Introduccion al Tema 4halweb.uc3m.es/.../personas/amalonso/esp/ietema4.pdf2 Tema 4. Series...

1

Introduccion al Tema 4

Introducción.Tema 1. Análisis de datos univariantes.Tema 2. Análisis de datos bivariantes.Tema 3. Correlación y regresión.Tema 4. Series temporales y números índice.

Descripción de variables y datos socioeconómicos

Tema 1

Tema 2

Tema 3

W Analisis descriptivo de una o mas variablestomadas en un instante del tiempo.

Tema 4W Analisis descriptivo de una variable

medida en varios instantes de tiempo.

⇑Estudiar la evolucion temporal de la variable

Introduccion a la Estadıstica Andres M. Alonso

2

Tema 4. Series temporales y numeros ındice

Los contenidos a desarrollar en este tema son los siguientes:

Graficos temporales.

Series estacionarias y no estacionarias.

Descomposicion de una serie: tendencia, estacionalidad y componenteirregular.

Numeros ındice para un producto.

Indices agregados.

Indices de Laspeyres y Paasche.

El ındice de precios al consumo.

Lecturas recomendadas: Capıtulos 11 y 12 del libro de Pena y Romo (1997) ylas secciones 17.1 a 17.6 de Newbold (2001).


3

Introduccion

Definicion 1. Una serie temporal es una sucesion de observaciones de unavariable tomadas en varios instantes de tiempo.

Nos interesa estudiar los cambios en esa variable con respeto al tiempo.

Predecir sus valores futuros.

I Ejemplos de series temporales podemos encontrarlos en muchos campos deconocimiento:

Economıa: producto interior bruto anual, tasa de inflacion, tasa de desem-pleo, etc.Finanzas:precios diarios de acciones, ganancias mensuales de una empresa,etc.Sociologıa: niveles de desempleo, numero de crımenes, etc.Demografıa: nacimientos anuales, tasa de dependencia, etc.


4

Representacion grafica de una serie temporal

A menudo, se representa la serie en un grafico temporal, con el valor de laserie en el eje de ordenadas y los tiempos en el eje de abscisas.

Ejemplo 1. El siguiente grafico temporal muestra el ındice de produccionindustrial (trimestral) del sector de la construccion en Espana.

Spain, Production Indices in Construction

Source: Reuters EcoWin

88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05

2000=1

00

60

70

80

90

100

110

120

130

140


5

Ejemplos de grafico temporal

Spain, Gross total fixed capital formation, volume


70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04

EUR 2

000 (

billio

ns)

50

75

100

125

150

175

200

225

Spain, Unemployment


74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04

PERS

ONS (

millio

ns)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Spain, General government gross financial liabilities, % of GDP


90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05

PERC

ENT

45

50

55

60

65

70

75

80

Spain, Direct taxes on business, value


70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04

EUR (

billio

ns)

0

5

10

15

20

25

30

35


6

Clasificacion de series temporales

I Una serie es estacionaria si la media y la variabilidad se mantienenconstantes a lo largo del tiempo.

I Una serie es no estacionaria si la media y/o la variabilidad cambian a lolargo del tiempo.

I Series no estacionarias pueden mostrar cambios de varian-za (que pueden corresponder a momentos de mayor o menorincertidumbre de los mercados o la economıa).

I Series no estacionarias pueden mostrar una tendencia, es decirque la media crece o baja a lo largo del tiempo.

I Ademas, pueden presentar efectos estacionales, es decir queel comportamiento de la serie es parecido en ciertos tiemposperiodicos en el tiempo. Por ejemplo, el numero de pasajeros enlıneas aereas suben todos los anos en los meses de julio y agosto.


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Clasificacion de series temporales - Ejemplos

Serie estacionaria: Variaciones anuales del salario medio por empleado enAlemania, 1995 – 2006.

Germany, Wages and Salaries, Per employee

Wages and Salaries per employee [ar 4 quarters]Source: Reuters EcoWin

95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06

Perce

nt

-1

0

1

2

3

4

5


8


Serie no estacionaria: Variaciones diarias de precio al cierre de MAPFRE.


90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06

-0.25

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

Heteroscedasticidad


9


Serie no estacionaria: Indice mensual de precios al consumo, Espana,Enero:2002 a Enero:2007.

Spain, Consumer Prices, By Commodity, All Items, Total, Index


ene may sep ene may sep ene may sep ene may sep ene may sep02 03 04 05 06 07

2006

=100

85.0

87.5

90.0

92.5

95.0

97.5

100.0

102.5

Tendencia


10


Serie no estacionaria: Casos mensuales por varicela en Espana.

Time Series Plot for Casos de varicela

Casos

de va

ricela

1/90 1/92 1/94 1/96 1/98 1/00 1/02 1/04 1/06 1/08

0

2

4

6

8

10

12(X 10000)

Estacionalidad


11


Serie no estacionaria: Indice mensual de precios al consumo, Espana,Enero:2002 a Enero:2007.




2006

=100

85.0

87.5

90.0

92.5

95.0

97.5

100.0

102.5

Tendencia y Estacionalidad


12


Serie no estacionaria: Serie diaria de precios al cierre de MAPFRE.

Spain, MAPFRE ORD, Close, EUR


90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06

EUR

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

Tendencia y Heteroscedasticidad


13


Serie no estacionaria: Numero mensual de pasajeros de avion, USA,Enero:1949 a Diciembre:1960

Time Series Plot for No. de pasajeros

No. de

pasaj

eros

1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/610

150

300

450

600

750

Tendencia, Heteroscedasticidad y Estacionalidad

Fuente de datos: Box, G. & Jenkins, G. (1976) Time Series Analysis: Forecasting and Control.


14

Componentes de una serie temporal

En muchos casos, se supone que la serie temporal es la suma de variascomponentes:

Xt = Tt + St + It

Valor observado = Tendencia + Estacionalidad + Irregular

Tendencia: comportamiento o movimiento suave de la serie a largo plazo.

Estacionalidad: movimientos de oscilacion dentro del ano.

Irregular: variaciones aleatorias alrededor de los componentes anteriores.

I En esos casos, es interesante obtener o “aislar” los distintos componentes.


15

Analisis de la tendencia

En algunos casos, se puede suponer una relacion determinista entre Tt y t, porejemplo una tendencia lineal

Tt = a + bt

que se estima mediante el metodo de mınimos cuadrados.

Ejemplo 2.

Linear trend = 87.6528 + 2.65718 t

No.

de

pasa

jero

s

1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/610

200

400

600

800Residual Plot for No. de pasajeros

Res

idua

l

1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61-100

-50

0

50

100

150

200


16

Analisis de la tendencia - Ejemplo 2

Ejemplo 2. En primer lugar, eliminamos la heteroscedasticidad mediante unatransformacion logarıtmica.

Log(

No. d

e pas

ajero

s)

1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/614.6

5

5.4

5.8

6.2

6.6


17


Ejemplo 2. Sobre la serie transformada estimamos una tendencia lineal.

Linear trend = 4.81367 + 0.0100484 t

log(N

o. de

pasaj

eros) actual

forecast

95.0% limits

1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/614.6

5

5.4

5.8

6.2

6.6

I Se observa una clara tendencia creciente lineal, ademas de efectos esta-cionales.


18


Ejemplo 2. Obtenemos la serie de residuos, Xt − Tt:

Resid

ual

1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61-0.31

-0.11

0.09

0.29

0.49

I Se mantienen los efectos estacionales.


19


Ejemplo 3. Serie del volumen de formacion de capital en Espana.

Linear trend = -3.42167E10 + 9.1902E8 t

actual

forecast

95.0% limits

Q2/70 Q2/76 Q2/82 Q2/88 Q2/94 Q2/00 Q2/06

0

4

8

12

16

20

24(X 1.E10) Residual Plot for Volumen neto de capital

Q2/70 Q2/76 Q2/82 Q2/88 Q2/94 Q2/00 Q2/06

-29

-9

11

31

51(X 1.E9)

I Una tendencia determinista (lineal) no parece adecuada.


20

Tendencia evolutiva

I A menudo, la tendencia de la serie no sigue una recta y evoluciona a lo largodel tiempo.

I En ese caso, un metodo general de estimar Tt es suponer que evolucionalentamente en el tiempo, y que se puede aproximar con una funcion sencillapara intervalos cortos del tiempo.

Ejemplo 4. Si una recta es una representacion valida para tres periodos

consecutivos:

Tt−1 = Tt − ∆T

Tt = Tt

Tt+1 = Tt + ∆T

Si hacemos la media de las tres observaciones consecutivas, mt = xt−1+xt+xt+13 ,

tendrıamos que:

mt = Tt +It−1 + It + It+1

3es decir “descubrirıamos” la tendencia subyacente.


21

Tendencia evolutiva

Definicion 2. Para instante t, se define la media movil de orden 3 de laserie como

mt =xt−1 + xt + xt+1

3.

Suponemos que la tendencia Tt satisface

Tt = mt −It−1 + It + It+1

3.

I Como la media del componente irregular es cero, podemos suponer que lamedia de los tres valores (It−1, It, It+1) es pequena, de esta manera mt recogefundamentalmente la tendencia de la serie en el instante t.

I Es posible calcular medias moviles de ordenes mas altos. Cuando crece elorden, el valor de mt cambia mas suavemente.


22


Ejemplo 5.

Simple moving average of 3 terms

actual

forecast

95.0% limits

Q2/70 Q2/78 Q2/86 Q2/94 Q2/02 Q2/10

0

4

8

12

16

20

24(X 1.E10) Residual Plot for Volumen neto de capital

Q2/70 Q2/78 Q2/86 Q2/94 Q2/02 Q2/10

-11

-7

-3

1

5

9(X 1.E9)

I En los residuos no se observa una tendencia clara.


23


Ejemplo 6. Tendencia evolutiva en el numero de pasajeros.


log

(No

. d

e p

asaj

ero

s)

actual

forecast

95.0% limits

1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/614.6

5

5.4

5.8

6.2

6.6Simple moving average of 12 terms

log

(No

. d

e p

asaj

ero

s)

actual

forecast

95.0% limits

1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/614.6

5

5.4

5.8

6.2

6.6

I Con medias moviles de ordenes altos, suavizamos los efectos estacionales.


24

Diferenciacion de la serie

I Es un metodo mas general que consiste en no hacer ninguna hipotesis sobrela forma de la tendencia a corto plazo y suponer simplemente que evolucionalentamente en el tiempo.

Asumimos que la tendencia en el instante t es muy proxima a la tendencia enel instante t − 1, y construimos una nueva serie:

yt = xt − xt−1

que denominamos serie diferenciada.

I Diferenciar la serie equivale a suponer que la tendencia en t es el valor deserie en t− 1:

Tt = xt−1.


25

Diferenciacion de la serie - Ejemplo 2

Ejemplo 7. Obtener la serie diferenciada para los datos del Ejemplo 2.

1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61-0.23

-0.13

-0.03

0.07

0.17

0.27

I La serie diferenciada no muestra una tendencia clara y mantiene los efectosestacionales.


26

Diferenciacion de la serie - Ejemplo 3

Ejemplo 8. Obtener la serie diferenciada para los datos del Ejemplo 3.

Q1/70 Q1/80 Q1/90 Q1/00

-7

-4

-1

2

5

8(X 1.E9)

I La serie diferenciada no muestra una tendencia clara.


27

Analisis de la estacionalidad

I Un metodo de estimar el efecto estacional (v.g., de cada mes) es considerarcomo varıa la media del perıodo (mes) respecto de la media global.

Anos

1 2 · · · n Medias S

enero x11 x12 · · · x1n x1• S1

febrero x21 x22 · · · x2n x2• S2

Meses ... ... ... · · · ... ... ...

noviembre x11 1 x11 2 · · · x11 n x11• S11

diciembre x12 1 x12 2 · · · x12 n x12• S12

Medias x•1 x•2 · · · x•n x••

I Los coeficientes estacionales son:

Si = xi• −M para i = 1, . . . , 12.

I Suponemos que el efecto estacional St satisface:

St = St+12 = St+24 = . . .


28

Ejemplo 9. Volvemos al Ejemplo 2. El grafico muestra los coeficientes esta-cionales.

Seasonal Index Plot for log(No. de pasajeros)

season

seas

onal

index

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-0.22

-0.12

-0.02

0.08

0.18

0.28


29

Ejemplo 9. Obtenemos la serie desestacionalizada, Xt − St:Seasonally Adjusted Data Plot for log(No. de pasajeros)

1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/614.7

5.1

5.5

5.9

6.3

6.7

I No muestra efectos estacionales.


30

Ejemplo 10. Obtener los coeficientes estacionales de la serie trimestral delındice de produccion industrial del sector de la construccion (Ejemplo 1).

Seasonal Indices for Indice de produccion SC

Seasonal decomposition method: Additive

Season Index------------------------1 -8.41092 2 -0.28989 3 0.326287 4 8.37452

Seasonal Index Plot for Indice de produccion SC

season

0 1 2 3 4 5

-9

-6

-3

0

3

6

9


31

Ejemplo 10. Obtenemos la serie desestacionalizada, Xt − St:

Seasonally Adjusted Data Plot for Indice de produccion SC

Q1/88 Q1/90 Q1/92 Q1/94 Q1/96 Q1/98 Q1/00 Q1/02 Q1/04 Q1/06

68

78

88

98

108

118

128

I No muestra efectos estacionales.


32

Diferenciacion estacional de la serie

I Es un metodo mas general que consiste en no hacer ninguna hipotesis sobrela forma general de la estacionalidad a corto plazo y suponer simplemente queevoluciona lentamente en el tiempo.

Construimos una nueva serie:

yt = xt − xt−s

que denominamos serie diferenciada estacionalmente.

I Diferenciar estacionalmente la serie equivale a suponer que la estacionalidaden t es el valor de serie en t− s:

St = xt−s.


33

Diferenciacion estacional de la serie - Ejemplos

Ejemplo 11. Obtener la serie desestacionalizada mediante diferenciacionestacional para las series de los datos 1 y 2.

Time Series Plot for SDIFF(Indice de produccion SC, 4)

Q1/88 Q1/90 Q1/92 Q1/94 Q1/96 Q1/98 Q1/00 Q1/02 Q1/04 Q1/06

-15

-10

-5

0

5

10

15

Time Series Plot for SDIFF(log(No. de pasajeros),12)

1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61-0.26

-0.16

-0.06

0.04

0.14

0.24

0.34

0.44

I En ambas no se observan efectos estacionales.


34

Descomposicion de la serie en componentes

Ejemplo 12. Con los datos del Ejemplo 2, obtenemos los siguientes graficos:Time Series Plot for log(No. de pasajeros)

1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/614.6

5

5.4

5.8

6.2

6.6

Time Series Plot for TREND

1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/614.6

5

5.4

5.8

6.2

6.6

Time Series Plot for INDICES

1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61-0.22

-0.12

-0.02

0.08

0.18

0.28

Time Series Plot for IRREGULAR

1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61-0.12

-0.08

-0.04

0

0.04

0.08

0.12

I La componente irregular parece aproximadamente estacionaria y sin patrones de tendencia

o estacionalidad.


35

Descomposicion de la serie en componentes

Ejemplo 13. Con los datos del Ejemplo 1, obtenemos los siguientes graficos:Time Series Plot for Indice de produccion SC

Q1/88 Q1/90 Q1/92 Q1/94 Q1/96 Q1/98 Q1/00 Q1/02 Q1/04 Q1/06

60

80

100

120

140

Time Series Plot for TREND

Q1/88 Q1/90 Q1/92 Q1/94 Q1/96 Q1/98 Q1/00 Q1/02 Q1/04 Q1/06

60

80

100

120

140

Time Series Plot for INDICES

Q1/88 Q1/90 Q1/92 Q1/94 Q1/96 Q1/98 Q1/00 Q1/02 Q1/04 Q1/06

-9

-6

-3

0

3

6

9

Time Series Plot for IRREGULAR

Q1/88 Q1/90 Q1/92 Q1/94 Q1/96 Q1/98 Q1/00 Q1/02 Q1/04 Q1/06

-4

-2

0

2

4

6

8

I La componente irregular parece aproximadamente estacionaria y sin patrones de tendencia

o estacionalidad.


36

Prediccion de una serie temporal

I Una vez que hemos obtenido la descomposicion de la serie temporal:

Xt = Tt + St + It

I Podemos obtener predicciones de los valores futuros mediante los valorespara t + 1, t + 2, . . . , t + h de las componentes Tt y St.

Ejemplo 14. Si Tt = a + bt y St se obtuvo mediante ındices estacionalestrimestrales, i.e., tenemos S1, S2, S2, y S4, entonces:

Tt+1 = a + bt y St+1 =

S1 si t + 1 = Q1S2 si t + 1 = Q2S3 si t + 1 = Q3S4 si t + 1 = Q4

.

Las predicciones para t + 2, t + 3, . . . , t + h se obtienen de manera analoga.


37

Prediccion de una serie temporal - Ejemplos

Ejemplo 15. Con los datos del Ejemplo 1 obtenga las predicciones para elano 2006 con los siguientes procedimientos:

Tendencia lineal, Tt = −45,05 + 0,72t, y los ındices estacionales obtenidosen el Ejemplo 10.

XQ1:2006 = T73 + Q1, XQ2:2006 = T74 + Q2,

XQ3:2006 = T75 + Q3, XQ4:2006 = T76 + Q4.

Medias moviles de orden 3, mt = Xt−3+Xt−2+Xt−13 , e ındices estacionales.

XQ1:2006 = m73 + Q1, XQ2:2006 = m74 + Q2,

XQ3:2006 = m75 + Q3, XQ4:2006 = m76 + Q4.


38


Time Sequence Plot for Indice de produccion SC

Linear trend = -45.0488 + 0.723568 t

actual

forecast

95.0% limits

Q1/88 Q1/93 Q1/98 Q1/03 Q1/08

57

77

97

117

137

157



actual

forecast

95.0% limits

Q1/88 Q1/93 Q1/98 Q1/03 Q1/08

60

80

100

120

140

160


39


Ejemplo 16. Con los datos del Ejemplo 1 obtenga las predicciones para elano 2006 con los siguientes procedimientos:

Diferencia regular y los ındices estacionales obtenidos en el Ejemplo 10.

XQ1:2006 = X72 + Q1, XQ2:2006 = X73 + Q2,

XQ3:2006 = X74 + Q3, XQ4:2006 = X75 + Q4.

Diferencia regular y diferencia estacional.

Xt = Xt−1 + Xt−4 −Xt−5.


40



Random walk

actual

forecast

95.0% limits

Q1/88 Q1/93 Q1/98 Q1/03 Q1/08

60

80

100

120

140

160


ARIMA(0,1,0)x(0,1,0)4

actual

forecast

95.0% limits

Q1/88 Q1/93 Q1/98 Q1/03 Q1/08

60

80

100

120

140


41


Q1:2006 111.92 109.343 114.569 112.395 112.86Q2:2006 126.33 118.188 122.69 120.516 120.75Q3:2006 128.88 119.527 123.306 121.132 118.94Q4:2006 136.63 128.299 131.354 129.18 124.94

Q1:2006 2.577 2.649 0.475 0.94Q2:2006 8.142 3.64 5.814 5.58Q3:2006 9.353 5.574 7.748 9.94Q4:2006 8.331 5.276 7.45 11.69Media 7.10075 4.28475 5.37175 7.0375

Observado Predicciones

Errores absolutos de predicción

I En la asignatura Econometrıa II estudiareis procedimientos para mejorarestos pronosticos.

I Asignaturas optativas Macroeconometrıa y Tecnicas de prediccion.


42

Ejemplo 17. Examen de septiembre 2005

Los datos que se presentan a continuacion, referentes a estudios universitarios,se han obtenido de las bases de datos del Instituto de Estadıstica de laComunidad de Madrid:

Matriculados 203980 193728 195605 193594 190679 179383 177858 177317

Graduados 26436 24622 27086 26362 37562 36183 34815 −Curso 94/95 95/96 96/97 97/98 98/99 99/00 00/01 01/02

a) Realizar un grafico temporal de los datos.

b) Los datos de matriculados muestran un decrecimiento segun el tiempoavanza. Eliminar esta tendencia de forma determinista y realizar un graficode la serie de residuos.

c) En los datos de graduados tenemos una situacion diferente a la anterior.Eliminar la tendencia diferenciando ahora la serie y realizar un grafico de laserie diferenciada.


43

a)

94/95 95/96 96/97 97/98 98/99 99/00 00/01 01/021.75

1.8

1.85

1.9

1.95

2

2.05x 10

5

curso

ma

tric

ula

do

s

94/95 95/96 96/97 97/98 98/99 99/00 00/012.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.6

3.8x 10

4

curso

gra

du

ad

os


44

b) En este caso ajustamos un modelo de regresion y = a + bx donde y es elnumero de matriculados y x es el curso. Observamos que lo mas facil esdefinir los valores de x como 0 para el curso 94/95 hasta 7 para el curso01/02.

Tenemos

x = 3,5, s2x = 5,25, y = 189018, s2

y = 83428000 ysxy = −19848.

Luego:

b =−19848

83428000= −3780,6

a = 189018− 3,5(−3780,6) = 202250,1

y la recta de regresion ajustada es:

y = 202250,1− 3780,6x.


45

Calculamos los residuos:

x 0 1 2 3 4 5 6 7

y 203980 193728 195605 193594 190679 179383 177858 177317

y 202250 198470 194689 190912 187128 183347 17956 175786

y − y 1723 −4742 916 2686 3551 −3964 −1709 1531

94/95 95/96 96/97 97/98 98/99 99/00 00/01 01/02−5000

−4000

−3000

−2000

−1000

0

1000

2000

3000

4000

curso

ma

tric

ula

do

s (s

in te

nd

en

cia

)


46

c) En este caso, calculamos una serie de primeras diferencias.

x 0 1 2 3 4 5 6

y 26346 24622 27086 26362 37562 36183 34815

yi − yi−1 −− −1814 2464 −724 11200 −1379 −1368

94/95 95/96 96/97 97/98 98/99 99/00 00/01−2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000D

ifere

nci

as

curso


47

Numeros ındice

Un numero ındice es una medida que nos permite estudiar los cambiosque se producen en una magnitud simple (v.g., precio de un producto) ocompleja (v.g., precio de una bolsa de productos) con respecto al tiempoy/o al espacio.

Ejemplo 18. Podremos comparar el coste de la vida en una ciudadcon el habido en un perıodo anterior o bien con el coste de la vida deuna ciudad “vecina”.

En este tema nos centraremos en las comparaciones en el tiempo aunquelos metodos son aplicables a comparaciones temporo–espaciales.

Estudiaremos:Numeros ındice para un producto.Indices agregados.Indices de Laspeyres y Paasche.El ındice de precios al consumo.


48

Numero ındice simple

Para construir un numero ındice simple, It, se compara la magnitud en elperıodo t con la magnitud en un perıodo de referencia o perıodo base:

It =Xt

X0.

Numero ındice simple de precios o precio relativo: IPt = Pt

P0.

Cantidad relativa (producida o vendida): IQt = Qt

Q0.

Valor relativo (precio y cantidad producida o vendida): IVt = PtQt

P0Q0.

I Generalmente, estos ındices se suelen expresar en porcentajes.


49

Ejemplo 19. La siguiente tabla muestra el precio de un litro de leche enEspana entre 1990 y 1995.

Ano Precio Indice1990 70 100.01991 75 107.71992 77 110.01993 77 110.01994 85 121.41995 90 128.6

Tomando a 1990 como ano base, tenemos que el valor del ındice en el ano1993 es

7770× 100 % = 110 %,

es decir que el precio de un litro de leche en 1993 es de un 110 % de su precioen 1990.


50

Propiedades de numeros ındice

� Permiten comparar la evolucion de los precios en distintos productos. Esdecir se puede ver si algunos productos han crecido relativamente mas enprecio que otros.

Ejemplo 20. La siguiente tabla muestra los precios de un litro de leche, 100gramos de azafran y 1 kg de carne.

Ano t Pt,1 It,1 Pt,2 It,2 Pt,3 It,3

1990 70 100.0 10000 100 1200 100.01991 75 107.7 12000 120 1250 104.11992 77 110.0 16000 160 1280 106.71993 77 110.0 20000 200 1300 108.31994 85 121.4 25000 250 1375 114.61995 90 128.6 22000 220 1450 120.6

Observamos que el precio del azafran ha subido mas que el precio de la lecheo de la carne.


51

Propiedades de numeros ındice

� Proporcionan facilmente los crecimientos relativos respecto del ano base:

Pt − P0

P0× 100 % = It − 100 %.

� Proporcionan facilmente los crecimientos relativos respecto a cualquier ano:

Pt − Ps

Ps=

Pt/P0 − Ps/P0

Ps/P0× 100 % =

It − Is

Is× 100 %.

Ejemplo 21. En el Ejemplo 19 sobre el precio de un litro de leche, obtenemosque el crecimiento relativo del precio en el ano 1993 respecto al ano base es:

110 %− 100 % = 10 % , mientras que el crecimiento relativo del precio en el

ano 1993 respecto del ano 1992 es: 110 %−110 %110 % = 0 .


52

Numeros ındice con agregacion simple

Supongamos que tenemos k productos y que hemos calculado sus ındicesrespecto al mismo ano base. Un ındice agregado simple es:

Ias,t =1k

k∑i=1

Preciot,i

Precio0,i=

1k

k∑i=1

It,i,

donde Preciot,i es el precio en el ano t del producto i, Precio0,i es el precioen el ano base del producto i y It,i es el ındice del producto i en el ano t.

Ejemplo 22. En el Ejemplo 20 sobre los precios de la leche, azafran y carne,obtenemos: Ano t Pt,1 It,1 Pt,2 It,2 Pt,3 It,3 Ias

1990 70 100.0 10000 100 1200 100.0 100.0

1991 75 107.7 12000 120 1250 104.1 110.4

1992 77 110.0 16000 160 1280 106.7 125.6

1993 77 110.0 20000 200 1300 108.3 139.4

1994 85 121.4 25000 250 1375 114.6 162.0

1995 90 128.6 22000 220 1450 120.8 156.5


53

Numeros ındice con agregacion simple

Inconveniente:

No tiene en cuenta la importancia relativa de cada bien o producto en lacesta de los consumidores.

En el ejemplo anterior no es lo mismo para el presupuesto del consumidorque los ındices sean de: leche, azafran y carne (en ese orden) o que sean:leche, carne y azafran (en ese orden).

Ano t It,leche It,azafran It,carne Ias It,leche It,carne It,azafran

1990 100.0 100 100.0 100.0 100.0 100 100.0

1991 107.7 120 104.1 110.4 107.7 120 104.1

1992 110.0 160 106.7 125.6 110.0 160 106.7

1993 110.0 200 108.3 139.4 110.0 200 108.3

1994 121.4 250 114.6 162.0 121.4 250 114.6

1995 128.6 220 120.8 156.5 128.6 220 120.8


54

Numeros ındice con agregacion ponderada

Necesitamos tener en cuenta el consumo total de cada bien o producto.

Podemos definir un numero ındice con agregacion ponderada respectoal consumo de los distintos bienes.

Existen varias posibilidades:

• Indice de Laspeyres, IL: se basa en la cesta de bienes (prefijada) del anobase.

• Indice de Paasche, IP : se basa en la cesta de bienes del perıodo corriente.

• Indice de Fisher: IF =√

IL IP .


55

Indice de Laspeyres

Supongamos que tenemos la cantidad consumida, Qi0, del producto i en elperıodo base, para todos los bienes de la cesta.

En el ano base, t = 0, si compramos la cesta de ese ano:

• El gasto total en el producto i es Pi0 ×Qi0.• El gasto total en toda la cesta es

∑ki=1 Pi0 ×Qi0.

En el ano corriente, t, si compramos la cesta del ano base:

• El gasto total en el producto i es Pit ×Qi0.• El gasto total en toda la cesta es

∑ki=1 Pit ×Qi0.

Se define el ındice de Laspeyres para el ano t como:

ILt =

∑ki=1 Pit ×Qi0∑ki=1 Pi0 ×Qi0

× 100 %.

I IL representa el cambio en el gasto total desde el ano base, suponiendo quelos consumos de cada producto son iguales que en el ano base.


56

Indice de Laspeyres - Ejemplo

Ejemplo 23. En el Ejemplo 20 supongamos que se consumıan 270 litros deleche, 100 gramos (1 unidad) de azafran y 150 Kg de carne.

Precio Leche

Gasto Leche

Precio Azafrán

Gasto Azafrán

Precio Carne

Gasto Carne

Suma de Gastos

Índice de Laspeyres

70 18900 10000 10000 1200 180000 208900 100.075 20250 12000 12000 1250 187500 219750 105.277 20790 16000 16000 1280 192000 228790 109.577 20790 20000 20000 1300 195000 235790 112.985 22950 25000 25000 1375 206250 254200 121.790 24300 22000 22000 1450 217500 263800 126.3

Consumo en el año base

270 1 150

Por ejemplo, para el ano 1995: Calculo en Excel.

IL1995 =

90× 270 + 22000× 1 + 1450× 15070× 270 + 10000× 1 + 1200× 150

=263800208900

≈ 126,3 %.


57

Indice de Paasche

I Un inconveniente del ındice de Laspeyres cuando analizamos perıodos largoses que los habitos de consumo cambian mucho a lo largo del tiempo.

I Una solucion es considerar la cesta de cada ano como en el ındice dePaasche:

IPt =

∑ki=1 Pit ×Qit∑ki=1 Pi0 ×Qit

× 100 %.

La evaluacion del ındice de Paasche es un poco mas complicado, ya que setiene que calcular el denominador para cada ano.

El ındice de Paasche representa el cambio en el gasto total desde el anobase, suponiendo que las cantidades de consumo de cada producto soniguales que en el ano corriente, t.


58

Indice de Paasche - Ejemplo

Ejemplo 24. La siguiente tabla muestra las cantidades consumidas de litrosde leche, unidades (cada 100 gramos) de azafran y Kg de carne.

Precio Leche

Consumo Leche

Precio Azafrán

Consumo Azafrán

Precio Carne

Consumo Carne

Suma de Gastos (t)

Suma de Gastos (0)

Índice de Paasche

70 270 10000 1 1200 150 208900 208900 100.075 275 12000 1 1250 145 213875 203250 105.277 280 16000 1.1 1280 140 218360 198600 109.977 280 20000 1.1 1300 140 225560 198600 113.685 290 25000 1.2 1375 135 240275 194300 123.790 300 22000 1.2 1450 130 241900 189000 128.0

Por ejemplo, para el ano 1995: Calculo en Excel.

IP1995 =

90× 300 + 22000× 1,2 + 1450× 13070× 300 + 10000× 1,2 + 1200× 130

=241900189000

≈ 115,8 %.


59

Ejemplo - Indices simple, agregado y ponderados

Ejemplo 25. Una fabricante de patatas fritas quiere estudiar los precios desus materias primas; patatas (kg), aceite (litros) y sal (kg). Tiene los siguientesresultados (tomando el ano base como 2001).

Patatas Aceite AalAno P1 I1 P2 I2 P3 I3

2001 14 100,0 88 100,0 40 100,02002 14 100,0 110 125,0 42 105,02003 15 107,1 120 150,0 44 110,02004 16 114,3 125 136,4 44 110,0

I Se ve que en el perıodo, el precio de aceite ha subido un 36 % mientras elprecio de sal ha subido solo un 10 %.


60


Ejemplo 25. La tabla siguiente muestra el ındice con agregacion simple IASt

con respeto al ano base 2001.

Patatas Aceite AalAno P1 I1 P2 I2 P3 I3 IAS

2001 14 100,0 88 100,0 40 100,0 100,02002 14 100,0 110 125,0 42 105,0 110,02003 15 107,1 120 150,0 44 110,0 122,42004 16 114,3 125 136,4 44 110,0 120,2

I El valor del ındice agregado para 2002 es

13(100,0 + 125,0 + 105,0) = 110,0.

I Recordemos que este ındice tiene un inconveniente, no tiene en cuenta lascantidades consumidas de cada producto.


61


Ejemplo 25. Supongamos que tenemos las cantidades de cada productousado para producir un lote de patatas fritas.

Patatas Aceite SalAno P1 Q1 kg P2 Q2 l P3 Q3 kg2001 14 53 88 5 40 32002 14 53 110 4 42 22003 15 54 120 4 44 22004 16 55 125 4 44 1

Para tener en cuentael consumo de cadaproducto calculamos losındices ponderados.

I El ındice de Laspeyres en 2004 es:

16× 53 + 125× 5 + 44× 314× 53 + 88× 5 + 40× 3

× 100 % = 123,3 %.

I El ındice de Paasche en 2004 es:

16× 55 + 125× 4 + 44× 114× 55 + 88× 4 + 40× 1

× 100 % = 122,5 %.


62

Indice de precios al consumo (IPC)

Describe la evolucion del conjunto de precios de los bienes y servicios queconsume la poblacion residente en viviendas familiares en Espana.

Para calcular el Indice de Preciosal Consumo (IPC), el InstitutoNacional de Estadıstica haceuna Encuesta Continua de Pre-supuestos Familiares (ECPF) so-bre el consumo de aproximada-mente 500 productos.

Ficha técnica

Indice de Precios de Consumo ? Tipo de encuesta: contínua de periodicidad mensual ? Período base: 2001 ? Periodo de referencia de las ponderaciones: desde el 2º trimestre de 1999 hasta el

1º de 2001 ? Muestra de municipios: 141 para alimentación y 97 para el resto ? Número de artículos: 484 ? Número de observaciones: aproximadamente 200.000 precios mensuales ? Clasificación funcional: 12 grupos, 37 subgrupos, 80 clases y 117 subclases; 57

rúbricas y 37 grupos especiales ? Método general de cálculo: Laspeyres encadenado ? Método de recogida: agentes entrevistadores en establecimientos y recogida

centralizada para art ículos especiales

Subir © INE 2005 CerrarVer http://www.ine.es/daco/ipc.htm


63


I Para calcular el ındice del perıodo t se utiliza un ındice de Laspeyresencadenado, que consiste en referir los precios del periodo corriente a losprecios de diciembre del ano anterior:

IGm,t =

∑iWiI

im,t, donde:

IGm,t es el ındice general del mes m y ano t referido a diciembre del ano

t− 1.Wi es la ponderacion del componente i referida al ano t− 1.es el ındice del componente i del mes m y ano t referido a diciembre delano t-1.

I La ponderacion de un artıculo representa la proporcion del gasto efectuadoen ese artıculo respecto al gasto total efectuado por los hogares.


64


I La estructura de ponderaciones se revisa anualmente para determinadosniveles de desagregacion geografica.Ponderaciones

Grupos IPC, base 2001 Ponderaciones año 2002

IPC, base 2001 Ponderaciones año 2003

IPC, base 2001 Ponderaciones año 2004-2005

IPC, base 2001 Ponderaciones año 2006

01. Alimentos y bebidas no alcohólicas 21,86 21,93 22,60 22,28

02. Bebidas alcohólicas y tabaco 3,22 3,18 3,17 3,07

03. Vestido y calzado 9,93 9,90 9,73 9,25

04. Vivienda 11,03

10,68

10,69

10,71

05. Menaje 6,36 6,41 6,41 6,17

06. Medicina 2,81 2,75 2,68 2,7207. Transporte 15,58 15,32 14,40 14,91

08. Comunicaciones 2,57

2,73

2,99

3,28

09. Ocio y cultura 6,73 6,83 6,76 6,78

10. Enseñanza 1,74 1,67 1,67 1,68

11. Hoteles, caf és y restaurantes 11,27 11,18 11,23 11,45

12. Otros bienes y servicios 6,91

7,39

7,39

7,72

TOTAL 100,00

100,00

100,00

100,00


65

Serie temporal de los ındices de precios al consumo

Ejemplo 26. Indice mensual de precios al consumo, Espana,Enero:2002 a Enero:2007.




2006

=100

85.0

87.5

90.0

92.5

95.0

97.5

100.0

102.5

Ejercicio: Predecir el IPC para el ano 2007.


66

Recapitulacion

Tema 4. Series temporales y numeros ındice

Graficos temporales.

Series estacionarias y no estacionarias.

Descomposicion de una serie.

W Descripcion de una serietemporal

Numeros ındice para un producto.

Indices agregados.

Indices de Laspeyres y Paasche.

W Indices para estudiar laevolucion de precios.


67

Estadıstica Descriptiva

Introducción.Tema 1. Análisis de datos univariantes.Tema 2. Análisis de datos bivariantes.Tema 3. Correlación y regresión.Tema 4. Series temporales y números índice.


Probabilidad

Tema 1. Introducción.Tema 2. Análisis de datos univariantes.Tema 3. Análisis de datos bivariantes.Tema 4. Correlación y regresión.Tema 5. Series temporales y números índice.

Tema 5. Probabilidad.Tema 6. Variables aleatorias unidimensionales.Tema 7. Modelos probabilísticos discretos.Tema 8. Modelos probabilísticos continuos.Tema 9. Variables aleatorias multidimensionales.


Modelización de la incertidumbre en las variables socieconómicas


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