Investigacion de operaciones 2013 i

Calidad que se acredita internacionalmente

ASIGNATURA

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES (TEXTO UNIVERSITARIO)

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Asignatura: Investigación de Operaciones

Universidad Continental de Ciencias e Ingeniería Material publicado con fines de estudio Tercera edición Huancayo, 2013

MISIÓN

Somos una universidad privada, innovadora y comprometida con el desarrollo del Perú, que se dedica a formar personas competentes, íntegras y emprendedoras, con visión internacional; para que se conviertan en ciudadanos responsables e impulsen el desarrollo de sus comunidades, impartiendo experiencias de aprendizaje vivificantes e inspiradoras; y generando una alta valoración mutua entre todos los grupos de interés.

VISIÓN

Ser una de las 10 mejores universidades privadas del Perú al año 2020, reconocidos por nuestra excelencia académica y vocación de servicio, líderes en formación integral, con perspectiva global; promoviendo la competitividad del país.

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INTRODUCCIÓN

El desarrollo del material de la asignatura, se hace considerando la Investigación de Operaciones como una ciencia administrativa basada en el enfoque científico, para resolver problemas y proporcionar ayuda para la toma de decisiones. Planear, programar, organizar, dirigir, dotar de personal, controlar, son actividades que el alumno en su ejercicio profesional puede desempeñar, y la Investigación de Operaciones le sirve de ayuda con su método analítico y sistemático. Con base en este enfoque gerencial es que se plantea en el presente manual el estudio de esta ciencia.

La primera Unidad Didáctica, es una puerta de entrada al estudio de las diversas técnicas y los respectivos modelos que conforman la asignatura. Se hace énfasis en el análisis cuantitativo que es la base del enfoque científico, punto de partida del proceso que determinará la toma de una decisión.

La segunda Unidad Didáctica, se inicia en las técnicas a estudiar, siendo la primera, Programación Lineal. Esta es una de las técnicas más empleadas y se aplica en sistemas con relaciones lineales, para usar los recursos escasos de la mejor manera posible.

La tercera unidad estudia las aplicaciones especiales de la programación lineal, los cuales son el problema de transporte y el problema de asignación.

La cuarta unidad didáctica contiene el estudio de técnicas utilizadas para el manejo de proyectos que son: PERT y CPM. Ambas técnicas tienen el objetivo de ahorrar el mayor tiempo posible en la ejecución de proyectos. Didácticamente, su estudio ha sido dividido en tres fases: Planeamiento, Programación y Control.

La quinta unidad está dedicada al estudio de la Teoría de Colas, con especial mención del modelo M/M/1, llamado así según la notación de Kendall. La Teoría es un estudio de los sistemas de espera y de los diferentes modelos que provee la Investigación de Operaciones para ayudar en la toma de decisiones en este campo.

La sexta unidad es la Teoría de decisiones, en la cual se desarrollan los diversos modelos de decisiones, complementado con el cálculo del valor de la información perfecta. Además se incluye los árboles de decisión para la representación de decisiones secuenciales.

La séptima unidad consiste en las Cadenas de Markov para la evaluación de ocurrencias de eventos ante situaciones ocurridas.

El presente material es una guía para el desarrollo del curso y debe ser complementada por el estudiante a través de la investigación y búsqueda de información en diversas fuentes como biblioteca e internet así como con el desarrollo de las clases presenciales.

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ÍNDICE

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INTRODUCCIÓN 3 INDICE 4

PRIMERA UNIDAD 7 Tema Nº 1: LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Y EL USO DE MODELOS 7 1.1 Los modelos 7 1.2 ¿Qué es la investigación de operaciones? 8 SEGUNDA UNIDAD 10 Tema Nº 2: PROGRAMACIÓN LINEAL 10 2.1 Introducción. 10 2.2 Expresión matemática 10 2.3 Modelo de Programación Lineal 11 2.4 Forma estándar del modelo 12 2.5 Suposiciones del Modelo de Programación Lineal 12 2.6 Modelos matemáticos 13 2.7 Formulación de modelos de programación lineal 13 Casos de aplicación 14 Tema Nº 3: METODOS DE SOLUCION DE PROBLEMAS DE PL 20 3.1 Método gráfico 20 3.2 El Método Simplex 33 Tema Nº 4: ANALISIS DE DUALIDAD Y SENSIBILIDAD 40 4.1 Análisis de Dualidad 40 4.2 Definición de Problema dual 40 4.3 Análisis de sensibilidad 43 TERCERA UNIDAD 46 Tema Nº 5: MODELO DE TRANSPORTE 46 5.1 Problema de Transporte 47 5.2 Modelo general del problema de transporte 47 5.3. Métodos para encontrar soluciones factibles 49 5.4 Método de la esquina noroeste 49 5.5 Método de aproximación de Vogel 50 5.6 Modelos Balanceados y no balanceados 50 Tema Nº 6: MODELO DE ASIGNACION DE RECURSOS 59 6.1 Problemas de asignación de recursos 59 6.2 El método Húngaro 60

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CUARTA UNIDAD 65 Tema Nº 7: ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS PERT/CPM 65 7.1 Introducción 66 7.2 Procedimiento para trazar un modelo de red 66 7.3 Pasos en el planeamiento del proyecto del CPM 68 7.4 Utilidad de las técnicas PERT y CPM 69 7.5 Programación de proyectos 70 7.6 Ventajas del PERT y CPM 70 7.7 Pasos en el método PERT (Program Evaluation and Review Technique) 71 7.8 Asignación de tiempos 72

QUINTA UNIDAD 80 Tema Nº 8: SISTEMA DE LÍNEA DE ESPERA 80 8.1 Modelo de formación de colas. 80 8.2 Elementos existentes en un modelo de colas 81 8.3 Casos de colas o líneas de espera 87

SEXTA UNIDAD 97 Tema Nº 9: TEORÍA DE DECISIONES 97 9.1 Introducción 97 9.2 Toma de decisiones bajo incertidumbre 97 9.3 Caso de aplicación: Criterios de decisión en incertidumbre 103 9.4 Árboles de decisión 108

SEPTIMA UNIDAD 114

Tema Nº 10: CADENAS DE MARKOV 114

10.1 Introducción 114 10.2 Caso de aplicación 114 10.3 Formulación de las Cadenas de Markov 114

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 119

REFERENCIAS ELECTRÓNICAS 119

ANEXO 120

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ICONOGRAFÍA DE TEXTO

METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

El texto se fundamenta en la metodología de la investigación de operaciones alineada

a la investigación científica. Las diversas técnicas de investigación de operaciones

buscan optimizar el uso de recursos en las organizaciones mediante la definición del

problema a resolver en un sistema empresarial o social en base a lo cual se

construyen los modelos matemáticos y se recolectan los datos en forma paralela y

cíclica; planteado el modelo se procede a resolverlo mediante los métodos de cada

técnica operativa, lo cual puede llevar a un replanteamiento del modelo, a recopilar

más datos o ambos; solucionado el modelo se procede a hacer la verificación de la

validez de los resultados, su coherencia con la realidad; finalmente se realiza la

implementación para solucionar el problema definido mejorando la situación inicial.

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PRIMERA UNIDAD

Tema Nº 1: LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Y EL USO DE

MODELOS

1.1 Los modelos

Un modelo es una representación ideal de un sistema y la forma en que este opera. El

objetivo es analizar el comportamiento del sistema o bien predecir su comportamiento

futuro. Obviamente los modelos no son tan complejos como el sistema mismo, de tal

manera que se hacen las suposiciones y restricciones necesarias para representar las

porciones más relevantes del mismo. Claramente no habría ventaja alguna de utilizar

modelos si estos no simplificaran la situación real. En muchos casos podemos utilizar

modelos matemáticos que, mediante letras, números y operaciones, representan

variables, magnitudes y sus relaciones.

1.1.1 Clasificación de modelos

Se podría decir que un modelo de las ciencias físicas es una traducción de la realidad

física de un sistema en términos matemáticos, es decir, una forma de representar cada

uno de los tipos entidades que intervienen en un cierto proceso físico mediante objetos

matemáticos. Las relaciones matemáticas formales entre los objetos del modelo, deben

representar de alguna manera las relaciones reales existentes entre las diferentes

entidades o aspectos del sistema u objeto real. Así una vez "traducido" o "representado"

cierto problema en forma de modelo matemático, se pueden aplicar el cálculo, el álgebra

y otras herramientas matemáticas para deducir el comportamiento del sistema bajo

estudio. Un modelo físico requerirá por tanto que se pueda seguir el camino inverso al

modelado, permitiendo reinterpretar en la realidad las predicciones del modelo. Los

modelos matemáticos pueden clasificarse de la siguiente manera:

Determinista. Se conoce de manera puntual la forma del resultado ya que no

hay incertidumbre. Además, los datos utilizados para alimentar el modelo son

completamente conocidos y determinados.

Estocástico. Probabilístico, que no se conoce el resultado esperado, sino su

probabilidad y existe por tanto incertidumbre.

Además con respecto a la función del origen de la información utilizada para construirlos

los modelos pueden clasificarse de otras formas, se distinguen modelos heurísticos y

modelos empíricos:

Modelos heurísticos (del griego euriskein 'hallar, inventar'). Son los que están

basados en las explicaciones sobre las causas o mecanismos naturales que dan

lugar al fenómeno estudiado.

Modelos empíricos (del griego empeirikos relativo a la “experiencia”). Son los

que utilizan las observaciones directas o los resultados de experimentos del

fenómeno estudiado.

Además los modelos matemáticos encuentran distintas denominaciones en sus diversas

aplicaciones. A continuación veremos algunos tipos en los que se puede adecuar algún

modelo matemático de interés. Según su campo de aplicación los modelos:

Modelos conceptuales. Son los que reproducen mediante fórmulas y algoritmos

matemáticos más o menos complejos los procesos físicos que se producen en la

naturaleza

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Modelo matemático de optimización. Los modelos matemáticos de

optimización son ampliamente utilizados en diversas ramas de la ingeniería para

resolver problemas que por su naturaleza son indeterminados, es decir presentan

más de una solución posible.

Categorías por su aplicación suelen utilizarse en las siguientes tres áreas, sin embargo

existen muchas otras como la de finanzas, ciencias etc.

Simulación. De situaciones medibles de manera precisa o aleatoria, por ejemplo

con aspectos de programación lineal cuando es de manera precisa, y

probabilística o heurística cuando es aleatorio.

Optimización. Para determinar el punto exacto para resolver alguna

problemática administrativa, de producción, o cualquier otra situación. Cuando la

optimización es entera o no lineal, combinada, se refiere a modelos matemáticos

poco predecibles, pero que pueden acoplarse a alguna alternativa existente y

aproximada en su cuantificación.

Control. Para saber con precisión como está algo en una organización,

investigación, área de operación, etc.

1.1.2 Principios de los modelos

"Los modelos no pueden remplazar al tomador de decisiones, sólo auxiliarlos"

A continuación se presenta una lista, no exhaustiva, de los principios generales de

modelación.

No debe elaborarse un modelo complicado cuando uno simple es suficiente.

El problema no debe ajustarse al modelo o método de solución.

La fase deductiva de la modelación debe realizarse rigurosamente.

Los modelos deben validarse antes de su implantación.

Nunca debe pensarse que el modelo es el sistema real.

Un modelo debe criticarse por algo para lo que no fue hecho.

No venda un modelo como la perfección máxima.

Uno de los primeros beneficios de la modelación reside en el desarrollo del

modelo.

Un modelo es tan bueno o tan malo como la información con la que trabaja.

Los modelos no pueden remplazar al tomador de decisiones.

Los modelos de Investigación de Operaciones, conducen a mejores decisiones y

no a simplificar la toma de éstas.

1.2 ¿Qué es la investigación de operaciones?

Como toda disciplina en desarrollo, la investigación de operaciones ha ido

evolucionando no sólo en sus técnicas y aplicaciones sino en la forma como la

conceptualizan los diferentes autores, en la actualidad no existe solamente una

definición sino muchas, algunas demasiado generales, otras demasiado engañosas,

aquí seleccionamos dos de las mas aceptadas y representativas.

La investigación de operaciones es la aplicación, por grupos interdisciplinarios,

del método científico a problemas relacionados con el control de las

organizaciones o sistemas (hombre-máquina), a fin de que se produzcan

soluciones que mejor sirvan a los objetivos de la organización.

Churchman, Ackoff y Arnoff

De ésta definición se pueden destacar los siguientes conceptos:

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1. Una organización es un sistema formado por componentes que se

interaccionan, unas de estas interacciones pueden ser controladas y otras no.

2. En un sistema la información es una parte fundamental, ya que entre las

componentes fluye información que ocasiona la interacción entre ellas.

También dentro de la estructura de los sistemas se encuentran recursos que

generan interacciones. Los objetivos de la organización se refieren a la eficacia

y eficiencia con que las componentes pueden controlarse, el control es un

mecanismo de autocorrección del sistema que permite evaluar los resultados

en términos de los objetivos establecidos.

3. La complejidad de los problemas que se presentan en las organizaciones ya no

encajan en una sola disciplina del conocimiento, se han convertido en

multidisciplinario por lo cual para su análisis y solución se requieren grupos

compuestos por especialistas de diferentes áreas del conocimiento que logran

comunicarse con un lenguaje común.

4. La investigación de operaciones es la aplicación de la metodología científica a

través modelos matemáticos, primero para representar al problema y luego

para resolverlo. La definición de la sociedad de investigación de operaciones de

la Gran Bretaña es la siguiente:

5. La investigación de operaciones es el ataque de la ciencia moderna a los

complejos problemas que surgen en la dirección y en la administración de

grandes sistemas de hombres, máquinas, materiales y dinero, en la industria,

en los negocios, en el gobierno y en la defensa. Su actitud diferencial consiste

en desarrollar un modelo científico del sistema tal, que incorpore valoraciones

de factores como el azar y el riesgo y mediante el cual se predigan y comparen

los resultados de decisiones, estrategias o controles alternativos. Su propósito

es el de ayudar a la gerencia a determinar científicamente sus políticas y

acciones.

En relación a ésta definición deben destacarse los siguientes aspectos:

i. Generalmente se asocian los conceptos de dirección y administración a las

empresas de tipo lucrativo, sin embargo, una empresa es un concepto más

amplio, es algo que utiliza hombres, máquinas, materiales y dinero con un

propósito específico; desde éste punto de vista, se considera como empresa desde

una universidad hasta una armadora de automóviles.

ii. Para tratar de explicar el comportamiento de un sistema complejo, el científico

debe representarlo en términos de los conceptos que maneja, lo hace expresando

todos los rasgos principales del sistema por medio de relaciones matemáticas. A

esta representación formal se le llama modelo.

iii. La esencia de un modelo es que debe ser predictivo, lo cual no significa predecir el

futuro, pero si ser capaz de indicar muchas cosas acerca de la forma en que se

puede esperar que un sistema opere en una variedad de circunstancias, lo que

permite valorar su vulnerabilidad. Si se conocen las debilidades del sistema se

pueden tomar cursos de acción agrupados en tres categorías:

a. Efectuar cambios que lleven a la empresa o parte de ella a una nueva ruta;

b. Realizar un plan de toma de decisiones;

c. Instalar estrategias que generen decisiones.

Cuando se aplica alguno de estos remedios, la investigación de operaciones nos

ayuda a determinar la acción menos vulnerable ante un futuro incierto.

iv. El objetivo global de la investigación de operaciones es el de apoyar al tomador de

decisiones, en cuanto ayudarlo a cumplir con su función basado en estudios

científicamente fundamentados.

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SEGUNDA UNIDAD

Tema Nº 2: PROGRAMACIÓN LINEAL

2.1 Introducción.

Se considera al desarrollo de la Programación Lineal (PL) entre los avances científicos

más importantes de mediados del siglo XX. En la actualidad es una herramienta

común que ha ahorrado miles o millones de dólares a muchas compañías y negocios,

incluyendo industrias medianas y pequeñas en distintos países del mundo. ¿Cuál es la

naturaleza de esta notable herramienta y qué tipo de problemas puede manejar?

Expresado brevemente, el tipo más común de aplicación abarca el problema general

de asignar recursos limitados entre las distintas actividades de la mejor manera

posible (es decir, en forma óptima). La variedad de situaciones a las que se puede

aplicar esta descripción es sin duda muy grande, y va desde la asignación de

instalaciones productivas a los productos, hasta la asignación de los recursos

nacionales a las necesidades de un país. No obstante, el ingrediente común de todas

estas situaciones es la necesidad de asignar recursos a las actividades.

La programación lineal utiliza un modelo matemático para describir el problema. El

adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deber ser

funciones lineales. En este caso, las palabra programación no se refiere a

programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la

programación lineal trata la planeación de las actividades para obtener un resultado

óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo

matemático) entre todas las alternativas de solución.

2.2 Expresión matemática

La Función Objetivo del Modelo Lineal es la formulación matemática de una

meta establecida y por lo tanto su valor final mide la efectividad lograda.

Es una función lineal a ser maximizada o minimizada y tiene la siguiente

forma general:

Optimizar C1X1 + C2X2 + C3X3 + C4X4 +...................+ CnXn

Xj, simboliza matemáticamente a las variables de decisión. Son los

valores numéricos que se determinan con la solución del modelo y

representan o están relacionadas con una actividad o acción a tomar. Son

los únicos valores desconocidos en el modelo y pueden existir en cualquier

cantidad, desde 1 hasta n variables. Es decir, j varía desde 1 hasta n.

Cj, matemáticamente, simboliza el coeficiente de la variable j en la

Función Objetivo. Son datos relevantes, insumos incontrolables ya

conocidos. En la Función Objetivo representan la cantidad con la cual

contribuye cada unidad de la variable j, al valor total deseado en el

objetivo.

Las restricciones, desde el punto de vista matemático, son funciones

lineales expresadas como igualdades o desigualdades, que limitan el valor

de las variables de decisión a valores permisibles. Representan recursos,

condiciones o requerimientos establecidos. Las restricciones del Modelo

Lineal general tienen la forma siguiente:

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a11 X1 + a 12 X 2 + a 13 X 3 + a14 X 4 + … + a1nXn <= b1

a21 X1 + a 22 X 2 + a 23 X 3 + a24 X 4 + … + a2n Xn <= b2

a31 X1 + a 32 X 2 + a 33 X 3 + a34 X 4 + … + a3n Xn <= b3

.

.

am1 X1 + a m2 X 2 + a m3 X 3 + am4 X 4 +… + amn Xn <= bm

aij, matemáticamente simboliza el coeficiente, en la restricción i, de las

variable j.

El subíndice i indica el recurso, requerimiento o condición cuya limitación se

está expresando; j indica la variable correspondiente. Cuando la limitación es

de un recurso i, estos coeficientes representan la cantidad del recurso total

limitado i, que es utilizada en cada unidad de la variable j. Cuando la

limitación es de un requerimiento o condición i, representan la cantidad del

requerimiento o condición i limitada, que aporta cada unidad de la variable j,

al requerimiento o condición total establecida. Son, por ello, valores unitarios,

al igual que los coeficientes de las variables en la Función Objetivo.

bi, matemáticamente constituye el lado derecho de la restricción i.

Representa la cantidad total disponible del recurso limitado i, o la cantidad

total de un requerimiento o condición i establecida. Puede existir cualquier

cantidad de restricciones por lo tanto i puede variar desde 1 hasta m.

Xj >= 0 es una restricción de no negatividad de las j variables, la cual se

le considera siempre presente como una condición natural en el Modelo Lineal

General.

2.3 Modelo de Programación Lineal

Los términos clave son recursos y actividades, en donde m denota el número de

distintos tipos de recursos que se pueden usar y n denota el número de actividades

bajo consideración. Algunos ejemplos de recursos son dinero y tipos especiales de

maquinaria, equipo, vehículos y personal. Los ejemplos de actividades incluyen

inversión en proyectos específicos, publicidad en un medio determinado y el envío de

bienes de cierta fuente a cierto destino. En cualquier aplicación de programación

lineal, puede ser que todas las actividades sean de un tipo general (como cualquiera

de los ejemplos), y entonces cada una correspondería en forma individual a las

alternativas específicas dentro de esta categoría general.

El tipo más usual de aplicación de programación lineal involucra la asignación de

recursos a ciertas actividades. La cantidad disponible de cada recurso está limitada, de

forma que deben asignarse con todo cuidado. La determinación de esta asignación

incluye elegir los niveles de las actividades que lograrán el mejor valor posible de la

medida global de efectividad.

Ciertos símbolos se usan de manera convencional para denotar las distintas

componentes de un modelo de programación lineal. Estos símbolos se enumeran a

continuación, junto con su interpretación para el problema general de asignación de

recursos a actividades.

Z = valor de la medida global de efectividad

xj = nivel de la actividad j (para j = 1,2,...,n)

cj = incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en el nivel de la actividad j

bi = cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para i = 1,2,...,m)

aij = cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad j

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El modelo establece el problema en términos de tomar decisiones sobre los niveles de

las actividades, por lo que x1,x2,....,xn se llaman variables de decisión. Los valores de

cj, bi y aij (para i = 1,2,....,m y j = 1,2,....,n) son las constantes de entrada al modelo.

Las cj, bi y aij también se conocen como parámetros del modelo.

2.4 Forma estándar del modelo

Ahora se puede formular al modelo matemático para este problema general de

asignación de recursos a actividades. En Datos necesarios para un modelo de

programación lineal que maneja la asignación de recursos a actividades particular,

este modelo consiste en elegir valores de x1,x2,....,xn para:

optimizar (maximizar o minimizar) Z = c1x1 + c2x2 +....+ cnxn,

sujeta a las restricciones:

a11x1 + a12x2 +....+ a1nxn < b1

a21x1 + a22x2 +....+ a2nxn < b2

.

.

am1x1 + am2x2 +....+ amnxn < bm

X1 0, X2 0, ..., Xn 0.

2.5 Suposiciones del Modelo de Programación Lineal

2.5.1 Proporcionalidad

La contribución de cada actividad al valor de la función objetivo Z es proporcional al

nivel de actividad xj, como lo representa el término cjxj en la función objetivo. De

manera similar, la contribución de cada actividad al lado izquierdo de cada restricción

funcional es proporcional al nivel de la actividad xj, en la forma en que lo representa el

término aijxj en la restricción. En consecuencia, esta suposición elimina cualquier

exponente diferente a 1 para las variables en cualquier término de las funciones (ya

sea la función objetivo o la función en el lado izquierdo de las restricciones

funcionales) en un modelo de programación lineal.

2.5.2 Actividad

Establece que la entrada y salida de un recurso en particular al conjunto de

actividades, deben ser la misma cantidad; o sea, que las actividades transforman los

recursos y no los crean o destruyen. Esta suposición garantiza que la contribución

total tanto a la función objetivo como a las restricciones, es igual a la suma de las

contribuciones individuales. Cuando en un problema dado no se tenga la aditividad

puede recurrirse al empleo de otras técnicas de la programación matemática,

dependiendo de cada caso en particular.

2.5.3 Aditividad

Cada función en un modelo de programación lineal (ya sea la función objetivo o el lado

izquierdo de las restricciones funcionales) es la suma de las contribuciones

individuales de las actividades respectivas.

2.5.4 Divisibilidad

Las variables de decisión en un modelo de programación lineal pueden tomar cualquier

valor, incluyendo valores no enteros, que satisfagan las restricciones funcionales y de

no negatividad. Así, estas variables no están restringidas a sólo valores enteros. Como

cada variable de decisión representa el nivel de alguna actividad, se supondrá que las

actividades se pueden realizar a niveles fracciónales.

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2.6 Modelos matemáticos

Existen muchos problemas administrativos que se ajustan a este molde de tratar de

minimizar o maximizar un objetivo que está sujeto a una lista de restricciones. Un

fabricante, al planear la producción futura, busca un costo mínimo al mismo tiempo

cómo cumplir restricciones sobre la demanda del producto, la capacidad de

producción, los inventarios, el nivel de empleados y la tecnología. La PL se ha aplicado

con éxito a estos y otros muchos problemas. Para ello emplea modelos matemáticos.

Un modelo matemático consta al menos de tres conjuntos básicos de elementos:

a) Variables de decisión y parámetros

Las variables de decisión son incógnitas que deben ser determinadas a partir de la

solución del modelo. Los parámetros representan los valores conocidos del

sistema o bien que se pueden controlar.

b) Restricciones

Las restricciones son relaciones entre las variables de decisión y magnitudes que

dan sentido a la solución del problema y las acotan a valores factibles. Por

ejemplo si una de las variables de decisión representa el número de empleados de

un taller, es evidente que el valor de esa variable no puede ser negativa.

c) Función Objetivo

La función objetivo es una relación matemática entre las variables de decisión,

parámetros y una magnitud que representa el objetivo o producto del sistema. Por

ejemplo si el objetivo del sistema es minimizar los costos de operación, la función

objetivo debe expresar la relación entre el costo y las variables de decisión.

La solución ÓPTIMA se obtiene cuando el valor del costo sea mínimo para un

conjunto de valores factibles de las variables.

Es decir hay que determinar las variables x1, x2, ..., xn que optimicen el valor

de Z = f(x1, x2, ..., xn) sujeto a restricciones de la forma g(x1, x2, ..., xn) b.

Donde x1, x2, ..., xn son las variables de decisión Z es la función objetivo, f es una

función matemática.

2.7 Formulación de modelos de programación lineal

Como su nombre lo indica, la formulación estriba en pasar directamente del sistema

asumido al modelo de PL. Para tal efecto, se propone el siguiente orden: definir el

objetivo, definir las variables de decisión, enseguida las restricciones estructurales y

finalmente establecer las condiciones técnicas

2.7.1 Pasos a seguir

a) Definir el Objetivo: Consiste en definir un criterio de optimización el cual puede ser

Maximización o Minimización dependiendo del problema que se desee resolver, el cual es

una función lineal de las diferentes actividades del problema. Bajo el criterio de

optimización definido se pretende medir la contribución de las soluciones factibles que

puedan obtenerse y determinar la óptima.

b) Definir las variables de decisión: Son las incógnitas del problema básicamente

consisten en los niveles de todas las Actividades que pueden llevarse a cabo en el

problema a formular, estas pueden ser de tantos tipos diferentes como sea necesario, e

incluir tantos subíndices como sea requerido.

c) Definir las restricciones: Son los diferentes requisitos que debe cumplir cualquier

solución para que pueda llevarse a cabo. En cierta manera son las limitantes en los

valores de los niveles de las diferentes actividades (variables). Las restricciones más

comunes son de seis tipos, las cuales se listan a continuación:

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Restricción de capacidad: limitan el valor de las variables debido a la

disponibilidad de horas-hombre, horas-máquina, espacio, etc.

Restricción de mercado: Surge de los valores máximos y mínimos en las ventas o

el uso del producto o actividad a realizar.

Restricción de entradas: Son limitantes debido a la escasees de materias primas,

mano de obra, dinero, etc.

Restricción de calidad: Son las restricciones que limitan las mezclas de

ingredientes, definiendo usualmente la calidad de los artículos a manufacturar.

Restricciones de balance de material: Estas son las restricciones que definen las

salidas de un proceso en función de las entradas, tomando en cuenta

generalmente cierto porcentaje de merma o desperdicio.

Restricciones Internas: Son las que definen a una variable dada, en la

formulación interna del problema, un ejemplo tipo, es el de inventario.

Condiciones Técnicas: En este apartado se establece que todas las variables

deben tomar valores no negativos.

2.7.2 Casos de aplicación

En cada uno de los enunciados de problemas dados a continuación, se debe

trasladar la información del sistema a un modelo que lo represente, es decir,

formular y construir el Modelo Lineal respectivo.

CASO 1.

Una empresa fabrica los productos A, B y C y puede vender todo lo que produzca a

los siguientes precios: A, S / . 700.00, cada unidad; B, S / . 3 500; C, S / 7 000.

Producir cada unidad de A necesita 1 hora de trabajo, 2 horas de acabado y 3

unidades de materia prima. Producir una unidad de B necesita 2 horas de trabajo, 3

horas de acabado y 2.5 unidades de materia prima. Producir una unidad de C necesita

3 horas de trabajo, 1 hora de acabado y 4 unidades de materia prima. Para este

período de planificación están disponibles 100 horas de trabajo, 200 horas de

acabado y 600 unidades de materia prima.

Con base en la teoría señalada, para formular y construir el modelo, se tiene lo

siguiente:

a) Debe definirse claramente a las variables de decisión y expresarlas

simbólicamente.

X1: unidades a producir de producto A

X2: unidades a producir de producto B Estos son insumos controlables

X3: unidades a producir de producto C

b) Debe Definirse claramente el objetivo y expresarse como función lineal.

Objetivo: Maximizar ingresos de venta

Max S/. 700 por unidad * X1 unidades de A + 3.500 X2 + 7.000 X3

Escribir el objetivo de esta forma es expresar en unidades físicas uno de sus

términos. Este término presenta la información específica de lo que contiene y

permite confirmar la esencia física de lo que se está sumando y también que ello

es consecuente con lo que se está obteniendo en el total de la ecuación; en este

caso, ingreso en Nuevos soles.

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c) Deben definirse las restricciones y expresarlas como funciones lineales.

Restricción 1: Disponibilidad limitada de horas de trabajo.

1 hora de trabajo X1(unid. de producto A) + 2 X2 + 3 X3 ≤ 100 horas de trabajo

Unidad de A

Restricción 2: Horas de acabado disponibles en este período:

2 X1 + 3 hora de acabado X2 (unid. de producto B) + 1 X3 ≤ 200 horas de acabado

Unidad de B

Restricción 3: Disponibilidad limitada de unidades de materia prima:

3X1 + 2.5 X2 + 4 unid. materia prima X3 (unid. de prod. B) ≤ 600 Unid de Materia

prima

Unidad de B

De esta forma las restricciones están expresadas en unidades físicas. Se destaca en

cada una de ellas alguno de sus términos, con indicación de lo que representa. Esto

confirma que lo que se está sumando es consecuente con lo que se está obteniendo

del lado derecho de la ecuación.

Finalmente, incorporando la restricción de no-negatividad de las variables de decisión,

se resume así el modelo:

Max z: 700 X1 + 3.500 X2 + 7.000 X3

Sujeto a:

1X1 + 2 X2 + 3 X3 ≤ 100

2X1 + 3 X2 + 1 X3 ≤ 200

3X1 + 2.5 X2 + 4 X3 ≤ 600

X1, X2, X3 ≥ 0

CASO 2.

La Cámara de Industriales de la región periódicamente promueve servicios públicos,

seminarios y programas. Actualmente los planes de promoción para este año están

en marcha. Los medios alternativos para realizar la publicidad así como los costos y

la audiencia estimados por unidad de publicidad, además de la cantidad máxima de

unidades de publicidad en que puede ser usado cada medio se muestran a

continuación.

Restricciones Televisión Radio Prensa

Audiencia por unidad de publicidad 100.000 18.000 40.000

Costo por unidad de publicidad $ 2.000 $ 300 $ 600

Uso máximo del medio 10 20 10

Para lograr un uso balanceado de los medios, la publicidad en radio no debe exceder

el 50% del total de unidades de publicidad autorizados. Además la cantidad de

unidades solicitadas en televisión debe ser al menos 10% del total autorizado. El

presupuesto total para promociones se ha limitado a $18.500.

pág. 16


Utilizando el mismo proceso teórico, se tiene lo siguiente:

Variables de decisión:

X1: unidades de publicidad a contratar en televisión.

X2: unidades de publicidad a contratar en radio.

X3: unidades de publicidad a contratar en prensa.

Objetivo: Maximizar la audiencia total o cantidad de personas que ven la publicidad

Max 100.000 personas X1 Unid en t.v + 18.000 X2 + 40.000 X3

Unid en t.v

Restricción 1: Disponibilidad limitada de presupuesto para la publicidad:

2.000 X1 + 300 X2 + 600 X3 ≤ 18.500

Restricciones 2, 3 y 4: Uso máximo de medios para la publicidad:

X1 ≤ 10 unidades de publicidad a contratar en t.v

X2 ≤ 20 unidades de publicidad a contratar en radio

X3 ≤ 10 unidades de publicidad a contratar en prensa

Restricción 5: Publicidad limitada a un máximo de 50% en radio, con relación al total

de unidades a contratar:

X2 ≤ 0.5 (X1+ X2+ X3)

Finalmente quedará expresada así:

- 0.5 X1 + 0.5 X2 - 0.5 X3 ≤ 0

Restricción 6: La cantidad de unidades solicitadas en televisión debe ser al menos

10% del total autorizado

X1 ≥ 0.10 (X1+ X2+ X3)

Finalmente quedará expresada así: 0.9 X1 – 0.1 X2 - 0.1 X3 ≥ 0

Posteriormente puede resumir el modelo agregándole la restricción de no-negatividad

de las variables

CASO 3.

El Banco Internacional abre de lunes a viernes de 8 a.m. a 4 p.m. De experiencias

pasadas sabe que va a necesitar la cantidad de cajeros señalados en la tabla dada.

Hay dos tipos de cajeros: los que trabajan tiempo completo de 8 am a 4 pm, los

cinco días, excepto la hora que utilizan para almorzar. El Banco determina cuándo

debe almorzar cada cajero, pero debe ser entre las 12 m y la 1 p.m. o entre la 1

p.m. y las 2 p.m. A los empleados a tiempo completo se les paga S/. 1.800 la hora

(incluida la hora de almorzar). También hay trabajadores a tiempo parcial que

deben trabajar exactamente 3 horas consecutivas cada día y se le paga S/. 1.100 la

hora, sin ningún otro pago. A fin de mantener la calidad del servicio el Banco desea

tener un máximo de 5 cajeros contratados a tiempo parcial. Se desea minimizar los

costos de empleados contratados.

Tiempo 8 - 9

a.m.

9 - 10

a.m.

10 - 11

a.m.

11 -

12 m.

12 - 1

p.m.

1 - 2

p.m.

2 - 3

p.m.

3 - 4

p.m.

Cajeros

Requeridos 4 3 4 6 5 6 8 8

pág. 17


a) Variables de decisión:

X1: Empleados a tiempo completo que toman su almuerzo de 12 m- 1pm

X2: Empleados a tiempo completo que toman su almuerzo de 1 pm-2 pm

X3: Empleados a tiempo parcial que empiezan a trabajar a la 8 am




X7: Empleados a tiempo parcial que empiezan a trabajar a la 12 m

X8: Empleados a tiempo parcial que empiezan a trabajar a la 1 pm

Empleados a tiempo parcial que trabajan desde la 1pm hasta que cierre y por lo

tanto no se necesitan empleados a tiempo parcial que empiecen a las 2 pm o las 3

p.m.

b) Objetivo: Minimizar Costos de contratación

Min 14.400 (X1+ X2) + 3.300(X3+ X4 + X5 + X6 + X7 + X8)

c) Restricciones de requerimientos de empleados totales en los ocho horarios

señalados (8 restricciones)

Restricción de empleados en el horario de 8 am - 9 a..m.

X1 + X2 + X3 ≥ 4

Restricción de empleados en el horario de 9 a.m. - 10 a..m.

X1 + X2 + X3 + X4 ≥ 3


X1 + X2 + X3 + X4 + X5 ≥ 4


X1 + X2 + X4 + X5 + X6 ≥ 6

Restricción de empleados en el horario de 12m - 1 p..m.

X2 + X5 + X6 + X7 ≥ 5

Restricción de empleados en el horario de 1 p.m. - 2 p.m.

X1 + X6 + X7 + X8 ≥ 6


X1 + X2 + X7 + X8 ≥ 8


X1 + X2 + X8 ≥ 8

Restricción de cantidad máxima de 5 cajeros contratados a tiempo parcial:

X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8 ≤ 5

Restricción de no negatividad de las variables: Todas las variables no negativas

NOTA: Para obtener las restricciones puede elaborar un cuadro de doble entrada:

Una entrada conteniendo cada Tipo de trabajador y la otra con las horas durante

las cuales existen requerimientos específicos; esta última se dividirá en 8 columnas

de 8 horarios, al final de las cuales está el total de empleados requeridos en cada uno

de ellos.

pág. 18


Caso 3:

Sean x1 y x2 la cantidad a producirse de dos productos 1 y 2 respectivamente, los

costos de producción de ambos productos, S/. 3 para el producto 1 y S/. 5 para el

producto 2. Si el tiempo total de producción esta restringido a 500 horas y el tiempo

de producción son de 8 horas por unidad para el producto 1 y de 7 horas por unidad

para el producto 2, entonces podemos representar el modelo como:

C = 3x1 + 5x2 (Costo total de Producción)

Sujeto a:

8x1 + 7x2 500

x1 0 y x2 0

Caso 4:

Un fabricante de dos productos sillas y mesas y dispone de 6 pies de madera y 28

horas para su ensamblaje, luna silla requiere 2 pies de madera y 7 horas de

ensamblaje, una mesa requiere 1 pie de madera y 8 horas de ensamblaje, los precios

de los productos son S/. 120 y S/. 80 respectivamente. ¿Cuantas sillas y cuantas

mesas se deben fabricar para maximizar su ingreso?

Sea x1 y x2 la cantidad de sillas y mesas a producir respectivamente

El objetivo se expresa como: Maximizar z = 120x1 + 80x2

El fabricante está sujeto a dos restricciones:

- De Material : 2x1 + x2 6

- De Horas : 7x1 + 8x2 28

- De no negatividad x1 0 y x2 0

- Además no se venden productos no terminados por lo tanto las

variables x1 y x2 deben ser enteras.

Recomendaciones finales.

Para formular un problema en forma matemática, deben expresarse afirmaciones

lógicas en términos matemáticos. Esto se realiza cuando se resuelven “problemas

hablados” al estudiar un curso de álgebra. Algo muy parecido sucede aquí al formular

las restricciones. Por ejemplo, considérese la siguiente afirmación: Para fabricar el

producto A se emplea 3 horas por unidad y para B se emplea 2 horas por unidad. Si

deben usarse todas las 100 horas- hombre, disponibles, la restricción será:

3A + 2B = 100

Sin embargo, en la mayoría de las situaciones de negocios, no es obligatorio que se

usen todos los recursos (en este caso, horas de mano de obra). Más bien la limitación

es que se use, cuando mucho, lo que se tiene disponible. Para este caso, la afirmación

anterior puede escribirse como una desigualdad:

3A + 2B 100

Para que sea aceptable para PL, cada restricción debe ser una suma de variables con

exponente 1. Además, la forma estándar para una restricción pone a todas las

variables del lado izquierdo y sólo una constante positiva o cero del lado derecho. Esto

puede requerir algún reacomodo de los términos. Si, por ejemplo, la restricción es que

A debe ser por los menos el doble de B, esto puede escribirse como:

A 2B ó A - 2B 0

pág. 19


La metodología de PL requiere que todas las variables sean positivas o cero, es decir,

no negativas. Para la mayoría de los problemas esto es real, no se querría una

solución que diga: prodúzcanse menos dos cajas o contrátense menos cuatro

personas.

Mientras que no existe un límite en el número de restricciones que puede tener un

problema de PL, sólo puede haber un objetivo. La forma matemática del objetivo se

llama función objetivo. Debe llevar consigo el maximizar o minimizar alguna medida

numérica. Podría ser maximizar el rendimiento, la ganancia, la contribución marginal o

los contactos con los clientes. Podría ser minimizar el costo, el número de empleados

o el material de desperdicio. Con frecuencia el objetivo es evidente al observar el

problema.

Como el valor de la función objetivo no se conoce hasta que se resuelve el problema,

se usa la letra Z para representarlo. La función objetivo tendrá, entonces, la forma:

Maximizar Z = 3A + 2B ó

Minimizar Z = 3x1 + 2x2

Formular los modelos de programación lineal.

PROBLEMA N° 01

Un herrero con 80 kgs. de acero y 120 kgs. de aluminio quiere hacer bicicletas de

paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 2.000 y 1.500 Euros cada

una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 kg. De acero y 3 kgs

de aluminio, y para la de montaña 2 kgs. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de

paseo y de montaña venderá?

PROBLEMA N° 02

Un autobús Caracas-Maracaibo ofrece plazas para fumadores al precio de 100 euros y

a no fumadores al precio de 60 euros. Al no fumador se le deja llevar 50 kgs. de peso

y al fumador 20 kgs. Si el autobús tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta

3.000 kg. ¿Cuál ha de ser la oferta de plazas de la compañía para cada tipo de

pasajeros, con la finalidad de optimizar el beneficio?

PROBLEMA N° 03

A una persona le tocan 10 millones de euros en una lotería y le aconsejan que los

invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero

producen un beneficio del 10 %. Las de tipo B son más seguras, pero producen sólo el

7% anual. Después de varias deliberaciones decide invertir como máximo 6 millones

en la compra de acciones A y por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B.

Además, decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B.

¿Cómo deberá invertir 10 millones para que el beneficio anual sea máximo?

PROBLEMA N° 04

Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La

empresa A le paga 5 euros por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos

más grandes, le paga 7 euros por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los

impresos A, en la que caben 120 y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha

calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se

pregunta el estudiante es: ¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para

que su beneficio diario sea máximo?

Actividad

pág. 20


Tema Nº 3: METODOS DE SOLUCION DE PROBLEMAS DE PL

3.1 Método gráfico

En el análisis cuantitativo, una vez que se ha formulado y construido un modelo lineal

para resolver un problema existente, en un sistema cualquiera, es necesario resolverlo.

La solución de un modelo lineal muestra siempre un conjunto convexo delimitado por las

restricciones del mismo y en el cual, si existe solución posible, al menos uno de sus

puntos extremos es la solución óptima. Un punto extremo existe en la intersección de, al

menos, dos rectas.

El método gráfico se usa para resolver modelos lineales con dos variables y muestra el

conjunto convexo que constituye la denominada región solución y el(los) punto(s)

extremo(s) que proporciona(n) la solución del modelo. Permite conocer la base

matemática de la solución de modelos lineales, los conjuntos convexos, y observar

gráficamente situaciones que se presentan en modelos de cualquier tamaño. Esto ayuda

a la comprensión de la Programación Lineal.

El proceso para trabajar con el Método Gráfico sigue los pasos siguientes:

a) Graficar las restricciones como igualdades y luego determinar el área

correspondiente a la desigualdad, sombreando el espacio correspondiente.

b) Determinar el área común a todas las restricciones.

c) Evaluar la Función Objetivo en cada punto extremo del espacio de soluciones

posibles. El punto o los puntos extremos en el que se obtenga el mejor valor,

determinarán la solución del modelo.

d) Existe un procedimiento alterno al punto c), señalado en el Método Gráfico, para

obtener la solución del modelo. Este procedimiento alterno consiste en graficar la

Función Objetivo con un valor arbitrario dentro de la región solución. Luego se

desplaza paralelamente en la dirección que incremente su valor (si está

maximizando) o decrezca su valor (si está minimizando). El punto o los puntos

extremos que toque esa Función Objetivo antes de salir totalmente fuera de la

región de soluciones posibles determinarán el óptimo, o solución del modelo.

3.1.1 Criterios a considerar

Al conjunto convexo de solución se le llama región de soluciones posibles, porque

todos los untos de esa región satisfacen TODAS las restricciones del modelo.

Un modelo tiene solución óptima UNICA cuando sólo una combinación de

variables proporciona el mejor valor para el objetivo; se reconoce en el gráfico

porque un único punto extremo provee el mejor valor del objetivo o un único

punto extremo limita el valor de la recta objetivo.

Un modelo tiene soluciones óptimas ALTERNAS cuando más de una combinación

de variables proporciona el óptimo valor del objetivo. Se reconoce en el gráfico

porque más de un punto extremo proporciona el óptimo valor del objetivo o más

de un punto extremo limita el valor de la recta objetivo. La recta objetivo al

desplazarse dentro de la región solución cae paralelamente sobre alguna

restricción antes de salir totalmente de la región solución. Un modelo NO TIENE

SOLUCIÓN POSIBLE cuando no hay alguna combinación de variables que

satisfaga todas las restricciones. Se debe a la presencia de restricciones

inconsistentes en el modelo. Se reconocen en el gráfico porque no existe ninguna

región común para todas las restricciones.

Un modelo tiene SOLUCIÓN CON VALOR INFINITO cuando hay combinaciones de

variables que proporcionan valor infinito para el objetivo y no hay alguna

combinación que limite el valor del objetivo a un valor finito. Esto se debe a la

pág. 21


omisión de restricciones importantes, del sistema, en el modelo. Estas

restricciones limitarían las variables de decisión a valores factibles. Se reconocen

en el gráfico porque el espacio de solución es abierto, no acotado, no limitado y

la Función Objetivo puede moverse dentro de esa región hasta el infinito sin que

un punto extremo, con valor finito, limite su valor.

Un modelo tiene ESPACIO DE SOLUCION NO ACOTADO y SOLUCION DE VALOR

FINITO cuando existen combinaciones de variables que dan un valor infinito al

objetivo pero existe al menos una combinación de variables que le proporciona

un valor finito. Se reconocen en el gráfico porque la región de soluciones posibles

es abierta, no limitada pero hay por lo menos un punto extremo que limita el

valor del objetivo.

Un modelo tiene SOLUCION DEGENERADA cuando existen combinaciones de

variables que tienen más de la cantidad normal (una por cada restricción) de

variables con valor cero. Esto se debe a la presencia de restricciones redundantes

en el modelo. Más de la cantidad normal de variables (una por cada restricción

del modelo) debe tomar valor cero para satisfacer a mayor cantidad de

restricciones en el punto óptimo. Se reconocen en el gráfico porque más de dos

restricciones cruzan sobre el punto extremo óptimo.

3.1.2 Casos de aplicación

CASO 1.

a) Dibuja el recinto formado por los puntos que cumplen las siguientes condiciones:

b) Indica si los puntos (0, 0), (2, 1) y (1, 2) forman parte de las soluciones del

sistema anterior.

Solución:

Tomamos un punto cualquiera; por ejemplo el (1, 0), para comprobar cuáles

son los puntos que cumplen las desigualdades propuestas.

El recinto buscado es:

03

1

3

xy

xy

y

xyxy

xyxy

y

303

11

3

rectas las mosRepresentaa)

pág. 22


A la vista de la gráfica anterior, tenemos que (0, 0) y (2, 1) no son soluciones

del sistema, pero (1, 2) sí lo es.

CASO 2.

Maximiza la función z = x + y, sujeta a las siguientes restricciones:

Solución:

Se halla la región que cumple las condiciones del problema, teniendo en cuenta

que: x ≥ 0 e y ≥ 0.

Representamos la dirección de las rectas z = x + y, dibujando la que pasa por

el origen de coordenadas: x + y = 0

el máximo, que vale: z = 8 + 4 = 12

0

0

2832

4434

263

y

x

yx

yx

yx

3

2282832

3

4444434

3

26263

rectas las mosRepresenta

xyyx

xyyx

xyyx

aproporcion que el es ,4,8 decir, es 2832

4434 de ónintersecci , punto El

M

yx

yxM

pág. 23


CASO 3.

En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima

de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado solo

se encuentran dos clases de compuestos: el tipo I con una composición de una unidad

de A y cinco de B, y el tipo II con una composición de cinco unidades de A y una de B.

El precio del tipo I es de 10 euros y el del tipo II es de 30 euros. Se pregunta:

¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un

coste mínimo?

Solución:

Llamamos x a las unidades que se compran de tipo I e y a las que se compran

de tipo II.

Resumamos los datos en una tabla:

Las restricciones son:

La función que nos da el coste es z = 10x + 30y = 10(x + 3y).

Debemos hacer mínima esta función, sujeta a las restricciones anteriores.

Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones, y la recta 10(x + 3y) =

0

x + 3y = 0, que nos da la dirección de las rectas z = 10(x + 3y).

0

0

155

155

y

x

yx

yx

pág. 24


Por tanto, hay que comprar 2,5 de tipo I y 2,5 de tipo II. El precio en este caso

será de z = 10(2,5 + 3x2,5) = 100 soles.

CASO 4.

Disponemos de 210 000 soles para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de

acciones. Las del tipo A que rinden el 10% y las de tipo B que rinde el 8%. Decidimos

invertir un máximo de 130 000 soles en las de tipo A y, como mínimo, 6 000 soles en

las de tipo B. además, la inversión en las del tipo A debe ser menor o igual que el

doble de la inversión en B.

¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener máximo interés anual?

Solución:

Llamamos x al dinero que invertimos en acciones de tipo A e y al que invertimos

en las de tipo B. Resumimos los datos en una tabla:

Las restricciones son:

La función que nos da el rendimiento total es:

Debemos maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores.

Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones (la unidad es 10 000)

2,5).(2,5; en decir, es ;

155

155 de ónintersecci de punto el en alcanza se mínimo El

yx

yx

0

0

2

0006

000130

000210

y

x

yx

y

x

yx

.4550

145

100

2810

100

108,01,0 yxyxyxyxz

rectas las de dirección la da nos que ,04504550

1 recta lay yxyx

.4550

1yxz

pág. 25


El máximo se alcanza en el punto (13, 8).

Por tanto, debemos invertir 130 000 soles en acciones del tipo A y 80 000 soles

en las de tipo B. En este caso, el beneficio anual será de

CASO 5.

a) Representa el recinto que cumple estas restricciones:

b) Da tres puntos que sean solución del sistema anterior.

Solución:

Tomamos un punto cualquiera, por ejemplo el (0, 0), para comprobar cuáles

son los puntos que cumplen las desigualdades propuestas.

El recinto buscado es:

.euros 40019000804000130550

1z

0

0

82

93

y

x

yx

yx

0

0

2882

3

993

rectas las mosRepresentaa)

y

x

xyyx

xyyx

pág. 26


b) Por ejemplo: (1, 1), (2, 2) y (2, 0).

3.1.3 Situaciones especiales

a) Modelos con soluciones óptimas alternas o múltiples.

Max 6X1+ 2X2 (Beneficio) Sujetos a:

3 X1 + X2 ≤ 48 horas de trabajo

3 X1 + 4 X2 ≤ 120 unidades de materia Prima

3 X1 + X2 ≥ 36 horas de supervisión.

X1, X2 ≥ 0

El modelo es formulado por una empresa que desea determinar la cantidad de

unidades de producto 1 (X1) y producto 2 (X2) a fabricar para satisfacer el objetivo

establecido de maximizar el beneficio. El monto total disponible de horas de trabajo

para este período es de 48. La disponibilidad de materia prima es de 120 unidades y

la cantidad mínima de horas disponibles para supervisión es de 36 horas.

Graficar las restricciones y obtener el espacio de solución se efectúa en forma similar

al proceso efectuado en el caso 1 y por lo tanto no se repetirán las instrucciones.

Los puntos extremos del conjunto convexo son: A(16,0), B(8,24), C(8/3,28) y

D(12,0).

Dos puntos extremos proporcionan el máximo valor del objetivo, los puntos A y

B. Esto permite afirmar que existen soluciones óptimas Alternas para este

modelo. Son óptimos todos los puntos sobre el segmento de línea AB que

limita el conjunto convexo de solución y corresponden a la primera restricción.

Si utiliza el método de graficar la Función Objetivo con un valor arbitrario, 48 por

ejemplo, podrá observar que la línea es completamente paralela a la primera y

tercera restricción. Al desplazarla paralelamente hacia su optimización, hacia

arriba porque se está maximizando, finalmente caerá completamente sobre la

primera restricción, de horas de trabajo, antes de salir totalmente fuera de la

región solución. Dos puntos extremos estarían limitando el crecimiento del

objetivo, el punto B y el punto A.

“Cualquier recta que tenga ratio de coeficientes igual al de otra recta, es

paralela a esa otra recta”

pág. 27


La ventaja que presentan los modelos con este Tipo de solución es que se

puede elegir cualquiera de las soluciones óptimas, porque todas presentan el

mismo valor óptimo para el objetivo. Por ejemplo, si una de las soluciones tiene

valores fraccionales para las variables y no puede trabajarse con valores

fraccionales, el que toma la decisión seleccionará una solución con valores

enteros.

Es una solución óptima alterna porque existe más de una combinación de

productos 1 y 2 a producir, que proporcionan el mismo valor óptimo para el

beneficio.

Se reconoce en el gráfico porque más de un punto extremo limita el

valor óptimo del objetivo o proporciona su valor óptimo, los puntos: A

(16,0) y punto B (8,24). Por lo tanto, todos los puntos sobre la recta AB son

también óptimos. Debe seleccionar una de todas las soluciones. Suponga que

elige la del punto extremo B (8, 24). En este caso la decisión sería: Producir 8

unidades de producto1 y 24 unidades del producto 2 para maximizar el beneficio

en 96 unidades monetarias: 6 (8) + 2 (24) = 96. Este valor para la Función

Objetivo también se obtendría en el otro punto extremo A (16, 0) y en

cualquier punto sobre la recta AB en la región solución.

Considerando las restricciones:

Restricción 1: 3 (8) + 1 ( 24) = 48 48 = 48

Se observa que se cumple como igualdad. Esto indica que con esa decisión

óptima se utiliza totalmente el monto máximo de horas de trabajo disponible

para la producción.

Restricción 2: 3 (8) + 4 ( 24) = 120

Cumple exactamente, es decir como una igualdad, indica que con esa decisión

óptima se utilizará totalmente el monto máximo disponible de Materia Prima.

Restricción 3: 3 (8) + 1(24) > 36 48 > 36

Cumple como una desigualdad. Esto indica que con esa decisión óptima se utilizan

12 horas sobre el monto mínimo disponible de horas de supervisión. Se utilizan

48 horas.

pág. 28


b) Modelos sin solución posible.

No se definirán los elementos del modelo porque no habrá una solución posible para

tomar alguna decisión.

Max 40 X1 + 30 X2

Sujeto a:

2/5 X1 + 1/2X2 ≤ 20

1/5 X2 ≤ 5

3/5 X1 + 3/10

X2

≤ 21

X1 ≥ 30

X2 ≥ 15

X1, X2 ≥ 0

Puede observarse en el, que mientras las 3 primeras restricciones delimitan un

espacio en común, las 2 últimas delimitan otro espacio común para ellas. Por lo

tanto, no hay una región de puntos comunes que satisfagan ambos conjuntos de

restricciones y el modelo no tendrá solución posible. En estos casos es

necesario determinar cuáles son las restricciones inconsistentes para el modelo.

Es decir, cuáles son realmente válidas para el modelo.

Observe que si las variables X1 y X2 toman el valor mínimo que pueden tomar en

las dos últimas restricciones, es decir X1 = 30 y X2 = 15 entonces la tercera

restricción no se cumpliría. Esto es una inconsistencia.

Estos modelos no deben existir en el mundo real. Si el sistema es real ,

entonces el modelo debe representarlo de tal manera que permita obtener una

solución posible.

c) Modelos que presentan solución con valor infinito

Max X1+ 2X2

Sujeto a:

-4 X1 + 3 X2 ≤ 3

X1 - X2 ≤ 3

X1, X2 ≥ 0

pág. 29


No se definirán los elementos del modelo porque no habrá una solución para

tomar alguna decisión.

En el gráfico, el conjunto convexo llamado región solución, que contiene todas las

soluciones posibles, es un espacio abierto.

Tiene tres puntos extremos A, B y C, pero ninguno delimita el crecimiento del

objetivo. Esta función puede tomar valores infinitos ya que las variables

conforman puntos con valores infinitos dentro de la región factible y ninguno

proporciona un valor finito óptimo. Por tanto, no es lógico encontrar un objetivo

de valor infinito.

En estos casos debe buscarse dentro del sistema, la restricción o las

restricciones que se omitieron modelo y que limitarían las variables de decisión a

valores factibles.

d) Modelos con espacio de solución no acotado y solución de valor finito.

Min 0.06 X1+ 0.05 X2 (costos)

Sujeto a:

0.30 X1 + 0.20 X2 ≥ 500 Proteína

0.15 X1 + 0.30 X2 ≥ 300 Grasa

X1, X2 ≥ 0

El modelo es formulado para una guardería de perros que se destaca por dar

una alimentación balanceada a las mascotas. El alimento lo elabora mezclando 2

marcas conocidas de alimentos que llamaremos X1 y X2. Se desea determinar

la cantidad de gramos de X1 y X2 a mezclar en el alimento, con el objetivo

establecido de minimizar los costos de la mezcla. Esta, debe contener al menos

500 gramos de proteínas y al menos 300 gramos de grasa por día. Los

porcentajes de contenido de grasa y proteína de cada gramo de X1 y X2 se

conocen y son usados en el modelo.

pág. 30


El espacio de solución obtenido se muestra en el gráfico. Se observa una región

abierta con las soluciones posibles y puntos extremos A, B, C. Esto indica que

pueden existir combinaciones de cantidad de gramos de alimento X1 y X2 con

valor infinito, en este caso los costos serían infinitos. Esto es posible porque no se

está limitando directamente la cantidad de X1 y X2 en alguna restricción

específica y las restricciones existentes son todas de Tipo “que”.

Pero, mientras exista al menos una combinación con valor finito, en algún punto

extremo que limite el valor del objetivo, a esa combinación se le considerará

óptima. En los casos de región abierta de soluciones posibles, es conveniente

entonces encontrar el valor óptimo con el procedimiento de graficar la Función

Objetivo.

Al graficar la Función Objetivo, con un valor arbitrario de 120, se observa que al

desplazarla paralelamente hacia su optimización, hacia abajo porque se está

minimizando, la línea cae sobre el punto B, antes de salir completamente de la

región solución. A este punto se le considerará punto extremo óptimo.

La solución óptima es Única con los valores: X1 = 1.500, X2 = 250 F.O. =

102.5

e) Modelos con solución degenerada

Min 2500 X + 2200 Y (costos)

Sujeto a:

X + Y ≤ 10 Empleados temporales

300 X + 400 Y ≥ 3.400 cartas

80 X + 50 Y ≥ 680 paquetes

X, Y ≥ 0

El modelo es formulado por una oficina de correos que puede contratar hasta 10

empleados para manejar el correo. La oficina conoce que un empleado (hombre)

puede manejar 300 cartas y 80 paquetes por día y una empleada (mujer) puede

manejar 400 cartas y 50 paquetes en un día. No menos de 3.400 cartas y de 680

paquetes se esperan por día. A cada empleado hombre (X), se le paga $ 2.500 por

día y a una empleada mujer (Y) se le paga $ 2.200 por día.

Se quiere determinar la cantidad de hombres (X) y mujeres (Y) que se deben

contratar para satisfacer las restricciones y lograr el objetivo establecido de

minimizar los costos de la nómina.

pág. 31


Siguiendo el procedimiento el gráfico obtenido es:

Se observa una región de soluciones posibles de un solo punto común para todas las

restricciones y por lo tanto un único punto extremo A.

Esto indica que existe una única combinación posible y además óptima, de cantidad

de empleados X e Y que satisface las restricciones y optimiza el objetivo.

Conociendo la definición del modelo, se plantean las siguientes consultas:

a) ¿Qué representa el coeficiente de la variable Y en la Función Objetivo y en la

segunda restricción?

b) ¿Qué Tipo de solución presenta el modelo?, ¿Por qué? y ¿Cómo se reconoce en el

gráfico?

c) ¿Cuál es la solución y la decisión que se recomendaría con la solución encontrada?

d) Analice las restricciones en el punto óptimo y presente la información que se

obtiene.

e) ¿Qué efecto tendría, sobre la solución óptima encontrada, un cambio en el

número de cartas esperadas. Suponga que cambia a 2.400. Explique y muestre

sobre el gráfico.

Respuestas:

a) El coeficiente de la variable Y en la Función Objetivo representa lo que se le paga

diariamente a cada trabajadora (mujer), es decir, el costo de contratar una

trabajadora al día es de Bs. 2.200. En la segunda restricción representa la

cantidad de cartas que puede manejar al día cada mujer contratada, es decir, 400

cartas al día puede manejar cada mujer contratada.

b) Única y Degenerada. Normalmente la solución de un modelo contiene una

variable (Estructural o de holgura) con valor mayor que cero por cada restricción

del modelo. En este caso, más variables de las normales toman valor cero, para

poder satisfacer mayor numero de restricciones, en el punto óptimo. Hay

entonces menor cantidad de variables con valor mayor que cero con relación al

número de restricciones. Por eso se le llama Solución Degenerada en

contraposición a la Solución Normal. Además es única porque una sola

combinación de empleados, hombres y mujeres, proporciona el mínimo costo. Se

debe a la presencia de restricciones redundantes en el modelo y se reconoce en

pág. 32


el gráfico porque más de dos restricciones cruzan sobre el punto óptimo. Del total

de restricciones que cruzan el punto óptimo, sólo dos son necesarias para calcular

sus coordenadas. En este caso sólo hay una restricción redundante, por ello la

Solución es Degenerada. Se reconoce que es única porque hay un solo punto

extremo que proporciona el valor óptimo del objetivo.

c) La solución es X = 6, Y = 4, F.O. = 23800. La decisión sería contratar 6

empleados hombres y 4 mujeres para minimizar los costos diarios de

contratación en 23.800 unidades monetarias: 2500(6) + 2200 (4).

d)

Restr i cc ión 1

X + Y ≤10

6 + 4 = 10 De esta manera se contrata el máximo de empleados

que se estaba dispuesto a contratar.

Restr i cc ión 2

300 X + 400 Y ≥ 3400

300(6) + 400(4) = 3400 Así se manejará el mínimo de cartas.

Restr i cc ión 3

80 X + 50 Y ≥ 680

80(6) + 50 (4) = 680 Se manejará el mínimo de paquetes.

e) Se rea l i za e l análisis de sens i b i l i dad .

Sobre el gráfico está graficada la nueva restricción

300X + 400 Y ≥ 2400

pág. 33


Se observa que no cambia el espacio de soluciones posibles y por lo tanto la

solución óptima seguirá siendo la misma.

En general, disminuir la cantidad del lado derecho de una restricción Tipo ≥ ,

es relajar la restricción y hacerla más fácil de satisfacer.

Esto puede expandir el conjunto convexo o dejarlo igual. En este caso quedó

igual. Esto se estudia más detalladamente en Análisis de Sensibilidad.

Solucionar mediante el Método Gráfico los siguientes programas lineales

a) Halla el mínimo de la función z = 3x + 2y con las siguientes restricciones:

b) Dibuja el recinto definido por:

Halla los vértices del recinto anterior.

Halla el máximo de la función z = 4y - x, sujeta a las restricciones propuestas.

¿En qué punto del recinto alcanza dicho máximo?

c) Hallar la solución:

Maximizar las ganancias equivale a maximizar los ingresos.

La función que nos da los ingresos es z = 30x y = 10(3x y). Debemos

obtener el máximo de esta función sujeta a las restricciones anteriores.

3.2 El Método SIMPLEX

Los problemas reales de programación lineal generalmente tienen variables de

decisión y muchas restricciones. Tales problemas no pueden ser resueltos

gráficamente. Se usan algoritmos tales como el simplex. El método simplex es un

procedimiento iterativo que progresivamente permite obtener una solución óptima

para los problemas de programación lineal. Existen numerosos programas tanto para

computadoras centrales como para personales. Aunque el método simplex es

especialmente útil en problemas de gran escala (resueltos con una computadora).

0

0

223

1243

y

x

yx

yx

42

22

32

yx

yx

yx

10

20

100

2003

y

x

yx

yx

Actividad

pág. 34


Procedimiento general del simplex

1. Establézcase la tabla inicial de simples. Formular la función objetivo y las

restricciones e introducir las variables de decisión, variable en la solución, valor

en solución (LD), C (contribución de la variable), Z (costo de introducir la

variable), C – Z (contribución neta de la variable).

2. Selecciónese la columna pivote. Ésta es la columna con el número positivo más

grande en el renglón inferior (C - Z). Esta se convierte en la nueva variable de

la solución.

3. Selecciónese el renglón pivote. Éste es el renglón con la razón más pequeña

del valor LD dividido por el valor de la columna pivote. Úsense sólo números

positivos. Esto identifica la variable que deja la solución.

4. Enciérrese en un círculo el elemento pivote. Ésta es la intersección del renglón

y la columna pivotes.

5. Conviértase al elemento pivote en un 1. Hágase esto dividiendo cada valor del

renglón pivote entre el valor pivote. Métase este renglón en una tabla nueva.

6. Genérense los demás renglones de la nueva tabla con ceros en la columna

pivote. Esto se hace multiplicando el nuevo renglón (del paso 5) por el negativo

del elemento en la columna pivote. El resultado será sumado al antiguo

renglón. Introdúzcase este renglón revisado en la nueva tabla, y continúese

este procedimiento en cada renglón de la sección central de la tabla.

7. Prueba de optimización. Calcúlense los valores de Z y C – Z. Los valores de Z

de cada columna son (elementos de la columna) ( C ). Si todos los valores de C

– Z son ≤ 0, la solución es óptima. Léanse los valores de las variables en la

solución de la columna de LD y el valor de la función objetivo del renglón de Z

en la columna de LD. Si la solución no es óptima, regrese al paso 2.

Variables de holgura- El método simplex empieza con el planteamiento de una

función objetivo y ecuaciones de restricción. Las rutinas computarizadas de

programación lineal (PL) automáticamente arreglarán esos datos iniciales, pero

tratándose de soluciones manuales, debe construirse en cada paso la tabla de simples.

Esto requiere que las restricciones sean establecidas como igualdades. En los

problemas de maximización se logra esto añadiendo variables de holgura (s) a cada

restricción. La holgura representa una cantidad no utilizada, o la diferencia entre lo

que es usado y el límite de lo que puede usarse.

Caso de aplicación

La metodología de solución de los problemas de maximización hace necesario

seleccionar una columna y un renglón pivotes y revisar los valores de la tabla hasta

que en el renglón inferior sean menores o iguales que cero.

C 10 30 0 0 Valores de

solución

Variables de

la solución

Variables de decisión

X Y S1 S2 (LD)

0 S1 4 6 1 0 12

0 S2 8 4 0 1 16

Z 0 0 0 0 0

C-Z 10 30 0 0 0

1. Seleccionar una columna y un renglón pivotes

a) La columna pivote es la que tiene el número positivo más grande en el renglón

inferior

C-Z 10 30 0 0 0

En este ejercicio es 30.

pág. 35


b) El renglón pivote es el que tiene la razón más pequeña, del renglón pivote

26

12 (Mínimo) 4

4

16


solución

Variables de

la solución


X Y S1 S2 (LD)

0 S1 4 6 1 0 12

0 S2 8 4 0 1 16

Z 0 0 0 0 0

C-Z 10 30 0 0 0

Por lo tanto el renglón 1 es el renglón pivote.

c) El elemento pivote es encerrado en un círculo 6


solución

Variables de

la solución


X Y S1 S2 (LD)

0 S1 4 6 1 0 12

0 S2 8 4 0 1 16

Z 0 0 0 0 0

C-Z 10 30 0 0 0

2. Divídase cada valor del renglón pivote 1 entre el elemento pivote (6) y colóquense

los valores en una nueva tabla.


solución

Variables de

la solución


X Y S1 S2 (LD)

0 Y 2/3 1 1/6 0 2

a) Genérense los otros renglones para la siguiente tabla, de tal manera que los

elementos de la columna pivote sean iguales a cero.

Se empieza con el renglón S2, el cual tiene 4 en la columna de Y. Se multiplica

el nuevo renglón (del paso 2) por el negativo del valor que se desea convertir

(-4), y se suma al anterior renglón de S2. Se multiplica el nuevo renglón por -4.

el resultado se muestra en la siguiente tabla.

X Y S1 S2 (LD)

El renglón del paso 2 se

multiplica por -4

-

4(2/3)

-4(1) -

4(1/6)

-4(0) -4(2)

Obtener el resultado -8/3 -4 -2/3 0 -8

Sumarlo al renglón de S2 8 4 0 1 16

Para obtener el nuevo

renglón

16/3 0 .2/3 1 8

El renglón obtenido se introduce a la nueva tabla del paso 2.


solución

Variables de

la solución


X Y S1 S2 (LD)

30 Y 2/3 1 1/6 0 2

0 S2 16/3 0 .2/3 1 8

Z

pág. 36


Si hay más renglones que convertir, debe repetirse este paso en el siguiente

renglón. Dado que ahí no hay más, puede calcularse el renglón Z y C-Z.

Los valores en el renglón Z son ∑ (elementos de la columna) (C) Elementos del

renglón Z:

Para X: Z = 2/3(30) + 16/3(0) = 20

Para Y: Z = 1(30) + 0(0) = 30

Para S1: Z = 1/6(30) – 2/3(30) = 5

Para S2: Z = 0(30) + 1(0) = 0

Para LD: 2(30) + 8(0) = 60

Después de que se introducen éste y los valores de C-Z en la siguiente matriz,

se tiene:


solución

Variables de

la solución


X Y S1 S2 (LD)

30 Y 2/3 1 1/6 0 2

0 S2 16/3 0 .2/3 1 8

Z 20 30 5 0 60

C - Z -10 0 -5 0

Repetir los pasos anteriores hasta que todos los valores del renglón inferior

sean ≤ 0. Dado que todos los valores son ≤ 0, ha sido alcanzada la solución

óptima. Las variables en la solución son identificadas por las columnas en la

parte central de la tabla que tienen un 1, y el resto de los valores son cero. Los

valores solución son datos en la columna del lado derecho, como se ve en la

siguiente tabla.

X Y S1 S2 (LD)

- 1 - 0 2

- 0 - 1 8

Z - - - - 60

Por tanto,

X = no está en la solución

Y = 2 unidades

Z = $60

Note que la variable de holgura asociada con la restricción 2 también tiene un 1 y

ceros, lo cual significa que tiene holgura en la solución y que la restricción no se

agotó. Entonces hay sólo una variable de decisión (no holgura) en la solución (Y) y

una restricción agotada (número 1). Esto concuerda con el teorema fundamental de

programación lineal, que establece que el número de variables de decisión (no

holgura) de la solución siempre será igual a número de restricciones que son

agotadas.

Resolver mediante el método simplex los siguientes casos:

1. Textil Donnell, produce dos modelos, Chompas y Sacones. El beneficio que arroja

cada chompa es de 40 S/. y cada sacón de 60 S/. El mercado puede adquirir

hasta 400 chompas/semana y hasta 300 sacones/semana y en total la planta

solo puede fabricar 600 unidades/semana.

a. ¿Cuántas unidades de cada modelo debe producir la fábrica Textil, para

obtener el máximo de ingresos?

Actividad

pág. 37


2. Un fabricante produce dos artículos, A y B cada uno de los cuales requiere de dos

tipos de máquinas y los tiempos respectivos tal como se indica en el siguiente

cuadro:

Máq / Prod A B

Máquina 1 2 4

Máquina 2 3 1

Utilidad S/. 2.5 3.5

Si el número de horas disponibles en las máquinas al mes son de 200 y 150

respectivamente,

a. ¿Determine cuantas unidades de cada producto debe producirse al mes, a

fin de maximizar la utilidad total?

b. ¿Cual es esa utilidad total?

3. Un camión distribuidora Central SA. puede transportar como máximo 9 TM. por

viaje. En un viaje debe transportar al menos 4 TM. de la mercancía A y un peso

de la mercancía B que no sea inferior a la mitad del peso que transporta de A.

Sabiendo que cobra 30 S/. / kilo de A y 20 S/. / kilo de B.

a. ¿Cómo se debe cargar el camión para obtener la ganancia máxima?

4. Un comerciante acude al mercado mayorista a comprar naranjas con S/. 5 000.

Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo Valencia a 5 S/. el kg. y las de tipo

Huando a 8 S/. el kg. Sabiendo que sólo dispone de su camioneta con espacio

para transportar 700 kg. de naranjas como máximo y que piensa vender el kg.

de naranjas tipo Valencia a 8 S/. y el kg. de tipo Huando a 12 S/.

a. ¿Cuántos kg. de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener

máximo beneficio?

b. ¿Cuál será ese beneficio máximo?

5. La empresa Bembo’s vende hamburguesas de dos tipos: de un cuarto de libra y

hamburguesas bembonas. La hamburguesa de un cuarto de libra obviamente

utiliza ¼ de libra de carne y la hamburguesa bembona, sólo utiliza 0,2 libras de

carne. El restaurante empieza cada día con 200 libras de carne. La utilidad neta

es la siguiente: 2.00 $ por cada hamburguesa de cuarto de libra y 1.50 $ por

cada hamburguesa normal. El gerente estima además que no venderá más de

900 hamburguesas en total.

Aplicando el método gráfico, determine la máxima utilidad que obtiene Bembo’s.

6. Un carpintero fabrica dos productos: sillas y mesas. Su producción está limitada

por las disponibilidades en listones de madera (36 semanales) y por las horas de

mano de obra contratada (48 semanales). Cada silla requiere 4 listones de

madera y 3 horas de mano de obra. Cada mesa requiere 4 listones y 6 horas

hombre. El carpintero obtiene S/. 30 y S/. 20 de utilidades por cada silla y mesa

respectivamente. Halle por medios gráficos el programa de fabricación que haga

máximas las utilidades.

7. Un estudiante del ISTPC dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda

publicitaria. La empresa A le paga S/. 5 por cada impreso repartido y la empresa

B, con folletos más grandes, le paga S/. 7 por impreso. El estudiante lleva dos

bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120 y otra para los impresos B,

en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150

impresos como máximo.

¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada tipo para que su beneficio diario

sea máximo?

pág. 38


8. Un agricultor tiene 480 hectáreas en la que se puede sembrar ya sea trigo o

maíz. El calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estación

crucial del verano. Dados márgenes de utilidad y los requerimientos laborales

mostrados en el cuadro.

Disp. / Prod maíz trigo

Horas de trabajo por

hectárea

2 4

Utilidad S/. 40 30

a. ¿Cuántas hectáreas de cada uno debe plantar para maximizar su utilidad?

b. ¿Cuál es ésta utilidad máxima?

9. La cervecería Andina S.A. produce cerveza Premium y la de tipo Light. La cerveza

Premium se vende a 5 dólares el barril, y la Light a 2 dólares el barril. La

producción de un barril de cerveza Premium requiere de 5 kilos de cebada y 2

kilos de lúpulo. La producción de un barril de Light requiere de 2 kilos de cebada

y 1 kilo de lúpulo. Se dispone de 60 kilos de cebada y de 25 kilos de lúpulo.

a. ¿Cuántos barriles de cada tipo de cerveza debe producir para maximizar sus

ingresos?

b. ¿Cuáles son esos ingresos máximos?

10. Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene 2 plantas-talleres. En

el taller A, para hacer la carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario,

para fabricar la de un auto se precisan 2 días-operario. En el taller B se invierten

3 días-operario tanto en carrocerías de camión como de auto. Por limitaciones de

mano de obra y maquinaria, el taller A dispone de 300 días-operario, y el taller B

de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 6

mil soles y de 3 mil soles por cada auto.

¿Cuántas unidades de cada clase se deben producir para maximizar las

ganancias?

11. Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de 600 mil

dólares y el costo de una casa de tipo A es de 13 mil y 8 mil una de tipo B. El

número de casas de tipo A ha de ser, al menos, del 40 % del total y el de tipo B,

el 20 % por lo menos. Si cada casa de tipo A se vende a 16 mil y cada una de

tipo B en 9 mil dólares respectivamente.

¿Cuántas casas de cada tipo debe construir para obtener el beneficio máximo?

12. Una fábrica produce camisas y pantalones los produce con dos tipos de máquinas

(de cortar, coser). Fabricar una camisa representa emplear la máquina de cortar

una hora y la de coser tres horas; fabricar un pantalón representa usar la

máquina de cortar una hora, la de coser una hora. La máquina de coser se puede

usar hasta doce y la de cortar hasta 7 horas al día, sino se recalienta. Todo lo

que se fabrica es vendido y se obtiene un beneficio de ocho soles por cada

camisa y de cinco soles por cada pantalón.

¿Cómo emplearíamos las máquinas para conseguir el beneficio máximo?

pág. 39


13. Un fabricante de cemento produce dos tipos de cemento, a saber en gránulos y

polvo. Él no puede hacer más de 1600 bolsas un día debido a una escasez de

vehículos para transportar el cemento fuera de la planta. Un contrato de ventas

establece que él debe producir 500 bolsas al día de cemento en polvo. Debido a

restricciones del proceso, se requiere el doble del tiempo para producir una bolsa

de cemento granulado en relación al tiempo requerido por el cemento en

polvo. Una bolsa de cemento en polvo consume para su fabricación 15

minutos/bolsa y la planta opera 8 horas al día . Su ganancia es S/.4 por la bolsa

de cemento granulado y S/ 3 por la bolsa de cemento en polvo.

a. Cuánto se debe producir de cada tipo de cemento para maximizar sus

ingresos.

14. En Justicia Paz y Vida de El Tambo, se van a construir casas de dos tipos: A y B.

La empresa constructora dispone para ello de un máximo de 1,8 millones de

soles, siendo el costo de cada tipo de casa de 30 y 20 mil soles respectivamente.

El Ministerio de Vivienda, por la normatividad de paisajismo y urbanismo exige

que el número total de casas no sea superior a 80. Sabiendo que el beneficio

obtenido por la venta de una casa de tipo A es 4 mil soles y de 3 mil soles por

una de tipo B.

a. ¿La constructora cuántas casas debe construir de cada tipo para

obtener el máximo beneficio?

b. ¿Cuáles son esos ingresos máximos?

15. Doe Run SRL. produce Cobre y Zinc. Por el momento es capaz de vender todo el

mineral producido. La ganancia por tonelada de Cobre y Zinc vendida es de 4 y 3

mil dólares respectivamente. El proceso de cada tonelada de Cobre requiere 3

horas de trabajo en el horno y otras 4 horas de lavado. Para cada tonelada de

Zinc se requieren 4 horas de horneado y 2 horas de lavado. Las horas diarias

disponibles en el horno y el lavado son 35 y 30, respectivamente. Además se

supone que al menos se deben producir diariamente 4 toneladas de Zinc.

¿Cuantas toneladas de Cobre y cuantas de Zinc deben producir a fin de

maximizar sus ingresos.

16. Una compañía puede anunciar su producto mediante el uso de estaciones de

radio y televisión locales. Su presupuesto limita los gastos en publicidad a $1000

por mes. Cada minuto de anuncio en la radio cuesta $5 y cada minuto de

publicidad en televisión cuesta $100. La compañía desearía utilizar la radio

cuando menos dos veces más que la televisión. La experiencia pasada muestra

que cada minuto de publicidad por televisión generará en términos generales 25

veces más ventas que cada minuto de publicidad por la radio. Determine la

asignación óptima del presupuesto mensual para anuncios por radio y televisión.

pág. 40


Tema Nº 4: ANALISIS DE DUALIDAD Y SENSIBILIDAD

4.1 Análisis de Dualidad

Hemos visto como la programación lineal puede ser usada para resolver una extensa

variedad de problemas propios de los negocios, ya sea para maximizar utilidades o

minimizar costos. Las variables de decisión en tales problemas fueron, por ejemplo, el

número de productos a producir, la cantidad de pesos a emplear, etc. En cada caso la

solución óptima no explicó cómo podrían ser asignados los recursos (ejemplo: materia

prima, capacidad de las máquinas, el dinero, etc.) para obtener un objetivo

establecido.

En este capítulo veremos que a cada problema de programación lineal se le asocia

otro problema de programación lineal, llamado el problema dual. La solución óptima

del problema de programación dual, proporciona la siguiente información sobre el

problema original:

La solución óptima del problema dual proporciona los precios en el mercado o

los beneficios de los recursos escasos asignados en el problema original.

La solución óptima del problema dual aporta la solución óptima del problema

original y viceversa.

Normalmente llamamos al problema de programación lineal original el problema de

programación primal. Es el concepto clave que permite resolver un problema a partir

de otro, y se deriva de las relaciones primo-dual, en el valor de la función objetivo

Formulación del problema dual. El problema dual es un problema de PL auxiliar

que se define directa y sistemáticamente a partir del modelo de PL original o primal.

El problema de programación lineal vienen dado por:

Maximizar Z = C’X

sujeto a: AX B

X 0

Su dual asociado es el problema de PL dado por:

Minimizar Z’ = B’W

sujeto a: AW C

W 0

El paso al dual se lleva a cabo teniendo presente las cuatro reglas siguientes:

a. Los coeficientes de la i-ésima restricción para el problema primal pasan a ser

los coeficientes de las variables Wi en las restricciones del problema dual. El

problema dual tiene tantas variables como restricciones hay en el primal.

b. Los coeficientes de las variables de decisión Xj en el problema primal pasan a

ser los coeficientes de la restricción j-ésima en el problema dual. El problema

dual tiene tantas restricciones como variables hay en el primal.

c. Los coeficientes de la función objetivo en el problema primal pasan a ser los

coeficientes del segundo miembro de las restricciones en el problema dual.

d. Los coeficientes del segundo miembro de las restricciones del problema primal

pasan a ser los coeficientes de la función objetivo del dual.

pág. 41


Primal

Ejemplo: Maximizar : Z = 60 X1 + 30 X2 + 20 X3

sujeto a: 8X1 + 6X2 + X3 48

4X1 + 2X2 + 1.5X3 20

2X1 + 1.5X2 + 0.5X3 8

X1, X2, X3 0

Dual:

Minimizar Z’ = 48 W1 + 20 W2 + 8W3

sujeto a: 8W1 + 4W2 + 2W3 60

6W1 + 2W2 + 1.5W3 30

W1 + 1.5W2 + 0.5W3 20

" W1, W2, W3 0

4.2 Definición de Problema dual

El desarrollo de la programación lineal se ha visto reforzado por el descubrimiento de

que todo problema de programación lineal tiene asociado otro problema llamado dual.

El problema original se llama primal, ambos problemas están relacionados de tal

manera que la el valor de la función objetivo en el optimo es igual para ambos

problemas, y la solución de uno conduce automáticamente a la del otro.

Las relaciones entre ambos problemas facilitan el análisis de sensibilidad de un

problema.

El dual es un problema de programación lineal se obtiene matemáticamente de un

problema primal.

La forma del problema dual es única y se define en base a la forma estándar general

del problema primal:

Optimizar (Max o Min) z = S j =1..ncjxj

Sujeto a S j =1..naijxj = bi

xj ³ 0 con i = 1..m, j = 1..n

Donde las n variables xj incluyen los excesos y las holguras.

El problema dual se construye simétricamente del primal de acuerdo a las siguientes

reglas.

1. Para cada restricción primal (m restricciones) existe una variable dual yi (m

variables), la función objetivo se construye con los valores libres bi como

coeficientes de las variables yi.

2. Para cada variable primal xj (n variables) existe una restricción dual (n

restricciones), la restricción se construye con los m coeficientes de las

restricciones primales de esa variable. Los valores libres son los n coeficientes

cj.

3. Si la optimización primal es una Maximización, el problema dual es una

Minimización y las restricciones son ³ . (y a la inversa Minimización primal,

Maximización dual, restricciones ). El siguiente diagrama muestra la

construcción del dual:

pág. 42


x1 x2 .. xj .. xn

Objetivo primal c1 c2 .. c1 .. c1

Valores libres

de restricciones

duales

Variables duales

l

v

Coeficientes

restricciones duales a11 a12 .. a1j .. a1n b1 y1

a21 a22 .. a2j .. a2n b2 y2

am1 a22 .. a2j .. a2n bm ym

Restr.

dual j Función Objetivo dual

Nota: si consideramos los excesos y holguras las variables duales (yi) no tienen

restricciones de signo, en caso contrario en ambos problemas se considera variables ³

0. Por lo que las variables duales correspondientes a restricciones del tipo = deben ser

sin restricciones de signo, recíprocamente cuando una variable en el primal no tiene

restricción de signo, la restricción correspondiente en el dual debe ser del tipo =.

Ejemplo

Sea Max z = 3x1 + 5x2

x1 + 10x2 < 80

2x1 + 3x2 < 45

4x1 - 2x2 < 25

3x2 <60

x1, x2 > 0

Aplicando las reglas y la nota:

1. Para cada restricción primal (4 restricciones) existe una variable dual yi (4

variables) y1 y2 y3 y4, la función objetivo se construye con los valores libres bi

(80,45,25,60) como coeficientes de las variables yi.

2. Para cada variable primal xj (2 variables sin considerar las variables de

holgura) existe una restricción dual (2 restricciones), la restricción se

construye con los 4 coeficientes de las restricciones primales de esa variable.

Los valores libres son los 2 coeficientes cj (3, 5).

3. la optimización primal es una Maximización, el problema dual es una

Minimización y las restricciones son ³ .

Nota: No hemos considerado las variables de excesos ni holguras las variables

duales por lo que en ambos problemas se considera variables ³ 0, no existen

restricciones de =.

pág. 43


Problema dual:

Min Y = 80y1 + 45y2 + 25y3 + 60y4

Sujeto a:

Y1 + 2y2 + 4y3 > 3

10y1 + 3y2 - 2y3 + 3y4 > 5

y1, y2, y3, y4 > 0

2. Max Z = 3x1 + 7x2

Sujeto a:

2x1 + 5x2 = 15

x1 + 8x2 < 30

x1, x2 > 0

0. Para cada restricción primal (2 restricciones) existe una variable dual yi (2

variables) y1 y2, la función objetivo se construye con los valores libres bi

(15, 30) como coeficientes de las variables yi.

1. Para cada variable primal xj (2 variables sin considerar las variables de

holgura) existe una restricción dual (2 restricciones), la restricción se

construye con los 2 coeficientes de las restricciones primales de esa

variable. Los valores libres son los 2 coeficientes cj (3, 7).

Aplicando las reglas y la nota:

Nota: Para la segunda restricción no hemos considerado las variables de

excesos ni holguras las variables duales por lo que en el dual y2 ³ 0, la

primera restricción es de igualdad por lo que la primera variable no tiene

restricción de signo.

Problema dual:

Min Y= 15y1 + 30y2

Sujeto a:

2y1 + y2 > 3

5y1 + 8y2 > 7

y1 sin restricción de signo (irrestricta)

y2 > 0.

4.3 Análisis de sensibilidad

Una vez obtenida la solución de un problema de programación lineal, es deseable

investigar cómo cambia la solución del problema al cambiar los parámetros del

modelo.

Por ejemplo si una restricción de un problema es 4x1 + 6x2 < 80 donde 80

representa la cantidad de recurso disponible. Es natural preguntarse ¿que pasa

con la solución del problema si la cantidad de recurso (por ejemplo Horas)

disminuye a 60? Otras veces podemos preguntarnos que pasa si cambiamos

algunos coeficientes de la función objetivo? O bien si agregamos una restricción

o una variable. El estudio de la variación de un problema de programación lineal

debido a cambios de los parámetros del mismo, se llama análisis de sensibilidad.

pág. 44


Una forma de responder estas preguntas sería resolver cada vez un nuevo

problema. Sin embargo esto es computacionalmente ineficiente.

Para esto es preferible hacer uso de las propiedades del método Simplex y de los

problemas primal y dual.

Recordemos que una vez que en un problema lineal se conoce B, CB y XB, la tabla

simplex se puede calcular utilizando B-1 y los datos originales del problema.

El efecto de los cambios en los parámetros del problema del análisis de sensibilidad

(post óptimo) se puede dividir en tres categorías:

0. Cambios en los coeficientes C de la función objetivo, solo afecta la

optimalidad.

1. Cambios en el segundo miembro b solo pueden afectar la factibilidad.

2. Cambios simultáneos en C y b pueden afectar la optimalidad y la

factibilidad.

Ejercicio 1

CIDEMETAL SRL, produce mesas y sillas para venta en el país. Se requieren dos tipos

básicos de mano de obra especializada: para ensamblado y acabado. Producir una mesa

requiere tres horas de ensamblado, dos horas de acabado y se vende con una ganancia

de $30. La producción de una silla requiere 1 hora de acabado y se vende con una

ganancia de $18. Actualmente, la compañía dispone de 200 horas de ensamblado y 160

horas de acabado.

La formulación a este problema es:

Maximizar: X0 = 30X1 + 18X2

Sujeta a: 3X1 + X2 200 (ensamblado)

2X1 + X2 160 (acabado)

X1, X2 0

Y la solución óptima la siguiente

¡Error!

No se

encuentr

a el

origen

de la

referenci

a.Base

X0 X1 X2 X3 X4 Solución

X0 1 6 0 0 18 2880

X3

X2

0

0

1

2

0

1

1

0

-1

1

40

160

La compañía desea consejo en los siguientes planteamientos:

a. ¿Cuánto es lo máximo que pueden reducirse las horas-hombre disponibles en

ensamblado sin que la factibilidad de la mezcla actual cambie?

pág. 45


b. ¿Cuál es el rango de variación de la utilidad unitaria de las sillas en donde la

inmejorabilidad de la mezcla óptima se mantiene?

c. ¿En cuál departamento recomendaría usted contratar tiempo extra?

d. Si se comprara una máquina que redujera el tiempo de ensamblado en las mesas,

de 3 a 1/2, ¿recomendaría usted una inversión de dicha máquina?

e. ¿En cuánto se incrementaría la utilidad óptima actual si se programan 15 horas-

hombre extra en la operación de acabado?

f. Si la utilidad unitaria de las sillas disminuye a $16, ¿Cómo se afecta a la solución

óptima y el objetivo?

g. Si los obreros que llevan a cabo la operación de acabado ofrecen trabajar horas

extras a razón de $12/hora ¿Recomendaría usted contratar tiempo extra? Si lo

recomienda, ¿qué tanto tiempo extra puede programarse sin cambiar la

optimidad de la mezcla actual?

Ejercicio 2

GRANDE PERU SAC, se especializa en la fabricación de camas (colchones). La compañía

fabrica tres clases de colchones: matrimonial, "King-size" e individual. Los tres tipos de

colchones se fabrican en dos plantas diferentes que son propiedad absoluta de la

compañía. En un día hábil normal de 8 horas, la planta No. 1 fabrica 50 colchones

matrimoniales, 80 colchones "King-size" y 100 individuales. La planta No.2 fabrica 60

colchones matrimoniales, 60 "King-size" y 200 individuales. El gerente de mercadotecnia

de la GRANDE ha proyectado la demanda mensual para los tres tipos de colchones y

calcula será de 2500, 3000 y 7000 unidades, respectivamente. Los contadores de la

compañía indican que el costo diario de operación de la planta No. 1 es de $3500 diarios.

A los administradores les gustaría determinar el número óptimo de días de operación por

mes en las dos diferentes plantas con el objeto de minimizar el costo total de producción,

al mismo tiempo que se satisface la demanda.

Utilizando

y1 = número de días de operación por mes de la planta No.1

y2 = número de días de operación por mes de la planta No.2

Entonces el planteamiento puede expresarse de la siguiente manera:

Minimizar: Z = 2500Y1 + 3500Y2

Sujeto a: 50Y1 + 60Y2 2500

80Y1 + 60Y2 3000

100Y1 + 200Y2 7000

Y1, Y2 0

Es fácil observar que el problema se encuentra en forma del problema dual estándar.

a. Plantee el problema primario para el problema dual que se dio antes.

b. ¿Cuáles son las unidades de medición de las variables primarias?

c. Resuelva el problema utilizando el método simplex. ¿Por qué fue más sencillo

resolver el problema primario que el dual?

d. Utilizando el problema primario óptima, determine el valor óptimo para las variables

duales de decisión para el problema de la GRANDE.

e. ¿Qué significado tienen las variables primarias en el problema de la GRANDE?

pág. 46


TERCERA UNIDAD

Tema Nº 5: MODELO DE TRANSPORTE

5.1 Problema de Transporte

En esta unidad presentaremos dos aplicaciones importantes de la programación lineal

que son el modelo de transportes y el de asignación de recursos. Aun cuando la

solución de estos modelos puede obtenerse aplicando el método simplex, se estudian

algoritmos especiales para la solución de estos problemas.

Debido a su estructura especial, hace posible hace posible métodos de solución más

eficientes en términos del cálculo.

La programación lineal es un campo tan amplio que se extiende a subclases de

problemas para los cuales existen métodos de solución especiales. Una de estas

subclases se conoce como problemas de transporte. El método símplex de

programación lineal, puede servir para resolver estos problemas. Pero se han

desarrollado métodos más sencillos que aprovechan ciertas características de los

problemas. Entonces, el método del transporte son sólo técnicas especiales para

resolver ciertos tipos de problemas de programación lineal.

El transporte desempeña un papel importante en la economía y en las decisiones

administrativas. Con frecuencia la disponibilidad de transporte económico es crítica

para la sobre-vivencia de una empresa.

¿Qué significa problema de transporte? Supóngase que un fabricante tiene tres

plantas que producen el mismo producto. Estas plantas a su vez mandan el producto a

cuatro almacenes. Cada planta puede mandar productos a todos los almacenes, pero

el costo de transporte varía con las diferentes combinaciones. El problema es

determinar la cantidad que cada planta debe mandar a cada almacén con el fin de

minimizar el costo total de transporte.

La manera más fácil de reconocer un problema de transporte es por su naturaleza o

estructura

“de-hacia”: de un origen hacia un destino, de una fuente hacia un usuario, del

presente hacia el futuro, de aquí hacia allá. Al enfrentar este tipo de problemas, la

intuición dice que debe haber una manera de obtener una solución. Se conocen las

fuentes y los destinos, las capacidades y demandas y los costos de cada trayectoria.

Debe haber una combinación óptima que minimice el costo (o maximice la ganancia).

La dificultad estriba en el gran número de combinaciones posibles.

Puede formularse un problema de transporte como un problema de

programación lineal y aplicarse el método símplex. Si se hiciera, se encontraría que los

problemas de transporte tienen características matemáticas únicas. Para visualizar

esto, considérese el siguiente ejemplo:

El problema

Suponga que una compañía tiene m plantas de producción (i), de capacidad ai (i =

1..m) y n almacenes de distribución (j), con demanda bj (j=1..n). El costo de

transporte entre la planta i y el almacén es conocido como cij.

El problema es determinar la cantidad (xij) que debe suministrar la planta i al almacén

j, de tal manera que el costo de transporte total sea mínimo. Las consideraciones de

costos de producción e inventario se pueden incorporar al modelo básico.

El modelo típico tiene cuatro componentes:

pág. 47


- Un conjunto de m fuentes

- Un conjunto de n destinos

- Costos de transporte entre las fuentes y los destinos

- Cantidades de producto para enviar entre las fuentes y los destinos.

El modelo general que representa el modelo de transporte es:

Min z = S iS j cijxij

Sujeto a:

S j xij = ai (fuentes i = 1..m)

S i xij = bj (destinos j = 1..n)

xij ³ 0

5.2 Modelo general del problema de transporte.

Cualquier problema de programación lineal que se ajuste a esta formulación especial

es del tipo de problemas de transporte, sin importar su contexto físico. De hecho, se

han realizado numerosas aplicaciones no relacionadas con el transporte que se ajustan

a esta estructura especial. Ésta es una de las razones por las que el problema de

transporte se suele considerar como uno de los tipos especiales de problemas de

programación lineal más importantes.

Además de los datos de entrada (los valores de cij, si y dj), la única información que

necesita el método símplex de transporte es la solución básica factible actual, los

valores actuales de ui y vj y los valores resultantes de cijuivj para las variables no

básicas xij. Cuando se resuelve un problema a mano es conveniente registrar esta

información en una tabla símplex de transporte, como la que se muestra

enseguida:

pág. 48


En los casos en que la sumatoria de todo lo que se produce en todos los

orígenes es mayor que la sumatoria de todo lo que se demanda en todos los destino o

viceversa, entonces se dice que el problema no está balanceado. En estos casos lo

primero que se debe hacer antes de intentar resolver el problema es balancearlo.

Para el caso de SOBREPRODUCCIÓN ( si

i

m

1

dj

j

n

1 )

Si el caso es que se dispone de mayor producción de la que se demanda,

entonces para balancear el problema se agrega un destino imaginario o artificial

(llamado también destino ficticio) el cual tendrá como demanda dicha

sobreproducción. En cuanto a los costos asociados a este nuevo destino los

estableceremos a cero (¿por qué?). El siguiente dibujo muestra lo que se debe hacer:

pág. 49


5.3. Métodos para encontrar soluciones factibles.

Al iniciar, todos los renglones de los orígenes y las columnas de destinos de la

tabla símplex de transporte se toman en cuenta para proporcionar una variable

básica (asignación).

1. Se selecciona la siguiente variable básica (asignación) entre los renglones y

columnas en que todavía se puede hacer una asignación de acuerdo a algún

criterio.

2. Se hace una asignación lo suficientemente grande como para que use el resto

de los recursos en ese renglón o la demanda restante en esa columna

(cualquiera que sea la cantidad más pequeña).

3. Se elimina ese renglón o columna (la que tenía la cantidad más pequeña en

los recursos o demanda restantes) para las nuevas asignaciones. (Si el

renglón y la columna tiene la misma cantidad de recursos y demanda

restante, entonces arbitrariamente se elimina el renglón. La columna se usará

después para proporcionar una variable básica degenerada, es decir, una

asignación con cero unidades.)

4. Si sólo queda un renglón o una columna dentro de las posibilidades, entonces

el procedimiento termina eligiendo como básicas cada una de las variables

restantes (es decir, aquellas variables que no se han elegido ni se han

eliminado al quitar su renglón o columna) asociadas con ese renglón o

columna que tiene la única asignación posible. De otra manera se regresa al

paso 1.

5.4 Método de la esquina noroeste.

1. Regla de la esquina noroeste: la primera elección es x11 (es decir, se

comienza en la esquina noroeste de la tabla símplex de transporte). De ahí en

adelante, si xij fue la última variable básica seleccionada, la siguiente elección

es xi,j+1 (es decir, se mueve una columna a la derecha) si quedan recursos en

el origen i. De otra manera, se elige xi+1,j (es decir, se mueve un renglón

hacia abajo).

Para hacer más concreta esta descripción, se ilustrará el procedimiento

general, utilizando la regla de la esquina noroeste en el siguiente ejemplo:

Recursos

5

2

3

Demanda 3 4 2 1 10

10

Lo primero que debemos hacer al resolver cualquier problema de transporte es

comprobar que esté balanceado, si no lo estuviera, agregamos un origen o un destino

artificial según sea el caso para conseguir que el problema quede balanceado y

podamos comenzar a resolverlo. En nuestro ejemplo, la sumatoria de los recursos de

los tres orígenes es de 10 unidades que es igual a la sumatoria de las demandas de

los destinos, por lo que nuestro problema está balanceado y podemos iniciar con la

resolución.

4 7 3 6

2 3 2

4

3 4 8 5

pág. 50


5.5 Método de aproximación de Vogel

Método de Aproximación de Vogel: para cada renglón y columna que queda bajo

consideración, se calcula su diferencia, que se define como la diferencia aritmética

entre el costo unitario más pequeño (cij) y el que le sigue, de los que quedan en ese

renglón o columna. (Si se tiene un empate para el costo más pequeño de los restantes

de un renglón o columna, entonces la diferencia es 0). En el renglón o columna que

tiene la mayor diferencia se elige la variable que tiene el menor costo unitario que

queda. (Los empates para la mayor de estas diferencias se pueden romper de manera

arbitraria).

Iniciamos el método calculando las primeras diferencias para cada renglón y columna.

De las diferencias que obtuvimos nos fijamos en la mayor (¿Por qué?), que resulta

ser para la tercera columna. En esa columna encontramos el costo unitario (cij) menor

y en esa celda realizamos la primera asignación:

Recursos DIF.

5 1

2

2 0 0

3 1

Demanda

3

4

2 0

1

10

10

DIF. 1 1 3 1 2

Nota: Marcar la mayor de las diferencias seleccionadas encerrándola en un

círculo y escribiendo como superíndice el número que le corresponda en la

secuencia de selección.

Observemos en la figura anterior que únicamente eliminamos el segundo

renglón ya que la tercera columna nos servirá después para hacer la asignación de

una variable básica degenerada. Continuando con la aplicación del método, tenemos

que calcular nuevamente las diferencias de las columnas ya que hemos eliminado un

renglón y ésto puede ocasionar que las diferencias aritméticas entre el costo unitario

más pequeño y el que le sigue ya no sean las mismas:

Recursos DIF.

5 1

2

2 0 0

3

3 0 1

Demanda

3

4 1

2 0

1

10

10

DIF. 1 1 3 1 2

1 4 2 2 1

3 6 4 7

2

4

3

2 3

5 4 8

3 6 4 7

2

4

3

2 3

5 4 8

pág. 51


Como siguiente paso deberíamos calcular las nuevas diferencias de columnas, pero ya

que solamente queda un renglón dentro de las posibilidades (ésto no significa que

solamente un renglón quede bajo consideración ya que podemos observar que

ninguna de las cuatro columnas (destinos) ha sido eliminada y todas quedan todavía

bajo consideración), no es posible encontrar la diferencia aritmética entre el costo

menor y el que le sigue, por lo tanto vamos tomando una a una las celdas que quedan

comenzando con la de menor costo unitario hasta que todas hayan sido asignadas.

Recursos DIF.

3

1

0

1

5 2 1

0

1

2

2 0 0

3

3 0 1

Demanda

3 0

4 1 0

2 0

1 0

10

10

DIF. 1 1 3 1 2

1 4 2 2 1

La solución inicial básica factible es x11=3, x12=1, x13=0 (variable básica

degenerada), x14=1, x23=2 y x32=3 y el costo total de transporte asociado a esta

primera “Política de Transporte” factible es de:

x11 c11 x12 c12 x13 c13 x14 c14 x23 c23 x32 c32

Costo = 3 (3) + 1 (7) + 0 (6) + 1 (4) + 2 (3) + 3 (3) = 35

Es necesario aclarar que ésta puede o no ser la solución final del problema, es

necesario aplicar a esta primera solución factible la prueba de optimalidad ya que

puede existir una mejor “política de transporte” que minimice todavía más el costo

total.

5.6 Modelos Balanceados y no balanceados

Un modelo de transporte se llama balanceado cuando:

S i ai = S j b

Esto significa que la suma de los suministros de todas las plantas debe ser igual a la

suma de las demandas de todos los almacenes.

Sin embargo en problemas de la vida real, esta igualdad rara vez se satisface.

Lo que se hace entonces es balancear el problema.

Si los requerimientos exceden a los suministros, se agrega una planta ficticia, que

suministrará la diferencia.

El costo de transporte desde la planta ficticia hacia cualquier almacén es cero.

Recíprocamente, si los suministros exceden a los requerimientos, se agrega un

almacén ficticio que absorberá el exceso.

El costo unitario de transporte desde las plantas al almacén ficticio es cero.

3 6 4 7

2

4

3

2 3

5 4 8

pág. 52


Problemas para resolver por el método de transporte

El siguiente cuadro indica el costo de transporte unitario en nuevos soles, desde los

orígenes a los destinos y sus respectivas ofertas y demandas. Empleando el método de

costo mínimo determine la cantidad a transportar de cada origen a cada destino y

determine también el costo mínimo en que se incurre.

a.

Destino Oferta

TM A B C

Origen I 3 6 9 200

Origen II 1 4 5 300

Origen

III

3 2 1 400

Demanda

TM

150 250 500

b.

Destino Oferta

Kg. A B C

Origen 1 4 6 8 50

Origen 2 1 3 5 200

Origen 3 2 4 5 250

Demanda

Kg.

200 150 150

c.

Destino Oferta

m3 W X Y Z

Origen P 6 10 6 8 200

Origen Q 7 9 6 11 300

Origen R 8 10 14 6 450

Demanda

m3

100 150 400 300

Actividad

pág. 53


d. Caso I: Cuando la oferta es igual a la demanda (O = D )

Destino Oferta

TM X Y Z

Origen I 3 6 4 1000

Origen II 2 3 1 2000

Origen III 3 4 5 1500

Demanda TM 2000 1500 1000

e. Caso II: Cuando la oferta es mayor que la demanda (O D)

Destino Oferta

TM X Y Z

Origen I 4 3 5 600

Origen II 2 1 3 120

Origen III 6 2 5 200

Demanda

TM

100 150 60

f. Caso III: Cuando la oferta es menor que la demanda (O < D)

Destino Oferta

TM X Y Z

Origen I 2 4 6 25

Origen II 1 3 5 35

Origen III 4 2 3 50

Demanda

TM

40 30 60

1. INTELL Co. una empresa dedicada a la fabricación de componentes de computadoras

tiene dos fábricas que producen, respectivamente, 800 y 1500 piezas mensuales.

Estas piezas han de ser transportadas a tres tiendas que necesitan 1000, 700 y 600

piezas, respectivamente. Los costos de transporte, en nuevos soles por pieza son los

que aparecen en la tabla adjunta. ¿Cómo debe organizarse el transporte para que el

costo sea mínimo?

Tienda A Tienda B Tienda C

Fábrica I 3 7 1

Fábrica II 2 2 6

pág. 54


2. Desde dos almacenes A y B, se tiene que distribuir fruta a tres mercados de la ciudad

Lima. El almacén A dispone de 10 toneladas de fruta diarias y el B de 15 toneladas,

que se reparten en su totalidad. Los dos primeros mercados necesitan, diariamente, 8

toneladas de fruta, mientras que el tercero necesita 9 toneladas diarias. El costo del

transporte desde cada almacén a cada mercado viene dado por el siguiente cuadro:

Mercado

1

Mercado

2

Mercado

3

Almacén A 10 15 20

Almacén B 15 10 10

Utilizando el método matriz mínima, determine el transporte para que el costo sea

mínimo.

3. Una compañía tiene tres Plantas (A, B y C) para fabricar bebidas gaseosas BIG KOLA,

y dispone de tres distribuidores mayoristas para la venta (D, E y F). Las cantidades

producidas por A, B y C son 1.000, 5.000 y 4.000 litros por día respectivamente. La

máxima cantidad que puede vender el almacén D es 3000 litros/día, E es 6000

litros/día y F es 7000 litros/día. Los costos de transporte de cada fábrica a cada

distribuidor mayorista están dados en la siguiente tabla:

Demanda

D E F

Planta A 1 4 2

Planta B 3 1 2

Planta C 4 5 2

Determine la cantidad a transportar desde los orígenes a los destinos para que el

costo sea mínimo.

4. SEDAM Huancayo SA. tiene que distribuir el agua de tres pozos entre tres

localidades. La tabla de costos de distribución de cada m3 es la siguiente:

LOCALIDADES OFERTA

(m3/día) A B C

Pozo I 7 8 10 40

Pozo II 5 12 4 30

Pozo III 9 7 8 45

DEMANDA

(m3/día) 55 40 60

Determine la distribución del agua para cada una de las localidades de modo que el

costo sea el mínimo.

5. Una empresa de electricidad ElectroSURMEDIO SA. tiene 4 plantas termoeléctricas que

son abastecidas por 3 minas de carbón. La oferta total de carbón de las minas es igual

a los requerimientos totales de las plantas termoeléctricas. Existe un costo de

transporte de una unidad desde cada mina a cada planta. En la tabla que se muestra a

pág. 55


continuación se indican la oferta disponible, los requerimientos y los costos de

transporte por unidad.

PLANTA

Oferta M N O P

Mina X 2 3 4 5 14

Mina Y 5 4 3 1 15

Mina Z 1 3 3 2 17

Demanda 6 11 17 12

La empresa de electricidad quiere determinar cuántas unidades debe transportar

desde la mina a cada planta para minimizar el costo de transporte.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Una empresa KINGTEX S.A. produce 120 unidades del producto A y 360 unidades

del producto B cada día. Estos productos han de someterse a control de calidad,

siendo la capacidad de control de 200 unidades al día. El producto A se vende en

el mercado a un precio 4 veces superior al precio del producto B. Determínese la

producción de la empresa que hace posible maximizar el beneficio.

2. CEPER PIRELLI SA. fabrica cable eléctrico de alta calidad usando dos tipos de

aleaciones metálicas, M y N. La aleación M contiene un 80% de cobre y un 20%

de aluminio, mientras que la N incluye un 68% de cobre y un 32% de aluminio. La

aleación M tiene un precio de 80 euros por tonelada, y la N, 60 euros por

tonelada. Cuales son las cantidades que Pedro Pérez debe usar de cada aleación

para producir una tonelada de cable que contenga al menos un 20% de aluminio y

cuyo costo de producción sea el menor posible?

3. SAN FERNANDO S.A. posee 200 cerdos que consumen 90 lb. de comida especial

todos los días. El alimento se prepara como una mezcla de maíz y harina de soya

con las siguientes composiciones:

Libras por libra de alimento

Alimento Calcio Proteína Fibra Costo ($/lb)

Maíz

Harina de soya

0.00

1

0.00

2

0.09

0.60

0.02

0.06

0.20

0.60

Los requisitos diarios de alimento de los cerdos son:

i. Cuando menos 1% de calcio

ii. Por lo menos 30% de proteína

iii. Máximo 5% de fibra

Determine la mezcla de alimentos con el mínimo de costo por día.

Actividad

pág. 56


4. CATALINA HUANCA SAC fabrica dos tipos de joyas. Las del tipo A precisan 1 g

de oro y 1,5 g de plata, vendiéndolas a 40 euros cada una. Para la fabricación de

las de tipo B emplea 1,5 g de oro y 1 g de plata, y las vende a 50 euros. El

orfebre tiene solo en el taller 750 g de cada uno de los metales.

¿Cuántas joyas se han de fabricar de cada clase para obtener un beneficio

máximo?

5. PIER’S SAC. desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada

anterior. Para ello, lanzan dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de

una camisa y un pantalón, que se venden a 30 nuevos soles; la oferta B consiste

en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 nuevos soles. No se

desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B.

¿Cuántos lotes han de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

6. POLAR EIRL. fabrica helados A y B, hasta un máximo diario de 1 000 kilos. La

fabricación de un kilo de A cuesta 1,8 euros y uno de B, 1,5 euros. Calcula

cuántos kilos de A y B deben fabricarse, sabiendo que la casa dispone de 2 700

euros /día y que un kilo de A deja un margen igual al 90% del que deja un kilo

de B.

7. SOL DE PIURA EIRL. elabora dos tipos de sombreros. Cada sombrero del primer

tipo requiere dos veces más tiempo de mano de obra que un producto del

segundo tipo. Si todos los sombreros son exclusivamente del segundo tipo, la

compañía puede producir un total de 500 unidades al día. El mercado limita las

ventas diarias del primero y segundo tipos a 150 y 200 unidades. Supóngase que

la ganancia que se obtiene por producto es $8 para el tipo 1 y $5 para el tipo 2.

Determine el número de sombreros de cada tipo que deben elaborarse para

maximizar la ganancia.

8. NACIÓN WANKA SRL. ha decidido manufacturar algunos o todos de cinco

productos nuevos en tres de sus fábricas que tienen capacidades productivas

sobrantes. Los productos se venden por peso y suponga que una unidad de ese

producto equivale a la cantidad de ese producto. El esfuerzo productivo para

hacer cada producto es igual. Las capacidades disponibles a cada fabrica se ven a

continuación:

FABRICA CAPACIDAD DISPONIBLE

I 40 unidades

II 60 unidades

III 90 unidades

La investigación de mercados indica que las ventas potenciales son así:

PRODUCTOS VENTAS POTENCIALES

(Unidades)

1 30

2 40

3 70

4 40

5 60

pág. 57


Los costos variables de producción (miles $) de cada producto en cada fábrica

son:

Producto

Fabrica

1 2 3 4 5

I 20 19 14 21 16

II 15 20 13 19 16

III 18 15 18 20 X

La X quiere decir que la fabrica 3 no puede producir el producto 5.

¿Qué cantidad de cada producto debe fabricarse en cada fábrica? y ¿Cuál es el

costo Total de Producción?

9. SCORZA SAC. dedicada a la fabricación de muebles ha de determinar cuántas

mesas, sillas, escritorios y estantes debe hacer para optimizar el uso de sus

recursos. Estos productos utilizan dos tipos diferentes de paneles, y la compañía

dispone de 1500 tableros MDF y 1000 de MELAMINE. Por otro lado cuenta con 800

horas de mano de obra. Las predicciones de venta así como los pedidos atrasados

exigen la fabricación de al menos 40 mesas, 130 sillas, 30 escritorios y como

máximo 10 estantes. Cada mesa, silla, escritorio y estantes necesita 5, 1, 9, y 12

tableros, respectivamente, de MDF y 2, 3, 4, y 1 tableros de MELAMINE. Una

mesa requiere 3 horas de trabajo; una silla, 2; un escritorio, 5; y un estante 10.

La compañía obtiene un beneficio de 12 dólares en cada mesa, 5 dólares en cada

silla, 15 dólares en un escritorio, y 10 dólares en un estante. Planteé el modelo de

programación lineal para maximizar los beneficios totales.

10. PEPE DIAZ SRL. produce tres modelos (I, II y III) de cierto producto. El utiliza dos

tipos de materia prima (A y B), de los cuales se dispone de 4000 y 6000 unidades,

respectivamente. Los requisitos de materias primas por unidad de los tres

modelos son:

Requisitos por unidad

del modelo dado

Materia prima I II III

A

B

2

4

3

2

5

7

El tiempo de mano de obra para cada unidad del modelo I es dos veces mayor

que el del modelo II y tres veces mayor que el del modelo III. Toda la fuerza de

trabajo de la fábrica puede producir el equivalente de 1500 unidades del modelo I.

Un estudio del mercado indica que la demanda mínima de los tres modelos es

200, 200 y 150 unidades, respectivamente. Sin embargo, las razones del número

de unidades producidas deben ser iguales a 3:2:5. Supóngase que la ganancia por

unidad de los modelos I, II y III es $30, $20 y $50, respectivamente. Formule el

problema como un modelo de programación lineal para determinar el número de

unidades de cada producto que maximizarán la ganancia.

pág. 58


11. TANS PERÚ SAC. Posee un avión de carga que tiene tres compartimientos para

almacenar: delantero, central y trasero. Estos compartimientos tienen un límite de

capacidad tanto en peso como en espacio. Los datos se resumen en seguida:

Compartimiento Capacidad de peso

(toneladas)

Capacidad de

espacio

(pies cúbicos)

Delantero

Central

Trasero

12

18

10

7000

9000

5000

Para mantener el avión balanceado, el peso de la carga en los respectivos

compartimientos debe ser proporcional a su capacidad.

Se tienen ofertas para los siguientes envíos en un vuelo próximo ya que se cuenta

con espacio:

Carga Peso

(toneladas)

Volumen

(pies cúbicos/tonelada)

Ganancia

($/tonelada)

1

2

3

4

20

16

25

13

500

700

600

400

320

400

360

290

Se puede aceptar cualquier fracción de estas cargas. El objetivo es determinar

qué cantidad de cada carga debe aceptarse (si se acepta) y cómo distribuirla en

los compartimientos para maximizar la ganancia del vuelo. Formule el modelo de

programación lineal para este problema.

12. KONDA MOTOR’S SA. es especialista en el ensamble de vehículos. En los

siguientes cuadros se dan las ofertas, demandas y costos (semanales):

ENSAMBLADORA OFERTA DE

MOTOS

CIUDAD

DEMANDA DE

MOTOS

Bogotá 35 Cartagena 30

Medellín 60 Cali 45

Barranquilla 25 Montería 25

Pasto 20

A

DE Cartagena Cali Montería Pasto

Bogotá 50 30 60 70

Medellín 20 80 10 90

Barranquilla 100 40 80 30

Determinar el PLAN ÓPTIMO de distribución con su Costo Total.

pág. 59


Tema Nº 6: MODELO DE ASIGNACION DE RECURSOS

6.1 Problemas de asignación de recursos

Los problemas de asignación presentan una estructura similar a los de transporte,

pero con dos diferencias: asocian igual número de orígenes con igual número de

demandas y las ofertas en cada origen es de valor uno, como lo es la demanda en

cada destino. El problema de asignación debe su nombre a la aplicación particular de

asignar hombres a trabajos (o trabajos a máquinas), con la condición de que cada

hombre puede ser asignado a un trabajo y que cada trabajo tendrá asignada una

persona. La condición necesaria y suficiente para que este tipo de problemas tenga

solución, es que se encuentre balanceado, es decir, que los recursos totales sean

iguales a las demandas totales. El modelo de asignación tiene sus principales

aplicaciones en: Trabajadores, Oficinas al personal, Vehículos a rutas, Máquinas,

Vendedores a regiones, productos a fabricar, etc.

Transporte Asignación

Unidades de un bien

m orígenes m recursos

n destinos n actividades

si recursos en el origen i

Demanda dj en el destino j

Costo cij por unidad distribuida

desde el origen i al destino j

Ganancia Z Medida global de la efectividad

Z

Así, por lo general, el origen i (i = 1, 2, ..., m) dispone de si unidades para distribuir a

los destinos y el destino j (j = 1, 2, ..., n) tiene una demanda de dj unidades que

recibe desde los orígenes. Una suposición básica es que el costo de distribución de

unidades desde el origen i al destino j es directamente proporcional la distancia, donde

cij denota el costo por unidad distribuida. Igual que para el ejemplo prototipo, estos

datos de entrada se pueden resumir en forma muy conveniente en la tabla de costos

y requerimientos que se muestra enseguida:

Costo por unidad distribuida

consumo de recursos por unida de

actividad

Cantidad de

recursos

dispon

Destino Actividad

1 2 . . . n Recursos

1 c11 c12 . . . c1n s1

Origen 2 c21 c22 . . . c2n s2

Recurso . . . . .

. . . . .

m cm1 cm2 . . . cmn sm

pág. 60


Demanda

Contribución

a Z por

unidad de

actividad

d1 d2 . . . dn

6.2 El método Húngaro

Este algoritmo se usa para resolver problemas de minimización, ya que es más

eficaz que el empleado para resolver el problema del transporte por el alto grado de

degeneración que pueden presentar los problemas de asignación. Las fases para la

aplicación del método Húngaro son:

Paso 1: Encontrar primero el elemento más pequeño en cada fila de la matriz

de costos m*m; se debe construir una nueva matriz al restar de cada costo el

costo mínimo de cada fila; encontrar para esta nueva matriz, el costo mínimo

en cada columna. A continuación se debe construir una nueva matriz

(denominada matriz de costos reducidos) al restar de cada costo el costo

mínimo de su columna.

Paso 2: (En algunos pocos textos este paso se atribuye a Flood). Consiste en

trazar el número mínimo de líneas (horizontales o verticales o ambas

únicamente de esas maneras) que se requieren para cubrir todos los ceros en

la matriz de costos reducidos; si se necesitan m líneas para cubrir todos los

ceros, se tiene una solución óptima entre los ceros cubiertos de la matriz. Si se

requieren menos de m líneas para cubrir todos los ceros, se debe continuar con

el paso 3. El número de líneas para cubrir los ceros es igual a la cantidad de

asignaciones que hasta ese momento se pueden realizar.

Paso 3: Encontrar el menor elemento diferente de cero (llamado k) en la

matriz de costos reducidos, que no está cubierto por las líneas dibujadas en el

paso 2; a continuación se debe restar k de cada elemento no cubierto de la

matriz de costos reducidos y sumar k a cada elemento de la matriz de costos

reducidos cubierto por dos líneas (intersecciones). Por último se debe regresar

al paso 2.

Notas:

Para resolver un problema de asignación en el cual la meta es maximizar la

función objetivo, se debe multiplicar la matriz de ganancias por menos uno (-1)

y resolver el problema como uno de minimización.

Si el número de filas y de columnas en la matriz de costos son diferentes, el

problema de asignación está desbalanceado. El método Húngaro puede

proporcionar una solución incorrecta si el problema no está balanceado; debido

a lo anterior, se debe balancear primero cualquier problema de asignación

(añadiendo filas o columnas ficticias) antes de resolverlo mediante el método

Húngaro.

En un problema grande, puede resultar difícil obtener el mínimo número de

filas necesarias para cubrir todos los ceros en la matriz de costos actual. Se

puede demostrar que si se necesitan j líneas para cubrir todos los ceros,

entonces se pueden asignar solamente j trabajos a un costo cero en la matriz

actual; esto explica por qué termina cuando se necesitan m líneas.

pág. 61


Mediante el siguiente ejemplo vamos a ilustrar la manera de aplicar el método

Húngaro a la solución de un problema de asignación de minimización:

Una factoría tiene cuatro operarios, los cuales deben ser asignados al manejo de

cuatro máquinas; las horas requeridas para cada trabajador en cada máquina se dan

en la tabla adjunta; el tiempo a laborar por cada operario en cada una de las

máquinas se pretende que sea mínimo, para lo cual se busca la asignación óptima

posible.

OPERARIOS MAQUINAS

1 2 3 4

Antonio 10 14 16 13

Bernardo 12 13 15 12

Carlos 9 12 12 11

Diego 14 13 18 16

Planteamiento del Modelo Primal:

Min W = 10X11+ 14X12+ 16X13+ 13X14+ 12X21+ 13X22+ 15X23+ 12X24+ + 9X31+

12X32+ 12X33+ 11X34+ 14X41+ 16X42+ 18X43+ 16X44

sujeto a las siguientes restricciones:

Aplicando el método Húngaro tenemos:

1 2 3 4

A 10 14 16 13

B 12 13 15 12

C 9 12 12 11

D 14 13 18 16

pág. 62


Restamos 10, 12, 9 y 14 (costos mínimos de cada fila) de cada elemento en cada una de las filas

correspondientes:

1 2 3 4

A 0 3 6 3

B 0 1 3 0

C 0 3 3 2

D 0 2 4 2

En la matriz anterior trazamos el menor número de líneas (3), de manera tal que cubran todos los

ceros (Método de Flood):

1 2 3 4

A 0 3 3 3

B 0 0 0 0

C 0 2 0 2

D 0 1 1 2

En la matriz anterior trazamos el menor número de líneas (3), de manera tal que cubran todos los

ceros (Método de Flood):

1 2 3 4

A 0 2 3 2

B 1 0 1 0

C 0 1 0 1

D 0 0 1 1

Solución Optima Unica:A-1, B-4, C-3 y D-2.Lo anterior quiere decir que Antonio va a laborar en la

máquina 1 (10 horas), Bernardo en la máquina 4 (12 horas), Carlos va a trabajar en la máquina 3 (12

horas) y Diego en la máquina 2 (16 horas).

La combinación óptima de los recursos para este problema de minimización de asignación es de 50

horas, resultantes de adicionar las asignadas a cada uno de los operarios en cada una de las

máquinas. Dicho valor corresponde al valor óptimo de la función objetivo.

pág. 63


1. Una fábrica dispone de cuatro obreros para completar cuatro trabajos. Cada obrero

sólo puede hacer uno de los trabajos. El tiempo que requiere cada obrero para

completar cada trabajo se da a continuación:

La fábrica desea minimizar el tiempo total dedicado a los cuatro trabajos.

a) Formular un modelo que determine la mejor asignación de los obreros.

2. Un pequeño taller arma dispositivos mecánicos, ya sea como un producto terminado

que entrega al mercado, o como un proceso intermedio para entregar a una gran

fábrica. Trabajan 3 personas en jornadas de 40 horas semanales. Dos de estos

obreros no calificados reciben $0.4 por hora, y el tercero, un obrero calificado, recibe

$0.6 por hora. Los tres están dispuestos a trabajar hasta 10 horas adicionales a la

semana con un salario 50% superior durante este período.

Los costos fijos semanales son de $800. Los gastos de operación variables son de $1.0

por hora de trabajo de obrero no calificado y $2.4 por hora de obrero calificado. Los

dispositivos mecánicos sin acabar son vendidos a la planta a $6.5 cada uno. El taller

tiene un contrato bajo el cual debe entregar 100 de estos dispositivos semanalmente a

la empresa. El dueño del taller tiene como política el producir no más de 50

dispositivos a la semana por sobre el contrato.

Los dispositivos terminados se venden a $15 cada uno sin restricciones de mercado.

Se requieren 0.5 horas de obrero no calificado y 0.25 horas de obrero calificado para

producir un dispositivo sin acabar listo para entregar a la empresa. Uno de estos

dispositivos puede ensamblarse y dejarlo terminado agregándole 0.5 horas de

trabajador calificado.

Un dispositivo acabado listo para entregar al mercado se puede producir con 0.6 horas

de obrero no calificado y 0.5 horas de obrero calificado. Plantear el modelo de

programación lineal que permita responder la consulta: ¿cómo y cuánto producir para

cumplir el contrato de modo de maximizar las utilidades?

3. El gestor de un hospital debe planificar el horario de los trabajadores del mismo.

Determínese el coste mínimo de personal para el hospital sabiendo que

a. La jornada laboral consta de 3 turnos.

b. En cada turno ha de haber al menos 1 medico, 3 enfermeras y 3 auxiliares de

clínica.

c. El número máximo de empleados que se requiere en cada turno es 10.

d. Los salarios son los siguientes: 50 dólares/turno para un medico, 20 dólares/turno

para un enfermero, y 10 dólares/turno para un auxiliar de clínica.

e. El número total de empleados es: 15 médicos, 36 enfermeras, y 49 auxiliares de

clínica.

f. Cada empleado debe descansar al menos dos turnos consecutivos.

Tiempo

requerido por

obreros

Trabajo 1 Trabajo 2 Trabajo 3 Trabajo 4

Obrero 1 14 5 8 7

Obrero 2 2 12 6 5

Obrero 3 7 8 3 9

Obrero 4 2 4 6 10

Actividad

pág. 64


4. Una empresa tiene un trabajo compuesto de 5 módulos para ser desarrollado por 5

programadores, se desea que cada módulo sea desarrollado por un solo programador

y que cada programador desarrolle un solo módulo. Debido a los diferentes grados de

dificultad de los módulos y a las diferencias individuales de los programadores, el

tiempo (en días) que ellos emplean es diferente y se da en la siguiente tabla:

MODULOS PROGRAMADORES

A B C D E

Modulo 1 2 4 4 3 6

Modulo 2 2 6 5 4 6

Modulo 3 5 6 5 3 7

Modulo 4 3 5 7 2 4

Modulo 5 8 5 6 2 1

a) Determine la asignación óptima de modo de minimizar el tiempo total

b) Para cuándo debe comprometerse a entregar el trabajo

c) Cómo sería la formulación si un programador puede desarrollar más de un

módulo?

a) Cuál es la opción que más le conviene hacer a la empresa?

a. Si la utilidad unitaria de las sillas disminuye a $16, ¿Cómo se afecta a la solución

óptima y el objetivo?

pág. 65


CUARTA UNIDAD

Tema Nº 7: ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS PERT/CPM

7.1 Introducción

En muchas situaciones los administradores son responsables de planear, programar y

controlar proyectos compuestos de numerosas actividades, tareas, y complejos

procesos. Estos pueden variar en un rango de menor a mayor complejidad en

relación directa al monto de la inversión, en esta última se hace difícil coordinar la

duración, su presupuesto, la precedencia todas las actividades.

La existencia de métodos cuantitativos muy relacionados entre si como el PERT y el

CPM asisten eficazmente al administrador de proyectos. En esa oportunidad la

variedad de las utilidades de estas dos técnicas solo se estudiaran aquellas orientados

a la mercadotecnia como:

- Investigación y desarrollo de nuevos productos

- Conducción de una campaña publicitaria

- Capacitación a la fuerza de ventas

- Asesoría y consultoría en marketing

- Diseñar o modificar procesos productivos complejos

El origen de estas técnicas se debió a la complejidad de las tareas y actividades a

desarrollar en mega proyectos donde decenas, centenas y millares de actividades en

el campo militar eran necesarias planear, programa y controlar. Un factor que

complica el término a una fecha determinada de tales actividades es la

interdependencia de las mismas, por ejemplo: Algunas actividades dependen de la

terminación de otras antes de que puedan iniciarse. Los proyectos pueden llegar a

varios miles de tareas o actividades por lo que los administradores de proyectos

buscan procedimientos a responder a algunas interrogantes como:

1. De que modo puede desplegarse el proyecto en forma grafica para visualizar

mejor el flujo de actividades

2. ¿Cual es el tiempo total para terminar el proyecto?

3. ¿Cuales son las fechas programadas de inicio y término para cada una de las

actividades?

4. ¿Cuales son las actividades cuello de botella denominadas actividades criticas?,

donde deben evitarse los retrasos

5. Dada la incertidumbre al estimar con precisión las duraciones de las actividades

¿Cuál es la probabilidad de terminar el proyecto a la fecha programada?

6. Si se gasta dinero adicional para acelerar el proyecto o para evitar penalidades

por la demora en la entrega o finalización del proyecto. ¿Cuál es la forma

menos costosa de intentar cumplir con el tiempo programado?

En toda actividad a realizar se requieren conocimientos precisos y claros de lo que se

va a ejecutar, de su finalidad, viabilidad, elementos disponibles, capacidad financiera,

etc. Esta etapa aunque esencial para la ejecución del proyecto no forma parte del

método. Es una etapa previa que se debe desarrollar separadamente y para la cual

también puede utilizarse el Método del Camino Critico. Es una investigación de

objetivos, métodos y elementos viables y disponibles.

De modo que el PERT CPM, es un instrumento de dirección válido para obtener la

seguridad en la planificación y control y es aplicable en todos los niveles de

complejidad, desde los problemas simples y de corto plazo, hasta el más complicado y

de largo alcance.

pág. 66


7.2 Procedimiento para trazar un modelo de red

Para aplicar CPM o PERT se requiere conocer la lista de actividades que incluye un

proyecto. Se considera que el proyecto está terminado cuando todas las actividades

han sido completadas. Para cada actividad, puede existir un conjunto de actividades

predecesoras que deben ser completadas antes de que comience la nueva actividad.

Se construye una malla o red del proyecto para graficar las relaciones de precedencia

entre las actividades. En dicha representación grafica, cada actividad es representada

como un arco y cada nodo ilustra la culminación de una o varias actividades.

Consideremos un proyecto que consta de solo dos actividades A y B. Supongamos que

la actividad A es predecesora de la actividad B. La representación grafica de este

proyecto se muestra en la figura. Así, el nodo 2 representa la culminación de la

actividad A y el comienzo de la actividad B.

Si suponemos ahora que las actividades A y B deben ser terminadas antes que una

actividad C pueda comenzar, la malla del proyecto queda como se muestra en la

figura2. En este caso, el nodo representa que las actividades A y B se han terminado,

además del inicio de la actividad C. Si la actividad A fuera predecesora de las

actividades B y C, la red quedara como se muestra.

Proyecto de tres actividades

Dado un conjunto de actividades y sus relaciones de predecesoras, se puede construir

una representación grafica de acuerdo a las siguientes reglas:

El nodo 1 representa el inicio del proyecto. Por lo tanto, las actividades que

parten del nodo 1 no pueden tener predecesoras.

El nodo Terminal o final del proyecto debe representar el término de todas las

actividades incluidas en la red.

Una actividad no puede ser representada por más de un arco en la red.

Dos nodos deben estar conectados por a lo mas un arco.

Para no violar las reglas 3 y 4, a veces es necesario introducir una actividad artificial

o dummy que posee tiempo de duración nulo. Por ejemplo, supongamos que las

actividades A y B son predecesoras de la actividad C y además comienzan al mismo

tiempo. En este caso, una primera representación podría ser la indicada en la figura

2.4. Sin embargo, la red de la figura 3 viola la regla 4. Para corregir este problema, se

introduce una actividad artificial indicada con un arco segmentado en la figura

La red de la figura 4 refleja el hecho de que la actividad C tiene como predecesoras a

A y B, pero sin violar la regla 4. En otros casos, se deben agregar actividades

artificiales para no violar la regla 3.

A y B predecesoras de C

A B 1 2 3

A

B C

1 2

A

C B

1

1

1

pág. 67


Razones para usar actividades ficticias:

a) Para evitar que dos o más actividades tengan el mismo Evento inicial y final y

b) Para representar relaciones de precedencia que de otra manera no pueden ser

representadas. Una red bien debe contener el mínimo necesario de este tipo de

actividades.

pág. 68


7.3 Pasos en el planeamiento del proyecto del CPM

a) Especifique las actividades individuales

De la estructura de la interrupción del trabajo, un listado se puede hacer de todas las

actividades en el proyecto. Este listado se puede utilizar como la base para agregar la

información de la secuencia y de la duración en pasos más últimos.

b) Determine la secuencia de las actividades

Algunas actividades son dependientes en la terminación de otras. Un listado de los

precursores inmediatos de cada actividad es útil para construir el diagrama de la red

del CPM.

c) Dibuje el diagrama de la red

Una vez que se hayan definido las actividades y el su ordenar, el diagrama del CPM

puede ser dibujado. El CPM fue desarrollado originalmente como actividad en red del

nodo (AON), pero algunos planificadores del proyecto prefieren especificar las

actividades en los arcos.

d) Estime la época de la terminación para cada actividad

El tiempo requerido para terminar cada actividad se puede estimar usando experiencia

previa o las estimaciones de personas bien informadas. El CPM es un modelo

determinista que no considera la variación en el tiempo de la terminación, tan

solamente un número se utiliza para la estimación del tiempo de una actividad.

e) Identifique la trayectoria crítica (la trayectoria más larga a través de la

red)

La trayectoria crítica es la trayectoria de la largo-duración a través de la red. La

significación de la trayectoria crítica es que las actividades que mienten en ella no se

pueden retrasar sin delaying el proyecto. Debido a su impacto en el proyecto entero,

el análisis de trayectoria crítica es un aspecto Importante del planeamiento del

proyecto. La trayectoria crítica puede ser identificada determinando los cuatro

parámetros siguientes para cada actividad:

ES, Principio temprano.

EF, principio tardío.

LS, terminación temprana.

LF, terminación tardía.

La época floja para una actividad es el tiempo entre su hora de salida más temprana y

más última, o entre su tiempo más temprano y más último del final. La holgura es la

cantidad de tiempo que una actividad se puede retrasar más allá de su comienzo más

temprano o final más temprano sin delaying el proyecto.

La trayectoria crítica es la trayectoria a través de la red del proyecto en la cual

ningunas de las actividades tienen holgura, es decir, la trayectoria para la cual ES=LS

y EF=LF para todas las actividades en la trayectoria. Retrasa en la trayectoria crítica

retrasa el proyecto. Semejantemente, acelere el proyecto que es necesario reducir el

tiempo total requerido para las actividades en la trayectoria crítica.

f) Ponga al día el diagrama del CPM

Pues progresa el proyecto, los tiempos reales de la terminación de la tarea serán

sabidos y el diagrama de la red se puede poner al día para incluir esta información.

Una trayectoria crítica nueva puede emerger, y los cambios estructurales se pueden

realizar en la red si los requisitos del proyecto cambian.

g) Limitaciones del CPM

El CPM fue desarrollado para el complejo pero los proyectos bastante rutinarios con

incertidumbre mínima en los tiempos de la terminación del proyecto. Para menos

proyectos de la rutina hay más incertidumbre en los tiempos de la terminación, y

límites de esta incertidumbre la utilidad del modelo determinista del CPM. Una

alternativa al CPM es el modelo del planeamiento del proyecto del PERT, que permite

que una gama de duraciones sea especificada para cada actividad.

pág. 69


Ejemplo: Construcción de un Complejo Deportivo

La universidad del Estado está considerando construir un complejo atlético de sus

múltiples dentro de su campo. El complejo proveerá un gimnasio para juegos inter-

universidades, espacio de oficinas, salones de clases y todos los servicios necesarios

dentro de él. Las actividades que serán emprendidas antes de su construcción se

muestran, con la información necesaria, a continuación:

Actividad Descripción Actividades

Precedentes Duración

A Estudios del sitio para la construcción ------ 6

B Desarrollo del diseño inicial ------ 8

C Obtener aprobación de las instancias

superiores A,B 12

D Seleccionar al arquitecto C 4

E Establecer el presupuesto C 6

F Finalizar el diseño D,E 15

G Obtener financiamiento E 12

H Contratar al constructor F,G 8

7.4. Utilidad de las técnicas PERT y CPM

El PERT/CPM fue diseñado para proporcionar diversos elementos útiles de información

para los administradores del proyecto.

a) Expone la "ruta crítica" de un proyecto. Estas son las actividades que limitan la

duración del proyecto. En otras palabras, para lograr que el proyecto se realice

pronto, las actividades de la ruta crítica deben realizarse pronto. Por otra

parte, si una actividad de la ruta crítica se retarda, el proyecto como un todo

se retarda en la misma cantidad. Las actividades que no están en la ruta

crítica tienen una cierta cantidad de holgura; esto es, pueden empezarse más

tarde, y permitir que el proyecto como un todo se mantenga en programa.

b) Identifica estas actividades y la cantidad de tiempo disponible para retardos.

c) Considera los recursos necesarios para completar las actividades. En muchos

proyectos, las limitaciones en mano de obra y equipos hacen que la

programación sea difícil.

pág. 70


d) Identifica los instantes del proyecto en que estas restricciones causarán

problemas y de acuerdo a la flexibilidad permitida por los tiempos de holgura

de las actividades no críticas, permite que el gerente manipule ciertas

actividades para aliviar estos problemas.

e) Proporciona una herramienta para controlar y monitorear el progreso del

proyecto. Cada actividad tiene su propio papel en éste y su importancia en la

terminación del proyecto se manifiesta inmediatamente para el director del

mismo. Las actividades de la ruta crítica, permiten por consiguiente, recibir la

mayor parte de la atención, debido a que la terminación del proyecto, depende

fuertemente de ellas. Las actividades no críticas se manipularan y remplazaran

en respuesta a la disponibilidad de recursos.

Simplemente hablando, el PERT-CPM es una técnica de planificación y un instrumento

de control de la dirección que utiliza la teoría de la “Red”. Una vez definidas las varias

actividades que componen el proyecto, se forma con ellos la “Red”, mostrando la

sucesión de las actividades en secuencia lógica y el grado de interdependencia entre

ellas. Se estima el tiempo de duración asociado a cada actividad, y se determinan las

partes críticas del proyecto La “Red” es el mapa, la representación gráfica de la

organización interna del proyecto.

7.5. Programación de proyectos

Una vez elaborado el diagrama queda clara la secuencia de actividades y se puede

pasar a la programación de las mismas. Para ello, es necesario conocer las duraciones

de las distintas actividades. Generalmente, éstas no se pueden fijar con exactitud, ya

que son muchos los factores de carácter aleatorio que están relacionados con ellas.

Sirva de ejemplo la actividad «escribir un informe»: ¿nos podría decir qué tiempo

tardada usted? Suponemos que la respuesta sería algo parecido a «depende». El PERT

aborda este problema evaluando la duración de una actividad a partir de tres

estimaciones:

a) Duración optimista: que representa el tiempo mínimo en que podría ejecutarse la

actividad si todo marchara excepcionalmente bien, no produciéndose ningún

contratiempo durante la fase de ejecución. Se considera que la probabilidad de

poder finalizar la actividad en esta duración no es Superior al 1 por 100.

b) Duración más probable, o estimación modal, que es el tiempo que, normalmente,

se empleará en ejecutar la actividad; en el caso de que dicha tarea se hubiera

realizado varias veces, seria la duración con mayor frecuencia de aparición.

c) Duración pesimista, que representa el tiempo máximo en que se podría ejecutar

la actividad si todas las circunstancias que influyen en su duración fueran

totalmente desfavorables su probabilidad se considera, como máximo, del 1 por

100.

7.6. Ventajas del PERT y CPM

a) Enseña una disciplina lógica para planificar y organizar un programa detallado

de largo alcance.

b) Proporciona una metodología estándar de comunicar los planes del proyecto

mediante un cuadro de tres dimensiones (tiempo, personal; costo).

c) Identifica los elementos (segmentos) más críticos del plan, en que problemas

potenciales puedan perjudicar el cumplimiento del programa propuesto.

d) Ofrece la posibilidad de simular los efectos de las decisiones alternativas o

situaciones imprevistas y una oportunidad para estudiar sus consecuencias en

relación a los plazos de cumplimiento de los programas.

e) Aporta la probabilidad de cumplir exitosamente los plazos propuestos.

pág. 71


En otras palabras: CPM es un sistema dinámico, que se mueve con el progreso del

proyecto, reflejando en cualquier momento el STATUS presente del plan de acción.

El administrador de proyectos no tiene por qué saber el manejo matemático de las

herramientas de planeación que muchas veces es complicado, pero es fundamental

saber los conceptos, el ¿Por qué? y ¿Cuándo? usar cada técnica, y como sacar

provecho de los resultados de las mismas para la toma de decisiones

Las técnicas de planificación por redes son únicas en su forma, especialmente por lo

que respecta a los conceptos de la ruta crítica. Los conceptos relativos a nivelación de

cargas, costo mínimo y programación de recursos limitados han aportado una base

racional a una dirección de proyectos que se apoya en planes amplios cuidadosamente

tratados. Se puede decir que los planes se derivan del análisis de diversas alternativas

sobresalientes. Estando basados en la computadora, se pueden aplicar a sistemas

muy grandes. Son flexibles, de manera que se pueden modificar cuando así lo

aconseje la experiencia.

Una vez establecidas la red de actividades, la ruta crítica y los datos estadísticos del

programa se tiene un plan de proyecto. De la información se puede extraer datos

adicionales con respecto a la demanda de recursos del programa inicial; es posible la

formulación de programas alternativos, con el fin de nivelar las cargas. La distribución

del tiempo que se supone para la actividad se define por tres estimados, (estimado de

tiempo probable, tiempo optimista, tiempo pesimista) tomado en cuenta que el tiempo

de terminación del proyecto es la suma de todos los tiempos esperados de las

actividades sobre la ruta crítica, de ese modo se sabe que las distribuciones de los

tiempos de las actividades son independientes y la varianza del proyecto es la es la

suma de las varianzas de las actividades en la ruta crítica.

Mientras que el CPM y PERT son esencialmente lo mismo, sus matices hacen cada uno

aplicable más que el otro en situaciones diferentes. En ambos métodos la información

esencial deseada es la ruta crítica y las holguras. Estas, le permiten al director del

proyecto hacer decisiones con base a información, basado en el principio de

administración por excepción, sobre los planes y proyectos del trabajo actual y

monitorear el progreso del proyecto.

7.7. Pasos en el método pert (program evaluation and review technique)

En CPM se asume que la duración de cada actividad es conocida con certeza.

Claramente, en muchas ocasiones este supuesto no es válido. PERT intenta corregir

este error suponiendo que la duración de cada actividad es una variable aleatoria.

Para cada activad, se requiere estimar las siguientes cantidades:

a=Tiempo Optimista. Duración de la actividad bajo las condiciones más favorables

b=Tiempo Pesimista. Duración de la actividad bajo las condiciones más

desfavorables

m=Tiempo Normal. El valor más probable de la duración de la actividad.

La forma de la distribución se muestra en la figura, tiempo más probable es el tiempo

requerido para completar la actividad bajo condiciones normales. Los tiempos

optimistas y pesimistas proporcionan una medida de la incertidumbre inherente en la

actividad, incluyendo desperfectos en el equipo, disponibilidad de mano de obra,

retardo en los materiales y otros factores.

pág. 72


7.8. Asignación de tiempos

Es necesario estimar los tiempos de las tareas incluidas en la red. Para ello se podrá

disponer de sistemas de estudio y medición del trabajo, de estadísticas históricas o de

datos de ejecución de tareas iguales, similares o comparables.

Cuando mencionamos las diferencias entre CPM y PERT, dijimos que para el primero,

la determinación de tiempo de cada una de las tareas es estimada mientras que para

el segundo la determinación es probabilística. Es decir, la técnica PERT hace un uso

explícito de la teoría de la probabilidad mientras que en el CPM es intuitivo.

Sintetizando, el método PERT utiliza tres distintas estimaciones de tiempo, que se

aplican al caso de planes desarrollados para aplicaciones no tradicionales, en que

existe un desconocimiento total de la duración de una actividad:

- Estimaciones optimistas (to): duración mínima en que la tarea puede ser

finalizada.

- Estimación pesimista (tp): duración máxima en que la tarea puede ser

totalizada.

- Estimación más probable (tm): representa el valor más probable, es decir el de

mayor frecuencia, o sea, la moda.

Con estos tiempos, podemos obtener el tiempo esperado (te) bajo la siguiente

fórmula:

te = to + 4tm + tp

6

La ventaja de tener tres estimaciones de los tiempos de cada actividad es que puede

calcularse la dispersión de los tiempos y puede utilizarse esta información para

evaluar la incertidumbre de que el proyecto se termine de acuerdo con el programa.

Cálculos básicos:

La siguiente parte del proceso, que es la determinación de los tiempos en

cada actividad.

Lo primero que tendríamos que hacer es calcular el tiempo más temprano de iniciación

de cada actividad (ES), que esta determinado por el tiempo de terminación de las

actividades predecesoras a esta.

pág. 73


El tiempo más temprano de terminación de una actividad (EF) es igual al tiempo más

temprano de inicio de dicha actividad (ES) más el tiempo esperado de la actividad (t),

es decir:

EF = ES + t

Regla de tiempo de ES El tiempo más temprano de inicio de una actividad

(ES) es igual al más tardío de los tiempos más

tempranos de terminación de las actividades

predecesoras

Por otro lado, el ES de una actividad sin predecesores es 0.

Una vez terminado este proceso (conocido como “proceso hacia adelante”), haremos

el “proceso hacia atrás”, el cual nos servirá para determinar los tiempos más tardíos

de inicio y terminación de cada una de las actividades.

Como su nombre lo dice, esta parte del proceso es “hacia atrás” ya que iniciamos

calculando el tiempo más tardío de terminación (LF) de la última actividad, que es

igual al tiempo más temprano de terminación (EF) de esta misma actividad (que es el

mismo del proyecto).

El tiempo más tardío de inicio (LS) de cada actividad es igual al tiempo más tardío de

terminación (LF) menos el tiempo esperado de la actividad (t), esto es:

LS = LF – t

Regla de tiempo para LF El tiempo más tardío de terminación (LF) para

una actividad es igual al menor de los tiempos

más tardíos de inicio (LS) de sus actividades

sucesoras

Una vez terminada esta actividad, ya podemos definir la ruta crítica, que es la

formada por las actividades críticas de la red. Las actividades críticas son aquellas que

tienen un tiempo de holgura igual a cero.

Tiempo de holgura = LS – ES = LF – EF

Resumen del procedimiento de diagramación de red:

1. Identificar todas las actividades relacionadas con el proyecto

2. Determinar las relaciones de precedencia entre las actividades

3. Estimar el tiempo de terminación de cada actividad

4. Elaborar la red del proyecto, mostrando las relaciones de precedencia

5. Con el proceso “hacia delante” calcular el tiempo más temprano de inicio (ES) y

el tiempo más temprano de terminación (EF) de cada actividad

6. Con el proceso “hacia atrás” calcular el tiempo mas tardío de terminación (LF) y

el tiempo más tardío de inicio (LS) de cada actividad

7. Calcular el tiempo de holgura de cada actividad

8. Identificar la ruta crítica del proyecto

pág. 74


Una de las características de este modelo es el poder manejar la incertidumbre en los

pronósticos de tiempo para terminar las tareas

CONSIDERACIÓN DE LOS INTERCAMBIOS DE TIEMPO Y COSTO

Los desarrolladores originales de CPM dieron al administrador del proyecto la

posibilidad de agregar recursos a actividades seleccionadas para reducir el tiempo de

terminación del proyecto. Los recursos añadidos (como más trabajadores, tiempo

extra y otros) generalmente incrementan los costos del proyecto, por lo que la

decisión de reducir los tiempos de las actividades debe tomar en consideración el

costo adicional involucrado. En efecto, el administrador del proyecto tiene que tomar

una decisión que implica negociar un tiempo más reducido de actividad contra un

costo adicional del proyecto.

La tabla siguiente define un proyecto de mantenimiento de dos máquinas que

involucra cinco actividades. Dado que la administración ha tenido gran experiencia con

proyectos similares, se considera que los tiempos para las actividades de

mantenimiento son conocidos; por lo que se da una sola estimación de tiempo para

cada actividad.

El procedimiento para efectuar cálculos de camino crítico para la red del proyecto de

mantenimiento es el mismo que utilizamos para determinar el camino crítico en las

redes tanto para el proyecto de expansión del Western Hills Shopping Center como

para el proyecto Porta-Vac. Efectuando los cálculos de pase hacia adelante y pase

hacia atrás de la red obtuvimos el programa de actividades que aparece en la tabla.

Los tiempos de holgura cero, y por lo tanto el camino crítico, quedaron asociados con

las actividades A-B-E. La duración del camino crítico, y por lo tanto el tiempo total

requerido para finalizar el proyecto, es de 12 días.

pág. 75


Tiempos de actividades apresuradas

Ahora suponga que los niveles actuales de producción hacen imperativo terminar el

proyecto de mantenimiento en diez días. Observando la duración del camino crítico de

la red (12 días) nos damos cuenta de que es imposible cumplir con el tiempo deseado

de finalización del proyecto a menos que podamos reducir algunos tiempos

seleccionados de actividad. Esta reducción de los tiempos de actividad, que por lo

general se puede conseguir agregando recursos, se conocen como apresurar. Sin

embargo, los recursos añadidos asociados con tiempos de actividad de apresuramiento

generalmente dan como resultado costos agregados del proyecto, por lo que

requeriremos identificar las actividades cuyo apresuramiento cuesta menos y a

continuación apresurar esas actividades únicamente lo necesario para cumplir con el

tiempo deseado de finalización del proyecto.

Para determinar simplemente dónde y cuánto apresurar los tiempos de actividad,

necesitamos información sobre cuánto se puede apresurar cada una de las actividades

y cuánto cuesta este proceso de apresuramiento, por lo que debemos solicitar la

siguiente información:

1. Costo de la actividad bajo el tiempo de actividad normal o esperado

2. Tiempo para finalizar la actividad bajo un apresuramiento máximo (es decir,

el tiempo de actividad más corto posible)

3. Costo de la actividad bajo apresuramiento máximo.

PROBLEMAS PROPUESTOS DE PROGRAMACIÓN DE PROYECTOS

1. Corporación de Alimentos S.A. fabrica y distribuye diversos productos alimenticios

que se venden a través de tiendas de abarrotes y supermercados. La empresa recibe

pedidos directamente de cada una de las tiendas individuales: un pedido típico

solicita la entrega de varias cajas de bienes que abarcan entre 20 a 50 productos

diferentes, Bajo la operación actual del almacén de la empresa, los almaceneros

despachan personalmente seleccionando los pedidos llevándolos al área de

embarque. Debido a los elevados costos de la mano de obra y a la relativa baja

productividad de la selección manual de pedidos, la administración ha decidido

automatizar la operación del almacén instalando un sistema de selección de pedidos

controlado por computadora, junto con un sistema de banda o faja transportadora

para mover los productos del área de almacenaje a la área de embarque.

El gerente de logística de la Corporación fue designado administrador del proyecto

encargado del sistema automatizado. Después de consultar con el área de ingeniería

y de administración se ha realizado una listado actividades y los tiempos de las

mismas, las que son:

Actividad

pág. 76


Actividad Descripción Precedente Tiempo

esperado

A Determinar necesidades del equipo - 4

B Obtener cotizaciones de los proveedores - 6

C Seleccionar proveedor A, B 2

D Diseñar el sistema de pedidos C 8

E Diseñar nueva disposición física del

almacén

C 7

F Acondicionar el almacén E 4

G Diseñar interface con la computadora C 4

H Realizar el interface de la computadora D, F, G 4

I Instalar sistema D, F 4

J Capacitar a los operadores del sistema H 3

K Probar el sistema I, J 2

Se desea conocer: El grafico del proyecto indicando su duración y el / los caminos

critico/s

2. Un empresario que se dedica a la venta de cueros y suelas ha decidido incursionar

en la fabricación de calzados y propone para la puesta en marcha de su proyecto de

inversión, las siguientes actividades hasta el inicio de sus operaciones fabriles y le

ha dado un plazo de 6 semanas para terminar la implementación.

(Emplea a su sobrino para administrar –implementar y ejecutar- el proyecto ya que

no desea tener desavenencias con clientes de su tienda de cueros y suelas que son

fabricantes de calzados)

Actividad Precedente Duración (días)

A E 4

B - 10

C D, E, F 3

D A, B 16

E - 5

F H 10

G H 12

H A, B 15

I C, G 7

Se desea conocer:

a. Gráfico de las actividades

b. Las actividades críticas (camino crítico)

c. ¿Puede asegurarse en las condiciones actuales terminar el proyecto en 42

días?

d. A su criterio ¿que debería realizarse para cumplir con el plazo previsto?

pág. 77


3. En un proyecto de inversión las actividades que se desarrollaran son las siguientes:

Actividad Descripción Precedente Duración

(días)

A Acondicionar los puntos de venta - 12

B Contratar vendedoras A 6

C Instruir vendedoras B 13

D Seleccionar agencia de publicidad A 3

E Planear campaña de publicidad D 7

F Dirigir campaña de publicidad E 17

G Diseñar etiqueta (de especificaciones) - 3

H Fabricar etiqueta G 14

I Colocar etiqueta a stocks iniciales H, J 8

J Especificar lotes al fabricante - 15

K Seleccionar distribuidores A 13

L Vender a los distribuidores C, K 11

M Enviar mercadería a los distribuidores I, L 9

Se desea conocer:

a. ¿Cual es el menor número de días, necesarios para introducir al mercado el

nuevo producto?

b. Si se contratara vendedoras con experiencia y se elimina la actividad de

instrucción ¿Qué sucedería con el plazo mínimo de terminación del

proyecto?

4. Antes de poder introducir un nuevo producto al mercado se deben realizar todas las

actividades que se muestran en la tabla (todos los tiempos están en semanas).

Actividad Descripción Predecesores a b m

A Diseño del producto - 2 6 10

B Estudio de mercado - 4 6 5

C Emitir ordenes de materiales A 2 4 3

D Recibir materiales C 1 3 2

E Construir prototipo A, D 1 5 3

F Desarrollo y promoción B 3 5 4

G Producción masiva E 2 6 4

H Distribuir producto PDV G, F 0 4 2

pág. 78


Dibuje la malla del proyecto y determine la ruta crítica. Interprete sus resultados.

Realice un modelo de programación lineal que permita determinar la duración mínima

del proyecto.

5. Una empresa de micro finanzas de la ciudad de Huancayo desea abrir otra sucursal

en la ciudad de Ayacucho, la junta de accionistas ha puesto un plazo inflexible de 24

semanas para la apertura. El grupo “analistas de sistemas y operaciones” esta a

cargo de la planeación, programación y control de este proceso, cuidando de que

todo se desarrolle de acuerdo a lo planeado y que se cumpla con el plazo previsto.

La nueva sucursal es casi difícil aunque hay relativa experiencia en apertura de

otras sucursales, esta es sui géneris ya que se prevé darle mayor autonomía

para tratar de ser centro de operaciones de otras sucursales que también

planean abrir en Andahuaylas, Puno y Cuzco.

Se debe elegir entre:

- Acondicionar un local céntrico de la ciudad

- Construir un nuevo local previamente derrumbar la construcción

antigua o

- Alquilar un piso de un edificio céntrico

- Determinar cuantos empleados de la sede central Huancayo se

mudaran a Ayacucho, cuantos se contratan y cuantos de ellos deben

ser capacitados

El grupo de sistemas y la oficina de planeamiento deben organizar e instrumentar

los procedimientos operativos y los desembolsos a seguir en cada actividad de la

apertura de la nueva sede.

Los arquitectos tienen que diseñar el espacio interior, el estilo de la tienda y

contar con la superficie suficiente, previamente el estudio de mercado ha

determinado que gradualmente se incrementara la cantidad de clientes.

Un segundo motivo de complicación es que hay interdependencia de actividades

como por ejemplo:

- No se puede amoblar las oficinas, no sin antes haberlas acabado y

previamente haberlas diseñado.

- Tampoco puede contratarse nuevos empleados mientras no se haya

determinado el requerimiento de personal.

Pasos a seguir:

Debe efectuarse un listado de actividades (no tareas) necesarias del proyecto,

estableciendo la relaciones de precedencia correspondiente.

Actividad Descripción Precedente Tiempo

(semanas)

A Crear el plan financiero y de

organización

- 3

B Elegir ubicación de la sede - 5

C Determinar requerimiento d personal B 3

D Diseñar ambientes del local A, C 4

pág. 79


E Construir – acondicionar el local D 8

F Determinar personal a trasladar de

sede

C 2

G Contratar nuevos empelados F 4

H Trasladar sistemas y personal clave F 2

I Probar sistemas y hacer ajustes

financieros con central

B 5

J Entrenar nuevo personal H, E, G 3

K Apertura de nueva sede J 1

Se desea conocer: El gráfico del proyecto indicando su duración y el / los caminos

critico/s

pág. 80


QUINTA UNIDAD

Tema Nº 8: SISTEMA DE LÍNEA DE ESPERA

La teoría de líneas de espera se origino en los trabajos de A. K. Erlang que

principiaron eh 1909. Experimento con un problema relacionado con la congestión del

trafico telefónico. Durante los periodos ocupados, los que pretendan hacer llamadas

sufran algunas demoras, porque las operadoras eran incapaces de atender las

llamadas con la rapidez con que se hacían. El problema original que trato Erlang fue el

calculo de esa demora para una operadora, y en 1917 los resultados se extendieron al

caso de varias operadoras. En ese año Erlang publicó su obra muy conocida, Solutions

of Some Problems in the Theory of Probabilities of Significance in Automatic Telephone

Exchanges. Los adelantos en el campo del trafico telefónico continuaron generalmente

en el sentido iniciado por Erlang, y las publicaciones principales fueron las de Molina

en 1927 y de Thornton D. Fry en 1928, pero solo fue hasta el fin de la Segunda

Guerra Mundial cuando esos trabajos se extendieron a otros problemas relacionados

con líneas de espera. Inicialmente, este capitulo se concentrara en las derivaciones

matemáticas de las formulas de un problema de líneas de espera de un solo canal. Los

, modelos matemáticos para problemas de líneas de espera de canales múltiples, se

darán sin ninguna prueba matemática. Se presentara el método de Montecarlo, que

básicamente es una técnica de simulación en la que se crean funciones estadísticas de

distribución, usando una tabla de números aleatorios. Se empleara para resolver

problemas de líneas de espera de un solo canal y de canales múltiples,

8.1 Modelo de formación de colas.

En los problemas de formación de cola, a menudo se habla de clientes, tales como

personas que esperan la desocupación de líneas telefónicas, la espera de máquinas

para ser reparadas y los aviones que esperan aterrizar y estaciones de servicios,

tales como mesas en un restaurante, operarios en un taller de reparación, pistas en

un aeropuerto, etc. Los problemas de formación de colas a menudo contienen una

velocidad variable de llegada de clientes que requieren cierto tipo de servicio, y una

velocidad variable de prestación del servicio en la estación de servicio.

Cuando se habla de líneas de espera, se refieren a las creadas por clientes o por las

estaciones de servicio. Los clientes pueden esperar en cola simplemente por que los

medios existentes son inadecuados para satisfacer la demanda de servicio; en este

caso, la cola tiende a ser explosiva, es decir, a ser cada vez mas larga a medida que

transcurre el tiempo. Las estaciones de servicio pueden estar esperando por que los

medios existentes son excesivos en relación con la demanda de los clientes; en este

caso, las estaciones de servicio podrían permanecer ociosas la mayor parte del

tiempo. Los clientes puede que esperen temporalmente, aunque las instalaciones de

servicio sean adecuadas, por que los clientes llegados anteriormente están siendo

atendidos. Las estaciones de servicio pueden encontrar temporal cuando, aunque las

instalaciones sean adecuadas a largo plazo, haya una escasez ocasional de demanda

debido a un hecho temporal. Estos dos últimos casos tipifican una situación

equilibrada que tiende constantemente hacia el equilibrio, o una situación estable.

En la teoría de la formación de colas, generalmente se llama sistema a un grupo de

unidades físicas, integradas de tal modo que pueden operar al unísono con una serie

de operaciones organizadas. La teoría de la formación de colas busca una solución al

problema de la espera prediciendo primero el comportamiento del sistema. Pero una

solución al problema de la espera consiste en no solo en minimizar el tiempo que los

clientes pasan en el sistema, sino también en minimizar los costos totales de

aquellos que solicitan el servicio y de quienes lo prestan.

pág. 81


La teoría de colas incluye el estudio matemático de las colas o líneas de espera y

provee un gran número de modelos matemáticos para describirlas.

Se debe lograr un balance económico entre el costo del servicio y el costo asociado

a la espera por ese servicio

La teoría de colas en sí no resuelve este problema, sólo proporciona información

para la toma de decisiones

Objetivos de la Teoría de Colas

Los objetivos de la teoría de colas consisten en:

· Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste

global del mismo.

· Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la

capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.

· Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones

cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio.

· Hay que prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la

cola: la “paciencia” de los clientes depende del tipo de servicio específico

considerado y eso puede hacer que un cliente “abandone” el sistema.

8.2. Elementos existentes en un modelo de colas

Fuente de entrada o población potencial: Es un conjunto de individuos (no

necesariamente seres vivos) que pueden llegar a solicitar el servicio en cuestión.

Podemos considerarla finita o infinita. Aunque el caso de infinitud no es realista, sí

permite (por extraño que parezca) resolver de forma más sencilla muchas

situaciones en las que, en realidad, la población es finita pero muy grande. Dicha

suposición de infinitud no resulta restrictiva cuando, aún siendo finita la población

potencial, su número de elementos es tan grande que el número de individuos que

ya están solicitando el citado servicio prácticamente no afecta a la frecuencia con

la que la población potencial genera nuevas peticiones de servicio.

pág. 82


Cliente: Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio.

Suponiendo que los tiempos de llegada de clientes consecutivos son 0<t1<t2<...,

será importante conocer el patrón de probabilidad según el cual la fuente de

entrada genera clientes. Lo más habitual es tomar como referencia los tiempos

entre las llegadas de dos clientes consecutivos: consecutivos: clientes

consecutivos: T{k} = tk - tk-1, fijando su distribución de probabilidad.

Normalmente, cuando la población potencial es infinita se supone que la

distribución de probabilidad de los Tk (que será la llamada distribución de los

tiempos entre llegadas) no depende del número de clientes que estén en espera de

completar su servicio, mientras que en el caso de que la fuente de entrada sea

finita, la distribución de los Tk variará según el número de clientes en proceso de

ser atendidos.

Capacidad de la cola: Es el máximo número de clientes que pueden estar

haciendo cola (antes de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse

finita o infinita. Lo más sencillo, a efectos de simplicidad en los cálculos, es

suponerla infinita. Aunque es obvio que en la mayor parte de los casos reales la

capacidad de la cola es finita, no es una gran restricción el suponerla infinita si es

extremadamente improbable que no puedan entrar clientes a la cola por haberse

llegado a ese número límite en la misma.

Disciplina de la cola: Es el modo en el que los clientes son seleccionados para ser

servidos. Las disciplinas más habituales son:

La disciplina FIFO (first in first out), también llamada FCFS (first come first

served): según la cual se atiende primero al cliente que antes haya llegado.

La disciplina LIFO (last in first out), también conocida como LCFS (last come first

served) o pila: que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último.

La RSS (random selection of service), o SIRO (service in random order), que

selecciona a los clientes de forma aleatoria.

Mecanismo de servicio: Es el procedimiento por el cual se da servicio a los

clientes que lo solicitan. Para determinar totalmente el mecanismo de servicio

debemos conocer el número de servidores de dicho mecanismo (si dicho número

fuese aleatorio, la distribución de probabilidad del mismo) y la distribución de

probabilidad del tiempo que le lleva a cada servidor dar un servicio. En caso de que

los servidores tengan distinta destreza para dar el servicio, se debe especificar la

distribución del tiempo de servicio para cada uno.

pág. 83


La cola, propiamente dicha, es el conjunto de clientes que hacen espera, es decir

los clientes que ya han solicitado el servicio pero que aún no han pasado al

mecanismo de servicio.

El sistema de la cola: es el conjunto formado por la cola y el mecanismo de

servicio, junto con la disciplina de la cola, que es lo que nos indica el criterio de

qué cliente de la cola elegir para pasar al mecanismo de servicio. Estos elementos

pueden verse más claramente en la siguiente figura:

Un modelo de sistema de colas debe especificar la distribución de probabilidad de

los tiempos de servicio para cada servidor.

La distribución más usada para los tiempos de servicio es la exponencial, aunque

es común encontrar la distribución degenerada o determinística (tiempos de

servicio constantes) o la distribución Erlang (Gamma).

Notación de Kendall

Por convención los modelos que se trabajan en teoría de colas se etiquetan

Las distribuciones que se utilizan son:

• M: Distribución exponencial (markoviana)

• D : Distribución degenerada (tiempos constantes)

• E k : Distribución Erlang

• G : Distribución general

pág. 84


Terminología

Datos básicos:

• El número esperado de llegadas por unidad de tiempo se llama tasa media de

llegadas ()

• El tiempo esperado entre llegadas es 1/

• El tiempo esperado de servicio depende de la tasa media de servicio ()

• El tiempo esperado de servicio equivale a 1/

Medidas del desempeño del sistema de colas:

• Número esperado de clientes en la cola Lq

• Número esperado de clientes en el sistema Ls

• Tiempo esperado de espera en la cola Wq

• Tiempo esperado de espera en el sistema Ws

Fórmulas generales para las medidas del desempeño:

•

qs

qq

ss

qs

LL

WL

WL

WW1

Factor de utilización del sistema:

•

s

Modelos de una cola y un servidor:

• M/M/1: )(

2

qL

• M/G/1: )1(2

222

qL

• M/D/1: )1(2

2

qL

• M/Ek/1: )1(2

)1(2

k

kLq

pág. 85


Modelos de varios servidores:

• M/M/s:

02

1

0

0

)()!1(

!!

1

Pss

L

ns

s

s

P

s

q

s

n

ns

• M/M/2 y M/M/3:

)46)(3(

4

2

4

2

3

q

q

L

L

• M/D/s

• M/Ek/s

ANÁLISIS ECONÓMICO DE COLAS:

Características claves.

Existen dos clases básicas de tiempo entre llegadas:

Determinístico, en el cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo de

tiempo, fijo y conocido. Un ejemplo clásico es el de una línea de ensamble, en

donde los artículos llegan a una estación en intervalos invariables de tiempo

(conocido como ciclos de tiempo)

Probabilístico, en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y variable.

Los tiempos entre llegadas probabilísticos se describen mediante una distribución

de probabilidad.

En el caso probabilístico, la determinación de la distribución real, a menudo,

resulta difícil. Sin embargo, una distribución, la distribución exponencial, ha

probado ser confiable en muchos de los problemas prácticos. La función de

densidad, para una distribución exponencial depende de un parámetro, digamos l

(letra griega lambda), y está dada por:

f(t)=(1/ l )e- l t

Costos

Tasa de

servicio

Tasa óptima

de servicio

Costo de

espera

Costo

total

Costo del

servicio

pág. 86


en donde l (lambda) es el número promedio de llegadas en una unidad de tiempo.

Con una cantidad, T, de tiempo se puede hacer uso de la función de densidad para

calcular la probabilidad de que el siguiente cliente llegue dentro de las siguientes T

unidades a partir de la llegada anterior, de la manera siguiente:

P(tiempo entre llegadas <=T)=1-e- l t

El proceso de servicio.

El proceso de servicio define cómo son atendidos los clientes. En algunos casos,

puede existir más de una estación en el sistema en el cual se proporcione el

servicio requerido. Los bancos y los supermercados, de nuevo, son buenos

ejemplos de lo anterior. Cada ventanilla y cada registradora son estaciones que

proporcionan el mismo servicio. A tales estructuras se les conoce como sistemas

de colas de canal múltiple. En dichos sistemas, los servidores pueden ser idénticos,

en el sentido en que proporcionan la misma clase de servicio con igual rapidez, o

pueden no ser idénticos. Por ejemplo, si todos los cajeros de un banco tienen la

misma experiencia, pueden considerarse como idénticos.

Al contrario de un sistema de canal múltiple, considere un proceso de producción

con una estación de trabajo que proporciona el servicio requerido. Todos los

productos deben pasar por esa estación de trabajo; en este caso se trata de un

sistema de colas de canal sencillo. Es importante hacer notar que incluso en un

sistema de canal sencillo pueden existir muchos servidores que, juntos, llevan a

cabo la tarea necesaria. Por ejemplo, un negocio de lavado a mano de

automóviles, que es una sola estación, puede tener dos empleados que trabajan en

un auto de manera simultánea

Otra característica del proceso de servicio es el número de clientes atendidos al

mismo tiempo en una estación. En los bancos y en los supermercados (sistema de

canal sencillo), solamente un cliente es atendido a la vez. Por el contrario, los

pasajeros que esperan en una parada de autobús son atendidos en grupo, según la

capacidad del autobús que llegue.

Otra característica más de un proceso de servicio es si se permite o no la prioridad,

esto es ¿puede un servidor detener el proceso con el cliente que está atendiendo

para dar lugar a un cliente que acaba de llegar? Por ejemplo, en una sala de

urgencia, la prioridad se presenta cuando un médico, que está atendiendo un caso

que no es crítico es llamado a atender un caso más crítico. Cualquiera que sea el

proceso de servicio, es necesario tener una idea de cuánto tiempo se requiere para

llevar a cabo el servicio. Esta cantidad es importante debido a que cuanto más

dure el servicio, más tendrán que esperar los clientes que llegan. Como en el caso

del proceso de llegada, este tiempo pude ser determinístico o probabilístico. Con

un tiempo de servicio determinístico, cada cliente requiere precisamente de la

misma cantidad conocida de tiempo para ser atendido. Con un tiempo de servicio

probabilístico, cada cliente requiere una cantidad distinta e incierta de tiempo de

servicio. Los tiempos de servicio probabilísticos se describen matemáticamente

mediante una distribución de probabilidad. En la práctica resulta difícil determinar

cuál es la distribución real, sin embargo, una distribución que ha resultado

confiable en muchas aplicaciones, es la distribución exponencial.

En general, el tiempo de servicio puede seguir cualquier distribución, pero, antes

de que pueda analizar el sistema, se necesita identificar dicha distribución.

pág. 87


8.3. Casos de líneas de espera

En la teoría de colas se estudian los procesos de llegada, tiempo en cola que pasa el

cliente, tiempo de servicio así como número de clientes que se encuentran. El proceso

de entrada se conoce por lo general como proceso de llegada, la llegada de los

clientes. Los modelos en los que las llegadas se toman de una población pequeña se

llaman modelos de origen finito. Ha servidores en paralelo como por ejemplo los

cajeros de un banco que están organizados generalmente en paralelo, el otro es

servidores en serie en los cuales se debe de pasar por varios de ellos antes de

completar el servicio un ejemplo de esto son la líneas de ensamble.

La disciplina de cola es el método que se usa para determinar el orden en que se sirve

a los clientes. La disciplina más común es la disciplina PLPS (primero en llegar primero

en ser servido), ULPS (ultimo en llegar primero en ser servido) este se puede

ejemplificar cuando alguien es el ultimo en subirse a un elevador lleno y el primero

que se baja, o sea el primero en ser servido. Disciplina SEOA (servicio en orden

aleatorio), DG disciplina general en la cola.

Existe un sistema de notación para el sistema de colas establecido por KENDALL-LEE,

la cual representa seis características las que son:

1. Naturaleza del proceso de llegada

2. Naturaleza de tiempos de servicio

3. Número de servidores en Paralelo

4. Disciplina de la cola

5. Número máximo de clientes en el sistema, incluyendo los que esperan y los

que están en ventanilla.

6. Tamaño de la población de la cual se toman los clientes.

Donde:

1 puede ser M: exponencial, D: tiempos de llegada son idénticamente determinística.

Ek: los tiempos entre llegadas son con distribución de Erlang con parámetro de forma

k. GI: los tiempos de llegadas son idénticamente determinísticos y están gobernados

por alguna distribución general.

2: M, D, Ek, G: los tiempos de servicio son idénticamente determinísticas y siguen

alguna distribución general.

3: PLPS, ULPS, SEOA, DG.

EJEMPLO 1

M/M/8/PLPS/10/ puede representar una clínica con 8 doctores (8) con tiempos

exponenciales de llegada y servicio (M/M/), la disciplina en la cola es el primero que

llega es el primero en ser servido (PLPS), y una capacidad de 10 pacientes (10) con

una población infinita ().

SISTEMA DE COLAS M/M/1/DG//

En este sistema la tasa de llegada y servicio son exponenciales con 1 servidor,

disciplina general en la cola con infinitos clientes en el sistema, que se obtienen de

una población infinita.

= número promedio de llegas que entran por unidad de tiempo

= número de clientes que se atienden por unidad de tiempo

Lq = número promedio de clientes que esperan en la cola

Ls = número promedio de clientes en el sistema

pág. 88


Wq = tiempo promedio que pasa un cliente en la cola

Ws = tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema

= factor de utilización

En estas definiciones, todos los promedios son para estado estable donde = / <1,

si >1 es fácil ver porqué no puede existir distribución de estado estable.

Supongamos =6 clientes por hora y que = 4 clientes por hora. Aun si el

despachador estuviera trabajando todo el tiempo, sólo podría atender a 4 clientes por

hora. Así, el número promedio de clientes en el sistema crecería al menos en 6 – 4 =2

clientes por hora. Esto significa que después de mucho tiempo, el número de clientes

que hay “explotaría” y no podría existir distribución de estado estable. Entonces para

cualquier sistema de colas en el que exista una distribución de estado estable, se

cumplen las siguientes ecuaciones

L= W; Lq = W q; Ls = Ws

EJEMPLO 2

A un cajero para automovilistas, sólo llega un promedio de 10 vehículos por

hora. Suponga que el tiempo promedio de servicio para cada cliente es de 4

minutos, y que los tiempos entre llegadas y los de servicio son exponenciales.

Conteste las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el cajero se encuentre vacío?

b) ¿Cuál es el número promedio de automóviles que esperan en la cola su turno?,

se considera que un vehículo que está ocupando el cajero, no está en la cola

esperando.

c) ¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente pasa en el estacionamiento del

banco, incluyendo el tiempo en el servicio?

d) En promedio, ¿Cuántos clientes por hora serán atendidos por el cajero

automático?

Solución:

Identificamos el modelo M/M/1/DG//, ya que no especifica la cantidad de clientes

en el sistema ni la población asumimos infinito, y se coloca una disciplina general.

Identificamos = 10 vehículos/hora y =4 minutos/hora, lo primero que hay que

fijarse es que no están en las misma unidades entonces la colocamos en vehículos

por hora si atiende 1 vehículo en 4 minutos entonces atenderá 15 en una hora por lo

tanto =15 vehículos/hora. RECORDARSE SIEMPRE EN LAS MISMA UNIDADES.

a. La probabilidad de que el cajero se encuentre vació es Po = 1- ;

= /=10/15 =2/3 =0.667, entonces Po =1-0.667 = 0.33, por lo tanto el cajero

estará vació el 33% del tiempo.

b. Lq=2/ (1-)= .6672 /(1-.667) = 1.33 clientes

c. Ahora buscamos W que es el tiempo total de todo el sistema.

L= / (1/)= 0.667/ (1-0.667) =2 clientes.

W = L/ = 2/10 = 1/5 hora = 12 minutos.

d. Si el cajero estuviera ocupado siempre, podría atender 15 clientes por hora. Pero

sabemos que solo se esta ocupado 0.67 del tiempo. Así que durante cada hora

llegaran 0.67 (15)=10 clientes. El valor de 0.67 se obtiene de 1-Po, que es el

tiempo que esta ocupado.

pág. 89


EJEMPLO 3.

Supongamos que todos los propietarios de automóviles llenan sus tanques de gasolina

cuando están exactamente a la mitad, En la actualidad, llega un promedio de 7.5

clientes por hora a una gasolinera que tiene una sola bomba surtidora. Se necesita un

promedio de 4 minutos para atender un automóvil. Suponga que tanto los tiempos

entre llegadas como los tiempos de servicio son exponenciales.

a) Para el caso actual, calcule L y W

b) Suponga que se presenta escasez de gasolina y que hay compras de pánico.

Para modelar este fenómeno, suponga que todos los propietarios de automóvil

compran gasolina cuando sus tanques les falta exactamente ¾ partes. Como

cada conductor pone menos gasolina al tanque durante cada visita a la

gasolinera, suponga que el tiempo promedio de servicio se ha reducido a 3.33

minutos ¿Cómo afecto la compra de pánico a L y a W?

Solución:

a) Al identificar el sistema observamos que es M/M/1/DG// con =7.5 vehículos

/hora y =15 vehículos por hora. Primero encontramos =7.5/15=0.50, nótese

que aquí se hace conversión porque tiene diferentes unidades. Teniendo

logramos obtener L=/(1/) = 0.50/(1-0.5)=1, luego obtenemos

W=L/=1/7.5=0.13 horas. Con estos resultados podemos observar que todo

está bajo control y son improbables las largas colas.

b) Con la segunda opción tenemos el mismo sistema M/M/1/DG// con

=2(7.5)=15 vehículos por hora, se preguntar porque por 2 y es dado que el

cliente llenará con doble de frecuencia su tanque porque ahora no estar a la

mitad sino que ¾, y visitara la gasolinera cada vez que se haya gastado ¼ de

tanque. Y es igual a 60/3.33 = 18 vehículos por hora donde =15/18=5/6.

Con los datos utilizamos las ecuaciones: L= (5/6) /(1-5/6) =5 automóviles y

W = 5/15 =1/3 horas = 20minutos.

Ya comparando se ve que las compras de pánico han originado colas mas

largas y tiempos más largos en el sistema.

EJEMPLO 4.

En una aerolínea se debe revisar cada pasajero, así como su equipaje, para ve si trae

armas. Suponga que al aeropuerto Internacional La Aurora llega un promedio de 10

pasajeros/minuto. Los tiempos entre llegas son exponenciales. Para revisar a los

pasajeros, el aeropuerto debe tener una estación que consiste en un detector de

metales y una máquina de rayos X para el equipaje. Cuando está trabajando la

estación se necesitan dos empleados. Una estación puede revisar un promedio de 12

pasajeros/min. Con la hipótesis que el aeropuerto sólo tiene una estación de

verificación, responda las siguientes preguntas.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que un pasajero tenga que esperar para ser

revisado?

b. En promedio, ¿Cuántos pasajeros esperan en la cola para entrar a la estación?

c. En promedio, ¿Cuánto tiempo pasará el pasajero en la estación de verificación.

Solución:

pág. 90


Primero identificamos el modelo M/M/1/DG// donde existe un servidor,

en el problema puede confundirse pensando que son dos servidores porque

hay dos empleados trabajando, pero NO es así ya que un servidor aquí se

considera una estación independientemente que se realice en ella y cuantos

la atiendan.

a. =10 pasajeros/minuto =12 pasajeros/minuto

=/=10/12=0.833 Po=1-0.833=0.17 (probabilidad de que este

vació)

Entonces estar ocupado 1-0.17= 0.833 = 83.33% del tiempo esto es

igual a .

b. Lq= Wq=2/((-)) = 102/(12(12-10))= 4.17 personas en la cola.

c. Ws=1/(-)=1/(12-10)= 0.5 minutos.

MODELO M/M/1/DG/m/

Este sistema es parecido al anterior con la variante que tiene una capacidad total de

“m” clientes, y cuando existen estos “m” clientes, todas las llegadas se regresan y el

sistema las pierde para siempre. Este número máximo de clientes es una constante y

varia según el libro que se utiliza c,m, etc. En este modelo de capacidad finita, llega

un promedio de Pm, de esas llegadas encuentran al sistema lleno a toda capacidad y

se van. Por lo tanto, en realidad entrará al sistema un promedio de =(1-Pm)

llegadas por unidad de tiempo. En este modelo existirá estado estable aún si > Esto

se debe que aun cuando >, la capacidad finita de “m” en el sistema evita que

“explote” el número de personas en la cola.

EJEMPLO 5

En una peluquería hay un peluquero y un total de 10 asientos. Los tiempos de llegada

tienen distribución exponencial, y llega un promedio de 20 clientes posibles por hora.

Los que llegan cuando la peluquería esta llena no entran. El peluquero tarda un

promedio de 12 minutos en atender a cada cliente. Los tiempos de corte de pelo

tienen distribución exponencial.

a) En promedio ¿Cuántos cortes de pelo hará el peluquero?

b) En promedio ¿Cuánto tiempo pasará un cliente en la peluquería, cuando entra?

Solución

Identificación del modelo M/M/1/DG/10/

a) Una fracción de P10 de las llegadas encuentra que la peluquería esta llena. Por

lo tanto, entrará a ella un promedio de (1-P10) por hora. Todos los clientes que

desean que se les corte el cabello, y por lo tanto, el peluquero hará un

promedio de (1-P10) cortes por hora.

m=10, =20 clientes por hora y =5 clientes/hora. Entonces =20/5=4

pág. 91


n

mPn

11

1 Donde n=1,2,....m

Sustituyendo datos P10=0.75

Así, los cortes de pelo son en promedio 20(1-0.75) = 5 cortes/hora.

b) Para calcular W=L/((1-Pm))

clientesmm

Lm

mm

67.94141

410411014

11

11110

11010

1

1

W=9.67/(20(1-0.75))=1.93 horas.

EJERCICIOS RESUELTOS

Problema 1 M/M/1/

Suponga que un cajero bancario puede atender a los clientes a una velocidad

promedio de diez clientes por hora. Además, suponga que los clientes llegan a la

ventanilla del cajero a una tasa promedio de 7 por hora. Se considera que las llegadas

siguen la distribución Poisson y el tiempo de servicio sigue la distribución exponencial.

Realice un análisis acerca de la situación actual del Banco.

Solución:

=10 clientes/hora =7 clientes/hora k=1

=/=7/10=0.7

Po=1-0.7=0.3

33.23

7

710

7

Ls

63.1)710(10

7

)(

22

Lq

33.03

1

710

11

Ws

233.0)710(10

7

)(

Wq

Según los datos obtenidos el sistema esta ocupado el 70% del tiempo, vacío el 30%

en promedio hay 2.33 unidades en el sistema y 1.63 en la cola con un tiempo en el

sistema de 1/3 hora = 20 minutos y un tiempo en la cola de 0.233 horas = 14

minutos.

pág. 92


. Problema 2 M/M/K/

Suponga que se coloca un segundo cajero bancario en el problema antes descrito.

¿Qué tanto se mejorará el servicio?. De sus conclusiones y recomendaciones para el

Banco.

Solución:

S=k=2 número de servidores =7 clientes/hora =10 clientes/hora

35.0)10(2

7

k

48148.03769.07.01

1

7)2(10

)2(10

!2

10

7

!1

10

7

!0

10

7

1210

Po

7977.010/7)48148.0()7)10(2()!12(

)10/7)(10(72

2

Ls

Lq = 0.7977 – 7/10 = 0.0977

Ws =Ls/ = 0.7977/7 =0.11396 Wq = Lq / =

0.0977/7 = 0.01396

Con dos cajeros las estadísticas de los clientes mejoraran dramáticamente. Ahora se

tiene un promedio de solamente 0.0977 clientes en la línea y el cliente promedio

esperara solamente 0.0139 horas para recibir el servicio (menos de un minuto). El

costo de este buen servicio es que los prestadores de este solamente están ocupados

durante el 35% de su tiempo. A menos que se desee un servicio extraordinariamente

bueno el banco no deseara incurrir en el gasto de un segundo cajero. Puede tomarse

en consideración en las horas pico.

. Problema 3 M/M/K/

En un restaurante se vende comida para llevar y tratan de determinar cuantos

servidores o colas deben trabajar el turno del almuerzo. Durante cada hora, llegan en

promedio 100 clientes al restaurante. Cada cola puede manejar en promedio 50

clientes por hora. Un servidor cuesta Q 5 /hora y se carga un costo de Q 20 por cada

cliente que espere en la cola durante 1 hora. Calcule el número de colas que minimice

el costo.

Solución:

=100 clientes/hora =50 clientes / hora 1 servidor ------- Q

5/hora

k servidores ------ 5k

Q 20 por cada cliente que espera en la cola por hora 20Wq

pág. 93


Costo total = 5k + 20Wq quetzales / hora

K=?

150

100

k 1

2

k k 2 2 , 3, 4....

=100/2(50)=1 pero 1

Aunque se realice el cálculo con k=2 los datos generados serian incoherentes.

Se deja al estudiante que lo compruebe.

Con K=3

=100/3(50) =2/3 =0.667

BAPo

1

2

0

210

5221!2

)50/100(

!1

)50/100(

!0

)50/100(

n

A

4100)3(50

)3(50

!3

)50/100( 3

B

111.09

1

45

1

Po

89.2

9

26)50/100()9/1(

)100)50(3(!13

)50/100)(50)(100(2

3

Ls

Lq = 2.89 – 100/50 = 0.89

Ws = 2.89/100 = 0.0289 horas = 1.73 minutos

Wq = Lq / = 0.89/100=0.0089 horas

CT = 5(3) + 20(0.0089) =Q15.18 / hora

Al utilizar k>3 servidores el costo se aumenta por lo tanto se deben tener 3

Servidores.

. Problema 4 M/M/1/m

Hay un promedio de 40 automóviles por hora, con tiempos exponenciales entre

llegadas, que desean que se les atienda en la ventanilla de “servicio en su auto” de

Pizza Hut. Si hay una cola de más de 4 coches, incluyendo el de la ventanilla, el coche

que llegue se va. En promedio toman cuatro minutos en servir a un automóvil.

(a) Cuál es el número promedio de automóviles esperado en la cola, sin incluir al que

está frente a la ventanilla?

(b) En promedio ¿a cuántos automóviles se atiende en cada hora?

(c) Acabo de formarme en la cola. En promedio ¿Cuánto tiempo pasará para que

llegue a la ventanilla?

pág. 94


Solución:

=40 autos/ hora =4 minutos/ hora = 15 autos / hora m=4

Lq = ? Ls =? Wq =?

= 40/15 =2.67

012398.067.21

67.21

1

151

mPo

63011.0)67.2(67.21

67.21 4

144

P

438.367.21

)67.2)(14(

67.21

67.2

1

)1(

1 14

14

1

1

m

mmLs

Ls =3.438 autos / hora

Lq = Ls - (1- Po)= 3.438 - (1 - 0.012398)=2.45

= (1-Pm) = 40 (1-0.63011) =14.80 = 14.80

Wq = Lq/ Wq = 2.45 /14.80 = 0.1655 Wq =0.1655 horas = 9.9

minutos

a) El número promedio de autos en la cola es Lq=2.45 autos

b) El número promedio de autos atendidos cada hora es Ls=3.438 autos/hora

c) En llegar a la ventanilla me tardo Wq=0.1655 horas = 9.9 minutos

PROBLEMAS PROPUESTOS DE TEORIA DE COLAS

1. MexiCars de la Av. J.C. Mariátegui tiene un empleado que se encarga de instalar

sistemas de alarma a carros y lo hace a una tasa promedio de 3 por hora; cerca

de 1 cada 20 minutos. Los clientes que solicitan este servicio llegan en promedio

de 2 por hora. Los aspectos del sistema M/M/1 se encuentran aquí presentes.

¿Cómo es el comportamiento de este sistema?

2. Grupo Hinostroza SAC. división llantas, la gerencia está considerando contratar un

nuevo mecánico para manejar todos los cambios de llantas para los clientes que

ordenan nuevos juegos de llantas. Dos mecánicos han solicitado el trabajo. Uno

de ellos tiene experiencia limitada y puede ser contratado pagándole 5.00 S/. la

hora. Se espera que este mecánico pueda atender un promedio de 3 clientes por

hora. El otro mecánico tiene varios años de experiencia, puede servir un promedio

de 4 clientes por hora y se le pagaría 10.00 S/. la hora. Asuma que los clientes

arriban a una tasa de 2 por hora.

En el sistema es aplicable el modelo M/M/1.

a. Calcule las características Operacionales con cada mecánico.

b. Si el taller asigna un costo de espera a cada cliente de 15.00 S/. por hora,

¿Cuál mecánico proporciona el menor costo de operación?

Actividad

pág. 95


3. Una franquicia de comida rápida, está pensando abrir operaciones de servicio por

ventanilla a los clientes, desde su vehículo. Los clientes que llegan al

intercomunicador a colocar órdenes y luego manejan hasta la ventanilla para

pagar y recibir sus órdenes lo hacen a una tasa de 24 por hora. En el sistema es

aplicable el modelo M/M1. Se está considerando las alternativas siguientes:

a. Realizar la operación con un solo empleado que llene la orden y reciba el

dinero del cliente. En esta alternativa, el tiempo promedio de servicio es de 2

minutos.

b. Realizar la operación con un empleado y un ayudante que tome el dinero del

cliente. En esta alternativa, el tiempo promedio de servicio es de 1.25

minutos.

En ambos caso es un sistema de una sola ventanilla, por lo que se mantiene el

sistema de un solo servidor, modelo M/M/1. Se le pide:

a. Calcule las Características Operacionales para cada alternativa y Tome una

decisión.

b. Si dispone de información del costo de espera de S/. 25.00 por hora, pues es

considerado alto este costo en los servicios de comida rápida y el costo de

cada empleado es de 8.00 S/. por hora, siendo además cargado 20.00 S/. por

equipos y espacio. ¿Cuál sería la alternativa de menor costo para el servicio?

4. Sam Lawer Medico Veterinario maneja una clínica de vacunación antirrábica para

perros, en la clínica municipal. Sam puede vacunar un perro cada tres minutos. Se

estima que los perros llegarán en forma independiente y aleatoriamente en el

transcurso del día, en un rango de un perro cada seis minutos, de acuerdo con la

distribución de Poisson. También suponga que los tiempos de vacunación de Sam

están distribuidos exponencialmente.

Datos = 1 / 6 = 0.167 perros/min

= 1 / 3 = 0.34 perros/min

Determinar:

a. La probabilidad de que Sam este de ocioso

b. La proporción de tiempo en que Sam está ocupado.

c. El número total de perros que están siendo vacunados

d. El número promedio de perros que esperan a ser vacunados

5. Las llamadas llegan ala central telefónica de la OEC a una tasa de dos por minuto,

él tiempo promedio para manejar cada una de estás es de 20 segundos.

Actualmente solo hay una operadora de la central. Las distribuciones de Poisson y

exponencial parecen ser relevantes en esta situación.

Datos

= 2 llamadas/minutos

= (1 / 20 seg.)(60 seg.) = 3 llamadas/minuto

Determine:

a. La probabilidad de que la operadora este ocupada

b. El tiempo promedio que debe de esperar una llamada antes de ser tomada

por la operadora

c. El número de llamadas que esperan ser contestadas

pág. 96


6. Al principio de la temporada de fútbol, la ventanilla de boletos se ocupa mucho el

día anterior al primer juego. Los clientes llegan a una tasa de cuatro llegadas cada

10 minutos y el tiempo promedio para realizar la transacción es de dos minutos.

Datos

= (4 / 10) = 0.4 c/min

= (1 /2 ) = 0.5 c/min

Determine:

a. El número promedio de aficionaos en línea de espera

b. El tiempo promedio que una persona pasaría en la oficina de boletos

c. La proporción de tiempo que el servidor está ocupado

7. Una empleada administra un gran complejo de cines “Cinemark Comas” I, II, III y

IV. Cada uno de los cuatro auditorios proyecta una película diferente, el programa

se estableció de tal forma que las horas de las funciones se encuentren

escalonadas para evitar las multitudes que ocurrirían si los cuatro cines

comenzarán a la misma hora. El cine tiene una sola taquilla y un cajero que puede

mantener una tasa de promedio de servicio de 280 clientes por hora. Se supone

que los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial. Las llegadas en

un día son distribución de Poisson y promedian 210 por hora.

Determine:

a. El número promedio de cinéfilos esperando en la línea para adquirir un boleto

b. Que porcentaje del tiempo esta ocupado el cajero.

c. Cual es el tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema.

d. Cual es el tiempo promedio que pasa esperando en la línea para llegar a la

taquilla.

e. Cual es la probabilidad de que haya más de dos personas en la cola.

pág. 97


SEXTA UNIDAD

Tema Nº 9: TEORÍA DE DECISIONES

9.1 Introducción

La teoría de decisiones proporciona una manera útil de clasificar modelos para la toma

de decisiones. Se supondrá que se ha definido el problema, que se tienen todos los

datos y que se han identificado los cursos de acción alternativos. La tarea es entonces

seleccionar la mejor alternativa. la teoría de decisiones dice que esta tarea de hacer

una selección caerá en una de las cuatro categorías generales dependiendo de la

habilidad personal para predecir las consecuencias de cada alternativa.

Categorías Consecuencias

Certidumbre Deterministas

Riesgo Probabilísticas

Incertidumbre Desconocidas

Conflicto Influidas por un oponente

9.2 Toma de decisiones bajo incertidumbre

En los procesos de decisión bajo incertidumbre, el decisor conoce cuáles son los

posibles estados de la naturaleza, aunque no dispone de información alguna sobre

cuál de ellos ocurrirá. No sólo es incapaz de predecir el estado real que se presentará,

sino que además no puede cuantificar de ninguna forma esta incertidumbre. En

particular, esto excluye el conocimiento de información de tipo probabilístico sobre las

posibilidades de ocurrencia de cada estado.

Reglas de decisión

A continuación se describen las diferentes reglas de decisión en ambiente de

incertidumbre, y que serán sucesivamente aplicadas al ejemplo de construcción del

hotel.

• Criterio de Wald

• Criterio Maximax

• Criterio de Hurwicz

• Criterio de Savage

• Criterio de Laplace

Para trabajar con los criterios utilizaremos la siguiente matriz:

Estados de la Naturaleza

Alternativas e1 e2 . . . en

a1 x11 x12 . . . x1n

a2 x21 x22 . . . x2n

. .

.

. . . . . . . . . . . .

am xm1 xm2 . . . xmn

pág. 98


a) Criterio de Laplace

Este criterio, propuesto por Laplace en 1825, está basado en el principio de razón

insuficiente: como a priori no existe ninguna razón para suponer que un estado se

puede presentar antes que los demás, podemos considerar que todos los estados

tienen la misma probabilidad de ocurrencia, es decir, la ausencia de conocimiento

sobre el estado de la naturaleza equivale a afirmar que todos los estados son

equiprobables. Así, para un problema de decisión con n posibles estados de la

naturaleza, asignaríamos probabilidad 1/n a cada uno de ellos.

La regla de Laplace selecciona como alternativa óptima aquella que proporciona un

mayor resultado esperado:

n

j

jii eaxn

amáx1

,1

_

EJEMPLO

Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra los

resultados esperados para cada una de las alternativas.

Alternativas

Terreno

comprado


Aeropuerto en A Aeropuerto en B Resultado esperado

A 13 -12 0.5

B -8 11 1.5

A y B 5 -1 2

Ninguno 0 0 0

En este caso, cada estado de la naturaleza tendría probabilidad ocurrencia 1/2. El

resultado esperado máximo se obtiene para la tercera alternativa, por lo que la

decisión óptima según el criterio de Laplace sería comprar ambas parcelas.

CRÍTICA

La objeción que se suele hacer al criterio de Laplace es la siguiente: ante una misma

realidad, pueden tenerse distintas probabilidades, según los casos que se

consideren. Por ejemplo, una partícula puede moverse o no moverse, por lo que la

probabilidad de no moverse es 1/2. En cambio, también puede considerarse de la

siguiente forma: una partícula puede moverse a la derecha, moverse a la izquierda o

no moverse, por lo que la probabilidad de no moverse es 1/3.

Desde un punto de vista práctico, la dificultad de aplicación de este criterio reside en

la necesidad de elaboración de una lista exhaustiva y mutuamente excluyente de

todos los posibles estados de la naturaleza.

Por otra parte, al ser un criterio basado en el concepto de valor esperado, su

funcionamiento debe ser correcto tras sucesivas repeticiones del proceso de toma de

decisiones. Sin embargo, en aquellos casos en que la elección sólo va a realizarse una

vez, puede conducir a decisiones poco acertadas si la distribución de resultados

presenta una gran dispersión, como se muestra en la siguiente tabla:

pág. 99



Alternativas e1 e2 Resultado

esperado

a1 15000 -5000 5000

a2 5000 4000 4500

Este criterio seleccionaría la alternativa a1, que puede ser poco conveniente si la toma

de decisiones se realiza una única vez, ya que podría conducirnos a una pérdida

elevada

b) Criterio de Wald

Este es el criterio más conservador ya que está basado en lograr lo mejor de las

peores condiciones posibles. esto es, si el resultado x(ai, ej) representa pérdida para

el decisor, entonces, para ai la peor pérdida independientemente de lo que ej pueda

ser, es máx ej { x(ai, ej) }. El criterio minimax elige entonces la acción ai asociada a :

),(_ jieai eaxmáxmínaElegirji

En una forma similar, si x(ai, ej) representa la ganancia, el criterio elige la acción ai

asociada a :

),(_ jieai eaxmínmáxaElegirji

Este criterio recibe el nombre de criterio maximin, y corresponde a un pensamiento

pesimista, pues razona sobre lo peor que le puede ocurrir al decisor cuando elige una

alternativa.

EJEMPLO

Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra las

recompensas obtenidas junto con los niveles de seguridad de las diferentes

alternativas:

Alternativas

Terreno

comprado


Aeropuerto en A Aeropuerto en B si

A 13 - 12 -

12

B - 8 11 -8

A y B 5 - 1 -1

Ninguno 0 0 0

pág. 100


La alternativa óptima según el criterio de Wald sería no comprar ninguno de los

terrenos, pues proporciona el mayor de los niveles de seguridad.

CRÍTICA

En ocasiones, el criterio de Wald puede conducir a decisiones poco adecuadas. Por

ejemplo, consideremos la siguiente tabla de decisión, en la que se muestran los

niveles de seguridad de las diferentes alternativas.

Estados de la

Naturaleza

Alternativas e1 e2 si

a1 1000 99 99

a2 100 100 100

El criterio de Wald seleccionaría la alternativa a2, aunque lo más razonable parece ser

elegir la alternativa a1, ya que en el caso más favorable proporciona una recompensa

mucho mayor, mientras que en el caso más desfavorable la recompensa es similar.

c) Criterio de Hurwicz

Este criterio representa un intervalo de actitudes desde la más optimista hasta la más

pesimista. En las condiciones más optimistas se elegiría la acción que proporcione el

máx ai máx ej { x(ai, ej) }. Se supone que x(ai, ej), representa la ganancia o

beneficio. De igual manera, en las condiciones más pesimistas, la acción elegida

corresponde a máx ai mín ej { x(ai, ej) }. El criterio de Hurwicz da un balance entre

el optimismo extremo y el pesimismo extremo ponderando las dos condiciones

anteriores por los pesos respectivos y (1- ), donde 0 ≤ ≤ 1. Esto es, si x(ai, ej)

representa beneficio, seleccione la acción que proporcione:

),()1(),( jiejiea eaxmíneaxmáxmáxjji

Para el caso donde x(ai, ej) representa un costo, el criterio selecciona la acción que

proporciona:

),()1(),( jiejiea eaxmáxeaxmínmínjji

El parámetro se conoce como índice de optimismo: cuando = 1, el criterio es

demasiado optimista; cuando = 0, es demasiado pesimista. Un valor de entre cero

y uno puede ser seleccionado dependiendo de si el decisor tiende hacia el pesimismo o

al optimismo. En ausencia de una sensación fuerte de una circunstancia u otra, un

valor de = 1/2 parece ser una selección razonable.

pág. 101


EJEMPLO

Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra las

recompensas obtenidas junto con la media ponderada de los niveles de optimismo y

pesimismo de las diferentes alternativas para un valor a = 0.4:

Alternativas

Terreno

comprado


Aeropuerto en A Aeropuerto en B mínei máxei S(ai)

A 13 -12 -12 13 -2

B -8 11 -8 11 -0.4

A y B 5 -1 -1 5 1.4

Ninguno 0 0 0 0 0

La alternativa óptima según el criterio de Hurwicz sería comprar las parcelas A y B,

pues proporciona la mayor de las medias ponderadas para el valor de a seleccionado.

d) Criterio de Savage

En 1951 Savage argumenta que al utilizar los valores xij para realizar la elección, el

decisor compara el resultado de una alternativa bajo un estado de la naturaleza con

todos los demás resultados, independientemente del estado de la naturaleza bajo el

que ocurran. Sin embargo, el estado de la naturaleza no es controlable por el decisor,

por lo que el resultado de una alternativa sólo debería ser comparado con los

resultados de las demás alternativas bajo el mismo estado de la naturaleza.

Con este propósito Savage define el concepto de pérdida relativa o pérdida de

oportunidad rij asociada a un resultado xij como la diferencia entre el resultado de la

mejor alternativa dado que ej es el verdadero estado de la naturaleza y el resultado

de la alternativa ai bajo el estado ej:

Así, si el verdadero estado en que se presenta la naturaleza es ej y el decisor elige la

alternativa ai que proporciona el máximo resultado xij, entonces no ha dejado de

ganar nada, pero si elige otra alternativa cualquiera ar , entonces obtendría como

ganancia xrj y dejaría de ganar xij-xrj.

Savage propone seleccionar la alternativa que proporcione la menor de las mayores

pérdidas relativas, es decir, si se define ri como la mayor pérdida que puede obtenerse

al seleccionar la alternativa ai,

el criterio de Savage resulta ser el siguiente:

pág. 102


Conviene destacar que, como paso previo a la aplicación de este criterio, se debe

calcular la matriz de pérdidas relativas, formada por los elementos rij. Cada columna

de esta matriz se obtiene calculando la diferencia entre el valor máximo de esa

columna y cada uno de los valores que aparecen en ella.

Observe que si x(ai, ej) es una función de beneficio o de pérdida, la matriz de

pérdidas relativas, formada por los elementos rij representa en ambos casos pérdidas.

Por consiguiente, únicamente el criterio minimax ( y no el maximin) puede

ser aplicado a la matriz de de exploración.

EJEMPLO

Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra la matriz

de pérdidas relativas y el mínimo de éstas para cada una de las alternativas.

Alternativas

Terreno

comprado


Aeropuerto en A Aeropuerto en B ri

A 0 23 23

B 21 0 21

A y B 8 12 12

Ninguno 13 11 13

El mayor resultado situado en la columna 1 de la tabla de decisión original es 13; al

restar a esta cantidad cada uno de los valores de esa columna se obtienen las

pérdidas relativas bajo el estado de la naturaleza Aeropuerto en A. De la misma

forma, el máximo de la columna 2 en la tabla original es 11; restando a esta cantidad

cada uno de los valores de esa columna se obtienen los elementos rij correspondientes

al estado de la naturaleza Aeropuerto en B. Como puede observarse, el valor ri menor

se obtiene para la tercera alternativa, por lo que la decisión óptima según el criterio

de Savage sería comprar ambas parcelas.

CRÍTICA

El criterio de Savage puede dar lugar en ocasiones a decisiones poco razonables. Para

comprobarlo, consideremos la siguiente tabla de resultados:


Alternativas e1 e2

a1 9 2

a2 4 6

La tabla de pérdidas relativas correspondiente a esta tabla de resultados es la

siguiente:

pág. 103


Estados de la

Naturaleza

Alternativas e1 e2 ri

a1 0 4 4

a2 5 0 5

La alternativa óptima es a1. Supongamos ahora que se añade una alternativa, dando

lugar a la siguiente tabla de resultados:


Alternativas e1 e2

a1 9 2

a2 4 6

a3 3 9

La nueva tabla de pérdidas relativas sería:

Estados de la

Naturaleza

Alternativas e1 e2 ri

a1 0 7 7

a2 5 3 5

a3 6 0 6

El criterio de Savage selecciona ahora como alternativa óptima a2, cuando antes

seleccionó a1. Este cambio de alternativa resulta un poco paradójico: supongamos que

a una persona se le da a elegir entre peras y manzanas, y prefiere peras. Si

posteriormente se la da a elegir entre peras, manzanas y naranjas, ¡esto equivaldría a

decir que ahora prefiere manzanas.

9.3 Caso de aplicación: Criterios de decisión en incertidumbre

Una instalación recreativa debe decidir acerca del nivel de abastecimiento que debe

almacenar para satisfacer las necesidades de sus clientes durante uno de los días de

fiesta. El número exacto de clientes no se conoce, pero se espera que esté en una de

cuatro categorías: 200,250, 300 o 350 clientes. Se sugieren, por consiguiente, cuatro

niveles de abastecimiento, siendo el nivel i el ideal (desde el punto de vita de costos)

pág. 104


si el número de clientes cae en la categoría i. La desviación respecto de niveles ideales

resulta en costos adicionales, ya sea porque se tenga un abastecimiento extra sin

necesidad o porque la demanda no puede satisfacerse. La tabla que sigue proporciona

estos costos en miles de unidades monetarias.

Nivel de

abastecimiento

e1(200) e2(250) e3(300) e4(350)

a1(200) 5 10 18 25

a2(250) 8 7 8 23

a3(300) 21 18 12 21

a4(350 30 22 19 15

Determine cuál es el nivel de aprovisionamiento óptimo, utilizando los criterios

explicados.

RESULTADOS

a) LAPLACE:

El principio de Laplace establece que e1, e2, e3, e4 tienen la misma probabilidad de

suceder. Por consiguiente las probabilidades asociadas son P(x)=1/4 y los costos

esperados para las acciones son:

E(a1) = (1/4)(5+10+18+25) = 14.5

E(a2) = (1/4)(8+7+8+23) = 11.5

E(a3) = (1/4)(21+18+12+21) = 18.0

E(a4) = (1/4)(30+22+19+15) = 21.5

Por lo tanto, el mejor nivel de inventario de acuerdo con el criterio de Laplace está

especificado por a2.

b) WALD

Ya que x(ai, ej) representa costo, el criterio minimax es aplicable. Los cálculos se

resumen en la matriz que sigue. La estrategia minimax es a3:

Nivel de

abastecimiento

e1(200) e2(250) e3(300) e4(350)

a1(200) 5 10 18 25 25

a2(250) 8 7 8 23 23

a3(300) 21 18 12 21 21

(valor

minimax)

a4(350 30 22 19 15 30

pág. 105


c) HURWICZ

Supongamos =1/2. Los cálculos necesarios se muestran enseguida. La solución óptima

está dada por a1 ó a2.

a

1

5 25 15 (mín)

a

2

7 23 15 (mín)

a

3

12 21 16.5

a

4

15 30 22.5

d) SAVAGE

Se obtiene primero la matriz rij restando 5, 7, 8 y 15 de las columnas 1, 2, 3 y 4

respectivamente.

Nivel de

abastecimient

o

e1(200

)

e2(250

)

e3(300

)

e4(350

)

a1(200

)

5 10 18 25 10

a2(250

)

8 7 8 23 8

(valor minimax)

a3(300

)

21 18 12 21 16

a4(350 30 22 19 15 25

CASO DE APLICACIÓN

La empresa Z de servicios computarizados especializadas en servicios de información

tales como encuestas, análisis de datos, etc., actualmente está en la etapa final de

selección del sistema de computadoras que utilizará en una nueva dependencia que

abrirá en una zona del país.

Aunque la empresa ya ha decidido la marca de computadoras que utilizará, está

tratando de determinar el tamaño del sistema de computadoras que para sus

condiciones resulta más económico de arrendar.

A partir del análisis realizado en las empresas se consideró que existen 3 alternativas

de decisión pudiendo ocurrir 2 posibles eventos o estados de la naturaleza, los cuales

son:

Decisiones Alternativas

D1: Arrendar un sistema de computadoras grande

D2: Arrendar un sistema de computadoras mediano

D3: Arrendar un sistema de computadoras pequeño

Estado de la Naturaleza

E1: Alta aceptación de los servicios de la empresa Z

pág. 106


E2: Baja aceptación de los servicios de la empresa Z

Teniendo en cuenta lo anterior y usando la mejor información disponible la empresa

ha estimado la posible ganancia a obtener para cada combinación decisión-estado de

la naturaleza la cual aparece en la siguiente matriz de decisión:

Matriz de decisión

Decisiones Alternativas Alta Acept. E1 Baja Acept. E2

D1 $200 000 -$20 000

D2 $150 000 $20 000

D3 $100 000 $60 000

En estas condiciones: ¿Qué decisión debe tomar la empresa Z si quiere lograr la

máxima ganancia?

Solución:

Aplicando los criterios para la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre se

tiene:

Criterio pesimista

Para aplicar este criterio se lista primeramente para cada decisión alternativa el "peor"

resultado, seleccionando entonces la decisión que proporcione el mayor valor para

esos resultados peores, lo cual se resume en la siguiente tabla:

Decisiones Alternativas Peor resultado

Sistema grande D1 -$20 000

Sistema mediano D2 $20 000

Sistema pequeño D3 $60 000

De acuerdo con este criterio la decisión a recomendar es arrendar un sistema

pequeño, la cual garantiza una ganancia mínima de $60 000. Aunque PSI puede

obtener más, no puede obtener menos que dicho valor que corresponde al valor

MaxiMin.

Criterio optimista

La aplicación de este criterio se resume en la siguiente tabla:

Decisiones Alternativas Mejor resultado

Sistema grande D1 $200 000



El resultado obtenido conduce a recomendar que la decisión a tomar es arrendar un

sistema grandes la cual proporciona la posibilidad dé obtener la mayor ganancia que

es de $200 000. Obsérvese que aunque este criterio proporciona también expone a la

empresa a la posibilidad de pérdida de $20 000.

Criterio de Laplace

La aplicación de este criterio presupone el cálculo del resultado medio y se expresa en

la siguiente tabla:

Decisiones Alternativas Resultado Medio

Sistema grande D1 $ 90 000



El resultado obtenido conduce a recomendar como mejor decisión el arrendar un

sistema grande, la que proporcionaría la un resultado promedio de $90 000. Nótese

pág. 107


que en este casa son válidos las mismas observaciones realizadas a los resultados que

proporciono el criterio optimista.

Criterio de Savage

Para aplicar este criterio es necesario calcular primeramente la matriz de pérdida de

oportunidad, la cual se muestra a continuación:

Matriz de pérdida de oportunidad

Decisiones Alternativas Alta Acept. E1 Baja Acept. E2

D1 $0,00 $80 000,00

D2 $50 000,00 $40 000,00

D3 $100 000,00 $0,00

Para aplicar el criterio se busca entonces para cada decisión el máximo valor de las

Oij a fin de determinar de entre estos el mínimo, lo cual se refleja en la siguiente

tabla:

Decisiones Alternativas Max. ijO

Sistema grande D1 $80 000,00

Sistema mediano D2 $50 000,00

Sistema pequeño D3 $100 000,00

La decisión a recomendar, de acuerdo con este criterio es arrendar un sistema

mediano, lo que proporcionaría una pérdida de oportunidad de $50 000,00.

Criterio de Hurwitz

Para aplicar este criterio hay que definir un valor para el coeficiente . Fijemos un

4,0 y calculamos los valores que adoptaría en los hi.

h1 =0.4 (200000) + 0.6 (-20000) = $68000

h2 = 0.4 (150000) + 0.6 (20000) - 72000

h3 = 0.4 (100000) + 0.6 (60000) = 76000 < - Mayor valor

En este caso la decisión a recomendar es arrendar un sistema pequeño. Nótese que al

fijar un valor de = 0.4 nos inclinamos hacia un criterio pesimista. Fijando otro valor

para podremos obtener otra solución.

Observe que los criterios de decisión utilizados han conducido a recomendaciones

diferentes. Esto no es malo en sí mismo, sino que refleja la diferencia en cuanto a la

actitud que adapta el decisor, ante el riesgo que subyace en los diferentes criterios.

Finalmente la decisión la debe adaptar la dirección de la empresa Z.

Estos criterios sirven para que basta los tenga en cuenta y seleccione el que lo

parezca más razonable de acuerdo con su experiencia, intuición, objetivos, etc. En

definitiva el decisor seleccionar él que mejor reflejo sus criterios.

No olvidemos que la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre siempre es

convencional y subjetiva.

Pero pese a todo, los métodos empleados son útiles, ya que permiten:

Expresar en la matriz de decisión los elementos esenciales que se daban tener en

cuanta para tomar la misma y lo cual es bueno cuando se tienen muchas

alternativas.

Sustituir la mera contemplación de la matriz de decisión con el empleo de

diferentes criterios que permiten valorar las decisiones desde diferentes puntos de

vistas, considerar las recomendaciones de cada uno de ellos y por ultimo

detenerse en algo concreto.

pág. 108


Esto es semejante a discutir el problema desde diferentes puntos de vista, pues como

se sabe de la discusión sale la mejor solución. Por tanto no puede esperarse de la

teoría de la decisión soluciones definitivas e indiscutibles, con lo único que puede

ayudarnos es con consejos.

Si las recomendaciones que se deducen de los diferentes criterios coinciden, tanto

mejor, entonces se puede elegir sin vacilar la alternativa recomendada. Si como

sucede frecuentemente, las recomendaciones son contradictorias, entonces razonemos

sobre estas, aclaremos hasta que punto divergen los resultados obtenidos, precisemos

los puntos de vista y hagamos la elección definitiva.

No olvidemos que en cualquier problema en el que se deben fundamentar decisiones

es inevitable cierta arbitrariedad que puede estar dado Incluso al elegir el criterio de

selección. La teoría de la decisión no elimina la arbitrariedad sino que permite solo

"ponerla en su lugar".

En los problemas de teoría de la decisión luego de identificar el tipo de problema

presente, un paso importante es contar con la matriz de decisión, de conocerse la

matriz de decisión el trabajo se reduce a aplicar los criterios de decisión, es por ello

que veremos un ejemplo donde se desconoce la matriz.

PROBLEMAS PROPUESTOS DE TEORIA DE DECISIONES

1. La vendedora Phyllis Pauley vende periódicos en la esquina de la avenida Kirkwood

y la calle Indiana, y todos los días debe determinar cuántos periódicos pedir.

Phyllis paga a la compañía $ 20 por cada ejemplar y los vende a $ 25 cada uno.

Los periódicos que no se venden al terminar el día no tienen valor alguno. Phyllis

sabe que cada día puede vender entre 6 y 10 ejemplares, cada uno con una

posibilidad equiprobable. Demuestre cómo se ajusta este problema en el modelo

del estado del mundo.

2. La vendedora de periódicos Phyllis Pauley vende periódicos y todos los días debe

determinar cuántos periódicos debe comprar al día, si paga a la compañía $20

unidades/monetarias por cada ejemplar y lo vende a $25 unidades/monetarias cada

uno. Los periódicos que no se venden al final del día no tiene valor alguno, Ella

sabe que cada día puede vender entre 6 y 10 ejemplares, cada una con una

posibilidad equiprobable, es decir, la misma. Demuestre como se ajusta este

problema en el modelo del estado del mundo.

9.4 Árboles de decisiones

El árbol de decisión es un diagrama que representan en forma secuencial condiciones

y acciones; muestra qué condiciones se consideran en primer lugar, en segundo lugar

y así sucesivamente. Este método permite mostrar la relación que existe entre cada

condición y el grupo de acciones permisibles asociado con ella.

Un árbol de decisión sirve para modelar funciones discretas, en las que el objetivo es

determinar el valor combinado de un conjunto de variables, y basándose en el valor

de cada una de ellas, determinar la acción a ser tomada.

Los árboles de decisión son normalmente construidos a partir de la descripción de la

narrativa de un problema. Ellos proveen una visión gráfica de la toma de decisión

necesaria, especifican las variables que son evaluadas, qué acciones deben ser

tomadas y el orden en la cual la toma de decisión será efectuada. Cada vez que se

ejecuta un árbol de decisión, solo un camino será seguido dependiendo del valor

actual de la variable evaluada.

Actividad

pág. 109


Se recomienda el uso del árbol de decisión cuando el número de acciones es pequeño

y no son posibles todas las combinaciones.

El desarrollo de árboles de decisión beneficiado analista en dos formas. Primero que

todo, la necesidad de describir condiciones y acciones llevan a los analistas a

identificar de manera formal las decisiones que actualmente deben tomarse. De esta

forma, es difícil para ellos pasar por alto cualquier etapa del proceso de decisión, sin

importar que este dependa de variables cuantitativas o cualitativas. Los árboles

también obligan a los analistas a considerar la consecuencia de las decisiones.

Se ha demostrado que los árboles de decisión son eficaces cuando es necesario

describir problemas con más de una dimensión o condición. También son útiles para

identificar los requerimientos de datos críticos que rodean al proceso de decisión, es

decir, los árboles indican los conjuntos de datos que la gerencia requiere para

formular decisiones o tomar acciones. El analista debe identificar y elaborar una lista

de todos los datos utilizados en el proceso de decisión, aunque el árbol de decisión no

muestra todo los datos.

Si los árboles de decisión se construyen después de completar el análisis de flujo de

datos, entonces es posible que los datos críticos se encuentren definidos en el

diccionario de datos (el cual describe los datos utilizados por el sistema y donde se

emplean). Si únicamente se usan árboles de decisiones, entonces el analista debe

tener la certeza de identificar con precisión cada dato necesario para tomar la

decisión.

Los árboles de decisión no siempre son la mejor herramienta para el análisis de

decisiones. El árbol de decisiones de un sistema complejo con muchas secuencias de

pasos y combinaciones de condiciones puede tener un tamaño considerable. El gran

número de ramas que pertenecen a varias trayectorias constituye más un problema

que una ayuda para el análisis. En estos casos los analistas corren el riesgo de no

determinar qué políticas o estrategias de la empresa son la guía para la toma de

decisiones específicas. Cuando aparecen estos problemas, entonces es momento de

considerar las tablas de decisión.

ESTRUTURA DE UN ÁRBOL DE DECISIÓN

Los Árboles de decisión están formados por:

Nodos de decisión representados por cuadrados. Estos nodos representan los

puntos donde el que toma una decisión debe elegir entre varias acciones

posibles

Nodos de oportunidad o de evento representados por círculos. Estos nodos

indican aquellas artes del proceso de toma de decisión ' es en las que ocurre

un evento o estado de la naturaleza.

Ramas que se representan por una línea. Se utilizan para denotar las

decisiones (ramas de decisión) a los estados de la naturaleza(ramas de

oportunidad). En estas se reflejan las probabilidades de que ocurra un estado

dado de la naturaleza

El final del árbol lo indican las Ramas Terminales, las cuales pueden ser ramas

de decisión o de oportunidad. Al lado de estas se reflejan los Resultados a

Pagos.

En la toma de decisiones empresariales son recuentos las situaciones en las que el

decisor debe adoptar una secuencia de decisiones, ya que una decisión en el momento

actual puede condicionar y exigir otras decisiones en momentos de tiempo

posteriores. El análisis basado en el Árbol de decisión es una herramienta útil en la

toma de decisiones referente a inversiones, la estrategia de nuevos productos, etc.

pág. 110


CÓMO DIBUJAR UN ÁRBOL DE DECISIONES

Para comenzar a dibujar un árbol de decisión debemos escribir cuál es la decisión que

necesitamos tomar. Dibujaremos un recuadro para representar esto en la parte

izquierda de una página grande de papel.

Desde este recuadro se deben dibujar líneas hacia la derecha para cada posible

solución, y escribir cuál es la solución sobre cada línea. Se debe mantener las líneas lo

más apartadas posibles para poder expandir tanto como se pueda el esquema. Al final

de cada línea se debe estimar cuál puede ser el resultado. Si este resultado es

incierto, se puede dibujar un pequeño círculo. Si el resultado es otra decisión que

necesita ser tomada, se debe dibujar otro recuadro. Los recuadros representan

decisiones, y los círculos representan resultados inciertos. Se debe escribir la

decisión o el causante arriba de los cuadros o círculos.

Comenzando por los recuadros de una nueva decisión en el diagrama, dibujar líneas

que salgan representando las opciones que podemos seleccionar. Desde los círculos se

deben dibujar líneas que representen las posibles consecuencias. Nuevamente se debe

hacer una pequeña inscripción sobre las líneas que digan que significan. Seguir

realizando esto hasta que tengamos dibujado tantas consecuencias y decisiones como

sea posible ver asociadas a la decisión original.

Un ejemplo de árbol de decisión se puede ver en la siguiente figura:

Una vez que tenemos hecho esto, revisamos el diagrama en árbol. Controlamos cada

cuadro y círculo para ver si hay alguna solución o consecuencia que no hayamos

considerado. Si hay alguna, la debemos agregar. En algunos casos será necesario

dibujar nuevamente todo el árbol si partes de él se ven muy desarregladas o

pág. 111


desorganizadas. Ahora ya tendremos un buen entendimiento de las posibles

consecuencias de nuestras decisiones.

EVALUAR LOS ÁRBOLES

Aquí es cuando podemos analizar cuál opción tiene el mayor valor para nosotros.

Comencemos por asignar un costo o puntaje a cada posible resultado (cuánto creemos

que podría ser el valor para nosotros si estos resultados ocurren).

Luego, debemos ver cada uno de los círculos (que representan puntos de

incertidumbre) y estimar la probabilidad de cada resultado. Si utilizamos fracciones,

estas deberían sumar 1 (si utilizamos porcentajes, el total debe sumar 100%). Si

tenemos algún tipo de información basada en eventos del pasado, quizás estemos en

mejores condiciones de hacer estimaciones más rigurosas sobre las probabilidades. De

otra forma, debemos realizar nuestra mejor suposición

Esto dará un árbol parecido al de la siguiente figura:

CALCULO DE LOS VALORES DE LOS ÁRBOLES

Una vez que calculamos el valor de cada uno de los resultados, y hemos evaluado la

probabilidad de que ocurran las consecuencias inciertas, ya es momento de calcular el

valor que nos ayudará a tomar nuestras decisiones. Comenzamos por la derecha del

árbol de decisión, y recorremos el mismo hacia la izquierda. Cuando completamos un

conjunto de cálculos en un nodo (cuadro de decisión o círculo de incertidumbre), todo

lo que necesitamos hacer es anotar el resultado. Podemos ignorar todos los cálculos

que llevan a ese resultado.

pág. 112


CALCULAR EL VALOR DE LOS NODOS DE INCERTIDUMBRE (círculos)

Cuando vayamos a calcular el valor para resultados inciertos (los círculos),

debemos hacerlo multiplicando el costo de estos resultados por la probabilidad

de que se produzcan. El total para esos nodos del árbol lo constituye la suma

de todos estos valores.

CALCULAR EL VALOR DE LOS NODOS DE DECISIÓN (recuadros)

Cuando evaluamos los nodos de decisión, debemos escribir el costo de la

opción sobre cada línea de decisión. Luego, debemos calcular el costo total

basado en los valores de los resultados que ya hemos calculado. Esto nos dará

un valor que representa el beneficio de tal decisión. Hay que tener en cuenta

que la cantidad ya gastada no cuenta en este análisis - estos son costos ya

perdidos y (a pesar de los argumentos que pueda tener un contador) no

deberían ser imputados a las decisiones. Cuando ya hayamos calculado los

beneficios de estas decisiones, deberemos elegir la opción que tiene el

beneficio más importante, y tomar a este como la decisión tomada. Este es el

valor de este nodo de decisión.

El árbol final con los resultados de los cálculos puede verse en la siguiente

figura:

CUÁL ES EL RESULTADO

Realizando este análisis podemos ver que la mejor opción es el desarrollo de un

nuevo producto. Es mucho más valiosos para nosotros que tomemos suficiente

tiempo para registrar el producto antes que apurarnos a sacarlo rápidamente al

mercado. Es preferible el mejorar nuestros productos ya desarrollados que

echar a perder un nuevo producto, incluso sabiendo que nos costará menos.

pág. 113


PROBLEMAS PROPUESTOS DE ÁRBOLES DE DECISIONES

1) Una empresa que fabrica un determinado producto está pensando en aumentar su

capacidad. Sus principales alternativas son: construir una planta pequeña, construir

una planta mediana, construir una planta grande o no hacer nada. La nueva

instalación fabricará un nuevo tipo de producto, cuyo potencial de comercialización

actualmente es desconocido. Si se construye una planta grande y existe un mercado

favorable, se podría obtener un beneficio de 200 millones de Bs. Un mercado

desfavorable supondría una pérdida de 180 millones de Bs. Sin embargo, con una

planta mediana se obtendría un beneficio de 120 millones si el mercado fuera

favorable, mientras que la pérdida sería de 20 millones si el mercado fuera

desfavorable. Por otro lado, una planta pequeña daría un beneficio de 80 millones de

Bs. si el mercado fuera favorable, y una pérdida de 10 millones si fuera desfavorable.

Recientes estudios de mercado indican que existe una probabilidad de 0.4 de que el

mercado sea favorable.

¿Cuál alternativa seleccionaría?

2) Como director de operaciones de Muebles & Madera, usted debe tomar una decisión

sobre la ampliación de la línea de mobiliario infantil (cunas, cajas para juguetes,

camas, etc.). Estudia las posibilidades con la directora de ventas y ambos están de

acuerdo en que va a haber mercado y que la compañía debe entrar en él. Sin

embargo, como el mobiliario infantil a menudo se debe pintar en lugar de barnizar,

usted decide que necesita otra línea de producción. No tiene duda alguna sobre su

decisión, y está seguro que necesita un segundo proceso. Pero la cuestión es saber

cuál ha de ser su tamaño. Una línea de producción grande costará 300 millones de

Bs.; una línea de producción pequeña costará 200 millones de Bs. Por tanto, es

importante saber la demanda que habrá de mobiliario infantil. Después de una

extensa discusión con los representantes de una empresa de marketing que se

contrató para que hiciera el estudio de mercado, se determinó que la mejor estimación

que se puede hacer es que hay un 66.5% de probabilidades de que la demanda sea

alta, y un 33.5 % de probabilidades de que la demanda sea baja.

Con una línea de producción grande y una demanda alta puede obtener ganancias de

400 millones. Si la demanda es baja obtendrá beneficios de 200 millones. Con una

línea de producción pequeña no podrá cubrir una demanda alta, por lo que la empresa

se verá en la necesidad de expandirse; después de la expansión las ganancias serán

de 330 millones. Si no se expande, las ganancias se quedarían en 280 millones. Si se

decide por un proceso pequeño y la demanda es baja, podrá satisfacerla sin ningún

problema con una ganancia de 200 millones.

¿Abrirá una línea de producción grande o pequeña?

Actividad

pág. 114


SEXTA UNIDAD

Tema Nº 10: CADENAS DE MARKOV

10.1 INTRODUCCIÓN

Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que

ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de

este tipo tienen memoria. “Recuerdan" el último evento y esto condiciona las

posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a

las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como tirar una

moneda al aire o un dado.

En los negocios, las cadenas de Markov se han utilizado para analizar los patrones de

compra de los deudores morosos, para planear las necesidades de personal y para

analizar el remplazo de equipo.

El análisis de Markov, llamado así en honor de un matemático ruso que desarrollo el

método en 1907, permite encontrar la probabilidad de que un sistema se encuentre en

un estado en particular en un momento dado. Algo más importante aún, es que

permite encontrar el promedio a la larga o las probabilidades de estado estable para

cada estado. Con esta información se puede predecir el comportamiento del sistema a

través del tiempo.

La tarea más difícil es reconocer cuándo puede aplicarse. La característica más

importante que hay que buscar en la memoria de un evento a otro.

10.2 CASO DE APLICACIÓN

Aplicación a la administración: Planeación de Personal.

El análisis de transición puede ser útil al planear satisfacer las necesidades de

personal. Muchas firmas emplean trabajadores de diferentes niveles de clasificación

dentro de la misma categoría de trabajo. Esto es común para personal de confianza,

oficinistas, obreros calificados, no calificados y personal profesional. La firma debe

tener el número de empleados en cada nivel de clasificación para proporcionar la

oportunidad de promoción adecuada, cumplir con las habilidades necesarias para el

trabajo y controlar la nómina. Una planeación de personal a largo plazo apropiada

requiere que se considere el movimiento de personas tanto hacia arriba en el

escalafón de clasificación como hacia afuera de la organización. El análisis de Markov

puede ayudar en este esfuerzo de planeación.

El movimiento de personal a otras clasificaciones puede considerarse como una

cadena de Markov. Se supone que hay tres clasificaciones; el grado 1 es la más baja.

Además, los descensos se consideran raros y se omiten. El estado "salen" es

absorbente, el cual incluye renuncias, ceses, despidos y muertes. Por supuesto, todos

los empleados finalmente alcanzan este estado.

Las transiciones del grado 1 al grado 2 y del grado 2 al grado 3 representan

promociones. Como transiciones de probabilidad, están controladas por la firma,

puede establecerse el nivel que la firma determine que es necesario para cumplir sus

objetivos. Como ejemplo, supóngase que la firma tiene en este momento 30

empleados del 3, 90 empleados del grado 2 y 300 empleados del grado 1 y que desea

mantener este nivel de empleados durante el próximo año. Por experiencia, se espera

que salgan el 30 % de los empleados de grado 1 al año, el 20 % de los empleados de

grado 2 y el 10 % de aquellos que están en el grado 3. Si la política es contratar sólo

en los niveles de clasificación más bajos, ¿cuántos se deben contratar y cuántos se

deben promover el siguiente año para mantener estables los niveles?

Este problema puede resolverse sin el análisis de Markov, pero el modelo es útil para

ayudar a conceptualizar el problema. Como se trata sólo de un ciclo, se usa el análisis

de transición. El análisis comienza con el grado más alto. No se hacen promociones

pero el 10 %, o sea, 3, sale. Todos ellos deben de remplazarse por promociones del

pág. 115


grado 2. En el nivel de clasificación, el 20 % sale y se deben promover 3, con una

pérdida de 21. Esto se debe compensar por promoción del grado 1. Al pasar al grado

1, el 30 % sale y 21 deben promoverse, lo cual una pérdida total de 111. Por tanto, el

siguiente año se deben contratar 111 empleados del nivel 1.

En este ejemplo se derivan algunas tasas de transición a partir de consideraciones

externas.

10.3 FORMULACIÓN DE LAS CADENAS DE MARKOV

Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que

ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de

este tipo tienen memoria. “Recuerdan" el último evento y esto condiciona las

posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a

las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como tirar una

moneda al aire o un dado.

En la siguiente se muestra el proceso para formular una cadena de Markov. El

generador de Markov produce uno de n eventos posibles, Ej , donde j = 1, 2, . . . , n,

a intervalos discretos de tiempo (que no tiene que ser iguales ). Las probabilidades de

ocurrencia para cada uno de estos eventos depende del estado del generador. Este

estado se describe por el último evento generado. En la figura 4.1.1, el último evento

generado fue Ej , de manera que el generador se encuentra en el estado Mj .

Generador de Markov

La probabilidad de que Ek sea el siguiente evento generado es una probabilidad

condicional: P ( Ek / Mj ). Esto se llama probabilidad de transición del estado Mj al

estado Ek. Para describir completamente una cadena de Markov es necesario saber el

estado actual y todas las probabilidades de transición.

Probabilidades de transición

Una forma de describir una cadena de Markov es con un diagrama de estados, como el

que se muestra en la figura 4.1.2. En ésta se ilustra un sistema de Markov con cuatro

estados posibles: M1, M2, M3 y M4. La probabilidad condicional o de transición de

moverse de un estado a otro se indica en el diagrama

pág. 116


Diagrama de estados

Otro método para exhibir las probabilidades de transición es usar una matriz de

transición. . La matriz de transición para el ejemplo del diagrama de estados se

muestra en la tabla Matriz de transición.

Matriz de transición

Otro método para exhibir las probabilidades de transición es usar una matriz de

transición. .

Para n = 0, 1, 2, …

El superíndice n no se escribe cuando n = 1.

pág. 117


CASOS RESUELTOS

pág. 118


PROBLEMAS PROPUESTOS DE CADENAS DE MARKOV

1.

2.

Actividad

pág. 119


REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

REFERENCIAS ELECTRÓNICAS

1. ANDERSON y WILLIAMS, 2004 Métodos Cuantitativos Para los Negocios, 9ª Edición, México, Editorial IThomson Learning

2. EPPEN G D y Otros, 2000 Investigación de operaciones en la ciencia administrativa 5ª edición México Editorial Prentice Hall

3. HILLIER F y LIEBERMAN G. 1991 Introducción a la investigación de operaciones 5ª edición México Editorial McGraw-Hill

4. TAHA, H. 1998 Investigación de Operaciones. 6ª edición. México, Prentice Hall,

1. Administración de operaciones

http://admoperaciones.pe.tripod.com/admope.htm

2. Operations Management and Principles of Operations Management

http://wps.prenhall.com/bp_heizer_opsmgmt_10/147/37737/9660836.cw/index.html

3. Sistemas de producción integrado

http://italica.us.es/asignaturas/it/spi.htm

http://admoperaciones.pe.tripod.com/admope.htm



http://italica.us.es/asignaturas/it/spi.htm

pág. 120


ANEXO

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL ESTANDAR

normal 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0 0.5 0.50399 0.50798 0.51197 0.51595 0.51994 0.52392 0.5279 0.53188 0.53586

0.1 0.53983 0.5438 0.54776 0.55172 0.55567 0.55962 0.56356 0.56749 0.57142 0.57535

0.2 0.57926 0.58317 0.58706 0.59095 0.59483 0.59871 0.60257 0.60642 0.61026 0.61409

0.3 0.61791 0.62172 0.62552 0.6293 0.63307 0.63683 0.64058 0.64431 0.64803 0.65173

0.4 0.65542 0.6591 0.66276 0.6664 0.67003 0.67364 0.67724 0.68082 0.68439 0.68793

0.5 0.69146 0.69497 0.69847 0.70194 0.7054 0.70884 0.71226 0.71566 0.71904 0.7224

0.6 0.72575 0.72907 0.73237 0.73565 0.73891 0.74215 0.74537 0.74857 0.75175 0.7549

0.7 0.75804 0.76115 0.76424 0.7673 0.77035 0.77337 0.77637 0.77935 0.7823 0.78524

0.8 0.78814 0.79103 0.79389 0.79673 0.79955 0.80234 0.80511 0.80785 0.81057 0.81327

0.9 0.81594 0.81859 0.82121 0.82381 0.82639 0.82894 0.83147 0.83398 0.83646 0.83891

1 0.84134 0.84375 0.84614 0.84849 0.85083 0.85314 0.85543 0.85769 0.85993 0.86214

1.1 0.86433 0.8665 0.86864 0.87076 0.87286 0.87493 0.87698 0.879 0.881 0.88298

1.2 0.88493 0.88686 0.88877 0.89065 0.89251 0.89435 0.89617 0.89796 0.89973 0.90147

1.3 0.9032 0.9049 0.90658 0.90824 0.90988 0.91149 0.91308 0.91466 0.91621 0.91774

1.4 0.91924 0.92073 0.9222 0.92364 0.92507 0.92647 0.92785 0.92922 0.93056 0.93189

1.5 0.93319 0.93448 0.93574 0.93699 0.93822 0.93943 0.94062 0.94179 0.94295 0.94408

1.6 0.9452 0.9463 0.94738 0.94845 0.9495 0.95053 0.95154 0.95254 0.95352 0.95449

1.7 0.95543 0.95637 0.95728 0.95818 0.95907 0.95994 0.9608 0.96164 0.96246 0.96327

1.8 0.96407 0.96485 0.96562 0.96638 0.96712 0.96784 0.96856 0.96926 0.96995 0.97062

1.9 0.97128 0.97193 0.97257 0.9732 0.97381 0.97441 0.975 0.97558 0.97615 0.9767

2 0.97725 0.97778 0.97831 0.97882 0.97932 0.97982 0.9803 0.98077 0.98124 0.98169

2.1 0.98214 0.98257 0.983 0.98341 0.98382 0.98422 0.98461 0.985 0.98537 0.98574

2.2 0.9861 0.98645 0.98679 0.98713 0.98745 0.98778 0.98809 0.9884 0.9887 0.98899

2.3 0.98928 0.98956 0.98983 0.9901 0.99036 0.99061 0.99086 0.99111 0.99134 0.99158

2.4 0.9918 0.99202 0.99224 0.99245 0.99266 0.99286 0.99305 0.99324 0.99343 0.99361

2.5 0.99379 0.99396 0.99413 0.9943 0.99446 0.99461 0.99477 0.99492 0.99506 0.9952

2.6 0.99534 0.99547 0.9956 0.99573 0.99585 0.99598 0.99609 0.99621 0.99632 0.99643

2.7 0.99653 0.99664 0.99674 0.99683 0.99693 0.99702 0.99711 0.9972 0.99728 0.99736

2.8 0.99744 0.99752 0.9976 0.99767 0.99774 0.99781 0.99788 0.99795 0.99801 0.99807

2.9 0.99813 0.99819 0.99825 0.99831 0.99836 0.99841 0.99846 0.99851 0.99856 0.99861

3 0.99865 0.99869 0.99874 0.99878 0.99882 0.99886 0.99889 0.99893 0.99896 0.999

3.1 0.99903 0.99906 0.9991 0.99913 0.99916 0.99918 0.99921 0.99924 0.99926 0.99929

3.2 0.99931 0.99934 0.99936 0.99938 0.9994 0.99942 0.99944 0.99946 0.99948 0.9995

3.3 0.99952 0.99953 0.99955 0.99957 0.99958 0.9996 0.99961 0.99962 0.99964 0.99965

3.4 0.99966 0.99968 0.99969 0.9997 0.99971 0.99972 0.99973 0.99974 0.99975 0.99976

3.5 0.99977 0.99978 0.99978 0.99979 0.9998 0.99981 0.99981 0.99982 0.99983 0.99983

3.6 0.99984 0.99985 0.99985 0.99986 0.99986 0.99987 0.99987 0.99988 0.99988 0.99989

3.7 0.99989 0.9999 0.9999 0.9999 0.99991 0.99991 0.99992 0.99992 0.99992 0.99992

3.8 0.99993 0.99993 0.99993 0.99994 0.99994 0.99994 0.99994 0.99995 0.99995 0.99995

3.9 0.99995 0.99995 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99997 0.99997

4 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998

Investigacion de operaciones 2013 i

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