Mtodos NumricosProf. Rosa Mercedes Garrido JurezIntroduccin

*Qu son los Mtodos Numricos ?Mtodos Numricos Introduccin

*Los Mtodos Numricos corresponde a un conjunto de algoritmos usados para resolver problemas matemticos de forma aproximada.

Estos mtodos se aplican principalmente a problemas que no presentan una solucin exacta, por tanto necesitan ser resueltos numricamente.

Mtodos Numricos Introduccin

*Ejemplo:

Circuito eltrico compuesto de una fuente de tensin en un resistor. Solucin exactaIntroduccin de un diodo en un circuito:Solucin utilizando mtodos numricosVRiVRDiMtodos Numricos Introduccin

*Por que obtener resultados numricos? Mtodos Numricos Introduccin

*Un problema de Matemtica puede ser resuelto analticamente, mas este mtodo puede ser no prctico aumentando la complejidad del problema. Ejemplo:Solucin de sistemas de ecuaciones lineales. Mtodos Numricos Introduccin

*La existencia de problemas para los cuales no existen mtodos matemticos para la solucin (no pueden ser resueltos analticamente).

Ejemplos:

a)no tiene primitiva en forma simple;b) no se puede resolver analticamente;

c)Ecuaciones diferenciales parciales no lineales se pueden resolver analticamente solo en casos particulares.Mtodos Numricos Introduccin

*Los mtodos numricos buscan soluciones aproximadas para las formulaciones matemticas.

Los problemas reales, los datos se miden y como tales, no son exactos. Una medida fsica no es un nmero, es un intervalo, por la imprecisin de la medida. Por lo tanto, el trabajo ha sido siempre la figura del error, inherente a la propia medicin. Los mtodos aproximados buscan una aproximacin al valor exacto. Por lo tanto, es inherente a los mtodos trabajar con la figura de aproximacin del error.

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* Aplicaciones del clculo numrico en la ingeniera.

Determinacin de las races de las ecuacionesInterpolacin de los valores tabuladosIntegracin numrica, entre otros.

Mtodos Numricos Introduccin

*Mtodos Numricos SlaboObjetivos Resumen Metodologa, Educacin Tcnica Recursos Didticos Evaluacin Bibliografa

*Proporcionar condiciones para que los estudiantes puedan, calcular, utilizar y aplicar los mtodos numricos para resolver problemas de ingeniera.

Estudiar la construccin de mtodos numricos, considerar en qu condiciones pueden estar seguros de que los resultados se calculan cerca de precisin, basada en el conocimiento de los mtodos.

. Mtodos Numricos Objetivos del Curso

*Visin de Ingeniera x la Matemtica/Computacin

Conceptos y entendimentos bsicos de MNEjemplos de costos de errores numricos en las ingenierasIncrementa el perfil profesional

Nociones de precisin y eficiencia en las soluciones.

Introduccin de los mtodos tradicionales

Aplicacin de las herramientas disponiblesA que disciplina va a favorecer?

*Mtodos NumricosMotivacin

Conceptos bsicos: princpios usados en el clculo numrico, representacin binria de nmeros enteros y reales, standard IEEE.

Problemas: generacin y propagacin de errores.

Resoluciones Numricas: mtodos tradicionales para clculo numrico.

*

Introduccin a los Mtodos NumricosSolucin de Sistemas de ecuaciones lineales.Solucin de ecuaciones no lineales: de una y mas variables.Aproximacin de funciones.Diferenciacin e Integracin numrica.Solucin de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.Solucin de Ecuaciones Diferenciales Parciales.Mtodos Numricos Programa

*Metodologia & Tcnicas de la claseAulas Expositivas;Aulas Prticas em Laboratrio;Atividades individuales.

*Mtodos Numricos Recursos Didticos

Uso de MultimediaLaboratrio del Centro de Cmputo;Programas de Simulacin (Matlab)

Teora de ErroresErrores Diferentes tipos de errores Errores de redondeo.

Representacin de Mquina Estructura de almacenamiento Truncamiento.

Temas de Precisin Circunstancias cuando se necesita precisin extendida

Aproximacin y errorLos clculos numricos inevitablemente conducen a errores:Estos son de dos clases principales: Errores de RedondeoErrores asociados con la representacin inexacta de nmeros reales por la computadoraErrores asociados con la mquinaErrores de TruncamientoErrores asociados con el uso de un procedimiento numrico aproximado para reemplazar una expresin matemtica exactaError asociados con el algoritmo matemticoAmbos conducen al error total: y algunas veces pueden interactuar!

Definicin de ErrorHay muchas formas para definir los errores:Todas tienen ventajas y desventajasSe usan en diferentes circunstanciasNo todas son posibles:A menudo la solucin exacta no es conocida!Idea fundamental :El error implica la diferencia entre el resultado numrico y el resultado actualConsideraremos diferentes errores:

Error AbsolutoFundamentos:

Valor verdadero=Valor aproximado + error absoluto.Error absoluto: t=|Valor verdadero Valor aproximado|

Error absoluto tiene dimensionesSe necesita conocer el valor verdadero

(p.e. un error de 10cm es improbable que sea un problema cuando calculamos la distancia a la luna);Pero seguramente ser un problema en la medicin de la cintura!

Error RelativoTiene que ver con el problema de la magnitud:Se define el Error Relativo (Fraccional) t

t =t/|Valor Verdadero|

Es No-dimensional: nos da una idea de la magnitud del error.No se usa cuando el valor verdadero es cero/problemas para valores verdaderos pequeos!Se debe conocer el valor verdadero.Se necesita definir el error estimado en trminos de aproximacionesEsto lleva a la definicin iterativa de errores estimados

Error EstimadoEn general no conocemos el valor verdadero Tpicamente involucrado en algunos procesos iterativosSe necesita usar esos procesos iterativos para estimar el error:Error absoluto estimado o aproximacin del error absoluto:a= aproximacin actual -aproximacin previa Error relativo estimado o aproximacin del error relativo : a= a /|aproximacin actual|Estos errores nos dan una idea de mejora en la aproximacin.Esto puede ser engaoso: hay que proceder con cuidado desde que:Se necesita tanto exactitud como precisin.

Ejemplo 1

Cul es el error absoluto y relativo de la aproximacin 3.14 al valor de ?Solucin

= |3.14 - | 0.0016 = |3.14 - |/|| 0.00051

Ejemplo 2

Un vernier Caliper tiene una precisin de 0.1 mm, y es usado para medir la longitud de una barra de metal. La longitud es de 3.25 cm. Exprese la precisin relativa de la medida como una fraccin y porcentaje.Solucin

Propagacin de ErroresFunciones de una variable:

Funciones de varias variables:

http://numericalmethods.eng.usf.edu*Ejemplo 3Al evaluar el factor de friccin del siguiente sistema dinmico

Dado

Encontrar el maximo error al determinar el factor de friccin

m

http://numericalmethods.eng.usf.edu

http://numericalmethods.eng.usf.edu*Ejemplo 3Solucin

http://numericalmethods.eng.usf.edu

http://numericalmethods.eng.usf.edu*Ejemplo 3Aplicando Propagacin de erroresPor tanto

http://numericalmethods.eng.usf.edu

Ejemplo 4Una red elctrica trifsica trabaja con un voltaje de Voltios, una intensidad de corriente elctrica de se sabe que el ngulo de desfasaje entre el voltaje y la corriente esta en el rango , con sus 2 cifras decimales exactas. Determine el rango en el cual se encuentra la potencia elctrica (p) consumida por la red en Watts.Solucin*

Cont.

=1.725*439*14.25*cos(0.45)= 9716.9 Watts=1.735*441*15.75*cos(0.44)=10903.1 Watts

*

Principio de igual efecto*

Ejemplo 5El doblado de lminas metlicas es una operacin muy comn en un taller mecnico. La deformacin de una lmina durante el doblado esta dada por:

Donde R es el radio de doblez y T es el espesor de la lmina.Una lamina de aleacin de aluminio de espesor 2 mm. fue doblada con un radio de doblez de 12 mm, si se desea obtener la deformacin con un error no mayor al 5%, qu error en las medidas de R y T son permisibles?

*

Solucin *Por Principio de igual efecto:

Gracias por su Atencin*

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