T r a s p a s o de v a r i a b l e s a l a f u n c i o n i n d u c c i o n3 g l o b a l R L G Linv Ler4 g l o b a l Tm t f k Vent J5 % C o n v e r s i o n de l a s v a r i a b l e s de e s t a d o a d e f i n i c i o n e s n e m o t é c n i c a s6 t h e t a =x ( 1 ) ; w=x ( 2 ) ; i e =x ( 3 ) ; i r =x ( 4 ) ;7 % T e n s i o n e s de e n t r a d a8 i f Vent ==0;9 vae = ( 2 ^ ( −0 . 5 ) ) * s i n ( t ) ;

10 vbe = ( 2 ^ ( −0 . 5 ) ) * s i n ( t−2* p i / 3 ) ;11 vce = ( 2 ^ ( −0 . 5 ) ) * s i n ( t−4* p i / 3 ) ;12 end13 i f Vent ==1;14 vae = ( 2 ^ ( −0 . 5 ) ) * s i n ( t ) ;15 vbe = ( 2 ^ ( −0 . 5 ) ) * s i n ( t−p i / 2 ) ;16 vce =− (2^(−0.5) )*( s i n ( t )+ s i n ( t−p i / 2 ) ) ;17 end18 ve= s q r t ( 2 / 3 ) * ( vae+vbe *exp ( j *2* p i / 3 ) + vce *exp ( j *4* p i / 3 ) ) ;19 vvec =[ ve ;0+ j * 0 ] ;20 i v e c =[ i e ; i r ] ;21 % D e f i n i c i ó n de m a t r i c e s22 % C á l c u l o de l a s d e r i v a d a s de l a s v a r i a b l e s de e s t a d o23 d i v e c =Linv *( vvec−(R−j *w*G)* i v e c ) ;24 dw = ( 1 . 5 * Ler * imag ( i e * i r ’)−Tm ) / J ;25 d t h e t a =w;26 % A s i g n a c i ó n de l a s v a r i a b l e s de e s t a d o a l v e c t o r de s a l i d a de l a f u n c i ó n27 dx =[ d t h e t a ; dw ; d i v e c ] ;

Figura 5.4: Característica par mecánico velocidad suministrada por el fabricante de labomba


(a) Par mecánico y modelo polinómico (b) Par mecánico y modelo polinómico

(c) Corrientes id e iq (d) Corrientes amortiguadoras iad e iaq

(e) Velocidad y posición angular (f) Corriente de campo

Figura 5.5: Gráficos del modelo de la máquina sincrónica en variables d-q


Algoritmo 5.5 Modelo dinámico de la máquina sincrónica - Programa Principal

g l o b a l Lsd Lsf Lsad Lsq Lsaq Lmd Ldf Ldad Lfad Lmq Lqaq Re Rad Raq Rf1 Ld Lq Lf LadLaq H R L L_1 G p

t = [ 0 : . 1 : 3 5 * 3 7 7 ] ; % Tiempo de s i m u l a c i ó n% Datos

Sn =18.5 e6 / 0 . 9 8 ; Vn=13 .2 e3 ; In =919; I f n = 1 9 9 . 6 ; J =6150;% Parametros

x d l = 1 . 5 4 ; xq = 1 . 4 ; xd2p = . 2 4 5 ; xq2p = 0 . 2 6 5 ;% Bases

wn=720*2* pi / 6 0 ; Zbase=Vn ^ 2 / Sn ; pp =3 60 0 /7 20 ; I b a s e =Sn / ( s q r t ( 3 ) *Vn ) ; Lbase=Zbase / ( pp*wn ) ; Tm_base=Sn / wn ;

% C a l c u l o Xoxo = . 1 1 1 / . 1 7 7 * xd2p % Valor t i p i c oH= 2 . 5 * 0 . 5 * J *wn ^ 2 / Sn ; % C á l c u l o d e l H en segundosLmf=xdl−xo ; Lf=Lmf + . 2 ; % Bases C o h e r e n t e s x un idadRa = 0 . 0 2 1 1 ; Rf =0.439 % R e s i s t e n c i a s En u n i d a d e s F i s i c a s O h n a 20 ºLd= x d l * Lbase ; Lmd=( xdl−xo ) * Lbase ; Ldf= s q r t ( 1 ) *Vn / ( wn*pp ) ; Lmf=Ldf ^ 2 /Lmd ; %

I n d u c t a n c i a sI f b = I b a s e * s q r t (Lmd / Lmf ) ; Vfb=Sn / ( 3 * I f b ) ; % BasesZ ba se f =Vfb / I f b ; Zbased f =Vn / ( s q r t ( 3 ) * I f b ) ; Zbase fd =Vfb / I b a s e ; Lbase fd = Zbase fd / 3 7 7 ; %

Parámetros en por un idadLsd=xo ; Lsf =Lf−Lmf ; Lsad=Lsd ; Lsq=Lsd ; Lsaq=Lsd ; Lmd=Lmd / Lbase ;Ldf=Ldf / Lbase fd ; Ldad=Lmd ; Lfad=Lmd ; Lmq=xq−xo ; Lqaq=Lmq ;Re=Ra / Zbase ; Rad = 0 . 0 1 ; Raq=Rad ; Rf1=Rf / Z ba s e f ;

% Curva de Par Mecánicoa= load ( ’ par_bomba . t x t ’ ) ;x=a ( 1 : 2 7 9 0 , 1 ) / 7 2 0 ; y=a ( 1 : 2 7 9 0 , 2 ) / Tm_base ; n =6; % i n p u t ( ’ orden d e l p o l i n o m i o ’ ) ;p= p o l y f i t ( x , y , n ) ; % A j u s t e d e l p o l i n o m i o de l a carga mecánicaf i g u r e ( 1 0 )y1= p o l y v a l ( p , x ) ;p l o t ( x , y , x , y1 , ’ r ’ ) ; gr idx l a b e l ( ’ v e l o c i d a d ( r a d / s ) ’ ) ; y l a b e l ( ’ Pa r mecánico ( r a d / s ) ’ ) ;Ld=Lsd+Lmd ; Lq=Lsq+Lmq ; Lf= Lsf +Ldf ; Lad=Lsad+Ldad ; Laq=Lsaq+Lqaq ;R= diag ( [ Re , Re , Rf1 , Rad , Raq ] ) ;L = ( [ Ld , 0 , Ldf , Ldad , 0 ; 0 , Lq , 0 , 0 , Lqaq ; Ldf , 0 , Lf , Lfad , 0 ; Ldad , 0 , Lfad , Lad , 0 ; 0 , Lqaq , 0 , 0 , Laq ] )

;L_1= inv ( L ) ; G=[0 ,−Lq ,0 ,0 ,−Lqaq ; Ld , 0 , Ldf , Ldad , 0 ; 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ; 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ; 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ] ;

% C o n d i c i o n e s I n i c i a l e syo = [ 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ] ;[ Ti ,X]= ode45 ( ’ s i n c r o ’ , t , yo ) ; % I n t e g r a c i ó n de l a s v a r i a b l e s de e s t a d o

% Punto de Operac ióni d =X ( : , 1 ) ; i q =X ( : , 2 ) ; i f 1 =X( : , 3 ) ; i a d =X( : , 4 ) ; i a q =X( : , 5 ) ; w=X( : , 6 ) ; Te tha =X( : , 7 ) ; t =

Ti ;a=exp ( j *2* pi / 3 ) ; Ve= s q r t ( 2 / 3 ) * s q r t ( 2 ) * ( s i n ( t ) +a * s i n ( t−2* pi / 3 ) +a ^2* s i n ( t−4* pi / 3 ) ) ;i d q = i d + j * i q ; i e = i d q . * exp ( j * ( Te tha ) ) ;Tm= p o l y v a l ( p ,w) ; % Par mecánico

% C á l c u l o d e l par e l é c t r i c of o r k =1: l e n g t h ( i d )

Te ( k ) =(Ld−Lq ) * i d ( k ) * i q ( k ) +Ldf * i q ( k ) * i f 1 ( k ) +( Ldad* i a d ( k ) * i q ( k )−Lqaq* i a q ( k ) * i d ( k ) );

end


Algoritmo 5.6 Salida gráfica de las variables de la máquina sincrónica

Ti=Ti / 3 7 7 ; % Tiempo en segundosf i g u r e ( 1 )

s u b p l o t ( 2 , 1 , 1 )p l o t ( Ti , Te )gr idt i t l e ( ’ Pa r e l é c t r i c o ’ )x l a b e l ( ’ Tiempo ’ )s u b p l o t ( 2 , 1 , 2 )p l o t ( Ti ,Tm)t i t l e ( ’ Pa r mecánico ’ )x l a b e l ( ’ Tiempo ’ )gr id

f i g u r e ( 2 )s u b p l o t ( 2 , 1 , 1 )p l o t ( Ti ,X ( : , 6 ) )t i t l e ( ’ V e l o c i d a d a n g u l a r ( en pu ) ’ )x l a b e l ( ’ Tiempo ’ )gr ids u b p l o t ( 2 , 1 , 2 )p l o t ( Ti ,X ( : , 7 ) )t i t l e ( ’ p o s i c i ó n ’ )x l a b e l ( ’ Tiempo ’ )gr id

f i g u r e ( 3 )p l o t ( Ti ,X ( : , 1 ) , Ti ,X( : , 2 ) , ’ r ’ )t i t l e ( ’ C o r r i e n t e s de e j e s d y q ’ )x l a b e l ( ’ Tiempo ’ )gr id

f i g u r e ( 4 )p l o t ( Ti ,X ( : , 4 ) , Ti ,X( : , 5 ) , ’ r ’ )t i t l e ( ’ C o r r i e n t e s de a m o r t i g u a d o r e s ’ )x l a b e l ( ’ Tiempo ’ )gr id

f i g u r e ( 5 )p l o t ( Ti ,X ( : , 3 ) * I f b )t i t l e ( ’ C o r r i e n t e de campo ’ )x l a b e l ( ’ Tiempo ’ )gr id

Algoritmo 5.7 Cálculo de las derivadas de las variables de estado de la máquina sincró-nica

f u n c t i o n dX= s i n c r o ( t , yo )g l o b a l Lsd Lsf Lsad Lsq Lsaq Lmd Ldf Ldad Lfad Lmq Lqaq Re Rad Raq Rf1 Ld Lq Lf

Lad Laq H R L L_1 G pi d =yo ( 1 ) ; i q =yo ( 2 ) ; i f 1 =yo ( 3 ) ; i a d =yo ( 4 ) ; i a q =yo ( 5 ) ; % C o r r i e n t e sw=yo ( 6 ) ; Te tha =yo ( 7 ) ; %v e l o c i d a d y p o s i c i ó ni o p =[ i d i q i f 1 i a d i a q ] ’ ; % V e c t o r de C o r r i e n t e sVa=[ s q r t ( 2 ) * s i n ( t ) ; s q r t ( 2 ) * s i n ( t−2* pi / 3 ) ; s q r t ( 2 ) * ( s i n ( t−4* pi / 3 ) ) ] ; %T e n s i ó n r e a la=exp ( j *2* pi / 3 ) ; Ve= s q r t ( 2 / 3 ) * [1 a a ^2]* Va ; %T e n s i ó n en v e c t o r e s e s p a c i a l e sVdq=Ve*exp(− j * Te tha ) ; Vd= r e a l ( Vdq ) ; Vq=imag ( Vdq ) ; %T e n s i ó n en coordenadas

r o t ó r i c a sVf= 0 . 0 1 * (w> = 0 . 9 ) ; Vf =0; % T e n s i ó n en e l CampoV=[Vd Vq Vf 0 0 ] ’ ; % T e n s i o n e sTe =(Ld−Lq ) * i d * i q +Ldf * i q * i f 1 +( Ldad* i a d * iq−Lqaq* i a q * i d ) ; %C á l c u l o d e l par

e l é c t r i c o% Modelo de l a máquina en coordenadas dqf−ad−aq

L = ( [ Ld , 0 , Ldf , Ldf , 0 ; 0 , Lq , 0 , 0 , Lqaq ; Ldf , 0 , Lf , Ldf , 0 ; Ldf , 0 , Ldf , Lad , 0 ; 0 , Lqaq , 0 , 0 , Laq ] );

L_1= inv ( L ) ; G=[0 ,−Lq ,0 ,0 ,−Lqaq ; Ld , 0 , Ldf , Ldf , 0 ; 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ; 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ; 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ] ;Tm= p o l y v a l ( p ,w) ;

% E c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e sdw = 1 / (H*377) * ( Te−Tm) ; d i = L^−1 * (V−(R+w*G) * i o p ) ; dTe tha = w;dX=[ d i ; dw ; dTe tha ] ;

Índice alfabético

ángulo de carga, 66, 67

Adams, 46armadura, 42autovalores, 26autovectores, 26

balance del par, 47bobinas reales, 45

campo, 42campo elíptico, 45coeficiente de fricción, 47coenergía en el campo, 12componentes simétricas, 26conservativo, 5convención generador, 63convención motor, 62convertidores magnetohidrodinámicos, 16coordenadas primitivas, 46corriente alterna, 42corriente continua, 16corriente de magnetización modificada, 33

deslizamiento, 38, 40diagrama fasorial, 61

eje 0, 54eje d, 54eje f, 54eje q, 54ejes, 3ejes eléctricos, 3ejes mecánicos, 3

escobillas, 57Euler, 46

flujos de dispersión, 56función de estado, 5

identidad, 29inductancia del rotor, 48interacción, 58

máquina eléctrica, 3máquina generalizada, 57máquinas homopolares, 16matriz cíclica, 29matriz de inductancias, 47matriz de par, 47matriz hermitiana, 54matriz simétrica, 29momento de inercia, 47

neutro, 56

par, 3par acelerante, 47par resistente, 47parámetros, 24permeanza, 59potencia reactiva, 66principio de conservación de la energía, 4principio de los trabajos virtuales, 8, 10puertos, 3

régimen continuo, 15régimen permanente, 60

81

82 ÍNDICE ALFABÉTICO

reluctancia, 5, 58rendimientos, 65rotor cilíndrico, 58Runge-Kutta, 46

secuencia cero, 27, 56secuencia negativa, 27secuencia positiva, 27segunda ley de Newton, 12sistema de coordenadas dq0-f, 54sistema equilibrado, 60

término de generación, 13término de transformación, 13transformación de Clark, 55transformación de Park, 54

variables dq0, 54variables primitivas, 54vectores espaciales, 27, 50

yugo, 5

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