Iteracion de punto fijo
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Iteración de punto fijo
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Este permite resolver sistemas de ecuaciones
No necesariamente lineales.
Es también denominado método de
aproximación Sucesiva se puede utilizar
para determinar raíces de una función
de la forma f(x),requiere volver a escribir la
ecuación f(x) = 0
en la forma x = g(x)
A la solución de esta ecuación se le llama
un punto fijo de la función g.
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Ecuación general f(x)=0
● Se desea encontrar la raíz real de x.
El primer paso consiste en transformar f(x)=0, a X=g(x).
El segundo paso es dar un valor de tanteo de raíz , este valor de inicio será x0.
En el tercer paso se evalúa g(x) en x0 y el valor resultante será x1. g(x0)=x1
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Caso comparación de x0 con x1
● Caso 1
--- que x1=x0
-Esto indica que se ha elegido como valor inicial una
raíz y el problema queda concluido. Recuerde que si xR
es raíz de la ecuación. Se cumple que f(xR)=0 y que g(xR)=xR
● Caso 2
---que x1 ≠x0
-Esto es lo mas frecuente ,indica que x1 y x0 son
diferentes de la xR . Y se tiene que f(xR) ≠ 0 y que g(xR) ≠ xR.
En estas circunstancias se procede a hacer una segunda evaluación,
de g(x) ahora en x1, denotándose el resultado como x2 . g(x1)=x2
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Este proceso se repite y queda el siguiente esquema
Si al resolver y los resultados de las iteraciones ,se vanalejando ,es por que están divergiendo y se debe detenerel procedimiento e iniciar con una nueva ec.de x=g(x) ;Y si los valores se acercan cada vez mas a uno solo es porque convergen y nos esta dando el valor de la raíz.
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Posibles x=g(x)
Ejemplo
Resultados Diverge(los valores se Alejan del resultado)
Converge (que se acercan al resultado)
I xi G(xi)
0 2 3
1 3 13
2 13 333
3 333 221773
I xi G(xi)
0 2.00000 1.87083
1 1.87083 1.85349
2 1.85349 1.85115
3 1.85115 1.85083
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Criterio de convergencia
Mientras mas iteraciones halla los valores xi,xi+1,se van acercando cada vez mas entre si como se ve en la figura
x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6
x
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Métodos numéricos Aplicados a la Ingeniería. Antonio Nieves. México DF 2003
Bibliografía